Устранение особенностей решений задачи Неймана для вырождающихся параболических уравнений с абсорбцией
Рассматривается начально-краевая задача Неймана в областях с некомпактной границей и с начальной дельта функцией Дирака.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124252 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Устранение особенностей решений задачи Неймана для вырождающихся параболических уравнений с абсорбцией / О.М. Болдовская // Нелинейные граничные задачи. — 2008. — Т. 18. — С. 1-19. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124252 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242522017-10-01T17:11:04Z Устранение особенностей решений задачи Неймана для вырождающихся параболических уравнений с абсорбцией Болдовская, О.М. Рассматривается начально-краевая задача Неймана в областях с некомпактной границей и с начальной дельта функцией Дирака. 2008 Article Устранение особенностей решений задачи Неймана для вырождающихся параболических уравнений с абсорбцией / О.М. Болдовская // Нелинейные граничные задачи. — 2008. — Т. 18. — С. 1-19. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0236-0497 MSC (2000): 35K20, 35K55, 35K65, 35B30 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124252 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается начально-краевая задача Неймана в областях с некомпактной границей и с начальной дельта функцией Дирака. |
| format |
Article |
| author |
Болдовская, О.М. |
| spellingShingle |
Болдовская, О.М. Устранение особенностей решений задачи Неймана для вырождающихся параболических уравнений с абсорбцией |
| author_facet |
Болдовская, О.М. |
| author_sort |
Болдовская, О.М. |
| title |
Устранение особенностей решений задачи Неймана для вырождающихся параболических уравнений с абсорбцией |
| title_short |
Устранение особенностей решений задачи Неймана для вырождающихся параболических уравнений с абсорбцией |
| title_full |
Устранение особенностей решений задачи Неймана для вырождающихся параболических уравнений с абсорбцией |
| title_fullStr |
Устранение особенностей решений задачи Неймана для вырождающихся параболических уравнений с абсорбцией |
| title_full_unstemmed |
Устранение особенностей решений задачи Неймана для вырождающихся параболических уравнений с абсорбцией |
| title_sort |
устранение особенностей решений задачи неймана для вырождающихся параболических уравнений с абсорбцией |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124252 |
| citation_txt |
Устранение особенностей решений задачи Неймана для вырождающихся параболических уравнений с абсорбцией / О.М. Болдовская // Нелинейные граничные задачи. — 2008. — Т. 18. — С. 1-19. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT boldovskaâom ustranenieosobennostejrešenijzadačinejmanadlâvyroždaûŝihsâparaboličeskihuravnenijsabsorbciej |
| first_indexed |
2025-07-09T01:07:55Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:07:55Z |
| _version_ |
1837129561163169792 |
| fulltext |
Нелинейные граничные задачи 18, 1-19 (2008) 1
c©2008. О.М. Болдовская
УСТРАНЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ РЕШЕНИЙ
ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ
КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ С АБСОРБЦИЕЙ
Рассматривается начально-краевая задача Неймана для уравнения
ut = div(um−1|Du|λ−1Du) − up
в областях с некомпактной границей и с начальной дельта функцией Дирака.
В случае быстрой диффузии, m + λ − 2 < 0, и критического показателя,
p = m + λ − 1 + λ+1
N
, доказано, что особенность в (0,0) устранима.
Ключевые слова: квазилинейное параболическое уравнение, абсорб-
ция, изолированные особенности, некомпактная граница
MSC (2000): 35K20, 35K55, 35K65, 35B30
1. Введение.
Пусть Ω ∈ R
N , N > 1, - неограниченная область с достаточ-
но гладкой некомпактной границей ∂Ω и |Ω|N = mesNΩ = ∞,
−→
n - внешняя единичная нормаль к ∂Ω. Не ограничивая общно-
сти будем считать, что начало координат принадлежит Ω. Мы
рассматриваем следующую начально-краевую задачу Неймана в
QT = Ω × (0, T ), T > 0:
ut = div(um−1|Du|λ−1
Du) − u
p
, в QT , (1.1)
u
m−1|Du|λ−1 ∂u
∂
−→
n
= 0, на ∂Ω × (0, T ), (1.2)
u(x, 0) = δ(x), x ∈ Ω, (1.3)
где λ > 0, m+λ−1 > max{0, 1− λ+1
N
}, начальная мера - δ(x) функ-
ция Дирака. Будем рассматривать случай быстрой диффузии, то
есть, m+λ−2 < 0. Показатель абсорбирующего слагаемого - кри-
тический, а именно, p = m + λ− 1 + λ+1
N
.
