Динамика жидкого эллипсоида с массово-геометрическими параметрами планеты Юпитер

Получены уравнения движения для задачи двух тел, одно из которых – жидкий эллипсоид переменной вязкости, совершающий однородное вихревое движение, а другое – твердый однородный шар. Для решения уравнений использован численный метод Рунге–Кутта. Вк ачестве примера приведен расчет движения системы с м...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автори:	Андрюхин, А.И., Судаков, С.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2015
Назва видання:	Труды Института прикладной математики и механики
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124223
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Динамика жидкого эллипсоида с массово-геометрическими параметрами планеты Юпитер / А.И. Андрюхин, С.Н. Судаков // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 10-19. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124223
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1242232017-09-23T03:03:51Z Динамика жидкого эллипсоида с массово-геометрическими параметрами планеты Юпитер Андрюхин, А.И. Судаков, С.Н. Получены уравнения движения для задачи двух тел, одно из которых – жидкий эллипсоид переменной вязкости, совершающий однородное вихревое движение, а другое – твердый однородный шар. Для решения уравнений использован численный метод Рунге–Кутта. Вк ачестве примера приведен расчет движения системы с массово-геометрическими параметрами системы Юпитер–Солнце. The problem of two bodes, one of which is the liquid ellipsoid and other is the homogeneous rigid ball, is investigating in this paper. The motion of liquid ellipsoid assumes to be uniform rotational flow, and the liquid has the stratified viscosity that makes possible such motion. The equations of motions are obtained and solved by Runge–Kutta method for mass-geometric parameters of Jupiter-Sun system. 2015 Article Динамика жидкого эллипсоида с массово-геометрическими параметрами планеты Юпитер / А.И. Андрюхин, С.Н. Судаков // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 10-19. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124223 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Получены уравнения движения для задачи двух тел, одно из которых – жидкий эллипсоид переменной вязкости, совершающий однородное вихревое движение, а другое – твердый однородный шар. Для решения уравнений использован численный метод Рунге–Кутта. Вк ачестве примера приведен расчет движения системы с массово-геометрическими параметрами системы Юпитер–Солнце.
format	Article
author	Андрюхин, А.И. Судаков, С.Н.
spellingShingle	Андрюхин, А.И. Судаков, С.Н. Динамика жидкого эллипсоида с массово-геометрическими параметрами планеты Юпитер Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Андрюхин, А.И. Судаков, С.Н.
author_sort	Андрюхин, А.И.
title	Динамика жидкого эллипсоида с массово-геометрическими параметрами планеты Юпитер
