Новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле
Исследуются условия существования полиномиальных решений дифференциальных уравнений задачи о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Построены два новых решения данной задачи, которые характеризуются функциями, полученными обращением эллиптических интегралов Лежандра т...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124227 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле / А.В. Зыза // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 51-59. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124227 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242272017-09-23T03:03:26Z Новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле Зыза, А.В. Исследуются условия существования полиномиальных решений дифференциальных уравнений задачи о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Построены два новых решения данной задачи, которые характеризуются функциями, полученными обращением эллиптических интегралов Лежандра третьего рода. New existence conditions of polynomial solutions to differential equations of gyrostat movement in a magnetic field with allowance made for Barnett-London effect are under review. Two new solutions to this problem have been produced which are characterized by the functions obtained by inversing elliptical Legendre integrals of the third type. 2015 Article Новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле / А.В. Зыза // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 51-59. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124227 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследуются условия существования полиномиальных решений дифференциальных уравнений задачи о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Построены два новых решения данной задачи, которые характеризуются функциями, полученными обращением эллиптических интегралов Лежандра третьего рода. |
| format |
Article |
| author |
Зыза, А.В. |
| spellingShingle |
Зыза, А.В. Новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Зыза, А.В. |
| author_sort |
Зыза, А.В. |
| title |
Новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле |
| title_short |
Новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле |
| title_full |
Новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле |
| title_fullStr |
Новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле |
| title_full_unstemmed |
Новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле |
| title_sort |
новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124227 |
| citation_txt |
Новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле / А.В. Зыза // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 51-59. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT zyzaav novyerešeniâuravnenijdviženiâgirostatavmagnitnompole |
| first_indexed |
2025-07-09T01:04:53Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:04:53Z |
| _version_ |
1837129371117158400 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ. 2015. Том 29
УДК 531.38
c©2015. А.В. Зыза
НОВЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Исследуются условия существования полиномиальных решений дифференциальных уравнений за-
дачи о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Построены два
новых решения данной задачи, которые характеризуются функциями, полученными обращением
эллиптических интегралов Лежандра третьего рода.
Ключевые слова: полиномиальное решение, гиростат, эффект Барнетта–Лондона, эллипти-
ческие интегралы Лежандра.
1. Введение. Исследование полиномиальных решений в обобщенных задачах
динамики (задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироско-
пических сил [1, 2] и задачи о движении гироскопа в магнитном поле [3–5]) основано
на результатах, полученных в задаче о движении тяжелого гиростата с неподвижной
точкой [6, 7]. Для уравнений Эйлера–Пуассона построены несколько классов поли-
номиальных решений. К первому классу относятся полиномиальные решения, рас-
смотренные В.А. Стекловым, Н. Ковалевским, Д.Н. Горячевым [6]. Второй класс ха-
рактеризуется структурой решений, предложенной А.И. Докшевичем [7]. Для обоб-
щенных задач динамики изучены оба класса полиномиальных решений (см., на-
пример, [8–12]). В данной работе продолжено изучение полиномиальных решений
начатое в статье [12]. Получены два новых решения задачи о движении гиростата в
магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона.
2. Постановка задачи. Преобразование дифференциальных уравнений
движения. При исследовании движения гиростата с неподвижной точкой в маг-
нитном поле существуют различные подходы его моделирования [2, 3]. Рассмат-
риваемый в статье эффект Барнетта–Лондона состоит в том, что первоначально
ненамагниченные и сверхпроводящие твердые тела при при движении в магнитном
поле намагничиваются вдоль оси вращения. Возникающая при вращении намагни-
ченность характеризуется магнитным моментом B = Bω, где ω – угловая скорость,
B – симметричный тензор третьего порядка. Магнитный момент тела при взаимо-
действии с внешним магнитным полем будет стремиться к направлению вектора
напряженности магнитного поля, что приводит к прецессии вектора кинетического
момента тела вокруг вектора поля [3].
Уравнения движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–
Лондона и момента ньютоновских сил в векторном виде [2] запишем так
A
.
