Об интегральных средних сумм Бохнера-Рисса
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124246 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об интегральных средних сумм Бохнера-Рисса / О.И. Кузнецова // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 91-95. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124246 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242462017-09-23T03:03:49Z Об интегральных средних сумм Бохнера-Рисса Кузнецова, О.И. 2016 Article Об интегральных средних сумм Бохнера-Рисса / О.И. Кузнецова // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 91-95. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124246 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| format |
Article |
| author |
Кузнецова, О.И. |
| spellingShingle |
Кузнецова, О.И. Об интегральных средних сумм Бохнера-Рисса Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Кузнецова, О.И. |
| author_sort |
Кузнецова, О.И. |
| title |
Об интегральных средних сумм Бохнера-Рисса |
| title_short |
Об интегральных средних сумм Бохнера-Рисса |
| title_full |
Об интегральных средних сумм Бохнера-Рисса |
| title_fullStr |
Об интегральных средних сумм Бохнера-Рисса |
| title_full_unstemmed |
Об интегральных средних сумм Бохнера-Рисса |
| title_sort |
об интегральных средних сумм бохнера-рисса |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124246 |
| citation_txt |
Об интегральных средних сумм Бохнера-Рисса / О.И. Кузнецова // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 91-95. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT kuznecovaoi obintegralʹnyhsrednihsummbohnerarissa |
| first_indexed |
2025-07-09T01:07:11Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:07:11Z |
| _version_ |
1837129513880780800 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ. 2016. Том 30
УДК 517.5
c©2016. О.И. Кузнецова
О НОРМАХИНТЕГРАЛЬНЫХСРЕДНИХСУММБОХНЕРА–РИССА
В работе рассматриваются суммы Бохнера–Рисса Sα
R(f, x) =
∑
‖k‖≤R
(
1− ‖k‖2/R2
)α
f̂(k)eik·x,
α > 0, периодической функции f от m переменных и сильные интегральные средние этих сумм((∫ R
0
|Sα
r (f, x)|p dr
)
/R
)1/p
при p ≥ 1. Установлены верхние оценки роста при R → +∞ норм
соответствующих операторов, т. е. величин sup|f |≤1
((∫ R
0
|Sα
r (f, 0)|p dr
)
/R
)1/p
, для 0 < α < m−1
2
.
Ключевые слова: кратные ряды Фурье, суммы Бохнера–Рисса, сильные средние.
1. Введение. Средние Бохнера–Рисса Sα
R(f) порядка α > 0 ряда Фурье функ-
ции f , суммируемой на кубе [−π, π]m, имеют вид (всюду далее k ∈ Zm)
Sα
R(f, x) =
∑
‖k‖≤R
(
1− ‖k‖2
R2
)α
f̂(k)eik·x, где f̂(k) =
1
(2π)m
∫
T m
f(u)e−ik·udu.
При α = 0 имеем сферические частичные суммы SR(f) =
∑
‖k‖≤R f̂(k)eik·x. Если
α > m−1
2 , то Sα
R(f) сходятся равномерно к f при R → ∞ для любой непрерывной
периодической функции f [1] (см. также [2, гл. VII.4]). α = m−1
2 – критический
показатель.
Интегральными средними сумм Sα
R(f) назовем величины (далее p ≥ 1 и n ∈ N)
H α
R,p(f, x) =
1
R
R∫
0
|Sα
r (f, x)|p dr
1/p
.
Их поведение при R →∞ тесно связано с поведением норм
H α
R,p = sup
|f |≤1
H α
R,p(f, 0). (1)
В работе [3] установлены неулучшаемые по порядку двусторонние оценки норм
HR,p интегральных средних сферических сумм Фурье
HR,p(f, x) =
1
R
R∫
0
|Sr(f, x)|p dr
1/p
.
91
О.И. Кузнецова
Точнее, доказано, что1
HR,p ³
R
m−1
2
−min{ 1
2
, 1
p
} при m ≥ 3, p ≥ 1;
R
1
2
− 1
p min
1
p
{
ln(R + 1), 1
p−2
}
при m = 2, p > 2;√
ln(R + 1) при m = 2, p ∈ [1, 2].
(2)
Верхние оценки в данных двусторонних неравенствах были получены ранее в [4].
В [5], ([6] при p = 2) при любом p ≥ 1 доказано неравенство
H
(m−1
2 )
R,p (f) ≤ c(m, p)‖f‖∞. (3)
Наша цель – оценить сверху нормы соответствующих операторов, т.е. величины
(1), при 0 < α < m−1
2 .
2. Основной результат. Получим следующие верхние оценки норм H α
R,p, ис-
пользуя оценки (2), (3) и применяя теорему Стейна [2, гл. V] об интерполяции
аналитических семейств операторов.
