О существовании гладких решений в задаче о зечениях Hele-Shaw в негладких областях

Рассмотрена нестационарная задача со свободной границей для уравнения Лапласа в случае особенностей на неизвестной границе в начальный момент времени. Доказано существование и единственность решений в весовых классах Гёльдера в малом по времени....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
1. Verfasser:	Васильева, Н.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Schriftenreihe:	Нелинейные граничные задачи
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124271
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О существовании гладких решений в задаче о зечениях Hele-Shaw в негладких областях / Н.В. Васильева // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 12-28. — Бібліогр.: 30 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124271
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1242712017-10-01T17:22:16Z О существовании гладких решений в задаче о зечениях Hele-Shaw в негладких областях Васильева, Н.В. Рассмотрена нестационарная задача со свободной границей для уравнения Лапласа в случае особенностей на неизвестной границе в начальный момент времени. Доказано существование и единственность решений в весовых классах Гёльдера в малом по времени. 2009 Article О существовании гладких решений в задаче о зечениях Hele-Shaw в негладких областях / Н.В. Васильева // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 12-28. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. 0236-0497 MSC (2000): 35R35; 35J25; 35B40 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124271 ru Нелинейные граничные задачи Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассмотрена нестационарная задача со свободной границей для уравнения Лапласа в случае особенностей на неизвестной границе в начальный момент времени. Доказано существование и единственность решений в весовых классах Гёльдера в малом по времени.
format	Article
author	Васильева, Н.В.
spellingShingle	Васильева, Н.В. О существовании гладких решений в задаче о зечениях Hele-Shaw в негладких областях Нелинейные граничные задачи
author_facet	Васильева, Н.В.
author_sort	Васильева, Н.В.
title	О существовании гладких решений в задаче о зечениях Hele-Shaw в негладких областях
title_short	О существовании гладких решений в задаче о зечениях Hele-Shaw в негладких областях
title_full	О существовании гладких решений в задаче о зечениях Hele-Shaw в негладких областях
title_fullStr	О существовании гладких решений в задаче о зечениях Hele-Shaw в негладких областях
title_full_unstemmed	О существовании гладких решений в задаче о зечениях Hele-Shaw в негладких областях
title_sort	о существовании гладких решений в задаче о зечениях hele-shaw в негладких областях
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124271
citation_txt	О существовании гладких решений в задаче о зечениях Hele-Shaw в негладких областях / Н.В. Васильева // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 12-28. — Бібліогр.: 30 назв. — рос.
series	Нелинейные граничные задачи
work_keys_str_mv	AT vasilʹevanv osuŝestvovaniigladkihrešenijvzadačeozečeniâhheleshawvnegladkihoblastâh