title_short	Динамика жидкого эллипсоида с массово-геометрическими параметрами планеты Юпитер
title_full	Динамика жидкого эллипсоида с массово-геометрическими параметрами планеты Юпитер
title_fullStr	Динамика жидкого эллипсоида с массово-геометрическими параметрами планеты Юпитер
title_full_unstemmed	Динамика жидкого эллипсоида с массово-геометрическими параметрами планеты Юпитер
title_sort	динамика жидкого эллипсоида с массово-геометрическими параметрами планеты юпитер
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2015
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124223
citation_txt	Динамика жидкого эллипсоида с массово-геометрическими параметрами планеты Юпитер / А.И. Андрюхин, С.Н. Судаков // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 10-19. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT andrûhinai dinamikažidkogoéllipsoidasmassovogeometričeskimiparametramiplanetyûpiter AT sudakovsn dinamikažidkogoéllipsoidasmassovogeometričeskimiparametramiplanetyûpiter
first_indexed	2025-07-09T01:04:23Z
last_indexed	2025-07-09T01:04:23Z
_version_	1837129340090843136
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ. 2015. Том 29 УДК 531.38 c©2015. А.И. Андрюхин, С.Н. Судаков ДИНАМИКА ЖИДКОГО ЭЛЛИПСОИДА С МАССОВО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ ПЛАНЕТЫ ЮПИТЕР Получены уравнения движения для задачи двух тел, одно из которых – жидкий эллипсоид пере- менной вязкости, совершающий однородное вихревое движение, а другое – твердый однородный шар. Для решения уравнений использован численный метод Рунге–Кутта. В качестве примера приведен расчет движения системы с массово-геометрическими параметрами системы Юпитер– Солнце. Ключевые слова: задача двух тел, жидкий эллипсоид, однородное вихревое движение. Начиная с Ньютона, задача о вращении жидких гравитирующих эллипсоидов привлекала внимание многих ученых и была подробно исследована [1, 2, 5, 6, 8, 9]. Гораздо менее изучены важные для астрономии задачи о движении нескольких вза- имогравитирующих жидких и твердых тел. Здесь широко известна проблема Роша об определении формы Луны [6]. Е.В. Петкевичем [3–4] получены уравнения движе- ния для задачи двух жидких тел. Поскольку эти проблемы имеют фундаментальное значение для теории вращающихся звезд и жидких планет, представляется важным продолжить эти исследования. Ниже рассмотрена задача о движении двух тел, одно из которых представляет собой жидкий эллипсоид, а второе – твердый однородный шар. Частицы жидко- сти притягиваются друг к другу и к шару по закону Ньютона. Жидкость считает- ся несжимаемой и обладающей переменной вязкостью, допускающей ее однородное вихревое движение [7]. Составлены уравнения движения, которые решались чис- ленным методом Рунге–Кутта. В качестве примера рассмотрен случай движения с массово-геометрическими параметрами системы Юпитер–Солнце. 