Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала. Модифицированная модель Кларка–Самуэльсона
Указан способ выведения интегро-дифференциальных уравнений для вероятности неразорения страховой компании, функционирующей на финансовом (B, S) рынке на бесконечном и конечном интервалах времени. Рисковый актив описывается модифицированной моделью Кларка Самуэльсона. Премии поступают со скоростью,...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124238 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала. Модифицированная модель Кларка–Самуэльсона / Б.В. Бондарев, М.И. Хмелина // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 9-19. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124238 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242382017-09-23T03:03:14Z Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала. Модифицированная модель Кларка–Самуэльсона Бондарев, Б.В. Хмелина, М.И. Указан способ выведения интегро-дифференциальных уравнений для вероятности неразорения страховой компании, функционирующей на финансовом (B, S) рынке на бесконечном и конечном интервалах времени. Рисковый актив описывается модифицированной моделью Кларка Самуэльсона. Премии поступают со скоростью, пропорциональной величине капитала компании. This paper shows a way of deriving integro-differential equations for the probability of the non–ruin probability insurance company, in the financial (B; S)–market on the finite and infinite time intervals. Risky asset is described by the modified Clarke–Samuelson model. The speed of the premiums arrival is proportional to the company’s capital. 2016 Article Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала. Модифицированная модель Кларка–Самуэльсона / Б.В. Бондарев, М.И. Хмелина // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 9-19. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124238 519.21 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Указан способ выведения интегро-дифференциальных уравнений для вероятности неразорения страховой компании, функционирующей на финансовом (B, S) рынке на бесконечном и конечном интервалах времени. Рисковый актив описывается модифицированной моделью Кларка Самуэльсона. Премии поступают со скоростью, пропорциональной величине капитала компании. |
| format |
Article |
| author |
Бондарев, Б.В. Хмелина, М.И. |
| spellingShingle |
Бондарев, Б.В. Хмелина, М.И. Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала. Модифицированная модель Кларка–Самуэльсона Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Бондарев, Б.В. Хмелина, М.И. |
| author_sort |
Бондарев, Б.В. |
| title |
Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала. Модифицированная модель Кларка–Самуэльсона |
| title_short |
Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала. Модифицированная модель Кларка–Самуэльсона |
| title_full |
Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала. Модифицированная модель Кларка–Самуэльсона |
| title_fullStr |
Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала. Модифицированная модель Кларка–Самуэльсона |
| title_full_unstemmed |
Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала. Модифицированная модель Кларка–Самуэльсона |
| title_sort |
функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала. модифицированная модель кларка–самуэльсона |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124238 |
| citation_txt |
Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала. Модифицированная модель Кларка–Самуэльсона / Б.В. Бондарев, М.И. Хмелина // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 9-19. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT bondarevbv funkcionirovaniestrahovojkompaniispremiâmizavisâŝimiottekuŝegokapitalamodificirovannaâmodelʹklarkasamuélʹsona AT hmelinami funkcionirovaniestrahovojkompaniispremiâmizavisâŝimiottekuŝegokapitalamodificirovannaâmodelʹklarkasamuélʹsona |
| first_indexed |
2025-07-09T01:06:15Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:06:15Z |
| _version_ |
1837129455931228160 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ. 2016. Том 30
УДК 519.21
c©2016. Б.В. Бондарев, М.И. Хмелина
ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ С
ПРЕМИЯМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ТЕКУЩЕГО КАПИТАЛА.
МОДИФИЦИРОВАННАЯ МОДЕЛЬ КЛАРКА–САМУЭЛЬСОНА
Указан способ выведения интегро-дифференциальных уравнений для вероятности неразорения
страховой компании, функционирующей на финансовом (B, S)–рынке на бесконечном и конеч-
ном интервалах времени. Рисковый актив описывается модифицированной моделью Кларка–
Самуэльсона. Премии поступают со скоростью, пропорциональной величине капитала компании.
Ключевые слова: страховая компания, вероятность неразорения, финансовый (B, S)–рынок,
управление, модифицированная модель Кларка–Самуэльсона.
1. Введение. В настоящей работе рассматривается математическая модель
функционирования страховой компании, которая имеет возможность вкладывать
свои текущие средства на финансовый (B, S)–рынок, когда в качестве описания
рискового актива взята модифицированная модель Кларка–Самуэльсона.
