Применение параметров Родрига-Гамильтона для исследования прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой
Для прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой определены зависимости от времени параметров Родрига Гамильтона. На основе этих зависимостей найдены инвариантные соотношения, содержащие данные кинематические параметры....
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124213 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Применение параметров Родрига-Гамильтона для исследования прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой / А.М. Ковалев, Г.В. Горр, Д.А. Данилюк // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 93-101. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124213 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242132017-09-23T03:03:38Z Применение параметров Родрига-Гамильтона для исследования прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой Ковалев, А.М. Горр, Г.В. Данилюк, Д.А. Для прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой определены зависимости от времени параметров Родрига Гамильтона. На основе этих зависимостей найдены инвариантные соотношения, содержащие данные кинематические параметры. Dependences of Rodrigues–Hamilton parameters on the time are determined for the precessional motions of a rigid body with a fixed point. Using these dependences, invariant relations are constructed. These relations are include Rodrigues–Hamilton parameters. 2014 Article Применение параметров Родрига-Гамильтона для исследования прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой / А.М. Ковалев, Г.В. Горр, Д.А. Данилюк // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 93-101. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124213 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Для прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой определены зависимости от времени параметров Родрига Гамильтона. На основе этих зависимостей найдены инвариантные соотношения, содержащие данные кинематические параметры. |
| format |
Article |
| author |
Ковалев, А.М. Горр, Г.В. Данилюк, Д.А. |
| spellingShingle |
Ковалев, А.М. Горр, Г.В. Данилюк, Д.А. Применение параметров Родрига-Гамильтона для исследования прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Ковалев, А.М. Горр, Г.В. Данилюк, Д.А. |
| author_sort |
Ковалев, А.М. |
| title |
Применение параметров Родрига-Гамильтона для исследования прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой |
| title_short |
Применение параметров Родрига-Гамильтона для исследования прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой |
| title_full |
Применение параметров Родрига-Гамильтона для исследования прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой |
| title_fullStr |
Применение параметров Родрига-Гамильтона для исследования прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой |
| title_full_unstemmed |
Применение параметров Родрига-Гамильтона для исследования прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой |
| title_sort |
применение параметров родрига-гамильтона для исследования прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124213 |
| citation_txt |
Применение параметров Родрига-Гамильтона для исследования прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой / А.М. Ковалев, Г.В. Горр, Д.А. Данилюк // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 93-101. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevam primenenieparametrovrodrigagamilʹtonadlâissledovaniâprecessionnyhdviženijtverdogotelasnepodvižnojtočkoj AT gorrgv primenenieparametrovrodrigagamilʹtonadlâissledovaniâprecessionnyhdviženijtverdogotelasnepodvižnojtočkoj AT danilûkda primenenieparametrovrodrigagamilʹtonadlâissledovaniâprecessionnyhdviženijtverdogotelasnepodvižnojtočkoj |
| first_indexed |
2025-07-09T01:02:32Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:02:32Z |
| _version_ |
1837129266983075840 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2014. Том 28
УДК 531.38
c©2014. А.М. Ковалев, Г. В. Горр, Д.А. Данилюк
ПРИМЕНЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РОДРИГА–ГАМИЛЬТОНА
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕЦЕССИОННЫХ ДВИЖЕНИЙ
ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
Для прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой определены зависимости от
времени параметров Родрига–Гамильтона. На основе этих зависимостей найдены инвариантные
соотношения, содержащие данные кинематические параметры.
Ключевые слова: прецессионные движения, параметры Родрига–Гамильтона, углы Эйлера.
Введение. Параметры Родрига–Гамильтона широко используются в аналитиче-
ской механике. Они тесно связаны с углами Эйлера и вектором конечного поворота
[1, 2]. Параметры Родрига–Гамильтона применяются не только в гамильтоновой ме-
ханике [3, 4], но и в изучении колебаний тяжелого твердого тела [5, 6]. В [5, 6]
показано, что применение специальной системы координат особенно эффективно в
задачах об исследовании колебательных движений тяжелого твердого тела в данных
кинематических параметрах.