В работе [1] для случая медленной диффузии (m+λ−2 > 0)
удалось показать несуществование слабого решения u(x, t) зада-
чи (1.1)-(1.3) в QT при дополнительных условиях на геометрию
области, или, что эквивалентно, доказать, что решение u(x, t) ис-
ходной задачи имеет устранимую особенность в точке (0,0). В
2 О.М. Болдовская
данной работе мы распространим этот результат на случай быст-
рой диффузии. Отметим также работу [2], в которой доказано,
что слабое решение задачи (1.1)-(1.3) в случае медленной диф-
фузии существует при p < m + λ − 1 + λ+1
N
и не существует при
p > m+ λ− 1 + λ+1
N
. Одной из первых работ, где был установлен
подобный критический показатель, была работа [3]. Рассматри-
валась следующая задача Коши:
ut = 4u− |u|p−1
u, в Q = R
N × R+, (1.4)
u(x, 0) = δ(x), в RN
, (1.5)
где p > 0- фиксированный параметр, и был получен такой пока-
затель p0 = 1 + 2
N
, что:
(i) при p < p0 существует единственное решение u ∈ C2,1(Q)∩
Lp(Q), удовлетворяющее уравнению (1.4) в смысле распределе-
ния, и начальному условию (1.5) так, что:
lim
t→0
∫
u(x, t) ϕ(x) dx = ϕ(0), ∀ϕ(x) ∈ C0(R
N); (1.6)
(ii) для p ≥ p0 задача Коши не имеет решения u ∈ L
p
loc(Q),
удовлетворяющего (1.4), (1.6). Более того, если рассмотреть лю-
бую подходящую регулярную аппроксимацию с ограниченными
начальными функциями u0j →
j→∞
δ(x), то в этом случае классиче-
ские ограниченные решения (1.4) uj(x, t) при j → ∞ стремятся
к нулю равномерно на RN × [ε, T ], ∀ε > 0. Другими словами,
факт (ii) можно трактовать таким образом, что решение u(x, t)
задачи (1.4), (1.5) имеет устранимую особенность в точке (0,0).
Подобный результат об устранимой особенности для уравнения
ut = div(|∇u|λ−1∇u) − |u|p−1
u,
где λ > 1, был получен в [4] при условии p ≥ λ + λ+1
N
. Вопро-
сы устранимости особенностей для параболического уравнения с
абсорбцией более общего вида (с измеримыми коэффициентами)
изучались в работе [5] при тех же ограничениях на критический
показатель. Этот результат удалось распространить и на уравне-
ния высокого порядка [6].
Касаясь исследования начально-краевых задач в областях с
некомпактными границами, отметим работы [7] (случай задачи
Устранение особенностей решений параболических уравнений 3
Неймана), [8] (случай третьей краевой задачи) и [9] (случай за-
дачи Дирихле). В этих работах изучался вопрос о качественном
поведении решений в зависимости от геометрии области.
В дальнейшем мы будем предполагать, что Ω удовлетворя-
ет условиям изопериметрического типа, которые необходимы для
теорем вложения [10]. Перейдем к точному описанию класса об-
ластей, удовлетворяющих условиям изопериметрического типа.
Введем функцию:
l(v) = inf{|∂G ∩ Ω|N−1 : G ⊂ Ω, |G| = v, ∂G - липшицева}.
Пусть g(v), v ∈ (0,∞)- положительная непрерывная функция
такая, что
v(N−1)/N
g(v)
не убывает для всех v > 0. (1.7)
Определение 1.1. Пусть Ω ⊂ R
N , N ≥ 2, неограниченная об-
ласть с непрерывной по Липшицу границей ∂Ω, и |Ω|N = ∞. Бу-
дем говорить, что Ω принадлежит классу B(g) (Ω ∈ B(g)), если
для всех v > 0
l(v) ≥ g(v),
где g(v) > 0 удовлетворяет условию (1.7).
Классы B(g) и близкие к ним были введены в работах [11], а
также [7]. Геометрически области из класса B(g) характеризуют-
ся тем, что не сужаются на бесконечности. Типичным примером
областей класса Ω является область типа бесконечного параболо-
ида [7]:
Пусть 0 ≤ h ≤ 1 - фиксированное число. Определим
Ω = {x ∈ R
N | |x′| < x
h
N}, x
′ = (x1, . . . , xN−1).
Из результатов [10, глава 4], следует, что Ω ∈ B(g) с
g(v) = γmin(v(N−1)N
, v
η), v > 0; η =
h(N − 1)
1 + h(N − 1)
≤
N − 1
N
.
При N = 2 различные примеры областей класса B(g) рассмотре-
ны в [11].
Определение 1.2. u(x, t)- слабое решение задачи (1.1)-(1.3), если
u(x, t) ≥ 0, u(x, t) ∈ C(0, T ;L1
loc(Ω))∩L∞
loc(Ω× (τ, T )), |Du
m+λ−1
λ | ∈
4 О.М. Болдовская
L
λ+1
loc (Ω × (τ, T )) и
T∫
0
∫
Ω
(−uξt + um−1 |Du|λ−1 Du Dξ + up ξ) dx dt = 0,
∀ξ ∈ C1
0 (RN × (τ, T ));
lim
t→0
∫
Ω
u(x, t) X(x) dx =
∫
Ω
X(x) dµ, ∀X(x) ∈ C
∞
0 (RN ).
Основным результатом данной работы является
Теорема 1. Пусть Ω ∈ B(g). При p = m + λ − 1 + λ+1
N
слабое
решение задачи (1.1)-(1.3) не существует.
Мы же в этой работе докажем эквивалентный результат в
терминах устранимых особенностей решений.
Определение 1.3. u(x, t)- особое решение задачи (1.1)-(1.3) с
особенностью в точке (0,0), если u(x, t) ≥ 0, u(x, t) ∈ C(0, T ;
L2
loc(Ω)) ∩L∞
loc(Ω × (0, T )), um−1|Du|λ+1 ∈ L1
loc(Ω × (0, T )); и вы-
полняется интегральное тождество
T∫
0
∫
Ω
(utϕ+ u
m−1 |Du|λ−1
Du Dϕ+ u
p
ϕ) dx dt = 0 (1.8)
с ϕ(x, t) = ψ(x, t)ζ(x, t), где ψ(x, t) из такого же пространства
как u(x, t), а ζ(x, t) ∈ C
∞(RN × [0, T ]) и исчезает в окрестности
(0,0). Функция ϕ(x, t) такова, что suppϕ содержится в цилиндре
{|x| ≤ ρ <∞, 0 ≤ t < T}.
