Исследование двух линейных инвариантных соотношений в задаче о движении тела в магнитном поле
В работе рассмотрен один из случаев интегрируемости уравнений движения гиростата с неподвижной точкой в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта Лондона, характеризующийся двумя линейными инвариантными соотношениями. Для случая, когда гирационный эллипсоид не является сферой, получены формулы, позво...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124212 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Исследование двух линейных инвариантных соотношений в задаче о движении тела в магнитном поле / Е.А. Игнатова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 84-92. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124212 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242122017-09-23T03:03:28Z Исследование двух линейных инвариантных соотношений в задаче о движении тела в магнитном поле Игнатова, Е.А. В работе рассмотрен один из случаев интегрируемости уравнений движения гиростата с неподвижной точкой в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта Лондона, характеризующийся двумя линейными инвариантными соотношениями. Для случая, когда гирационный эллипсоид не является сферой, получены формулы, позволяющие установить зависимость вспомогательной переменной от времени. One case of the integrability of the motion equations for a gyrostat with a fixed point in a magnetic field, taking into account the Barnett–London effect, was considered in the paper. These equations are characterized by two linear invariant relations. The formulas establishing a dependence of auxiliary variable on time are obtained in the case when the gyration ellipsoid is not a sphere. 2014 Article Исследование двух линейных инвариантных соотношений в задаче о движении тела в магнитном поле / Е.А. Игнатова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 84-92. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124212 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе рассмотрен один из случаев интегрируемости уравнений движения гиростата с неподвижной точкой в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта Лондона, характеризующийся двумя линейными инвариантными соотношениями. Для случая, когда гирационный эллипсоид не является сферой, получены формулы, позволяющие установить зависимость вспомогательной переменной от времени. |
| format |
Article |
| author |
Игнатова, Е.А. |
| spellingShingle |
Игнатова, Е.А. Исследование двух линейных инвариантных соотношений в задаче о движении тела в магнитном поле Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Игнатова, Е.А. |
| author_sort |
Игнатова, Е.А. |
| title |
Исследование двух линейных инвариантных соотношений в задаче о движении тела в магнитном поле |
| title_short |
Исследование двух линейных инвариантных соотношений в задаче о движении тела в магнитном поле |
| title_full |
Исследование двух линейных инвариантных соотношений в задаче о движении тела в магнитном поле |
| title_fullStr |
Исследование двух линейных инвариантных соотношений в задаче о движении тела в магнитном поле |
| title_full_unstemmed |
Исследование двух линейных инвариантных соотношений в задаче о движении тела в магнитном поле |
| title_sort |
исследование двух линейных инвариантных соотношений в задаче о движении тела в магнитном поле |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124212 |
| citation_txt |
Исследование двух линейных инвариантных соотношений в задаче о движении тела в магнитном поле / Е.А. Игнатова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 84-92. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT ignatovaea issledovaniedvuhlinejnyhinvariantnyhsootnošenijvzadačeodviženiitelavmagnitnompole |
| first_indexed |
2025-07-09T01:02:26Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:02:26Z |
| _version_ |
1837129258773774336 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2014. Том 28
УДК 531.38
c©2014. Е.А. Игнатова
ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ ИНВАРИАНТНЫХ
СООТНОШЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА В
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В работе рассмотрен один из случаев интегрируемости уравнений движения гиростата с неподвиж-
ной точкой в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона, характеризующийся двумя ли-
нейными инвариантными соотношениями. Для случая, когда гирационный эллипсоид не является
сферой, получены формулы, позволяющие установить зависимость вспомогательной переменной
от времени.
Ключевые слова: эффект Барнетта–Лондона, гиростат, метод инвариантных соотноше-
ний.
1. Введение. Уравнения движения сверхпроводящего твердого тела и нейтраль-
ного ферромагнетика в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона [1, 2]
имеют шестой порядок и два первых интеграла. Поэтому в отличие от классических
задач для интегрирования уравнений движения тела в магнитном поле необходимо
найти два дополнительных интеграла. В [3] указаны условия существования ли-
нейного первого интеграла, в [4] получен первый интеграл, в [5] рассмотрена связь
между уравнениями движения тела в жидкости и уравнениями Кирхгофа–Пуассона.