1. Системы координат. Обозначим через Oξ1ξ2ξ3 неподвижную систему ко- ординат, начало которой совпадает с общим центром масс рассматриваемой меха- нической системы. Через O1η1η2η3 обозначим подвижную прямоугольную систему координат, начало которой O1 совпадает с центром масс жидкого эллипсоида, а оси параллельны соответствующим осям системы Oξ1ξ2ξ3. Через O1x1x2x3 обозначим систему координат, оси которой являются главными осями жидкого эллипсоида. 2. Координаты, скорости и ускорения центра масс жидкости. Положе- ние точки O1 определим сферическими координатами r1, ϕ1, θ1, где θ1 – угол между плоскостью Oξ1ξ2 и радиусом-вектором OO1; ϕ1 – угол между полуосью Oξ1 и про- екцией вектора OO1 на плоскость Oξ1ξ2. Тогда координаты точки O1 в осях Oξ1ξ2ξ3 выразятся формулами ξ1 = r1 cosϕ1 cos θ1, ξ2 = r1 sinϕ1 cos θ1, ξ3 = r1 sin θ1. (1) 10 Динамика жидкого эллипсоида Рис. 1. Используемые системы координат Дифференцируя формулы (1) по времени t, находим проекции скорости центра масс жидкости (точки O1) на оси Oξ1ξ2ξ3 u1 = ṙ1 cosϕ1 cos θ1 − ϕ̇1r1 sinϕ1 cos θ1 − θ̇1r1 cosϕ1 sin θ1, u2 = ṙ1 sinϕ1 cos θ1 + ϕ̇1r1 cosϕ1 cos θ1 − θ̇1r1 sinϕ1 sin θ1, (2) u3 = ṙ1 sin θ1 + θ̇1r1 cos θ1. Дифференцируя равенства (2) по t, находим проекции ускорения точки O1 на оси Oξ1ξ2ξ3 w1 = r̈1 cosϕ1 cos θ1 − r1ϕ̈1 sinϕ1 cos θ1 − r1θ̈1 cosϕ1 sin θ1− −r1(ϕ̇2 1 + θ̇21) cosϕ1 cos θ1 + 2r1ϕ̇1θ̇1 sinϕ1 sin θ1− −2ṙ1ϕ̇1 sinϕ1 cos θ1 − 2ṙ1θ̇1 cosϕ1 sin θ1, w2 = r̈1 sinϕ1 cos θ1 + r1ϕ̈1 cosϕ1 cos θ1 − r1θ̈1 sinϕ1 sin θ1− (3) −r1(ϕ̇2 1 + θ̇21) sinϕ1 cos θ1 − 2r1ϕ̇1θ̇1 cosϕ1 sin θ1+ +2ṙ1ϕ̇1 cosϕ1 cos θ1 − 2ṙ1θ̇1 sinϕ1 sin θ1, w3 = r̈1 sin θ1 + r1θ̈1 cos θ1 − r1θ̇ 2 1 sin θ1 + 2ṙ1θ̇1 cos θ1. Положение осей O1x1x2x3 относительно O1η1η2η3 определим углами Кардана α, β, ϕ. Матрица перехода A = (aij) от осей O1η1η2η3 к O1x1x2x3 имеет вид A = ⎛⎝ cos β cosϕ cosα sinϕ+ sinα sin β cosϕ sinα sinϕ− cosα sinβ cosϕ − cos β sinϕ cosα cosϕ− sinα sin β sinϕ sinα cosϕ+ cosα sin β sinϕ sin β − sinα cosβ cosα cosβ ⎞⎠ . 11 А.И. Андрюхин, С.Н. Судаков Используя матрицу перехода A, находим проекции ускорения точки O1 на оси O1x1x2x3 wxi = 3∑ j=1 aijwj, i = 1, 2, 3. (4) 3. Координаты центра масс шара. Центр масс шара обозначим через O2. Предполагая, что внешние силы на систему не действуют и центр масс системы неподвижен, получаем соотношение m1r1 = m2r2, (5) где m1 – масса жидкого эллипсоида, m2 – масса шара, ri = \|OOi\|, i = 1, 2. Точки O, O1, O2 при движении лежат на одной прямой. Используя (5), находим координаты точки O2 в осях O1η1η2η3: η21 = −m−1r1 cosϕ1 cos θ1, η22 = −m−1r1 sinϕ1 cos θ1, (6) η23 = −m−1r1 sin θ1, где m = m2 m1+m2 . Тогда в осях O1x1x2x3 точка O2 будет иметь координаты x2i = 3∑ j=1 aijη2j , i = 1, 2, 3. (7) 4. Гравитационные силы, действующие на жидкость со стороны шара. Проекции на оси O1x1x2x3 силы, действующей на единичный объем жидкости со стороны шара, определяются формулами fi = Gρm2 x̃2i − x̃i r2[(x̃21 − x̃1)2 + (x̃22 − x̃2)2 + (x̃23 − x̃3)2]3/2 , i = 1, 2, 3, где G – гравитационная постоянная, ρ – плотность жидкости, r2 = x221 + x222 + x223, x̃2i = x2i/r, x̃i = xi/r, x1, x2, x3 – координаты рассматриваемой частицы жидкости в осях Ox1x2x3. 