Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров
Рассматривается аппроксимация функций на подмножествах Rⁿ в пространстве Lp, 2 ≤ p < ∞ линейными комбинациями индикаторов шаров. Рассмотрен случай, когда радиусы шаров пропорциональны положительным нулям функции Бесселя....
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124218 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров / О.А. Очаковская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 132-140. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124218 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242182017-09-23T03:03:54Z Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров Очаковская, О.А. Рассматривается аппроксимация функций на подмножествах Rⁿ в пространстве Lp, 2 ≤ p < ∞ линейными комбинациями индикаторов шаров. Рассмотрен случай, когда радиусы шаров пропорциональны положительным нулям функции Бесселя. We investigate an approximation of functions on subsets of Rⁿ in the space Lp with 2 ≤ p < ∞ by linear combinations of indicator of balls. We consider the case where the radii of balls are proportional to positive zeros of the Bessel function. 2014 Article Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров / О.А. Очаковская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 132-140. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124218 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается аппроксимация функций на подмножествах Rⁿ в пространстве Lp, 2 ≤ p < ∞ линейными комбинациями индикаторов шаров. Рассмотрен случай, когда радиусы шаров пропорциональны положительным нулям функции Бесселя. |
| format |
Article |
| author |
Очаковская, О.А. |
| spellingShingle |
Очаковская, О.А. Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Очаковская, О.А. |
| author_sort |
Очаковская, О.А. |
| title |
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров |
| title_short |
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров |
| title_full |
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров |
| title_fullStr |
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров |
| title_full_unstemmed |
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров |
| title_sort |
аппроксимация в lp линейными комбинациями индикаторов шаров |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124218 |
| citation_txt |
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров / О.А. Очаковская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 132-140. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT očakovskaâoa approksimaciâvlplinejnymikombinaciâmiindikatorovšarov |
| first_indexed |
2025-07-09T01:03:49Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:03:49Z |
| _version_ |
1837129304078548992 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2014. Том 28
УДК 517.5
c©2014. О.А. Очаковская
АППРОКСИМАЦИЯ В Lp ЛИНЕЙНЫМИ
КОМБИНАЦИЯМИ ИНДИКАТОРОВ ШАРОВ
Рассматривается аппроксимация функций на подмножествах Rn в пространстве Lp, 2 6 p < ∞
линейными комбинациями индикаторов шаров. Рассмотрен случай, когда радиусы шаров пропор-
циональны положительным нулям функции Бесселя.
Ключевые слова: аппроксимационная теорема Винера, аппроксимация сдвигами.
1. Введение. Классическая теорема Винера о замыкании сдвигов утвержда-
ет, что множество всех линейных комбинаций сдвигов функций fm ∈ L1(R1), m =
1, 2, . . . , плотно в L1(R1) тогда и только тогда, когда не существует точки x ∈ R1, в
которой преобразования Фурье всех функций fm равны нулю (см., например, [1–3]).
Винер получил также необходимые и достаточные условия для замкнутости линей-
ной оболочки сдвигов заданных функций из L2(R1). В дальнейшем были получены
аналоги этих результатов Винера на некомпактных группах (см. [2]). Изучались
также Lp-аналоги теорем Винера при p > 1. В ряде работ (см., например, [4–6]
и библиографию в этих работах) изучались случаи, когда заданные функции fm
имеют компактные носители, а их сдвиги сосредоточены на различных подмноже-
ствах евклидовых пространств. В данной работе мы рассматриваем аппроксимацию
функций из Lp, 2 6 p < +∞, линейными комбинациями индикаторов шаров, радиу-
сы которых пропорциональны положительным нулям функции Бесселя. Изучается
также возможность подобной аппроксимации сдвигами некоторых финитных ради-
альных функций.
2. Формулировки основных результатов.Как обычно, обозначим через E ′(H)
пространство распределений с компактным носителем на полупространстве H =
{x ∈ Rn : xn > 0}. Пусть также Jν – функция Бесселя первого рода порядка ν,
Nλ = {t > 0 : Jn/2(λt) = 0} и ∆ – оператор Лапласа в Rn.
Теорема 1. Пусть f ∈ Lp(H) при некотором p ∈ [2, +∞). Пусть также функ-
ция f представима в виде
f = ∆u + λ2u (1)
для некоторых u ∈ E ′(H), λ > 0. Тогда f является пределом сходящейся в Lp(H)
последовательности линейных комбинаций индикаторов шаров с радиусами r ∈ Nλ,
содержащихся в H.