Наиболее эффективным методом построения частных решений уравнений движения
тела и гиростата в магнитном поле является метод инвариантных соотношений [6].
С его помощью изучены многие классы решений: в [7] получено обобщение инвари-
антного соотношения Гесса; в [8] указаны полиномиальные решения; в [9–12] иссле-
дованы свойства двух линейных инвариантных соотношений.
Данная работа посвящена интегрированию уравнений движения гиростата в маг-
нитном поле в случае двух инвариантных соотношений при условии, что гирацион-
ный эллипсоид не является сферой.
2. Постановка задачи. Рассмотрим движение нейтрального ферромагнетика в
магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Запишем уравнения движе-
ния гиростата с учетом того, что на него действуют и центральные ньютоновские
силы
˙̄x = (x̄ + λ̄)× ax̄ + Bax̄× ν̄ + s̄× ν̄ + ν̄ × Cν̄, (1)
˙̄ν = ν̄ × ax̄. (2)
Эти уравнения допускают два первых интеграла:
(x1 + λ1)ν1 + (x2 + λ2)ν2 + (x3 + λ3)ν3 = k, ν2
1 + ν2
2 + ν2
3 = 1, (3)
где k – произвольная постоянная.
84
Исследование двух линейных инвариантных соотношений
В формулах (1)–(3) введены обычные обозначения: x̄ = (x1, x2, x3) – момент
количества движения гиростата; ν̄ = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор, характеризую-
щий направление оси симметрии силовых полей и магнитного поля; λ̄ = (λ1.λ2, λ3) –
гиростатический момент; s̄ = (s1, s2, s3) – вектор обобщенного центра масс; a = (aij)
(i, j = 1, 3) – гирационный тензор; B = (Bij) и C = (Cij) – постоянные симметрич-
ные матрицы третьего порядка. Точка над переменными обозначает относительную
производную по времени t.
Рассмотрим вопрос об условиях существования у системы (1)–(2) двух линейных
инвариантных соотношений:
x1 = b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3, x2 = c0 + c1ν1 + c2ν2 + c3ν3. (4)
Согласно методу инвариантных соотношений [6], продифференцируем левую и
правую части соотношений (4) в силу уравнений (1)–(2):
a23x
2
3 + x3[b1(a33ν2 − a23ν3) + b2(a13ν3 − a33ν1) + b3(a23ν1 − a13ν2)− a33(c0 + λ2+
+c1ν1 + c2ν2 + c3ν3) + (α20 + α21ν1 + α22ν2 + α23ν3) + a23λ3 − ν3d23 + ν2d33]+
+b1[ν2(α30 + α31ν1 + α32ν2 + α33ν3)− ν3(α20 + α21ν1 + α22ν2 + α23ν3)]+
+b2[ν3(α10 + α11ν1 + α12ν2 + α13ν3)− ν1(α30 + α31ν1 + α32ν2 + α33ν3)]+
+b3[ν1(α20 + α21ν1 + α22ν2 + α23ν3)− ν2(α10 + α11ν1 + α12ν2 + α13ν3)]−
−(c0 + λ2 + c1ν1 + c2ν2 + c3ν3)(α30 + α31ν1 + α32ν2 + α33ν3) + λ3(α20 + α21ν1+
+α22ν2 + α23ν3)− ν3[d21(b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3) + d22(c0 + c1ν1 + c2ν2 + c3ν3)]+
+ν2[d31(b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3) + d32(c0 + c1ν1 + c2ν2 + c3ν3)]− s2ν3 + s3ν2−
−ν2(C13ν1 + C23ν2 + C33ν3) + ν3(C12ν1 + C22ν2 + C23ν3) = 0.