Для исследования платежеспособности страховой компании обычно рассматри-
вают ее вероятность неразорения. Классический процесс риска и выведение урав-
нения для вероятности неразорения подробно изложены в [21]. В работах [1, 4–9,
26] рассматриваются случаи стохастических премий, а также задача Лундберга
для некоторых частных распределений величин поступающих исков. В [3] изуча-
ется функционирование компании на (B, S)–рынке с предположением, что эволю-
ция акций задается моделью П. Самуэльсона, основным процессом в которой взят
скачкообразный процесс с независимыми приращениями. В [9] рассмотрен конеч-
ный и бесконечный промежуток времени наблюдения за деятельностью компании,
а также в нескольких моделях с учетом отчисления денег на рекламу. В работе
[22] освещен вопрос о дифференцируемости функции вероятности неразорения. В
данной статье будет использовано предположение о том, что суммарные страховые
премии, поступающие в компанию от клиентов, зависят от значения ее текущего
капитала и задаются некоторой функцией [18].
В работе [13] рассмотрена несколько измененная модель Крамера–Лундберга,
функционирующая на (B,S)–рынке. Здесь выведено уравнение для ϕ(x) – веро-
ятности неразорения страховой компании на бесконечном интервале времени
λϕ(x) = λ
∫ x
0
ϕ(x− y)f(y)dy + [x(uµ− ur + r) + c(x)]ϕ′(x) +
u2σ2x2
2
ϕ′′(x). (1)
В классической модели П. Самуэльсона «основным» процессом является вине-
ровский процесс, приращения которого имеют нормальное распределение. Вместе
с тем отмечено [20], что на интервалах времени сравнительно небольшой длины
9
Б.В. Бондарев, М.И. Хмелина
(до 2–3 недель) приращения отличны от нормальных. Первые работы, в которых
отмечено это явление, появились ещё в 1915г. Результаты очень серьезного ста-
тистического анализа, подтверждающего отличие упомянутых распределений от
нормального, были опубликованы М. Кендаллом в 1953г. в [25]. Оказалось, что
отмеченный феномен является всеобщим [20]: ненормальность приращений прояв-
ляется на всех биржах независимо от объекта торговли. Отмеченная ненормаль-
ность приращений проявлялась в том, что в действительности наблюдалось замет-
но больше очень больших и очень маленьких по абсолютной величине прираще-
ний, чем их должно быть в соответствии с нормальным распределением. Другими
словами, наблюдаемые распределения приращений биржевых цен на интервалах
времени умеренной длины являются более островершинными, чем нормальные,
имея заметно более тяжёлые хвосты. Стоит отметить, что подобными свойства-
ми обладают распределения, эксцесс которых положителен [19]. В связи с этим
вместо «основного» винеровского процесса W (t) П. Кларк [23, 24] предложил для
описания биржевых цен использовать подчинённый винеровский процесс W (Z(t)),
где W (t) – стандартный винеровский процесс, а Z(t) – процесс с неубывающими
траекториями, начинающимися в нуле. Если в качестве Z(t) взять процесс Пуас-
сона с параметром λ, независящий от W (t), то величина W (Z(t)) будет иметь
положительный эксцесс [10]. А это означает большую, чем у нормального, «остро-
вершинность» распределения. Отсюда, в частности, следует, что с ростом времени
коэффициент эксцесса убывает, а наибольшая «островершинность» наблюдается
при малых t > 0. Таким образом, предложенная П. Кларком модель эволюции
цены рискового актива
S(t) = S(0) exp {ct + W (Z(t))} (2)
больше соответствует реальным данным, чем модель П. Самуэльсона. В статье
[10] в качестве модели, описывающей цену акции, взята модель
S̄(t) = S(0) exp
{(
µ− λ
[√
e− 1
])
t + W (Z(t))
}
. (3)
Модель (3) отличается от модели П. Кларка тем, что параметр µ > 0, как и
в модели П. Самуэльсона, имеет смысл локальной доходности. В [10] установле-
на также безарбитражность модели (3). Вместе с тем и в модели (3) есть одно
важное свойство, которое также не согласуется с реальностью. Как известно, до
некоторого показательно распределённого момента τ1 первого скачка пуассонов-
ского процесса Z(t), процесс W (Z(t)) будет тождественно равен нулю, т.е. до этого
момента времени в модели (3) отсутствуют случайности, что не согласуется с дей-
ствительностью. В работе [15] рассматривается математическая модель функци-
онирования страховых компаний, которые имеют возможность вкладывать сред-
ства на финансовый (B, S)–рынок. В качестве модели акции была использована
модифицированная модель П. Кларка. В настоящей работе рассматривается ма-
тематическая модель функционирования страховой компании, которая имеет воз-
можность вкладывать свои текущие средства на финансовый (B, S)–рынок, когда
10
Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала
в качестве описания рискового актива взята модифицированная модель Кларка–
Самуэльсона. Как и в [15], в качестве цены рискового актива рассмотрим видоиз-
мененную модель П. Кларка с добавленной диффузионной частью, т.е.