ω = (Aω + λ)×ω +Bω × ν + ν × (Cν − s),
.
ν = ν × ω. (1)
Эти уравнения допускают два первых интеграла
(Aω + λ) · ν = k0, ν · ν = 1. (2)
51
А.В. Зыза
Изменении полной энергии гиростата определяется соотношением
[(Aω · ω)− 2(s · ν) + (Cν · ν)]• = 2(Bω × ν) · ω, (3)
поэтому в общем случае уравнения (1) не имеют интеграла энергии.
В уравнениях (1)–(3) обозначения таковы: A – тензор инерции гиростата, пост-
роенных в неподвижной точке; ω = (ω1, ω2, ω3) – угловая скорость гиростата;
ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор, характеризующий направление магнитного по-
ля; λ = (λ1, λ2, 0) гиростатический момент; s = (s1, s2, 0) – вектор, коллинеарный
вектору обобщенного центра масс; B и C – постоянные симметричные матрицы
третьего порядка; k0 – постоянная интеграла площадей; точка над переменными
означает относительную производную.
Поскольку для уравнений (1) в общем случае допустимы только два первых
интеграла (2), то для этих дифференциальных уравнений недостаточно примене-
ние метода Якоби построения дополнительного первого интеграла [6]. Если же для
динамического уравнения из (1) имеет место равенство B = α∗E (E – единичная
матрица, α∗ – некоторый параметр), то из соотношения (3) вытекает интеграл энер-
гии для уравнений (1). Тогда уравнения (1) будут относиться к уравнениям класса
Кирхгофа [1] и полученные для уравнений (1) результаты необходимо будет сопо-
ставлять с результатами [2].
Запишем уравнения (1) и первые интегралы (2) в скалярном виде, полагая A =
diag(A1, A2, A3), B = diag(B1, B2, B3), C = diag(C1, C2, C3):
A1ω̇1 = (A2 −A3)ω2ω3 + λ2ω3 +B2ω2ν3 −B3ω3ν2 + s2ν3 + (C3 − C2)ν2ν3,
A2ω̇2 = (A3 −A1)ω1ω3 − λ1ω3 +B3ω3ν1 −B1ω1ν3 − s1ν3 + (C1 − C3)ν1ν3,
A3ω̇3 = (A1 −A2)ω1ω2 + λ1ω2 − λ2ω1 +B1ω1ν2 −B2ω2ν1+
+(C2 − C1)ν1ν2 + s1ν2 − s2ν1;
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ (4)
ν̇1 = ω3ν2 − ω2ν3, ν̇2 = ω1ν3 − ω3ν1, ν̇3 = ω2ν1 − ω1ν2; (5)
(A1ω1 + λ1)ν1 + (A2ω2 + λ2)ν2 +A3ω3ν3 = k0, ν21 + ν22 + ν23 = 1. (6)
Поставим задачу об исследовании условий существования у уравнений (4), (5)
решений вида
ω1 = σ2, ω2 = Q(σ) =
n∑
i=0
biσ
i, ω2
3 = R(σ) =
m∑
j=0
cjσ
i,
ν1 = ϕ(σ) =
l∑
i=0
aiσ
i, ν2 = ψ(σ) =
n1∑
j=0
gjσ
j . ν3 = κ(σ)σ−1ω3,
κ(σ) =
m1∑
i=0
fiσ
i,
(7)
где n,m, l, n1,m1 – натуральные числа; bi, cj , ai, gj , fi – неизвестные постоянные, под-
лежащие определению.
Указанный класс решений является обобщением класса полиномиальных реше-
ний, рассмотренный А.И. Докшевичем [7].