В качестве следствий приведем следующие результаты, показывающие, что класс
функций f ∈ Lp(H), удовлетворяющих условию теоремы 1, является достаточно
широким.
Следствие 1. Пусть p ∈ [2, +∞) и функция f ∈ Lp(H) имеет компактный
носитель, содержащийся в H. Пусть также множество нулей преобразования
132
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров
Фурье функции f содержит сферу в Rn радиуса λ > 0 с центром в нуле. Тогда для
этой функции выполнено утверждение теоремы 1.
Далее, положим BR = {x ∈ Rn : |x| < R} и BR – замыкание BR. Символом u ∗ v
обозначим свертку функций u, v ∈ L1(Rn).
Следствие 2. Пусть p ∈ [2, +∞) и функция u ∈ Lp(Rn) имеет компактный
носитель. Пусть также вещественнозначная радиальная функция v ∈ L1(Rn) удо-
влетворяет следующим условиям:
1) носитель v содержится в шаре BR для некоторого R > 0;
2) v непрерывна в нуле;
3) не существует функции w ∈ C(Rn), совпадающей с v почти всюду.
Тогда, если носитель функции f = u∗v содержится в H, то для этой функции
выполнено утверждение теоремы 1.
Следствие 3. Пусть p ∈ [2, +∞) и вещественная радиальная функция v ∈
Lp(Rn) удовлетворяет условиям 1)-3) из следствия 2. Пусть также h = (h1, . . . , hn)
∈ Rn и hn > R. Тогда для функции v(x− h) выполнено утверждение теоремы 1.
Для множества A ⊂ Rn обозначим через χA индикатор этого множества. Если
h ∈ Rn, положим
A + h = {x ∈ Rn : x− h ∈ A}.
Следствие 4. Пусть A – непустое, измеримое, инвариантное относительно
вращений подмножество Rn, содержащееся в шаре BR, и функция χA непрерывна
в нуле. Пусть также h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn и hn > R. Тогда при любом p ∈ [2,+∞)
существует λ > 0 такое, что функция χA+h является пределом последовательно-
сти линейных комбинаций индикаторов шаров в H с радиусами r ∈ Nλ, сходящейся
в Lp(H).
Далее нам потребуется следующее определение (см. [4, раздел 3.2.3]).
Определение. Область O ⊂ Rn называется r-областью, если выполнены следу-
ющие условия:
а) каждая точка из O лежит в некотором замкнутом шаре радиуса r, содер-
жащемся в O;
б) множество центров всех замкнутых шаров радиуса r, содержащихся в O,
является связным.
Пусть λ > 0 и r ∈ Nλ. Рассмотрим функцию gλ,r : Rn → R1, определенную
равенством
gλ,r(x) =
J n−2
2
(λ|x|)r(n−2)/2
|x|(n−2)/2J n−2
2
(λr)
− 1, |x| < r,
0, |x| > r.
Можно показать, что gλ,r ∈ C(Rn) и удовлетворяет уравнению
∆gλ,r + λ2gλ,r = χr, (2)
где χr – индикатор шара Br и дифференцирование в (2) понимается в смысле рас-
пределений.
133
О.А. Очаковская
Теорема 2. Пусть λ > 0 фиксировано и множество O ⊂ Rn содержит H
и является ζ-областью при некотором ζ ∈ Nλ. Тогда множество всевозможных
линейных комбинаций функций вида gλ,r(x − h), где r ∈ Nλ и supp gλ,r(x − h) ⊂ O,
является плотным в Lp(O) при любом p ∈ [2, +∞).
3. Вспомогательные утверждения. Сначала напомним некоторые обозначе-
ния.
Пусть Z+(Jn/2) = {ν1, ν2, . . . } – возрастающая последовательность всех нулей
функции Бесселя Jn/2, лежащих на (0, +∞).
Для x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn положим x′ = (x1, . . . , xn−1) ∈ Rn−1,
|x′| =
√
x2
1 + · · ·+ x2
n−1. Пусть также (·, ·) – скалярное произведение в Rn−1 и dx′ =
dx1 · · · dxn−1 – лебегова мера в Rn−1.
Для µ > 0 рассмотрим функцию
ϕ(t) = ϕ(t, r, µ) =
{
(r2 − t2)
n−1
4 Jn−1
2
(µ
√
r2 − t2), |t| < r,
0, |t| > r.
