Прецессионно-изоконические движения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом
Исследованы условия существования прецессионно-изоконических движений тяжелого гиростата, несущего два ротора. В случае, когда гиростатический момент ортогонален оси собственного вращения гиростата, получено новое решение уравнений вращения....
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124245 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Прецессионно-изоконические движения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом / Ю.В. Кошель // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 80-90. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124245 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242452017-09-23T03:03:27Z Прецессионно-изоконические движения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом Кошель, Ю.В. Исследованы условия существования прецессионно-изоконических движений тяжелого гиростата, несущего два ротора. В случае, когда гиростатический момент ортогонален оси собственного вращения гиростата, получено новое решение уравнений вращения. Existence conditions of precessionally-isoconical motions of a heavy gyrostat carrying two rotors are investigated. A new solution of the equations of motion obtained in the case when the gyrostatic moment is orthogonal to the axis of proper rotation. 2016 Article Прецессионно-изоконические движения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом / Ю.В. Кошель // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 80-90. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124245 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследованы условия существования прецессионно-изоконических движений тяжелого гиростата, несущего два ротора. В случае, когда гиростатический момент ортогонален оси собственного вращения гиростата, получено новое решение уравнений вращения. |
| format |
Article |
| author |
Кошель, Ю.В. |
| spellingShingle |
Кошель, Ю.В. Прецессионно-изоконические движения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Кошель, Ю.В. |
| author_sort |
Кошель, Ю.В. |
| title |
Прецессионно-изоконические движения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_short |
Прецессионно-изоконические движения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_full |
Прецессионно-изоконические движения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_fullStr |
Прецессионно-изоконические движения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_full_unstemmed |
Прецессионно-изоконические движения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_sort |
прецессионно-изоконические движения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124245 |
| citation_txt |
Прецессионно-изоконические движения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом / Ю.В. Кошель // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 80-90. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT košelʹûv precessionnoizokoničeskiedviženiâtâželogogirostatasperemennymgirostatičeskimmomentom |
| first_indexed |
2025-07-09T01:07:04Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:07:04Z |
| _version_ |
1837129508090544128 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ. 2016. Том 30
УДК 531.38
c©2016. Ю.В. Кошель
О ПРЕЦЕССИОННО-ИЗОКОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЯХ
ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ
ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ
Исследованы условия существования прецессионно-изоконических движений тяжелого гироста-
та, несущего два ротора. В случае, когда гиростатический момент ортогонален оси собственного
вращения гиростата, получено новое решение уравнений вращения.
Ключевые слова: гиростат, прецессионные и изоконические движения.
1. Введение. В задачах динамики твердого тела и гиростата с неподвиж-
ной точкой проведены многочисленные исследования свойств движения, что дало
возможность получить классификацию движений [1–4]. При этом были рассмот-
рены: задача о движении тяжелого твердого тела, задача о движении гиростата с
постоянным гиростатическим моментом и задача о движении гиростата под дей-
ствием потенциальных и гироскопических сил для случаев постоянного и пере-
менного гиростатических моментов. В классификации движений гиростата особое
место занимают прецессионные и изоконические движения. Прецессионное движе-
ние характеризуется постоянством угла между прямой, фиксированной в теле, и
прямой, которая является неподвижной в пространстве [2]. Изоконические движе-
ния гиростата были выделены в процессе применения теоремы Пуансо и кинема-
тических уравнений Харламова [5]. Они исследованы как в классической задаче
[6], так и в обобщенной задаче динамики твердого тела [7, 8]. Эти движения ха-
рактеризуются свойством симметричности подвижного и неподвижного аксоидов
угловой скорости относительно касательной к ним плоскости. Если движение ги-
ростата обладает свойством прецессионности и изоконичности, то оно называется
прецессионно-изоконическим [2]. В монографии [2] приведен обзор результатов,
полученных в исследовании прецессионно-изоконических движений гиростата с
постоянным гиростатическим моментом.