52
Новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле
Подставим выражения (7) в уравнения (4), (5) и геометрический интеграл из (6):
σ̇ = (ϕ′(σ))−1(ψ(σ) −Q(σ)κ(σ)σ−1)
√
R(σ); (8)
ψ′(σ)(ψ(σ)σ −Q(σ)κ(σ)) = ϕ′(σ)σP (σ), P (σ) = σκ(σ)− ϕ(σ),
(R(σ)(κ(σ)σ−1)2)′σP (σ) = 2ψ′(σ)κ(σ)(Q(σ)ϕ(σ) − ψ(σ)σ2);
}
(9)
2A1σ
2P (σ) = ψ′(σ)(κ(σ){(C3 − C2)ψ(σ) +B2Q(σ) + s2}+
+{(A2 −A3)Q(σ)−B3ψ(σ) + λ2}σ); (10)
A2Q
′(σ)σP (σ) = ψ′(σ)(κ(σ){(C1 − C3)ϕ(σ) −B1σ
2 − s1}+
+{(A3 −A1)σ
2 +B3ϕ(σ)− λ1}σ);
A3R
′(σ)P (σ) = 2ψ′(σ)(ψ(σ){(C2 − C1)ϕ(σ) +B1σ
2 + s1}+
+Q(σ){(A1 −A2)σ
2 −B2ϕ(σ) + λ1} − λ2σ
2 − s2ϕ(σ));
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ (11)
(ϕ2(σ) + ψ2(σ)− 1)σ2 +R(σ)κ2(σ) = 0. (12)
В уравнениях (8)–(11) штрихом обозначено дифференцирование по независимой пе-
ременной σ. Если функции Q(σ), R(σ), ϕ(σ), ψ(σ),κ(σ) определены, то зависимость
σ от времени устанавливается из дифференциального уравнения (8).
3. Одно новое частное решение. Рассмотрим случай когда в (7) n = 3,
m = 6, l = 2, n1 = 4,m1 = 2. Тогда
ω1 = σ2, ω2 = Q(σ) = b3σ
3 + b2σ
2 + b1σ + b0,
ω2
3 = R(σ) = c6σ
6 + c5σ
5 + c4σ
4 + c3σ
3 + c2σ
2 + c1σ + c0,
ν1 = ϕ(σ) = a2σ
2 + a1σ + a0, ν2 = ψ(σ) = g4σ
4 + g3σ
3 + g2σ
2 + g1σ + g0,
ν3 = κ(σ)σ−1ω3, κ(σ) = f2σ
2 + f1σ + f0.
(13)
Подставим полиномы Q(σ), ϕ(σ), ψ(σ),κ(σ) из (13) в первое уравнение из (9) и
динамическое уравнение (10). Полученные соотношения при g1
= 0, g2
= 0, g3
= 0
могут быть тождествами по σ только при выполнении уравнений
C2 = C3, B2 = B3, A2 = A3, f0 = 0, b0 = 0, g4 − b3f2 = 0,
g3 − b3f1 − b2f2 = 0, g2 = b2f1 + b1f2, f1s2 −B3g0 + λ2 = 0.
(14)
С учетом (14) уравнение (10) упрощается
P (σ) = µ(2A1)
−1ψ′(σ), µ = f2s2 +B3(f1b1 − g1). (15)
Соотношение (15) позволяет упростить уравнения исследуемой системы (9), (11).
Исключая функцию P (σ) из уравнений (9), (11), подставим в полученные уравнения
и уравнения (12), (15) выражения компонент векторов ω,ν из (13). Требования того,
чтобы полученные равенства при условиях (14) были тождествами по σ приводит к
системе алгебраических уравнений на параметры задачи и коэффициенты решения
53
А.В. Зыза
(13):
A1(g1 − b1f1)− a2µ = 0, 2A1g0 − a1µ = 0,
2A1(f1 − a2)− 3g3µ = 0, A1f2 − 2g4µ = 0,
A1a1 + g2µ = 0, 2A1a0 + g1µ = 0
2c6f2µ+A1g4 = 0, µ(6c6f1 + 7c5f2) + 4A1(g3 − b3a2) = 0,
µ(5c5f1 + 6c4f2) + 4A1(g2 − b3a1 − b2a2) = 0,
µ(4c4f1 + 5c3f2) + 4A1(g1 − b3a0 − b2a1 − b1a2) = 0,
µ(3c3f1 + 4c2f2) + 4A1(g0 − b2a0 − b1a1) = 0,
µc2f1 − 2A1b1a0 = 0, B1 − αa2 = 0, 3µA3b3 − 2A1(αf2a1 − γ0) = 0,
βg0 + s2a0 = 0, µA3b2 −A1(βf2 + a1(αf1 +B3)) = 0,
c1 = 0, c0 = 0, a20 + g20 − 1 = 0,
µA3b1 − 2A1(βf1 +B3a0 − λ1) = 0,
3µA3c6 + 2A1(αg4a1 − γ0b3) = 0,
5µA3c5 + 4A1(βg4 + (αg3 +B3b3)a1 − γ0b2) = 0,
µA3c4 +A1(βg3 + (αg2 +B3b2)a1 − γ0b1 − ηb3) = 0,
3µA3c3 + 4A1(βg2 + (αg1 +B3b1)a1 − ηb2 + λ2 + s2a2) = 0,
µA3c2 + 2A1(βg1 + (αg0 + s2)a1 − ηb1) = 0.
