Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве
Выведены формулы, аналогичные формуле Стокса, для некоторого симплекса в четырехмерном пространстве.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124229 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве / Н.С. Иванисенко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 60-69. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124229 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242292017-09-23T03:03:48Z Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве Иванисенко, Н.С. Выведены формулы, аналогичные формуле Стокса, для некоторого симплекса в четырехмерном пространстве. We found a formula similar to the Stokes’ for some simplex in four-dimensional space. 2015 Article Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве / Н.С. Иванисенко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 60-69. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124229 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Выведены формулы, аналогичные формуле Стокса, для некоторого симплекса в четырехмерном пространстве. |
| format |
Article |
| author |
Иванисенко, Н.С. |
| spellingShingle |
Иванисенко, Н.С. Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Иванисенко, Н.С. |
| author_sort |
Иванисенко, Н.С. |
| title |
Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве |
| title_short |
Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве |
| title_full |
Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве |
| title_fullStr |
Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве |
| title_full_unstemmed |
Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве |
| title_sort |
аналог формулы стокса в четырехмерном пространстве |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124229 |
| citation_txt |
Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве / Н.С. Иванисенко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 60-69. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT ivanisenkons analogformulystoksavčetyrehmernomprostranstve |
| first_indexed |
2025-07-09T01:05:09Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:05:09Z |
| _version_ |
1837129387973017600 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ. 2015. Том 29
УДК 531.38
c©2015. Н.С. Иванисенко
АНАЛОГ ФОРМУЛЫ СТОКСА
В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Выведены формулы, аналогичные формуле Стокса, для некоторого симплекса в четырехмерном
пространстве.
Ключевые слова: дифференциальный оператор, симплекс, локальная проблема Помпейю.
1. Введение. Пусть Rn – вещественное евклидово пространство размерности
n � 2 с евклидовой нормой | · |, M(n) – группа движений Rn, Mot(A,B) = {λ ∈
M(n) : λA ⊂ B} – часть группы движений, оставляющая A внутри B. BR = {x ∈
Rn : |x| < R} – шар радиуса R.
Компактное множество A ⊂ Rn называется множеством Помпейю в Rn, если
всякая локально суммируемая функция f : Rn → C, для которой
∫
λA f(x) dx = 0
при всех λ ∈ M(n), равна нулю почти всюду. Классическая проблема Помпейю
состоит в описании класса Pomp(Rn) таких множеств A.
Приведем одну из возможных постановок локального варианта указанной про-
блемы. Пусть функция f локально суммируема в шаре BR и равенство∫
λA f(x)dx = 0 выполняется при всех λ ∈ Mot(A,BR). Если из этого условия сле-
дует, что f = 0 в BR почти всюду, будем говорить, что A является множеством
Помпейю в BR и обозначать A ∈ Pomp(BR). Для многих A это имеет место, ес-
ли размеры BR достаточно велики по сравнению с A, см. [1], [2]. В связи с этим в
работе [3] поставлена следующая
Проблема (4.1.1 из [3], локальный вариант проблемы Помпейю). Для данного A
найти R(A) = inf{R > 0 : A ∈ Pomp(BR)}.
Величину R(A) естественно называть экстремальным радиусом Помпейю (или
просто радиусом Помпейю) для множества A.
Ряд результатов, содержащих оценки сверху для величины R(A), получены
К.А. Беренстейном и Р. Гэем (см. [1], [2]), а также В.В. Волчковым (см. [3], гла-
ва 4, § 1–2). Наиболее полный библиографический обзор по проблеме Помпейю и
близким к ней вопросам, включающими локальные варианты этой проблемы, со-
стоит из [3–6].
В частности, верхняя оценка R(A) была получена для многогранников в Rn
(см. [3]). Для симплексов в R4 она может быть уточнена с помощью, выведенных в
работе формул, аналогичных формуле Стокса.
2. Основные результаты. В данной работе рассмотрен симплекс S4 = {x ∈
R4 : x1 + x2 + x3 + x4 � 1, xj � 0, j = 1, 2, 3, 4} с вершинами z0(0, 0, 0, 0), z1(1, 0, 0, 0),
This work was supported, in part, by the International Soros Science Education Program (ISSEP)
through grant N EPU0xx037
60
Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве
z2(0, 1, 0, 0), z3(0, 0, 1, 0), z4(0, 0, 0, 1).
Следующие теоремы содержат информацию о том, какими допустимыми диф-
ференциальными операторами необходимо подействовать на достаточно гладкую
функцию f, чтобы интеграл по множеству S4 от данных конструкций выражался
через значения некоторых дифференциальных операторов от функции f в верши-
нах z0, z1, z2, z3, z4, сторонах z0z1, z0z2, z0z3, z0z4, z1z2, z1z3, z1z4, z2z3, z2z4, z3z4, гра-
нях z0z1z2, z0z1z3, z0z1z4, z0z2z3, z0z2z4, z0z3z4, и объемных телах симплекса
z0z1z2z3, z0z1z2z4, z0z2z3z4.
Рассмотрим следующие дифференциальные операторы: q1 = ∂
∂x1
− ∂
∂x2
; q2 =
= ∂
∂x1
− ∂
∂x3
; q3 = ∂
∂x1
− ∂
∂x4
; q4 = ∂
∂x2
− ∂
∂x3
; q5 = ∂
∂x2
− ∂
∂x4
; q6 = ∂
∂x3
−
− ∂
∂x4
; q7 = ∂
∂x1
; q8 = ∂
∂x2
; q9 = ∂
∂x3
; q10 = ∂
∂x4
; D =
∏10
i=0 qi; D1 =∏10
i=2 qi; p1 =
∏6
i=2 qi; при i
= 2 : D2 =
∏10
i=1 qi; p2 =
∏6
i=1 qi; при i
=
3 : D3 =
∏10
i=1 qi, p3 =
∏6
i=1 qi; при i
= 4 : D4 =
∏10
i=1 qi; p4 =
∏6
i=1 qi; при
i
= 5 : D5 =
∏10
i=1 qi; p5 =
∏6
i=1 qi; при i
= 6 : D6 =
∏10
i=1 qi; p6 =
∏5
i=1 qi;
при i
= 7 : D7 =
∏10
i=1 qi; при i
= 8 : D8 =
∏10
i=1 qi; при i
= 9 : D9 =
∏10
i=1 qi;
D10 =
∏9
i=1 qi; q = q2q4q3q5q6q1(q1 + q6); q∗ = q6q1 + q5q2; q∗∗ = q1 + q2 + q3.
Основными результатами работы является теоремы, содержащие формулы, ана-
логичные формуле Стокса, в четырехмерном пространстве.
