О разности резольвент операторов типа Дирака
Рассматриваются две граничные задачи для 2 x 2 системы типа Дирака: с граничными условиями специального вида и с антипериодическими граничными условиями. Найдено условие, при котором разность резольвент указанных операторов одномерна....
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124237 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О разности резольвент операторов типа Дирака / А.В. Агибалова, Л.Л. Оридорога // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 3-8. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124237 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242372017-09-23T03:03:28Z О разности резольвент операторов типа Дирака Агибалова, А.В. Оридорога, Л.Л. Рассматриваются две граничные задачи для 2 x 2 системы типа Дирака: с граничными условиями специального вида и с антипериодическими граничными условиями. Найдено условие, при котором разность резольвент указанных операторов одномерна. We consider two boundary value problems for 2 x 2 Dirac type system with the special boundary conditions and with the antiperiodic boundary conditions. We indicate the condition under with the resolvent difference of the operators is one-dimensional. 2016 Article О разности резольвент операторов типа Дирака / А.В. Агибалова, Л.Л. Оридорога // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 3-8. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124237 517.927.4 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматриваются две граничные задачи для 2 x 2 системы типа Дирака: с граничными условиями специального вида и с антипериодическими граничными условиями. Найдено условие, при котором разность резольвент указанных операторов одномерна. |
| format |
Article |
| author |
Агибалова, А.В. Оридорога, Л.Л. |
| spellingShingle |
Агибалова, А.В. Оридорога, Л.Л. О разности резольвент операторов типа Дирака Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Агибалова, А.В. Оридорога, Л.Л. |
| author_sort |
Агибалова, А.В. |
| title |
О разности резольвент операторов типа Дирака |
| title_short |
О разности резольвент операторов типа Дирака |
| title_full |
О разности резольвент операторов типа Дирака |
| title_fullStr |
О разности резольвент операторов типа Дирака |
| title_full_unstemmed |
О разности резольвент операторов типа Дирака |
| title_sort |
о разности резольвент операторов типа дирака |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124237 |
| citation_txt |
О разности резольвент операторов типа Дирака / А.В. Агибалова, Л.Л. Оридорога // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 3-8. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT agibalovaav oraznostirezolʹventoperatorovtipadiraka AT oridorogall oraznostirezolʹventoperatorovtipadiraka |
| first_indexed |
2025-07-09T01:06:05Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:06:05Z |
| _version_ |
1837129446996312064 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ. 2016. Том 30
УДК 517.927.4
c©2016. А.В. Агибалова, Л.Л. Оридорога
О РАЗНОСТИ РЕЗОЛЬВЕНТ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ДИРАКА
Рассматриваются две граничные задачи для 2× 2 системы типа Дирака: с граничными услови-
ями специального вида и с антипериодическими граничными условиями. Найдено условие, при
котором разность резольвент указанных операторов одномерна.
Ключевые слова: система типа Дирака, резольвента, одномерное возмущение.
В течение последних двадцати лет одномерные возмущения самосопряженных
операторов интенсивно изучались Саймоном, Дель Рио, Макаровым и многими
другими авторами в связи с проблемой устойчивости точечного спектра и при изу-
чении сингулярного непрерывного спектра (см. [1] и обзор [2]). Некоторые недавние
результаты можно найти в работах [3, 4]. Для возмущений компактных самосопря-
женных операторов (или самосопряженных операторов с компактной резольвен-
той), но возмущения которых уже не самосопряженные, спектральная структура
становится неожиданно богатой и сложной, как только покинуть классы, охваты-
ваемые классическими теориями (диссипативных операторов или слабых возму-
щений в смысле Мацаева, см. книги [5] и [6]).
