О множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам допускают произвольное поведение
Доказано, что произвольная интегрируемая в квадрате функция, определенная на замкнутом множестве диаметра ≤ 2r отличном от шара радиуса r, продолжается до функции с нулевыми интегралами по шарам радиуса r, определенной на всем Rⁿ. Если внутренность множества содержит две точки, удаленные на расстоян...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124242 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам допускают произвольное поведение / Д.А. Зарайский // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 46-52. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124242 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242422017-09-23T03:03:09Z О множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам допускают произвольное поведение Зарайский, Д.А. Доказано, что произвольная интегрируемая в квадрате функция, определенная на замкнутом множестве диаметра ≤ 2r отличном от шара радиуса r, продолжается до функции с нулевыми интегралами по шарам радиуса r, определенной на всем Rⁿ. Если внутренность множества содержит две точки, удаленные на расстояние 2r, такое продолжение может не иметь места. Получен аналогичный результат для функций с нулевыми интегралами по сферам радиуса r. It is proved that an arbitrary square-integrable function defined on an closed set of diameter ≤ 2r, which is distinct from ball of radius r, continues to locally square-integrable function with zero integrals over balls of radius r defined on the whole Rⁿ. If internal of the set contains two point at the distance 2r such continuation may not occur. An analogous result for functions with zero integrals over spheres of radius r is obtained. 2016 Article О множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам допускают произвольное поведение / Д.А. Зарайский // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 46-52. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124242 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Доказано, что произвольная интегрируемая в квадрате функция, определенная на замкнутом множестве диаметра ≤ 2r отличном от шара радиуса r, продолжается до функции с нулевыми интегралами по шарам радиуса r, определенной на всем Rⁿ. Если внутренность множества содержит две точки, удаленные на расстояние 2r, такое продолжение может не иметь места. Получен аналогичный результат для функций с нулевыми интегралами по сферам радиуса r. |
| format |
Article |
| author |
Зарайский, Д.А. |
| spellingShingle |
Зарайский, Д.А. О множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам допускают произвольное поведение Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Зарайский, Д.А. |
| author_sort |
Зарайский, Д.А. |
| title |
О множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам допускают произвольное поведение |
| title_short |
О множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам допускают произвольное поведение |
| title_full |
О множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам допускают произвольное поведение |
| title_fullStr |
О множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам допускают произвольное поведение |
| title_full_unstemmed |
О множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам допускают произвольное поведение |
| title_sort |
о множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам допускают произвольное поведение |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124242 |
| citation_txt |
О множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам допускают произвольное поведение / Д.А. Зарайский // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 46-52. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT zarajskijda omnožestvahnakotoryhfunkciisnulevymiintegralamipošaramdopuskaûtproizvolʹnoepovedenie |
| first_indexed |
2025-07-09T01:06:41Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:06:41Z |
| _version_ |
1837129484003704832 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ. 2016. Том 30
УДК 517.5
c©2016. Д.А. Зарайский
О МНОЖЕСТВАХ, НА КОТОРЫХ ФУНКЦИИ
С НУЛЕВЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ПО ШАРАМ
ДОПУСКАЮТ ПРОИЗВОЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ
Доказано, что произвольная интегрируемая в квадрате функция, определенная на замкнутом
множестве диаметра 6 2r отличном от шара радиуса r, продолжается до функции с нулевыми
интегралами по шарам радиуса r, определенной на всем Rn. Если внутренность множества содер-
жит две точки, удаленные на расстояние 2r, такое продолжение может не иметь места. Получен
аналогичный результат для функций с нулевыми интегралами по сферам радиуса r.
Ключевые слова: функции с нулевыми интегралами по шарам, периодичность в среднем.
1. Введение. Пусть Br(a) – открытый шар радиуса r с центром в a в ев-
клидовом пространстве Rn. Будем обозначать Vr(U) множество всех локально
интегрируемых функций, определенных на открытом множестве U ⊂ Rn, имею-
щих нулевые интегралы по всем замкнутым шарам радиуса r, лежащим в U .