(5)
−a13x
2
3 + x3[c1(a33ν2 − a23ν3) + c2(a13ν3 − a33ν1) + c3(a23ν1 − a13ν2)−
−(α10 + α11ν1 + α12ν2 + α13ν3)− λ3a13 + a33(b0 + λ1 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3)− d33ν1+
+d13ν3] + c1[ν2(α30 + α31ν1 + α32ν2 + α33ν3)− ν3(α20 + α21ν1 + α22ν2 + α23ν3)]+
+c2[ν3(α10 + α11ν1 + α12ν2 + α13ν3)− ν1(α30 + α31ν1 + α32ν2 + α33ν3)]+
+c3[ν1(α20 + α21ν1 + α22ν2 + α23ν3)− ν2(α10 + α11ν1 + α12ν2 + α13ν3)]−
−λ3(α10 + α11ν1 + α12ν2 + α13ν3) + (b0 + λ1 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3)(α30 + α31ν1+
+α32ν2 + α33ν3)− ν1[d31(b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3) + d32(c0 + c1ν1 + c2ν2 + c3ν3)]+
+ν3[d11(b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3) + d12(c0 + c1ν1 + c2ν2 + c3ν3)]− s3ν1 + s1ν3−
−ν3(C11ν1 + C12ν2 + C13ν3) + ν1(C13ν1 + C23ν2 + C33ν3) = 0,
(6)
где (dij) = Ba.
Уравнения (5), (6) представляют собой систему двух функциональных равенств
Fi(ν1, ν2, ν3, x3) = 0 (i = 1, 2). Их рассмотрение зависит от подхода, который при-
меняется в процессе применения метода инвариантных соотношений.
3. Условия существования инвариантных соотношений (4). Потребуем,
чтобы уравнения (5), (6) выполнялись тождественно для любых значений перемен-
ной x3.
На основе метода инвариантных соотношений [6] условия существования инва-
риантных соотношений (4) у уравнений (1), (2) с интегралами (3) записаны фор-
85
Е.А. Игнатова
мулами (6)∗, (9)∗ (Знак * над номером формулы обозначает нумерацию формул из
работы [12]).
Условие (6)∗ означает, что третья координатная ось подвижной системы коорди-
нат является главной. Принимая во внимание, что инвариантные соотношения (4)
заданы для первой и второй проекций вектора момента количества движения на
подвижные оси, а третья ось является главной, без ограничения общности задачи
в качестве подвижной системы координат может быть принята главная система ко-
ординат, в которой aij = 0 (i 6= j). Поэтому в дальнейшем для простоты записи
формул примем обозначение aii = ai (i = 1, 3).
Анализ системы уравнений (9)∗ позволяет установить одно общее свойство. Для
того, чтобы система уравнений a3b2 + c1(a3 − a2) = 0, a3c1 + b2(a3 − a1) = 0 имела
нетривиальное решение, необходимо, чтобы выполнялось равенство
a1a3 + a2a3 − a1a2 = 0. Введем главные моменты инерции гиростата Ai =
1
ai
. Тогда
из указанного равенства вытекает: A1 + A2 − A3 = 0, что невозможно. Поэтому в
системе соотношений (4) b2 = 0, c1 = 0. То есть
x1 = b0 + b1ν1 + b3ν3, x2 = c0 + c2ν2 + c3ν3. (7)
Из системы (9)∗ вытекает
b0λ3 = 0, c0λ3 = 0, b0c3 = 0, c0b3 = 0, a3λ2 + c0(a3 − a2) = 0,
−a3λ1 + b0(a1 − a3) = 0, c3(a1b1 − a2c2) = 0, b3(a1b1 − a2c2) = 0, (8)
a1b1 − a2c2 + 2a3(c2 − b1) = 0.
4. Случай λ3 6= 0, b3 6= 0, c3 6= 0, a3 = 2a1. Если в системе (8) положить
b3 = 0, c3 = 0, а в (9)∗ B12 6= 0, то из уравнения (1) для x3 вытекает, что x3 = const.