В динамике твердого тела на основе уравнений П.В. Харламова [9] изучается
и задача об условиях существования прецессионных и изоконических движений
гиростата с учетом переменности гиростатического момента (см. например [10–
13]). В данной работе исследуются прецессионно-изоконические движения тяжело-
го гиростата, несущего два ротора. Показано, что в случае, когда гиростатический
момент ортогонален оси собственного вращения гиростата, уравнения движения
имеют новое решение в элементарных функциях времени.
2. Постановка задачи. Основные соотношения. Уравнения движения тя-
желого гиростата, несущего два ротора, имеют вид [9]
Aω̇ = (Aω + λ1α + λ2β)× ω − (λ̇1α + λ̇2β)− ν × s, (1)
80
О прецессионно-изоконических движениях тяжелого гиростата ...
ν̇ = ν × ω, (2)
где ω = (ω1, ω2, ω3) – угловая скорость тела-носителя; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный
вектор оси симметрии силовых полей; α = (α1, α2, α3),β = (β1, β2, β3) – единич-
ные ортогональные векторы, фиксированные в теле-носителе; λ1(t), λ2(t) – диф-
ференцируемые функции времени, являющиеся компонентами гиростатического
момента в базисе векторов α, β; s = (s1, s2, s3) – вектор, сонаправленный с век-
тором центра масс гиростата; A = (Aij) – тензор инерции гиростата; точка над
переменными обозначает дифференцирование по времени t.
Рассмотрим прецессионные движения гиростата относительно вертикали. Пусть
третья ось подвижной системы координат направлена по единичному вектору
a = (0, 0, 1), который образует постоянный угол с вектором ν. Тогда [2]
a · ν = a0 = cos θ0, ω = ϕ̇a + ψ̇ν, (3)
где θ0, ϕ, ψ – углы эйлера.
Исследуем случай, когда кроме свойства прецессионности выполняется свой-
ство изоконичности. В качестве условия изоконичности может быть принято ра-
венство ψ̇ = ϕ̇ [2]. Тогда из второго соотношения (3) следует
ω = ϕ̇(a + ν). (4)
При выполнении равенств (3) уравнение Пуассона (2) интегрируется
ν1 = a′0 sinϕ, ν2 = a′0 cosϕ, ν3 = a0, (5)
где a′0 = sin θ0. В скалярном виде из (4) в силу (5) получим
ω1 = a′0ϕ̇ sinϕ, ω2 = a′0ϕ̇ cosϕ, ω3 = ϕ̇(a0 + 1). (6)
В базисе α,β, γ = α×β скалярные уравнения, вытекающие из (1), имеют вид
λ̇1 − λ2
[
a′0γ1 sinϕ + a′0γ2 cosϕ + (1 + a0)γ3
]
ϕ̇ + F1(ϕ, ϕ̇, ϕ̈) = 0, (7)
λ̇2 + λ1
[
a′0γ1 sinϕ + a′0γ2 cosϕ + (1 + a0)γ3
]
ϕ̇ + F2(ϕ, ϕ̇, ϕ̈) = 0, (8)
{
λ2
[
a′0λ1 sinϕ + a′0λ2 cosϕ + (1 + a0)λ3
]−
−λ1
[
a′0β1 sinϕ + a′0β2 cosϕ + (1 + a0)β3
]}
ϕ̇ + F3(ϕ, ϕ̇, ϕ̈) = 0,
(9)
где
F1(ϕ, ϕ̇, ϕ̈) =
[
d′1,1 sinϕ + d1,1 cosϕ + (1 + a0)d0,1
]
ϕ̈−
−
{
A2,1 cos 2ϕ + A′2,1 sin 2ϕ− [
d′1,1 − (1 + a0)A1,1
]
cosϕ+
+
[
d1,1 + (1 + a0)A′1,1
]
sinϕ− κ0A0,1
}
ϕ̇2 + δ1,1 cosϕ + δ′1,1 sinϕ + δ0,1,
(10)
F2(ϕ, ϕ̇, ϕ̈) =
[
d′1,2 sinϕ + d1,2 cosϕ + (1 + a0)d0,2
]
ϕ̈−
−
{
A2,2 cos 2ϕ + A′2,2 sin 2ϕ− [
d′1,2 − (1 + a0)A1,2
]
cosϕ+
+
[
d1,2 + (1 + a0)A′1,2
]
sinϕ− κ0A0,2
}
ϕ̇2 + δ1,2 cosϕ + δ′1,2 sinϕ + δ0,2,
(11)
81
Ю.В. Кошель
F3(ϕ, ϕ̇, ϕ̈) =
[
d′1,3 sinϕ + d1,3 cosϕ + (1 + a0)d0,3
]
ϕ̈−
−
{
A2,3 cos 2ϕ + A′2,3 sin 2ϕ− [
d′1,3 − (1 + a0)A1,3
]
cosϕ+
+
[
d1,3 + (1 + a0)A′1,3
]
sinϕ− κ0A0,3
}
ϕ̇2 + δ1,3 cosϕ + δ′1,3 sinϕ + δ0,3.
