Исследование конечно-разностной аппроксимации нелинейной модели химического реактора
Предложена модель процессов, происходящих в химическом реакторе полунепрерывного действия. Решена задача численного моделирования реактора, рассмотрена проблема сходимости алгоритма расчета. Выполнено моделирование процесса растворения вещества в химическом реакторе....
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Series: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124217 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Исследование конечно-разностной аппроксимации нелинейной модели химического реактора / И.В. Махно // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 126-131. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124217 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242172017-09-23T03:03:47Z Исследование конечно-разностной аппроксимации нелинейной модели химического реактора Махно, И.В. Предложена модель процессов, происходящих в химическом реакторе полунепрерывного действия. Решена задача численного моделирования реактора, рассмотрена проблема сходимости алгоритма расчета. Выполнено моделирование процесса растворения вещества в химическом реакторе. The model of the processes occuring in the semi-batch chemical reactor is proposed. The numerical simulation problem for the reactor is solved, the convergence condition of the calculation algorithm is obtained. Simulation process of dissolving the substance in the chemical reactor is fulfilled. 2014 Article Исследование конечно-разностной аппроксимации нелинейной модели химического реактора / И.В. Махно // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 126-131. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124217 66.023:681.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Предложена модель процессов, происходящих в химическом реакторе полунепрерывного действия. Решена задача численного моделирования реактора, рассмотрена проблема сходимости алгоритма расчета. Выполнено моделирование процесса растворения вещества в химическом реакторе. |
| format |
Article |
| author |
Махно, И.В. |
| spellingShingle |
Махно, И.В. Исследование конечно-разностной аппроксимации нелинейной модели химического реактора Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Махно, И.В. |
| author_sort |
Махно, И.В. |
| title |
Исследование конечно-разностной аппроксимации нелинейной модели химического реактора |
| title_short |
Исследование конечно-разностной аппроксимации нелинейной модели химического реактора |
| title_full |
Исследование конечно-разностной аппроксимации нелинейной модели химического реактора |
| title_fullStr |
Исследование конечно-разностной аппроксимации нелинейной модели химического реактора |
| title_full_unstemmed |
Исследование конечно-разностной аппроксимации нелинейной модели химического реактора |
| title_sort |
исследование конечно-разностной аппроксимации нелинейной модели химического реактора |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124217 |
| citation_txt |
Исследование конечно-разностной аппроксимации нелинейной модели химического реактора / И.В. Махно // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 126-131. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT mahnoiv issledovaniekonečnoraznostnojapproksimaciinelinejnojmodelihimičeskogoreaktora |
| first_indexed |
2025-07-09T01:03:43Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:03:43Z |
| _version_ |
1837129294990540800 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2014. Том 28
УДК 66.023:681.5
c©2014. И.В. Махно
ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ХИМИЧЕСКОГО РЕАКТОРА
Предложена модель процессов, происходящих в химическом реакторе полунепрерывного действия.
Решена задача численного моделирования реактора, рассмотрена проблема сходимости алгоритма
расчета. Выполнено моделирование процесса растворения вещества в химическом реакторе.
Ключевые слова: нанодисперсные порошки, химический реактор полунепрерывного действия,
математическая модель, уравнение конвекции-диффузии-реакции, метод конечных разностей.
1. Введение. Как известно, в настоящее время международное научное обще-
ство переживает самый настоящий нанотехнологический бум, который формально
сродни тому буму, который пережило это сообщество более 20 лет назад в связи с от-
крытием высокотемпературной сверхпроводимости. Нанотехнология – это междис-
циплинарная область фундаментальной и прикладной науки и техники, имеющая
дело с созданием и использованием материалов, устройств и технических систем,
функционирование которых определяется наноструктурой, т.е. ее упорядоченными
фрагментами размером от 1 до 100 нм. Важнейшей составной частью нанотехно-
логии являются наноматериалы – материалы, созданные с использованием наноча-
стиц, обладающие какими-либо уникальными свойствами, обусловленными присут-
ствием этих частиц в материале.