Положим
ϕk,µ(t) = ϕ(t, νk, µ), k ∈ N.
Лемма 1. Пусть Mr = {x = (x′, xn) ∈ Rn : |xn| 6 r}, u ∈ Lp(Mr) для некоторого
p ∈ [1, 2] и
v(t) =
∫
Br
u(x′ + t, xn)dx, t ∈ Rn−1. (3)
Тогда v ∈ Lp(Rn−1) и
v̂(λ) =
(
2π
|λ|
)(n−1)/2 ∫ r
−r
û(λ, xn)ϕ(xn, r, |λ|)dxn (4)
для почти всех λ ∈ Rn−1, где û – преобразование Фурье функции u(x′, xn) относи-
тельно переменной x′.
Доказательство. Из определения функции v и неравенства Гёльдера имеем оцен-
ки
|v(t)| 6
∫
Br
|u(x′ + t, xn)|dx 6 c1
(∫
Br
|u(x′ + t, xn)|pdx
)1/p
, t ∈ Rn−1,
где постоянная c1 > 0 не зависит от t. Из этих неравенств получаем
∫
Rn−1
|v(t)|pdt 6 c1
∫
Br
∫
Rn−1
|u(x′ + t, xn)|pdtdx =
= c1
∫
Br
∫
Rn−1
|u(t, xn)|pdtdx =
= c1
∫ r
−r
dxn
∫
|x′|6
√
r2−x2
n
dx′
∫
Rn−1
|u(t, xn)|pdt 6 c2‖u‖p
Lp(Mr) (5)
для некоторой положительной постоянной c2, не зависящей от функции u. Таким
образом, получили, что v ∈ Lp(Rn−1).
134
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров
Докажем равенство (4). Прежде всего, установим, что
v̂(λ) =
∫
Br
ei(λ,x′)û(λ, xn)dx. (6)
Сначала рассмотрим случай p = 1. Из определения преобразования Фурье и опре-
деления v получаем
v̂(λ) =
∫
Rn−1
ei(λ,t)v(t)dt =
∫
Rn−1
ei(λ,t)
∫
Br
u(x′ + t, xn)dxdt.
Отсюда и из теоремы Фубини следует, что
v̂(λ) =
∫
Br
∫
Rn−1
ei(λ,t)u(x′ + t, xn)dxdt. (7)
Из последнего равенства с помощью замены переменной во внутреннем интеграле
получаем (6).
Предположим теперь, что p = 2. Для R > 0 рассмотрим функцию
vR(t) =
∫
Br
uR(x′ + t, xn)dx, t ∈ Rn−1, (8)
где
uR(x′, xn) =
{
u(x′, xn), |x′| 6 R
0, в противном случае.
Из определения uR имеем
‖uR − u‖L2(Mr) → 0 при R → +∞. (9)
Кроме того, используя неравенство (5) для функции uR − u вместо u, получаем
‖vR − v‖L2(Rn−1) 6 c2‖uR − u‖L2(Mr). (10)
Соотношения (9) и (10) показывают, что vR → v при R → +∞ в пространстве
L2(Rn−1).
Поскольку uR ∈ L(Mr), по доказанному выше имеем равенство
v̂R(λ) =
∫
Br
ei(λ,x′)ûR(λ, xn)dx (11)
для почти всех λ ∈ Rn−1. Далее, пусть ϕ ∈ D(Rn−1). Из (11) следует, что
∫
Rn−1
v̂R(λ)ϕ(λ)dλ =
∫
Br
∫
Rn−1
ei(λ,x′)ϕ(λ)ûR(λ, xn)dxdλ =
=
∫
Br
∫
Rn−1
ei(λ,x′)ϕ(λ)û(λ, xn)dxdλ+
135
О.А. Очаковская
+
∫
Br
∫
Rn−1
ei(λ,x′)ϕ(λ)(ûR(λ, xn)− û(λ, xn))dxdλ. (12)
Обозначим через K носитель функции ϕ. Тогда модуль последнего слагаемого в
правой части равенства (12) не превосходит величины
∫
Br
∫
K
|ϕ(λ)||(ûR(λ, xn)− û(λ, xn))|dxdλ. (13)
Применяя к интегралу в (16) неравенство Коши–Буняковского, получаем, что он не
превосходит величины
c3
(∫
Mr
|ûR(λ, xn)− û(λ, xn)|2dxndλ
)1/2
, (14)
где c3 – положительная постоянная, не зависящая от R. По теореме Планшереля
∫
Rn−1
|ûR(λ, xn)− û(λ, xn)|2dλ = (2π)n
∫
Rn−1
|uR(x′, xn)− u(x′, xn)|2dx′, (15)
то есть, выражение в (14) равно
c3
(
(2π)n
∫
Mr
|uR(λ, xn)− u(λ, xn)|2dxndλ
)1/2
. (16)
Учитывая условие (9) и произвольность функции ϕ ∈ D(Rn−1), отсюда и из (12)
заключаем, что v̂R при R → ∞ сходится в пространстве D′(Rn−1) распределений в
Rn−1 к функции ∫
Br
ei(λ,x′)û(λ, xn)dxdλ.