(12)
В (10)–(12) введены обозначения
d0,1 = α1A13 + α2A23 + α3A33, d′1,1 = a′0(α1A11 + α2A12 + α3A13),
d1,1 = a′0(α1A12 + α2A22 + α3A23), A0,1 = α2A13 − α1A23,
A1,1 = a′0
[
α1(A22 −A33)− α2A12 + α3A13
]
,
A′1,1 = a′0
[
α2(A33 −A11) + α1A12 − α3A23
]
,
A2,1 = 1
2a′0
2(2α3A12 − α1A23 − α2A13),
A′2,1 = 1
2a′0
2[α2A23 − α1A13 + α3(A11 −A22)
]
,
δ1,1 = a′0(α1s3 − α3s1), δ′1,1 = a′0(α3s2 − α2s3),
δ0,1 = a0(α2s1 − α1s2), κ0 = 1
2(a0 + 1)(3a0 + 1).
(13)
d0,2 = β1A13 + β2A23 + β3A33, d′1,2 = a′0(β1A11 + β2A12 + β3A13),
d1,2 = a′0(β1A12 + β2A22 + β3A23), A0,2 = β2A13 − β1A23,
A1,2 = a′0
[
β1(A22 −A33)− β2A12 + β3A13
]
,
A′1,2 = a′0
[
β2(A33 −A11) + β1A12 − β3A23
]
,
A2,2 = 1
2a′0
2(2β3A12 − β1A23 − β2A13),
A′2,2 = 1
2a′0
2[β2A23 − β1A13 + β3(A11 −A22)
]
,
δ1,2 = a′0(β1s3 − β3s1), δ′1,2 = a′0(β3s2 − β2s3),
δ0,2 = a0(β2s1 − β1s2).
(14)
d0,3 = γ1A13 + γ2A23 + γ3A33, d′1,3 = a′0(γ1A11 + γ2A12 + γ3A13),
d1,3 = a′0(γ1A12 + γ2A22 + γ3A23), A0,3 = γ2A13 − γ1A23,
A1,3 = a′0
[
γ1(A22 −A33)− γ2A12 + γ3A13
]
,
A′1,2 = a′0
[
β2(A33 −A11) + β1A12 − β3A23
]
,
A2,3 = 1
2a′0
2(2γ3A12 − γ1A23 − γ2A13),
A′2,3 = 1
2a′0
2[γ2A23 − γ1A13 + γ3(A11 −A22)
]
,
δ1,3 = a′0(γ1s3 − γ3s1), δ′1,3 = a′0(γ3s2 − γ2s3),
δ0,3 = a0(γ2s1 − γ1s2).
(15)
Таким образом, прецессионно-изоконические движения (5), (6) описываются
дифференциальными уравнениями (7)–(9), в которых введены обозначения (10)–
82
О прецессионно-изоконических движениях тяжелого гиростата ...
(15). Отметим, что уравнения (7), (8) являются линейными дифференциальными
уравнениями относительно λ1, λ2, и нелинейными относительно ϕ, ϕ̇, ϕ̈.