Поэтому рассмотрим случай b3 6= 0, c3 6= 0. Из (9)∗ следует
b0 = c0 = 0, c1 = 0, b2 = 0, λ1 = λ2 = 0, a2 = a1, c2 = b1. (9)
В силу (9) соотношения (7) упрощаются
x1 = b1ν1 + b3ν3, x2 = c2ν2 + c3ν3. (10)
Учтем в системе (9)∗ условия (9), при этом будем считать, что a3 = 2a1 (случай
сферического гиростата рассмотрен в [12]). Тогда из (9)∗ имеем
a1 = a2, b0 = b2 = c0 = c1 = 0, λ1 = λ2 = 0, b1 = −2B33, b3 = −2B13, c2 = b1,
c3 = −2B23, s1 = −2a1λ3B13, s2 = −2a1λ3B23, s3 = 2a1λ3B33,
B13(B11 − 3B33) + B12B23 = 0, B23(B22 − 3B33) + B13B12 = 0,
C12 = −2a1(B12B33 + 2B13B23), C13 = −2a1B13B33, C23 = −2a1B23B33,
C11 = C33 + 2a1
[
2B2
33 + B2
13 −B11B33 + 3B2
23
]
,
C22 = C33 + 2a1
[
2B2
33 + B2
23 −B22B33 + 3B2
13
]
.
(11)
86
Исследование двух линейных инвариантных соотношений
Запишем уравнения (1)–(2) с учетом условий (10), (11):
ν̇1 = a1(2ν2x3 − (b1ν2 + c3ν3)ν3),
ν̇2 = a1(−2ν1x3 + (b1ν1 + b3ν3)ν3),
ν̇3 = a1ν3(c3ν1 − b3ν2),
ẋ3 = a1(b3ν2 − c3ν1)[−x3 + (b3ν1 + c3ν2 − b1ν3 + λ3)].
(12)
Из интеграла моментов (3) вытекает
(x3 + λ3 + b3ν1 + c3ν2 − b1ν3) · ν3 = l0, (13)
где l0 = k − b1 (произвольная постоянная).
Используя последние два уравнения системы (12) и (13), получим
dx3
dν3
=
1
ν3
(
2x3 − l0
ν3
)
. (14)
Выпишем общее решение уравнения (14)
x3 =
l0
3ν3
+ Cν2
3 , (15)
где C – произвольная постоянная.
Таким образом, функция (15) зависит от двух произвольных постоянных l0 и C.
Выполним интегрирование первых трех уравнений (12). Введем вместо ν1, ν2, ν3
новые переменные
ν1 = sin θ cos ξ, ν2 = sin θ sin ξ, ν3 = cos θ (16)
и вместо параметров b3,c3 параметры α0, µ0: b3 = µ0 cosα0, c3 = µ0 sinα0,
µ0 =
√
b2
3 + c2
3. Тогда из соотношения (13) получим
cos(ξ − α0) =
q(θ)
µ0 sin θ cos θ
, (17)
где q(θ) =
2l0
3
− λ3 cos θ + b1 cos2 θ − C cos3 θ.
Третье уравнение системы (12) в силу (16) можно преобразовать к виду
θ̇ = µ0a1 cos θ sin(α0 − ξ). (18)
Исключим из уравнений (17), (18) переменную (α0 − ξ)
θ̇ =
a1
sin θ
{
µ2
0 sin2 θ cos2 θ − q2(θ)
} 1
2 . (19)
Из уравнения (19) обращением соответствующего интеграла можно найти θ =
θ(t). Тогда из (17) определим ξ(t)
ξ(t) = α0 + arccos
q(θ)
µ0 sin θ(t) cos θ(t)
. (20)
87
Е.А. Игнатова
Соотношения (16) дают возможность найти νi = νi(t), а соотношения (10), (15)
– функции xi = xi(t).
