Регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора
В статье рассмотрены условия существования регулярных прецессионных движений гиростата в поле силы тяжести. Получены три новых решения уравнений движения.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124231 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора / Г.А. Котов // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 86-94. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124231 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242312017-09-23T03:03:42Z Регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора Котов, Г.А. В статье рассмотрены условия существования регулярных прецессионных движений гиростата в поле силы тяжести. Получены три новых решения уравнений движения. The conditions of existence of gyrostat’s regular precession motions under the action of gravity are studied in the article. Three new solutions of motion equations are obtained. 2015 Article Регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора / Г.А. Котов // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 86-94. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124231 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В статье рассмотрены условия существования регулярных прецессионных движений гиростата в поле силы тяжести. Получены три новых решения уравнений движения. |
| format |
Article |
| author |
Котов, Г.А. |
| spellingShingle |
Котов, Г.А. Регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Котов, Г.А. |
| author_sort |
Котов, Г.А. |
| title |
Регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора |
| title_short |
Регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора |
| title_full |
Регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора |
| title_fullStr |
Регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора |
| title_full_unstemmed |
Регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора |
| title_sort |
регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124231 |
| citation_txt |
Регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора / Г.А. Котов // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 86-94. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT kotovga regulârnaâprecessiâgirostatanesuŝegodvarotora |
| first_indexed |
2025-07-09T01:05:24Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:05:24Z |
| _version_ |
1837129404848799744 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ. 2015. Том 29
УДК 531.38
c©2015. Г.А. Котов
РЕГУЛЯРНАЯ ПРЕЦЕССИЯ ГИРОСТАТА,
НЕСУЩЕГО ДВА РОТОРА
В статье рассмотрены условия существования регулярных прецессионных движений гиростата
в поле силы тяжести. Получены три новых решения уравнений движения.
Ключевые слова: гиростат, регулярные прецессии, переменный гиростатический момент.
1. Введение. Математическое моделирование регулярных прецессий механиче-
ских систем связано с тем, что они являются рабочими режимами многих объектов
техники. Данный класс движений изучен в задачах о движении гиростата под дей-
ствием силы тяжести и под действием потенциальных и гироскопических сил (см.,
например, [2, 3, 7]). К настоящему времени исследованы условия существования
регулярных прецессий в трех случаях. В первом случае предполагается, что гиро-
статический момент постоянен (см. обзор [3]) и для него целесообразно использовать
метод инвариантных соотношений для автономных дифференциальных уравнений
[11, 12]. Второй случай соответствует движению гиростата с одним ротором [1, 4,
9]. В третьем случае моделирование регулярных прецессий проводится при условии,
что гиростат несет два ротора с переменным гиростатическим моментом [6], [8, 10].
Для исследования условий существования регулярных прецессий гиростата с двумя
роторами может быть применен либо метод инвариантных соотношений для неав-
тономных дифференциальных уравнений [5], либо метод, основанный на исполь-
зовании первых интегралов [8]. В данной статье продолжено изучение регулярных
прецессий гиростата под действием силы тяжести. Построены классы движений,
которые имеют новые свойства по сравнению с движениями [6, 8].
2. Постановка задачи. Уравнения движения гиростата в поле силы тяжести
имеют вид [3]
Aω̇ = (Aω + λ1(t)α+ λ2(t)β)× ω − (λ̇1(t)α+ λ̇2(t)β)− ν × s, (1)
ν̇ = ν × ω, (2)
где ω = (ω1, ω2, ω3) – угловая скорость тела-носителя; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный
вектор оси симметрии силовых полей; α = (α1, α2, α3), β = (β1, β2, β3) – единичные
ортогональные векторы, фиксированные в теле-носителе; λ1(t), λ2(t) – дифферен-
цируемые функции времени, являющиеся компонентами гиростатического момента
в базисе векторов α, β; s = (s1, s2, s3) – вектор, сонаправленный с вектором обоб-
щенного центра масс гиростата; A = (Aij) – тензор инерции гиростата; точка над
переменными ν, ω, λ1(t), λ2(t) обозначает дифференцирование по времени t.
Первые интегралы уравнений (1), (2) таковы
ν · ν = 1, (Aω + λ1(t)α+ λ2(t)β) · ν = k, (3)
86
Регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора
где k – произвольная постоянная.