3. Редукция уравнений (7)–(9). Рассмотрим уравнения (7)–(9) в предпо-
ложении, что гиростатический момент ортогонален оси собственного вращения.
Тогда, полагая в (7)–(9)
α = (1, 0, 0), β = (0, 1, 0), γ = (0, 0, 1), (16)
получим
ϕ̇
[
λ′1 − (1 + a0)λ2
]
+ F1(ϕ, ϕ̇, ϕ̈) = 0, (17)
ϕ̇
[
λ′2 + (1 + a0)λ1
]
+ F2(ϕ, ϕ̇, ϕ̈) = 0, (18)
a′0ϕ̇(λ2 sinϕ− λ1 cosϕ) + F3(ϕ, ϕ̇, ϕ̈) = 0, (19)
где штрихом обозначена производная по переменной ϕ, а функции Fi(ϕ, ϕ̇, ϕ̈) име-
ют вид (10)–(12), в которых учтены формулы (16).
Введем вместо λ1, λ2 новые переменные
u = λ2 sinϕ− λ1 cosϕ, v = λ2 cosϕ + λ1 sinϕ. (20)
Найдя производные u′, v′ из (20) и подставив значения λ′1, λ
′
2 из (17), (18) соот-
ветственно, получим следующие уравнения:
u′ = −a0v +
1
ϕ̇
[
F1(ϕ, ϕ̇, ϕ̈) cos(ϕ)− F2(ϕ, ϕ̇, ϕ̈) sin ϕ
]
, (21)
v′ = a0u− 1
ϕ̇
[
F1(ϕ, ϕ̇, ϕ̈) sin(ϕ) + F2(ϕ, ϕ̇, ϕ̈) cos ϕ
]
, (22)
a′0uϕ̇ + F3(ϕ, ϕ̇, ϕ̈) = 0. (23)
Пусть в уравнениях (21)–(23) a0 = 0 (θ0 = π/2). Введя функцию ϕ̇ = f(ϕ), из
(21)–(23) имеем
u′ =
1
f(ϕ)
[
F1(ϕ, f(ϕ), f ′(ϕ)) cos ϕ− F2(ϕ, f(ϕ), f ′(ϕ)) sin ϕ
]
, (24)
v′ = − 1
f(ϕ)
[
F1(ϕ, f(ϕ), f ′(ϕ)) sinϕ + F2(ϕ, f(ϕ), f ′(ϕ)) cosϕ
]
, (25)
uf(ϕ) + F3(ϕ, f(ϕ), f ′(ϕ)) = 0. (26)
Здесь штрихом обозначена производная по переменной ϕ. При f(ϕ) 6= 0, из
уравнения (26) следует
u = −F3(ϕ, f(ϕ), f ′(ϕ))
f(ϕ)
. (27)
В силу (27) уравнение (24) принимает вид
(F1 cos(ϕ)− F2 sin(ϕ))f(ϕ) + F ′
3f(ϕ)− F3f
′(ϕ) = 0. (28)
83
Ю.В. Кошель
Подставив в (28) значения F1, F2, F3 из (10)–(12), в которых учтена замена
ϕ̇ = f(ϕ), получим
(A13 sinϕ + A23 cosϕ + A33)f ′′(ϕ)f2(ϕ) +
[
s1 cosϕ− s2 sinϕ−
−2f2(ϕ)(A23 sinϕ−A13 cosϕ)
]
f ′(ϕ) + (s1 sinϕ + s2 cosϕ + s3+
+A33f
2(ϕ))f(ϕ) = 0.
(29)
Уравнение (29) является неавтономным дифференциальным уравнением второ-
го порядка относительно функции f(ϕ). Если зависимость f(ϕ) будет задана, то
уравнение (29) должно быть тождеством по переменной ϕ.
