О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах
Известная гильбертова схема построения общей теории граничных задач посредством изучения расширений дифференциального оператора в области переносится на случай банаховых пространств типа Lp, p > 1...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Нелинейные граничные задачи |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124270 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах / В.П. Бурский, А.A. Мирошникова // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 1-11. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124270 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242702017-10-01T17:21:47Z О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах Бурский, В.П. Мирошникова, А.A. Известная гильбертова схема построения общей теории граничных задач посредством изучения расширений дифференциального оператора в области переносится на случай банаховых пространств типа Lp, p > 1 2009 Article О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах / В.П. Бурский, А.A. Мирошникова // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 1-11. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0236-0497 MSC (2000): 35G15; 47F05 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124270 ru Нелинейные граничные задачи Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Известная гильбертова схема построения общей теории граничных задач посредством изучения расширений дифференциального оператора в области переносится на случай банаховых пространств типа Lp, p > 1 |
| format |
Article |
| author |
Бурский, В.П. Мирошникова, А.A. |
| spellingShingle |
Бурский, В.П. Мирошникова, А.A. О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах Нелинейные граничные задачи |
| author_facet |
Бурский, В.П. Мирошникова, А.A. |
| author_sort |
Бурский, В.П. |
| title |
О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах |
| title_short |
О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах |
| title_full |
О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах |
| title_fullStr |
О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах |
| title_full_unstemmed |
О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах |
| title_sort |
о расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124270 |
| citation_txt |
О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах / В.П. Бурский, А.A. Мирошникова // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 1-11. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Нелинейные граничные задачи |
| work_keys_str_mv |
AT burskijvp orasšireniâhobŝihdifferencialʹnyhoperatorovvbanahovyhprostranstvah AT mirošnikovaaa orasšireniâhobŝihdifferencialʹnyhoperatorovvbanahovyhprostranstvah |
| first_indexed |
2025-07-09T01:09:24Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:09:24Z |
| _version_ |
1837129653348728832 |
| fulltext |
Нелинейные граничные задачи 19, 1-11 (2009) 1
c©2009. В.П. Бурский, А.A. Мирошникова
О РАСШИРЕНИЯХ ОБЩИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Известная гильбертова схема построения общей теории граничных задач посредством
изучения расширений дифференциального оператора в области переносится на случай бана-
ховых пространств типа Lp, p > 1
Ключевые слова: расширения дифференциальных операторов; банаховы пространства
MSC (2000): 35G15; 47F05
Введение.
Как известно, основы обшей теории граничных задач для дифференци-
альных уравнений с частными производными были заложены в работе М.Й.
Вишика [3], где граничная задача понималась как задание области определе-
ния некоторого расширения минимального оператора, порожденного диффе-
ренциальной операцией из изучаемого уравнения. Этот подход Вишика был
уточнен Л. Хермандером [4], где было предложено эквивалентное понимание
граничной задачи как линейного подпространства в граничном пространстве.
Построения Вишика, Хермандера и их последователей проводились в гильбер-
товых пространствах. В книге [1] одного из авторов настоящей работы была
предложена функциональная гильбертова схема дальнейшего построения тео-
рии и даны приложения к нелинейным граничным задачам. Там же была наме-
чена структура развития теории для случая банаховых пространств. В насто-
ящей работе мы осуществляем намеченные построения в части, обобщающей
построения Вишика и Хермандера. Кроме того, на банаховые пространства
будет перенесена схема доказательства корректности общей граничной задачи,
для гильбертового случая впервые предложенная в книге [1]. Ниже мы будем
иметь в виду изучение граничных задач для дифференциального уравнения
L(x,D)u = f,
где L(x,D) =
∑
|α|≤m aα(x)Dα, Dα = (−i)|α| · ∂|α|/∂xα1
1 · ... · ∂xαn
1 – общая диф-
ференциальная операция с гладкими комплекснозначными матричными коэф-
фициентами в ограниченной области Ω с гладкой границей ∂Ω, расположенной
по одну сторону области Ω.
1. Общая функциональная схема для банахова случая.
Здесь мы изложим общую функциональную схему, внутри которой будут
проводиться основные рассуждения.