Определение 1.4. Будем говорить, что особенность в (0,0) устра-
нима, если интегральное тождество (1.8) выполняется для функ-
ции ϕ(x, t) = ψ(x, t)ζ̄(x, t), suppϕ содержится в цилиндре {|x| ≤
ρ < ∞, 0 ≤ t < T}. Здесь ψ(x, t) такая, как в определении 1.3, а
функция ζ̄(x, t) ∈ C∞(RN × [0, T ]).
Теорема 2. Пусть Ω ∈ B(g), p = m+ λ− 1 + λ+1
N
; u(x, t)- особое
решение задачи (1.1)-(1.3) с особенностью в точке (0,0). Тогда
u(x, t) имеет устранимую особенность в (0,0).
Доказательство Теоремы 2 проведем в три шага. Сначала
установим некоторую поточечную оценку в пункте 3, используя
её оценим градиент решения в пункте 4, и, наконец, в пункте 5 в
окрестности (0,0) получим оценку вида
u(x, t) ≤ C
(
|x| + t
1
K
)β−N
,
Устранение особенностей решений параболических уравнений 5
где C- положительная постоянная, β > 0,
K = λ+ 1 +N(m + λ− 2). (1.9)
Последняя оценка гарантирует выполнение следующего равен-
ства
lim
(x,t)→(0,0)
u(x, t)
(
|x| + t
1
K
)N
= 0. (1.10)
Если выполняется (1.10), то из работ [5], [12] следует, что в точке
(0,0) особенность устранима.
Методы получения априорных оценок решений были разра-
ботаны в работах [5],[13].
2. Вспомогательные утверждения.
В процессе доказательства нам понадобится следующий ре-
зультат о вложении.
Лемма 2.1.[7] Пусть Ω ∈ B(g), v ∈ L∞((0, T );Lr̃(Ω)), Dv ∈
(Lp̃(Ω))N , с p̃ > 1, r̃ ≥ 1, и предполагаем, что sup
(0,T )
|supp v(·, t)| <
∞. Тогда
T∫
0
∫
Ω
|v|p̃(1+ r̃
N
)
dx dt
≤ γ sup
0<t<T
[
ω(|supp v(·, t)|)p̃
(∫
Ω
|v(x, t)|r̃ dx
) p̃
N
] T∫
0
∫
Ω
|Dv|p̃ dx dt,
где γ = γ(p̃, r̃, N), ω : [0,∞) → [0,∞) - неубывающая функция:
ω(z) = z1−1/N/g(z) .
Также будем использовать следующую лемму, доказатель-
ство которой можно найти в [14,гл.8,п.11].
Лемма 2.2. Пусть {αi}, i = 1, 2, ..., - ограниченная числовая по-
следовательность такая, что для всех j ≥ 1 выполнено неравен-
ство
αi ≤ Aa
j
α
σ
j+1, σ ∈ (0, 1), A, a ≥ 1.
Тогда
α1 ≤ cA
1
1−σ ,
где постоянная c зависит только от σ, a.
Всюду в дальнейшем через γ, γi будем обозначать различные
положительные постоянные, зависящие только от известных па-
раметров задачи.
6 О.М. Болдовская
3. Поточечные оценки решений.
Пусть R0 > 0- фиксированное число:
R0 ≤
1
2
min{1, dist(0, ∂Ω), T 1/K},
где K представлена равенством (1.9). Для 0 < r ≤ R0 определим
D(r) =
{
(x, t) ∈ R
N × R
1
+ :
(
|x|
r
)λ+1
+
t
rK
≤ 1
}
⊂ R
N × R
1
+,
M(r) = sup {u(x, t) : (x, t) ∈ D(R0)\D(r)},
где R1
+ = {t ∈ R1 : t > 0}.
Предполагаем, что lim
r→0
M(r) = ∞, иначе устранимость осо-
бенности следует из [5], [12].
Для 0 < ρ < 3−1/(λ+1)R0, σ ∈ (0, 1/2) рассмотрим функцию
ϕσρ(x, t) = ωσ
((
|x|
ρ
)λ+1
+
t
ρK
)
,
где ωσ : R1 → R1, ωσ ∈ C∞:
ωσ(s) =
{
1, 1 ≤ s ≤ 2,
0, вне (1 − σ)λ+1 ≤ s ≤ 3 − (1 − σ)λ+1,
0 ≤ ωσ(s) ≤ 1,
∣∣∣∣
dωσ(s)
ds
∣∣∣∣ ≤
γ
σ
. Заметим, что при ϕσρ(x, t) 6= 0 u(x, t) ≤
M(ρ− σρ).
Для 0 < R < R0 определим uR(x, t) = (u(x, t) −M(R))+, где
(y)+ = max{y, 0}; y ∈ R1.
Лемма 3.1. В условиях теоремы 2 для 0 < ρ < 3−1/(λ+1)R0,
0 < R < R0, σ ∈ (0, 1/2) имеет место оценка:
sup
0<t<T
∫
Ω
u
2
R ϕ
λ+1
σρ dx+
∫∫
QT
u
m−1
R |DuR|
λ+1
ϕ
λ+1
σρ dx dt +
+
∫∫
QT
u
p+1
R ϕλ+1
σρ dx dt ≤ γ
σλ+1 (M
2(ρ− σρ)ρN+
+Mm+λ(ρ− σρ)ρN+K−(λ+1)).