first_indexed	2025-07-09T01:09:30Z
last_indexed	2025-07-09T01:09:30Z
_version_	1837129659995652096
fulltext	12 Нелинейные граничные задачи 19, 12-28 (2009) c©2009. Н.Васильева О СУЩУСТВОВАНИИ ГЛАДКИХ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О ТЕЧЕНИЯХ HELE-SHAW В НЕГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ Рассмотрена нестационарная задача со свободной границей для уравнения Лапласа в случае особенностей на неизвестной границе в начальный момент времени. Доказано существование и единственность решений в весовых классах Гёльдера в малом по времени. Ключевые слова: нелинейные задачи со свободной границей; Hele-Shaw течения, эл- липтические краевые задачи в негладких областях; весовые пространства Гёльдера MSC (2000): 35R35; 35J25; 35B40 1. Введение. Задача Hele-Shaw является математической моделью плоского движения вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей. Впервые такая зада- ча была поставлена английским инженером H.Hele-Shaw [1] в 1898 году. За последние полстолетия проблема о течениях Hele-Shaw интенсивно исследова- лась, её библиография насчитывает сейчас более 600 робот. Такой интерес к задаче вызван ее приложениями в физике и технике. Так, например, данная математическая модель возникает при описании процессов фильтрации [2,3], изучении роста кристаллов [4], в задачах электрохимии [5], в проблеме, опи- сывающей движение нефтеносного контура [6]. Заметим так же, что задачу Hele-Shaw можно рассматривать, как вариант известной задачи Стефана для эллиптического уравнения, поскольку условия на свободной (искомой) границе в обеих проблемах имеют одинаковую форму [7-9]. Не претендуя на полноту обзора результатов исследования в задаче о тече- ниях Hele-Shaw, отсылаем читателя к работе [10], где собрана наиболее полная библиография по этой проблеме. Здесь мы лишь отметим результаты по разре- шимости задачи Hele-Shaw в различных классах функций. Проблема существо- вания слабых решений однофазной задачи Hele-Shaw исследована в работах С.М. Эллиота, В. Яновского [11], Де Бенедетто, А.Фридмана [12]. Классиче- ская разрешимость задачи в малом по времени в случае регулярных начальных данных доказана Б.В. Базалием [13,15], И. Фахуи [14], Д. Эшером, Г. Симоне [16], Г. Прокетом [17], Ж-Г. Бейли [18]. При этом авторы использовали раз- личные методы доказательств: в работах [13]-[15] применялись методы теории потенциалов, работы [16]-[18] связаны с полугрупповым подходом. Что касает- ся вопроса существования гладких решения в случае наличия сингулярностей на искомой границе в начальный момент времени, то эта проблема исследо- валась в малом по времени при наличии угловых точек на свободной грани- це в работах [19] ( без учета кривизны свободной границы) и [20] (с учетом поверхностного натяжения), где была доказана однозначная разрешимость в О существовании гладких решений 13 весовых классах Гёльдера. Заметим, что ранее в работе [21] были построены автомодельные решения в задаче Hele-Shaw в случае, когда начальная область является бесконечным плоским углом. С помощью теорем сравнения был по- лучен ряд качественных свойств решения, в частности, показано, что в случае расширяющихся областей тупые