Прецессионное движение в динамике твердого тела представляет собой один из
наиболее наглядных и распространенных классов движений [7, 8]. Они исследованы
только при помощи углов Эйлера. Поэтому представляет большой интерес приме-
нение параметров Родрига–Гамильтона в задаче об изучении свойств прецессий. В
данной статье определены зависимости от времени параметров Родрига–Гамильтона
для случаев регулярных прецессий, полурегулярных прецессий первого и второго
типов и некоторых классов прецессий общего вида.
1. Постановка задачи. Известно [1, 2], что любой поворот твердого тела, име-
ющего неподвижную точку, из начального положения в конечное осуществляется
как плоский поворот на угол κ вокруг вектора конечного поворота u
u = 2a∗ tg
κ
2
. (1)
Пусть i1, i2, i3 – единичные векторы системы координат, неизменно связанной с
телом. Обозначим через α′, β′, γ′ – углы, которые образует вектор a∗ с векторами
i1, i2, i3. Тогда имеем следующие значения параметров Родрига–Гамильтона [1, 2]:
λ0 = cos
κ
2
, λ1 = cosα′ sin
κ
2
, λ2 = cosβ′ sin
κ
2
, λ3 = cos γ′ sin
κ
2
. (2)
Параметры (2) применяются в кинематических задачах ориентации различного рода
объектов, управления движением, инерциальной навигации и т.п. Эти параметры
93
А.М. Ковалев, Г. В. Горр, Д.А. Данилюк
можно выразить через углы Эйлера:
λ0 = cos
θ
2
cos
ψ + ϕ
2
, λ1 = sin
θ
2
cos
ψ − ϕ
2
,
λ2 = sin
θ
2
sin
ψ − ϕ
2
, λ3 = cos
θ
2
sin
ψ + ϕ
2
.
(3)
Пусть ω(t) – вектор угловой скорости тела с неподвижной точкой, ν(t) – вектор,
указывающий направление силы тяжести. Как правило, уравнения движения тела
с неподвижной точкой можно записать в виде
ω̇ = f(ω,ν), ν̇ = ν × ω. (4)
В подвижном базисе векторы ω(t) и ν(t) таковы:
ω = ω1i1 + ω2i2 + ω3i3, ν = ν1i1 + ν2i2 + ν3i3, (5)
где ωi = ωi(t), νi = νi(t) выражаются через углы Эйлера ϕ,ψ, θ следующим образом:
ω1 = ψ̇ sin θ sinϕ + θ̇ cosϕ, ω2 = ψ̇ sin θ cosϕ− θ̇ sinϕ, ω3 = ψ̇ cos θ + ϕ̇,
ν1 = sin θ sinϕ, ν2 = sin θ cosϕ, ν3 = cos θ.
(6)
В дальнейшем будут использоваться формулы:
tg ϕ =
λ1λ3 − λ0λ2
λ0λ1 + λ2λ3
, tg ψ =
λ0λ2 + λ1λ3
λ0λ1 − λ2λ3
. (7)
Очевидно, что параметры λ0, λ1, λ2, λ3 удовлетворяют условию
λ2
0 + λ2
1 + λ2
2 + λ2
3 = 1. (8)
После подстановки выражений (6) в уравнения (4) получаем уравнения на перемен-
ные ϕ(t), ψ(t), θ(t). Если удается проинтегрировать полученные уравнения, то есть
найти указанные функции, то подставив их в равенства (3), устанавливаем зависи-
мости параметров Родрига–Гамильтона от времени.