Для нахождения функции θ = θ(t) преобразуем формулу (19)
∫ ν3
ν
(0)
3
dν3√
µ2
0
(
1− ν2
3
)
ν2
3 − ϕ2(ν3)
= −a1(t− t0), (21)
где
ϕ(ν3) = L0 − λ3ν3 + b1ν
2
3 − Cν3
3 . (22)
Здесь L0 =
2l0
3
– новая произвольная постоянная.
Действительности функции ν3(t), полученной из (21), можно добиться, исполь-
зовав неравенство |ν3| ≤ 1 и выбрав в выражении (22) параметры L0, λ3, b1, C
достаточно малыми. Для параметров L0, C это можно сделать в силу их произволь-
ности, а параметры λ3, b1 можно выбрать малыми, приняв на основании выражений
из (11) малыми параметры s3 и B33. После получения ν3(t) из (21), из (20) определим
ξ(t) = α0 + arccos
ϕ(ν3(t))
µ0ν3(t)
√
1− ν2
3(t)
. (23)
Из формул (16) найдем
ν1(t) =
√
1− ν2
3(t) cos ξ(t), ν2(t) =
√
1− ν2
3(t) sin ξ(t), (24)
где ξ(t) определяется формулой (23).
Из формулы (15) следует
x3(t) =
1
ν3(t)
[
L0 + Cν3
3(t)
]
. (25)
Тогда на основании (10), (24) функции x1(t), x2(t) находятся из равенств
x1(t) = b1
√
1− ν2
3(t) cos ξ(t) + b3ν3(t), x2(t) = c2
√
1− ν2
3(t) sin ξ(t) + c3ν3(t). (26)
Соотношения (21), (24)–(26) задают решение уравнений (1), (2). Подставим x3
из (15) в уравнения (12) и интеграл (13)
ν̇1 =
a1
ν3
[
2ν2
(
L0 + Cν3
3
)− ν2
3(b1ν2 + c3ν3)
]
,
ν̇2 = −a1
ν3
[
2ν1
(
L0 + Cν3
3
)− ν2
3(b1ν1 + b3ν3)
]
,
ν̇3 = a1ν3(c3ν1 − b3ν2),
(27)
(
Cν2
3 − b1ν3 + λ3 + b3ν1 + c3ν2
) · ν3 = L0. (28)
Таким образом, система (27) допускает интеграл (28).
88
Исследование двух линейных инвариантных соотношений
5. Случай L0 = 0. Условия существования решения (21), (24)–(26) записаны
формулами (11). Рассмотрим случай L0 = 0, то есть
k = b1. (29)
Тогда функция (22) такова:
ϕ(ν3) = −λ3ν3 + b1ν
2
3 − Cν3
3 . (30)
Запишем формулу (21) с учетом выражения (30)
∫
dν3√
D1
= a1(t− t0), (31)
где
D1 = µ2
0ν
2
3(1− ν2
3)− [−Cν3
3 + b1ν
2
3 − λ3ν3
]2
. (32)
6. Случай C =
−λ3(b2
1 + µ2
2)
µ2
0
, λ2
3 =
µ4
0
b2
1 + µ2
0
. Пусть
C =
−λ3(b2
1 + µ2
0)
µ2
0
, λ2
3 =
µ4
0
b2
1 + µ2
0
, (33)
тогда D1 из (32) примет вид
D1 = (b2
1 + µ2
0)ν
2
3
(
ν3 +
b1√
b2
1 + µ2
0
)2 (
µ2
0
b2
1 + µ2
0
− ν2
3
)
. (34)
Для действительности решения, необходимо потребовать, чтобы выражение из (34)
было положительным, то есть выполнялось условие:
µ2
0
b2
1 + µ2
0
− ν2
3 > 0. (35)
Неравенство (35) выполняется, если
−a < ν3 < a, (36)
где a =
√
1− B2
33
B2
33 + B2
13 + B2
23
.
Отметим, что интервал в (36) содержится в интервале (−1; 1).