углы мгновенно сглаживаются, в то время как острые углы могут сохранять свою геометрию в течении некоторого времени. В данной работе исследуется разрешимость локально по времени задачи Hele-Shaw без учета кривизны, в случае, когда свободная и фиксированная гра- ницы имеют общие точки, в окрестности которых они образуют криволинейные или прямолинейные углы. Наличие общих точек у границ отличает исследу- емую нами задачу от уже изученной ранее в работе [19]. При доказательстве разрешимости используется метод, предложенный ранее Б.В. Базалием в ра- боте [22]. Статья организована следующим образом: в пункте 1 приведены функ- циональные пространства и сформулирован основной результат. Далее, в п.2 с помощью преобразования типа Ханзавы [23] исходная задача с неизвестной границей сводится к нелинейной задаче в фиксированной области. Соответ- ствующая ей линейная задача с динамическим граничным условием в области с угловыми точками изучена в п.3, где доказана её однозначная разрешимость и получены коэрцитивные оценки в весовых классах. Наконец, с помощью оце- нок решения линейной задачи и принципа сжатых отображений доказывается однозначная разрешимость исходной нелинейной задачи Hele-Shaw. 2. Постановка задачи и основной результат. Пусть при каждом τ ∈ [0, T ] односвязная область Ωτ ⊂ R2, и ее граница состоит их двух компонентов Γ1 и Γτ , которые в начальный момент времени имеют две общие точки: начало координат O = (0, 0), и A = (a, 0). Γ1- заданная фиксированная кривая, а Γτ - неизвестная (свободная) граница. Пусть функция u(y1, y2, τ) описывает давление внутри области Ωτ . Задача Hele-Shaw заключа- ется в нахождении функции u(y1, y2, τ) и свободной границы Γτ по условиям: ∆yu = 0, y ∈ Ωτ , τ ∈ (0, T ); u\|Γ1 = g(y1); u\|Γτ = 0, Vn\|Γτ = −µ−1 ∂u ∂n , Γτ \|τ=0 = Γ (Ωτ \|τ=0 = Ω); (1) где ∆y- оператор Лапласа по переменным (y1, y2), µ- заданная положительная постоянная, n- единичный вектор внешней нормали к области Ωτ , Ω- заданная начальная область, Vn- скорость перемещения точек границы Γτ в направлении вектора нормали n, g(y1)- заданная неотрицательная функция. Начальное распределение давления задается функцией w(y1, y2), которая является решением задачи Дирихле в области Ω: ∆yw = 0, y ∈ Ω; w\|Γ1 = g(y1); w\|Γ = 0. (2) 14 Н.Васильева Условия g(y1) ≥ 0, y ∈ Γ1, g(y1) 6≡ 0 обеспечивают расширение области Ωτ по τ (Ωτ1 ⊂ Ωτ2 , τ1 < τ2), тем самым обусловлена корректная постановка задачи (1). Пусть заданы некоторые положительные числа a, b1, b2: 0 < b1 < a 2 < b2 < a, углы ωi ∈ (0, π/3), i = 1, 2, тогда определим границы Γ1 и Γ следующим образом: Γ1 = {(y1, y2) : y2 = 0, y1 ∈ [0, a]}; Γ = σ1 ∪ σ2 ∪ σ3; σ1 = {(y1, y2) : y2 = y1 tanω1, y1 ∈ [0, b1)}; σ2 = {(y1, y2) : y2 = F (y1), y1 ∈ [b1, b2)}, F (y1) ∈ C3+α((b1, b2)), α ∈ (0, 1), F (b1) = b1 tanω1, F (b2) = (a−b2) tanω2; σ3 = {(y1, y2) : y2 = −(y1 − a) tanω2, y1 ∈ [b2, a]}. (3) Исследование разрешимости задачи (1) будем проводить в весовых классах Гёльдера Ek+α,β,δ. Пусть D- заданная область в Rn c угловыми точками: O и A, DT = D × (0, T ). Обозначим через \|y − A\| и \|y − O\| расстояние от точки y ∈ D до точек O и A, соответственно, и положим r(y) = min{\|y − A\|, \|y − O\|}, y ∈ D; r = min{r(y), r(x)}, ∀x, y ∈ D. Определим банахово пространство функций v(y, t) Ek+α,β,δ s (DT ) с конеч- ной нормой ‖v‖ Ek+α,β,δ s (DT ) = k ∑ \|l\|=0 [sup DT r\|l\|−s(y)\|Dl yv(y, t)\| + 〈Dl yv〉 (α) y,s,DT + + 〈 Dl yv 〉(β) t,s,DT + [ Dl yv ](δ,β) s,DT ], (4) в правой части равенства (4) стоят следующие полунормы: 〈 Dl yv 〉(α) y,s,DT = sup DT r\|l\|−s+α \|D l yv(y, t) −Dl xv(x, t)\| \|x− y\|α , 〈 Dl yv 〉(β) t,s,DT = sup DT r\|l\|−s(y) \|Dl yv(y, t) −Dl yv(y, τ)\| \|t− τ \|β , [ Dl yv ](δ,β) s,DT = sup DT r\|l\|−s+δ \|D l yv(y, t) −Dl xv(x, t) −Dl yv(y, τ) +Dl xv(x, τ)\| \|x− y\|δ\|t− τ \|β , с l = (l1, ...ln), Dl y = ∂\|l\| ∂y l1 1 ...∂yln n , \|l\| = l1 + ... + ln, α, β, δ ∈ (0, 1), s- некоторое заданное положительное число. Аналогичным образом вводятся пространства Ek+α,β,δ s (∂DT ) и Ek+α s (D). О существовании гладких решений 15 Заметим, что если область D не содержит угловых точек, то определение пространств Ek+α,β,δ s (DT ) сохраняется, если только во введенных соотношени- ях (4) для норм и полунорм положить r(y) = r = 1. В этом случае пространства Ek+α,β,δ s (DT ) совпадают с обычными классами Гёльдера Сk+α,β,δ(DT ), введен- ными в работе [24], со следующей нормой: ‖v‖Ck+α,β,δ(DT ) = k ∑ \|l\|=0 [ sup DT \|Dl yv(y, t)\| + 〈 Dl yv 〉(α) y,DT + 〈 Dl yv 〉(β) t,DT + [ Dl yv ](δ,β) DT ] , где 〈v〉 (α) y,DT , 〈v〉 (β) t,DT - постоянные Гёльдера относительно переменных y и t, со- ответственно, и [v] (δ,β) DT = sup DT \|v(y, t) − v(x, t) − v(y, τ) + v(x, τ)\| \|x− y\|δ\|t− τ \|β . Множество функций v(y, t) из класса Ek+α,β,δ s (DT ) (Сk+α,β,δ(DT )), удовле- творяющих нулевому начальному условию : v(y, 0) = 0, назовем пространством Ek+α,β,δ s,0 (DT ) (Сk+α,β,δ 0 (DT )). Будем считать, что функция g(y1) = 0, y1 ∈ [0, ε] ∪ [a − ε, a], 0 < ε < min{b1,b2} 3 и g(y1) ∈ E3+α γ0 , γ0 = min{ π ω1 , π ω2 }, α ∈ (0, 1). Для точек кривой Γ введем координату ω, натуральный параметр на кри- вой, ω ∈ W , и зададим Γ в виде y = m̄(ω), где m̄(ω)- радиус вектор: m̄(ω) = {m1(ω),m2(ω)}. Пусть ε0 = ε/2, l̄(ω)- Ck+α (k ≥ 2) векторное поле на Γ, транс- версальное к Γ: l̄(ω) = (−1, 0) в ε0−окрестности точки O, и l̄(ω) = (1, 0) в ε0−окрестности точки А, так что если γ- достаточно мало (0 < γ < ε/4), тогда ω-линии {m̄(ω) + ηl̄(ω, \|η\| < 2γ)} не имеют самопересечений и не пересекаются с Γ. Будем предполагать, что выполнено условие согласования Vn(y, 0)\|Γ = −µ−1∂w/∂n. (5) В задаче (1) будем отыскивать неизвестную границу Γτ := Γρ,T в терминах ее отклонения от начальной границы вдоль вектора l̄(ω) : Γρ,T = {(y, τ) : y(ω, τ) = m(ω) + ρ(ω, τ)l(ω), τ ∈ [0, T ]}, \|ρ(ω, τ)\| < γ/4, ρ(ω, 0) = 0. (6) Обозначим через Ωρ,T область, ограниченную поверхностями Γ1T и Γρ,T . Таким образом, задача Hele-Shaw свелась к нахождению двух неизвестных функций u(y, τ), ρ(ω, τ) в областях Ωρ,T и Γρ,T по условиям (1). Теорема 1. Пусть выполнены указанные выше условия на данные задачи (1), s = γ0 − 3 − δ, ∀δ ∈ (0, 1), β ∈ (0, 1). Тогда найдется такое T0 > 0, 16 Н.