Отметим связь величин νi, ωi и параметров λ0, λ1, λ2, λ3:
ν1 = 2(λ1λ3 − λ0λ2), ν2 = 2(λ0λ1 + λ2λ3), ν3 = λ2
0 + λ2
3 − λ2
1 − λ2
2, (9)
ω1 = 2(λ0λ
·
1 − λ1λ
·
0 + λ3λ
·
2 − λ2λ
·
3),
ω2 = 2(λ0λ
·
2 − λ2λ
·
0 + λ1λ
·
3 − λ3λ
·
1),
ω3 = 2(λ0λ
·
3 − λ3λ
·
0 + λ2λ
·
1 − λ1λ
·
2).
(10)
Формулы (9), (10) используются в том случае, когда известны зависимости пара-
метров Родрига–Гамильтона от времени.
Для получения замкнутой системы уравнений относительно переменных ωi, λj
необходимо подставить выражения (9) в уравнения (4). Тогда система уравнений (4)
примет вид (первое уравнение представим в векторном виде)
ω̇ = F (ω, Λi(λ0, λ1, λ2, λ3)), (11)
94
Применение параметров Родрига–Гамильтона для исследования прецессионных движений...
2λ·0 = −(ω1λ1 + ω2λ2 + ω3λ3), 2λ·1 = ω1λ0 + ω3λ2 − ω2λ3,
2λ·2 = ω2λ0 + ω1λ3 − ω3λ1, 2λ·3 = ω3λ0 + ω2λ1 − ω1λ2.
(12)
В (11) вектор-функция F зависит от координат ωi и параметров λi. Уравнение (11)
в настоящей работе конкретизировать не будем, поскольку целью статьи являет-
ся исследование кинематических свойств движения тела, имеющего неподвижную
точку. С различными динамическими моделями твердого тела или гиростата можно
ознакомиться в публикациях [3, 7, 8].
В данной статье рассмотрены прецессионные движения твердого тела с непо-
движной точкой – движения, при которых постоянен угол между двумя осями l1 и
l2, содержащими неподвижную точку O и неизменными соответственно в теле (ось
l1) и в пространстве (ось l2). Обозначая этот угол через θ0 [7], из формул (3) имеем:
λ0 = cos
θ0
2
cos
ψ + ϕ
2
, λ1 = sin
θ0
2
cos
ψ − ϕ
2
,
λ2 = sin
θ0
2
sin
ψ − ϕ
2
, λ3 = cos
θ0
2
sin
ψ + ϕ
2
.
(13)
Из соотношений (13) вытекают два инвариантных соотношения для прецессий:
λ2
0 + λ2
3 = cos2
θ0
2
, λ2
1 + λ2
2 = sin2 θ0
2
. (14)
Свойство (14) характерно для всех классов прецессионных движений [7, 9].
2. Маятниковые движения. Эти движения можно отнести к частному типу
прецессий и охарактеризовать условиями:
θ0 =
π
2
, ψ = 0. (15)
Из (13) при наличии (15) следует
λ0 =
√
2
2
cos
ϕ
2
, λ1 =
√
2
2
cos
ϕ
2
, λ2 = −
√
2
2
sin
ϕ
2
, λ3 =
√
2
2
sin
ϕ
2
. (16)
На основании соотношений (16) имеем два линейных инвариантных соотношения:
λ0 − λ1 = 0, λ2 + λ3 = 0. (17)
Известно [9], что зависимость ϕ(t) для маятниковых движений определяется урав-
нением
ϕ̇ =
√
β1 + β2 sinϕ, (18)
где β1 и β2 – постоянные.
Анализ решения уравнения (18) приводит к трем вариантам зависимости ϕ(t).
Здесь будем для определенности предполагать
β1 > −β2 > 0. (19)
95
А.М. Ковалев, Г. В. Горр, Д.А. Данилюк
Тогда в силу (19) из уравнения (18) получим
ϕ = 2amµ1t− π
2
, sin
ϕ
2
=
√
2
2
(snµ1t− cnµ1t),
cos
ϕ
2
=
√
2
2
(snµ1t + cnµ1t), µ1 =
1
2
√
β1 − β2, k1 =
√
− β2
2µ2
1
,
(20)
где amµ1t, snµ1t, cnµ1t – эллиптические функции Якоби, k1 – их модуль.