P (t) = P (0) exp
{(
µ− λ
[√
e− 1
])
t + W (Z(t))− σ2
2
t + σW1 (t)
}
, (4)
где P (0) – цена акции в нулевой момент времени, W (t) и W1(t) – винеровские про-
цессы, независимые между собой и от Z(t) (процесса Пуассона с параметром λ).
Параметр µ > 0, как и в модели П. Самуэльсона, имеет смысл локальной доход-
ности. В работе [15] доказана безарбиражность модели (4), а также показано, что
эксцесс в модели (4) также является положительной величиной γ2 = 3λ
(λ+1)2t
> 0,
что означает большую, чем у нормального, «островершинность» распределения, а
это означает, что больше очень больших и очень маленьких по абсолютной вели-
чине приращений, нежели их должно быть в соответствии с нормальным распре-
делением. Последний факт и наблюдается в действительности.
2. Основные результаты. В настоящей работе результаты, полученные в
работе [13], для случая модели рискового актива П. Самуэльсона переносятся на
случай модели рискового актива (4). Пусть ξx(t) – капитал компании в момент
времени t, а в начальный момент времени ξx(0) = x. Пусть c(x), x ∈ R+ – неко-
торая измеримая, ограниченная, строго положительная функция такая, что 1
c(x)
локально интегрируема [18]. Будем предполагать, что за время t в компанию по-
ступит c(ξx(t)) средств, т.е. премии, поступающие в страховую компанию, зависят
от имеющегося капитала.
Рассмотрим функционирование страховой компании на бесконечном проме-
жутке времени. Пусть в нулевой момент времени t = 0 компания распоряжается
начальным капиталом ξx(0) = x, а ξx(t) – капитал компании в момент времени t.
Определим вероятность неразорения страховой компании на бесконечном интер-
вале времени ϕ(x) = P {ξx(t) > 0, ∀t > 0} .
Премии страховой компании при капитале x поступают со скоростью c (x) > 0.
Страховые иски к компании будем считать стохастическими. Пусть количество по-
ступающих исков подчиняется пуассоновскому закону распределения Z1(t). Пусть
ηk – величины исков с функцией распределения P (ηk < y) = F (y), F (dy) =
= F (y +dy)−F (y). Суммарные иски
∑Z1(t)
k=1 ηk, где
∑0
k=1 ηk = 0, составляют слож-
ный пуассоновский процесс с параметром λ, представимый в виде стохастического
интеграла
∫ t
0
∫ +∞
0 αν1(dα, ds), где ν1(dα, ds) – пуассоновская мера, Mν1(dα, ds) =
= λ1F (dα)ds, а F (dα) – мера интервала (α, α + dα) [22, 23]. Процесс W (Z(t)) –
сложный процесс Пуассона, который имеет представление W (Z(t)) =
∑Z(t)
k=1 wk,∑0
k=1 wk = 0, wk – независимые нормально распределённые случайные величины
N(0, 1), тогда справедливо представление W (Z(t)) =
∫ t
0
∫ +∞
0 αν̃(dα, ds), ν̃(dα, ds) –
пуассоновская мера, Mν̃(dα, ds) = 0, Mν̃2(dα, ds) = λ Φ(dα)ds, Φ(dα) =
= 5xp
{
−α2
2
}
dα.
11
Б.В. Бондарев, М.И. Хмелина
Будем считать, что страховая компания размещает весь свой капитал на фи-
нансовом (B,S)–рынке, а именно, в каждый момент времени капитал компании
разбивается на две части: доля 0 6 u 6 1 отводится на покупку акций, доля 1−u –
на банковский счет под процентную ставку r. Эволюция безрискового актива зада-
ется формулой dB(t) = rB(t)dt, где B(0) – начальный счет. С помощью формулы
Ито имеем
dP (t) = P (t)
(
µdt +
∫ +∞
−∞
(eγ − 1)ν̃(dγ, dt) + σdW1(t)
)
, (5)
так как −λ [
√
e− 1] + λ
∫ +∞
−∞ (eγ − 1− γ) (dγ) = −λ [
√
e− 1] + λ
∫ +∞
−∞ (eγ − 1)(dγ) =
= −λ [
√
e− 1] + λ
∫ +∞
−∞ eγe−
γ2
2 dγ − λ = −λ
√
e + λ
∫ +∞
−∞
√
ee−
γ2−2γ+1
2 dγ = 0, откуда сле-
дует P (t + ∆t) = P (t)
(
1 + µ∆t +
∫ +∞
−∞ (eγ − 1)ν̃(dγ,∆t) + σ∆W1(t)
)
.