С другой стороны, по теореме Планшереля имеем
‖v̂R − v̂‖L2(Rn−1) = (2π)n/2‖vR − v‖L2(Rn−1).
Из этого равенства вытекает, что v̂R сходится при R → ∞ к функции v̂ в про-
странстве L2(Rn−1). Сопоставляя это с тем, что было получено выше, приходим к
равенству (6). Пусть теперь 1 < p < 2. В этом случае функция u представима в виде
u = u1 + u2, где u1 ∈ L1(Mr), u2 ∈ L2(Mr). При этом
û(λ, xn) = û1(λ, xn) + û2(λ, xn). (17)
Определим функции v1 и v2 с помощью равенств (3) при u = u1, u2, соответственно.
Тогда по уже доказанному v1 ∈ L1(Rn−1), v2 ∈ L2(Rn−1) и v̂ = v̂1 + v̂2. Отсюда
и из соотношения (17) получаем равенство (6) в общем случае. Далее, записывая
интеграл в (6) в виде повторного, находим
v̂(λ) =
(
2π
|λ|
)(n−1)/2 ∫ r
−r
û(λ, xn)
∫
ei(λ,x′) dx′ dxn, (18)
136
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров
где внутренний интеграл вычисляется по шару
{x′ ∈ Rn−1 : x2
1 + · · ·+ x2
n−1 6 r2 − x2
n}.
Используя формулу для преобразования Фурье индикатора шара (см. [7, теорема
4.15]), отсюда получаем утверждение леммы. ¤
Лемма 2. Пусть f ∈ Lp(H) для некоторого p ∈ [1, 2] и
∫
Br
f(x + w)dx = 0 (19)
для всех r ∈ Z+(Jn/2), w ∈ {x ∈ Rn : xn > r}. Тогда существует функция u ∈
C∞(H) такая, что 4u + u = 0 и f = u в H почти всюду.
Доказательство. Пусть ψ – произвольная функция класса C∞(Rn) с носителем
в шаре B1. Рассмотрим функцию
F (x) =
∫
H
f(u)ψ(x + u) du, x ∈ H1 = {x ∈ R1, xn > 1}. (20)
Пусть r ∈ Z+(Jn/2), z = (t1, . . . , tn−1, y), где t ∈ (t1, . . . , tn−1) ∈ Rn−1 и y > r + 1. Из
равенств (19) и (20) имеем
∫
H
∫
Br
f(u)ψ(x + z + u)du dx =
=
∫
Br
F (x1 + t1, . . . , xn−1 + tn−1, xn + y) dx = 0 (21)
для всех t ∈ (t1, . . . , tn−1) ∈ Rn−1 и y > r + 1. Предположим, что µ ≥ 0 и λ ∈
Rn−1 связаны соотношением µ = |λ|. Для краткости будем обозначать через gλ(xn)
преобразование Фурье функции F (x′, xn) по переменной x′. Используя лемму 1, из
равенства (21) получаем
∫ νk
−νk
gλ(xn + y)ϕk,µ(xn) dxn = 0 (22)
для всех k ∈ N, y > νk + 1 и почти всех λ ∈ Rn−1. Повторяя теперь рассуждения из
доказательства теоремы 1 в работе [8], приходим к требуемому утверждению. ¤
4. Доказательства основных результатов.