По-другому класс Vr может быть определен как множество решений уравнения
свертки:
Vr(U ) = { f ∈ Lloc(U) : f ∗ χBr = 0 },
где χBr – индикатор шара Br = Br(0). Класс Vr изучался многими авторами, см.,
например, [1].
Пусть U – выпуклое открытое множество, не содержащее ни одного замкнутого
шара радиуса r. В этом случае, по определению, Vr(U) совпадает с Lloc(U). То-
гда, согласно аппроксимационной теореме Хермандера –Мальгранжа, [2, т. 16.4.1],
примененной к случаю уравнения f ∗ χBr = 0, любая бесконечно дифференциру-
емая функция из Vr(U) может быть аппроксимирована в C∞(U) функциями из
(Vr ∩ C∞) (Rn) (точнее, линейными комбинациями принадлежащих Vr(Rn) функ-
ций вида ei〈·,y〉, y ∈ Rn).
Отсюда с помощью сглаживания нетрудно вывести, что если A – компактное
выпуклое множество, не содержащее ни одного шара радиуса r, то множество
ограничений на A всех функций из (Vr ∩ C∞) (Rn) плотно в Lp(A), p ∈ [1,∞).
В настоящей работе мы уточняем этот результат в следующем смысле: устанав-
ливаем при каких условиях на выпуклое множество A для произвольной функции
fA ∈ L2(A) найдется f ∈ L2
loc(Rn) с нулевыми интегралами по всем шарам радиуса
r, ограничение которой на множество A совпадает с fA.
2. Формулировки основных результатов.
Теорема 1. Пусть диаметр измеримого множества A не превосходит 2r,
r > 0, и функция fA принадлежит L2(A). Если множество A является замкну-
тым шаром радиуса r, из которого выброшено множество лебеговой меры 0, то
46
О множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам. . .
пусть, кроме того, ∫
A
fA(x) dx = 0.
Тогда fA продолжается до функции f ∈ L2
loc(Rn) с нулевыми интегралами по всем
шарам радиуса r.
Дополнительное требование в условии теоремы в случае, когда A – шар, яв-
ляется, очевидно, необходимым. Для выпуклых множеств A положительной меры
(последнее эквивалентно тому, что A не содержится ни в какой гиперплоскости
в Rn) значение 2r в теореме 1 является точным, см. следствие 1 ниже.
Теорема 2. Если внутренность измеримого множества содержит две точ-
ки, удаленные на расстояние 2r, и a – середина отрезка, соединяющего эти точ-
ки, то существует непрерывная функция на A, не продолжаемая до функции из
Vr(Br+ε(a)) ни для какого ε > 0.
Отметим, что, как следует из теоремы 2, возможна ситуация (например, ес-
ли A – достаточно вытянутая фигура), когда множество ограничений на A всех
функций из
(
Vr ∩ L2
loc
)
(Rn) плотно в L2(A), но не совпадает с ним.
Следствие 1. Пусть A ⊂ Rn выпукло и не содержится ни в какой гиперплос-
кости в Rn. Тогда множество всех ограничений f |A, где f пробегает простран-
ство локально интегрируемых в квадрате функций на Rn с нулевыми интегра-
лами по всем шарам радиуса r, совпадает с L2(A) тогда и только тогда, когда
диаметр A не превосходит 2r и A не содержит ни одного шара Br(a), a ∈ Rn.
Имеет место аналогичный результат для класса локально интегрируемых функ-
ций с нулевыми интегралами по почти всем сферам радиуса r, лежащим в области
определения функции (впервые такие функции рассматривались Ф. Йоном, [2]).
Будем обозначать этот класс Ur. Он также может быть определен как множество
решений уравнения свертки:
Ur(U ) = { f ∈ Lloc(U ) : f ∗ µSr = 0 },
где µSr – поверхностная мера сферы Sr = {|x| = r}.
Теорема 3. Если диаметр измеримого множества A не превосходит 2r,
r > 0, то произвольная fA ∈ L2(A) продолжается до функции из
(
Ur ∩ L2
loc
)
(Rn).
Если же внутренность множества A содержит две точки, удаленные на
расстояние 2r, и a – середина отрезка, соединяющего эти точки, то существует
непрерывная функция на A, не продолжимая до функции из Ur(Br+ε(a)).