Пусть uξx(t)/P (t) – это количество акций, которое можно купить на сумму
uξx(t) по цене P (t) за акцию, отсюда цена рискового актива к моменту времени
(t + ∆t) примет вид uξx(t)
[
1 + µ∆t +
∫ +∞
−∞ (eγ − 1)ν̃(dγ, ∆t) + σ∆W1(t)
]
.
Тогда эволюция капитала компании будет иметь вид
ξx(t + ∆t) = c (ξx(t))∆t− ∫ +∞
0 αν1(dα, ∆t) + (1− u)ξx(t)(1 + r∆t)+
+uξx(t)
[
1 + µ∆t +
∫ +∞
−∞ (ey − 1)ν̃(dy, ∆t) + σ∆W1(t)
]
.
Переходя к пределу ∆t → 0 в последнем выражении, получим
dξx(t) = ξx(t) (uµ− ur + r − uλ [
√
e− 1]) dt + uσξx(t)dW1(t)+
+c (ξx(t)) dt− ∫ +∞
0 αν1(dα, dt) + uξx(t)
∫ +∞
−∞ (ey − 1)ν̃(dy, dt).
(6)
Пусть первый скачок капитала происходит в момент времени τ = s, а его
величина равна y. До этого момента уравнение эволюции капитала очевидно имеет
вид
dξ̄x(s) = ξ̄x(s) (uµ− ur + r − uλ [
√
e +−1]) ds+
+c
(
ξ̄x(s)
)
ds + uσξ̄x(s)dW1(s),
ξ̄x(0) = x, s > 0.
(7)
Пусть τ1 – первый скачек процесса Z(t), β1 – момент первого иска. В силу опреде-
ления процессов эти моменты времени показательно распределены соответственно
с параметрами λ > 0 и λ1 > 0.
Приведем следующие рассуждения [15, 22]. Распределение величины min (τ1, β1)
имеет показательное распределение с параметром λ + λ1. Действительно,
P {min (τ1, β1) > t} = P {τ1 > t}P {β1 > t} = e−(λ+λ1)t. Далее, нетрудно проверить,
что lim
∆s→0
P {τ1 ∈ [s,∆s) /min (τ1, β1) ∈ [s,∆s)} = λ
λ+λ1
. Аналогично lim
∆s→0
P {β1 ∈
∈ [s,∆s) /min (τ1, β1) ∈ [s,∆s)} = λ1
λ+λ1
.
12
Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала
Пусть P̄ (x, s, A) = P
{
ξ̄x(s) ∈ A
}
, ξ̄x(s) решение уравнения (7). Если на отрезке
времени [0, t] скачка нет, то вероятность этого события равна P {min (τ1, β1) > t} =
= P {τ1 > t}P {β1 > t} = e−(λ+λ1)t.
Вероятность скачка на временном интервале [s, s + ∆s) с точностью до бес-
конечно малых высшего порядка равна (λ + λ1) exp {− (λ + λ1) s}∆s. Умножив
последнее на условную вероятность P {τ1 ∈ [s,∆s) /min (τ1, β1) ∈ [s,∆s)}, будем
иметь: вероятность того, что первый скачек произойдёт на интервале [s, s + ds) и
он будет осуществлён за счёт процесса W (Z(υ)), будет равна λ exp {−(λ + λ1)s} ds.
Аналогично, вероятность того, что первый скачек произойдёт на интервале
[s, s+ds] и он будет осуществлён за счёт процесса иска, будет равна λ1 exp {− (λ+
+λ1) s} ds.
С помощью формулы полной вероятности составим уравнение для вероятности
неразорения страховой компании для балансового уравнения на конечном интер-
вале времени [0, t]:
ϕ(x, t) =
∫ t
0
e−(λ+λ1)s
∫ +∞
0
P̄ (x, s, dz)
(
λ1
∫ z
0
ϕ(z − y, t− s)dF (y) +
+λ
∫ +∞
−∞
ϕ ((z + uz [ey − 1]) , t− s)
1√
2π
e−
y2
2 dy
)
ds + e−(λ+λ1)t,
(8)
Действительно, в случае, если первый скачек ξ̄x (ρ) происходит в момент вре-
мени 0 < s < t за счёт поступления иска, то за оставшееся время t− s не наступит
разорение, если величина иска не будет превышать величины ξ̄x (s− 0), что в на-
ших обозначениях не превысит z > 0 – данный случай описывает первое слагаемое
(8). Далее, если первый скачек ξ̄x (ρ) происходит в момент времени 0 < s < t за
счёт скачка процесса Z(ρ), то за оставшееся время (t − s) вероятность неразоре-
ния, если скачек будет величиной y, а перед скачком значение ξ̄x (s− 0) = z > 0,
очевидно, будет равна ϕ ((z + uz [ey − 1]) , t− s), после чего необходимо произвести
усреднение по распределению величины скачка. Данный случай описывает второе
слагаемое (8).