Перед формулировкой основного результата введем следующие дифференциаль-
ные операторы: L1 = −q2q4q5q1 − q2q4q5q6 + q4q3q5q1 + q4q3q5q6; L2 = q2q4q3q1 +
+q2q4q3q6− q2q3q5q1− q2q3q5q6; L3 = q2q3q5q1+ q2q3q5q6− q4q3q5q1− q4q3q5q6; L4 =
= −q2q4q3q1 − q2q4q3q6 + q2q4q5q1 + q2q4q5q6; L5 = −q2q4q3q1 + q2q3q5q1; L6 =
= q2q4q5q1 − q4q3q5q1; L7 = −q2q3q5q1; L8 = q2q4q5q6; L9 = q2q4q3q1; L10 =
= −q4q3q5q6;L11 = q4q3q5q1; L12 = −q2q4q3q6;L13 = −q2q4q5q1; L14 = q2q3q5q6;
L15 = q2q4q3q6 − q2q4q5q6; L16 = −q2q3q5q6 + q4q3q5q6; G0 = −∑10
i=7DiLi−6; G1 =
D7L1+2[D1(L6−L5)+D2(L8−L7)+D3(L10−L9)]; G2 = D8L2+2[D1(L5−−L6)+
D4(L12 − L11) + D5(L14 − L13)]; G3 = D9L3 + 2[D2(L7 − L8) + D4(L11 − L12) +
+D6(L16 − L15)]; G4 = D10L4 + 2[D3(L9 − L10) +D5(L13 − L14) +D6(L15 − L16)].
Теорема 1. Для любой функции f ∈ C17(S4) выполняется следующее равенство:∫
S4
(Dqf)(x)dx =
4∑
i=0
(Gif)(zi).
Рассмотрим следующие дифференциальные операторы: P0,2 = −∑10
i=7DiLi−6;
P1,2 = D7L1 + 2[D1(L6 − L5) + D2(L8 − L7) + D3(L10 − L9)]; P2,2 = 2[D1(L5 −
−L6) + D4(L12 − L11) + D5(L14 − L13)]; P3,2 = D9L3 + 2[D2(L7 − L8) + D4(L11 −
−L12) +D6(L16 − L15)]; P4,2 = D10L4 + 2[D3(L9 − L10) + q5(L13 − L14) +D6(L15 −
−L16)];
∑4
i=0 P̃i,0,2 =
∑4
0
Pi,2
q8
; Q0,2 = D8, P0,3 = −∑10
i=7DiLi−6; P1,3 = D7L1+
+2[D1(L6 − L5) + D2(L8 − L7) + D3(L10 − L9)]; P2,3 = D8L2 + 2[D1(L5 − L6) +
+D4(L12−L11)+D5(L14−L13)]; P3,3 = 2[D2(L7−L8)+D4(L11−L12)+D5(L13−L14)];
P4,3 = D10L4 + 2[D3(L9 − L10) +D5(L13 − L14) +D6(L15 − L16)];
∑4
i=0 P̃i,0,3 =
=
∑4
0
Pi,3
q9
, Q0,3 = D9; P0,4 = −∑10
i=7DiLi−6; P1,4 = D7L1 + 2[D1(L6 − L5) +
+D2(L8 − L7) +D3(L10 − L9)]; P2,4 = D8L2 + 2[D1(L5 − L6) +D4(L12 − L11) +
+D5(L14−L13)]; P3,4 = D9L3+2[D2(L7−L8)+D4(L11−L12)+D6(L16−L15)]; P4,4 =
61
Н.С. Иванисенко
= 2[D3(L9−L10)+D5(L13−L14)+D6(L15−L16)];
∑4
i=0 P̃i,0,4 =
∑4
0
Pi,4
q10
; Q0,4 = D10;
P0,5 = −∑10
i=7DiLi−6; P1,5 = D7L1 + 2[D2(L8 − L7) +D3(L10 − L9)]; P2,5 =
= D8L2+2[D4(L12 −L11)+D5(L14−L13)]; P3,5 = D9L3+2[D2(L7−L8)+D4(L11−
−L12) +D6(L16 −L15)]; P4,5 = D10L4 + 2[D3(L9 − L10) +D5(L13 − L14) +D6(L15 −
−L16)];
∑4
i=0 P̃i,1,2 =
∑4
0
Pi,5
q1
; Q1,2 = D1; P0,6 = −∑10
7 DiLi−6; P1,6 = D7L1 +
+2[D1(L6 − L5) + D3(L10 − L9)]; P2,6 = q8L2 + 2[D1(L5 − L6) + D4(L12 − L11) +
+D5(L14 − L13)]; P3,6 = D9L3 + 2[D4(L11 −L12) +D6(L16 − L15)]; P4,6 = D10L4 +
+2[D3(L9−L10)+D5(L13−L14)+D6(L15−L16)];
∑4
i=0 P̃i,1,3 =
∑4
0
Pi,6
q2
; Q1,3 = D2;
P0,7 = −∑10
i=7DiLi−6; P1,7 = D7L1 + 2[D1(L6 − L5) +D2(L8 − L7)]; P2,7 =
= D8L2 +2[D1(L5 −L6) +D4(L12 −L11) +D5(L14 −L13)]; P3,7 = D9L3 +2[D2(L7 −
−L8) +D4(L11 − L12) +D6(L16 − L15)]; P4,7 = D10L4 + 2[D5(L13 − L14) +D6(L15 −
−L16)];
∑4
i=0 P̃i,1,4 =
∑4
0
Pi,7
q3
; Q1,4 = D3; P0,8 = −∑10
i=7 qiLi−6; P1,8 = q7L1 +
+2[D1(L6−L5)+D2(L8−L7)+D3(L10−L9)]; P2,8 = D8L2+2[D1(L5−L6)+D5(L14−
−L13)]; P3,8 = D9L3 + 2[D2(L7 − L8) +D6(L16 − L15)]; P4,8 = D10L4 + 2[D3(L9 −
−L10)+D5(L13−L14)+D6(L15−L16)];
∑4
i=0 P̃i,2,3 =
∑4
0
Pi,8
q4
; Q2,3 = D4; P0,9 =
= −∑10
i=7DiLi−6; P1,9 = D7L1+2[D1(L6−L5)+D2(L8−L7)+D3(L10−L9)]; P2,9 =
= D8L2 + 2[D1(L5 − L6) +D4(L12 −L11)]; P3,9 = D9L3 + 2[D2(L7 − L8) +D4(L11 −
−L12)+D6(L16−L15)]; P4,9 = D10L4+2[D3(L9−L10)+D6(L15−L16)];
∑4
i=0 P̃i,2,4 =
=
∑4
0
Pi,9
q5
; Q2,4 = D5; P0,10 = −∑10
7 DiLi−6; P1,10 = D7L1 + 2[D1(L6 − L5) +
+D2(L8 − L7) + D3(L10 − L9)]; P2,10 = D8L2 + 2[D1(L5 − L6) + D4(L12 − L11) +
+D5(L14 − L13)]; P3,10 = D9L3 + 2[D2(I7 − I8) +D4(L11 − L12)]; P4,10 = D10L4 +
+2[q3(I9 − I10) +D5(L13 − L14)];
∑4
i=0 P̃i,3,4 =
∑4
0
Pi,10
q6
; Q3,4 = D6.