(16)
Здесь
α = C1 − C3, β = αa0 − s1, γ0 = A1 −A3 −B3a2, η = λ1 −B3a0.
Система уравнений (14), (16)совместима относительно параметров A1, A3, B3. За-
пишем решение этой системы так:
α = −β3A3B
2
3
8β0β21
, B1 =
β3B3
16β0
,
s1 =
β2β3β4
√
ξ1B
2
3
8β0β31β7A3
, s2 = −β0β2β
2
3β5B
2
3
β21
√
ξ1ξ2
,
λ1 = −2(8A2
1 − 7A1A3 +A2
3)B3
√
ξ1
β21β7A3
, λ2 =
β0β2β3β5B3√
ξ1ξ2
,
b3 =
√
2ξ2γ
4β2β3β5B3
, b2 =
√
ξ2
2β2β5
, b1 =
√
2ξ2γ
2β1β5
√
ξ1
, b0 = 0,
c6 =
β1
√
ξ1
8β2β5B3
, c5 =
√
2β1β3
√
ξ1
4β2β5γ
, c4 =
β3β6
4β2β5
,
c3 =
√
2β3β4B3
β5γ
, c2 = −β3β4B3
√
ξ1
β21β5β7A3
, c1 = 0, c0 = 0,
g4 =
β21
√
ξ1ξ2
4β2β3β5A3B2
3
, g3 =
√
2β21
√
ξ2γ
2β2β3β5A3B2
3
, g2 =
2β0β1
√
ξ2
β2β5A3B3
,
g1 = −
√
2β21β2β3β4
γA3
√
ξ2
, g0 = −2β0β1β2β3β5
A3
√
ξ1ξ2
,
a2 = − β21
2A3B3
, a1 = −2
√
2β0β1β3
γA3
, a0 =
β4
√
ξ1
β7A
2
3
,
f2 =
√
2β21γ
2β3A3B
2
3
, f1 =
β21
A3B3
, f0 = 0.
(17)
54
Новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле
Здесь
β0 = 2A1 −A3, β1 = 4A1 −A3, β2 = 4A1 − 3A3, β3 = 8A1 −A3,
β4 = 8A1 − 3A3, β5 = 8A1 − 5A3, β6 = 12A1 − 7A3, β7 = 16A1 − 7A3,
ξ1 = −β1β2β7A3, ξ2 = −β1β2β3β5,
γ =
√
β3B3
√
ξ1.
Решение (13) при условиях (17) будет действительным, если
B3 > 0, A1 ∈
(
1
8
A3;
1
4
A3
)
. (18)
Зависимость вспомогательной переменной от времени получим из дифференциаль-
ного уравнения (8)
σ̇ = µ(2A1)
−1σ
√
c6σ4 + c5σ3 + c4σ2 + c3σ + c2. (19)
Рассмотрим числовой пример решения (13), (17), (19) уравнений (4), (5) при
условиях (18).
Пусть
A1 =
5
24
A3, A2 = A3 = a, B1 = −B3
14
, B2 = B3 = b,
C2 = C3, α =
36
7
b2
a
, (a > 0, b > 0).