В силу соотношений (16), (20) получим
λ0 =
1
2
(cnµ1t + snµ1t), λ1 =
1
2
(cnµ1t + snµ1t),
λ2 = −1
2
(snµ1t− cnµ1t), λ3 =
1
2
(snµ1t− cnµ1t).
(21)
Для маятниковых движений в силу (16), (17), (21) только один параметр из λi яв-
ляется независимым.
3. Регулярные прецессии. Они характеризуются равенствами [9]:
θ = θ0, ϕ = nt, ψ = mt, (22)
где t – время. Учитывая в соотношениях (13) равенства (22), получим
λ0 = cos
θ0
2
cos
(n + m)t
2
, λ1 = sin
θ0
2
cos
(n−m)t
2
,
λ2 = sin
θ0
2
sin
(m− n)t
2
, λ3 = cos
θ0
2
sin
(n + m)t
2
.
(23)
В случае (22) имеем два инвариантных соотношения (14) и соотношение
(m− n) arccos
λ0
cos θ0
2
− (m + n) arccos
λ1
sin θ0
2
= 0,
которое следует из равенств (23) при исключении времени t.
Рассмотрим частный случай регулярных прецессий – прецесионно-изоконические
движения. Движение гиростата называется изоконическим, если подвижный и непо-
движный годографы вектора угловой скорости симметричны друг другу относи-
тельно касательной плоскости к аксоидам. Для регулярных прецесионно-изоконичес-
ких движений выполняется условие [9]: m = n. Тогда из (23) следует
λ0 = cos
θ0
2
cosnt, λ1 = sin
θ0
2
, λ2 = 0, λ3 = cos
θ0
2
sinnt. (24)
Учитывая формулы (14), (24), запишем все инвариантные соотношения (ИС) для
рассматриваемого класса прецессий:
λ1 = const, λ2 = 0, λ2
0 + λ2
3 = cos2
θ0
2
. (25)
96
Применение параметров Родрига–Гамильтона для исследования прецессионных движений...
4. Полурегулярные прецессии первого типа. Они определяются условием
[9]:
ψ = mt. (26)
Как показано в [7, 9] имеют место три варианта зависимости ϕ = ϕ(t). В первом
варианте ϕ(t) определяется из уравнения
ϕ̇ = m(b0 + c0 sinϕ). (27)
Если предполагать b0 > c0 > 0, то из (27) получим
ϕ(t) = 2arctg
b0tgτ√
b2
0 − c2
0 − c0tgτ
, где τ =
m
√
b2
0 − c2
0
2
t. (28)
В силу (26), (28) для параметров Родрига–Гамильтона имеем соотношения:
λ0 = cos
θ0
2
(
cos
mt
2
cos
ϕ
2
− sin
mt
2
sin
ϕ
2
)
,
λ1 = sin
θ0
2
(
cos
mt
2
cos
ϕ
2
+ sin
mt
2
sin
ϕ
2
)
,
λ2 = sin
θ0
2
(
sin
mt
2
cos
ϕ
2
− cos
mt
2
sin
ϕ
2
)
,
λ3 = cos
θ0
2
(
sin
mt
2
cos
ϕ
2
+ cos
mt
2
sin
ϕ
2
)
,
(29)
где
sin
ϕ
2
=
tgϕ
2√
1 + tg2 ϕ
2
, cos
ϕ
2
=
1√
1 + tg2 ϕ
2
, tg
ϕ
2
=
b0tgτ√
b2
0 − c2
0 − c0tgτ
. (30)
Наиболее интересным является второй вариант – полурегулярные прецесионно-изо-