Среди материалов, привлекающих в настоящее время внимание ученых и прак-
тиков, особое место занимают нанопорошки, широкое применение которых в различ-
ных отраслях промышленности объясняется необычными эффектами в свойствах
материалов на их основе при переходе к наноструктурному состоянию. Так, к при-
меру, в области оксидной керамики снижение размеров частиц исходного порош-
ка от микро- до нанометров позволяет не только повысить плотность и улучшить
механические характеристики керамических материалов, но и существенно изме-
нить их физические свойства. Развитие технологии получения нанопорошков даст
возможность Украине начать их широкое использование в таких областях промыш-
ленности, как энергетика, химическая промышленность, металлургия, электроника,
машиностроение, медицина.
Наибольшее распространение получили методы изготовления порошков в жид-
кой фазе: в водных и неводных растворах, в расплавах. Мы будем рассматривать
аналог процесса растворения железа в азотной кислоте в химическом реакторе по-
лунепрерывного действия (в который непрерывно подаются исходные вещества, а
продукты реакции удаляются периодически).
2. Постановка задачи. В качестве математической модели реактора принима-
ется уравнение конвекции-диффузии-реакции [1]:
126
Исследование конечно-разностной аппроксимации нелинейной модели химического реактора
∂Cx
∂t
= a
∂2Cx
∂x2
− vx
∂Cx
∂x
+ ACn
x e−
E
RT , (1)
где время является независимой переменной, текущая концентрация реагента – за-
висимой переменной, а остальные величины будем считать параметрами: a – ко-
эффициент диффузии, vx – линейная скорость подачи реагента, A – предэкспо-
ненциальный множитель уравнения Аррениуса, n – порядок реакции, E – энергия
активации, R – универсальная газовая постоянная, T – температура реакционной
системы.
Для численного исследования обратимся к физическим параметрам уравнения
(1), представленным в таблице 1.
Таблица 1. Физические параметры реактора и вещества
Физические параметры Значения параметров
Коэффициент диффузии, a 0.000000001 м2/с
Линейная скорость подачи реагента, vx 0.000001
Предэкспоненциальный множитель уравнения Арре-
ниуса, A
1000 м3/(кг*с)
Порядок реакции, n 1.5
Энергия активации, E 15000 Дж/моль
Универсальная газовая постоянная, R 8,31 Дж/(моль*К)
Температура реакционной системы, T 300 К
3. Решение задачи. Для решения уравнения конвекции-диффузии-реакции
необходимо выполнить переход от математической модели к конкретному числен-
ному алгоритму.
Наиболее распространенным подходом является использование методов сеток
[2]. Согласно методу прямых вводится разбиение по пространственной координате
и выполняется переход к системе дифференциальных уравнений. Существуют раз-
личные вариации метода сеток. Простейшим вариантом является метод конечных
разностей, согласно которому на регулярной сетке производные заменяются при-
ближающими их конечными разностями [3].
Сеткой называется дискретная совокупность точек (узлов сетки), в данном слу-
чае на плоскости (τ, x), где τ – время (τ ∈ [0,∞)), x – координата по длине реактора
(l ∈ [0, L)). Для моделирования системы введем равномерную прямоугольную сетку
(τn, xm), τn = τ0 + n∆τ , xm = x0 + m∆x, где ∆τ и ∆x – положительные числа,
называемые шагами сетки.
При построении сеточных уравнений возможны разные варианты аппроксима-
ции исходной производной. Совокупность узлов, которые используются при постро-
ении сеточных уравнений, называется шаблоном. В зависимости от шаблона и со-
ответствующей схемы расчета выделяют явные и неявные схемы.
Мы будем использовать явную схему, при которой значения в (i + 1)-й момент
времени рассчитываются по значениям в i-й момент времени по формулам, задан-
127
И.В. Махно
ным в явном виде. Такая схема имеет условие устойчивости, которое накладывает
ограничения на шаг по времени и координате.
В качестве явной схемы возьмем ориентированный уголок, для которого исполь-
зуется трехточечный шаблон (рис. 1).