Пусть p > 1, q = p/(p − 1) и нам даны:
2 В.П. Бурский, А.A. Мирошникова
I1). Четыре рефлексивных банаховых пространства Bp , B+
p , Bq , B+
q ,
которые будем называть центральными. Причем Bp = (Bq)
∗ , B+
p = (B+
q )∗ с
обычным банаховским сопряжением ∗ ;
четыре банаховы пространства Bl
p , B+l
p , Bl
q , B+l
q (с некоторым
l ∈ N), которые будем называть гладкими, вложенных соответственно в Bp ,
B+
p , Bq , B+
q с топологией: Bl
p ⊂ Bp , B+l
p ⊂ B+
p , Bl
q ⊂ Bq , B+l
q ⊂ B+
q ;
замкнутые подпространства
◦
Bl
p ⊂ Bl
p ,
◦
B+l
p ⊂ B+l
p ,
◦
Bl
q ⊂ Bl
q ,
◦
B+l
q ⊂
B+l
q , которые будем называть финитными, причем выполнено условие:
вложения
◦
Bl
p ⊂ Bp ,
◦
B+l
p ⊂ B+
p ,
◦
Bl
q ⊂ Bq ,
◦
B+l
q ⊂ B+
q плотны.
В некоторых случаях будем предполагать, специально оговаривая, что
B+
p = Bp, B+ l
p = Bl
p,
◦
B+ l
p =
◦
Bl
p. (1.1)
I2). Линейные непрерывные операторы Lp : Bl
p → B+
p , L+
p : B+l
p → Bp ,
Lq : Bl
q → B+
q , L+
q : B+l
q → Bq , связанные соотношениями
< Lpu, v >=< u,L+
q v >, u ∈ Bl
p , v ∈ B+
q ,
< Lqu, v >=< u,L+
p v >, u ∈ Bl
q , v ∈ B+
p ,
где хотя бы один из элементов u или v финитен.
2. Основной пример.
Основной пример конкретных пространств и операторов изложенной схе-
мы связан с дифференциальной операцией без типа:
L =
∑
|α|≤l
aα(x)Dα, aα ∈ C∞(Ω̄), Dα =
(−i∂)|α|
∂xα
,
с N+ × N -матричными коэффициентами с C∞(Ω̄)-гладкими комплекснознач-
ными функциями в качестве матричных элементов в ограниченной области
Ω ⊂ R
n, находящейся с одной стороны от её гладкой (n − 1)-мерной грани-
цы ∂Ω. Ничто не мешает также считать область Ω произвольной (понимая,
как обычно, пространство
◦
W l
p(Ω) как замыкание C∞
0 (Ω) в соболевской нор-
ме, а пространство W l
p(Ω), например, как замыкание пространства C∞(Ω̄) =
{u|Ω |u ∈ C∞(Rn)} в этой же норме), что мы и будем подразумевать там, где
не используется полная формула Грина.
Операция L порождает формально сопряжённую операцию
L+ =
∑
|α|≤l
Dα(a∗α(x) ·),
О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах 3
где a∗α(x)− сопряжённая матрица, если aα(x)− матрица, сопряжённый опера-
тор, если aα(x)− оператор, и сопряжённое число, если aα(x)− число.
Пространства будем выбирать таким образом: Bp = LN
p (Ω) = [Lp(Ω)]N ,
◦
Bl
p = [
◦
W l
p(Ω)]N , Bl
p = [W l
p(Ω)]N , B+
p = LN+
p (Ω),
◦
B+ l
p = [
◦
W l
p(Ω)]N
+
, B+ l
p =
[W l
p(Ω)]N
+
. Аналогично вводятся пространства с q.
Равенства п. (I2) теперь есть формулы Грина, где граничные члены исчез-
ли из-за финитности.
Тем самым, предположения пп. I1) и I2) выполнены.
Предположениям (1.1) отвечает равенство N = N+, и в этом случае про-
ще всего представлять себе случай N = 1, т.е. случай общего скалярного диф-
ференциального оператора. Заметим, что, если рассматривать только случай
скалярного оператора или оператора с квадратными матрицами в качестве
коэффициентов, то можно забыть обо всех плюсах в индексах, кроме как в
индексах при буквах L, L и Γ. Кроме того, и об этих плюсах можно забыть,
если исходная дифференциальная операция формально самосопряжена.
3. Основные положения общей теории граничных задач.
Ниже мы будем строить теорию расширений дифференциальных операто-
ров.