Рассмотрим регулярные прецессионные движения гиростата относительно вер-
тикали [3]. Третью ось подвижной системы координат направим по единичному век-
тору a = (0, 0, 1), который образует постоянный угол θ0 с вектором ν. Регулярные
прецессионные движения характеризуются инвариантными соотношениями [3]
a · ν = a0 = cos θ0, ν = (a′0 sinnt, a
′
0 cosnt, a0), ω = na+mν, (4)
где a′0 = sin θ0.
Внесем ω из (4) в уравнения (1), (2). Уравнение (2) обращается в тождество, а
уравнение (1) примет вид:
nm
[
Sp(A)
(
ν × a
)− 2
(
Aν × a
)]− n2
(
Aa× a
)−m2
(
Aν × ν
)−
− λ1(t)
[
n
(
α× a
)
+m
(
α× ν
)]− λ2(t)
[
n
(
β × a
)
+m
(
β × ν
)]
+
+ λ̇1(t)α+ λ̇2(t)β − s× ν = 0,
(5)
где Sp(A) – след матрицы A.
По аналогии с [6, 8] при анализе уравнения (5) будем использовать ортонорми-
рованный базис α, β и γ = α× β.
Так как
α · β = 0, |α| = |β| = |γ| = 1, (6)
то, умножая левую часть уравнения (5) скалярно соответственно на α,β,γ, получим
λ̇1(t)− λ2(t)
[
γ3n+
(
a′0γ1 sinnt+ a′0γ2 cosnt+ a0γ3
)
m
]
+ F1(t) = 0,
λ̇2(t) + λ1(t)
[
γ3n+
(
a′0γ1 sinnt+ a′0γ2 cosnt+ a0γ3
)
m
]
+ F2(t) = 0,
λ2(t)
[
α3n+
(
a′0α1 sinnt+ a′0α2 cosnt+ a0α3
)
m
]
−
−λ1(t)
[
β3n+
(
a′0β1 sinnt+ a′0β2 cosnt+ a0β3
)
m
]
+ F3(t) = 0.
(7)
Здесь
Fi(t) = A0,in
2 −
(
A2,i cos 2nt+A′
2,i sin 2nt+ a0A1,i cosnt+ a0A
′
1,i sinnt+
+ κ0A0,i
)
m2 + nm
[(
d′1,i −A1,i
)
cosnt− (
d1,i +A′
1,i
)
sinnt+ 2a0A0,i
]
+
+ δ1,i cosnt+ δ′1,i sinnt+ δ0,i,
(8)
87
Г.А. Котов
где
i = 1, 2, 3, ei = (e1,i, e2,i, e3,i), (e1 = α,e2 = β,e3 = γ),
d0,i = e1,iA13 + e2,iA23 + e3,iA33, d′1,i = a′0
(
e1,iA11 + e2,iA12 + e3,iA13
)
,
d1,i = a′0
(
e1,iA12 + e2,iA22 + e3,iA23
)
, A0,i = e2,iA13 − e1,iA23,
A1,i = a′0
[
e1,i
(
A22 −A33
)− e2,iA12 + e3,iA13
]
,
A′
1,i = a′0
[
e2,i
(
A33 −A11
)
+ e1,iA12 − e3,iA23
]
,
A2,i =
a′20
2
(
2e3,iA12 − e1,iA23 − e2,iA13
)
,
A′
2,i =
a′20
2
[
e2,iA23 − e1,iA13 + e3,i(A11 −A22)
]
,
κ0 =
1
2
(a′20 − 2a20), δ′1,i = a′0(e3,is2 − e2,is3),
δ1,i = a′0(e1,is3 − e3,is1), δ0,i = a0(e2,is1 − e1,is2).
3. Об общем методе исследования. Согласно методу, предложенному в [8],
обозначим:
M = α · ν = a′0α1 sinnt+ a′0α2 cosnt+ a0α3,
N = β · ν = a′0β1 sinnt+ a′0β2 cosnt+ a0β3,
L = γ · ν = a′0γ1 sinnt+ a′0γ2 cosnt+ a0γ3,
F4(t) = Aω · ν − k = (A′
1 sinnt+A1 cosnt+ a0A33)n+
+ (A2 cos 2nt+A′
2 sin 2nt+ 2a0A1 cosnt+ 2a0A
′
1 sinnt+A0)m− k,
(9)
где
A2 =
a′20
2
(A22 −A11), A′
2 = a′20 A12, A′
1 = a′0A13, A1 = a′0A23,
A0 =
a′20
2
(A22 +A11) + a20A33.