λ = − b√
33
(4
√
13; 7
√
5; 0), s =
8
√
33
11
b2
a
(
−13
√
13
7
; 7
√
5; 0
)
,
ω1 = σ2, ω2 = Q(σ) =
σ
5
(√
10
8
4
√
11
39
√
a
b
σ2 +
√
65
26
σ +
√
10 4
√
39
11
√
b
a
)
,
ω2
3 =
σ2
5
R∗(σ), R∗(σ) = −
√
429
1248
a
b
σ4 −
√
2
104
4
√
143
3
√
a
b
σ3−
−27
52
σ2 + 4
√
2 4
√
3
143
√
b
a
σ +
8
√
429
11
,
ν1 = − 1
72
a
b
σ2 − 7
√
2
18
4
√
3
143
√
a
b
σ +
2
√
429
99
,
ν2 =
√
5
9
(√
33
960
a2
b2
σ4 +
√
2
80
4
√
11
39
a
b
√
a
b
σ3+
+
7
√
13
260
a
b
σ2 −
√
2
5
4
√
39
11
√
a
b
σ − 7
√
33
11
)
,
ν3 =
√
5
180
a
b
σ
(√
2
4
4
√
143
3
√
a
b
σ + 1
)√
R∗(σ);
(20)
σ̇ = α0σ
√
R∗(σ), α0 =
√
2
4
√
39
11
√
b
a
. (21)
55
А.В. Зыза
Функцию σ = σ(t) находим из дифференциального уравнения (21). Действитель-
ность решения (20), (21) вытекает из условия, что подкоренная функция
R∗ = R∗(σ) в точке σ = 0 принимает положительное значение. При этом зави-
симость σ = σ(t) выражается функциями времени, полученными в результате обра-
щения эллиптических интегралов Лежандра третьего рода.
4. Второе новое частное решение. Случай n = 2, m = 4, l = 3,
n1 = 2,m1 = 2. Пусть теперь полиномы решения (13) имеют вид
ω1 = σ2, ω2 = Q(σ) = b2σ
2 + b1σ + b0,
ω2
3 = R(σ) = c4σ
4 + c3σ
3 + c2σ
2 + c1σ + c0,
ν1 = ϕ(σ) = a3σ
3 + a2σ
2 + a1σ + a0,
ν2 = ψ(σ) = g2σ
2 + g1σ + g0, ν3 = κ(σ)σ−1ω3,
κ(σ) = f2σ
2 + f1σ + f0.
(22)
Подставим полиномы Q(σ), R(σ), ϕ(σ), ψ(σ),κ(σ) из (22) в уравнения (9)–(12) и
потребуем их выполнения при всех σ. Это требование приводит к следующей системе
уравнений на параметры задачи и решения (22):
C1 = C3, A1 = A3, B1 = B3, α̃g2 +B2b2 = 0,
f1(α̃g0 +B2b0 + s2) + (A2 −A1)b0 −B3g0 + λ2 = 0, a3 = f2, c4 = −1,
2A1(f1 − a2)− 2g2d1 = 0, 2g2d0 + g1d1 + 2A1a1 = 0, g1d0 + 2A1a0 = 0,
3d1 + 2A1b2 = 0, 2A1(g2 − b2f1 − b1f2)− 3f2d0 − 2a2d1 = 0, f0 = 0,
2A1(g1 − b1f1 − b0f2)− 2a2d0 − a1d1 = 0, 2A1(g0 − b0f1)− a1d0 = 0,
(5c3f2 − 4f1)d1 − 6f2d0 − 4A1(b2a2 + b1a3 − g2) = 0,
(5c3f2 − 4f1)d0 + (4c2f2 + 3c3f1)d1 − 4A1(b2a1 + b1a2 + b0f2 − g1) = 0,
(4c2f2 + 3c3f1)d0 + (3c1f2 + 2c2f1)d1 − 4A1(b2a0 + b1a1 + b0a2 − g0) = 0,
(3c1f2 + 2c2f1)d0 + (2f2c0 + f1c1)d1 − 4A1(b1a0 + b0a1) = 0,
(2f2c0 + f1c1)d0 − 4A1b0a0 = 0, A2b2d1 +A1B3(f1 − a2) = 0,
A2(2b2d0 + b1d1) + 2A1(f2s1 −B3a1) = 0,
A2b1d0 + 2A1(f1s1 −B3a0 + λ1) = 0,
g2ξ̃0 + b2ξ̃1 − f2(α̃g1 +B2b1)− c4d1 = 0,
4{g1ξ̃0 + b1ξ̃1 − f2(α̃g0 +B2b0)− f2s2} − 4c4d0 − 3c3d1 = 0,
4{g0ξ̃0 + b0ξ̃1 − a1(α̃g1 +B2b1)−
−a2s2 − λ2 + b2ξ̃3} − 3c3d0 − 2c2d1 = 0,
4{g1ξ̃2 − a1(α̃g0 +B2b0)− a1s2 + b1ξ̃3} − 2c2d0 − c1d1 = 0,
4{g0ξ̃2 + b0ξ̃3 − a0s2} − c1d0 = 0,
a20 + g20 − 1 + c0f
2
1 = 0.