Заметим, что в случае, когда A – замкнутый шар радиуса r, на функцию fA
не налагается никакого условия, аналогичного условию равенства нулю интеграла
fA в теореме 1.
Следствие 2. Пусть A ⊂ Rn выпукло и не содержится ни в какой гиперплос-
кости в Rn. Тогда множество всех ограничений f |A, где f пробегает простран-
ство
(
Ur ∩ L2
loc
)
(Rn), совпадает с L2(A) тогда и только тогда, когда диаметр A
не превосходит 2r.
47
Д.А. Зарайский
3. Некоторые вспомогательные утверждения. Нам потребуются распре-
деления χs
+ ∈ D′(R), однородные степени s ∈ C, определяемые формулой
χs
+ = xs
+/Γ(s + 1) (xs
+ = xs при x > 0, и xs
+ = 0 при x < 0, Γ – гамма-функция)
при Re s > −1 и аналитическим продолжением по s для остальных значений s.
Как известно, χp
+∗χq
+ = χp+q+1
+ , χs
+
′ = χs−1
+ , xχs
+(x) = (s+1)χs+1
+ (x), χ(−1−j)
+ = δ
(j)
0 ,
j ∈ Z+, где δ0 – дельта-функция Дирака [3, § 3.2] Обозначим также xs
+ = Γ(s+1)χs
+
при s ∈ C\−N, χs− = χ̌s
+, xs− = x̌s
+, H = ((x+ i0)−1 +(x− i0)−1)/2 – распределение
Гильберта.
Положим для удобства при j ∈ Z
Hj = H(−j−1) при j 6 −1 и Hj(x) = xj
j! ln |x| при j ∈ Z+,
тогда H ′
j ≡ Hj−1 (mod C∞(R)); xHj(x) = (j + 1)Hj+1(x), j 6= −1, xH−1 = 1.
Если q /∈ Z, то, как нетрудно видеть,
χp
+ ∗ (ψχq
−) ≡ c1χ
p+q+1
+ + c2χ
p+q+1
− (mod C∞(R)) при p + q /∈ Z, (1)
χp
+ ∗ (ψχq
−) ≡ c1χ
p+q+1
+ + c2Hp+q+1 (mod C∞(R)) при p + q ∈ Z, (2)
где c1 = c1(p, q), c2 = c2(p, q), константы c1, c2 не зависят от срезающей функции
ψ ∈ D(R), равной 1 в окрестности 0, и c2 6= 0, т.к. (ψχ−2−p
+ )∗χp
+∗(ψχq
−) ≡ χq
− 6≡ c1χ
q
+
(mod C∞(R)) при q /∈ Z.
Заметим, что χs
+ ∈ Cm ⇔ Re s > m, Hj ∈ Cm ⇔ j > m. Кроме того,
при s 6 m, s /∈ Z распределения χs−j
+ , χs−j
− , j ∈ Z+ (а также распределения
χm−j
+ , Hm−j , j ∈ Z+) линейно независимы mod Cm(R). Поэтому, если s /∈ Z, для
того, чтобы распределение f на интервале (α, β) 3 0 имело вид
f ≡ a(·)xs
+ + b(·)xs
− (mod C∞(α, β)) (3)
необходимо и достаточно, чтобы для сколь угодно больших N ∈ N имело место
сравнение f ≡ ∑[N−s]
j=0 (ajχ
s+j
+ + bjχ
s+j
− ) (mod CN (α, β)); если все bj = 0, то и b(·)
в (3) можно выбрать нулевой. Необходимость следует из разложения a(·) и b(·) по
формуле Тейлора в нуле, достаточность – из существования для произвольных
{aj}, {bj} функций a(·), b(·) ∈ C∞(R), для которых a(j)(0) = ajj!/Γ(s + j + 1),
b(j)(0) = (−1)jbjj!/Γ(s + j + 1), j ∈ Z+, [3, т. 1.2.6]. Аналогично, если s ∈ Z, то
f ≡
(−s−1∑
j=0
ajδ
(−s−1−j)
0 + a(·)xmax{s,0}
+ +
+
−s−1∑
j=0
bjH
(−s−1−j) + b(x)xmax{s,0} ln |x|
)
(mod C∞(α, β)), (4)
48
О множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам. . .