Тогда, очевидно, что уравнение для вероятности неразорения страховой компании
для балансового уравнения (6) на бесконечном интервале времени [0, +∞)
ϕ(x) =
∫ +∞
0
e−(λ+λ1)s
∫ +∞
0
P̄ (x, s, dz)
(
λ1
∫ z
0
ϕ(z − y)dF (y) +
+λ
∫ +∞
−∞
ϕ (((1− u) + uey) z)
1√
2π
e−
y2
2 dy
)
ds,
(9)
где P̄ (x, t, A) = P
{
ξ̄x(t) ∈ A
}
– это вероятность перехода процесса ξ̄x(t) из точки
x за время t > 0 во множество A. Основной проблемой при переходе от уравнений
(8) и (9) к соответствующим интегро-дифференциальным уравнениям является
доказательство определённой гладкости для вероятности неразорения [4, 8, 12–14,
22].
13
Б.В. Бондарев, М.И. Хмелина
Предположим, что существует плотность величины исков f(x) = F ′(x). Пусть
f(0) = f ′(0) = 0, f ′′(x) – непрерывна, тогда взяв частные производные по z, будем
иметь
Q1(z, t) =
∫ z
0
ϕ(z − y, t)f(y)dy =
∫ z
0
ϕ(y, t)f(z − y)dy,
Q
′
1(z, t) = ϕ(z, t)f(0) +
∫ z
0
ϕ(y, t)f ′(z − y)dy,
Q
′′
1 (z, t) = ϕ(z, t)f ′(0) +
∫ z
0
ϕ(y, t)f ′′(z − y)dy.
Обозначим
Q2(z, t) =
∫ +∞
−∞
ϕ (((1− u) + uey) z, t)
1√
2π
e−
y2
2 dy.
Введя замену
b = ((1− u) + uey) z,
b
z
= (1− u) + uey,
b
zu
− 1
u
+ 1 = ey,
y = ln
(
b
zu
− 1
u
+ 1
)
, dy = − 1
b
zu − 1
u + 1
db
uz
=
db
b− z + uz
,
получим
Q2(z, t) =
∫ +∞
(1−u)z
ϕ (b, t)
b− (1− u)z
1√
2π
e−
ln2
(
b−(1−u)z
uz
)
2 db.
Q
′
2(z, t) =
∫ +∞
(1−u)z
ϕ (b, t)√
2π (b− (1− u)z)2
e−
[
ln
(
b−(1−u)z
uz
)]2
2
b ln
(
b−(1−u)z
uz
)
z
− u + 1
db,
то есть производная по нижнему пределу равна нулю.
Аналогично, вторая и третья частные производные от Q2(z, t) по z также суще-
ствуют и обладают таким же свойством, не приведены в тексте из-за громоздкости
выражений. Обозначим
at(z) = λ1
∫ z
0
ϕ(z − y, t)dF (y) + λ
∫ +∞
−∞
ϕ (((1− u) + uey) z, t)
1√
2π
e−
y2
2 dy. (10)
Введем следующую функцию Ut(s, x), 0 6 s 6 t: Ut(s, x) = Mat (ξx(s)),
0 6 s 6 t, где t > 0, x ∈ R, Ut(0, x) = at(x). По переменной z функция at(z) ∈ C2 –
дважды непрерывно дифференцируемая, коэффициенты обладают соответствую-
щей гладкостью [26].
Тогда Ut(s, x) удовлетворяет уравнению [17]
∂Ut(s, x)
∂s
=
1
2
u2σ2x2 ∂2Ut(s, x)
∂x2
+
+ [(µu + (1− u)r − uλ [
√
e− 1]) x + c (x)]
∂Ut(s, x)
∂x
.