Теорема. Пусть 0 < α < m−1
2 . Тогда
H α
R,p ¿
R
m−2
2
−α(m−2
m−1
) lnR при m ≥ 3, 1 ≤ p ≤ 2;
(lnR)
1
2
−α ln lnR при m = 2, 1 ≤ p ≤ 2;
R
m−1
2
−α(1− 2
p(m−1)
)− 1
p ln R при m ≥ 2, p > 2.
(4)
Для доказательства теоремы нам понадобится следующая
Лемма. При любых δ > −1/2, p ≥ 1 и β таком, что 0 < Reβ ≤ 1,
(∫ T
0
∣∣∣Sδ+β
r (f)
∣∣∣
p
dr
)1/p
≤ c(δ) |β| eπ
2
|Imβ|
Reβ
(∫ T
0
∣∣∣Sδ
r (f)
∣∣∣
p
dr
)1/p
. (5)
Доказательство. При Reβ > 0 и Re(δ + 1) > 0 имеет место равенство (см. [2,
гл. VII (5.8)])
Sδ+β
R (f) = cβδR
−2δ−2β
∫ R
0
(R2 − r2)β−1r2δ+1Sδ
r (f)dr,
где
cβδ =
2Γ(δ + β + 1)
Γ(δ + 1)Γ(β)
, Γ(z) =
∫ ∞
0
e−xxz−1dx при Rez > 0.
После замены переменной r → r/R получаем, что
1Мы пишем αn ³ βn, если одновременно αn = O(βn) и βn = O(αn). Константы в соответ-
ствующих неравенствах, справедливых при всех n, могут зависеть лишь от размерности m.
92
О нормах интегральных средних сумм Бохнера–Рисса
|Sδ+β
R (f)| ≤ |cβδ|
∫ 1
0
(1− r)Reβ−1r2δ+1|Sδ
Rr(f)|dr.
Возведем обе части неравенства в p-тую степень, проинтегрируем по R от нуля
до T и применим к правой части обобщенное неравенство Минковского. В итоге
при δ > −1/2 будем иметь
(∫ T
0
|Sδ+β
R (f)|pdR
)1/p
≤ |cβδ|
∫ 1
0
(1− r)Reβ−1r2δ+1
(∫ T
0
|Sδ
Rr(f)|pdR
)1/p
dr ≤
≤ |cβδ|
∫ 1
0
(1− r)Reβ−1 r2δdr
(∫ T
0
|Sδ
R(f)|pdR
)1/p
. (6)
Так как Γ(z + 1) = zΓ(z), то при 0 < Reβ ≤ 1
∫ 1
0
(1− r)Reβ−1r2δdr =
Γ(Reβ)Γ(2δ + 1)
Γ(1 + Reβ + 2δ)
≤ c1(δ)
Reβ
. (7)
Оценим |cβδ|. Поскольку (см. [7, гл. VI, § 12])
max
1≤x≤2
1
|Γ(x + iy)| ≤ ae
π
2
|y|,
где a не зависит от y, то
|cβδ| ≤ 2Γ(δ + Reβ + 1) |β|
Γ(δ + 1)|Γ(β + 1)| ≤ c2(δ) |β| e
π
2
|β|. (8)
Объединяя (6), (7) и (8), получаем неравенство (5). ¤
Доказательство теоремы. Рассмотрим сначала случай m ≥ 3. Пусть q – по-
казатель сопряженный с p, γ > 0. Зафиксируем функцию g ∈ Lq(0, R) с ‖g‖q ≤ 1.
При каждом z, принадлежащем вертикальной полосе
S = {z ∈ C : γ ≤ Rez ≤ m− 1
2
+ γ},
рассмотрим линейный оператор
Tz : f →
∫ R
0
g(r)Sz
r (f)dr,
заданный на пространстве L∞(Tm). Функция Tzf аналитична по переменной z и
имеет по ней, согласно лемме, допустимый рост на S (cм. также [2, гл. V, теорема
4.1]). Кроме того,
‖Tzf‖∞ ≤
∥∥∥∥∥
(∫ R
0
|Sz
r (f)|p
)1/p
∥∥∥∥∥
∞
.