тогда и только тогда, когда f ≡ ∑[N−s]
j=0 (ajχ
s+j
+ +bjHs+j) (mod CN (α, β)) для сколь
угодно больших N ∈ N; если bj = 0, j ∈ Z+, то в (4) можно взять b(·) = 0.
Лемма 1. Существует и единственно распределение K ∈ D′(Rn), равное
δ0 − 1
mes Br
на шаре B2r и удовлетворяющее уравнению свертки K ∗ χBr = 0.
Для произвольной функции f0 ∈ L2(Rn) с компактным носителем свертка
f0 ∗K принадлежит (L2
loc ∩ Vr)(Rn).
Доказательство. Такое распределение K построено в [4, леммы 3, 4] (един-
ственность вытекает из теоремы единственности для уравнения свертки). Для
f0 ∈ L2(Rn) с компактным носителем (f0 ∗K) ∗ χBr = f0 ∗ (K ∗ χBr) = 0, поэтому
достаточно доказать принадлежность f0 ∗K пространству L2
loc(Rn).
Вне начала координат K|Rn\{0} = u(|x|) (здесь u(|x|) понимается как обратный
образ ρ∗u распределения u при отображении ρ(x) = |x|), где u ∈ D′((0,∞)
)
при-
надлежит C∞ на (0,∞) \ 2rZ и в окрестности точки 2rl, l ∈ N распределение u
имеет следующий вид, [4, лемма 4]:
u = τ2lr
((n−1)/2∑
j=0
al,jδ
((n−1)/2−j)
0 + al(·)χ0
+ + cl(·)
)
, al, cl ∈ C∞, если n четно,
u = τ2lr(al(·)χ−(n+1)/2
+ + bl(·)χ−(n+1)/2
− + cl(·)), al, bl, cl ∈ C∞, если n нечетно,
откуда с учетом нижеследующего вытекает, что f0 ∗K ∈ L2
loc(Rn). ¤
Лемма 2. Пусть s > −(n + 1)/2, a > 0, ψ ∈ C∞(R), suppψ ⊂ (−a, a), тогда
преобразование Фурье распределений ρ∗τa(ψχs±) ограниченны: (ρ∗τa(ψχs±))∧ ∈
∈ L∞(Rn).
Доказательство. См., например, [4, лемма 5]. ¤
Лемма 3. Существует и единственно распределение K ∈ D′(Rn), равное δ0 на
шаре B2r и удовлетворяющее уравнению свертки K ∗µSr = 0. Для произвольной
функции f0 ∈ L2(Rn) с компактным носителем свертка f0 ∗K принадлежит
(L2
loc ∩ Ur)(Rn).
Доказательство. Построение K следует той же схеме, что построение анало-
гичного распределения для класса Vr в леммах 3 и 4 работы [4].
Пусть T – прямой образ распределения µSr при отображении pr1 = 〈·, e1〉. При
m > 2, T (t) = C(1− |t|2)(n−3)/2.
Для распределения F0 ∈ D′(R), задаваемого следующим образом
F0 =
(−1)(n−1)/2
2n−1πn/2−1Γ
(
n
2
)δ
(n−1)
0 , если n нечетно, (5)
F0 =
(−1)(n−2)/2
2n−1πn/2Γ
(
n
2
)H(n−1), если n четно, (6)
49
Д.А. Зарайский
имеет место равенство (F0(〈·, e1〉))\ = δ0, см., например, [6, гл. II, § 11].
Поскольку δ0 ∗ µSr = µSr = 0 на Br и F четно, отсюда вытекает, что F0 ∗ T = 0
на (−r, r). Пусть ψ ∈ D(R) – четная функция, равная 1 в окрестности отрезка
[−r, r]. Тогда распределение (ψF0) ∗ T четно и равно 0 в окрестности 0, поэтому
(ψF0) ∗ T = G\ = (G + Ǧ)/2, для некоторого G ∈ D′(R), suppG ⊂ (0,∞).
Согласно [5, Л. 2], распределение T имеет фундаментальное решение E с носи-
телем содержащимся в [r,∞), гладкое на R \ (2rZ+ +1), такое, что E(·− (2rk +1))
имеет вид (3) с s = −(n + 1)/2.