5. Линеаризация. В дальнейшем будем рассматривать только те случаи, ко- гда расстояние r между точками O1 и O2 настолько велико, что можно провести линеаризацию величин fi по x̃i, i = 1, 2, 3. Такая линеаризация необходима для существования однородного вихревого движения жидкости и сохранения ее эллип- соидальной формы. После линеаризации будем иметь f1 = Gρm2 x21 r3 + Gρm2 r5 (3x221 + r2)x1 + 3Gρm2 x21x22 r5 x2 + 3Gρm2 x21x23 r5 x3 (123), где символ циклической перестановки индексов (123) не применяется к величине m2 и к первому индексу величин x21, x22, x23. 12 Динамика жидкого эллипсоида 6. Уравнения гидродинамики.Движение жидкости переменной вязкости опи- сывается уравнениями [7] ∂v ∂t + (v · ∇)v = −1 ρ ∇p+ ν(x, c)∆v+ 2σ∇ν− −w− ω̇ × x− ω × (ω × x)− 2ω × v−∇Φ+ 1 ρ f, (8) divv = 0, где v = (v1, v2, v3) – скорость движения жидкости относительно осей O1x1x2x3, x = (x1, x2, x3) – координатный вектор, ρ – плотность жидкости, p – давление, ω – угловая скорость осей O1x1x2x3, c = (c1, c2, c3) – полудлины главных осей жидкого эллипсоида, w = (wx1 , wx2 , wx3) – абсолютное ускорение точки O1, f = = (f1, f2, f3). Кинематическую вязкость ν(x, c) определяем выражением ν = ν0 ( 1− x21 c21 − x22 c22 − x23 c23 ) , где ν0 = const. Границу жидкости в осях O1x1x2x3 задаем уравнением x21 c21 + x22 c22 + x23 c23 = 1. Следовательно, на границе жидкости ν = 0. Компоненты тензора скоростей деформаций жидкости σ имеют вид σij = 1 2 ( ∂vi ∂xj + ∂vj ∂xj ) , i, j = 1, 2, 3. Потенциал Φ гравитационных сил, порождаемых жидкостью, в ее внутренних точ- ках описывается формулой [2] Φ = πρG(α1x 2 1 + α2x 2 2 + α3x 2 3 − χ0), где αi = c1c2c3 ∞∫ 0 dλ (c2i + λ)D , i = 1, 2, 3, χ0 = c1c2c3 ∞∫ 0 dλ D , D = [(c21 + λ)(c22 + λ)(c23 + λ)]1/2. Замечание. Задание кинематической вязкости как функции координат, на пер- вый взгляд, может показаться неестественным. Однако в дальнейшем будут рас- сматриваться только однородные вихревые движения эллипсоидальной массы жид- кости, при которых вязкость имеет одно и то же значение на каждом эллипсоиде из семейства соосных концентрических эллипсоидов, подобных границе жидкости. 13 А.И. Андрюхин, С.Н. Судаков Частицы жидкости, лежащие в какой-то момент времени на одном из таких эл- липсоидов, никогда не сходят с него. То есть вязкость каждой частицы жидкости остается постоянной. 