(23)
Здесь
α̃ = C3 − C2, d1 = f2(α̃g1 +B2b1)−B3g2 + (A2 −A1)b2,
d0 = f2(α̃g0 +B2b0 + s2) + f1(α̃g1 +B2b1) + (A2 −A1)b1 −B3g1,
ξ̃0 = B3 − α̃a2, ξ̃1 = A1 −A2 −B2a2, ξ̃2 = s1 − α̃a0, ξ̃3 = λ1 −B2a0.
56
Новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле
Считая g1
= 0 и свободными параметрами A3, g2, B2, B3 запишем решение систе-
мы (23)
B2
B3
= k, C1 = C3, B1 = B3, A1 = A3, A2 =
2
3
A3, α̃ = 3kB2
3(2A3)
−1,
g1 = g2(k(k + 1)f2B3)
−1(γ̃ − (2k2 + 4k − 5)A3),
γ̃ = [2(2(k − 1)(2k2 + 3k − 4)A2
3 − k(k + 1)(2k2 + 4k − 5)(g2B3)
2)]1/2,
g0 = ∆1f
−2
2 ,
a3 = f2, a2 = −(2(2k2 + 5k − 6)A3 − 3γ̃)(2k(k + 1)B3)
−1,
a1 = g22(2k(k + 1)f2A
2
3)
−1{−2k(k + 1)(g2B3)
2+
+((6k2 + 16k − 17)A3 − 4γ̃)A3}, a0 = ∆2f
−2
2 ,
b2 = −3g2B3(2A3)
−1, b1 = 3g2((2k
2 + 5k − 4)A3 − γ̃)(2k(k + 1)f2A3)
−1,
b0 = g2(4k(k + 1)2f22A
3
3B3)
−1{(k + 1)(2k(k + 1)(g2B3)
2 + (4γ̃ − (10k2+
+26k − 17)A3)A3)(g2B3)
2 + (2(4k2 + 5k − 8)A3 − (2k + 5)γ̃)A3
3},
c4 = −1, c3 = 2g22B3(f2A3)
−1,
c2 = −g22(k(k + 1)(f2A3)
2)−1{k(k + 1)(g2B3)
2 + ((3k2 + 7k − 5)A3 − γ̃)A3},
c1 = −g22(k(k + 1)2f32A
2
3B3)
−1{(k + 1)(γ̃ − (4k2 + 10k − 5)A3)(g2B3)
2+
+((4k2 + 6k − 9)A3 − (k + 3)γ̃)A2
3}, c0 = ∆3f
−4
2 ,
f1 = −(2k(k + 1)A3B3)
−1(−2k(k + 1)(g2B3)
2+
+(2(2k2 + 5k − 6)A3 − 3γ̃)A3), f0 = 0,
λ1 = g22A3(2k(k + 1)f22 )
−1, s1 = −g22B3(2kf
2
2 )
−1,
λ2 = −g2(6k2(k + 1)3f22A
2
3B3)
−1{2k(k + 1)(k(k + 1)(k + 4)(g2B3)
2−
−((5k3 + 39k2 + 39k − 76)A3 − 2(k + 4)γ̃)A3)(g2B3)
2 + ((2k3(19k + 81)−
−(69k2 + 418k − 288))A3 − (2k3 + 34k2 + 41k − 72)γ̃)A3
3}.