конические движения первого типа [9]. Для них выполняется условие [9]
b2
0 = 1 + c2
0. (31)
В случае (31) формула (28) упрощается. Запишем ее в виде
tg
ϕ
2
=
b0tgτ
1− c0tgτ
, где τ =
mt
2
. (32)
Для нахождения зависимостей параметров Родрига–Гамильтона от времени можно
воспользоваться формулами (29), (30), в которых необходимо учесть соотношения
(31), (32). Интерес представляет вид ИС для прецесионно-изоконических движений
первого типа. Для его получения воспользуемся формулами (7), (26), (32). Тогда
найдем зависимости:
λ1λ3 − λ0λ2
λ0λ1 + λ2λ3
=
b0(sinmt + c0 cosmt− c0)
cosmt− c0 sinmt
,
λ0λ2 + λ1λ3
λ0λ1 − λ2λ3
=
sinmt
cosmt
. (33)
97
А.М. Ковалев, Г. В. Горр, Д.А. Данилюк
Исключим из соотношений (33) время t
1
2
b0c0(λ0λ1 + λ2λ3) sin θ0 + (λ1λ3 − λ0λ2)(λ0λ1 − λ2λ3)−
−c0(λ1λ3 − λ0λ2)(λ1λ3 + λ0λ2)− b0(λ0λ1 + λ2λ3)[(λ1λ3 + λ0λ2)+
+c0(λ0λ1 − λ2λ3)] = 0.
(34)
Таким образом, для данного класса прецессии имеют место два ИС второго порядка
(14) и одно ИС (34) четвертого порядка.
В третьем случае прецессия (26) характеризуется зависимостью (18), неравен-
ством (19) и соотношениями (20). Тогда параметры Родрига–Гамильтона таковы:
λ0 =
√
2
2
cos
θ0
2
[
cos
mt
2
(snµ1t + cnµ1t)− sin
mt
2
(snµ1t− cnµ1t)
]
,
λ1 =
√
2
2
sin
θ0
2
[
cos
mt
2
(snµ1t + cnµ1t) + sin
mt
2
(snµ1t− cnµ1t)
]
,
λ2 =
√
2
2
sin
θ0
2
[
sin
mt
2
(snµ1t + cnµ1t)− cos
mt
2
(snµ1t− cnµ1t)
]
,
λ3 =
√
2
2
cos
θ0
2
[
sin
mt
2
(snµ1t + cnµ1t) + cos
mt
2
(snµ1t− cnµ1t)
]
.
(35)
Структуру ИС в рассматриваемом варианте находим, используя формулы (7), (20),
(26):
2(λ1λ3 − λ0λ2)
(λ0λ1 + λ2λ3)
=
2sn2µ1g(λ0, λ1, λ2, λ3)− 1
snµ1g(λ0, λ1, λ2, λ3)cnµ1g(λ0, λ1, λ2, λ3)
, (36)
где
g(λ0, λ1, λ2, λ3) =
1
m
arctg
λ0λ2 + λ1λ3
λ0λ1 − λ2λ3
.
Итак, имеем три ИС: (14) и (36).
5. Полурегулярные прецессии второго типа. Эти движения характеризуют-
ся равенством ϕ̇ = n, где n – постоянная. Выбирая начальное значение ϕ0 нулевым,
имеем
ϕ = nt. (37)
Рассмотрим первый класс прецессии второго типа – прецессионно-изоконические
движения [9]. Для него скорость прецессии определяется уравнением
ψ̇ =
n
b0 + c0 sinnt
, где b2
0 = 1 + c2
0. (38)
Примем начальное значение ψ0 = 0. Тогда из (38) получим
ψ(t) = 2arctg
tgnt
2
b0 + c0tgnt
2
. (39)
98
Применение параметров Родрига–Гамильтона для исследования прецессионных движений...