Рассмотрим теперь систему (21)–(23) при a0 6= 0.
u′ = −a0v +
1
f(ϕ)
(F1 cosϕ− F2 sinϕ), (30)
v′ = a0u− 1
f(ϕ)
(F1 sinϕ + F2 cosϕ), (31)
u = − F3
a′0f(ϕ)
. (32)
Учитывая в (32) F3(ϕ, f(ϕ), f ′(ϕ)) из (12) найдем
u =
(
B2 cos 2ϕ + B′
2 sin 2ϕ + a0C1 cosϕ− a′0C
′
1 sinϕ
)
f(ϕ)−
−(C1 sinϕ + C ′
1 cosϕ + (1 + a0)C0)f ′ϕ +
1
f(ϕ)
(E1 cosϕ− E′
1 sinϕ).
(33)
С помощью (33) из (30) определим переменную v
v =
1
a0
(C1 sinϕ + C ′
1 cosϕ + (1 + a0)C0)f ′′(ϕ)+
+
2
a0
(C1 cosϕ− C ′
1 sinϕ)f ′(ϕ) +
[
B′
2 cos 2ϕ−B2 sin 2ϕ−
−(1 + 2a0)C ′
1 cosϕ− (1 + 2a0)C1 sinϕ +
1
a0
D0
]
f(ϕ)+
+
1
a0f2(ϕ)
{[
E0 + (1− a0)(E′
1 cosϕ + E1 sinϕ)
]
f(ϕ)+
+(E1 cosϕ− E′
1 sinϕ)f ′(ϕ)
}
,
(34)
В уравнениях (33), (34) введены обозначения
B2 = a′0A12, B′
2 =
a′0
2
(A11 −A22), C1 = A13, C ′
1 = A23,
C0 =
1
a′0
A33, E1 = s1, E2 = s2, E0 = a′0s3,
D0 =
a′0
2
[
(2 + a0)A33 − a0(A11 + A22)
]
.
(35)
84
О прецессионно-изоконических движениях тяжелого гиростата ...
Подставив (33), (34) в уравнение (31), получим
{
f ′′′(ϕ)
[
C1 sinϕ + C ′
1 cosϕ + (1 + a0)C0
]
+
+3f ′′(ϕ)(C1 cosϕ− C ′
1 sinϕ)− f ′(ϕ)
[
2C ′
1 cosϕ + 2C1 sinϕ−
−(1 + a0)C0
]}
f3(ϕ) + (E1 cosϕ− E2 sinϕ)[(1− a0)f2(ϕ)−
−2f ′2(ϕ) + f(ϕ)f ′′(ϕ)]− f ′(ϕ)f(ϕ)[E0+
+(2− a0)(E2 cosϕ + E1 sinϕ)] = 0.
(36)
В отличие от уравнения (29), уравнение (36) имеет третий порядок.
4. О решениях уравнений (29), (36). Рассмотрим условия существования
решения уравнения (29) в классе тригонометрических функций вида
f(ϕ) = l0 + l1 sinϕ. (37)
Подставим (37) в (29)
3l31A23 sin 4ϕ− 3l31A13 cos 4ϕ + 12l21l0A13 sin 3ϕ + 12l21l0A23 cos 3ϕ−
−6l1(l21 + 2l20)A23 sin 2ϕ + 4l1[(l21 + 3l20)A13 − l1l0A33] cos 2ϕ+
+4[4l1l20A33 − l21l0A13 + 2(l1s3 + l0s1)] sinϕ + 4l20(2s2 − 3l21A23) cos ϕ+
+l1(4l20 − l21)A13 + 4l0(l21 + 2l20)A33 + 8(l0s3 + l1s1) = 0.
(38)
Уравнение (38) должно быть тождеством по ϕ. Следовательно, в силу
l1 6= 0, A33 6= 0 получим равенства
A13 = A23 = 0, l0 = 0, A12 6= 0, s2 6= 0, s1 = s3 = 0. (39)
Параметр l1 может принимать произвольные значения.
Таким образом, из уравнения (37) имеем
ϕ̇ = f(ϕ) = l1 sinϕ. (40)
Подставим (40) в (25)
v =
l1
4
[2A12 cos 3ϕ− (A22 −A11) sin 3ϕ− 2A12 cosϕ− (3A11 + A22) sin ϕ] + k, (41)
где k = const.
