Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений
При помощи принципа максимума и априорных оценок исследуются задачи Дирихле, с косой производной и односторонняя краевая задача для неравномерно эллиптических уравнений второго порядка без ограничения на степенной порядок вырождения коэффициентов, но со знаковым неравенством на коэффициент при нулев...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124260 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений / И.Д. Пукальский // Нелинейные граничные задачи. — 2008. — Т. 18. — С. 154-173. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124260 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242602017-10-01T17:17:41Z Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений Пукальский, И.Д. При помощи принципа максимума и априорных оценок исследуются задачи Дирихле, с косой производной и односторонняя краевая задача для неравномерно эллиптических уравнений второго порядка без ограничения на степенной порядок вырождения коэффициентов, но со знаковым неравенством на коэффициент при нулевой производной. 2008 Article Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений / И.Д. Пукальский // Нелинейные граничные задачи. — 2008. — Т. 18. — С. 154-173. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0236-0497 MSC (2000): 35J70, 35J25, 35J65 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124260 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
При помощи принципа максимума и априорных оценок исследуются задачи Дирихле, с косой производной и односторонняя краевая задача для неравномерно эллиптических уравнений второго порядка без ограничения на степенной порядок вырождения коэффициентов, но со знаковым неравенством на коэффициент при нулевой производной. |
| format |
Article |
| author |
Пукальский, И.Д. |
| spellingShingle |
Пукальский, И.Д. Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений |
| author_facet |
Пукальский, И.Д. |
| author_sort |
Пукальский, И.Д. |
| title |
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений |
| title_short |
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений |
| title_full |
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений |
| title_fullStr |
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений |
| title_full_unstemmed |
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений |
| title_sort |
краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124260 |
| citation_txt |
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений / И.Д. Пукальский // Нелинейные граничные задачи. — 2008. — Т. 18. — С. 154-173. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT pukalʹskijid kraevyezadačidlâneravnomernoélliptičeskihuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-09T01:08:47Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:08:47Z |
| _version_ |
1837129613886619648 |
| fulltext |
154 Нелинейные граничные задачи 18, 154-173 (2008)
c©2008. И.Д. Пукальский
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕРАВНОМЕРНО
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
При помощи принципа максимума и априорных оценок исследуются
задачи Дирихле, с косой производной и односторонняя краевая задача для
неравномерно эллиптических уравнений второго порядка без ограничения
на степенной порядок вырождения коэффициентов, но со знаковым нера-
венством на коэффициент при нулевой производной.
Ключевые слова: принцип максимума, краевая задача, априорная оцен-
ка, теорема Рисса, интеграл Стильтьеса
MSC (2000): 35J70, 35J25, 35J65
Постановка задачи и основной результат. Пусть Ω –
ограниченная область в R
n, dim Ω ≤ n − 1, D – ограниченная
выпуклая область в R
n с границей ∂D, Ω̄ ⊂ D̄. Рассмотрим в
области D задачу нахождения функции u(x), удовлетворяющей
при x ∈ D эллиптическому уравнению
(Lu)(x) ≡
≡
[
n
∑
ij=1
Aij(x)Dxi
Dxj
+
n
∑
i=1
Ai(x)Dxi
+ A0(x)
]
u(x) = f(x),
(1)
а на границе ∂D одному из граничных условий:
u|∂D = ϕ(x); (2)
(Bu)(x)|∂D ≡
[
n
∑
k=1
bk(x)Dxk
+ b0(x)
]
u
∣
∣
∣
∣
∣
∂D
= g(x); (3)
u|∂D ≥ 0, (Bu− g)|∂D ≥ 0, u (Bu− g)|∂D = 0. (4)
Порядок особенности коэффициентов операторов L и B будет
характеризовать функция a(k, x): a(k, x) = ρk(x), если ρ(x) ≤ 1;
a(k, x) ≡ 1, если ρ(x) ≥ 1, ρ(x) – расстояние от x ∈ D\Ω̄ до ∂Ω.
Пусть P (x), P1(x
(1)), Bk(x
(2)), x(2) = (x
(1)
1 , . . . , x
(1)
k−1, x
(2)
k , x
(1)
k+1,
. . . , x
(1)
n ) – любые точки из D, k = 1, n. Определим функцио-
нальные пространства, в которых будут исследоваться краевые
задачи:
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений 155
∗) C2+α(γ, β; q;D) – пространство функций u(x), определенных
в D и имеющих непрерывные частные производные до второго
порядка в области D \ Ω̄ с конечной нормой
|u; γ, β; q;D|2+α =
2
∑
j=0
|u; γ, β; q;D|j + [u; γ, β; q;D]2+α,
где
|u; γ, β; q;D|0 = sup
P∈D
a(q, x)|u(P )|,
|u; γ, β; q;D|1 = |u; γ, β; q;D|0 +
n
∑
k=1
sup
P∈D
a(q + γ − βk, x)|Dxk
u(P )|,
|u; γ, β; q;D|2 =
=
1
∑
j=0
|u; γ, β; q;D|j +
n
∑
ij=1
sup
P∈D
a(q + 2γ − βi − βj, x)|Dxi
Dxj
u(P )|,
|u; γ, β; q;D|2+α =
=
n
∑
i,j,k=1
sup
P1,Bk∈D
(
a(q + 2γ − βi − βj + α(γ − βk); P̃ )|x
(1)
k − x
(2)
k |−α×
×|Dxi
Dxj
u(P1) −Dxi
Dxj
u(Bk)|
)
,
|u; γ, β; 0;D|0 = sup
P∈D
|u(P )| ≡ |u|D,
a(q, P̃ ) = min (a(q;P1), a(q;Bk)) ,
γ ≥ 0, βi ∈ (−∞,∞), α ∈ (0, 1), q ≥ 0;
∗) Cm(r;D) – множество функций u(x), определенных в D, для
которых конечна норма
‖u; r;D‖m =
∑
|j|≤[m]
sup
P∈D
a(r + |j|, x)|Dj
xu(P )|+
+
∑
|j|=[m]
n
∑
k=1
sup
P1,Bk∈D
a(r +m, P̃ )|x
(1)
k − x
(2)
k ||Dj
xu(P1) −Dj
xu(Bk)|,
[m] – целая часть числа m, {m} = m− [m].