Доказательство теоремы 1.Поскольку носитель распределения не увеличивает-
ся при действии на это распределение дифференциального оператора, из равенства
(1) следует, что supp f ⊂ H. Выберем ненулевую функцию φ ∈ D(Rn), для которой
supp v ⊂ H, где v = f ∗ φ. В силу определения свертки это можно сделать, выби-
рая функцию φ с носителем, содержащимся в шаре достаточно малого радиуса с
центром в нуле. Полагая w = u ∗ φ, из равенства (1) делаем вывод, что
∆w + λ2w = v. (23)
137
О.А. Очаковская
Покажем теперь, что всякий линейный непрерывный функционал Ψ на Lp(H), ан-
нулирующий индикаторы всех шаров в H с радиусами r ∈ Nλ, аннулирует v. По
теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в пространстве
Lp(H) любой такой функционал имеет вид
Ψ(g) =
∫
H
g(x)f(x)dx, g ∈ Lp(H), (24)
где f ∈ Lq(H), q = p/(p− 1). Поскольку Ψ аннулирует индикаторы всех шаров в H
с радиусами r ∈ Nλ, из (24) имеем
∫
B
f(x)dx = 0 (25)
для любого шара B с радиусом r ∈ Nλ, содержащегося в H. В силу эллиптичности
оператора ∆ и леммы 2 из условия (25) следует, что f почти всюду совпадает с
вещественно-аналитической функцией на H, удовлетворяющей уравнению
∆f + λ2f = 0 в H. (26)
Используя соотношения (23), (24) и (26), получаем
Ψ(v) =
∫
H
f(x)v(x)dx =
∫
H
f(x)(∆w + λ2w)(x)dx =
=
∫
H
w(x)(∆f + λ2f)(x)dx = 0,
как и утверждалось. Таким образом, свертка χA ∗ φ является пределом последо-
вательности линейных комбинаций индикаторов шаров в H с радиусами r ∈ Nλ,
сходящейся в пространстве Lp(H). Но функция χA является пределом некоторой
последовательности сверток {χA ∗ φm}∞m=1, сходящейся в Lp(H). Поэтому из произ-
вольности φ следует требуемое утверждение. ¤
Доказательство следствия 1. Докажем, что f представима в виде (1) для неко-
торого u ∈ E ′(H). Из [9 , теорема 7.3.2] следует, что при указанном условии уравне-
ние (1) разрешимо в пространстве E ′(Rn). Пусть K – выпуклая оболочка носителя
функции f , тогда K содержится в H. Из (1) следует, что 4u+λ2u = 0 на открытом
множестве Rn \K для любого решения u ∈ E ′(Rn) уравнения (1). Из эллиптичности
оператора 4 получаем, что u вещественно аналитична на Rn \K. Таким образом,
носитель u содержится в H и требуемое утверждение доказано. ¤
Доказательство следствия 2. Из определения функции f следует, что f ∈
Lp(H) (см. [7, теорема 1.3]). Докажем, что множество нулей преобразования Фурье
функции f содержит сферу в Rn радиуса λ > 0 с центром в нуле. Из радиальности и
интегрируемости функции v следует, что v̂ также радиальная функция, непрерыв-
ная на Rn. Отсюда и из определения преобразования Фурье вытекает, что
v̂(x) =
∫
Rn
v(y)e−i(y,x)dy =
∫
Rn
v(−y)e−i(y,x)dy = v̂(x),
138
Аппроксимация в Lp линейными комбинациями индикаторов шаров
то есть функция v̂ вещественнозначна. Предположим, что v̂ не обращается в нуль
в области Rn \ {0}. Тогда v̂ сохраняет знак в Rn \ {0}. Следовательно, либо v̂ > 0,
либо v̂ 6 0 в Rn. В силу условия 2) отсюда вытекает (см. [4, теорема 1.6.2] ), что
v̂ ∈ L1(Rn). Это означает, что для почти всех x имеет место формула обращения
v(x) =
1
(2π)n
∫
Rn
v̂(y)ei(y,x)dy
(см. [4, теорема 1.6.2]). Из этой формулы следует, что v = w почти всюду для неко-
торой функции w ∈ C(Rn). Это противоречит условию 3), поэтому v̂(y) = 0 для
некоторого y ∈ Rn \ {0}. Полагая λ = |y|, отсюда и из радиальности v̂ заключаем,
что v̂ = 0 на сфере |y| = λ в Rn. В силу равенства f̂ = ûv̂ делаем вывод, что функция
f удовлетворяет условиям следствия 1 и требуемое утверждение доказано. ¤
Доказательство следствия 3. Из условия и доказательства следствия 2 выте-
кает, что функция f(x) = v(x − h) удовлетворяет условиям следствия 1. Отсюда и