(11)
14
Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала
Ut(s, x) изначально также можно записать в виде
Ut (s, x) =
∫ +∞
0
at(z)P̄ (x, s, dz), (12)
где P̄ (x, s, A) – вероятность перехода процесса ξ̄x(s) из состояния x во множество
A. Из (8) следует, что
ϕ(x, t) =
∫ t
0
e−(λ+λ1)s
∫ +∞
0
P̄ (x, s, dz)at (z) ds + e−(λ+λ1)t
либо
ϕ(x, t) =
∫ t
0
e −(λ + λ1)s Ut (s, x) ds + e−(λ2+λ1)t. (13)
Из (13) имеем
ϕ(x, t) = − 1
λ1 + λ
∫ t
0 Ut (s, x) de−(λ+λ1)s + e−(λ+λ1)t =
= − 1
λ1 + λ
[
e−(λ+λ1)tUt (t, x)− at (x)
]
+
+
1
λ1 + λ
∫ t
0 e−(λ+λ1)s ∂Ut (s, x)
∂s
ds + e−(λ+λ1)t.
Откуда следует
ϕ(x, t) =
=
1
λ1 + λ
[−e−(λ+λ1)tUt (t, x) + λ1
∫ x
0 ϕ(x− y, t)dF (y)
]
+
+
1
λ1 + λ
[
λ
∫ +∞
−∞ ϕ (((1− u) + uey) z, t)
1√
2π
e−
y2
2 dy
]
+
+
[
1
2
u2σ2x2 ∂2ϕ(t, x)
∂x2
+ {(µu + (1− u)r − uλ [
√
e− 1])x + c (x)} ∂ϕ(t, x)
∂x
]
+
+e−(λ+λ1)t.
(14)
Из (13) имеем
ϕ(x, t)− e−(λ+λ1)t =
∫ t
0 e−(λ+λ1)sUt (s, x) ds →
→ ∂ϕ(x, t)
∂t
+ (λ + λ1)e−(λ2+λ1)t = Ut (t, x) e−(λ+λ1)t →
→ Ut (t, x) =
∂ϕ(x, t)
∂t
e(λ+λ1)t + (λ + λ1).
(15)
Из (14) и (15) получаем
ϕ(x, t) =
=
1
λ1 + λ
[
−∂ϕ(x, t)
∂t
+ λ1
∫ x
0 ϕ(x− y, t)dF (y)
]
+
+
1
λ1 + λ
[
λ
∫ +∞
−∞ ϕ (((1− u) + uey) z, t)
1√
2π
e−
y2
2 dy
]
+
+
1
λ1 + λ
[
1
2u2σ2x2 ∂2ϕ(t, x)
∂x2
+ [(µu + (1− u)r − uλ [
√
e− 1])x + c] ∂ϕ(t,x)
∂x
]
.
(16)
15
Б.В. Бондарев, М.И. Хмелина
В случае бесконечного времени функционирования страховой компании из (9)
обозначим
a(z) = λ1
∫ z
0
ϕ(z − y)dF (y) + λ2
∫ +∞
−∞
ϕ (((1− u) + uey) z)
1√
2π
e−
y2
2 dy. (17)
Пусть Ts – полугруппа операторов
Tsa (z) =
∫ +∞
0
P̄ (x, s, dz)a(z),
отметим, что U(t, x) = Tt(a(x)),Rλ1+λa (x) =
∫ +∞
0 e−(λ1+λ)sTsa (x) ds – резольвента.
Пусть A – инфинитезимальный оператор, тогда [16]
lim
h→+0
1
h
(Tha(x)− a(x)) = Aa(x) =
= lim
h→+0
1
h
(U(h, x)− U(0, x)) =
∂U
∂t
(t = 0) =
=
1
2
u2σ2x2 ∂2a(x)
∂x2
+ [(µu + (1− u)r − uλ [
√
e− 1])x + c (x)]
∂a(x)
∂x
.
(21)
При наших предположениях функция a (z) принадлежит области определения
оператора A, резольвента Rλ1+λ2a(x) также принадлежит области определения
оператора A, тогда имеем [16]
ARλ1+λa(x) = (λ1 + λ)Rλ1+λa(x)− a(x). (22)
Заметим, что Rλ1+λa(x) = ϕ(x), отсюда ARλ1+λa(x) = Aϕ(x),
(λ1 + λ)ϕ (x) =
1
2
u2σ2x2ϕ′′(x) + [(µu + (1− u)r − uλ [
√
e− 1]) x + c] ϕ′(x)+
+λ1
∫ x
0 ϕ(x− y)dF (y) + λ
∫ +∞
−∞ ϕ (((1− u) + uey) x)
1√
2π
e−
y2
2 dy.
Подводя итоги при сделанных предположениях, имеем уравнение для вероят-
ности неразорения страховой компании на бесконечном интервале времени.
Сформулируем теоремы.