Относительно задач (1) - (4) предполагаем выполнение усло-
вий:
156 И.Д. Пукальский
а) коэффициенты Ai(x) ∈ Cα(ri;D), A0(x) ∈ Cα(δ;D), A0(x) < 0,
ri ≥ 0, δ ≥ 0, Aij(x) ∈ Cα(βi + βj;D) и выполняется условие
равномерной эллиптичности ([7], стр. 36) для уравнения
n
∑
ij=1
a(βi + βj; x)Aij(x)Dxi
Dxj
u = f1(x);
б) векторы ~b(a) ≡ {b
(a)
1 , . . . , b
(a)
n }, b
(a)
k ≡ a(βk, x)bk(x) и
~e = {e1, . . . , en}, e
(a)
k = bk(x)|~b|
−1, |~b| =
[
n
∑
k=1
b2k(x)
]1/2
образу-
ют с направлением внешней нормали ~n к ∂D в той же точке
P ∈ ∂D угол, не превосходящий
π
2
, bk(x) ∈ C1+α(βk;D), b0(x) ∈
C1+α(ν;D), b0(x) > 0, ν ≥ 0;
в) поверхность ∂D принадлежит C2+α.
Сформулируем основные результаты о разрешимости соот-
ветствующих задач.
Теорема 1. Пусть для задачи (1), (2) выполнены условия а), в),
f(x) ∈ Cα(γ, β; δ;D), ϕ(x) ∈ C2+α(γ, β; 0;D). Тогда существует
единственное решение задачи (1), (2) в классе C2+α(γ, β; 0;D),
γ = max
(
max
i
(1 + βi),max
i
(ri − βi),
δ
2
)
и для него справедлива
оценка
|u; γ, β; 0;D|2+α ≤ c (|f ; γ, β; δ;D|α + |ϕ; γ, β; 0;D|2+α) , (5)
c – зависит от n, α и нормы коэффициентов оператора L.
Теорема 2. Предположим, что для задачи (1), (3) выполнены
условия а) - в), функция g(x) ∈ C1+α(γ, β; ν;D),
f(x) ∈ Cα(γ, β; δ;D), γ = max
(
max
i
(1 + βi),max
i
(ri − βi),
δ
2
, ν
)
.
Тогда существует единственное решение задачи (1), (3)
в классе C2+α(γ, β; 0;D) и для него справедлива оценка
|u; γ, β; 0;D|2+α ≤ c (|f ; γ, β; δ;D|α + |g; γ, β; ν;D|1+α) , (6)
c – зависит от n, α и нормы коэффициентов операторов L и B.
Теорема 3. Если выполнены условия теоремы 2, то единствен-
ное решение задачи (1), (4) из класса C2+α(γ, β; 0;D),
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений 157
γ = max
(
max
i
(1 + βi),max
i
(ri − βi),
δ
2
, ν
)
удовлетворяет оценке
(6).
Оценка решений краевых задач с гладкими коэффи-
циентами. Пусть Dm = {x, x ∈ D, a(1, x) ≥ m−1, m > 1} после-
довательность областей с гладкой границей ∂Dm, которая при
m→ ∞ сходится к D.
Рассмотрим в области D задачу нахождения решения урав-
нения
(Lum(x)) =
[
n
∑
ij=1
aij(x)Dxi
Dxj
+
n
∑
i=1
ai(x)Dxi
+ a0(x)
]
um(x) = fm(x),
(7)
удовлетворяющего на границе области одному из условий:
um|∂D = ϕm|∂D ; (8)
(Bum)(x)|∂D ≡
[
n
∑
k=1
lk(x)Dxk
+ l0(x)
]
um
∣
∣
∣
∣
∣
∂D
= gm(x)|∂D ; (9)
um|∂D ≥ 0, (Bum − gm)um|∂D ≥ 0, um(Bum − gm)um|∂D = 0.
(10)
Здесь aij(x) = Aij(x), ai(x) = Ai(x), a0(x) = A0(x), lk(x) =
bk(x), l0(x) = b0(x), ϕm(x) = ϕ(x), fm(x) = f(x), gm(x) = g(x),
если x ∈ Dm. Для x 6∈ Dm коэффициенты aij(x), ai(x), a0(x),
lk(x), l0(x), функции fm(x), ϕm(x), gm(x) есть решения краевых
задач вида
∆v = 0, v|∂Dm
= ψ(ξ).
в области x ∈ (Rn \Dm), ([9]). Где, например, для aij(x), ψ(ξ) ≡
Aij(x) |∂Dm
.
Изложим принцип максимума для задач (7) - (10) в том виде,
который понадобится в дальнейшем.
Теорема 4. Пусть um(x) – классическое решение задачи (7), (8)
в области D, f(x) ∈ C0(γ, β; δ;D), ϕ(x) ∈ C(D) и выполнены
условия а), в). Тогда для um(x) справедливо неравенство
|um| ≤ max
(
|fma
−1
0 |D, |ϕm|D
)
. (11)
158 И.Д. Пукальский
Доказательство. Возможны три случая: или um(x) неполо-
жительно в D, или свое наибольшее в D положительное значение
um(x) принимает на границе ∂D, или наибольшее в D значение
принимается в точке P1 ∈ D. В первом случае max
D
um(x) ≤ 0,
во втором – 0 < max
D
um(x) = max
∂D
ϕm(x). В третьем случае –
0 < max
D
um(x) = um(P1), причем в точке P1 выполнены соотно-
шения
Dxi
um = 0,
n
∑
ij=1
aij(P1)Dxi
Dxj
um ≤ 0 (12)
и равенство (7).