Введём две нормы графика
‖ u ‖2
Lp
=‖ u ‖2
Bp(Ω) + ‖ Lu ‖2
B+
p (Ω)
,
‖ u ‖2
Lq
=‖ u ‖2
Bq(Ω) + ‖ Lu ‖2
B+
q (Ω)
,
конечные на элементах из пространств Bl
p и Bl
q. Пополнения пространств
Bl
p,
◦
Bl
p, Bl
q,
◦
Bl
q по этой норме обозначим соответственно D(Lp0), D(L̃p), D(Lq0),
D(L̃q). Оператор L при этом допускает продолжение по непрерывности на про-
странство D(L̃p) и D(L̃q) в силу оценок ‖Lu‖B+
p (Ω) ≤ ‖u‖Lp и ‖Lu‖B+
q (Ω) ≤
‖u‖Lq . Сужение так полученного оператора L̃p : D(L̃p) → B+
p на D(Lp0) и
L̃q : D(L̃q) → B+
q на D(Lq0) будем называть минимальными расширениями
оператора L| ◦
Bl
p
и L| ◦
Bl
q
или просто минимальными операторaми и соответ-
ственно обозначать Lp0 и Lq0. Аналогично введём нормы графика
‖ u ‖2
L+
p
=‖ u ‖2
B+
p (Ω)
+ ‖ L+u ‖2
Bp(Ω),
‖ u ‖2
L+
q
=‖ u ‖2
B+
q (Ω)
+ ‖ L+u ‖2
Bq(Ω),
пространства D(L+
p0), D(L̃p
+
), D(L+
q0), D(L̃q
+
) и операторы L̃+
p , L+
p0, L̃
+
q , L+
q0.
Мы вводим максимальные операторы Lp и Lq или просто максимальные
операторы формулами Lp = (L+
q0)
∗ и Lq = (L+
p0)
∗. Из определений и п.(I2)
4 В.П. Бурский, А.A. Мирошникова
общей схемы ясно, что операторы Lp и Lq являются соответственно расшире-
нием операторов Lp0 и L̃p, Lq0 и L̃q, т.е. их области определения D(Lp) и D(Lq)
включают в себя пространства D(L̃p), D(Lp0) и D(L̃q), D(Lq0) соответственно в
качестве замкнутых подпространств. Аналогично определение максимальных
операторов L+
p = L∗
q0 и L+
q = L∗
p0. Мы будем называть их гладко максималь-
ными операторами.
Введём теперь, граничные пространства C(Lp), C(Lq), C(L+
p ), C(L+
q )
операторов Lp, Lq, L+
p , L+
q как фактор-пространства C(Lp) = D(Lp)/D(Lp0),
C(Lq) = D(Lq)/D(Lq0),C(L+
p ) = D(L+
p )/D(L+
p0), C(L+
p ) = D(L+
p )/D(L+
p0), а
также фактор-отображения Γp : D(Lp) → C(Lp), Γq : D(Lq) → C(Lq), Γ+
p :
D(L+
p ) → C(L+
p ), Γ+
q : D(L+
q ) → C(L+
q ).
Рассмотрим условия:
оператор Lp0 : D(Lp0) → B+
p имеет непрерывный левый обратный L−1
p0 ;
(3.1)p
оператор Lq0 : D(Lq0) → B+
q имеет непрерывный левый обратный L−1
q0 ;
(3.1)q
оператор L+
p0 : D(L+
p0) → Bp имеет непрерывный левый обратный; (3.2)p
оператор L+
q0 : D(L+
q0) → Bq имеет непрерывный левый обратный; (3.2)q
L̃p = (L+
q0)
∗; (3.3)p
L̃q = (L+
p0)
∗; (3.3)q
L̃+
p = (Lq0)
∗; (3.4)p
L̃+
q = (Lp0)
∗. (3.4)q
Напомним, что существование непрерывного левого обратного к плотно задан-
ному замкнутому оператору T : B1 ⊃ D(T ) → B2, действующему в банаховых
пространствах [2], эквивалентно наличию априорной оценки ‖u‖B1
≤ C‖Tu‖B2
.