Теорема 1. Пустьf(0) = f ′(0) = 0, f ′′(x) – непрерывна, тогда на конечном
промежутке времени [0, t] функционирования страховой компании с эволюцией
капитала, заданной уравнением (6), ϕ (x, t) – вероятность неразорения страхо-
вой компании имеет производные ϕ′x(x, t) и ϕ′′xx(x, t) и удовлетворяет интегро-
дифференциальному уравнению
(λ1 + λ) ϕ(x, t) +
∂ϕ(x, t)
∂t
=
= d
1
2
u2σ2x2 ∂2ϕ(t, x)
∂x2
+ [(µu + (1− u)r − uλ [
√
e− 1])x + c (x)]
∂ϕ(t, x)
∂x
+
+λ1
∫ x
0 ϕ(x− y, t)dF (y) + λ
∫ +∞
−∞ ϕ (((1− u) + uey) x, t)
1√
2π
e−
y2
2 dy.
(23)
16
Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала
Теорема 2. Пустьf(0) = f ′(0) = 0, f ′′(x) – непрерывна, тогда на бесконечном
промежутке времени [0,∞) функционирования страховой компании с эволюцией
капитала, заданной уравнением (6), ϕ (x) – вероятность неразорения страховой
компании за бесконечное время, имеет производные ϕ′(x) и ϕ′′(x) и удовлетворя-
ет интегро-дифференциальному уравнению
(λ1 + λ)ϕ (x) =
=
1
2
u2σ2x2ϕ′′(x) + [(µu + (1− u)r − uλ [
√
e− 1])x + c (x)]ϕ′(x)+
+λ1
∫ x
0 ϕ(x− y)dF (y) + λ
∫ +∞
−∞ ϕ (((1− u) + uey)x)
1√
2π
e−
y2
2 dy.
(24)
Замечание. Следует отметить, что формальным переходом при t → +∞ урав-
нение (24) получается из уравнения (23), однако необходимо математически стро-
гое обоснование предела lim
t→+∞
∂ϕ(x,t)
∂t = 0, что совсем не очевидно.
Выводы. Таким образом, для модели страховой компании с премиями, кото-
рые поступают со скоростью c (x) , где x – настоящий капитал компании функцио-
нирующей на (B,S)–рынке, был предложен метод выведения интегро-дифферен-
циальных уравнений как на конечном, так и на бесконечном интервалах времени.
Особенностью такого способа получения уравнений для вероятности неразорения
является то, что на примерах он показывает существование производных вплоть
до второго порядка у функции вероятности неразорения.
1. Бойков А.В. Модель Крамера–Лундберга со стохастическими премиями // Теория вероят-
ностей и ее применения. – 2002. – 47, вып. 3. – С. 549–553.
2. Бондарев Б.В. Математические модели в страховании. – Донецк: АПЕКС, 2002. – 117 с.
3. Бондарев Б.В., Смоляков А.И., Степанов Е.В. Об одной модели эволюции акции и соответ-
ствующей задаче Р.Мертона // Прикл. статистика. Актуарна та фiнансова математика. –
2004. – № 2. – С. 11–21.
4. Бондарев Б.В., Жмыхова Т.В. Вероятность неразорения страховой компании для модели
Крамера–Лундберга и Γ–распределенных выплат // Прикл. статистика. Актуарна та фiнан-
сова математика. – 2005. – № 1-2. – C. 54–70.
5. Бондарев Б.В., Жмихова Т.В. Ймовiрнiсть банкрутства страхової компанiї для узагальненої
моделi Крамера–Лундберга за умови розмiщення капiталу на фiнансовому ринку // Прикл.
статистика. Актуарна та фiнансова математика. – 2008. – № 1-2. – C. 24–62.
6. Бондарев Б.В., Жмихова Т.В. Модель Крамера–Лундберга зi стохастичними премiями за
умови розмiщення капiталу на банкiвському депозитi // Тр. ин-та прикл. математики и
механики НАН Украины. – 2008. – 16. – C. 55–62.
7. Бондарев Б.В., Болдырева В.О. О вероятности неразорения для модели страховой компании
с расходами на рекламу. I // Прикл. статистика. Актуарна та фiнансова математика. – 2012.
– № 2. – С. 47–65.
17
Б.В. Бондарев, М.И. Хмелина
8. Бондарев Б.В., Рагулина Е.Ю. О вероятности неразорения страховой компании на конечном
интервале времени при инвестировании капитала на финансовом (B, S)–рынке // Киберне-
тика и системный анализ. – 2012. – № 5. – С. 112–124.