Последнее из соотношений имеет место благодаря тому, что
в точке максимума вторые производные Dxk
Dxk
um по любому
направлению
zk =
n
∑
i=1
αkia(βi, x
(1))(xi − x
(1)
i ), (det ‖αki‖ 6= 0)
неположительны,
n
∑
ij=1
aij(P1)Dxi
Dxj
um =
=
n
∑
k,l=1
(
n
∑
ij=1
a(βi + βj, x
(1))aij(P1)αkiαlj
)
Dyk
Dyl
um =
=
n
∑
k=1
µkDzk
Dzk
um,
причем, по условию а), характеристические числа µ1, . . . , µn квад-
ратичной формы
n
∑
ij=1
a(βi + βj, x
(1))aij(P1)αkiαlj положительны.
Учитывая (12) и уравнение (7), в точке P1 имеет место неравен-
ство
um(P1) ≤ fm(P1)a
−1
0 (P1).
Аналогично, рассматривая точку наименьшего неположи-
тельного значения функции um(x), находим
um(x) ≥ min{0,min
D
fm(x)a−1
0 (x),min
D
ϕm(x)}.
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений 159
Таким образом, для решения задачи (7), (8) справедлива оцен-
ка (11).
Теорема 5. Если um(x)– классическое решение задачи (7), (9),
f(x) ∈ C0(γ, β; δ;D), g(x) ∈ C0(γ, β; ν;D) и выполнены условия
а) - в), то для um(x) справедлива оценка
|um| ≤ max
(
|fma
−1
0 |D, |l
−1
0 gm|D
)
. (13)
Доказательство. Неравенство (13) устанавливается так же,
как и (11). Отличие в получающейся оценке имеется только для
случая, когда
0 < max
D
um(x) = max
∂D
um(x) = um(P3).
В точке P3 имеем
dum
d~e
≥ 0 (вектор ~e удовлетворяет условию
б)), и поэтому, ввиду граничного условия (9),
um(P3) ≤ l−1
0 (P3)gm(P3).
Аналогично, если P4 точка минимума для um(x) попадает на
∂D, то в ней
dum
d~e
≤ 0, и потому, в силу (9)
um(P4) ≥ l−1
0 (P4)gm(P4).
Теорема 6. Предположим, что um(x)– классическое решение за-
дачи (7), (10), f(x) ∈ C0(γ, β; δ;D), g(x) ∈ C0(γ, β; ν;D) и выпол-
нены условия а) - в). Тогда для um(x) справедлива оценка (13).
Доказательство. Оценка для решения задачи (7), (10) уста-
навливается так же, как и (11). Отличие в получающейся оценке
имеется только для случая, когда
0 < max
D
um(x) = max
∂D
um(x) = um(P5).
Учитывая условие (10), имеем
um(Bum − gm)|P5
= 0.
Поскольку um(P5) > 0, то (Bum − gm)|P5
= 0. Повторяя рас-
суждения доказательства теоремы 5, находим
um ≤ l−1
0 (P5)gm(P5).
160 И.Д. Пукальский
Аналогично, рассматривая точку наименьшего неположитель-
ного значения функции um(x), получим
um ≥ min
∂D
(
l−1
0 (x)gm(x)
)
.
Введем в пространстве C2+α(D) норму |um; γ, β; q;D|2+α, эк-
вивалентную при каждом фиксированном m гельдеровой норме,
которая определяется так же, как |u; γ, β; q;D|2+α, только вместо
функции a(k, x) берем d(k, x) такую, что d(k, x) = a(k, x), если
ρ(x) ≥ m−1; d(k, x) = m−k, если ρ(x) ≤ m−1.
При налагаемых условиях на гладкость коэффициентов опе-
раторов L, B существует единственное решение задач (7) - (10),
которое принадлежит пространству C2+α(D) и имеет при каждом
m конечную норму |um; γ, β; 0;D|2+α.
Установим оценку нормы |um; γ, β; 0;D|2+α.
Теорема 7. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для ре-
шения задачи (7), (8) справедлива оценка
|um; γ, β; 0;D|2+α ≤ c (|f ; γ, β; δ;D|α + |ϕ; γ, β; 0;D|2+α) . (14)
Постоянная c не зависит от m.
Доказательство. В задаче (7), (8) сделаем замену um(x) =
vm(x) + ϕm(x), тогда vm(x) будет решением однородной задачи
(Lvm)(x) = fm(x) − (Lϕm)(x) ≡ F (x), (15)
vm|∂D = 0. (16)
Используя определение нормы |vm; γ, β; 0;D|2+α и интерполя-
ционные неравенства ([9, стр. 104]), имеем
|vm; γ, β; 0;D|2+α ≤ (1 + εα)[vm; γ, β; 0;D|2+α + c(ε)|vm|D.
Поэтому достаточно оценить [vm; γ, β; δ;D|2+α. Из определе-
ния полунормы следует существование в D точек P1 и Bk, для
которых выполнено неравенство:
1
2
[vm; γ, β; 0;D|2+α ≤ E(vm) ≡
≡
n
∑
i,j,k=1
d(2γ − βi − βj + α(γ − βk); P̃ )|x
(1)
k − x
(2)
k |×
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений 161
×|Dxi
Dxj
vm(P1) −Dxi
Dxj
vm(Bk)|. (17)
Если |x
(1)
k − x
(2)
k | ≥ 4−1ηd(γ − βk, P̃ )n−1 ≡ T , η ∈ (0, 1), то
используя интерполяционные неравенства, находим
E(vm) ≤ 2εα[vm; γ, β; 0;D]2+α + c(ε)|vm|D. (18)
Пусть |x
(1)
k −x
(2)
k | ≤ T . Будем считать, что d(γ, P̃ ) ≡ d(γ, x(1)),
|x(1)−y| ≥ 2Tn или |x
(1)
n −yn| ≥ 2T , y ∈ ∂D. Запишем задачу (15),
(16) в виде
(L0vm)(x) ≡
≡
(
n
∑
ij=1
aij(P1)Dxi
Dxj
+ λ
)
vm =
= F (x) + +
[
n
∑
ij=1
(aij(P1) − aij(x))Dxi
Dxj
−
−
n
∑
i=1
ai(x)Dxi
− a0(x) + λ
]
vm ≡ F1(x), vm|∂D = 0,
(19)
где λ – произвольное число, λ ≤ sup
D
a0(x).