Васильева зависящее от этих данных, что существует единственное решение нели- нейной задачи (1) u(y, τ) ∈ E2+α,β,α s+2 (Ω̄τ ) ρτ (ω, τ) ∈ E1+α,β,α s+1 (Γ̄τ ), ρ(ω, 0) = 0, ρ(ω, τ)rγ0−1 ∈ E2+α,β,α s+2 (Γ̄τ ), функция ρτ (ω, 0) удовлетворяет условию согла- сования (5), свободная граница задается уравнением (6). Замечание 1. Результаты теоремы 1 остаются справедливыми и в случае начальной области с криволинейными углами, а именно: σ1 = {(y1, y2) : y2 = y1 tanω1 + ψ1(y1), y1 ∈ [0, b1)}, σ2 = {(y1, y2) : y2 = −(y1 − a) tanω2 + ψ2(y1), y1 ∈ [b2, a]}, (7) где ψ1(y1) ∈ C3+α([0, b1]), ψ2(y1) ∈ C3+α([b2, a]), ψ1(0) = ψ′ 1(0) = 0, ψ2(a) = ψ′ 2(a) = 0. Доказательство этого факта полностью повторяет доказательство теоре- мы 1, если в последнем применить невырожденное преобразование (см. (П.13) и леммы П.2 и П.3 из работы [19]), которое преобразует область с криволинейны- ми углами в окрестности точек O,A в область с прямолинейными сегментами в окрестности этих точек. 3. Нелинейная задача в фиксированной области. Определим отображение (ω, η) → y = y(ω, η) : y = (y1, y2) = m̄(ω) + ηl̄(ω), (8) которое является диффеоморфизмом из M = W × (−γ, γ) на N = {y : y = m̄(ω) + ηl̄(ω), (ω, η) ∈W × (−γ, γ)}. Поскольку между m̄(ω) и ω существует взаимно однозначное соответствие, то в дальнейшем соответствующие точки в R2 мы будем также обозначать через ω. Обратное отображение из N в M определяется так: (y1, y2) −→ (ω(y), η(y)). Пусть T - некоторое положительное число, введем функцию Φρ(y, τ) = η(y) − ρ(ω(y), τ), (y, τ) ∈ N × [0, T ], тогда поверхность Γρ,τ с учетом (6) может быть определена так: Γρ,τ = {(y, τ) ∈ N × [0, T ] : Φρ(y, τ) = 0}, а условие Стефана на Γρτ в исходной задаче (1) примет вид: ∂Φρ ∂τ − µ(∇yu(y, τ),∇yΦρ) = 0. (9) Рассмотрим два экземпляра пространств R2 × [0, T ], в первом из них вве- дем координаты (x, t) = (x1, x2, t) и обозначим его через XT , а во втором введем координаты (y, τ) = (y1, y2, τ) и обозначим его через YT . Определим отображе- ние eρ : XT −→ YT по следующему правилу. Пусть χ(λ) ∈ C∞ 0 (R1)- срезающая О существовании гладких решений 17 функция такая, что χ(λ) = 1, при \|λ\| ≤ γ 4 , χ(λ) = 0, при \|λ\| ≥ γ, \|χ′(λ)\| ≤ 4γ−1/3, тогда y(y1, y2) = y(ω(y), η(y)), ω(y) = ω(x), η(y) = λ(x) + χ(λ)ρ(ω, t), τ = t при {x(x1, x2), t} = {x(ω(x), λ(x)), t} ∈ N × [0, T ]; y = x, τ = t, при {x(x1, x2), t} ∈ (R2\N) × [0, T ]. (10) При отождествлении XT и YT такое отображение задает диффеоморфизм eρ : XT −→ XT , eρ(x, t) = (x, t) при {x(x1, x2), t} ∈ (R2\N) × [0, T ], eρ(x(ω, λ), t) = = (x(ω, λ(x) + χ(λ)ρ(ω, t)), t) при {x(x1, x2), t} ∈ N × [0, T ]; при котором ΩT и ΓT переходят в Ωρ,T и Γρ,T соответственно, а так как ρ(ω, 0) = 0, то eρ\|t=0 есть тождественное отображение. В частности, в малой окрестности угловой точки O преобразование (10) будет иметь вид: ω = x2 sinω1 , λ = x2 cotω1 − x1; y1 = x1 − χ(λ)ρ(ω, t), y2 = x2, (11) аналогичные представления имеют место и в окрестности точки A. Функция u(y, τ) при замене переменных (10) преобразуется в функцию u ◦ eρ, для которой мы сохраним прежнее обозначение u(x, t). При этой же замене переменных вектор ∇yu(y, τ) переходит в вектор (∇yu(y, τ)) ◦ eρ = ∇ρu(x, t), так что ∇ρ = (E⋆ ρ)−1∇, где ∇ = (∂/∂x1, ∂/∂x2) и Eρ- матрица Якоби отображения eρ(x, t) по пространственным переменным, т.