Запишем с учетом (9) интеграл моментов из (3):
λ1(t)M + λ2(t)N + F4(t) = 0. (10)
Из равенства (10) и третьего соотношения из (7) найдем
λ1(t) =
NF3(t)− F4(t)(α3n+Mm)
n(α3M + β3N) +m(M2 +N2)
,
λ2(t) = − MF3(t) + F4(t)(β3n+Nm)
n(α3M + β3N) +m(M2 +N2)
.
(11)
Отметим, что в силу (6) для векторов α, β, γ справедливы соотношения
αiαj + βiβj + γiγj =
{
0, если i
= j,
1, если i = j,
i, j = 1, 2, 3. (12)
88
Регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора
После подстановки (11) в первое уравнение из (7) имеем
6∑
k=0
(Pk cos knt+Qk sin knt) = 0. (13)
Поскольку равенство (13) должно выполняться для всех t, то приходим к алгеб-
раической системе из 13 уравнений
P0 = 0, Pk = 0, Qk = 0, k = 1, 6. (14)
Пусть угол нутации отличен от π
2 , т. е. a0
= 0. С учетом обозначений (8) и
соотношений (12) равенства P6 = 0, Q6 = 0 из системы (14) обратятся в тождества.
Запишем равенства P5 = 0, Q5 = 0.
γ1(γ
2
1 − 3γ22)(β2s1 + β1s2) + γ2(γ
2
2 − 3γ21)(β2s2 − β1s1) = 0,
γ2(γ
2
2 − 3γ21)(β2s1 + β1s2)− γ1(γ
2
1 − 3γ22)(β2s2 − β1s1) = 0.
(15)
На основании аналогичных преобразований из второго уравнения из (7) найдем
6∑
k=0
(P ′
k cos knt+Q′
k sin knt) = 0
и приходим к системе
P ′
0 = 0, P ′
k = 0, Q′
k = 0, k = 1, 6. (16)
Равенства P ′
5 = 0, Q′
5 = 0 имеют вид
γ1(γ
2
1 − 3γ22)(α2s1 + α1s2) + γ2(γ
2
2 − 3γ21)(α2s2 − α1s1) = 0,
γ2(γ
2
2 − 3γ21)(α2s1 + α1s2)− γ1(γ
2
1 − 3γ22)(α2s2 − α1s1) = 0.
(17)
Решая уравнения (15) относительно переменных β2s1+β1s2 и β2s2−β1s1, запишем
главный определитель системы (15)∣∣∣∣γ1(γ21 − 3γ22) γ2(γ
2
2 − 3γ21)
γ2(γ
2
2 − 3γ21) −γ1(γ21 − 3γ22)
∣∣∣∣ = −(γ21 + γ22)
3,
который равен нулю только при γ1 = γ2 = 0. Случай γ = (0, 0, 1) рассмотрен в [6],
здесь полагаем γ21 + γ22
= 0. Тогда из (15) и (17) следует
β2s1 + β1s2 = 0, β2s2 − β1s1 = 0, α2s1 + α1s2 = 0, α2s2 − α1s1 = 0.
Отсюда, учитывая (6), получим решение систем уравнений (15) и (17)
s1 = 0, s2 = 0. (18)
89
Г.А. Котов
Таким образом, если плоскость, которой принадлежит вектор гиростатического
момента, не ортогональна вектору a, то в рассматриваемом случае для регулярной
прецессии гиростата в поле силы тяжести центр масс принадлежит оси собственного
вращения.
Из равенств P4 = 0, Q4 = 0 определим следующие равенства:
(γ21 − γ22)A12 + γ1γ2(A22 −A11) + γ3(γ1A23 − γ2A13) = 0, (19)[
γ1β1(γ
2
1 − 3γ22) + γ2β2(γ
2
2 − 3γ21)
]
(a0s3 +mk) =
= m2
[
β1(γ
2
1 − 3γ22)(γ1A11 + γ2A12 + γ3A13)+
+ β2(γ
2
2 − 3γ21)(γ1A12 + γ2A22 + γ3A23)
]
.