Оператор T с такой оценкой называется корректно разрешимым. Т.о., усло-
вия (3.1)p, (3.1)q и (3.2)p, (3.2)q означают корректную разрешимость операторов
Lp0, Lq0 и L+
p0, L+
q0 соответственно. Сравнивая с определением максимальных
операторов Lp, L+
p и Lq, L+
q , мы видим, что условия (3.3)p, (3.4)p и (3.3)q,
(3.4)q означают соответственно равенства D(L̃p) = D(Lp), D(L̃+
p ) = D(L+
p ),
D(L̃q) = D(Lq), D(L̃+
q ) = D(L+
q ), т.е. возможность приблизить каждый эле-
мент из D(Lp), D(L+
p ) или D(Lq), D(L+
q ) элементами из гладкого пространства
Bl
p, B+ l
p или Bl
q, B+ l
q в соответствующей норме графика.
Введем понятие общей граничной задачи. Рассмотрим подходы М.Й.Ви-
шика и Л.Хёрмандера, одновременно вводя необходимые ниже определения.
Следуя М.Й.Вишику ([3]), будем считать, что задание граничного условия
проявляется посредством указания области определения D(LpB) некоторого
О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах 5
оператора LpB , являющегося расширением минимального Lp0 и сужением
максимального Lp операторов: D(Lp0) ⊂ D(LpB) ⊂ D(Lp). Такие операторы
принято называть расширениями (оператора Lp0), при этом расширение
LpB : D(LpB) → B+
p называется разрешимым, если существует непрерывный
двусторонний обратный оператор
L−1
pB : B+
p → D(LpB), LpBL−1
pB = idB+
p
, L−1
pBLpB = idD(LpB).
Ясно, что такой оператор разрешает граничную задачу u ∈ D(LpB) для урав-
нения Lpu = f с любой правой частью f ∈ B+
p . Оператор Lp1 : D(Lp1) → B+
p ,
являющийся сужением оператора Lp, назовём разрешимым сужением, если
у него имеется непрерывный двусторонний обратный. Этот обратный оператор
является непрерывным правым обратным к оператору Lp и наоборот, каждый
непрерывный правый обратный Mp к оператору Lp порождает некоторое раз-
решимое сужение с областью определения D(Lp1) =ImMp, которое является
разрешимым расширением (оператора Lp0), если D(Lp0) ⊂ImMp. Расширение
LpB называется вполне разрешимым, если оно разрешимо и композиция об-
ратного оператора L−1
pB с вложением iD(Lp) : D(Lp) ⊂ Bp вполне непрерывна,
т.е. если вполне непрерывен оператор L−1
pB, понимаемый как действующий из
B+
p в Bp. Мы будем также называть расширение LpB : D(LpB) → B+
p нор-
мально разрешимым, если образ ImLpB− замкнут. Аналогичны определе-
ния разрешимого, вполне разрешимого и нормально разрешимого расширения
операторов L+
p0, Lq0, L+
q0.
Следуя Л.Хёрмандеру ([4]), назовём однородной граничной задачей
соотношения
Lpu = f, Γpu ∈ B, (3.3)p
где B ⊂ C(Lp)− линейное подпространство в граничном пространстве, опре-
деляющее граничную задачу. Легко видеть, что граничное условие типа u ∈
D(LpB) порождает условие Γpu ∈ B, где B = D(LpB)/D(Lp0), и наоборот,
пространство B порождает некоторый оператор LpB с областью определения
D(LpB) = Γ−1
p (B), являющийся сужением оператора Lp на пространство D(LpB)
и расширением оператора Lp0, и который замкнут, если и только если простран-
ство B замкнуто в C(Lp), или, что то же, если пространство D(LpB) замкнуто
в D(Lp). Граничная задача (3.3) называется корректно поставленной или
просто корректной, если ею порождённый оператор LpB является разреши-
мым расширением оператора Lp0, т.е. если оператор LpB : D(LpB) → B+
p имеет
непрерывный двусторонний обратный. Аналогично с q.
Сформулируем теперь основное утверждение общей теории граничных за-
дач.
Утверждение 3.1p. У операторa Lp 0 существует разрешимое расшире-
ние и для оператора Lp существует корректная граничная задача тогда и
только тогда, когда выполнены условия (3.1)p и (3.2)q.
6 В.П. Бурский, А.A. Мирошникова
Утверждение 3.1q. У операторa Lq 0 существует разрешимое расшире-
ние и для оператора Lq существует корректная граничная задача тогда и
только тогда, когда выполнены условия (3.1)q и (3.2)p.
Справедливы аналогичные утверждения с плюсованными операторами.