Распределение F = ψF0 − (G ∗ E)\ удовлетворяет уравнению F ∗ T = 0 на
всей вещественной оси и совпадает с F0 в окрестности отрезка [−r, r]. Поэтому
для распределения K = (F (〈·, e1〉))\ ∈ D′(Rn) имеем: K ∗ µSr = 0 и K = δ0
в окрестности замкнутого шара Br. Поскольку δ0 ∗ µSr = 0 на Br, по теореме
единственности отсюда следует, что K = δ0 на B2r. Кроме того, очевидно, F гладко
вне 2rZ и в точках 2rk, k ∈ Z, имеет вид (4) с s = −n. Поэтому вне начала
координат K = u(|x|), где распределение u ∈ D′((0,∞)
)
гладко на (0,∞) \ 2rN
и u(· − 2kr), k ∈ N, имеет вид (3) с s = −(n + 1)/2 (см. [5, лемма 1]). Последнее
утверждение доказываемой леммы следует теперь из леммы 2. ¤
4. Доказательства основных результатов.
Доказательство теоремы 1. Рассмотрим сначала случай, когда A – замкнутое
выпуклое множество. При этом предположении, за исключением случая, когда A
содержится в некоторой гиперплоскости, в котором утверждение теоремы триви-
ально, A отличается от своей внутренности Å на множество меры 0.
Пусть g ∈ L2(A), продолжим g до функции g0 ∈ L2(Rn) нулем вне множества
A и положим g1 = g0−
∫
A g0(x) dx/mes Br, и возьмем K из леммы 1. Поскольку K
совпадает с δ0 − 1/mesBr на B2r,
supp(g0 ∗K − g1) = supp(g0 ∗ (K − δ0 + 1/mesBr)) ⊂ supp g0 + (Rn \B2r). (7)
Но, так как диаметр множества A не превосходит 2r, правая часть (7) содержится
в дополнении к Å, и потому g0∗K совпадает с g−∫
A g(x) dx/mes Br на Å. Поэтому,
если
∫
A g(x) dx = 0, g продолжается до функции из (L2
loc ∩ Vr)(Rn).
Беря же в качестве g постоянную функцию, имеем: χA ∗K = 1−mesA/mesBr
на Å. Согласно изодиаметрическому неравенству Бибербаха (см., например, [7,
Сл. 2.10.33], [8, § 9.13]), лебегова мера измеримого множества A диаметра 6 2r
не превосходит mesBr. Кроме того, известно, что для замкнутых выпуклых мно-
жеств равенство достигается только в случае, когда A – замкнутый шар радиуса
r, [9, § 6.1]. Поэтому, если A не является шаром радиуса r, функция χA ∗K сов-
падает с ненулевой постоянной на Å, и, значит, в этом случае любая функция
fA ∈ L2(A), являясь суммой функции, имеющей нулевой интеграл, и постоянной,
продолжается до функции из (L2
loc ∩ Vr)(Rn).
Поскольку замкнутая выпуклая оболочка множества имеет диаметр, равный
диаметру исходного множества, случай произвольного измеримого множества A
диаметра 6 2r сводится к уже рассмотренному, необходимо заметить только, что,
50
О множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам. . .
если эта оболочка есть Br(a) и mes(Br(a) \A) > 0, произвольную fA ∈ L2(A)
можно продолжить до функции fBr(a) ∈ L2(Br(a)), имеющей нулевой интеграл. ¤
Доказательство теоремы 2. Пусть x = a − y, x′ = a + y – точки из условия
теоремы, |y| = r. Возьмем в качестве fA непрерывную функцию с носителем,
содержащемся в пересечении внутренности множества A и шара Br(x′), такую,
что пара (x′, y) принадлежит WF (fA) – гладкому волновому фронту функции fA.