(20)
При γ1β1(γ21 − 3γ22) + γ2β2(γ
2
2 − 3γ21)
= 0 равенство (20) служит для нахождения
параметра s3, а соотношение (19) устанавливает зависимость между компонентами
тензора инерции и расположением роторов в теле-носителе.
Так как в общем случае нахождение решений системы (14) затруднительно, то
дальнейшие исследования проведем при некоторых дополнительных условиях.
4. Примеры разрешимости системы (14).
Пример 1. Положим α = (0, 0, 1), β = (1, 0, 0), γ = (0, 1, 0) и проведем
построение системы алгебраических уравнений из (13). Из (19) получим равенство
A12 = 0, при выполнении которого уравнение (20) становится тождеством. Учитывая
(18), система (14) приводится к виду:
m2A22 − km− a0s3 = 0, A23(n
2 −m2)(n + a0m) = 0,
A23(n+ a0m)
[
4n(n+ a0m)(m+ a0n) +m((n + a0m)2 + 3(m+ a0n)
2)
]
= 0,
(m2 + 4n2 + 6mna0 +m2a20)(m
2A22 − km− a0s3) = 0.
(21)
Из системы (21) следует условие m2A22 − km − a0s3 = 0, а двум оставшимся
уравнениям можно удовлетворить положив либо A23 = 0, либо n+a0m = 0. Запишем
при ограничениях
s1 = s2 = 0, A12 = 0, m2A22 − km− a0s3 = 0
выражения для λ1(t) и λ2(t) из (11).
Если A23 = 0, то
λ1(t) = −a′0mA13 sinnt− 1
m
(s3 +m(n+ a0m)A33 − a0m
2A22),
λ2(t) = a′0m(A22 −A11) sin nt− (n+ a0m)A13.
(22)
При условии n+ a0m = 0 имеем
λ1(t) = −a′0m(A13 sinnt+A23 cosnt)− 1
m
(s3 − a0m
2A22),
λ2(t) = a′0m(A22 −A11) sinnt.
(23)
90
Регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора
Таким образом, при α = (0, 0, 1), β = (1, 0, 0), γ = (0, 1, 0) координаты центра
масс гиростата определяются зависимостями s1 = s2 = 0, m2A22 − km− a0s3 = 0,
компоненты гиростатического момента являются периодическими функциями вре-
мени, линейными по sinnt и cosnt. В случае A23 = 0 вторая ось является главной
осью в теле-носителе; в случае n + a0m = 0 появляется зависимость между скоро-
стями прецессии и собственного вращения гиростата, а гиростатический момент не
зависит от A33.
Рассмотрим другой пример.
Пример 2. Пусть α = (0, −2√
5
, 1√
5
), β = ( 5√
30
, −1√
30
, −2√
30
), γ = ( 1√
6
, 1√
6
, 2√
6
). Из
(19), (20) найдем соответственно:
A23 = A13 − 1
2
(A22 −A11), (24)
s3 =
m
a0
(
m(A11 +A12 + 2A13)− k
)
. (25)
С учетом (18) и (24), (25) система алгебраических уравнений (14) примет вид:
(m2 − n2)K = 0, (a0n
2 + 3mn+ 2a0m
2)K = 0, (a0n
2 + 2mn+ a0m
2)K = 0,
(12a0nm
2 − 15m3 −mn2 − 4a0n
3 − 3a20mn
2 + 27a30m
3)K = 0,
(−84a0nm
2 − 51m3 − 29mn2 − 20a0n
3 − 39a20mn
2 + 15a30m
3)K = 0,
(−5a0nm
2 − 9a0m
3 − a30mn
2 − 2a20n
3 + 7a30m
3 − 6m2n)K = 0,
(26)
где K = 4a′20 m(A11 + A12 + 2A13) + a0(n + a0m)(A11 − A22 + 4A13 + 4A33) − 4k. Из
(26) следует равенство K = 0, которое приводит к условию