Значение u получим из (27) в силу (40)
u =
l1
4
[(A22 −A11) cos 3ϕ + 2A12 sin 3ϕ+
+(A11 −A22 − 4A33) cos ϕ− 2A12 sinϕ− 4
l21
s2].
(42)
85
Ю.В. Кошель
После подстановки найденных значений u, v из (41), (42) в (20) найдем
λ1 =
l1
2
[
(A11 + A33) cos 2ϕ−A12 sin 2ϕ +
2
l21
s2 cosϕ+
+
2
l1
k sinϕ + (A33 −A11)
]
,
λ2 =
l1
2
[A12 cos 2ϕ− (A22 + A33) sin 2ϕ +
2
l1
k cosϕ−
− 2
l21
s2 sinϕ−A12].
(43)
Основные переменные задачи определим из (5), (6) в силу (40)
ν1 = sinϕ(t), ν2 = cosϕ(t), ν3 = 0,
ω1 = l1 sin2 ϕ(t), ω2 = l1 sinϕ(t) cos ϕ(t), ω3 = l1 sinϕ(t),
(44)
Зависимость ϕ(t) такова
ϕ(t) = arccos
1− χe2l1(t−t0)
1 + χe2l1(t−t0)
.
(
χ =
1 + cosϕ0
1− cosϕ0
)
. (45)
Таким образом, при выполнении условий (39) уравнения (7)–(9) допускают ре-
шение (43)–(45), которое выражается через элементарные функции времени.
Перейдем к исследованию уравнения (36). Рассмотрим условия существования
решения этого уравнения в классе функций (37). После подстановки (37) в (36)
имеем
3l1(A23 cos 2ϕ + A13 sin 2ϕ) +
1
2(l0 + l1 sinϕ)3
{
l1l0(1 + a0)s2 cos 2ϕ+
+l1[l0(1 + a0)s1 + l1a
′
0s3] sin 2ϕ− 2[l20(1− a0)s1 − l0l1a
′
0s3−
−2l21s1] cosϕ− 2[l21a0s2 − l20(1− a0)s2] sin ϕ + 3l1l0(1− a0)s2
}
= 0.
(46)
Равенство (46) будет тождеством по ϕ при выполнении следующих условий:
A13 = A23 = 0, A12 6= 0, l0 = l1, s2 = 0, s3 = − 1
a′0
s1(1 + a0). (47)
В силу (47) зависимость ϕ̇ из (37) от ϕ такова
ϕ̇ = l1(sinϕ + 1). (48)
86
О прецессионно-изоконических движениях тяжелого гиростата ...
Из (33), (34) имеем соответственно
u =
1
4
l1a
′
0
{
(A22 −A11) cos 3ϕ + 2A12 sin 3ϕ + 4A12 cos 2ϕ−
−2(A22 −A11) sin 2ϕ +
1
a′20
(1 + a0)
[
(1− a0)(A11 −A22)− 4A33
]
cosϕ−
−2A12 sinϕ
}
+
1
l1(sinϕ + 1)
s1 cosϕ,
v =
1
4
l1a
′
0
{
2A12 cos 3ϕ− (A22 −A11) sin 3ϕ−
−2(A22 −A11) cos 2ϕ− 4A12 sin 2ϕ− 2A12 cosϕ+
+
1
a′20
(1 + a0)
[
(1− a0)(4A33 − 3A11 −A22)− 4A33
]
sinϕ+
+
1
a0
2
[
2A33(1 + a0)− a0(A11 + A22)
]}
+
+
1
2l1(sinϕ + 1)2
(cos 2ϕ− 4 sin ϕ− 3)s1.