Интеграл (31) для рассматриваемого случая можно записать в виде
∫
dν3
ν3
√
µ2
0 − p2
1ν
2
3
−
∫
p1dν3
(b1 + p1ν3)
√
µ2
0 − p2
1ν
2
3
= p2(t− t0), (37)
где p1 =
√
b2
1 + µ2
0, p2 = a1b1/p1.
89
Е.А. Игнатова
В зависимости от параметров задачи, вычисление интеграла (37) разбивается на
следующие случаи.
6.1. Случай µ2
0 − b2
1 > 0. В данном случае в силу принятых обозначений имеем
неравенства
s2
1 + s2
2 − s2
3 > 0, (38)
а также условия (11), (33), (29).
Тогда из интеграла (37) получим формулу, которая устанавливает зависимость
ν3(t) (
p1ν3
µ0 +
√
µ2
0 − p2
1ν
2
3
) 1
µ0
(
p3 + p4ν3 + p5
√
µ2
0 − p2
1ν
2
3
b1p1 + p2
1ν3
) 2
p4
= ep2(t−t0), (39)
где p3 = 2
√
µ4
0 − b4
1, p4 = 2b1(b1 + p1), p5 = 2
√
µ2
0 − b2
1.
Зависимость остальных переменных задачи (1), (2) от времени находится под-
становкой функции ν3 = ν3(t) из (39) в соотношения (24)–(26). Причем ϕ(ν3) в
соотношении (23) имеет вид (30). Запишем полученный результат
ν1 =
1
µ2
0
[b3R6(t)− c3R7(t)] , ν2 =
1
µ2
0
[c3R6(t) + b3R7(t)] , (40)
x1 =
1
µ2
0
(b3R8(t)− b1c3R7(t)), x2 =
1
µ2
0
(c3R8(t)− b1b3R7(t)), x3 = Cν2
3(t), (41)
где R6(t) = b1ν3(t)− λ3 − Cν2
3(t), R7(t) = 1
p1
(p1ν3(t) + b1)
√
µ2
0 − p2
1ν
2
3(t),
R8(t) = b1R6(t) + µ2
0ν3(t).
Таким образом, решение (39)–(41) существует при условиях (11), (29), (33), (38).
При этом ν3 удовлетворяет неравенству (36). Отметим, что выполнения условия (38)
можно добиться следующим образом: задаем конкретные значения для s1 и s2, затем
s3 выбираем с учетом неравенства (38), а остальные параметры задачи выражаем
через них по соотношениям (11). Произвольной постоянной остается только t0 из
(39).
6.2. Случай µ2
0 − b2
1 < 0. Из интеграла (37) для рассматриваемого случая
получим
1
µ0
ln
∣∣∣∣∣
p1ν3
µ0 +
√
µ2
0 − p2
1ν
2
3
∣∣∣∣∣ +
1√
b2
1 − µ2
0
arcsin
p7ν3 − µ0
p1ν2
3 + b1
= p2(t− t0), (42)
где p7 = −b1p1
µ0
.
Находя зависимость ν3 = ν3(t) из формулы (42), остальные переменные зада-
чи (1), (2) определяем из соотношений (40), (41). При этом должны выполняться
условия на параметры (11), (29), (33), а также неравенства (36) и
s2
1 + s2
2 − s2
3 < 0,
в котором значения s1 и s2 задаем.
90
Исследование двух линейных инвариантных соотношений
6.3. Случай b1 = µ0. Для нахождения зависимости ν3 = ν3(t) вернемся к инте-
гралу (31), в котором значение D1 для рассматриваемого случая будет таковым:
D1 = 2b2
1ν
2
3
(
ν3 +
1√
2
)2 (
1
2
− ν2
3
)
. (43)
Учитывая соотношение (43), интеграл (31) может быть записан в следующем виде:
∫
dν3
ν3
(
1√
2
+ ν3
) 3
2
(
1√
2
− ν3
) 1
2
= a1b1
√
2(t− t0).