93
О.И. Кузнецова
Согласно оценкам (5) и (2) (δ = 0; β = γ + iy)
‖Tγ+iy‖∞ ≤ c(m)
√
γ2 + y2
γ
e
π
2
|y|R
m−1
2
−min( 1
2
, 1
p
)+ 1
p ‖f‖∞ . (9)
Из (5) и (3) (δ = m−1
2 и β = γ + iy) следует, что
∥∥∥Tm−1
2
+γ+iy
∥∥∥
∞
≤ c(m, p)
√
γ2 + y2
γ
e
π
2
|y|R
1
p ‖f‖∞ . (10)
Обозначим через M0(y) = M0(m, γ, y, p) и M1(y) = M1(m, γ, y, p) множители,
стоящие перед ‖f‖∞ в правых частях (9) и (10). Заметим, что Mj(y), j = 0, 1,
не зависят от f и g и удовлетворяют оценке
sup
−∞<y<∞
e−b|y| log Mj(y) < ∞
при любом 0 < b < π.
Положим α = γ(1− t) + (m−1
2 + γ) t = γ + m−1
2 t, 0 ≤ t ≤ 1. По теореме Cтейна
существует постоянная Mt такая, что
‖Tαf‖∞ ≤ Mt ‖f‖∞ ,
где t = 2(α−γ)
m−1 , а Mt определяется равенством
Mt = exp
{
1
2
sinπt
∫ ∞
−∞
{
log M0(y)
chπy − cosπt
+
log M1(y)
chπy + cosπt
}
dy
}
.
Проинтегрируем данное равенство, учитывая, что ([2], гл. V. 4)
1
2
∫ ∞
−∞
sinπt
chπy − cosπt
dy = 1− t,
1
2
∫ ∞
−∞
sinπt
chπy + cosπt
dy = t.
Будем иметь
Mt ≤ c(m, p, α)
γ
R
{
m−1
2
−min( 1
2
, 1
p
)+ 1
p
}
(1−t)+ t
p .
Тогда при 0 < α < m−1
2 получаем, что
‖Tαf‖∞ ≤ c(m, p, α)
γ
{
R
m−2
2
+ 1
p
−(α−γ)m−2
m−1 ‖f‖∞ , при 1 ≤ p ≤ 2;
R
m−1
2
−(α−γ)(1− 2
p(m−1)
) ‖f‖∞ , при p > 2.
Минимизируем данную оценку по γ. Тогда
‖Tαf‖∞ ≤ c1(m, p, α)
{
R
m−2
2
−α m−2
m−1
+ 1
p lnR ‖f‖∞ , 1 ≤ p ≤ 2;
R
m−1
2
−α(1− 2
p(m−1)
) ln R ‖f‖∞ , p > 2.
94
О нормах интегральных средних сумм Бохнера–Рисса
Поскольку полученная оценка не зависит от функции g, беря sup‖g‖q≤1 ‖Tαf‖∞,
получаем оценку (4) для m ≥ 3. Доказательство оценки (4) для m = 2 аналогично.
Теорема доказана. ¤
1. Bochner S. Summation of multiple Fourier series by spherical means // Trans. Amer. Math. Soc.
– 1936. – 40:2 – P. 175–207.
2. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.:
Мир, 1974. – 333 с.
3. Кузнецова О.И., Подкорытов А.Н. О нормах интегральных средних сферических сумм Фу-
рье // Мат. Заметки. – 2014. – 96:5. – C. 701–708.
4. Кузнецова О.И. Сильные сферические средние кратных рядов Фурье // Изв. НАН Армении,
Математика. – 2009. – 44:4. – C. 27–40.
5. Wang Kunyang, Gavin Brown. Approximation by Bochner–Riesz means and Hardy summabil-
ity // J. Beijing Normal Univ. (Natural Science). – 1994. – 30:2 – P. 163–169.
6. Wang Kunyang. Strong uniform approximation by Bochner–Riesz means. Multivariate approx-
imation IV // Proceedings of conference of multivariate approximation theory. – Oberwolfach.
West Germany, 1989. – P. 337–342.
7. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. – М.: Наука, 1968. – 618 с.
O. I. Kuznetsova
On the norms of the integral means of Bochner–Riesz sums.
The paper deals with the Bochner–Riesz sums Sα
R(f, x) =
∑
‖k‖≤R
(
1− ‖k‖2/R2
)α
f̂(k)eik·x, α > 0,
of a periodic function f in m variables and the strong integral averages of these sums((∫ R
0
|Sα
r (f, x)|p dr
)
/R
)1/p
for p ≥ 1. We establish upper estimates for growth as R → +∞ of
the norms of corresponding operators, i. e., of the quantities sup|f|≤1
((∫ R
0
|Sα
r (f, 0)|p dr
)
/R
)1/p
, for
0 < α < (m− 1)/2.
Keywords: multiple Fourier series, Bochner–Riesz sums, strong averages.
ГУ «Ин-т прикл. математики и механики», Донецк
kuznets@iamm.su
Получено 12.06.16
95
|