Рассмотрим 2× 2 систему типа Дирака
−iB−1y′ + Q(x)y = λy, y = col(y1, y2), x ∈ [0, 1], (1)
где
B = diag(b1, b2), b1 < 0 < b2 и Q =
(
0 Q12
Q21 0
)
∈ L1([0, 1];C2×2). (2)
К системе (1) присоединим граничные условия
U1(y) := y1(0)− h0y2(0) = 0, U2(y) = y1(1)− h1y2(0) = 0, (3)
где h0, h1 ∈ C \ {0}.
С системой (1) естественным образом ассоциируется максимальный оператор
L = L(Q), действующий в пространстве L2([0, 1];C2) на области
dom(L) = {y ∈ AC([0, 1];C2) : Ly ∈ L2([0, 1];C2)}.
Обозначим через LU1,U2 = LU1,U2(Q) оператор, ассоциированный в L2([0, 1];C2) с
граничной задачей (1)–(3). Он определяется как сужение оператора L на область
dom(LU1,U2) = {y ∈ dom(L) : U1(y) = U2(y) = 0}.
3
А.В. Агибалова, Л.Л. Оридорога
Наряду с условиями (3) рассмотрим антипериодические граничные условия
Ũ1(y) = y1(0) + y1(1) = 0, Ũ2(y) = y2(0) + y2(1) = 0, (4)
и обозначим через Laper = L
Ũ1,Ũ2
(Q) оператор, порожденный в L2([0, 1];C2) гра-
ничной задачей (1)–(2), (4). Аналогично оператору LU1,U2 , он определяется как
сужение оператора L на область
dom(Laper) = {y ∈ dom(L) : Ũ1(y) = Ũ2(y) = 0}.
Отметим, что оператор Laper самосопряжен.
Пусть
W (x) =
(
w11(x) w12(x)
w21(x) w22(x)
)
– фундаментальная матрица системы (1), нормированная условием W (0) = I, и
W1 :=
(
w11
w21
)
, W2 :=
(
w12
w22
)
.
Обозначим также
W̃ (·) := iW (1)W−1(·)B = (w̃ij(·))2i,j=1 ,
W̃1 := (w̃11 w̃12), W̃2 := (w̃21 w̃22).
Тогда
1∫
0
iW (1)W−1(t)B
(
f1(t)
f2(t)
)
dt =
1∫
0
W̃ (t)
(
f1(t)
f2(t)
)
dt =
= 〈W̃1, f〉
(
1
0
)
+ 〈W̃2, f〉
(
0
1
)
=
(
〈W̃1, f〉
〈W̃2, f〉
)
,
где 〈W̃i, f〉 :=
1∫
0
(w̃i1(t)f1(t) + w̃i2(t)f2(t)) dt, i ∈ {1, 2}.
Далее, обозначим
∆ =
∣∣∣∣
U1(W1) U1(W2)
U2(W1) U2(W2)
∣∣∣∣ и ∆aper =
∣∣∣∣∣
Ũ1(W1) Ũ1(W2)
Ũ2(W1) Ũ2(W2)
∣∣∣∣∣
характеристические определители задач (1)–(3) и (1), (2), (4) соответственно. Лег-
ко видеть, что
∆ = h1 − h0w11(1)− w12(1),
∆aper = 1 + w11(1) + w22(1) + detW (1) = 1 + w11(1) + w22(1) + ei(b1+b2)λ.
4
О разности резольвент операторов типа Дирака
Справедливо следующее предложение.
Лемма. Пусть характеристические определители ∆ и ∆aper отличны от
нуля. Тогда операторы LU1,U2 и Laper обратимы и обратные операторы имеют
вид
L−1
U1,U2
f = (C1(x) + C2(x))〈W̃1, f〉+ iW (x)
x∫
0
W−1(t)Bf(t)dt, (5)
C1(x) =
h0
∆
W1(x), C2(x) =
1
∆
W2(x), (6)
и
L−1
aperf = C̃1(x)〈W̃1, f〉+ C̃2(x)〈W̃2, f〉+ iW (x)
x∫
0
W−1(t)Bf(t)dt, (7)
C̃1(x) =
w21(1)
∆aper
W2(x)− 1 + w22(1)
∆aper
W1(x), (8)
C̃2(x) =
w12(1)
∆aper
W1(x)− 1 + w11(1)
∆aper
W2(x). (9)
Доказательство. Решение системы
−iB−1y′ + Qy = f
имеет вид
y(x) = C1W1(x) + C2W2(x) + iW (x)
x∫
0
W−1(t)Bf(t)dt, (10)
где C1 и C2 – некоторые постоянные.