Из (39) следуют соотношения:
sin
ψ
2
=
sin nt
2√
b0(b0 + c0 sinnt)
, cos
ψ
2
=
b0 cos nt
2 + c0 sin nt
2√
b0(b0 + c0 sinnt)
. (40)
Параметры Родрига–Гамильтона в силу (13), (37) определяются формулами:
λ0 = cos
θ0
2
cos
nt + ψ(t)
2
, λ1 = sin
θ0
2
cos
nt− ψ(t)
2
,
λ2 = sin
θ0
2
sin
ψ(t)− nt
2
, λ3 = cos
θ0
2
sin
ψ(t) + nt
2
,
(41)
где sin ψ
2 , cos ψ
2 имеют значения (40). Обращаясь к (7), (37), (39), получим
(b0c0G1(λ0, λ1, λ2, λ3) + G2(λ0, λ1, λ2, λ3) + c2
0)(λ0λ2 + λ1λ3)−
−(c0 + b0G1(λ0, λ1, λ2, λ3)− c0G2(λ0, λ1, λ2, λ3))(λ0λ1 − λ2λ3) = 0,
(42)
где
G1(λ0, λ1, λ2, λ3) =
2(λ0λ2 − λ1λ3)
sin θ0
, G2(λ0, λ1, λ2, λ3) =
2(λ0λ1 + λ2λ3)
sin θ0
. (43)
Таким образом, в силу (14), (42), (43) данный класс прецессий можно охарактери-
зовать двумя ИС квадратичного типа и одним ИС, имеющим третий порядок.
Второй класс прецессий данного типа отвечает случаю, когда [9]
ψ(t) = µt + 2arctg (b0 − c0)tg
(
nt
2
− π
4
)
. (44)
Функции λi(t) (i = 0, 3) получим подстановкой выражений (37), (44) в соотношения
(13):
λ0 = cos
θ0
2
cos
(n + µ)t + ψ∗(t)
2
, λ1 = sin
θ0
2
cos
(n− µ)t− ψ∗(t)
2
,
λ2 = sin
θ0
2
sin
(µ− n)t + ψ∗(t)
2
, λ3 = cos
θ0
2
sin
(µ + n)t + ψ∗(t)
2
.
(45)
В формулах (44), (45) µ, b0, c0 – постоянные. Функция ψ∗ из (45) определена вто-
рым слагаемым формулы (44). Значения параметров bo, c0 в частности могут удо-
влетворять условию b2
0 = n2 + c2
0 [8]. Дополнительное к (14) ИС находится путем
исключения t из соотношений (45).
Третий класс прецессий второго типа может быть охарактеризован соотношени-
ями [9]:
θ0 =
π
2
, ϕ = nt, ψ(t) = µt + 2arctgλ cosnt, (46)
где n, µ, λ – постоянные. Для нахождения зависимостей параметров Родрига–
Гамильтона от времени необходимо в формулы (45) подставить θ0 = π
2 ,
а ψ∗(t) = 2arctgλ cosnt.
99
А.М. Ковалев, Г. В. Горр, Д.А. Данилюк
6. Прецесионно-изоконические движения общего вида. Положим, что
движение тела обладает свойством прецессионности и свойством изоконичности (по-
движный и неподвижный годографы симметричны друг другу). Имеют место два
класса таких движений в динамике твердого тела с неподвижной точкой [9]:
ψ = ϕ, ϕ̇ =
√
β1 + β2 sinϕ, (47)
ψ̇ =
ϕ̇
b0 + c0 sinϕ
, (b2
0 = 1 + c2
0), ϕ̇ = α + β sinϕ. (48)
В формулах (47), (48) β1, β2, b0, c0, α, β – постоянные, которые для каждой конкрет-
ной задачи динамики имеют свои значения.
Рассмотрим случай (47). Учитывая в формулах (13) равенства (20), (47), полу-
чим
λ0 = 2 cos
θ0
2
snµ1t cnµ1t, λ1 = sin
θ0
2
= const,
λ2 = 0, λ3 = cos
θ0
2
(
sn2 µ1t− cn2 µ1t
)
.