В задаче (19) сделаем замену vm = ωm(z), zi = d(βi, x
(1))xi,
i = 1, n. Получим
(L1ωm)(z) ≡
[
n
∑
ij=1
d(βi + βj, x
(1))Dzi
Dzj
+ λ
]
ωm = F1(Z),
ωm|∂D = 0,
где Z = (d−1(β1, x
(1))z1, . . . , d
−1(βn, x
(1))zn).
Обозначим через Hρ = {z : |zi − z
(1)
i | ≤ 4−1ρηd(γ, z(1))n−1, i =
1, n, z
(1)
i = d(βi, x
(1))x
(1)
i } и возьмем трижды дифференцируемую
функцию µ(z):
µ(z) =
{
1, z ∈ H1/4, 0 ≤ µ(z) ≤ 1;
0, z 6∈ H3/4, |Dk
zµ(z)| ≤ ckd
−1(kγ, x(1)).
Тогда функция Vm(z) ≡ ωm(z)µ(z) удовлетворяет задаче Ди-
рихле
(L1Vm)(z) =
n
∑
ij=1
d(βi + βj, x
(1))aij(x
(1))[Dzi
ωmDzj
µ+Dzi
µDzj
ωm]+
162 И.Д. Пукальский
+ωm(z)
[
n
∑
ij=1
d(βi + βj, x
(1))Dzi
Dzj
µ(z)
]
+ µF1 ≡ F2(z).
Vm|∂D = 0.
Используя теорему 1.1 ([7, стр. 145]) и оценки 1.11 ([7, стр.
148]), для произвольных точек M1(ξ
(1)) и M2(ξ
(2)) ∈ H1/4 убедим-
ся в справедливости неравенства
|ξ(1) − ξ(2)|−α|D2
ξωm(M1) −D2
ξωm(M2)| ≤
≤ c
(
|F2|Cα(H3/4) + |ωm|H3/4
)
.
(20)
Учитывая свойства функции µ(z) и неравенство
d(γ, ξ) ≥
1
4
d(γ, x(1))
для ξ ∈ H3/4, имеем
|F2|Cα(H3/4) ≤ cd−1((2 + α)γ, x(1))×
×
(
|F1; γ, 0; 2γ,H3/4|α + |ωm; γ, 0; 0;H3/4|2 + |ωm|H3/4
)
. (21)
Из определения пространства C2+α(γ, β; 0;D) следует спра-
ведливость неравенств
c1|ωm; γ, 0; 0;H3/4|r ≤ |vm; γ, β; 0;V3/4|r ≤ c2|ωm; γ, 0; 0;H3/4|r,
Vρ = {x, x ∈ D, |xi − x
(1)
i | ≤ 4ρT}.
Подставляя (21) в (20) и возвращаясь к переменным x, нахо-
дим
E(vm) ≤
≤ c3
(
|F1; γ, β; 2γ, V3/4|α + |vm; γ, β; 0;V3/4|2 + |vm|V3/4
)
.
(22)
Установим оценку нормы |F1; γ, β; 2γ, V3/4|α. Пусть M(τ (1)),
Nk(τ
(2)) – любые две точки из V3/4. Учитывая интерполяционные
неравенства, достаточно оценить полунорму каждого слагаемого
функции F1(x). Например,
[ai(B)Dxi
vm(B); γ, β; 2γ;V3/4]α ≤
n
∑
i,k=1
sup
M,Nk
[d(γ−βi; M̃)|Dτi
vm(M)|×
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений 163
×d(γ+βi+α(γ−βk); M̃)|τ
(1)
k −τ
(2)
k |−α|ai(M)−ai(Nk)|+d(γ+βi; M̃)×
×|ai(Nk)|d(γ − βi + α(γ − βk), M̃)|Dτi
vm(M) −Dτi
vm(Nk)|] ≤
≤ c
(
|vm; γ, β; 0;V3/4|2 + |vm|V3/4
)
.
Аналогично получаем оценки остальных слагаемых функции
F1(x):
|F1; γ, β; 2γ;V3/4|α ≤ ε1[vm; γ, β; 0;V3/4]2+α+
+c4
(
|vm|V3/4
+ |F ; γ, β; 2γ;V3/4|α
)
,
(23)
где ε1 = n2ν2c1 + (n + 2)εα, ν, ε – произвольные числа ν ∈ (0, 1),
ε ∈ (0, 1).
Подставляя (23) в (22), находим
E(vm) ≤ (ε1 + εα)[vm; γ, β; 0;V3/4]2+α+
+c5
(
|vm|V3/4
+ |F ; γ, β; 2γ;V3/4|α
)
.
(24)
Пусть |x(1) − y| < 2Tn и |x
(1)
n − yn| < 2T , y ∈ ∂D. Рассмот-
рим шар K(R,P ) радиуса R ≥ 4Tn, содержащий точки P1 и Bk
с центром в некоторой точке P ∈ ∂D. Используя ограничение
на гладкость поверхности ∂D, можно распрямить ∂D ∩ K(R,P )
с помощью взаимно однозначного преобразования x = ψ(z) ([9],
стр. 126), в результате чего область Π ≡ D ∩ K(R,P ) переходит
в Π1, для точек которой zn ≥ 0. Если положить vm(x) ≡ ωm(z),
P1 = M1, Bk = Nk и коэффициенты оператора L при этом пре-
образовании обозначить через kij(z), ki(z), k0(z), то ωm(z) в Π1
будет решением задачи
(
n
∑
ij=1
kij(M1)Dzi
Dzj
+ λ
)
ωm(z) =
n
∑
ij=1
[kij(M1) − kij(z)]Dzi
Dzj
ωm−
−
n
∑
i=1
ki(z)Dzi
ωm − (k0(z) − λ)ωm + F (ψ(z)) ≡ F3(z),
ωm|zn=0 = 0.