6. Уравнения движения. В случае однородного вихревого движения компо- ненты скорости v1, v2, v3 частицы жидкости с координатами x1, x2, x3 и давление p ищем в виде v1 = ċ1 c1 x1 − c1 c2 ω∗ 3x2 + c1 c3 ω∗ 2x3 (123), p = −p0(t) ( x21 c21 + x22 c22 + x23 c23 − 1 ) , (9) где ω∗ 1, ω ∗ 2 , ω ∗ 3 и p0(t) – неизвестные функции времени t. Подставляя (9) в уравнения движения жидкости (8), получаем ki0 + ki1x1 + ki2x2 + ki3x3 = 0, i = 1, 2, 3, (10) где ki0 = wxi −Gm2 x2i r3 , i = 1, 2, 3, k11 = c̈1 c1 − ω∗ 3 2 − ω∗ 2 2 − 2p0 ρc21 + 4ν0 ċ1 c31 − ω2 2 − ω2 3 − 2 c3 c1 ω∗ 2ω2 − 2 c2 c1 ω∗ 3ω3+ +2πρGα1 − Gm2 r5 (3x221 − r2) (123), k12 = − ċ1 c2 ω∗ 3 − c1 c2 ω̇∗ 3 − ċ1 c2 ω∗ 3 + c1 c2 ω∗ 1ω ∗ 2+ (11) + 2ν0 c22 c22 − c21 c2c1 ω∗ 3 − ω̇3 + ω1ω2 + 2 c3 c2 ω∗ 1ω2 − 2 ċ2 c2 ω3 − 3Gm2 x21x22 r5 (123), k13 = ċ1 c3 ω∗ 2 + c1 c3 ω̇∗ 2 + ċ1 c3 ω∗ 2 + c1 c3 ω∗ 1ω ∗ 3+ + 2ν0 c23 c21 − c23 c1c3 ω∗ 2 + ω̇2 + ω1ω3 + 2ċ3 c3 ω2 + 2c2 c3 ω∗ 1ω3 − 3Gm2 x21x23 r5 (123), где символ циклической перестановки индексов (123) не распространяется на m2 и первые индексы символов x21, x22, x23. Равенства (10) должны выполняться при любых значениях x1, x2, x3 из области занимаемой жидкостью. Отсюда следуют уравнения kij = 0, i = 1, 2, 3, j = 0, 1, 2, 3, (12) где kij определены выражениями (11). Из условия несжимаемости следует c1c2c3 = R3 = const. (13) Движение осей O1x1x2x3 относительно O1η1η2η3 определяются кинематическими уравнениями, которые запишем в виде α̇ = (ω1 sinϕ− ω2 cosϕ)/ cos β, 14 Динамика жидкого эллипсоида β̇ = ω1 sinϕ+ ω2 cosϕ, (14) ϕ̇ = ω3 − (ω1 sinϕ− ω2 cosϕ)tgβ, где ω1, ω2, ω3 – проекции угловой скорости осей O1x1x2x3 на эти оси. Соотношения (12)–(14) представляют собой систему шестнадцати обыкновенных дифференциальных уравнений относительно шестнадцати неизвестных ω∗ i , ωi, ci, i = 1, 2, 3, p0, α, β, ϕ, r1, ϕ1, θ1, и после задания начальных условий, они полностью описывают движение системы. 7. Уравнения движения в нормальной форме. Уравнения k23 = 0, k32 = 0 (123) представим в виде c2 c3 ω̇∗ 1 + ω̇1 = f23, c3 c2 ω̇∗ 1 + ω̇1 = f32 (123), (15) где f23 = −2ċ2 c3 ω∗ 1 + c2 c3 ω∗ 2ω ∗ 3 + ω2ω3 + 2 c1 c3 ω∗ 2ω3 − 2 ċ3 c3 ω1+ + 2ν0 c23 ( c3 c2 − c2 c3 ) ω∗ 1 − 3Gm2 x22x23 r5 (123), f32 = −2ċ3 c2 ω∗ 1 − c3 c2 ω∗ 2ω ∗ 3 − ω2ω3 − 2 c1 c2 ω∗ 3ω2 − 2 ċ2 c2 ω1− (16) −2ν0 c22 ( c3 c2 − c2 c3 ) ω∗ 1 + 3Gm2 x22x23 r5 (123). Разрешая систему (15) относительно ω∗ 1, ω1, получаем ω̇∗ 1 = c2c3 c22 − c23 (f23 − f32), ω̇1 = c22f32 − c23f23 c22 − c23 (123). (17) Теперь исключим переменные p0 и c̈3 из уравнений kii = 0, i = 1, 2. Из уравнения k33 = 0 находим 2p0 ρ = c̈3c3 + c23f33, (18) где f33 = −ω∗ 1 2 − ω∗ 2 2 − ω2 1 − ω2 2 − 2 c2 c3 ω∗ 1ω1 − 2 c1 c3 ω∗ 2ω2+ +4ν0 ċ3 c33 + 2πρGα3 − Gm2 r5 (3x223 − r2) (123). Из условия (13) следуют равенства c3 = R3c−1 1 c−1 2 , ċ3 = −R3(c−2 1 c−1 2 ċ1 + c−1 1 c−2 2 ċ2), (19) c̈3 = R3 c1c2 ( − c̈1 c1 − c̈2 c2 + 2ċ21 c21 + 2ċ1ċ2 c1c2 + 2ċ22 c22 ) . (20) 15 А.И. Андрюхин, С.