(3.1)
Устранение особенностей решений параболических уравнений 7
Доказательство. Умножив уравнение (1.1) на функцию ϕ(x, t) =
(u(x, t) − M(R))+ϕ
λ+1
σρ (x, t) и проинтегрировав по QT , получим
неравенство
sup
0<t<T
∫
Ω
u2
R ϕλ+1
σρ dx+
+
∫∫
QT
u
m−1
R |DuR|
λ+1 ϕλ+1
σρ dx dt +
∫∫
QT
u
p+1
R ϕλ+1
σρ dx dt ≤
≤ γ
(∫∫
QT
u2
R ϕλ
σρ (ϕσρ)
′
t dx dt +
∫∫
QT
u
m+λ
R |Dϕσρ|
λ+1 dx dt
)
,
из которого, учитывая свойства функции ϕσρ, и следует утвер-
ждение леммы 3.1.
Теорема 3.1. В условиях теоремы 2 выполняется оценка:
M(ρ) ≤ γρ
−Nдля 0 < ρ < 3−1/(λ+1)
R0. (3.2)
Доказательство. Умножим уравнение (1.1) на функцию
ϕ(x, t) = (u(x, t) −M(R))ν
+ϕ
s
σρ(x, t), ν ≥ 1, s ≥ λ+ 1
и проинтегрируем по QT . Проделав стандартные преобразования,
получим
sup
0<t<T
∫
Ω
u
ν+1
R ϕs
σρ dx+
+
∫∫
QT
|D(uR
m+λ−1+ν
λ+1 ϕ
s
λ+1
σρ )|λ+1
dx dt +
∫∫
QT
u
p+ν
R ϕ
s
σρ dx dt (3.3)
≤ γ(ν+s
σ
)λ+1
(
M2(ρ−σρ)
ρK + Mm+λ(ρ−σρ)
ρλ+1
) ∫∫
QT
u
ν−1
R ϕ
s−(λ+1)
σρ dx dt ,
Применяя лемму 2.1 для v = uR
m+λ−1+ν
λ+1 ϕ
s
λ+1
σρ , p̃ = λ + 1, r̃ =
(λ+1)(ν+1)
m+λ−1+ν
, имеем:
∫∫
QT
(
uR
m+λ−1+ν
λ+1 ϕ
s
λ+1
σρ
)(λ+1)(1+
(λ+1)(ν+1)
(m+λ−1+ν)N
)
dx dt
≤ γ sup
0<t<T
[
ω(|supp {uR
m+λ−1+ν
λ+1 ϕ
s
λ+1
σρ }(·, t)|)λ+1
(∫
Ω
u
ν+1
R ϕ
s
σρ dx
)λ+1
N
]
8 О.М. Болдовская
×
∫∫
QT
|D(uR
m+λ−1+ν
λ+1 ϕ
s
λ+1
σρ )|λ+1
dx dt. (3.4)
Учитывая свойства функции ϕσρ, мера носителя функции
{uR
m+λ−1+ν
λ+1 ϕ
s
λ+1
σρ }(·, t) не превосходит единицы, значит, в силу не-
убывания функции ω, имеем
ω(|supp {uR
m+λ−1+ν
λ+1 ϕ
s
λ+1
σρ }(·, t)|) ≤ ω(1) = const.
Пусть p2 > 1- произвольное число такое, что
(
1 +
Np2
λ+ 1
)
K
N
> 1,
(например p2 = λ+1
K
.) p1 = p2
p2−1
. Определим l, k, θ следующим
образом
l =
p+ ν
p1
+
m+ λ− 1 + ν + (λ+1)(ν+1)
N
p2
,
k =
s
p1
+
s(1 + λ+1
N
)
p2
, θ =
Np2
Np2 + λ+ 1
.
Последовательно применяя неравенство Гельдера, а затем
оценки (3.3), (3.4), получим
∫∫
QT
ul
R ϕk
σρ dx dt ≤
(∫∫
QT
uR
p+ν ϕs
σρ dx dt
) 1
p1
×
×
(∫∫
QT
uR
m+λ−1+ν+ (λ+1)(ν+1)
N ϕ
s(1+ λ+1
N
)
σρ dx dt
) 1
p2
≤ γ
(
l+k
σ
)λ+1
p1
+λ+1
p2
( λ+1
N
+2)(
M2(ρ−σρ)
ρK + Mm+λ(ρ−σρ)
ρλ+1
) 1
p1
+ 1
p2
( λ+1
N
+1)
×
(∫∫
QT
u
ν−1
R ϕ
s−(λ+1)
σρ dx dt
) 1
p1
+ 1
p2
( λ+1
N
+1)
. (3.5)
Неравенство (3.5) позволяет нам провести итерацию для оцен-
ки максимума uR(x, t) на множестве {(x, t) : ϕσρ(x, t) = 1}. Рас-
смотрим последовательности
lj =
(
p+ 1 +
Np2
λ+ 1
(p+ 1 +
λ+ 1
Np2
)
)
θ
−j −
Np2
λ+ 1
(p+ 1 +
λ+ 1
Np2
),
Устранение особенностей решений параболических уравнений 9
kj = (2(λ+ 1) +Np2)θ
−j − (Np2 + λ+ 1),
и положим
I(lj, kj) =
(∫∫
QT
uR
lj ϕ
kj
σρ dx dt
)θj
.