k = a′20m(A11 +A12 + 2A13) +
1
4
a0(n+ a0m)(A11 −A22 + 4A13 + 4A33). (27)
При выполнении условий (18), (24), (25), (27) зависимости (11) будут иметь вид
λ1(t) =
3∑
j=0
(
µj cos(jnt) + µ′j sin(jnt)
)
R2(t)
, λ2(t) =
3∑
j=0
(
σj cos(jnt) + σ′j sin(jnt)
)
R2(t)
, (28)
где
R2(t) = −1
6
[
a′20 m sin 2nt+ 2a′0(n+ 2a0m)(sin nt+ cosnt)− 2a0(n+ a0m)− 5a′20 m
]
,
µ3 =
m2
√
5
60
a′30 (2A12 −A13), µ′3 =
m2
√
5
120
a′30
[
4A12 + 5(A11 −A22) + 10A13
]
,
91
Г.А. Котов
µ2 =
m
√
5
60
a′20 (n+ 2a0m)
[
8(A12 +A13) + 5(A11 −A22)
]
,
µ′2 =
m
√
5
60
a′20 (n+ 3a0m)
[
12A13 + 5(A11 −A22)
]
,
µ1 =
a′0
√
5
60
[
5(A22 −A11)(n
2 − a20m
2 + 5m2 + 5a0mn) +A13(5a
2
0m
2 − 56a0mn−
− 49m2 − 12n2) + 2A12(7a
2
0m
2 − 4a0mn− 11m2)
]
,
µ′1 =
a′0
√
5
120
[
5(A22 −A11)(2n
2 −m2 + 6a0mn+ 5m2a20)− 2A13(5m
2 + 12n2+
+ 23a20m
2 + 40a0mn) + 4A12(11m
2 + 4a0mn− 7m2a20)
]
,
µ0 =
√
5
120
[
2a0(n+ a0m)2 + a′20m(7n + 9a0m)
][
12A13 + 5(A11 −A22)
]
,
σ3 =
m2
√
30
60
a′30 (2A13 +A12), σ′3 =
m2
√
30
60
a′30 A12,
σ2 =
m
√
30
15
a′20 (n+ 2a0m)(A13 +A12), σ′2 = −m
√
30
30
a′20 (n+ 3a0m)A13,
σ1 =
a′0
√
30
60
[
2A13(5a
2
0m
2 + 6a0mn−m2 + 2n2) +A12(7a
2
0m
2 − 4a0mn− 11m2)
]
,
σ′1 =
a′0
√
30
60
[
4A13(5m
2 + n2 − a20m
2 + 5a0mn) +A12(11m
2 + 4a0mn− 7m2a20)
]
,
σ0 =
√
30
30
(3a20mn− 9a0m
2 − 2a0n
2 − 7mn+ 7a30m
2)A13.
Таким образом, для случая, когда α = (0,− 2√
5
, 1√
5
), β = ( 5√
30
,− 1√
30
,− 2√
30
),
γ = ( 1√
6
, 1√
6
, 2√
6
), компоненты гиростатического момента являются периодическими
функциями вида (28). Зависимость между компонентами тензора инерции выража-
ется формулой (24), а после подстановки (27) в равенство (25) получим выражение
s3 = a0m
2(A11 +A12 + 2A13)− m(n+ a0m)
4
(A11 −A22 + 4A13 + 4A33). (29)
Отметим, что в силу (18) центр масс находится на оси собственного вращения,
но, в отличие от предыдущего примера разрешимости, третья координата центра
масс зависит только от компонент тензора инерции тела-носителя и скоростей соб-
ственного вращения и прецессии и не содержит постоянной моментов k, значение
которой в данном примере находится из соотношения (27).
Пример 3. Пусть α = (0, 1, 0), β = (0, 0, 1), γ = (1, 0, 0). Равенства (15) обраща-
92
Регулярная прецессия гиростата, несущего два ротора
ются в тождества. Система алгебраических уравнений (14) имеет вид:
a0s1 = 0, a0s2 = 0, a0A12 = 0, a0(m+ 6a0n+ a20m)s2 = 0,
a0(m
2A11 − km− a0s3) = 0, a0A12(12a0mn+ 3m2 + a20m
2 + 8a20n
2) = 0,
a0
[
s1(m+ 2a0n+ a20m) + (m2 − n2)(n+ a0m)A13
]
= 0,
a0(m
2 + 8n2 + 3a20m
2 + 12a0mn)(m
2A11 − km− a0s3) = 0,
a0
[
4(n + a0m)A13(m
3 + a20m
3 + 6a0nm
2 + 3a20mn
2 + 3n2m+ 2a0n
3)+
+ s1(3m
2 + 3a40m
2 + 8a30nm+ 8a0nm+ 2a20m
2 + 8a20n
2)
]
= 0.