е. матрица с элемен- тами ∂yi ∂xj (x, t), i, j = 1, 2, причем \|detEρ\| = 1 + χ′(λ(x))ρ(ω(x), t) ≥ 2/3. Кроме того, (∇yu,∇yΦρ) ◦ eρ = S(ω, t, ρ, ρω) ∂u ∂λ + S1(ω, t, ρ, ρω) ∂u ∂ω , при (x, t) ∈ ΓT , u(x, t) = 0, при (x, t) ∈ ΓT , (12) где S(ω, t, ρ, ρω) = (∇ρλ,∇ρλ), S1(ω, t, ρ, ρω) = (∇ρω,∇ρλ). (13) Таким образом, после замены переменных (10) задача (1) переходит в зада- чу определения функции u(x, t), определенной в фиксированной области ΩT переменных (x, t), и функции ρ(ω, t), определенной на ΓT , по условиям: 2 ∑ i,j=1 bij(x, t, ρ, ρω)uxixj + 2 ∑ i=1 bi(x, t, ρ, ρω , ρωω)uxi = 0, (x, t) ∈ ΩT , 18 Н.Васильева u(y(x), t)\|Γ1T = g(x1); u(y(x), t)\|ΓT = 0, u(x, 0) = w(x), ρ(ω, 0) = 0, µρt + S(ω, t, ρ, ρω) ∂u ∂λ + S1(ω, t, ρ, ρω) ∂u ∂ω \|ΓT = 0. (14) Из определения отображения (x1, x2) −→ (ω(x), λ(x)) после непосредствен- ных вычислений для коэффициентов bij , bi, i, j = 1, 2, следуют равенства bij(x, t, ρ, ρω) = δi j , bi = 0, при t = 0, или (x, t) ∈ ΩT \NT , NT = N × (0, T ), (15) где δi j− символ Кронекера. В дальнейшем мы проведем вычисления коэффици- ентов в задаче (14) лишь в окрестности угловой точки O, для точки А вычис- ления будут аналогичны, что касается представления для коэффициентов вне угловых точек, то они подробно описаны в [19]. Как это следует из (11), для коэффициентов задачи (14) вблизи O (там, где l̄(ω) = {−1, 0}) справедливы следующие соотношения: (E∗ ρ)−1 = ( 1 1+χ′ρ 0 χ′ρ cot ω1+χρ′ω sin−1 ω1 1+χ′ρ 1 ) , ∇ρ = ( 1 1 + χ′ρ ∂ ∂x1 ; χ′ρ cotω1 + χρ′ω sin−1 ω1 1 + χ′ρ ∂ ∂x1 + ∂ ∂x2 ) , b11(x, t, ρ, ρω) = 1 + [χ′ρ cotω1 + χρ′ω sin−1 ω1] 2 (1 + χ′ρ)2 , b22(x, t, ρ, ρω) = 1, b12(x, t, ρ, ρω) = b21(x, t, ρ, ρω) = χ′ρ cotω1 + χρ′ω sin−1 ω1 1 + χ′ρ , b1(x, t, ρ, ρω , ρωω) = ∂ ∂x1 ( 1 + [χ′ρ cotω1 + χρ′ω sin−1 ω1] 2 2(1 + χ′ρ)2 ) + ∂ ∂x2 ( χ′ρ cotω1 + χρ′ω sin−1 ω1 1 + χ′ρ ) , b2(x, t, ρ, ρω , ρωω) = 0, S(ω, 0, 0, 0) = 1 + cot2 ω1, S1(ω, 0, 0, 0) = cosω1 sin2 ω1 , S(ω, t, ρ, ρω) = S(ω, 0, 0, 0) − 2S1(ω, 0, 0, 0)ρω + ρ2 ω sin2 ω1 , S1(ω, t, ρ, ρω) = S1(ω, 0, 0, 0) − ρω sin2 ω1 . (16) Для задачи (14) построим функцию s(ω, t), удовлетворяющую тем же началь- ным условиям, что и функция ρ(ω, t), а именно: s(ω, 0) = 0, µst(ω, 0) + S(ω, 0, 0, 0) ∂w ∂λ + S1(ω, 0, 0, 0) ∂w ∂ω \|Γ = 0, (17) О существовании гладких решений 19 где функция w(x) является решением задачи (2). Как это следует из резуль- татов главы 6 [25] и теоремы 3.11 [26], задача (2) имеет единственное решение w(x) ∈ E3+α γ0 (Ω̄), для которого имеет место представление: w(x) = c1χ1(r)\|x−O\| π ω1 sin π ω1 ϕ+ c2χ2(rA)\|x−A\| π ω2 sin π ω2 (π − ϕ) + V (x), (18) где V (x) ∈ E3+α s1 (Ω̄), s1 = 1 + max{ π ω1 , π ω2 }, χi− срезающие функции, i = 1, 2: χ1(r) = 0, r > b1/2, χ1(r) = 1, r < b1/4; χ2(rA) = 0, rA ≡ \|x − A\| > (a − b2)/2, χ2(rA) = 1, \|x−A\| < (a−b2)/4; постоянные ci = ci(g(x1)) i = 1, 2, определяются однозначно по функции g(x1). Возвращаясь к построению функции s(ω, t) с учетом (17), положим s(ω, t) = tm0(ω), m0(ω) = − 1 µ S(ω, 0, 0) ∂w ∂λ , x(ω) ∈ Γ, (19) (здесь мы воспользовались тем фактом, что w = 0, x(ω) ∈ Γ, и, следовательно, S1(ω, 0, 0) ∂w ∂ω = 0, x(ω) ∈ Γ), тогда из представления (18) и свойств функции V (x) следует неравенство: ‖s‖ E2+α,1,α γ0−1 (ΓT ) + ‖st‖E2+α,β∗,α γ0−1 (ΓT ) ≤ c‖w‖E3+α γ0 (Ω), 1 ≥ β∗ > β > 