Рис. 1. Шаблон схемы «явный левый уголок»
Такая схема не представляет особых вычислительных сложностей, однако имеет
ограничение на величины шагов разбиения по времени и длине реактора. Далее в
процессе моделирования мы покажем, что эти шаги разбиения должны удовлетво-
рять неравенству:
τ ≤ 1
2a
x2 + vx
x + Ae
−E
RT
. (2)
Если для выбранных шагов моделирования условие выполняется, то явная схема
устойчива.
Вводя дискретный шаг по времени (разбиение на N отрезков с шагом ∆τ) и по
длине (разбиение на M отрезков с шагом ∆x) реактора получим для явного левого
уголка представление в виде:
Cn+1
m − Cn
m
τ
= a
Cn
m+1 − 2Cn
m + Cn
m−1
x2
− vx
Cn
m − Cn
m−1
x
−ACn
me
−E
RT . (3)
Выразим Cn
m+1 в явном виде, получим:
Cn
m+1 = α1C
n
m+1 + α2C
n
m + α3C
n
m−1, (4)
где
α1 = a
x2 τ ,
α2 = 1−
(
2a
x2 + vx
x + Ae
−E
RT
)
τ ,
α3 =
(
a
x2 + vx
x
)
τ .
Условия устойчивости:
1) α1 ≥ 0, 2) α2 ≥ 0, 3) α3 ≥ 0. (5)
Поскольку условия 1) и 3) выполняются всегда, то для устойчивости схемы до-
статочно выполнения условия 2), откуда следует формула (2).
128
Исследование конечно-разностной аппроксимации нелинейной модели химического реактора
Моделирование будем выполнять, считая, что доступны результаты измерений
значения начального распределения концентрации реагента по реактору C0,1,...,M =
f(x).
Решение ищется в явном виде по формуле (4) при различных ∆τ и ∆x, удо-
влетворяющих условию устойчивости. Полученные графики переходных процессов
представлены на рис. 2.
Рис. 2. Концентрация реагента (Cx) в химическом реакторе при различных значениях ∆τ
Отметим, что при ∆τ = 0.01 мин. дальнейшее уменьшение шага практически не
влияет на переходной процесс: погрешность вычисления значений Cx при ∆τ = 0.01
и ∆τ = 0.001 не превышала 0.00778, т.е. была менее 1%. Шаг же разбиения по
пространственной координате вообще не играет никакой роли: к примеру, для шага
по времени ∆τ = 0.04 при ∆x = 0.05, ∆x = 0.1 и ∆x = 0.2 значения концентрации
были практически идентичны, процесс стабилизировался уже на третьем шаге, см.
табл. 2–4.
Таблица 2. Изменение концентрации реагента (Cx) при ∆x = 0.05
Время x=0.00 x=0.05 x=0.10 x=0.15 x=0.20
0.00 1.00000 0.90251 0.90251 0.90251 0.90251
0.04 0.90251 0.81460 0.81452 0.81452 0.81452
0.08 0.81452 0.73533 0.73511 0.73511 0.73511
0.12 0.73511 0.66385 0.66344 0.66344 0.66344
0.16 0.66344 0.59940 0.59876 0.59876 0.59876
0.20 0.59876 0.54128 0.54038 0.54038 0.54038
129
И.В. Махно
Таблица 3. Изменение концентрации реагента (Cx) при ∆x = 0.1
Время x=0.00 x=0.05 x=0.10 x=0.15 x=0.20
0.00 1.00000 0.90251 0.90251 0.90251 0.90251
0.04 0.90251 0.81456 0.81452 0.81452 0.81452
0.08 0.81452 0.73522 0.73511 0.73511 0.73511
0.12 0.73511 0.66364 0.66344 0.66344 0.66344
0.16 0.66344 0.59908 0.59876 0.59876 0.59876
0.20 0.59876 0.54083 0.54038 0.54038 0.54038
Таблица 4. Изменение концентрации реагента (Cx) при ∆x = 0.2
Время x=0.00 x=0.05 x=0.10 x=0.15 x=0.20
0.00 1.00000 0.90251 0.90251 0.90251 0.90251
0.04 0.90251 0.81454 0.81452 0.81452 0.81452
0.08 0.81452 0.73516 0.73511 0.73511 0.73511
0.12 0.73511 0.66354 0.66344 0.66344 0.66344
0.16 0.66344 0.59892 0.59876 0.59876 0.59876
0.20 0.59876 0.54061 0.54038 0.54038 0.54038
Для полноты картины мы также провели исследование решения уравнения (1)
для схемы «явный правый уголок»; аналогичное (3) представление запишется в
виде:
Cn+1
m − Cn
m
τ
= a
Cn
m+1 − 2Cn
m + Cn
m−1
x2
− vx
Cn
m+1 − Cn
m
x
−ACn
me
−E
RT .