Теорема 2. Пусть E := {(l, k) : l = 0, 3, k = 1, 4, l < k}. Тогда для любой
функции f ∈ C16(S4) выполняется следующее равенство:∫
S4
(Ql,kqf)(x)dx = Hl,k +
4∑
i=0
P̃i,l,k, l, k ∈ E.
Введем дифференциальные операторы: K1 = −p1, K2 = −q3q4q5q6 + q2q4q5q6 −
−2q2q3q5q6 + q2q3q4q6, K3 = q3q4q5q6 − 2q2q4q5q6, K4 = −2q2q3q5q6 + q2q3q4q6,
K5 = −q3q4q5q6 +2q2q3q5q6 + q2q3q4q5, K6 = 2q2q4q5q6 − q2q3q4q6 − q2q3q4q5, K7 =
= q2q4q5q6 + 2q2q3q5q6 + q2q3q4q5, K8 = q2q3q4q6 + q2q3q4q5, K9 = q3q4q5q6, K10 =
= −q2q4q5q6, K11 = p2, K12 = −q3q4q5q6 + q1q4q5q6 + 2q1q3q5q6 + q1q3q4q5, K13 =
= q3q4q5q6 − 2q1q4q5q6, K14 = −q3q4q5q6 − 2q1q3q5q6 + q1q3q4q5, K15 = 2q1q3q5q6 +
+q1q3q4q5, K16 = 2q1q4q5q6−q1q3q4q6−q1q3q4q5,K17 = q1q4q5q6, K18 = 2q1q3q5q6−
−q1q3q4q6, K19 = q1q3q4q6 + q1q3q4q5, K20 = q3q4q5q6, K21 = −q1q4q5q6,
R0,1,3 =
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 [−(D2p2K11f)(x1, 1−x1−x3, x3, 0)+(D2p2K11f)(x1, 0, x3, 0)]dx3,
R1,3 =
∫ 1
0 (D2K12f)(t, 0, 1 − t, 0)dt, R̃0,1,3 = −∑10
i=7
D2Ki+6
qi
, R̃1,1,3 = D2K13
q7
+
+2(D2(K17−K18)
q1
− D2K19
q3
), R̃2,1,3 =
D2K14
q8
+2(D2(K18−K17)
q1
+ D2K20
q4
− D2K21
q5
), R̃3,1,3 =
= D2K15
q9
− 2(D2K20
q4
+ D2K21
q6
), R̃4,1,3 =
D2K16
q10
+ 2(D2K19
q3
+ D2K21
q5
+ D2K21
q6
), K22 =
= p3, K23 = q1q2q4q6 + q1q2q4q5, K24 = q2q4q5q6 + q1q4q5q6, K25 = −q2q4q5q6 −
−2q1q2q5q6 + q1q2q4q6, K26 = −q1q4q5q6 + 2q1q2q5q6 + q1q2q4q5; K27 = −q1q2q4q6 −
62
Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве
−q1q2q4q5, K28 = −q1q4q5q6 − 2q1q2q5q6 + q1q2q4q6, K29 = −q2q4q5q6 + 2q1q2q5q6 +
+q1q2q4q5, K30 = q2q4q5q6 − q1q4q5q6, при i
= 3 : g3 =
∏4
i=1 qi, Q =
∏10
i=7 qi,
R0,1,4 =
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 [(g3QK22f)(x1, 1 − x1 − x4, 0, x4) + (g3QK22f)(x1, 0, 1 − x1 −
−x4, x4)−2(q3QK22f)(x1, 0, 0, x4)]dx4, R1,4 =
∫ 1
0 [(g3QK23f)(1− t, 0, 0, t)]dt, R̃0,1,4 =
= −∑10
i=7
g3QKi+17
qi
, R̃1,1,4 = g3QK24
q7
+ 2(g3QK28
q1
+ 2g3QK29
q3
), R̃2,1,4 = g3QK25
q8
+
+2(− g3QK28
q1
+ g3QK30
q4
), R̃3,1,4 = g3QK26
q9
− −2g3QK29
q2
, R̃4,1,4 = g3QK27
q10
− 2g3QK30
q4
,
K31 = 2q1q2q3q5q6, K32 = q2q3q5q6−q1q3q5q6, K33 = q2q3q5q6+q1q3q5q6−2q1q2q5q6,
K34 = −q2q3q5q6+q1q2q3q6, K35 = −q1q3q5q6+q1q2q3q5, K36 = 2q1q2q5q6−−q1q2q3q6−
q1q2q3q5, K37 = −q1q3q5q6 + q1q2q5q6 + q1q2q3q6, K38 = −q2q3q5q6 + +q1q2q5q6 +
q1q2q3q5, K39 = q1q2q3q6 + q1q2q3q5, K40 = −q1q2q5q6, R0,2,3 =
=
∫ 1
0 dx2
∫ 1−x2
0 [(D4K31f)(1− x2 − x3, x2, x3, 0)− (D4K31f)(0, x2, x3, 0)]dx3, R2,3 =
=
∫ 1
0 [(D4K32f)(0, t, 1− t, 0)]dt, R̃0,2,3 = −∑10
i=7
D4K26+i
qi
, R̃1,2,3 =
D4K33
q7
+ 2(D4K37
q1
+
+D4K38
q2
− D4K39
q3
), R̃2,2,3 =
D4K34
q8
− 2(−D4K37
q1
+ D4K40
q5
), R̃3,2,3 =
D4K35
q9
− 2(D4K38
q2
+
+D4K40
q6
), R̃4,2,3 =
D4K36
q10
+2(D4K39
q3
+ D4K40
q5
+ D4K40
q6
); K41 = p5, K42 = q1q2q4q6,
K43 = q2q3q4q6 + q1q3q4q6 − 2q1q2q4q6, K44 = −q2q3q4q6 − 2q1q2q3q6, K45 =
= −q1q3q4q6 + 2q1q2q3q6 + q1q2q3q4, K46 = 2q1q2q4q6 − q1q2q3q4, K47 = −q1q3q4q6 +
+q1q2q4q6 − 2q1q2q3q6, K48 = −q2q3q4q6 + q1q2q4q6 + 2q1q2q3q6 + q1q2q3q4, K49 =
= q1q2q3q4, K50 = q2q3q4q6 − q1q3q4q6,K51 = −q1q2q4q6, R0,2,4 =
∫ 1
0 dx2
∫ 1−x2
0 [−(D5
K41f)(1− x2 − x4, x2, 0, x4) + (D5K41f)(0, x2, 0, x4)]dx4, R2,4 =
∫ 1
0 [(D5K42f)(0, t,
0, 1 − t)]dt, R̃0,2,4 = −∑10
i=7
D5K36+i
qi
, R̃1,2,4 = D45K43
q7
+ 2(D5K47
q1
+ D5K48
q2
− D5K49
q3
),
R̃2,2,4 = D5K44
q8
+ 2(−D5K47
q1
+ D5K50
q5
), R̃3,2,4 = D5K45
q9
− 2(D5K48
q2
+ D5K50
q4
+ D5K51
q6
),
R̃4,2,4 = D5K46
q10
+ 2(D5K49
q3
+ D5K51
q6
), K52 = p6, K53 = q1q2q4q5, K54 = q2q3q4q5 +