(49)
В силу (20), (49) получим
λ1 =
1
2
l1a
′
0
{ 1
a′20
(1 + a0)
[
(1 + a0)A33 + (1− a0)A11
]
cos 2ϕ−
−A12 sin 2ϕ− 2A12 cosϕ +
1
a0
2
[
A33 + a0(A33 −A11)
]
sinϕ+
+A33 −A11
}
+
1
2l1(sinϕ + 1)2
s1(cos 2ϕ− 4 sinϕ− 3),
λ2 =
1
2
l1a
′
0
{
A12 cos 2ϕ− 1
a′20
(1 + a0)
[
(1 + a0)A33+
+(1− a0)A22
]
sin 2ϕ +
1
a0
2
[
A33 + a0(A33 −A22)
]
cosϕ−
−2A12 sinϕ−A12
}
− 1
l1(sinϕ + 1)
s1 cosϕ.
(50)
Следовательно, при выполнении условий (47) уравнения (7)–(9) допускают ре-
шение (48),(50). Основные переменные νi, ωi найдем из уравнений (5), (6)
ν1 = a′0 sinϕ, ν2 = a′0 cosϕ, ν3 = a0,
ω1 = a′0l1(sinϕ + 1) sinϕ, ω2 = a′0l1(sinϕ + 1) cosϕ,
ω3 = l1(1 + a0)(sinϕ + 1).
(51)
Сравнивая условия (39) и (47), приходим к выводу, что условия (39) не следуют
из (47), если в них полагать a0 = 0. Это связано с тем, что соотношение (34) при
a0 = 0 теряет смысл.
5. Один случай обобщения решения (37). Решение (37) может быть обоб-
щено на случай
f(ϕ) = l0 + l1 sinϕ + l′1 cosϕ. (52)
87
Ю.В. Кошель
Внесем выражение (52) в уравнение (29) и потребуем, чтобы полученное равен-
ство было тождеством по ϕ. Тогда получим следующую систему алгебраических
уравнений:
l1(3l′21 − l21)A13 + l′1(3l
2
1 − l′21 )A23 = 0,
l′1(3l
2
1 − l′21 )A13 + l1(l21 − 3l′21 )A23 = 0,
2l0l1l
′
1A13 + l0(l21 − l′21 )A23 = 0, l0(l21 − l′21 )A13 − 2l0l1l
′
1A23 = 0,
l1(l21 + 2l′21 + 3l20)A13 − l′1(l
′2
1 + 2l21 − 3l20)A23 + l0(l′21 − l21)A33 = 0,
l′1(l
2
1 + 3l′21 + 6l20)A13 + l1(l′21 + 3l21 + 6l20)A23 − 4l0l1l
′
1A33 = 0,
2l0l1l
′
1A13 + 4l20l
′
1A33 − l0(3l′21 + l21)A23 + 2(l′1s3 + l0s2) = 0,
2l0l1l
′
1A23 + 4l20l1A33 − l0(3l′21 + l21)A13 + 2(l1s3 + l0s1) = 0,
(4l20 − l21 − l′21 )(l1A13 + l′1A23) + 4l0(l21 + l′21 + 2l0)A33+
+8(l1s1 + l′1s2 + l0s3) = 0.
(53)
Из первых двух равенств системы (53) следует, что при A2
13 + A2
23 6= 0 она
допускает только тривиальное решение
l1(3l′21 − l21) = 0, l′1(3l
2
1 − l′21 ) = 0. (54)
При выполнении равенств (54) функция f(ϕ) из (52) принимает постоянное
значение, что исключено из рассмотрения. Поэтому из (53) следуют условия на
параметры
l0 = 0, A13 = A23 = 0, A12 6= 0, s3 = 0, s1 = − l′1
l1
s2. (55)
В силу (52), (55) система (7)–(9) имеет решение
λ1 =
1
2
{[
l1(A11 + A33)− l′1A12
]
cos 2ϕ−
−[
l′1(A11 + A33) + l1A12
]
sin 2ϕ+
+
2
l1
s2 cosϕ + 2c0 sinϕ + l1(A33 −A11)− l′1A12
}
,
λ2 =
1
2
{[
l1A12 − l′1(A22 + A33)
]
cos 2ϕ−
−[
l1(A22 + A33) + l′1A12
]
sin 2ϕ+
+2c0 cosϕ− 2
l1
s2 sinϕ + l′1(A33 −A22)− l1A12
}
,
(56)
88
О прецессионно-изоконических движениях тяжелого гиростата ...