9. Бондарев Б.В., Болдырева В.О. О вероятности неразорения для модели страховой компании
с расходами на рекламу. II // Прикл. статистика. Актуарна та фiнансова математика. – 2013.
– № 1-2. – С. 21–39.
10. Бондарев Б.В., Сосницкий О.Е.Некоторые задачи для модели Кларка. I. Оценка вероятности
неразорения страховой компании // Кибернетика и системный анализ. – 2013. – № 2. – С. 139–
149.
11. Бондарев Б.В., Сосницкий О.Е. Стохастическое исчисление в задачах финансовой и акту-
арной математики. Оценка рисков в страховании: монография. – Донецк: ДонНУ. – 2013. –
227 с.
12. Бондарев Б.В., Болдырева В.О. Уравнения для вероятности неразорения страховой компа-
нии, работающей на (B, S)–рынке с учетом рекламной деятельности // Междунар. научно-
техн. журнал "Проблемы управления и информатики". – 2014. – № 1. – С. 139–147.
13. Бондарев Б.В., Болдырева В.О. О вероятности неразорения страховой компании, функциони-
рующей на (B, S)–рынке. Пропорциональные страховые премии // Международный научно-
технический журнал "Проблемы управления и информатики". – 2014. – № 6. – С. 104–123
14. Бондарев Б.В., Болдырева В.О. Вывод уравнения для вероятности неразорения страховой
компании, работающей на (B, S)–рынке // Кибернетика и системный анализ. – 2014. – 50,
№ 5. – С. 113–121.
15. Бондарев Б.В., Хмелина М.И.Модифицированная модель П. Кларка. Вероятность неразоре-
ния страховой компании, работающей на (B, S)–рынке.Модель Лундберга // Вест. Донецкого
национального ун-та. Сер. А. Естественные науки. – № 1. – 2016 – С. 3–14.
16. Гихман И.И. Теория случайных процессов. – Т 2. – М.: Наука, 1973. – 640 с.
17. Гихман И.И., Скороход В.И. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложе-
ния. – К.: Наук. думка, 1982. – 612 с.
18. Карташов М.В., Строєв О.М. Наближення Лундберга для фукцiї ризику у майже однорiд-
ному середовищi // Теорiя ймовiрностей та математична статистика. – 2005. – 73. – С. 63–71.
19. Корн Г., Корн Т. Справочник математика (для научных работников и инженеров). – М.:
Наука, 1968. – 720 с.
20. Королев В.Ю. Построение моделей распределений биржевых цен при помощи методов асимп-
тотической теории случайного суммирования // Обозрение прикл. и промышленной мате-
матики. – 4, вып. 1. – 1997. – C. 86–100.
21. Леоненко М.М., Мiшура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовiрнiснi та
статистичнi методи в економетрицi та фiнансовiй математицi – К.: Iнформтехнiка, 1995. –
380 с.
22. Рагулiна О.Ю. Про диференцiйовнiсть iмовiрностi небанкрутства страхової компанiї в мо-
делях зi сталою вiдсотковою ставкою // Прикл. статистика. Актуарна та фiнансова матема-
тика. – 2010. – № 1-2. – С. 82–116.
23. Clarc P.K. A Subordinated Stochastic Process Model of Cotton Futures Prices. – Ph. D. Thesis.
Cambridge, Ma.: Harvard University, 1970.
24. Clarc P.K. A subordinated stochastic process model with finite variance for speculative prices //
Econometrica. – 1973. – 41. – P. 135–155.
25. Kendal M.G. The analysis of economic time–series. Part 1. Prices // Of the Royal Statistical
Society. – 1953. – 96. – P. 11–25.
26. Pervozvansky A.A. Equation for survival probability in a finite time interval in case of non-zero
real interest force // Insurance: Math. and Economics. – 1998. – 23, Issue 3. – P.287–295.
18
Функционирование страховой компании с премиями, зависящими от текущего капитала
B.V. Bondarev, M. I. Khmelina
The functioning of the insurance company with premiums, depending on the current
capital. Modified Clark-Samuelson model.
This paper shows a way of deriving integro-differential equations for the probability of the non–ruin
probability insurance company, in the financial (B, S)–market on the finite and infinite time intervals.
Risky asset is described by the modified Clarke–Samuelson model. The speed of the premiums arrival
is proportional to the company’s capital.
Keywords: insurance company, the non–ruin probability, financial (B, S)–market, management, the
modified Clarke–Samuelson model.
ГОУ ВПО «Донецкий национальный ун-т»
grad_mariya@mail.ru
Получено 19.06.16
19
|