+q1q3q4q5 − 2q1q2q4q5, K55 = −q2q3q4q5 − 2q1q2q3q5 + q1q2q3q4, K56 = −q1q3q4q5 +
+2q1q2q3q5, K57 = 2q1q2q4q5 − q1q2q3q4, K58 = −q1q3q4q5 + q1q2q4q5 − 2q1q2q3q5 +
+q1q2q3q4, K59 = −q2q3q4q5 ++q1q2q4q5 + 2q1q2q3q5, K60 = q1q2q3q4, K61 =
= q2q3q4q5 − q1q3q4q5, K62 = −q1q2q3q4, R0,3,4 =
∫ 1
0 dx3
∫ 1−x3
0 [−(D6K52f)(1 −
−x3 − x4, 0, x3, x4) + (D6K52f)(0, 0, x3, x4)]dx4, R3,4 =
∫ 1
0 [(D6K53f)(0, 0, t, 1 − t)]dt,
R̃0,3,4 = −∑10
i=7
D6K47+i
qi
, R̃1,3,4 =
D6K54
q7
+ 2(D6K58
q1
+ D6K59
q2
− D4K60
q3
), R̃2,3,4 =
= D6K55
q8
+2(−D6K58
q1
+ D6K61
q4
+ D6K62
5 ), R̃3,3,4 =
D6K56
q9
+2(−D6K59
q2
+ D6K61
q4
+ D6K62
q5
),
R̃4,3,4 =
D6K57
q10
+ 2(D6K60
q3
− D6K62
q5
).
Теорема 3. Пусть F := {(l, k) : l = 1, 3, k = 2, 4, l < k}, произвольная
функция f ∈ C30(S4). Тогда следующее равенство верно:∫
S4
(Gk,lf)(x)dx = R0,k,l +Rk,l +
4∑
i=0
(Pi,k,lf)(zi), l, k ∈ F.
Введем следующие дифференциальные операторы: N1 = q10q3q5q6q
∗∗, N0,1,2,3 =
=
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 dx2
∫ 1−x1−x2
0 [(q10q3q5q6f)(x1, x2, x3, 1− x1 −x2 − x3)− (q10q3q5q6f)(x1,
x2, x3, 0)]dx3, N0,1,2,(1) =
∫ 1
0 dx1
∫ 1
0 [−(q10q3q6f)(x1, x2, 1−x1−x2, 0)+(q10q3q6f)(x1,
x2, 0, 0)]dx2, N0,1,3,(1) =
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 [−(q10q3q5f)(x1, 1− x1 − x3, x3, 0) + (q10q3q5f)
(x1, 0, x3, 0)]dx3, N0,2,3,(1) =
∫ 1
0 dx2
∫ 1−x2
0 [3(q10q3q5f)(1−x2−x3, x2, x3, 0)−3(q10q3q5f)
63
Н.С. Иванисенко
(0, x2, x3, 0)]dx3, N0,1,(1) =
∫ 1
0 (−q10q5 − q10q6)(f)(x1, 0, 0, 0)dx1 , N0,2,(1) =
∫ 1
0 (3q10
q3f)(0, x2, 0, 0)dx2, N1,2,(1) =
∫ 1
0 (q10q5 + 3q10q3)(f)(x1, 1− x1, 0, 0)dx1, N1,3,(1) =
=
∫ 1
0 [(q10q6f)(x1, 0, 1− x1, 0)]dx1, N2,4,(1) =
∫ 1
0 (q10q5f)(0, x2, 0, 1− x2)dx2, N3,4,(1) =
=
∫ 1
0 (q10q6f)(0, 0, x3, 1−x3)dx3, N0,(1) = q6+q5+3q3, N1,(1) = 6q10, N4,(1) = −3q3−
q5 − q6 − 6q10, N0,p,q,(1) = N0,1,2,3,(1) +N0,1,2,(1) +N0,1,3,(1), N0,k,l,(1) = = N0,2,3,(1) +
N0,1,(1) + N0,2,(1) + N1,2,(1) + N1,3,(1) + N2,4,(1), Nm,(1) = N3,4,(1) + +(N0,(1)f)(z0) +
(N1,(1)f)(z1) + (N4,(1)f)(z4), N2 = q6q4q2(q1 + q2 + q3), N0,1,2,4 =
=
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 dx2
∫ 1−x2−x4
0 [−(q6q4q2f)(x1, x2, 1−x1−x2−x4, x4)+(q6q4q2f)(x1, x2, 0,
x4)]dx4, N0,1,2,(2) =
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x2
0 [−(q6q4f)(x1, x2, 0, 1−x1−x2)+(q6q4f)(x1, x2, 0, 0)]dx2,
N0,1,4,(2) =
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 [−(q6q4f)(x1, 1− x1 − x4, 0, x4) + (q6q4f)(x1, 0, 0, x4)]dx4,
N0,2,4,(2) =
∫ 1
0 dx2
∫ 1−x2
0 [(3q6q2f)(1−x2−x4, x2, 0, x4)−(3q6q2f)(0, x2, 0, x4)]dx4, N0,2,(2) =∫ 1
0 (−q6f)(0, x2, 0, 0)dx2, N0,3,(2) =
∫ 1
0 (3q2 − q4 + q6)(f)(0, 0, x3, 0)dx3, N0,4,(2) =∫ 1
0 (−3q2 + q4)(f)(0, 0, 0, x4)dx4, N1,3,(2) =
∫ 1
0 (3q2f)(x1, 0, 1 − x1, 0)dx1, N1,4,(2) =∫ 1
0 (−3q2f)(x1, 0, 0, 1 − x1)dx1, N2,3,(2) =
∫ 1
0 (−q4f)(0, x2, 1 − x2, 0)dx2, N2,4,(2) =∫ 1
0 (q4 + q2)(f)(0, x2, 0, 1 − x2)dx2, N3,(2) = −2, N4,(2) = 2, N0,p,q,r =
= N0,1,2,(2) + N0,1,4,(2) + N0,2,4,(2), Nk,l,(2) = N0,2,(2) + N0,3,(2) + N0,4,(2) + N1,3,(2) +
+N1,4,(2) + N2,3,(2) + N2,4,(2), Nm,(2) = (N3,(2)f)(z3) + (N4,(2)f)(z4), N0,2,3,4 =
= 3
∫ 1
0 dx2
∫ 1−x2
0 dx3
∫ 1−x2−x3
0 [(q3q2q1f)(1− x2 − x3 − x4, x2, x3, x4)− (q3q2q1f)(0, x2,
x3, x4)]dx4, N3 = q5q4q1(q1 + q2 + q3), N0,1,3,4 =
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 dx3
∫ 1−x1−x3
0 [−(q5q4q1f)
(x1, 1− x1 − x3 − x4, x3, x4) + (q5q4q1f)(x1, 0, x3, x4)]dx4, N0,1,3,(3) =
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 [−(q5