0. (20) Продолжим преобразование задачи (1) и в соотношениях (14) вместо ис- комых функций введем новые неизвестные функции: ρ(ω, t) = σ(ω, t) + s(ω, t), u(x, t) = Θ(x, t) +w(x) − (∇xw, ēσ), (21) где ēσ = ∂x̄(ω,λ) ∂λ χ(λ(x))σ(ω, t). Отметим, что ēσ\|Γ1 T = 0, ēσ\|ΓT = l̄(ω)σ(ω, t). Пусть d(w(x), ω) = −(∇xw, l̄(ω)). Подставим функции (21) в уравнение и гра- ничные условия задачи (14) и после некоторых преобразований получим: ∆xΘ = − 2 ∑ ij=1 [bij(x, t, s, sω) − bij(x, 0, s, sω)][Θxixj + wxixj ] − 2 ∑ i=1 [bi(x, t, s, sω, sωω) −bi(x, 0, s, sω , sωω)][Θxi +wxi ]+ 2 ∑ ij=1 [bij(x, t, s, sω)− bij(x, 0, s, sω)] ∂2 ∂xi∂xj (∇w, ēσ) +∆x(∇w, ēσ) + 2 ∑ i=1 [bi(x, t, s, sω, sωω) − bi(x, 0, s, sω, sωω)] ∂ ∂xi (∇w, ēσ)] − 2 ∑ ij=1 [bij(x, t, ρ, ρω) − bij(x, t, s, sω)][Θxixj + wxixj − ∂2 ∂xi∂xj (∇w, ēσ)] 20 Н.Васильева − 2 ∑ i=1 [bi(x, t, ρ, ρω , ρωω) − bi(x, t, s, sω, sωω)][Θxi + wxi − ∂ ∂xi (∇w, ēσ)] ≡ F 0 l (x, t, σ, σω ,Θxi ,Θxixj ) +F 0 n(x, t, σ, σω ,Θxi ,Θxixj ) := F 0(x, t, σ,Θxi ), (x, t) ∈ ΩT , (22) Θ(y(x), t)\|Γ1T = 0; Θ(y(x), t) + d(w(x), ω)σ(ω, t)\|ΓT = 0; (23) µσt + S(ω, 0, s, sω)∂Θ ∂λ − 2S1(ω, 0, s, sω)∂w ∂λ σω = −µst − S(ω, 0, s, sω)∂w ∂λ −S(ω, t, s, sω)∂d(w(x),ω) ∂λ σ − [S(ω, t, ρ, ρω) − S(ω, t, s, sω) + 2S1(ω, 0, s, sω)σω]∂w ∂λ −[S(ω, t, s, sω) − S(ω, 0, s, sω)]∂(Θ+w) ∂λ − [S(ω, t, ρ, ρω) − S(ω, t, s, sω)]∂d(w(x),ω) ∂λ σ −[S(ω, t, ρ, ρω) − S(ω, t, s, sω)]∂Θ ∂λ ≡ F 1 l (x, t, σ, σω,Θλ) + F 1 n(x, t, σ, σω ,Θλ) := F 1(x, t, σ,Θ), (x(ω), t) ∈ ΓT , (24) Θ(x, 0) = 0, x ∈ Ω̄, σ(ω, 0) = 0, σt(ω, 0) = 0, x(ω) ∈ Γ, (25) здесь функции F i l содержат линейные слагаемые относительно σ,Θ и их произ- водных, а F i n состоит из нелинейных слагаемых относительно σ,Θ и их произ- водных, i = 0, 1. Кроме того, заметим, что из свойств функций s(ω, t) и ρ(ω, t) следуют равенства: F i l = 0, F i n = 0, при t = 0, i = 0, 1. 4. Исследование линейной задачи: оценки, разрешимость. Пусть ∂/∂l- производная по направлению вектора l̄(ω), заданного в пункте 2. Предметом наших исследований в этом пункте является линейная краевая задача с переменными коэффициентами, в которой требуется найти функции Θ(y, t) и σ(ω, t), удовлетворяющие условиям: ∆xΘ = F0(x, t), (x, t) ∈ ΩT ; Θ\|Γ1T = F1(x1, t); (26) Θ(x, t) + wl(x)σ\|ΓT = F2(x, t), σt + S(ω, 0, s, sω)∂Θ ∂λ − 2S1(ω, 0, s, sω)∂w ∂λσω\|ΓT = F3(x, t); (27) О существовании гладких решений 21 Θ(x, 0) = 0, x ∈ Ω, σ(ω, 0) = 0, σt(ω, 0) = 0, x(ω) ∈ Γ. (28) Заметим, что задача (26)-(28) при Fi(y, t) = 0, i = 1, 2, получается из задачи (22)-(25), если в правых частях последней заморозить функциональные аргу- менты при t = 0. Теорема 2. Пусть F0 ∈ Eα,β,α s,0 (Ω̄T ), F1 ∈ E2+α,β,α s+2,0 (Γ̄1T ), F2 ∈ E2+α,β,α s+2,0 (Γ̄T ), ∂F2/∂t ∈ E1+α,β,α s+γ0,0 (Γ̄T ), F3 ∈ E1+α,β,α s+1,0 (Γ̄T ), где s = γ0 − 3 − δ, α, δ ∈ (0, 1), 0 < β < 1, функция w(x) удовлетворяет соотношению (18). Тогда задача (26)-(28) при T ≤ T0 имеет единственное решение Θ(y, t), σ(ω, t), где T0 зави- сит от коэффициентов задачи и не зависит от правых частей, такое что Θ(y, t) ∈ E2+α,β,α s+2 (ΩT ), rγ0−1σ(ω, t) ∈ E2+α,β,α s+2 (ΓT ), σt(ω, t) ∈ E1+α,β,α s+1,0 (ΓT ), и справедлива оценка ‖Θ‖ E2+α,β,α s+2 (ΩT ) + ‖σrγ0−1‖ E2+α,β,α s+1 (ΓT ) + ‖σt‖E1+α,β,α