Предположим, что f ∈ Vr(Br+ε(a)) совпадает с fA на A∩Br+ε(a). Тогда, так
как x, x′ принадлежат внутренности A∩Br+ε(a), то (x, y), (x,−y) /∈ WF (f) (т.к. f
равна 0 в окрестности x). По лемме 3 работы [10] отсюда вытекает, что (x′, y) /∈
/∈ WF (f), что невозможно, поскольку f совпадает с fA в окрестности точки x′. ¤
Отметим, что как видно из доказательства, продолжение невозможно даже
в смысле теории распределений: не существует распределения f ∈ D′(Br+ε(a))
удовлетворяющего уравнению свертки Vr(U) = { f ∈ Lloc(U) : f ∗ χBr = 0 } и сов-
падающего с построенной fA в окрестностях точек x и x′.
Доказательство следствия 1. Если теперь диаметр A не превосходит 2r, то
применима теорема 1. Пусть теперь диаметр множества A больше 2r. Тогда в
нем найдутся точки x′ и x′′, удаленные больше чем на 2r. Будем считать, что
множество A не содержится ни в какой гиперплоскости (в противном же слу-
чае наше утверждение тривиально). Тогда A содержит некоторый открытый шар
Bε(y), и в силу выпуклости A, оно содержит также шары B(1−λ)ε(λx′+ (1−λ)y) и
B(1−λ)ε(λx′′ + (1− λ)y), где λ = 2r/|x′′− x′|, центры которых находятся на рассто-
янии 2r, и потому удовлетворяет условиям теоремы 2. ¤
Доказательство теоремы 3. Первое утверждение теоремы, так же как и в
теореме 1, достаточно доказать в предположении, что A – выпуклое замкнутое
множество. Произвольную g ∈ L2(A) можно продолжить g до функции g0 ∈ L2(Rn)
нулем вне множества A.
Тогда для K из из леммы 3, т. к. K = δ0 на B2r,
supp(g0 ∗K − g0) = supp(g0 ∗ (K − δ0)) ⊂ supp g0 + (Rn \B2r).
Поэтому, если диаметр A не превосходит 2r, g0 ∗K ∈ (L2
loc ∩Ur)(Rn) совпадает с g
на Å.
Второе утверждение теоремы доказывается так же как и теорема 2, только
вместо леммы 3 работы [10] нужно воспользоваться аналогично доказываемым
утверждением для классов Ur, либо же применить результат [11] для аналитиче-
ских (а не гладких, как в указанной лемме) волновых фронтов и интегралов по
геодезическим сферам. ¤
Следствие 2 доказывается совершенно аналогично следствию 1.
1. Volchkov V.V. Integral geometry and convolution equations. – Dordrecht: Kluwer Academic,
2003. – 454 p.
2. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравне-
ниям с частными производными. – М.: ИЛ, 1958. – 159с.
51
Д.А. Зарайский
3. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными.
– 1. – М.: Мир, 1986. – 464 с.
4. Зарайский Д.А. О продолжении функций с нулевыми интегралами по шарам // Труды
ИПММ НАН Украины. – 2007. – 14. – С. 83–88.
5. Зарайский Д.А. Уточнение теоремы единственности для решений уравнения свертки // Тру-
ды ИПММ НАН Украины. – 2006. – 12. – С. 69–75.
6. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.
7. Федерер Г. Геометрическая теория меры. – М.: Наука, 1987. – 760 с.
8. Берже М. Геометрия. – 1. – М.: Мир, 1984. – 560 c.
9. Eggleston H.G. Convexity. – London: CUP, 1958. – viii+136 p.
10. Зарайский Д.А. Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам //
Труды ИПММ НАН Украины. – 2012. – 25. – C. 77–83.
11. Quinto E.T. Pompeiu transforms on geodesic spheres in real analytic manifolds // Isr. J. Math. –
1993. – 84. – P. 353–363.
D.A. Zaraisky
On sets on which function with zero integrals over balls allow an arbitrary behaviour.
It is proved that an arbitrary square-integrable function defined on an closed set of diameter 6 2r,
which is distinct from ball of radius r, continues to locally square-integrable function with zero integrals
over balls of radius r defined on the whole Rn. If internal of the set contains two point at the distance 2r
such continuation may not occur. An analogous result for functions with zero integrals over spheres of
radius r is obtained.
Keywords: functions with zero integrals over balls, mean periodicity.
ГУ «Ин-т прикл. математики и механики», Донецк
d.zaraisky@gmail.com
Получено 12.06.16
52
|