(30)
Если положить a0
= 0, то решение системы (30) описывается равенствами
s1 = s2 = 0, A12 = 0, m2A11 − km− a0s3 = 0,
A13 = 0 или n+ a0m = 0.
(31)
При a0 = 0, уравнения (30) выполняются при произвольных значениях других
параметров. Для нахождения решения дифференциальных уравнений (7) необходи-
мо рассматривать систему (16). Запишем (16), учитывая, что a0 = 0, a′0 = 1.
s1 = 0, s2 = 0, A12 = 0, mA11 − k = 0,
− 5ms1 + 4n(n2 −m2)A13 = 0, 5ms1 + 2nA13(5n
2 + 3m2) = 0.
(32)
Решение системы (32) таково
s1 = s2 = 0, A12 = 0, A13 = 0, k = mA11. (33)
Отметим, что в случае A13 = 0, зависимости (33) можно получить из (31) поло-
жив a0 = 0.
Таким образом, с учетом (11) и (31), запишем решение уравнений (7).
При произвольном значении угла θ0 и A13 = 0 имеем,
λ1(t) = a′0m(A22 −A11) cos nt− (n+ a0m)A23,
λ2(t) = −a′0mA23 cosnt− 1
m
(s3 +m(n+ a0m)A33 − a0m
2A11).
Если θ0
= π
2 и n+ a0m = 0, то компоненты гиростатического момента таковы
λ1(t) = a′0m(A11 −A22) cosnt,
λ2(t) = −a′0m(A13 sinnt+A23 cosnt)− 1
m
(s3 − a0m
2A11).
В данном примере, при угле нутации равном π
2 третья координата центра масс
может принимать любые значения.
5. Выводы. На основании метода, использующего первые интегралы уравнений
движения гиростата, получены три решения уравнений (1) и (2) движения гиростата
в поле силы тяжести. Эти решения описывают прецессионные движения. В зависи-
мости от расположения роторов в теле-носителе установлен вид зависимостей λ1(t)
и λ2(t) от времени.
93
Г.А. Котов
1. Возняк А.А. Полурегулярные прецессии первого типа в задаче о движении гиростата с пере-
менным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил //
Труды ИПММ НАН Украины. – 2012. – 24. – С. 45–57.
2. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела.
Развитие и современное состояние. – Киев: Наук. думка, 1978. – 296 с.
3. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – Донецк: ДонНУ,
2012. – 364 с.
4. Горр Г.В., Мазнев А.В. О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с переменным ги-
ростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче динамики // Труды
ИПММ НАН Украины. – 2009. – 21. – С. 64–75.
5. Горр Г.В., Ковалев А.М., Неспирный В.Н. Инвариантные соотношения неавтономных систем
дифференциальных уравнений с приложением в механике // Механика твердого тела. – 2013. –
Вып. 43 – С. 3–18.
6. Горр Г.В., Щетинина Е.К. Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического
момента // Механика твердого тела. – 2013. – Вып. 43 – С. 46–56.
7. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной ка-
пельной жидкостью. Собр. соч. – М.; Л.: Гозтехиздат, 1949. – Т. 1. – С. 31–152.
8. Котов Г.А. Прецессии общего вида гиростата, несущего два маховика // Механика твердого
тела. – 2013. – Вып. 43 – С. 79–89.
9. Мазнев А.В. Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под
действием потенциальных и гироскопических сил // Докл. НАН Украины. – 2011. – № 8. –
С. 66–72.
10. Румянцев В.В. Об управлении ориентацией и о стабилизации спутника роторами // Вестн.
Моск. ун-та. Математика, механика. – 1970. – № 2. – С. 83–96.
11. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-е НГУ, 1965. – 221 с.
12. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого тела. –
1974. – Вып. 4. – С. 52–73.
G.A. Kotov
Regular precession motion of gyrostat carrying two rotors.
The conditions of existence of gyrostat’s regular precession motions under the action of gravity are
studied in the article. Three new solutions of motion equations are obtained.
Keywords: gyrostat, regular precession motions, variable gyrostatic moment.
Донбасская нац. акад. строительства
и архитектуры, г.Макеевка
kotov ga@rambler.ru
Получено 10.04.15
94
|