Повторяя рассуждения, приведенные при оценке решения за-
дачи (19), используя при этом теорему 7.1 ([10], стр. 71) и в этом
случае получаем оценку (24).
164 И.Д. Пукальский
Учитывая неравенства (24), (18) и выбирая ε, η достаточно
малыми, из неравенства (17), находим
|vm; γ, β; 0;D|2+α ≤ c (|F ; γ, β; 2γ;D|α + |vm|D) . (25)
Применяя теорему 4 к решениям задачи (15), (16), имеем
|vm|D ≤ c|Fa−1
0 |D.
Поскольку
|F ; γ, β; 2γ;D|α ≤ c6 (|f ; γ, β; δ;D|α + |ϕ; γ, β; 0;D|2+α) ,
то из неравенства (25), учитывая замену um = vm +ϕm, получаем
оценку (14).
Теорема 8. Предположим, что выполнены условия теоремы 2.
Тогда для решения задачи (7), (9) справедлива оценка
|um; γ, β; 0;D|2+α ≤ c (|f ; γ, β; δ;D|α + |g; γ, β; ν;D|1+α) . (26)
Постоянная c не зависит от m.
Доказательство. Оценка (26) устанавливается так же, как
и неравенство (14). Приведем наиболее существенные детали до-
казательства. Пусть |x
(1)
k − x
(2)
k | ≤ T . Рассмотрим случай |x(1) −
y| ≤ 2Tn и |x
(1)
n − yn| ≤ 2T , y ∈ ∂D. Сделаем преобразование
x = ψ(z) области Π ≡ K(R,P ) ∩ D и обозначим коэффициенты
операторов L и B в области Π1 через kij(z), k0(z), hk(z), h0(z).
При этом преобразовании величины E(um), d(γ, x(1)), точки P1 и
Bk перейдут соответственно в E1, d1(γ, z
(1)), точки M1 и Nk. Тогда
um(x) = ωm(z) будет решением задачи
(
n
∑
ij=1
kij(M1)Dzi
Dzj
+ λ
)
ωm(z) =
n
∑
ij=1
(kij(M1) − kij(z))Dzi
Dzj
ωm−
n
∑
i=1
ki(z)Dzi
ωm − (k0(z) − λ)ωm + fm(ψ(z)) ≡ F3(z), (27)
n
∑
i=1
hi(M1)Dzi
ωm(z)
∣
∣
∣
∣
zn=0
=
[
n
∑
i=1
(hi(M1) − hi(z))Dzi
ωm−
−h0(z)ωm + gm(ψ(z))]|zn=0 ≡ G1(z)|zn=0 .
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений 165
В задаче (27) сделаем замену ωm(z) = Wm(τ), τi = di(βi, z
(1))zi,
i = 1, n. Тогда Wm(τ) будет решением задачи
(L2Wm)(τ) =
=
(
n
∑
ij=1
d1(βi + βj, z
(1))kij(M1)Dτi
Dτj
+ λ
)
Wm(τ) = F3(τ̃),
(B0Wm)(τ) =
n
∑
i=1
d1(βi, z
(1))hi(M1)Dτi
Wm
∣
∣
∣
∣
τn=0
= G1(τ̃ )|τn=0 ,
где τ̃ =
(
d−1
1 (β1, z
(1))z1, . . . , d
−1
1 (βn, z
(1))zn
)
.
Обозначим через τ
(1)
i = d1(βi, z
(1))z
(1)
i , H
(1)
ρ = {τ, |τi − τ
(1)
i | ≤
4−1ηρd1(βi, z
(1))n−1, i = 1, n, τn ≥ 0, ρ ∈ (0, 1)} и возьмем трижды
дифференцируемую функцию µ1(τ):
µ1(τ) =
{
1, τ ∈ H
(1)
1/4, 0 ≤ µ1(τ) ≤ 1;
0, τ 6∈ H
(1)
3/4, |Dk
τµ1(τ)| ≤ ckd
−k
1 (γ, z(1)).
Тогда произведениеWm(τ)µ1(τ) удовлетворяет следующей кра-
евой задаче
(L2(Wmµ1))(τ) =
=
n
∑
ij=1
d1(βi + βj, z
(1))kij(M1)[Dτi
WmDτj
µ1 +Dτj
WmDτi
µ1]+
+Wm
[
n
∑
ij=1
d(βi + βj, z
(1))kij(M1)Dτi
Dτj
µ1
]
+ µ1(τ)F3(τ̃) ≡ F4(τ),
(B0(Wmµ1))(τ) =
=
[
n
∑
i=1
d1(βi, z
(1))hi(M1)WmDτi
µ1 + µ1(τ)G1(τ̃)
]
∣
∣
∣
∣
τn=0
≡
≡ G2(τ)|τn=0 . (28)
Коэффициенты уравнения и краевого условия задачи (28),
в силу сделанных ранее предположений, ограничены постоянны-
ми, не зависящими от M1(z
(1)). Поэтому, используя теорему 3.2
166 И.Д. Пукальский
([7, стр. 179]), для произвольных точек S1(s
(1)) и S2(s
(2)) ∈ H
(1)
1/4,
имеем
|s(1) − s(2)|−α|Dsi
Dsj
Wm(S1) −Dsi
Dsj
Wm(S2)| ≤ c
(
|F4|Cα(H
(1)
3/4
)
+
+ |G2|C1+α(H
(1)
3/4
∩τn=0)
+ |Wm|H(1)
3/4
)
. (29)
Учитывая свойства функции µ1(τ), неравенство d1(γ, s) ≥
1
4
d1(γ, z
(1)) для S(s) ∈ H
(1)
3/4, находим
|F4|Cα(H
(1)
3/4
)
≤ cd−1
1 ((2 + α)γ, z(1))×
×
(
|F3; γ, 0; 2γ,H
(1)
3/4|α + |Wm; γ, 0; 0;H
(1)
3/4|2 + |Wm|H(1)
3/4
)
, (30)
|G2|C1+α(H
(1)
3/4
∩(τn=0))
≤ cd−1
1 ((2 + α)γ, z(1))×
×
(
|G1; γ, 0; γ,H
(1)
3/4|1+α + |Wm; γ, 0; 0;H
(1)
3/4|2 + |Wm|H(1)
3/4
)
.