Н. Судаков Используя (20), запишем выражение (18) в виде 2p0 ρ = R6 c21c 2 2 ( − c̈1 c1 − c̈2 c2 + 2ċ21 c21 + 2ċ1ċ2 c1c2 + 2ċ22 c22 ) + c23f33. (21) При помощи (21), представим уравнения k11 = 0 и k22 = 0 в виде( 1 + R6 c41c 2 2 ) c̈1 c1 + R6 c41c 2 2 c̈2 c2 = F1, R6 c21c 4 2 c̈1 c1 + ( 1 + R6 c21c 4 2 ) c̈2 c2 = F2, (22) где F1 = 2R6 c41c 2 2 ( ċ21 c21 + ċ1ċ2 c1c2 + ċ22 c22 ) + c23 c21 f33 − f11, (23) F2 = 2R6 c21c 4 2 ( ċ21 c21 + ċ1ċ2 c1c2 + ċ22 c22 ) + c23 c22 f33 − f22. Разрешая систему (22) относительно c̈1/c1 и c̈2/c2, получаем c̈1 c1 = [( 1 + R6 c21c 4 2 ) F1 − R6 c41c 2 2 F2 ] ∆−1, c̈2 c2 = [( 1 + R6 c41c 2 2 ) F2 − R6 c21c 4 2 F1 ] ∆−1, (24) ∆ = 1 + R6 c41c 2 2 + R6 c21c 4 2 . Уравнения k0i = 0, i = 1, 2, 3 записываем в виде wxi = Gm2 x2i r3 , i = 1, 2, 3, (25) где wxi , i = 1, 2, 3 – проекции абсолютного ускорения точки O1 на оси O1x1x2x3, которые определяются формулами (3), (4). Величины x2i, i = 1, 2, 3, определены формулами (7). Умножая уравнения (25) слева на матрицу AT , обратную матрице A, приводим их к виду wi = Gm2 r3 3∑ j=1 ajix2j i = 1, 2, 3. Учитывая (7), перепишем эти уравнения так wj = Gm2 r3 η2j , j = 1, 2, 3, где η2j определены формулами (6). Используя (3) и (6), запишем последние уравне- ния в виде r̈1 cosϕ1 cos θ1 − r1ϕ̈1 sinϕ1 cos θ1 − r1θ̈1 cosϕ1 sin θ1− −r1(ϕ̇2 1 + θ̇21) cosϕ1 cos θ1 + 2r1ϕ̇1θ̇1 sinϕ1 sin θ1 − 2ṙ1ϕ̇1 sinϕ1 cos θ1− 16 Динамика жидкого эллипсоида −2ṙ1θ̇1 cosϕ1 sin θ1 = −Gm2 mr3 r1 cosϕ1 cos θ1, r̈1 sinϕ1 cos θ1 + r1ϕ̈1 cosϕ1 cos θ1 − r1θ̈1 sinϕ1 sin θ1− −r1(ϕ̇2 1 + θ̇21) sinϕ1 cos θ1 − 2r1ϕ̇1θ̇1 cosϕ1 sin θ1 + 2ṙ1ϕ̇1 cosϕ1 cos θ1− −2ṙ1θ̇1 sinϕ1 sin θ1 = −Gm2 mr3 r1 sinϕ1 cos θ1, r̈1 sin θ1 + θ̈1r1 cos θ1 − θ̇21r1 sin θ1 + 2ṙ1θ̇1 cos θ1 = −Gm2 mr3 r1 sin θ1. Разрешая эти уравнения относительно r̈1, ϕ̈1, θ̈1, получаем r̈1 = r1(ϕ̇ 2 1 cos 2 θ1 + θ̇21)− Gm2 mr3 r1, ϕ̈1r1 cos θ1 = 2r1ϕ̇1θ̇1 sin θ1 − 2ṙ1ϕ̇1 cos θ1, (26) θ̈1r1 = −r1ϕ̇2 1 cos θ1 sin θ1 − 2ṙ1θ̇1. Уравнения (26) представляют собой уравнения движения в задаче двух тел. Второе из этих уравнений может быть проинтегрировано и представлено в виде ϕ̇1r 2 1 cos 2 θ1 = const. Уравнения (14), (17), (24), (26) разрешены относительно старших производных и представляют собой систему четырнадцати обыкновенных дифференциальных уравнений относительно четырнадцати неизвестных α, β, ϕ, ω∗ i , ωi, i = 1, 2, 3, c1, c2, r1, ϕ1, θ1, которая после задания начальных условий, полностью описывает дви- жение рассматриваемой механической системы. При численном интегрировании уравнений (14), (17), (24), (26) вводим безраз- мерные переменные τ = t/T , ζi = ci/R, ui = dζi/dτ , ω̃∗ i = Tω∗ i , ω̃i = Tωi, i = 1, 2, 3, r̃1 = r1/R, где T – размерность времени, R = 3 √ c1c2c3. Для решения уравнений воспользуемся численным методом Рунге–Кутта 4–5. На рис. 2 приведены графики решения ζ1(τ), ζ2(τ) для системы с массово-геометрическими параметрами T = 24 · 602 с, m1 = 1.899414000 · 1027 кг, m2 = 1.988686458 · 1030 кг, R = 6.371000685 · 106м, ρ = 1327.708338 кг/м3, G = 6.673 · 10−11м3/(кг · с2), ν0 = 5 · 1010 м2/с и следующими начальными данными при τ = 0: ζ1 = 1.0384178705, ζ2 = 1.038417869425, dζ1 dτ = 0, dζ2 dτ = 0, Ω1 = −0, Ω2 = 0, Ω3 = 15.18589420, ω1 = 0, ω2 = 0, ω3 = 0.00004832107001, 17 А.И. Андрюхин, С.