s2 = g2(4k(k + 1)3f22A
3
3)
−1{2k(k + 1)(k(k + 1)(2k + 5)(g2B3)
2−
−((10k3 + 55k2 + 35k − 91)A3 − 2(2k + 5)γ̃)A3)(g2B3)
2+
+((4k3(13k + 45)− (120k2 + 437k − 324))A3−
−(4k3 + 42k2 + 39k − 80)γ̃)A3
3},
(24)
Здесь f2 – действительный корень уравнения
f42 = ∆2
1 +∆2
2 +∆3f
2
1 ,
∆1 = −g2(2k2(k + 1)3(A3B3)
2)−1{k(k + 1)(2k(k + 1)(k + 2)(g2B3)
2+
+(4(k + 2)γ̃ − (10k3 + 48k2 + 25k − 67)A3)A3)(g2B3)
2+
+((2k2(10k2 + 33k − 21)− (151k − 108))A3−
−(2k3 + 16k2 + 14k − 27)γ̃)A3
3},
∆2 = −g22((2k2 + 4k − 5)A3 − γ̃)(4k2(k + 1)2A2
3B3)
−1(−2k(k + 1)(g2B3)
2+
+(4(k2 + 3k − 3)A3 − 3γ̃)A3),
∆3 = −g22(4k2(k + 1)3(A3B3)
2)−1{(k + 1)(2(2k + 5)(k(k + 1)(g2B3)
2 + γ̃A3)−
−(12k3 + 42k2 − 2k − 41)A2
3)(g2B3)
2 + 2(2(k − 1)(2k3 + 14k2 + 13k − 23)A3−
−(4k2 + 8k − 11)γ̃)A3
3}.
Решение (22) при условиях (24) действительно, если, например,
∆3 > 0, 2(k − 1)(2k2 + 3k − 4)A2
3 ≥ k(k + 1)(2k2 + 4k − 5)(g2B3)
2. (25)
57
А.В. Зыза
Зависимость σ от времени находим из (8)
σ̇ = (d1σ + d0)(2A1)
−1
√
c4σ4 + c3σ3 + c2σ2 + c1σ + c0,
d1 = g2B3, d0 = −g2(2k(k + 1)f2A3)
−1{−2k(k + 1)(g2B3)
2+
+(4(k2 + 3k − 3)A3 − 3γ̃)A3}.
(26)
Приведем численный пример решения (22), (24)–(26) уравнений (4), (5).
Пусть a > 0, b > 0 и
A1 = A3 = a, A2 =
2
3
a, B1 = B3 = b, B2 = −2b, C1 = C3, g2 =
a
b
, C3−C2 = −3b2
a
.
λ =
1
2
a3
b2f2
(
1
2
;
1
3
(82 + 25
√
11); 0
)
,
s =
1
4
a2
bf2
(
1; 101 + 30
√
11; 0
)
,
ω1 = σ2, ω2 = Q(σ) =
1
2
(
−3σ2 − 3(3 +
√
11)a
bf
σ +
(37 + 10
√
11)a2
4b2f2
)
,
ω2
3 = R(σ) = −σ4 + 2
a
bf
σ3 +
(5 + 2
√
11)
2
(
a
bf
)2
σ2−
−(7 + 2
√
11)
(
a
bf
)3
σ +
139 + 40
√
11
16
(
a
bf
)4
,
ν1 = ϕ(σ) = fσ3+
+
a
2b
(
(8 + 3
√
11)σ2 − (29 + 8
√
11)a
2bf
σ − 3(42 + 13
√
11)a2
4b2f2
)
,
ν2 = ψ(σ) =
a
b
(
σ2 +
(5 + 2
√
11)
2
a
bf
σ +
(22 + 7
√
11)
4
(
a
bf
)2
)
,
ν3 =
(
fσ +
10 + 3
√
11
2
a
b
)√
R(σ).