Повторяя рассуждения доказательства теоремы 7 и возвра-
щаясь к переменным z, получим
E1 ≤ c (|F3; γ, β; 2γ,Π1|α+
+|ωm; γ, β; 0; Π1|2 + |G1; γ, β; γ,Π1|1+α + |ωm|Π1) .
Далее установим оценку нормы |G1; γ, β; γ; Π1|1+α. Для этого,
в силу интерполяционных неравенств, достаточно оценить полу-
норму каждого слагаемого функции G1(z). Например,
[h0ωm; γ, β; γ; Π1]1+α ≤
≤
n
∑
i,k=1
sup
Q1,Sk∈Π1
(d1(γ; Q̃))(|h0(Q1)| + |h0(Sk)|)×
×|t
(1)
k − t
(2)
k |−α|Dtiωm(Q1) −Dtiωm(Sk)|d1((1 + α)(γ − βk); Q̃)+
+(|ωm(Q1)| + |ωm(Sk)|)×
×|t
(1)
k − t
(2)
k |−α|Dtih0(Q1) −Dtih0(Sk)|d1(2γ − βi + α(γ − βk); Q̃) ≤
≤ c (|ωm; γ, β; 0; Π1|2 + |ωm|Π1) .
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений 167
Аналогично получаются оценки других слагаемых функции
G1(z). Оценка функции F3(z) получается так же, как и оценка
(23). Следовательно, для E(um) справедливо неравенство
E(um) ≤ (c7ε1 + c8ε2) [um; γ, β; 0; Π]2+α +
+c (|ωm|Π + |fm; γ, β; 2γ,Π|α + |gm; γ, β; γ; Π|1+α) , (31)
где ε1 = n2ηα + nεα, ε2 = n3ηα + εα(n = 2).
Рассмотрим случай |x(1) − y| ≥ 2Tn или |x
(1)
n − yn| ≥ 2T ,
y ∈ ∂D. Пусть d(γ, P̃ ) = d(γ, x(1)). Запишем задачу (7), (9) в виде
(L0um)(x) ≡
[
n
∑
ij=1
aij(P1)Dxi
Dxj
+ λ
]
um =
= fm(x) +
n
∑
ij=1
(aij(P1) − aij(x))Dxi
Dxj
um−
−
n
∑
i=1
ai(x)Dxi
um − (a(x) + λ)um ≡ F5(x),
(32)
(B1um)(x) ≡
n
∑
i=1
li(P1)Dxi
um
∣
∣
∣
∣
∣
∂D
=
=
[
n
∑
i=1
(li(P1) − li(x))Dxi
um − l0(x)um + gm(x)
]
∣
∣
∣
∣
∣
∂D
= G3(x)|∂D .
В задаче (32) сделаем замену um(x) = ωm(z), zi = d(βi, x
(1))xi,
i = 1, n. Получим
(L1ωm)(z)≡
(
n
∑
ij=1
d(βi + βj, x
(1))aij(P1)Dzi
Dzj
+ λ
)
ωm(z)=F5(Z),
(B1ωm)(z) ≡
(
n
∑
i=1
d(βi, x
(1))li(P1)Dxi
ωm
)
∣
∣
∣
∣
∣
∂D
≡ G3(Z)|∂D . (33)
Коэффициенты уравнения и краевого условия задачи (33), в
силу сделанных ранее предположений, ограничены постоянными,
не зависящими от P1. Обозначим через
Hρ = {z, |zi − z
(1)
i | ≤ ρηd(γ, z(1))4−1n−1, i = 1, n,
z
(1)
i = d(βi, x
(1))x
(1)
i }.
168 И.Д. Пукальский
Тогда функция Vm(z) = ωm(z)µ(z) удовлетворяет задаче
(L1Vm)(z) =
n
∑
ij=1
d(βi + βj, x
(1))aij(P1)[Dzi
µDzj
ωm +Dzi
ωmDzj
µ]+
+ωm(z)
[
n
∑
ij=1
d(βi + βj, x
(1))aij(P1)Dzi
Dzj
µ(z)
]
+ µF5 ≡ F6(z),
(B1Vm)(z) ≡
(
n
∑
i=1
d(βi, x
(1))li(P1)ωmDzi
µ− µG3(Z)
)∣
∣
∣
∣
∣
∂D
= 0,
поскольку Dk
zi
µ(z)
∣
∣
∂D
≡ 0, k = 0, 3.
Поэтому используя теорему 7.1 ([10, стр. 71]) и повторяя рас-
суждения доказательства оценки (24), получим
E(um) ≤ c8ε2[um; γ, β; 0;D]2+α+c (|um|D + |fm; γ, β; 2γ;D|α) . (34)
В случае |x
(1)
k −x
(2)
k | ≥ T для E(um) справедлива оценка (18),
то есть
E(um) ≤ 2εα[um; γ, β; 0;D]2+α + c(ε)|um|D. (35)
Учитывая неравенства (35), (34), (31) и выбирая ε и η доста-
точно малыми, из неравенства
1
2
[um; γ, β; 0;D]2+α ≤ E(um),
находим
|um; γ, β; 0;D|2+α ≤
≤ c (|fm; γ, β; 2γ;D|α + |gm; γ, β; γ;D|1+α + |um|D) .