Строение области определения максимального оператора Lp описывает
Утверждение 3.2p. В условиях (3.1)p и (3.2)q имеет место разложение
в прямую сумму
D(Lp) = D(Lp0) ⊕ ker Lp ⊕ Wp, (3.4)p
где Wp− некоторое подпространство в D(Lp) такое, что Lp|Wp : Wp → ker L+
p −
изоморфизм.
Справедливо аналогичное утверждение для максимального оператора Lq:
Утверждение 3.2q. В условиях (3.1)q и (3.2)p имеет место разложение
в прямую сумму
D(Lq) = D(Lq0) ⊕ ker Lq ⊕ Wq, (3.4)q
где Wq− некоторое подпространство в D(Lq) такое, что Lq|Wq : Wq → ker L+
q −
изоморфизм.
Справедливы аналогичные утверждения с плюсованными операторами.
Сформулируем теперь критерий Вишика разрешимости расширения и кри-
терий Хёрмандера корректности граничной задачи.
Утверждение 3.3p. Пусть выполнены условия (3.1)p, (3.2)q . Для того,
чтобы расширение LpB было бы разрешимым (а задача (3.3)p – корректна
в пространстве Bp), необходимо и достаточно, чтобы существовал такой
непрерывный оператор Vp : ker L+
p → ker Lp, что
D(LpB) = D(Lp0) ⊕ G(VpLp|Wp), (3.5)p
где G(VpL|Wp) = {w + VpLpw|w ∈ Wp}− график оператора VpLp|Wp. При этом
D(Lp) = D(LpB) ⊕ ker Lp.
Оператор Vp будем называть оператором Вишика граничной задачи
(3.3)p. Отметим, что согласно критериям Вишика [3], разрешимое расшире-
ние LpB вполне разрешимо (если вложения D(Lp0) ⊂ Bp и D(L+
p0) ⊂ B+
p вполне
непрерывны) тогда и только тогда, когда оператор Вишика вполне непрерывен;
разрешимое расширение (при условиях (1.2)) самосопряжено тогда и только то-
гда, когда оператор Вишика самосопряжён; там же описаны также нормально
разрешимые расширения и также нормально регулярно разрешимые расшире-
ния, т.е. фредгольмовы с нулевым индексом.
О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах 7
Утверждение 3.4p. Пусть выполнены условия (3.1)p, (3.2)q. Для то-
го, чтобы задача (3.3)p была бы корректна, необходимо и достаточно, что-
бы имело место разложение в прямую сумму C(Lp) = C(ker Lp) ⊕ B, где
C(ker Lp) = Γ ker Lp− граничное пространство ядра ker Lp.
Прямое слагаемое B в последнем разложении будем называть слагае-
мым Хёрмандера. Ясно, что в этом случае B− график оператора ΓkerVp,
если Γker = Γ|ker Lp
.
Аналогично с плюсованными операторами и с индексом q.
Доказательства утверждений вида 3.1−3.4 будут предоставлены в разделе
4.
Наряду с условиями вида (3.1) - (3.4) будут использоваться также следу-
ющие условия:
оператор Lp : D(Lp) → B+
p сюрьективен; (3.6)p
оператор Lq : D(Lq) → B+
q сюрьективен; (3.6)q
оператор L+
p : D(L+
p ) → Bp сюрьективен; (3.7)p
оператор L+
q : D(L+
q ) → Bq сюрьективен; (3.7)q
оператор Lp0 нормально разрешим; (3.8)p
оператор Lq0 нормально разрешим; (3.8)q
оператор L+
p0 нормально разрешим; (3.9)p
оператор L+
q0 нормально разрешим. (3.9)q
Замечание 3.1. Отметим, что по определению максимального операто-
ра условие (3.6)p эквивалентно условию (3.2)q , а условие (3.6)q эквивалентно
условию (3.2)p ([5]).