Из неравенства (3.5) следует оценка
I(lj, kj) ≤
≤ γ
{
(σ−1θ−j)
λ+1
p1
+λ+1
p2
( λ+1
N
+2)
(
M2(ρ−σρ)
ρK + Mm+λ(ρ−σρ)
ρλ+1
) 1
θ
}θj
×I(lj−1, kj−1),
откуда, итерируя, получаем
I(lj, kj) ≤
≤ γ
{
σ
−(λ+1)( N+λ+1
Np2
+1)
(
M2(ρ−σρ)
ρK + Mm+λ(ρ−σρ)
ρλ+1
) 1
θ
} θ
1−θ
(1−θj)
×I(l0, k0).
Устремляя j к бесконечности и применяя оценку (3.1), имеем
M
p+1+
Np2
λ+1
(p+1+ λ+1
Np2
)
(ρ) ≤ γσ
−γ1
(
M2(ρ− σρ)
ρK
+
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1
) 1
1−θ
×(M2(ρ− σρ)ρN +M
m+λ(ρ− σρ)ρN+K−(λ+1)). (3.6)
Далее рассмотрим два случая:
(а) для фиксированного ρ существует такая σ ∈ (0, 1/2), что
M
2(ρ− σρ) ≤ ρ
K−(λ+1)
M
m+λ(ρ− σρ), (3.7)
то есть M(ρ− σρ) ≤ ρ−N .
(b) для фиксированного ρ неравенство (3.7) не выполняется
для каждого σ ∈ (0, 1/2).
В первом случае сразу получаем
M(ρ) ≤M(ρ− σ
′
ρ) ≤ ρ
−N
10 О.М. Болдовская
для некоторого σ′ ∈ (0, 1/2). Тем самым оценка (3.2) доказана.
Во втором случае из (3.6) имеем
M
p+1+
Np2
λ+1
(p+1+ λ+1
Np2
)
(ρ) ≤ γσ
−γ1
(
M2(ρ− σρ)
ρK
)Np2+λ+1
λ+1
M
2(ρ− σρ)ρN
(3.8)
для каждого σ ∈ (0, 1/2).
Положим
y(ρ) = M(ρ)ρN
.
Из (3.8) получим
y
p+1+
Np2
λ+1
(p+1+ λ+1
Np2
)
(ρ) ≤ γσ
−γ1y
2(
Np2+λ+1
λ+1
)+2(ρ− σρ). (3.9)
Рассмотрим последовательность {σj = 2−(j−1), j = 1, 2, ...}. Пусть
yj = y(ρ−(σ1+...+σj)ρ. Тогда из неравенства (3.9) следует оценка
yj ≤ γ2jγ1y
h
j+1 для j = 1, 2, ..., (3.10)
h =
2(Np2+λ+1
λ+1
) + 2
p+ 1 + Np2
λ+1
(p+ 1 + λ+1
Np2
)
.
Условия на p2 обеспечивают неравенство h < 1. Используя лемму
2.2, учитывая ограниченность последовательности yj, из (3.10)
получим
y1 = M(ρ)ρN ≤ γ,
что и завершает доказательство теоремы 3.1.
4. Интегральные оценки решений.
В силу теоремы 3.1 и очевидного неравенства
(
2|x|
|x| + t
1
K
)λ+1
+
2Kt
(|x| + t
1
K )K
≥ 1
для 0 < |x| + t
1
K < 3−1/(λ+1)R0 получаем оценку
u(x, t) ≤ γ
(
|x| + t
1
K
)
−N
. (4.1)
Положим
D̃(r) = {(x, t) ∈ R
N+1 : |x|K + t ≤ r
K},
Устранение особенностей решений параболических уравнений 11
M̃(r) = sup {u(x, t) : (x, t) ∈ D̃(R̃0)\D̃(r)} + r
−1/2
,
E(r) = {(x, t) ∈ QT\(0, 0) : u(x, t) > M̃(r)},
ũr(x, t) = (u(x, t) − M̃(r))+, (x, t) ∈ QT\(0, 0).
Здесь
0 < r < R̃0, R̃0 = max{r : D̃(r) ⊂ D(R0)},
u(x, t)- решение уравнения (1.1) с особенностью в (0,0).
Для r ∈ (0, R̃0) рассмотрим функцию
ψr(x, t) = ηr(|x|
K + t),
где ηr : R1 → R1:
ηr(s) =
{
1, s ≥ RK(r),
0, s ≤ r
K
,
ηr(s) = −
(
(1 − θ) ln ln
1
rK
)
−1
s∫
rK
1
z ln z
dz, r
K ≤ s ≤ R
K(r).
Здесь θ ∈ (0, 1), R(r) определены равенством
ln
1
RK(r)
=
(
ln
1
rK
)θ
.
Обозначим
p = Np = N(m + λ− 1) + λ+ 1.
Для r ∈ (0, R̃0) положим
F1(r) =
(
ln 1
r
)1−N(m+λ−1)
λ+1
, λ+ 1 > N(m + λ− 1),
ln ln 1
r
, λ+ 1 = N(m + λ− 1),
(
ln 1
R(r)
)1−
N(m+λ−1)
λ+1
, λ+ 1 < N(m + λ− 1).