q4f)(x1, 0, x3, 1−x1−x3)+(q5q4f)(x1, 0, x3, 0)]dx3, N0,1,4,(3) =
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 [−(q5q4f)
(x1, 0, 1 − x1 − x4, x4) + (q5q4f)(x1, 0, 0, x4)]dx4, N0,3,4,(3) =
∫ 1
0 dx3
∫ 1−x3
0 [−(3q5q1f)
(1− x3 − x4, 0, x3, x4) + (3q5q1f)(0, 0, x3, x4)]dx4, N0,2,(3) =
∫ 1
0 (−3q1 − q4 − q5)(f)(0,
x2, 0, 0)dx2, N0,3,(3) =
∫ 1
0 (q5f)(0, 0, x3, 0)]dx3, N0,4,(3) =
∫ 1
0 (3q1+q4)(f)(0, 0, 0, x4)dx4,
N1,2,(3) =
∫ 1
0 −(3q1f)(x1, 1 − x1, 0, 0)dx1, N1,4,(3) =
∫ 1
0 (3q1f)(x1, 0, 0, 1 − x1)dx1,
N2,3,(3) =
∫ 1
0 (q4f)(0, x2, 1 − x2, 0)dx2, N3,4,(3) =
∫ 1
0 [(q4 − q5)(f)(0, 0, x3, 1 − x3)dx3,
N2,(3) = 2, N4,(3) = −2, N0,p,q,(3) = N0,1,3,(3) +N0,1,4,(3) +N0,3,4,(3), Nk,l,(3) =
= N0,2,(3)+N0,3,(3)+N0,4,(3)+N1,2,(3)+N1,4,(3)+N2,3,(3)+N3,4,(3), Nm,(3) = (N2,(3)f)(z2)+
+(N4,(3)f)(z4), N4 = q3q2q1q
∗, N0,2,3,(4) =
∫ 1
0 dx2
∫ 1−x2
0 [(q3q2f)(0, x2, x3, 1− x2 −
−x3)−(q3q2f)(0, x2, x3, 0)]dx3, N0,2,4,(4) =
∫ 1
0 dx2
∫ 1−x2
0 [(q3q2f)(0, x2, 1−x2−−x4, x4)−
(q3q2f)(0, x2, 0, x4)]dx4, N0,3,4,(4) =
∫ 1
0 dx3
∫ 1−x3
0 [(q3q1f)(0, 1 − x3 − x4,
x3, x4)− (q3q1f)(0, 0, x3, x4)]dx4, N0,1,(4) =
∫ 1
0 (q2 + q3)(f)(x1, 0, 0, 0)dx1 , N0,3,(4) =
=
∫ 1
0 (−q3f)(0, 0, x3, 0)dx3, N0,4,(4) =
∫ 1
0 (−q1 − q2)(f)(0, 0, 0, x4)dx4, N1,2,(4) =
=
∫ 1
0 (−q1f)(x1, 1− x1, 0, 0)dx1, N1,3,(4) =
∫ 1
0 (−q2f)(x1, 0, 1 − x1, 0)dx1, N1,4,(4) =
=
∫ 1
0 (q1f)(x1, 0, 0, 1 − x1)dx1, N2,4,(4) =
∫ 1
0 (−q1f)(0, x2, 0, 1 − x2)dx2, N3,4,(4) =
=
∫ 1
0 (−q2 + q3)(f)(0, 0, x3, 1− x3)dx3, N1,(4) = −2, N4,(4) = 2, N0,p,q,(4) =
= N0,2,3,(4) +N0,2,4,(4) +N0,3,4,(4), Nk,l,(4) = N0,1,(4) +N0,3,(4) +N0,4,(4) +N1,2,(4) +
+N1,3,(4) +N1,4,(4) +N2,4,(4) +N3,4,(4), Nm,(4) = (N1,(4)f)(z1) + (N4,(4)f)(z4).
64
Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве
Теорема 4. Пусть G = {(i, j, r) : i = 1, 2, j = 2, 3, j > i, r = 3, 4, r > j}.
Тогда для любой функции f ∈ C34(S4) следующее равенство верно:∫
S4
(Nsf)(x)dx = N0,i,j,r,(s) +N0,p,q,(s) +N0,k,l,(s) +Nm,(s), s ∈ [1, 4], i, j, r ∈ G.
3. Доказательство основного результата.
Доказательство теоремы 1. Для произвольной функции переход к повторному
интегралу по множеству S4 осуществляется исходя из следующих равенств:∫
S4
(f)(x1, x2, x3, x4)dx1dx2dx3dx4 =
=
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 dx2
∫ 1−x1−x2
0 dx3
∫ 1−x1−x2−x3
0 f(x1, x2, x3, x4)dx4 =
=
∫ 1
0 dx2
∫ 1−x2
0 dx3
∫ 1−x2−x3
0 dx4
∫ 1−x2−x3−x4
0 f(x1, x2, x3, x4)dx1 =
=
∫ 1
0 dx3
∫ 1−x3
0 dx4
∫ 1−x3−x4
0 dx1
∫ 1−x1−x3−x4
0 f(x1, x2, x3, x4)dx2 =
=
∫ 1
0 dx4
∫ 1−x4
0 dx1
∫ 1−x1−x4
0 dx2
∫ 1−x1−x2−x4
0 f(x1, x2, x3, x4)dx3.
Выбираем тот порядок интегрирования, который позволяет вычислить внутрен-
ний интеграл, получаем
∫
S4
((q1 + q6)f)(x)dx =
∫ 1
0 dx2
∫ 1−x2
0 dx3
∫ 1−x2−x3
0 dx4∫ 1−x2−x3−x4
0
∂
∂x1
f(x1, x2, x3, x4)dx1 -
∫ 1
0 dx3
∫ 1−x3
0 dx4
∫ 1−x3−x4
0 dx1
∫ 1−x1−x3−x4
0
∂
∂x2
f
(x1, x2, x3, x4)dx2 +
∫ 1
0 dx4
∫ 1−x4
0 dx1
∫ 1−x1−x4
0 dx2
∫ 1−x1−x2−x4
0
∂
∂x3
f(x1, x2, x3, x4)dx3−
-
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 dx2
∫ 1−x1−x2
0 dx3
∫ 1−x1−x2−x3
0
∂
∂x4
f(x1, x2, x3, x4)dx4 =
∫ 1
0 dx3
∫ 1−x3
0 dx4∫ 1−x3−x4
0 [f(1−x2−x3−x4, x2, x3, x4)−f(0, x2, x3, x4)]dx2−
∫ 1
0 dx3
∫ 1−x3
0 dx4
∫ 1−x3−x4
0 [f
(x1, 1−x1−x3−x4, x3, x4)−f(x1, 0, x3, x4)]dx1+
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 dx2
∫ 1−x1−x2
0 [f(x1, x2, 1−
−x1−x2−x4, x4)−f(x1, x2, 0, x4)]dx4−
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 dx2
∫ 1−x1−x2
0 [f(x1, x2, x3, 1−x1−
−x2 − x3)− f(x1, x2, x3, 0)]dx3.