Отсюда получим, что
ln
∣∣∣∣∣
√
2ν3
1 +
√
1− 2ν2
3
∣∣∣∣∣ +
√
1−√2ν3
1 +
√
2ν3
=
a1b1√
2
(t− t0).
Остальные переменные задачи выражаются по формулам:
ν1(t) =
1√
2b1
[b3R9(t)− c3R10(t)] , ν2(t) =
1√
2b1
[c3R9(t) + b3R10(t)] ,
x1(t) =
1√
2
[b3R11(t)− c3R10(t)] , x2(t) =
1√
2
[c3R11(t) + b3R10(t)] , x3 = −2λ3ν
2
3(t),
где R9(t) = 2ν2
3(t) +
√
2ν3(t) − 1, R10(t) = 2
(
ν3(t) +
1√
2
) √
1
2
− ν2
3(t),
R11(t) = R9(t) +
√
2ν3(t).
Полученное решение существует при условиях (11), (29), (33), а также при b1 =
µ0. Отметим, что равенства (33) при этих условиях на параметры таковы:
λ3 = −
√
2B33, C = 2
√
2B33,
где ν3 ∈
(
− 1√
2
; 1√
2
)
.
1. Егармин И.Е. О магнитном поле вращающегося сверхпроводящего тела // Аэрофизика и кос-
мические исследования. – М.: Физ.–техн. ин-т, 1983. – С. 95–96.
2. Киттель И. Введение в физику твердого тела. – М.: Физматгиз, 1963. – 696 с.
3. Козлов В.В. К задаче о вращении твердого тела в магнитном поле // Известия РАН. Механика
твердого тела. – 1985. – № 6. – C. 28–33.
4. Самсонов В.А. О вращении твердого тела в магнитном поле // Известия РАН. Механика
твердого тела. – 1984. – № 4. – C. 32–34.
5. Веселова Л.Е. О двух задачах динамики твердого тела // Вестник МГУ. Сер. мат. мех. – 1986.
– № 5. – С. 90–91.
6. Леви–Чевита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. В 2-х т. Т. 2. Ч. 2. – М.: Изд-во
иностр. лит., 1951. – 555 с.
7. Горр Г.В. О линейном инвариантном соотношении в задаче о движении гиростата в магнитном
поле // Прикладная математика и механика. – 1997. – Т. 61, вып. 4. – С. 566–569.
91
Е.А. Игнатова
8. Горр Г.В., Суворова Н.Г. Об одном классе полиномиальных решений в задаче о движении
гиростата в магнитном поле // Прикладная математика и механика.– 1997. – Т. 61, вып. 5. –
С. 781–787.
9. Скрыпник С.В. О двух линейных инвариантных соотношениях в задаче о движении тела в
магнитном поле // Прикладная механика. – 1999. – Т. 35, вып. 2. – С. 98–104.
10. Ткаченко Н.В. Некоторые классы прецессионных движений твердого тела в магнитном поле
// Механика твердого тела. – 1997. – Вып. 29. – С. 26–11.
11. Скрыпник С.В. Один класс двух линейных инвариантных соотношений в задаче о движении
тела в магнитном поле // Труды ИПММ НАНУ. – 2002. – Т. 7. – С. 175–180.
12. Игнатова Е.А. Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном
поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона // Механика твердого тела. – 2012. – Вып. 42. –
С. 215–221.
К. Ignatova
Investigation of two linear invariant relations in the motion problem of the body in magnetic
field.
One case of the integrability of the motion equations for a gyrostat with a fixed point in a magnetic
field, taking into account the Barnett–London effect, was considered in the paper. These equations are
characterized by two linear invariant relations. The formulas establishing a dependence of auxiliary
variable on time are obtained in the case when the gyration ellipsoid is not a sphere.
Keywords: Barnett–London effect, gyrostat, method of invariant relations.
Донецкий нац. ун-т экономики и торговли
им. М. Туган–Барановского
katerina-ignat@yandex.ru
Получено 19.05.14
92
содержание
Том 28
Донецк, 2014
Основан в 1997г.
|