Теперь в (4) коэффициенты будут следующими:
α1 =
(
a
x2 − vx
x
)
τ ,
α2 = 1 +
(
vx
x − 2a
x2 −Ae
−E
RT
)
τ ,
α3 = a
x2 τ .
Условие 3) устойчивости в (5) выполняется всегда, а из первых двух следует, что
устойчивости схемы необходимо выполнение условий:
h ≤ a
vx
,
τ ≤ 1
2a
x2− vx
x
+Ae
−E
RT
.
Наконец, для центральной схемы получили представление (3):
Cn+1
m − Cn
m
τ
= a
Cn
m+1 − 2Cn
m + Cn
m−1
x2
− vx
Cn
m+1 − Cn
m−1
2x
−ACn
me
−E
RT .
Коэффициенты (4):
α1 =
(
a
x2 − vx
2x
)
τ ,
α2 = 1−
(
2a
x2 + Ae
−E
RT
)
τ ,
α3 =
(
a
x2 + vx
2x
)
τ .
130
Исследование конечно-разностной аппроксимации нелинейной модели химического реактора
Условие 3) устойчивости в (5) также выполняется всегда, а из первых двух сле-
дует, что устойчивости схемы необходимо выполнение условий:
h ≤ 2a
vx
,
τ ≤ 1
2a
x2 +Ae
−E
RT
.
Расчеты для различных ∆τ и ∆x, удовлетворяющих условию устойчивости, по-
казывают, что для всех явных схем (левый и правый уголки, центральная схема)
значения концентрации Cx совпадают с точностью до погрешности вычислений.
4. Заключение. На основе уравнения конвекции-диффузии-реакции предло-
жена модель процессов, происходящих в химическом реакторе полунепрерывного
действия. Предложенная модель позволит промоделировать динамику химического
реактора в процессе получения нанопорошков.
Методом сеток решена задача численного моделирования реактора, рассмотрена
проблема сходимости алгоритма расчета, приведены условия устойчивости схемы
расчета. Выполнено моделирование процесса растворения вещества в химическом
реакторе и на основании полученных данных выбран оптимальный шаг разбиения
по времени, при котором сохраняется точность моделирования, сопоставимая с точ-
ностью измерительной системы, и выполняется условие устойчивости схемы рас-
чета. Показано, что точность расчетов практически не зависит от величины шага
разбиения по длине реактора.
1. Iordanidis A.A. Mathematical Modelling of Catalytic Fixed Bed Reactors. Thesis for the Degree of
Doctor of Philosophy / A.A. Iordanidis – Twente: placePlaceTypeUniversity of PlaceNameTwente,
2002. – 195 p.
2. Чермак И. Динамика регулируемых систем в теплоэнергетике и химии / И. Чермак, В. Петерка,
И. Заворка. – М.: Мир, 1972. – 624 с.
3. Пасконов В.М. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена / В.М. Пасконов,
В.И. Полежаев, Л.А. Чудов – М. : Наука, 1984. – 288 с.
I. V. Makhno
Investigation of finite-difference approximation of the nonlinear model of a chemical reactors.
The model of the processes occuring in the semi-batch chemical reactor is proposed. The numerical
simulation problem for the reactor is solved, the convergence condition of the calculation algorithm is
obtained. Simulation process of dissolving the substance in the chemical reactor is fulfilled.
Keywords: nano-sized powders, semi-batch chemical reactor, mathematical model of convection-diffusion-
reaction, method of finite differences.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
makhno_i@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 22.05.14
131
|