Н. Судаков Рис. 2. Графики ζ1(τ ) и ζ2(τ ) при ν0 = 5 · 1010 м2/с; ζ1(τ ) – верхний график, ζ2(τ ) – нижний график Рис. 3. Графики ζ1(τ ) и ζ2(τ ) при ν0 = 1.2 · 1014 м2/с; ζ1(τ ) – верхний график, ζ2(τ ) – нижний график α = 0, β = 0, ϕ = 0, r1 = 4670670.751, ϕ1 = 0, θ1 = 0, dϕ1 dτ = 0.00004832107001, dθ1 dτ = 0. На рис. 3 показаны графики переменных ζ1(τ) и ζ2(τ) при тех же значениях па- раметров и тех же начальных условиях, но при значительно более высоком значении кинематической вязкости ν0 = 1.2 · 1014 м2/с. Выводы. Составлены уравнения движения для задачи двух тел, одно из кото- рых – жидкий эллипсоид, а другое – твердый однородный шар. Составлена ком- пьютерная программа для решения уравнений движения. Сделаны пробные расче- ты плоского движения при массово-геометрических параметрах системы Юпитер Солнце. Пробные расчеты показали, что полученные уравнения движения доста- точно хорошо решаются численным методом Рунге–Кутта. Однако расчеты требу- ют значительных затрат машинного времени, что связано с наличием особенности в уравнениях (17) при c1 = c2. Представляет интерес провести более детальных расче- ты на больших временных интервалах, а также исследовать численно общий случай движения. 1. Борисов А.В., Мамаев И.С. (ред.) Динамика жидких и газовых эллипсоидов. – М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2010. – 364 с. 2. Ламб Г. Гидродинамика. – М.-Л.: Гостехиздат, 1947. – 928 с. 3. Петкевич Е.В. Задача двух жидких тел // Письма в Астрон. журн. – 3, № 9. – 1977. – С. 424– 428. 4. Петкевич Е.В. Уравнения внешней задачи двух жидких тел // Письма в Астрон. журн. – 3, № 11. – 1977. – С. 522–525. 18 Динамика жидкого эллипсоида 5. Стеклов В.А. Работы по механике. – М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2011. – 492 с. 6. Субботин М.Ф. Курс небесной механики. – М.: Гостехиздат, 1949. – 3. – 289 с. 7. Судаков С.Н. О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов переменной вязкости // Механика твердого тела. – 2002. – Вып. 32. – С. 217–226. 8. Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. – М.: Мир, 1973. – 288 с. 9. Ядрицкий В.С. Теория фигур небесных тел. – М.-Ижевск: Институт компьютерных исследова- ний, 2011. – 298 с. A. I. Andrukhin, S.N. Sudakov The dynamics of liquid ellipsoid with the mass-geometrical parameters of the planet Jupiter. The problem of two bodes, one of which is the liquid ellipsoid and other is the homogeneous rigid ball, is investigating in this paper. The motion of liquid ellipsoid assumes to be uniform rotational flow, and the liquid has the stratified viscosity that makes possible such motion. The equations of motions are obtained and solved by Runge–Kutta method for mass-geometric parameters of Jupiter-Sun system. Keywords: the problem of two bodies, ellipsoidal mass of liquid, uniform rotational flow. Ин-т прикл. математики и механики, Донецк sudakov@iamm.su Получено 19.12.14 19

Динамика жидкого эллипсоида с массово-геометрическими параметрами планеты Юпитер

Репозитарії

Схожі ресурси