где c0 = const. Тогда основные переменные задачи выражаются соотношениями
ν1 = sin ϕ, ν2 = cosϕ, ν3 = 0,
ω1 =
1
2
(l1 − l1 cos 2ϕ + l′1 sin 2ϕ), ω2 =
1
2
(l′1 + l1 cos 2ϕ + l′1 sin 2ϕ),
ω3 = l1 sinϕ + l′1 cosϕ.
(57)
Следовательно, решение (56), (57) имеет место при выполнении условий (55),
в которых параметры s1, s2 связаны между собой линейной зависимостью. Это
свойство характеризует отличие условий (39) и (55).
6. Заключение. В статье исследованы условия существования прецессионно-
изоконических движений тяжелого гиростата. Показано, что варианты a0 = 0 и
a0 6= 0 необходимо рассматривать независимо друг от друга. Для них получе-
ны разрешающие уравнения соответственно второго и третьего порядка. Решения
данных уравнений задаются в виде линейной зависимости от тригонометрических
функций. Найдены два класса новых решений уравнений движения тяжелого ги-
ростата, которые описывают прецессионно-изоконические движения.
1. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела.
Развитие и современное состояние. – Киев: Наук. думка, 1978. – 296 с.
2. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – Донецк: Дон-
НУ, 2010. – 394 с.
3. Гашененко И.Н., Горр Г.В., Ковалев А.М. Классические задачи динамики твердого тела. –
Киев: Наук. думка, 2012. – 401 с.
4. Горр Г.В., Ковалев А.М. Движение гиростата. – Киев: Наук. думка, 2013. – 408 с.
5. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку
// Прикл. математика и механика. – 1964. – 28, вып. 3. – С. 502–507.
6. Горр Г.В. Некоторые свойства прецессионных движений относительно вертикали тяжелого
твердого тела с одной неподвижной точкой // Прикл. математика и механика. – 1968. – 32,
вып. 3. – С. 451–458.
7. Верховод Е.В., Горр Г.В. Новые случаи изоконических движений в обобщенной задаче дина-
мики твердого тела с неподвижной точкой // Прикл. математика и механика. – 1993. – 57,
вып. 5. – С. 25–34.
8. Верховод Е.В., Горр Г.В. Один класс изоконических движений в динамике твердого тела //
Механика твердого тела. – 1990. – Вып. 22. – С. 33–38.
9. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого тела. –
1972. – Вып. 4. – С. 52–73.
10. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Точные решения уравнений движения гиростата вокруг непо-
движной точки // Современные проблемы математики, механики и информатики. – Харьков,
2011. – С. 74–84.
11. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом
под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого тела. – 2010. –
Вып. 40. – С. 91–104.
12. Мазнев А.В., Котов Г.А. Прецессионно-изоконические движения второго типа в задаче о
движении гиростата с переменным гиростатическим моментом // Biсн. Донецьк. ун-ту. Сер.
А. Природничi науки. – 2012. – 1. – С. 79–83.
13. Котов Г.А. Регулярные прецессии тяжелого гиростата, несущего два вращающихся гироскопа
// Механика твердого тела. – 2014. – Вып. 44. – С. 59–66.
89
Ю.В. Кошель
Yu.V. Koshel
About precessionally-isoconical motions of a heavy gyrostat with a variable gyrostatic
moment.
Existence conditions of precessionally-isoconical motions of a heavy gyrostat carrying two rotors are
investigated. A new solution of the equations of motion obtained in the case when the gyrostatic
moment is orthogonal to the axis of proper rotation.
Keywords: gyrostat, precessional and isoconical motions.
ГУ «Ин-т прикл. математики и механики», Донецк
yulia.koshel@mail.ru
Получено 11.07.16
90
|