Действуя на функции из предыдущего интеграла, дифференциальным операто-
ром q6q1, имеем
∫
S4
(q6q1(q1+ q6)f)(x)dx =
∫ 1
0 dx2
∫ 1−x2
0 [(−q1f)(1−x2−x4, x2, 0, x4)+
(q1f)(0, x2, 0, x4)]dx4−
∫ 1
0 dx2
∫ 1−x2
0 [(−q1f)(1−x2−x3, x2, x3, 0)+(q1f)(0, x2, x3, 0)]dx3−
− ∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 [(−q1f)(x1, 1−x1 −x4, 0, x4)+ (q1f)(x1, 0, 0, x4)]dx4+
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 [(−q1
f)(x1, 1 − x1 − x3, x3, 0) + (q1f)(x1, 0, x3, 0)]dx3 +
∫ 1
0 dx4
∫ 1−x4
0 [(−q6f)(0, x2, 1 − x2 −
−x4, x4)+(q6f)(0, x2, 0, x4)]dx2−
∫ 1
0 dx4
∫ 1−x4
0 [(−q6f)(x1, 0, 1−x1−x4, x4)+(q6f)(x1, 0,
0, x4)]dx1−
∫ 1
0 dx3
∫ 1−x3
0 [(−q6f)(0, x2, x3, 1− x2 − x3) + (q6f)(0, x2, x3, 0)]dx2+
∫ 1
0 dx3∫ 1−x3
0 [(−q6f)(x1, 0, x3, 1− x1 − x3) + (q6f)(x1, 0, x3, 0)]dx1.
Действуем на полученную функцию оператором q2q4q3q5, и приводя подобные
слагаемые, получаем:
∫
S4
(q2q4q3q5q6q1(q1+ q6)f)(x)dx =
∫ 1
0 [(−q2q4q5q1f − q2q4q5q6f +
+q4q3q5q1f + q4q3q5q6f)(x1, 0, 0, 0)]dx1+
∫ 1
0 [(q2q4q3q1f + q2q4q3q6f − q2q3q5q1f − q2q3q5
q6f)(0, x2, 0, 0)]dx2+
∫ 1
0 [(q2q3q5q1f+q2q3q5q6f−q4q3q5q1f−q4q3q5q6f)(0, 0, x3, 0)]dx3+
+
∫ 1
0 [(−q2q4q3q1f−q2q4q3q6f+q2q4q5q1f+q2q4q5q6f)(0, 0, 0, x4)]dx4+
∫ 1
0 [(−q2q4q3q1f+
+q2q3q5q1f)(1− x2, x2, 0, 0)]dx2+
∫ 1
0 [(q2q4q5q1f − q4q3q5q1f)(x1, 1− x1, 0, 0)]dx1+
+
∫ 1
0 [(−q2q3q5q1f)(1− x3, 0, x3, 0)]dx3+
∫ 1
0 [(q2q4q5q6f)(x1, 0, 1 − x1, 0)]dx1+
∫ 1
0 [(q2q4
q3q1f)(1− x4, 0, 0, x4)]dx4+
∫ 1
0 [(−q4q3q5q6f)(x1, 0, 0, 1− x1)]dx1+
∫ 1
0 [(q4q3q5q1f)(0, 1−
−x3, x3, 0)]dx3+
∫ 1
0 [(−q2q4q3q6f)(0, x2, 1− x2, 0)]dx2+
∫ 1
0 [(−q2q4q5q1f)(0, 1− x4, 0,
65
Н.С. Иванисенко
x4)]dx4+
∫ 1
0 [(q2q3q5q6f)(0, x2, 0, 1 − x2)]dx2+
∫ 1
0 [(q2q4q3q6f − q2q4q5q6f)(0, 0, 1 − x4,
x4)]dx4+
∫ 1
0 [(−q2q3q5q6f + q4q3q5q6f)(0, 0, x3, 1− x3)]dx3.
Производим следующие замены: в пятом интеграле x1 = 1− x2, в седьмом:
x1 = 1−x3, в девятом: x1 = 1−x4, в одиннадцатом: x2 = 1−x3, в тринадцатом: x2 =
1−x4, в пятнадцатом x3 = 1−x4, получаем:
∫
S4
(qf)(x)dx =
∫ 1
0 (L1f)(x1, 0, 0, 0)dx1 +
+
∫ 1
0 (L2f)(0, x2, 0, 0)dx2 +
∫ 1
0 (L3f)(0, 0, x3, 0)dx3+
∫ 1
0 (L4f)(0, 0, 0, x4)dx4 +
∫ 1
0 (L6 −
−L5)(f)(x1, 1−x1, 0, 0)dx1+
∫ 1
0 (L8−L7)(f)(x1, 0, 1−x1, 0)dx1+
∫ 1
0 (L10−L9)(f)(x1, 0,
0, 1−x1)dx1+
∫ 1
0 (L12−L11)(f)(0, x2, 1−x2, 0)dx2+
∫ 1
0 (L14−L13)(f)(0, x2, 0, 1−−x2)dx2+∫ 1
0 (L16 − I15f)(0, 0, x3, 1− x3)dx3.
Действуя на полученную функцию qf дифференциальным оператором D, имеем:∫
S4
(Dqf)(x)dx = (−q1q2q3q4q5q6q8q9q10L1 − q1q2q3q4q5q6q7q9q10L2 − q1q2q3q4q5
q6q7q8q10L3 − q1q2q3q4q5q6q7q8q9L4)(f)(0, 0, 0, 0)+ (q1q2q3q4q5q6q8q9q10L1 + 2q2q3q4q5
q6q7q8q9q10(L6 − L5) + 2q1q3q4q5q6q7q8q9q10(L8 − L7) + 2q1q2q4q5q6q7q8q9q10(L10 −
− L9))(f)(1, 0, 0, 0)+ (q1q2q3q4q5q6q7q9q10L2 + 2q2q3q4q5q6q7q8q9q10(L5 − L6) + 2q1q2q3
q5q6q7q8q9q10(L12 −L11) + 2q1q2q3q4q6q7q8q9q10(L14 −L13))(f)(0, 1, 0, 0)+ (q1q2q3q4q5q6
q7q8q10L3 +2q1q3q4q5q6q7q8q9q10(L7 −L8)+ 2q1q2q3q5q6q7q8q9q10(L11 −L12)+ 2q1q2q3q4
q5q7q8q9q10(L16−L15))(f)(0, 0, 1, 0)+(q1q2q3q4q5q6q7q8q9L4+2q1q2q4q5q6q7q8q9q10(L9−
−L10)+2q1q2q3q4q6q7q8q9q10(L13−L14)+2q1q2q3q4q5q7q8q9q10(L15−L16))(f)(0, 0, 0, 1).