из следствия 1 имеем требуемое утверждение. ¤
Доказательство следствия 4. Из условия следует, что функция v = χA удо-
влетворяет условиям следствия 3 при любом p ∈ [2,+∞). Отсюда и из следствия 3
получаем требуемое утверждение. ¤
Доказательство теоремы 2. Достаточно доказать, что всякий линейный непре-
рывный функционал Ψ на Lp(O), аннулирующий все функции gλ,r(x−h) указанного
вида, аннулирует все пространство Lp(O). По теореме Рисса об общем виде линей-
ного непрерывного функционала в пространстве Lp(H) любой такой функционал
имеет вид
Ψ(g) =
∫
O
g(x)f(x)dx, g ∈ Lp(O), (27)
где f ∈ Lq(O), q = p/(p − 1). Поскольку Ψ аннулирует указанные выше функции,
получаем, что
f ∗ gλ,r = 0 (28)
на области определения. Отсюда и из (2) вытекает, что
f ∗ (∆gλ,r + λ2gλ,r) = f ∗ χr = 0 (29)
для всех r ∈ Nλ. Из последнего равенства и леммы 2 заключаем, что в полупростран-
стве H функция f совпадает почти всюду с вещественно аналитической функцией,
удовлетворяющей уравнению
∆f + λ2f = 0. (30)
С другой стороны, из (28) вытекает, что
(∆f + λ2f) ∗ gλ,r = 0. (31)
Тогда из теоремы единственности для решений уравнения свертки (см. [4, теорема
3.2.1]) получаем, что равенство (30) выполнено в смысле распределений на всем O.
139
О.А. Очаковская
В силу эллиптичности оператора ∆ отсюда следует, что f совпадает почти всюду в
O c вещественно аналитической функцией. Кроме того, имеет место равенство
(f ∗ gλ,r)(x) = 2n/2−1Γ
(n
2
)
g̃λ,r(λ)f(x), (32)
где функция g̃λ,r задается равенством
g̃λ,r(z) =
∫
Br
gλ,r(x)In
2
−1(z|x|)dx (33)
и Iν(z) = Jν(z)z−ν(см. [4, формула (1.7.9)]). Из определения g̃λ,r и In
2
−1 имеем
g̃λ,r(λ) =
1
In
2
−1(λr)
∫
Br
(
I
n
2
− 1(λ|x|)
)2
dx−
∫
Br
In
2
−1(λ|x|)dx. (34)
Поскольку функция In
2
−1(λ|x|) принадлежит классу Vr(Rn) (см., например, [4,
лемма 2.1.1]), второй интеграл в правой части равенства (34) равен нулю. Учитывая,
что первый интеграл в (34) положителен, отсюда заключаем, что g̃λ,r(λ) 6= 0. Теперь
равенства (32) и (28) показывают, что f = 0 в O. Таким образом, Ψ(g) = 0 для всех
g ∈ Lp(O) и теорема 2 доказана. ¤
1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. – М.: Наука, 1965. – 346 с.
2. Edwards R.E. Fourier series a modern introduction. – New York: Springer. – 1982. – 514 p.
3. Loomis L.H. An introduction to abstrtact harmonic analysis. – New Jersey.: Princeton. – 1953. –
321 p.
4. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. – Dordrecht: Kluwer, 2003. – 454 p.
5. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces
and the Heisenberg Group. – London: Springer, 2009. – 671 p.
6. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V.Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces, – Basel.: Birkhäuser,
2013. – 592 p.
7. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: – Мир,
1974. – 523 с.
8. Очаковская О.А. Теоремы о шаровых средних для решений уравнения Гельмгольца на неогра-
ниченных областях // Изв. РАН. Сер. матем. – 2012. – Т. 76. – № 2. – С. 161–170
9. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: В
4-х т. – Т. 1. – М.: Мир, 1986. – 462 с.
O.A. Ochakovskaya
Approximation in Lp by linear combinations of indicators of balls.
We investigate an approximation of functions on subsets of Rn in the space Lp with 2 6 p < ∞ by
linear combinations of indicator of balls. We consider the case where the radii of balls are proportional
to positive zeros of the Bessel function.
Keywords: Wiener’s approxomation theorem, approximation by shifts.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
ochakovskaja@yandex.ua
Получено 30.04.14
140
содержание
Том 28
Донецк, 2014
Основан в 1997г.
|