(i) Найдем коэффициенты C1 и C2, так, чтобы функция y(x) удовлетворяла
граничным условиям (3). Подставляя решение (10) в условия (3), приходим к си-
стеме уравнений
{
C1 − h0C2 = 0,
C1w11(1) + C2(w12(1)− h1) = −〈W̃1, f〉.
Решение этой системы имеет вид
C1 =
h0〈W̃1, f〉
h1 − h0w11(1)− w12(1)
, C2 =
〈W̃1, f〉
h1 − h0w11(1)− w12(1)
.
Подставляя эти выражения в (10) и группируя относительно 〈W̃1, f〉, приходим
к (5) и (6).
5
А.В. Агибалова, Л.Л. Оридорога
(ii) Решение граничной задачи (1), (2), (4) также имеет вид (10) с константами
C̃1 и C̃2. Найдем их. В этом случае получаем систему
{
C̃1(1 + w11(1)) + C̃2w12(1) = −〈W̃1, f〉,
C̃1w21(1) + C̃2(1 + w22(1)) = −〈W̃2, f〉.
Ее решением будет
C̃1 =
w12(1)〈W̃2, f〉 − (1 + w22(1))〈W̃1, f〉
1 + w11(1) + w22(1) + ei(b1+b2)λ
,
C̃2 =
w21(1)〈W̃1, f〉 − (1 + w11(1))〈W̃2, f〉
1 + w11(1) + w22(1) + ei(b1+b2)λ
.
Подставляя эти коэффициенты в (10) и группируя выражение относительно 〈W̃1, f〉
и 〈W̃2, f〉, приходим к равенствам (7)–(9).
Напомним, что знаменатели в выражениях (6), (8) и (9) суть характеристиче-
ские определители ∆ и ∆aper. ¤
Следующая теорема – основной результат работы.
Теорема. Пусть ∆ ·∆aper 6= 0 и
h0 + h1 = 0.
Тогда разность резольвент L−1
U1,U2
− L−1
aper одномерна.
Доказательство. Пусть
g1(x) =
(
h0w11(x)+w12(x)
∆ + (1+w22(1))w11(x)−w21(1)w12(x)
∆aper
h0w21(x)+w22(x)
∆ + (1+w22(1))w21(x)−w21(1)w22(x)
∆aper
)
,
g2(x) =
(
(1+w11(1))w12(x)−w12(1)w11(x)
∆aper
(1+w11(1))w22(x)−w12(1)w21(x)
∆aper
)
.
Согласно равенствам (5) и (7),
(
L−1
U1,U2
− L−1
aper
)
f =
(
h0W1(x) + W2(x)
∆
− w21W2(x)− (1 + w22)W1(x)
∆aper
)
〈W̃1, f〉−
− w21(1)W1(x)− (1 + w11(1))W2(x)
∆aper
〈W̃2, f〉 =
[(
h0
∆
+
1 + w22(1)
∆aper
)
W1(x)+
+
(
1
∆
− w21(1)
∆aper
)
W2(x)
]
〈W̃1, f〉+
[
−w12(1)
∆aper
W1(x) +
1 + w11(1)
∆aper
W2(x)
]
〈W̃2, f〉 =
= 〈W̃1, f〉g1(x) + 〈W̃2, f〉g2(x).