(36)
Применяя теорему 5 к решениям задачи (7), (9), имеем
|um|D ≤ c (|fm; γ, β; δ;D|0 + |gm; γ, β; ν;D|0) .
Поскольку
|fm; γ, β; 2γ;D|α ≤ c|f ; γ, β; δ;D|α,
|gm; γ, β; γ;D|1+α ≤ c|g; γ, β; ν;D|1+α,
из неравенства (36) получаем оценку (26).
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений 169
Теорема 9. Если выполнены условия теоремы 3, то для решения
задачи (7), (10) справедлива оценка (26).
Доказательство проводится по той же схеме, что и доказа-
тельство теорем 7, 8. Пусть |x
(1)
k − x
(2)
k | ≤ 2T , y ∈ ∂D в области
Π1 функция ωm(z) будет решением уравнения
(L1ωm)(z) =
(
n
∑
ij=1
kij(M1)Dzi
Dzj
+ λ
)
ωm(z) = F3(z) (37)
и удовлетворяет краевому условию
(B2ωm)(z) ≡
n
∑
i=1
hi(M1)Dzi
ωm
∣
∣
∣
∣
∣
zn=0
≥ G1(z)|zn=0 ,
ωm(z)|zn=0 ≥ 0, ωm (B2ωm −G1)|zn=0 = 0. (38)
Возможны два случая: либо существуют точки границы (Π1∩
zn = 0), в которых выполняется условие
(B2ωm −G1))|zn=0 = 0; (39)
либо таких точек не существует, то есть B2ωm > G1, тогда из
краевого условия (38), имеем
ωm|zn=0 = 0 (40)
для точек границы области (Π1 ∩ zn = 0)
Если имеет место первый случай, то исследуем задачу (37),
(39), повторяя рассуждения доказательства оценки (31).
Если имеет место второй случай, то исследуем задачу (37),
(40), повторяя рассуждения доказательства теоремы 7.
Рассмотрим случай |x
(1)
n −yn| ≥ 2T , или |x−y| ≥ 2Tn, y ∈ ∂D.
Пусть d(γ, P̃ ) ≡ d(γ, x(1)). Запишем задачу (7), (10) в виде
(L0um)(x) = fm(x) +
(
n
∑
ij=1
(aij(P1) − aij(x))Dxi
Dxj
−
−
n
∑
i=1
ai(x)Dxi
− a0(x) + λ
)
um = F7(x), (41)
um|∂D ≥ 0, (Bum − gm)|∂D ≥ 0, um(Bum − gm)|∂D = 0.
170 И.Д. Пукальский
В задаче (41) сделаем замену um(x) = ωm(z), zi = d(βi, x
(1))xi,
i = 1, n. Получим
(L1ωm)(z) = F7(Z), ωm|∂D ≥ 0,
(Bωm − gm)|∂D ≥ 0, ωm(Bum − gm)|∂D = 0.
Поскольку |x
(1)
k − x
(2)
k | ≤ T , функция ωm(z)µ(z) в области Hρ
удовлетворяет краевой задаче
(L2(ωmµ))(z) =
n
∑
ij=1
d(βi+βj, x
(1))aij(P1)[Dzi
ωmDzj
µ+Dzi
µDzj
ωm]+
+ωm
[
n
∑
ij=1
d(βi + βj, x
(1))aij(P1)Dzi
Dzj
µ(z)
]
+ µF7 ≡ F8(z),
(ωmµ)|∂D = 0.
Далее, повторяя рассуждения доказательства теоремы 7, по-
лучим нужную оценку.
В случае |x
(1)
k −x
(2)
k | ≥ T для E(um) справедлива оценка (35).
Применяя теорему 6 к решениям задачи (7), (10) и повторяя
рассуждения доказательства теоремы 8, получаем оценку (26).
Доказательство теоремы 1. Поскольку правая часть нера-
венства (14) не зависит от m, а последовательности
{V (0)
m = |um(P )|}, {V (1)
m = d(γ − βi, x)|Dxi
um(P )|},
{V (2)
m = d(2γ − βi − βj, x)|Dxi
Dxj
um(P )|}, P (x) ∈ D,
равномерно ограничены и равностепенно непрерывны, то по тео-
реме Арцела существуют подпоследовательности {V
(0)
m(k)}, {V
(1)
m(j)},
{V
(2)
m(r)} равномерно сходящиеся в D. Переходя к пределу при
m(k) → ∞, m(j) → ∞, m(r) → ∞ в задаче (7), (8), получим, что
единственное решение задачи (1), (2) принадлежит C2+α(γ, β; 0;D)
и справедлива оценка (5).
Теорема 10. Пусть f(x) ∈ Cα(γ, β; 0;D) и выполнены условия
теоремы 1. Тогда единственное решение задачи (1), (2) в про-
странстве C2+α(γ, β; 0;D) определяется интегралами Стиль-
тьеса с борелевской мерой
u(x) = u1(x) + u2(x) =
∫
D
Γ1(x, dξ)f(ξ) +
∫
∂D
Γ2(x, dξS)ϕ(ξ) (42)
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений 171
и компоненты (Γ1,Γ2) удовлетворяют неравенствам
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∫
D
Γ1(x, dξ)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ sup
D
|A−1
0 (x)|,
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∫
∂D
Γ2(x, dξS)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ 1. (43)
Доказательство. Благодаря тому, что
Cα(γ, β; 0;D) ⊂ Cα(γ, β; δ;D),
для f(x) ∈ Cα(γ, β; 0;D) справедлива оценка
|f ; γ, β; δ;D|α ≤ C|f ; γ, β; 0;D|α,
где c зависит от diamD.