Учитывая обозначения введенные перед теоремами, получаем требуемое утвер-
ждение: ∫
S4
(Dqf)(x)dx =
4∑
i=0
(Gif)(zi),
что завершает доказательство теоремы 1. �
Доказательство теоремы 2. Для того, чтобы получить интеграл по симплексу,
который выражается через значения рассматриваемых дифференциальных операто-
ров от функции f в стороне z0z1, подействуем на функцию qf, дифференциальным
оператором D7, имеем:∫
S4
(D7qf)(x)dx =
∫ 1
0 (D7L1f)(x1, 0, 0, 0)dx1 +
∑10
i=8(−DiLi−6/q7)(f)(0, 0, 0, 0) +
+2[(D1(L6−L5)+D2(L8−L7)+D3(L10 −L9))/q7](f)(1, 0, 0, 0)+ [(D8L2+2(D1(L5−
−L6) +D4(L12 − L11) +D5(L14 − L13)))/q7](f)(0, 1, 0, 0) + [(D9L3 + 2(D2(L7 − L8) +
+D4(L11−L12)+D6(L16−L15)))/q7](f)(0, 0, 1, 0)+ [(D10 +2(D3(L9−L10)+D5(L13−
L14) +D6(L15 − L16)))/q7](f)(0, 0, 0, 1).
Заменяя в первом интеграле t = x1, P̃0,0,1 =
∑10
i=8 −DiLi−6/q7; P̃1,0,1 = 2(D1(L6 −
−L5) +D2(L8 −L7) +D3(L10 −L9))/q7; P̃2,0,1 = (D8L2 +2(D1(L5 −L6) +D4(L12 −
−L11)+D5(L14−L13)))/q7; P̃3,0,1 = (D9L3+2(D2(L7−L8)+D4(L11−L12)+D6(L16−
−L15)))/q7; P̃4,0,1 = (D10 + 2(D3(L9 − L10) + D5(L13 − L14) + D6(L15 − L16)))/q7,
получим: ∫
S4
(Q0,1qf)(x)dx =
∫ 1
0
(Q0,1L1f)(0, 0, 0, t)dt +
4∑
i=0
P̃i,0,1(zi).
Отсюда следует, что для того, чтобы получить интеграл, который выражается
через дифференциальные операторы в стороне z0zi, i = 1, 4, необходимо на функцию
66
Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве
qf подействовать соответственно операторами Di+6. Учитывая замены: в первом
полученном интеграле t = x2, во втором t = x3 и в третьем t = x4, имеем:∫
S4
(Q0,2qf)(x)dx =
∫ 1
0
(Q0,2L2f)(0, t, 0, 0)dt +
4∑
i=0
P̃i,0,2(zi).
∫
S4
(Q0,3qf)(x)dx =
∫ 1
0
(Q0,3L3f)(0, 0, t, 0)dt +
4∑
i=0
P̃i,0,3(zi).
∫
S4
(Q0,4qf)(x)dx =
∫ 1
0
(Q0,4L4f)(0, 0, 0, t)dt +
4∑
i=0
P̃i,0,4(zi).
Таким образом, действуя на функцию qf операторами Di, i = 1, 6, получим
интегралы, выражающиеся с помощью дифференциальных операторов в сторонах
zjzk, j = 1, 3, k = 2, 4, j < k. Делая в полученных интегралах замены: в первом,
втором и третьем интеграле t = x1, в четвертом и пятом t = x2 и шестом t = x3;
получаем требуемые утверждения:∫
S4
(Q1,2qf)(x)dx =
∫ 1
0
(Q1,2(L6 − L5)f)(t, 1 − t, 0, 0)dt +
4∑
i=0
P̃i,1,2(zi),
∫
S4
(Q1,3qf)(x)dx =
∫ 1
0
(Q1,3(L8 − L7)f)(t, 0, 1 − t, 0)dt +
4∑
i=0
P̃i,1,3(zi),
∫
S4
(Q1,4qf)(x)dx =
∫ 1
0
(Q1,4(L10 − L9)f)(t, 0, 0, 1 − t)dt+
4∑
i=0
P̃i,1,4(zi),
∫
S4
(Q2,3qf)(x)dx =
∫ 1
0
(Q2,3(L12 − L11)f)(0, t, 1 − t, 0)dt + sum4
i=0P̃i,2,3(zi),
∫
S4
(Q2,4qf)(x)dx =
∫ 1
0
(Q2,4(L14 − L13)f)(0, t, 0, 1 − t)dt+
4∑
i=0
P̃i,2,4(zi),
∫
S4
(Q3,4qf)(x)dx =
∫ 1
0
(Q3,4(L16 − L15)f)(0, 0, t, 1 − t)dt+
4∑
i=0
P̃i,3,4(zi),
что завершает доказательство теоремы 2. �
Доказательство теоремы 3. Вычисляя интеграл по симплексу от функции
q∗f(x), получаем интегралы выражающиеся через значения функций в грани z0z1z2
и ребрах zi,j, i = 0, 3, j = 1, 4, i < j:∫
S4
(q∗f)(x)dx =
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 [−f(x1, x2, 1− x1 − x2, 0) + f(x1, x2, 0, 0)]dx2+
+
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 [−f(x1, 1 − x1 − x3, x3, 0) + f(x1, 0, x3, 0)]dx3+
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 [f(x1, 1 −
−x1−x4, 0, x4)+f(x1, 0, 1−x1−x4, x4)−2f(x1, 0, 0, x4)]dx4+ 2
∫ 1
0 dx2
∫ 1−x2
0 [f(1−x2−
67
Н.С. Иванисенко
−x3, x2, x3, 0) − f(0, x2, x3, 0)]dx3+
∫ 1
0 dx2
∫ 1−x2
0 [−f(1− x2 − x4, x2, 0, x4) + f(0, x2, 0,
x4)]dx4+
∫ 1
0 dx3
∫ 1−x3
0 [−f(1− x3 − x4, 0, x3, x4) + f(0, 0, x3, x4)]dx4.