Замечание 3.2. Нетрудно видеть, что, например, условие (3.1)p эквива-
лентно выполнению неравенства
‖Lϕ‖Lp(Ω) ≤ C‖ϕ‖Lp(Ω) (3.10)
для финитных бесконечно дифференцируемых функций. Хорошо известно нера-
венство Хермандера ‖Lϕ‖L2(Ω) ≤ C‖ϕ‖L2(Ω) для функций из C∞
0 (Ω) и скаляр-
ных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в огра-
ниченной области. Однако в пространстве Lp(Ω) с p 6= 2 такое неравенство
не доказано для более или менее широких классов операторов. Тем не менее,
можно указать некоторые операторы, где неравенство (3.10) имеет место. Так,
для скалярной дифференциальной операции � = ∂2/∂x1∂x2 в плоской огра-
ниченной области услови (3.10) выполняется из-за возможности разложения
8 В.П. Бурский, А.A. Мирошникова
оператора в произведение операторов первого порядка и известного неравен-
ства Соболева-Гальярдо.
4. Коммутативная диаграмма.
Напомним, что в предабелевой категории (т.е аддитивной с ядром и кояд-
ром у каждого морфизма) последовательность объектов и морфизмов
0 → A
i
−→ B
M
−→ C → 0 (4.1)
точна, если образ предыдущего оператора изоморфен ядру последующего, и
что такая последовательность расщепляется, если B = A ⊕ C. Для расщеп-
ления достаточно существования правого обратного морфизма к M или су-
ществования левого обратного морфизма к i. Таковой является категория LC
линейных пространств и линейных операторов (которая, более того, является
абелевой) и категория B банаховых пространств непрерывных линейных опе-
раторов с замнутыми образами. Для этих категорий, в частности, точность в
члене A означает инъективность оператора i, а точность в члене C означает
сюрьективность оператора M .
Для пары операторов Lp 0, Lp также, как и в работе [1], построим комму-
тативную диаграмму с точными строками и столбцами, в которой L0 = Lp 0
L = Lp:
0 0 0
↓ ↓ ↓
0 → ker L0
iL0−→ D(L0)
L0−→ Im L0 → 0
↓ iker ↓ i0 ↓ iIm
0 → ker L
iL−→ D(L)
L
−→ Im L → 0 (4.2)
↓ Γker ↓ Γ ↓ ΓIm
0 → C(ker L)
iC−→ C(L)
LC−→ Im L/ Im L0 → 0
↓ ↓ ↓
0 0 0
и такую же диаграмму, где L0 = Lq0 L = Lq. Для случая ker L0 = 0, Im L = B+
p
О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах 9
имеем диаграмму
0 0
↓ ↓
0 −→ D(L0)
L0−→ Im L0 → 0
↓ ↓ i0 ↓ iIm
0 → ker L
iL−→ D(L)
L
−→ B+
p → 0 (4.3)
↓ Γker ↓ Γ ↓ ΓIm
0 → C(ker L)
iC−→ C(L)
LC−→ B+
p / Im L0 → 0
↓ ↓ ↓
0 0 0
Объекты, входящие в диаграмму (4.2), – банаховы пространства. Опера-
торы L и L0 непрерывны, поэтому их ядра замкнуты в топологии D(L). Диа-
грамма (4.2) (как и (4.3)) станет диаграммой категории B, если операторы ΓIm
и LC будут непрерывны, т.е. если их ядра Im L0 и C(ker L) замкнуты. Заметим,
что непрерывность одного из этих операторов влечёт непрерывность другого.
Действительно, пусть, например, непрерывен оператор ΓIm. Тогда, если после-
довательность классов vk = yk + D(L0), yk ∈ D(L) сходится к нулю в фактор-
пространстве C(L) = D(L)/D(L0), то для оператора LCv = ΓImLΓ−1v с линей-
ным (но не обязательно непрерывным) Γ−1 имеем ∃ak ∈ D(L0), yk + ak → 0 в
D(L). Тогда LCvk = ΓIm L(yk + ak) = L(yk + ak)+ ImL0 → 0 в ImL/ ImL0, что
и требовалось. Здесь и ниже A−1 для оператора A из диаграммы (4.3) будет
означать какой-нибудь правый или левый обратный к A линейный оператор,
расщепляющий соответствующую последовательность диаграммы в смысле ка-
тегории LC комлексных линейных пространств.
Замечание 4.1. Отметим, что условие (3.1)p влечет расщепление B+
p =
ker L−1
p 0⊕ ImLp 0.
В работе [1] были доказаны следующие утверждения:
Утверждение 4.1p. В категории B существование разрешимого расши-
рения LpB равносильно свойствам ker L0 = 0 и (3.8)p и равносильно разло-
жению в прямую сумму (3.4)p, где Lp|Wp : Wp → B+
p / ImLp0− изоморфизм.