F2(r) =
ln2−p′ 1
r
, p′ < 2 , p′ = p
p−1
,
ln ln 1
r
, p′ = 2,
ln2−p′ 1
R(r)
, p′ > 2.
12 О.М. Болдовская
Лемма 4.1. Пусть выполняются условия теоремы 2. Тогда для
0 < R(r) < ρ < R̃0 справедлива следующая оценка
∫∫
E(ρ)
u
m−2 |Du|λ+1
ψ
p
r dx dt+
∫∫
E(ρ)
u
p ln
u
M̃(ρ)
ψ
p
r dx dt
≤ γ
([
ln ln
1
rK
]
−p
F1(r) +
[
ln ln
1
rK
]
−p′
F2(r)
)
. (4.2)
Доказательство. Умножим уравнение (1.1) на функцию ϕ(x, t) =[
ln u
M̃(ρ)
]
+
ψ
p
r (x, t) и проинтегрируем по QT . Совершая стандарт-
ные преобразования и применяя неравенство Юнга, получим
∫∫
E(ρ)
u
m−2 |Du|λ+1
ψ
p
r dx dt+
∫∫
E(ρ)
u
p ln
u
M̃(ρ)
ψ
p
r dx dt ≤ γ(I1 + I2),
(4.3)
где
I1 =
∫∫
E(ρ)
u∫
M̃(ρ)
ln
z
M̃(ρ)
dz ψ
p−1
r (ψr)
′
t dx dt,
I2 =
∫∫
E(ρ)
u
m+λ−1
ψ
p−(λ+1)
r lnλ+1 u
M̃(ρ)
|Dψr|
λ+1
dx dt.
Применяя неравенство Юнга, определение функции ψr, а также
(4.1), найдем оценку интеграла I1:
I1 −
1
4
∫∫
E(ρ)
up ln u
M̃(ρ)
ψp
r dx dt ≤ γ
∫∫
E(ρ)
ln u
M̃(ρ)
ψp−p′
r |(ψr)
′
t|
p′ dx dt
≤ γ
(
ln ln 1
rK
)
−p′ ∫∫
D̃(R(r))\D̃(r)
ln1−p′ 1
|x|K+t
(|x|K + t)−p′ dx dt
≤ γ
(
ln ln 1
rK
)
−p′
F2(r). (4.4)
Аналогично оценим I2:
I2−
1
4
∫∫
E(ρ)
u
p ln
u
M̃(ρ)
ψ
p
r dx dt ≤ γ
∫∫
E(ρ)
(
ln
u
M̃(ρ)
)1+ λ
λ+1
p
|Dψr|
p
dx dt
Устранение особенностей решений параболических уравнений 13
≤ γ
(
ln ln
1
rK
)
−p
F1(r). (4.5)
Объеденив (4.3)-(4.5) получаем оценку (4.2). Лемма 4.1 доказана.
Для 0 < r < R̃0 положим
F3(r) = ln1−p′ 1
R(r)
, F4(r) = ln1−(λ+1) 1
R(r)
.
Далее определим функцию u(ρ)(x, t) и множество E(ρ, 4ρ):
u
(ρ)(x, t) = min{[u(x, t)−M̃(4ρ)]+, M̃(ρ)−M̃(4ρ)}, (x, t) ∈ QT \(0, 0),
E(ρ, 4ρ) = {(x, t) ∈ QT : M̃(4ρ) < u(x, t) < M̃(ρ)}.
Лемма 4.2. Пусть выполняются условия теоремы 2. Тогда для
0 < R(r) < ρ < R̃0
∫∫
E(ρ,4ρ)
|D(u
m+λ
λ+1 ψ
p
λ+1
r )|λ+1
dx dt −→
r→0
0. (4.6)
Доказательство. Умножим уравнение (1.1) на функцию ϕ(x, t) =
u(ρ)(x, t)ψp
r (x, t) и проинтегрируем поQT . Аналогично доказатель-
ству леммы 4.1 получим
∫∫
E(ρ,4ρ)
|D(u
m+λ
λ+1 ψ
p
λ+1
r )|λ+1
dx dt+
∫∫
E(4ρ)
u
p
u
(ρ)
ψ
p
r dx dt ≤ γ(I3 +I4 +I5),
(4.7)
где
I3 =
∫∫
E(4ρ)
u
(ρ)
u ψ
p−1
r (ψr)
′
t dx dt,
I4 =
∫∫
E(4ρ)
u
m−1 |Du|λ u(ρ)
ψ
p−1
r |Dψr| dx dt,
I5 =
∫∫
E(4ρ)
u
m+λ
ψ
p−(λ+1)
r |Dψr|
λ+1
dx dt.
Оценим I3, применяя неравенство Юнга, а также определение
функции ψr,
I3 −
1
4
∫∫
E(4ρ)
u
p
u
(ρ)
ψ
p
r dx dt ≤ γ
∫∫
E(4ρ)
u
(ρ)
ψ
p−p′
r |(ψr)
′
t|
p′
dx dt
14 О.М. Болдовская
≤ γM̃(ρ)
(
ln ln
1
rK
)
−p′ ∫∫
D̃(R(r))\D̃(r)
ln−p′ 1
|x|K + t
(|x|K + t)−p′
dx dt
≤ γM̃(ρ)F3(r).
Исходя из свойств функции ψr и применяя неравенство (4.1), оце-
ним I5
I5 ≤ M̃(ρ)
∫∫
E(4ρ)
u
m+λ−1
ψ
p−(λ+1)
r |Dψr|
λ+1
dx dt ≤ γM̃(ρ)F4(r).