Действуя оператором p1 на рассматриваемую функцию, и вводя замены во вто-
ром интеграле t = x1, в третьем интеграле t = 1− x2, получим:∫
S4
(q2q3q4q5q6q
∗f)(x)dx =
∫ 1
0 dx1
∫ 1−x1
0 [(K1f)(x1, x2, 1−x1−x2, 0)+(K1f)(x1, x2, 0,
0)]dx2+
∫ 1
0 [(K2f)(t, 1− t, 0, 0)]dt+
∫ 1
0 [(K3f)(x1, 0, 0, 0)]dx1+
∫ 1
0 [(K4f)(0, x2, 0, 0)]dx2+
+
∫ 1
0 [(K5f)(0, 0, x3, 0)]dx3+
∫ 1
0 [(K6f)(0, 0, 0, x4)]dx4+
∫ 1
0 [(K7f)(x1, 0, 1 − x1, 0)]dx1+
+
∫ 1
0 [(K8f)(1− x4, 0, 0, x4)]dx4+
∫ 1
0 (K9f)(0, 1 − x3, x3, 0)dx3+
∫ 1
0 (K10f)(0, 1 − x4, 0,
x4)dx4+
∫ 1
0 (K10f)(0, 0, 1 − x4, x4)dx4.
Действуя на полученную функцию оператором D1p1, получаем требуемое равен-
ство: ∫
S4
(D1p1q
∗f)(x)dx = R0,1,2 +R1,2 +
4∑
i=0
(R̃i,1,2)(zi).
Аналогично предыдущему, действуя поочередно на функцию q∗, дифференци-
альными операторами D2p2, g3Qp3, D4p4, D5p5, D6q6 и производя соответственно
замены: в первом интеграле t = x1, во втором интеграле t = x4, в третьем интеграле
t = x2, в четвертом интеграле t = x2, в пятом интеграле t = x4, в шестом интеграле
t = x3, имеем выражения интегралов, выражающиеся через введенные операторы в
интересующих нас гранях z0zizj, i = 2, 3, j = 3, 4, i < j, а также ребрах и вершинах
симплекса: ∫
S4
(D2p2q
∗f)(x)dx = R0,1,3 +R1,3 +
4∑
i=0
(R̃i,1,3)(zi).∫
S4
(q3Qp3q
∗f)(x)dx = R0,1,4 +R1,4 +
4∑
i=0
(R̃i,1,4)(zi).∫
S4
(D4p4q
∗f)(x)dx = R0,2,3 +R2,3 +
4∑
i=0
(R̃i,2,3)(zi).∫
S4
(D5p5q
∗f)(x)dx = R0,2,4 +R2,4 +
4∑
i=0
(R̃i,2,4)(zi).∫
S4
(D6p6q
∗f)(x)dx = R0,3,4 +R3,4 +
4∑
i=0
(R̃i,3,4)(zi),
что завершает доказательство теоремы 3. �
Доказательство теоремы 4. При действии на функцию f оператором q∗∗, име-
ем сумму интегралов, выражающихся, через функции в объемных телах z0,i,j,k,
i = 1, 2, j = 2, 3, k = 3, 4, i < j < k :∫
S4
(q∗∗f)(x)dx =
∫ 1
0 dx2
∫ 1−x2
0 dx3
∫ 1−x2−x3
0 [f(x1, x2, x3, 1−x1−x2−x3)−f(x1, x2,
x3, 0)]dx1 +
∫ 1
0 dx2
∫ 1−x2
0 dx4
∫ 1−x2−x4
0 [−f(x1, x2, 1− x1 − x2 − x4, x4) + f(x1, x2, 0,
x4)]dx1 +
∫ 1
0 dx3
∫ 1−x3
0 dx4
∫ 1−x3−x4
0 [−f(x1, 1−x1−x3−x4, x3, x4)+f(x1, 0, x3, x4)]dx1+
+3
∫ 1
0 dx3
∫ 1−x3
0 dx4
∫ 1−x3−x4
0 [f(1− x2 − x3 − x4, x2, x3, x4)− f(0, x2, x3, x4)]dx2.
68
Аналог формулы Стокса в четырехмерном пространстве
Действуя на функцию q∗∗ дифференциальным оператором q10q3q5q6, получим
сумму конструкций выражающихся в тетраэдре z0z1z2z3, в гранях z0z1z2, z0z1z3,
z0z2z3, в ребрах z0z1, z0z2, z1z2, z1z3, z2z4, z3z4 и в вершинах симплекса z0, z1, z4 :∫
S4
N1(f)(x)dx = N0,1,2,3,(1) +N0,p,q,(1) +N0,k,l,(1) +Nm,(1).
Для нахождения интегралов по симплексу, от допустимых операторов, выра-
жающихся через функции в каждом тетраэдре z0z1z2z4, z0z1z3z4, z0z2z3z4 (правая
часть равенства, кроме указанных интегралов, может содержать также интегралы,
выводящие на грани, ребра и вершины симплекса), действуем соответственно опе-
раторами q6q4q2, q5q4q1, q3q2q1 на функции q∗∗.
Итак, действуя на функцию q∗∗ дифференциальным оператором z0z1z2z4 полу-
чаем: ∫
S4
(N2f)(x)dx = N0,1,2,4 +N0,p,q,(2) +Nk,l,(2) +Nm,(2).
Далее, при действии на функцию q∗∗ дифференциальным оператором q5q4q1 име-
ем: ∫
S4
(N3f)(x)dx = N0,1,3,4 +N0,p,q,(3) +Nk,l,(3) +Nm,(3).
Для вывода последнего равенства, подействуем на функцию q∗∗ оператором q3q2q1.
Таким образом, получим требуемое тождество:∫
S4
(N4f)(x)dx = N0,2,3,4 +N0,p,q,(4) +Nk,l,(4) +Nm,(4),
что завершает доказательство теоремы 4. �
1. Berenstein C.A. Le probleme de Pompeiu locale // J. Anal. Math. – 1989. – 52. – P. 133–166.
2. Berenstein C.A. A local version of the two-circles theorem // Israel J. Math. – 1986. – 55. – P. 267–
288.
3. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. Kluwer Academic Publishers. – 2003.
– 454 p.
4. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces
and the Heisenberg Group. Springer. – 2009. – 671 p.
5. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Offbeat integral geometry on symmetric spaces. Basel: Birkhauser.
– 2013. – 592 p.
6. Zalcman L. A bibliographic survey of Pompeiu problem // Approximation dy solutions of partial
differential equations / ed. B. Fuglede et al., – 1992. – P. 185–194.
7. Zalcman L. Supplementary bibliography to ‘A bibliographic survey of the Pompeiu problem’. In:
Radon Transforms and Tomography. Contemp. Math., 2001. – № 278. – P. 69–74.
N. S. Ivanisenko
A version of the Stokes’ formula in four-dimensional space.
We found a formula similar to the Stokes’ for some simplex in four-dimensional space.
Keywords: differential operator, simplex, extremal version of the Pompeiu problem.
Донецкий национальный ун-т
Ivanisenko.n.s@gmail.com
Получено 02.06.15
69
|