Учитывая теорему 1, для решения задачи (1), (2) справедли-
ва оценка
|u; γ, β; 0;D|2+α ≤ C(|f ; γ, β; 0;D|α + |ϕ; γ, β; 0;D|2+α). (44)
Рассматриваем u(x) при фиксированных x, как линейный
непрерывный функционал L(f, ϕ) на нормированном простран-
стве Cα(γ, β; 0;D) с нормой, равной правой части неравенства
(44). В силу вложения Cα(γ, β; 0;D) ⊂ C и теоремы Рисса, можно
считать, что u(x) порождает борелевскую меру Γ(x,Ω), которая
определена на σ-алгебре подмножеств Ω области D, включая D
и все ее открытые подмножества, такие, что значения данного
функционала определяются формулой (42).
Из теорем 1, 4 следует справедливость для решения задачи
(1), (2) неравенств
|u1|D ≤ |fA−1
0 |D, |u2|D ≤ |ϕ|D, (45)
где u1(x) – решение однородной задачи (1), (2) (ϕ(x) ≡ 0), а u2(x)
– решение задачи (1), (2) при f(x) ≡ 0.
Подставив в неравенства (45) ϕ(x) ≡ 1, f(x) ≡ 1, получим
неравенства (43).
Доказательство теоремы 2. Поскольку правая часть нера-
венства (26) не зависит от m и множества {V
(k)
m }, k = 0, 1, 2, рав-
номерно ограничены и равностепенно непрерывны в D, то по тео-
реме Арцела существуют подпоследовательности {V
(0)
m(k)}, {V
(1)
m(j)},
{V
(2)
m(r)}, равномерно сходящиеся в D. Поэтому переходя к преде-
лу при m(k) → ∞, m(j) → ∞, m(r) → ∞ в задаче (7), (9),
172 И.Д. Пукальский
получим, что единственное решение задачи (1), (3) принадлежит
C2+α(γ, β; 0;D) и справедива оценка (6).
Теорема 11. Предположим, что f(x) ∈ Cα(γ, β; 0;D), g(x) ∈
C1+α(γ, β; 0;D) и выполнены условия теоремы 2. Тогда единствен-
ное решение задачи (1), (3) в пространстве C2+α(γ, β; 0;D) опре-
деляется интегралами Стильтьеса с борелевской мерой
u(x) = u1(x) + u2(x) =
∫
D
G1(x, dξ)f(ξ) +
∫
∂D
G2(x, dξS)g(ξ) (46)
и компоненты (G1, G2) удовлетворяют неравенствам
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∫
D
G1(x, dξ)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ |A−1
0 (x)|D,
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∫
∂D
G2(x, dξS)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ |b−1
0 (x)|∂D. (47)
Доказательство. Поскольку Cα(γ, β; 0;D) ⊂ Cα(γ, β; δ;D),
C1+α(γ, β; ν;D) ⊂ C1+α(γ, β; δ;D), то для функций
f(x) ∈ Cα(γ, β; 0;D) и g(x) ∈ C1+α(γ, β; 0;D)
выполняются неравенства
|f ; γ, β; δ;D|α ≤ C|f ; γ, β; 0;D|α,
|g; γ, β; ν;D|1+α ≤ C|g; γ, β; 0;D|1+α,
где c зависит от diamD.
Учитывая теорему 2, для решения задачи (1), (3) имеет место
оценка
|u; γ, β; 0;D|2+α ≤ C(|f ; γ, β; 0;D|α + |g; γ, β; 0;D|1+α). (48)
Ввиду того, что пространство Cα(γ, β; 0;D) вложено в C, по-
вторяя рассуждения доказательства теоремы 10, получим фор-
мулу (46).
Используя теоремы 2, 5, находим оценки (47) для компонент
(G1, G2).
Доказательство теоремы 3. Благодаря тому, что для решения
задачи (7), (10) справедлива оценка (26), повторяя рассуждения
доказательства теоремы 2 получим, что единственное решение
задачи (1), (4) принадлежит пространству C2+α(γ, β; 0;D) и для
него справедлива оценка (6).
Краевые задачи для неравномерно эллиптических уравнений 173
Замечание. Задачи для уравнений с вырождениями различного
вида исследовались многими математиками, в частности, в рабо-
тах [1-8].
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. - М.: Гос. изд. физ.-мат
лит., 1963. - 702 с.
2. Ройтберг Я.А., Шефтель З.Г. Об общих эллиптических задачах с силь-
ным вырождением // Докл. АН СССР. - 1980. - 254, N 6. - С. 1336 -
1342.
3. Никольский С.М. О краевой задачи первого рода с сильными вырожде-
ниями // Докл. АН СССР. - 1975. - 222, N 2. - С. 281 - 283.
4. Жислин Г.И. О конечности дискретного спектра операторов энергии кван-
товых систем многих частиц // Докл. АН СССР. - 1972. - 207, N 1. - С.
25 - 28.
5. Пукальский И.Д. Задача с косой производной для неравномерного пара-
болического уравнения // Дифф. уравнения. - 2001. - 37, N 12, - c. 1637 -
1645.
6. Пукальський I.Д. Одностороння нелокальна крайова задача для сингу-
лярних параболiчних рiвнянь // Укр. матем. журн. - 2001. - 53, N 11, - c.
1521 - 1531.
7. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравне-
ния эллиптического типа. - М.: Наука, 1973. - 576 с.
8. Матiйчук М.I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. - Київ: Iнститут
математики НАН України, 1999. - 176 с.
9. Шишмарев И.А. Введение в теорию эллиптических уравнений. - М.: Из-
дат. Московского ун-та, 1979. - 189 с.
10. С.Агмон, А.Дуглис, Л.Ниренберг. Оценки решений эллиптических урав-
нений вблизи границы. - М.: Иностр. л-ра, 1962. - 208 с.
Кафедра дифференциальных уравнений,
Черновецкий национальный университет
им. Ю.Федьковича,
ул.Коцюбинского 2,
58012, г. Черновцы, Украина
Получено 5.08.08
|