(4.8)
Наконец, применяя неравенство Гельдера, неравенства (4.2) и
(4.8), оценим I4
I4 ≤ M̃(ρ)
∫∫
E(4ρ)
u
m−1 |Du|λ ψp−1
r |Dψr| dx dt
≤ M̃(ρ)
(∫∫
E(4ρ)
um−2 |Du|λ+1 ψp
r dx dt
) λ
λ+1
×
(∫∫
E(4ρ)
um+λ−1 ψ
p−(λ+1)
r |Dψr|
λ+1 dx dt
) 1
λ+1
≤ γM̃(ρ)
([
ln ln
1
rK
]
−p
F1(r) +
[
ln ln
1
rK
]
−p′
F2(r)
) λ
λ+1
(
F4(r)
) 1
λ+1
.
Из (4.7) и полученных оценок интегралов I3 − I5, имеем
∫∫
E(ρ,4ρ)
|D(u
m+λ
λ+1 ψ
p
λ+1
r )|λ+1
dx dt ≤ γM̃(ρ)
{
F3(r) + F4(r)
+
([
ln ln
1
rK
]
−p
F1(r)+
[
ln ln
1
rK
]
−p′
F2(r)
) λ
λ+1
(
F4(r)
) 1
λ+1
}
. (4.9)
Перейдем к пределу при r → 0 в (4.9). Из определения функций
F3, F4 следует
lim
r→0
F3(r) = lim
r→0
F4(r) = 0.
Для функций F1, F2 рассмотрим 6 случаев:
1) при λ+ 1 < N(m + λ− 1) по определению lim
r→0
F1(r) = 0;
Устранение особенностей решений параболических уравнений 15
2) при p′ > 2 по определению lim
r→0
F2(r) = 0;
3) при λ+ 1 = N(m + λ− 1) имеем lim
r→0
[
ln ln 1
rK
]
−p
F1(r) = 0;
4) при p′ = 2 имеем lim
r→0
[
ln ln 1
rK
]
−p′
F2(r) = 0;
5) при λ+ 1 > N(m + λ− 1) рассмотрим
F1
λ(r)F4(r) ≤ γ
{
ln
1
r
}λ(1−N(m+λ−1)
λ+1
)−θλ
;
6) при p′ < 2 рассмотрим
F2
λ(r)F4(r) ≤ γ
{
ln
1
r
}λ(2−p′)−θλ
.
Правые части последних двух неравенств будут стремиться
к нулю при r → 0, если мы выберем
θ > max{1 −
N(m + λ− 1)
λ+ 1
, 2 − p
′}.
Переходя к пределу при r → 0 в (4.9), получаем утверждение
леммы 4.2.
5. Доказательство теоремы 2.
Рассмотрим C∞-функцию ξρ : R1 → R1:
ξρ(s) =
{
1, s ≥ ρ
K
,
0, s ≤ (ρ
2
)K,
0 ≤ ξρ(s) ≤ 1, |dξρ(s)
ds
| ≤ (4
ρ
)K.
Лемма 5.1. При выполнении условий теоремы 2 для 0 < ρ < R̃0
имеет место оценка
M̃(ρ) − M̃(2ρ)
≤ γ
(
M̃
2
(
ρ
2
)
ρ
−K + M̃
m+λ
(
ρ
2
)
ρ
−(λ+1)
)Np2+λ+1
λ+1
1
β1+
Np2
λ+1
(p+1+ λ+1
Np2
)
×
(∫∫
QT
ũ
β1
2ρ ξ
β2
ρ dx dt
) 1
β1+
Np2
λ+1
(p+1+ λ+1
Np2
)
+ ρ
−
1
2 , (5.1)
16 О.М. Болдовская
где p2- такое, как в теореме 3.1,
β1 = (m+λ)(1+
λ+ 1
N
), β2 = (N(m+λ−1)+λ+1)(1+
λ+ 1
N
).
Доказательство. Умножим уравнение (1.1) на функцию
ϕ(x, t) = (u(x, t) − M̃(2ρ))ν
+ξ
s
ρ(|x|
K + t), ν ≥ 1, s ≥ λ+ 1
и проинтегрируем по QT . Применяя неравенство Юнга, после
преобразоаний получим
sup
0<t<T
∫
Ω
ũ
ν+1
2ρ ξ
s
ρ dx+
∫∫
QT
|D(ũ
m+λ−1+ν
λ+1
2ρ ξ
s
λ+1
ρ )|λ+1
dx dt
≤ γ(ν + s)λ+1
(
M̃2
(
ρ
2
)
ρ−K + M̃m+λ
(
ρ
2
)
ρ−(λ+1)
)
×
∫∫
QT
ũ
ν−1
2ρ ξ
s−(λ+1)
ρ dx dt.
Из последнего неравенства, а также используя доказательство
неравенства (3.4), получаем оценку
∫∫
QT
ũ
m+λ−1+ν+
(λ+1)(ν+1)
N
2ρ ξ
s(1+ λ+1
N
)
ρ dx dt
≤ γ(ν + s)(λ+1)( λ+1
N
+2)
(
M̃
2
(
ρ
2
)
ρ
−K + M̃
m+λ
(
ρ
2
)
ρ
−(λ+1)
)1+ λ+1
N
×
(∫∫
QT
ũ
ν−1
2ρ ξ
s−(λ+1)
ρ dx dt
)1+ λ+1
N
, (5.2)
где выбираем
ν − 1 ≥ β1, s− (λ+ 1) ≥ β2.