6
О разности резольвент операторов типа Дирака
Найдем условие, при котором векторы g1 и g2 коллинеарны. Обозначив через
α коэффициент пропорциональности g1 = αg2, получаем относительно h0 и h1
систему уравнений
{
h0w11(x)+w12(x)
h1−h0w11(1)−w12(1) = [(1+w11(1))w12(x)−w12(1)w11(x)]α−(1+w22(1))w11(x)+w21(1)w12(x)
∆aper
,
h0w21(x)+w22(x)
h1−h0w11(1)−w12(1) = [(1+w11(1))w22(x)−w12(1)w21(x)]α−(1+w22(1))w21(x)+w21(1)w22(x)
∆aper
.
Обозначив через C1(x) и C2(x) правые части первого и второго уравнений со-
ответственно, приходим к системе более простого вида
h0w11(x) + w12(x)
h1 − h0w11(1)− w12(1)
= C1(x),
h0w21(x) + w22(x)
h1 − h0w11(1)− w12(1)
= C2(x).
Группируем слагаемые при h0 и h1:
{
−h0(w11(x) + w11(1)C1(x)) + h1C1(x) = w12(1)C1(x) + w12(x),
−h0(w21(x) + w11(1)C2(x)) + h1C2(x) = w12(1)C2(x) + w22(x),
и решаем систему методом Крамера. Ее решением будут
h0 =
C2(x)w12(x)− C1(x)w22(x)
C1(x)w21(x)− C2(x)w11(x)
,
h1 = w12(1)− ei(b1+b2)λ + w11(1)(C1(x)w22(x)− C2(x)w12(x))
C1(x)w21(x)− C2(x)w11(x)
.
Найдем сумму h0 и h1:
h0 + h1 =
(1 + w11(1))(C2(x)w12(x)− C1(x)w22(x))− ei(b1+b2)λ
C1(x)w21(x)− C2(x)w11(x)
+ w12(1). (11)
Возвращаясь к обозначениям C1(x) и C2(x), упрощаем числитель и знамена-
тель в (11):
C2(x)w12(x)− C1(x)w22(x) =
ei(b1+b2)λ
∆aper
(αw12(1) + w22(1) + 1),
C1(x)w21(x)− C2(x)w11(x) = −ei(b1+b2)λ
∆aper
(α(1 + w11(1)) + w21(1)).
Подставив полученные выражения в (11), получаем искомое условие:
h0 + h1 = 0.
¤
7
А.В. Агибалова, Л.Л. Оридорога
1. Del Rio R., Makarov N., Simon B. Operators with singular continuous spectrum. II. Rank one
operators // Comm. Math. Phys. – 1994. – 165 (1). – P. 59–67.
2. Simon B. Spectral analysis of rank one perturbations and applications // CRM Proc. Lecture
Notes, Amer. Math. Soc., Providence, RI. – 1995. – 8. – P. 109–149.
3. Liaw C., Treil S. Rank one perturbations and singular integral operators // J. Funct. Anal. – 2009.
– 257 (6). – P. 1947–1975.
4. Albeverio S., Konstantinov A., Koshmanenko V. Decompositions of singular continuous spectra
of H.2-class rank one perturbations // Integral Equations Operator Theory. – 2005. – 52 (4). –
P. 455–464.
5. Gohberg I., Krein M. Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators. – Amer.
Math. Soc., Providence, RI, 1969. – 378 p.
6. Gohberg I., Krein M. Theory and Applications of Volterra Operators in Hilbert Space. – Amer.
Math. Soc., Providence, RI, 1970. – 430 p.
A.V. Agibalova, L. L. Oridoroga
On resolvent difference of Dirac type operators.
We consider two boundary value problems for 2 × 2 Dirac type system with the special boundary
conditions and with the antiperiodic boundary conditions. We indicate the condition under with the
resolvent difference of the operators is one-dimensional.
Keywords: Dirac-type system, resolvent operator, one-dimensional perturbation.
ГУ «Ин-т прикл. математики и механики», Донецк
agannette@rambler.ru
vremenny-orid@mail.ru
Получено 20.05.16
8
|