Утверждение 4.2p. В категории B свойство (3.1)p и свойство
оператор Lp : D(Lp) → B+
p имеет непрерывный правый обратный; (4.4)p
равносильны свойству (3.8)p и разложению в прямую сумму (3.4)p, где Lp|Wp :
Wp → B+
p / ImLp0− изоморфизм.
Аналогичны утверждения с индексом q.
10 В.П. Бурский, А.A. Мирошникова
Доказательства утверждений вида 3.1 - 3.3 получим из утверждений
вида 4.1, 4.2, если заметим, что равенство LpMp = idB+
p
после сопряжения
перейдёт в M∗
p L+
p 0 = idD(L+
q 0
) и наоборот. Аналогично с индексом q. Мы здесь
пользуемся сопряжением в смысле банаховых пространств для операторов с
плотной областью определения [5].
Доказательства утверждений вида 3.4 легко получить из утвержде-
ний вида 3.3, опять же, не привлекая структуру гильбертова пространства.
5. О проверке корректности граничной задачи.
Здесь мы покажем, как может быть использована диаграмма (4.3) при
доказательстве корректности граничной задачи.
Утверждение 5.1p. В условиях (3.1)p и (3.2)q каждое разрешимое рас-
ширение LpB раскладывается в прямую сумму LpB = Lp0⊕L∂
pB, где L∂
pB : B →
ker L−1
p0 − некоторый изоморфизм.
Доказательство. Из коммутативности диаграммы (4.3) с ImLp = B+
p
следует, что Lp = Lp0 ⊕LC , но C(Lp) = ker LC ⊕B, ker LC = C(ker Lp), поэтому
оператор L∂
pB = LC |B− изоморфизм.
Утверждение 5.1q. В условиях (3.1)q и (3.2)p каждое разрешимое рас-
ширение LqB раскладывается в прямую сумму LqB = Lq0⊕L∂
qB, где L∂
qB : B →
ker L+
q − некоторый изоморфизм.
Для доказательства см. утверждение 1.17 в работе [1].
Утверждение 5.2p. В условиях (3.1)p и (3.2)q всякое линейное простран-
ство B ⊂ C(Lp) такое, что
1) Γ−1
p B ∩ ker Lp = 0,
2) существует оператор Mp : ker L−1
p0 → D(Lp) со свойствами:
а) LpMp =id|ker L−1
p 0
, б) ImMp ⊂ Γ−1
p B,
порождает корректную граничную задачу (3.3)p.
Доказательство. Заметим сначала, что из свойств 1) и 2а) следует линей-
ность оператора Mp, а также его непрерывность по теореме Банаха. Заметим
затем, что сумма Mp ⊕ L−1
p0 : B+
p → D(Lp)− некоторый непрерывный правый
обратный к оператору Lp, а оператор ΓpMp− непрерывный правый обратный
к оператору LC . Из свойств прямой суммы вытекает разложение в прямую
сумму
C(Lp) = C(ker Lp) ⊕ B1, где B1 = ImΓpMp.
Ясно, что B ⊃ B1 и B ∩ C(ker Lp) = 0. Но это влечёт равенство B = B1,
поскольку, если элемент b ∈ B такой, что b /∈ B1, то после факторизации
О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах 11
Γp1 : C(Lp) → C(ker Lp) вдоль B1 мы получим элемент Γp1b ∈ C(ker Lp), при-
надлежащий B, что даёт противоречие.
Аналогично доказывается утверждение с индексом q.
1. Бурский В.П. Методы исследования граничных задач для общих дифференциальных
уравнений. – Киев.: Наукова думка, 2002. – 315c.
2. Боярский Б.В. О задаче Дирихле для системы уравнений эллиптического типа в простран-
стве.– Бюлл. Польской АН. сер. мат., астр. и физ. наук, 1960, 8, №1,– с.19-23.
3. Вишик М.Й. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравне-
ний.– Тр. Моск. мат. о-ва, 1(1952),– с. 187-246.
4. Хёрмандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных.–
М.: ИЛ, 1959.
5. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве.– М.: Наука, 1971.
ИПММ НАН Украины,
ул. Розы Люксембург, 74,
83114, Донецк, Украина
v30@dn.farlep.net, nastya.miroshnikova@gmail.com
Получено 7.12.09
|