В силу неравенства (5.2) с помощью метода Мозера можно полу-
чить оценку максимума функции ũ2ρ(x, t) на множестве {ξρ(x, t) =
1}. Оценка (5.1) доказывается аналогично (3.6). Лемма 5.1 дока-
зана.
Лемма 5.2. При выполнении условий теоремы 2 для 0 < ρ < R̃0,
β > 0 имеет место оценка
M̃(ρ) − M̃(2ρ) ≤ γρ
β−N
. (5.3)
Устранение особенностей решений параболических уравнений 17
Доказательство. Оценим правую часть неравенства (5.1). По
определению M̃(ρ)
u(x, t) ≤ M̃
(
ρ
2
)
для ξρ(x, t) 6= 0.
Применяя лемму 2.1 для v = (u( ρ
2
))
m+λ
λ+1 ψ
p
λ+1
r , p̃ = r̃ = λ+1, а также
лемму 4.2, получаем
∫∫
QT
ũ
β1
2ρ ξ
β2
ρ dx dt ≤
∫∫
QT
(u( ρ
2
))β1 ψβ2
r dx dt
≤ γ sup
0<t<T
(∫
Ω
(u( ρ
2
))m+λ dx
)λ+1
N
×
∫∫
E( ρ
2
,2ρ)
|D(u
m+λ
λ+1 ψ
p
λ+1
r )|λ+1 dx dt −→
r→0
0.
(5.4)
Из (5.1) и (5.4) следует
M̃(ρ) − M̃(2ρ) ≤ γρ
−
1
2 ,
откуда и следует утверждение леммы 5.2.
Доказательство теоремы 2. Рассмотрим последовательности
{ρj}, {M̃j} :
ρj =
R̃0
2j
, M̃j = M̃(ρj), j = 1, 2, ....
Поскольку R̃0-фиксированный параметр, из оценки (5.3) получа-
ем
M̃j − M̃j−1 ≤ γ2j(N−β)
, j = 1, 2, .... (5.5)
Суммируя (5.5) по j от 2 до J , получаем
M̃J − M̃1 ≤ γ2J(N−β)
,
откуда следует неравенство
M̃(ρ) ≤ γ(ρβ−N + M̃1).
18 О.М. Болдовская
Последнее неравенство гарантирует выполнение следующей по-
точечной оценки
u(x, t) ≤ γ
[(
|x| + t
1
K
)β−N
+ M̃1
]
.
Далее очевидно выполнение неравенства (1.10), и из [5], [12] сле-
дует, что в точке (0,0) особенность устранима. Теорема 2 доказа-
на.
Автор благодарит А.Ф.Тедеева и И.И.Скрыпника за полез-
ные замечания.
1. Болдовская О.М. Несуществование слабого решения или устранение осо-
бенностей решений задачи Неймана для вырождающихся квазилиней-
ных параболических уравнений с абсорбцией. (в печати).
2. Болдовская О.М. Существование и несуществование слабого решения
задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических
уравнений в областях с некомпактной границей. Случай медленной диф-
фузии. // Тр. ИПММ НАНУ. – 2008. – Т. 16. – С. 33 – 54.
3. Bresis H., Friedman A. Nonlinear parabolic equations involving measures as
initial conditions. // J. Math. Pures Appl. – 1983. – 62. – P. 73 – 97.
4. Gmira A. On quasilinear parabolic equations involving measure data. //
Asymptotic Anal. – 1990. – 3. – P. 43 – 56.
5. Skrypnik I.I. Removability of isolated singularities of solutions of quasilinear
parabolic equations with absorption. // Sb. Math. – 2005. – 196. – P. 1693
– 1713.
6. Galaktionov V.A., Shishkov A.E. Higher-order quasilinear parabolic equations
with singular initial data. // Commun. in Cont. Math. – 2006. – V. 8(3). –
P. 331 – 354.
7. Andreucci D., Tedeev A.F. A Fujita type result for degenerate Neumann
problem in domains with noncompact boundary. // J. Math. Anal. Appl. –
1999. – V. 231. – P. 543 – 567.
8. Ушаков В.И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для па-
раболического уравнения второго порядка в нецилиндрической области.
// Мат. сб. – 1980. – Т. 111(153). – С. 95 – 115.
9. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для
параболического уравнения второго порядка. // Мат. сб. – 1980. – Т.
111(153). – С. 503 – 521.
10. Мазья В.Г. Пространства Соболева. – Изд-во ЛГУ, 1985, 415 с.
11. Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического
уравнения второго порядка // Тр. МИАН. – 1973. – T. CXXVI. – C. 5 –
45.
12. Nicolosi F., Skrypnik I.V., Skrypnik I.I. Removable isolated singularities for
solutions of quasilinear parabolic equations. // Topol. Methods Nonlinear
Anal. (to appear).
Устранение особенностей решений параболических уравнений 19
13. Скрыпник И.И. Об устранимости изолированной особенности для ани-
зотропных эллиптических уравнений с абсорбцией. // Мат. сб. – 2008. –
T. 199(№7). – C. 85 – 102.
14. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических гра-
ничных задач. // Наука, М., – 1990, 448 с.
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины
ул.Р.Люксембург, 74
83114, Донецк, Украина
Получено 6.10.08
|