(49)
В силу (14), (49) для класса движений (47) имеют место два линейных ИС и одно
квадратичное ИС на параметры Родрига–Гамильтона.
Изучим случай (48). Из первого уравнения (48) найдем зависимость ψ(ϕ):
ψ(ϕ) = 2arctg
tg ϕ
2
b0 + c0 tg ϕ
2
, (50)
а из второго – зависимость ϕ(t):
ϕ(t) = arcsin
α(β(cos υ − 1) +
√
α2 − β2 sin υ)
α2 − β(cos υ − 1) +
√
α2 − β2 sin υ
, где υ =
√
α2 − β2t. (51)
Зависимость параметров Родрига–Гамильтона от времени устанавливаем из формул
(13) в силу (50), (51). Поскольку окончательные формулы имеют достаточно слож-
ный вид, то укажем только дополнительное к (14) инвариантное соотношение на
данные параметры. Используя формулы (7), (50), получим
tg
(
1
2
arctg
λ0λ2 + λ1λ3
λ0λ1 − λ2λ3
)
= tg
(
1
2
arctg
λ1λ3 − λ0λ2
λ0λ1 + λ2λ3
)
·
·
[
b0 + c0tg
(
1
2
arctg
λ1λ2 − λ0λ2
λ0λ1 + λ2λ3
)]−1
.
(52)
Следовательно, ИС (52) имеет иррациональную структуру.
Заключение.Изучены зависимости от времени параметров Родрига–Гамильтона
для прецессионных движений твердого тела: регулярных; полурегулярных прецес-
сий; прецессий общего вида, которые характеризуются дополнительным свойством
изоконичности.
100
Применение параметров Родрига–Гамильтона для исследования прецессионных движений...
1. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз. – 1961. – 824 с.
2. Кошляков В.Н. Параметры Родрига–Гамильтона и их приложения в механике твердого тела. –
Киев: Изд-во Института математики НАН Украины, 1994. – 176 с.
3. Ковалев А.М. Получение уравнений Гамильтона движения механических систем со связями
на основе принципа максимума Понтрягина // Механика твердого тела. – 1986. – Вып. 18. –
С. 67–73.
4. Козлов В.В. Уравнения Гамильтона задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой в
избыточных координатах // Теорет. и прикл. механика. – 1982. – Вып. 8. – С. 59–65.
5. Ковалев А.М., Данилюк Д.А. Линейные нормальные колебания твердого тела в параметрах
Родрига–Гамильтона // Механика твердого тела. – 2003. – Вып. 33. – С. 3–9.
6. Ковалев А.М., Данилюк Д.А. Нелинейные колебания тяжелого твердого тела в параметрах
Родрига–Гамильтона // Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34. – С. 21–26.
7. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – Донецк: ДонНУ.
– 2012. – 364 с.
8. Горр Г.В., Ковалев А.М. Движение гиростата. – Киев: Наукова думка, 2013. – 408 с.
9. Горр Г.В., Мазнев А.В., Щетинина Е.К. Прецессионные движения в динамике твердого тела
и в динамике систем связанных твердых тел. – Донецк: ДонНУ, 2009. – 222 с.
A.M. Kovalev, G.V. Gorr, D.A. Danilyuk
Application of Rodrigues–Hamilton parameters in investigation of precessional motion of
a rigid body with a fixed point.
Dependences of Rodrigues–Hamilton parameters on the time are determined for the precessional motions
of a rigid body with a fixed point. Using these dependences, invariant relations are constructed. These
relations are include Rodrigues–Hamilton parameters.
Keywords: precessional motion, Rodrigues–Hamilton parameters, Euler angles.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
kovalev@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 16.04.14
101
содержание
Том 28
Донецк, 2014
Основан в 1997г.
|