(27)
Здесь
f =
4
√
5(2269 + 684
√
11)
8
(a
b
) 3
2
.
Так как зависимость σ = σ(t) находится из уравнения
σ̇ =
1
2
(
σ +
3(4 +
√
11)
2
a
bf
)√
R(σ), (28)
то действительность решения (27), (28) вытекает из условия, что подкоренная функ-
ция ω3 = ω3(σ) в точке σ = 0 принимает положительное значение.
Приведенный пример (27), (28) характеризуется двумя произвольными положи-
тельными параметрами a и b. Зависимость всех переменных задачи от времени уста-
навливается подстановкой σ = σ(t) в равенства (27).
58
Новые решения уравнений движения гиростата в магнитном поле
Полученное решение (24), (26) характеризуется одним линейным инвариантным
соотношением (
b1g2
g1
− b2
)
ω1 + ω2 − b1
g1
ν2 +
b1g0
g1
− b0 = 0.
Производная в силу уравнений (4), (5) на этом соотношении не обращается тож-
дественно в нуль.
Заключение.Найдены два новых частных решения полиномиального вида диф-
ференциальных уравнений задачи о движении гиростата в магнитном поле с учетом
эффекта Барнетта–Лондона. Первое решение зависит от трех независимых парамет-
ров A1, A3, B3, а второе – от четырех независимых параметров g2, A3, B2, B3. Данные
решения выражаются функциями, полученными в результате обращения эллипти-
ческих интегралов Лежандра третьего рода.
1. Харламов П.В., Мозалевская Г.В., Лесина М.Е.О различных представлениях уравнений Кирх-
гофа // Механика твердого тела. – 2001. – Вып. 31. – С. 3–17.
2. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – Донецк: Изд-во
ДонНУ, 2010. – 364 с.
3. Урман Ю.Н. Динамические эффекты, обусловленные вращательным движением сверхпровод-
ника в магнитном подвесе // Докл. АН СССР. – 1984. – 276, № 6. – С. 1402–1404.
4. Самсонов В.А. О вращении твердого тела в магнитном поле // Изв. РАН. Механика твердого
тела. – 1984. – № 4. – С. 32–34.
5. Козлов В.В. К задаче о вращении твердого тела в магнитном поле // Изв. РАН. Механика
твердого тела. – 1985. – № 6. – С. 28–33.
6. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-во НГУ, 1965. – 231 c.
7. Докшевич А.И. Новое частное решение уравнений движения гиростата, имеющего неподвиж-
ную точку // Механика твердого тела. – 1970. – Вып. 2. – С.12–15.
8. Горр Г.В., Зыза А.В. Полиномиальные решения в одной задаче о движении гиростата с непо-
движной точкой // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1998. – № 6. – С. 12–21.
9. Зыза А.В. О полиномиальных решениях с квадратичным инвариантным соотношением урав-
нений движения гиростата // Механика твердого тела. – 2013. – Вып. 43. – С. 29–38.
10. Зыза А.В. О полиномиальных решениях уравнений движения гиростатав магнитном поле //
Механика твердого тела. – 2003. – Вып. 33. – С. 61–70.
11. Зыза А.В. Об одном классе полиномиальных решений уравнений движения гиростата в маг-
нитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона // Вiсник Донецького университету. Сер. А:
Природничi науки. – 2010. – № 1. – С. 52–56.
12. Зыза А.В. Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле // Тру-
ды ИПММ НАН Украины. – 2012. – 24. – С. 116–123.
А.V. Zyza
New solutions to equations of gyrostat movement in a magnetic field.
New existence conditions of polynomial solutions to differential equations of gyrostat movement in a
magnetic field with allowance made for Barnett-London effect are under review. Two new solutions to
this problem have been produced which are characterized by the functions obtained by inversing elliptical
Legendre integrals of the third type.
Keywords: polynomial solution, gyrostat, Barnett-London effect, elliptical Legendre integrals.
Донецкий национальный ун-т
z9125494@mail.ru
Получено 21.10.14
59
|