s+1 (ΓT ) ≤ c(‖F0‖Eα,β,α s (ΩT ) + ‖F1‖E2+α,β,α s+2 (Γ1T ) +‖F2‖E2+α,β,α s+2 (ΓT ) +‖∂F2/∂t‖E1+α,β,α s+γ0 (ΓT ) +‖F3‖E1+α,β,α s+1 (ΓT ) ), (29) где c- положительная постоянная, которая зависит от коэффициентов со- отношений (26)-(28) и гладкости кривых Γ и Γ1. Доказательство. Вначале докажем теорему в случае Fi(x, t) ≡ 0, i = 0, 2. Сведём систему (26)-(28) к граничной задаче для функции Θ(x, t). Для этих целей из первого соотношения в (27) выразим σ(ω, t) через Θ(x, t) : σ\|ΓT = − 1 ∂w/∂lΘ, (30) тогда с учетом этого равенства задача (26)-(28) преобразуется к виду: ∆xΘ = 0, (x, t) ∈ ΩT ; Θ\|Γ1T = 0; − 1 ∂w/∂lΘt + S(ω, 0, s, sω)∂Θ ∂λ + 2S1(ω, 0, s, sω)∂Θ ∂ω \|ΓT = F3(x, t); Θ(x, 0) = 0, x ∈ Ω, Θt(x, 0) = 0, x(ω) ∈ Γ. (31) Таким образом, доказательство теоремы 2 для системы (26)-(28) ( в случае Fi(x, t) ≡ 0, i = 0, 2) сводится к получению аналогичного утверждения для краевой задачи (31). Это доказательство разобьём на два этапа. На первом шаге, в предположении существования и единственности слабого решения за- дачи (31), покажем справедливость оценки (29) для функции Θ. Второй шаг состоит из доказательства существования и единственности слабого решения в задаче (31). Пусть 0 < δ1 < min{ε0, 1/4}, Bδ1(O)- шар c центром в точке O радиуса δ1, ξ1 ∈ C∞ 0 (R2) : (supp ξ1) ∩ Ω ⊂ Bδ1(O), 0 ≤ ξ1 ≤ 1, ∂ξ1 ∂λ = 0 на Γ, и рассмотрим функцию Θ1 = Θξ1. Из соотношений (31) с учетом представлений (16) имеем: ∆xΘ1 = f0, (x, t) ∈ GT ; Θ1(x, t)\|Γ1T = 0; 22 Н.Васильева Θ1(x, 0) = 0 x ∈ Ḡ, ∂Θ1 ∂t (x, 0) = 0, x ∈ b̄ c−1 1 r 1− π ω1 ∂Θ1 ∂t + ∂Θ1 ∂n − h∂Θ1 ∂r = f3(y, t), (y, t) ∈ bT , h = cot(π − ω1), (32) где c1 = c1(g(x1))− постоянная из представления (18) для функции w(x), G = {(x1, x2) : 0 < x2 < x1 tan(ω1/2), x1 > 0}, GT = G× (0, T ), b = {(x1, x2) : x2 = x1 tan(ω1/2), x1 > 0}, bT = b× [0, T ]; f0 = −Θ∆xξ1 − 2∇ξ1∇Θ, f3 = ( c−1 1 r 1− π ω1 − 1 ∂w/∂l ) ξ1Θt + hΘ∂ξ1 ∂r +F3ξ1; (33) f0(x, 0) = 0, f3(x, 0) = 0. Задача (32) является частным случаем проблемы исследованной в весо- вых классах Гёльдера Ek+α,β,α в работе [27], откуда следует справедливость утверждения. Теорема 3. [27]Пусть ω1 ∈ (0, π/2), s = π ω1 − 3 − δ, α, β, δ ∈ (0, 1), f0(x, t) ∈ Eα,β,α s,0 (GT ), f3(x, t) ∈ E1+α,β,α s+1 (bT ). Тогда существует единственное решение задачи (32) Θ1(x, t) ∈ E2+α,β,α 2+s (GT ), для которого справедлива оценка ‖Θ1‖E2+α,β,α s+2 (GT ) + ∥ ∥ ∥ r1−π/ω1∂Θ1/∂t ∥ ∥ ∥ E1+α,β,α s+1 (bT ) ≤ ≤ const.(‖f0‖Eα,β,α s (GT ) + ‖f3‖E1+α,β,α s+1 (bT ) ). (34) C учетом представлений (33) для f0 и f3, получим оценки для правой части в неравенстве (34). Из свойств функции w(x) (см. (18)) следует: ∥ ∥ ∥ ∥ ( c−1 1 r 1− π ω1 − (∂w ∂l )−1 ) ξ1Θt ∥ ∥ ∥ ∥ E1+α,β,α s+1 (bT ) = = ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ Vrξ1 c1r −1+ π ω1 [c1+Vrr 1− π ω1 ] r 1− π ω1 Θt ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ E1+α,β,α s+1 ((Γ∩Bδ1 (O))T ) ≤ δ s1−π/ω1 1 ∥ ∥ ∥ r1−π/ω1∂Θ/∂t ∥ ∥ ∥ E1+α,β,α s+1 ((Γ∩Bδ1 (O))T ) (35) где s1 − π/ω1 ≥ 1. Поскольку Θ(x, 0) = 0, то max Ω̄T \|r−s−2Θ(x, t)\| ≤ max Γ̄T \|r−s−2Θ(x, t)\| ≤ T max Γ̄T \|r−s−π/ω1 ∂Θ(x,t) ∂t \| (diam Ω)2−π/ω1 (36) О существовании гладких решений 23 и, следовательно, ‖hΘ∂ξ1 ∂r ‖E1+α,β,α s+1 (bT ) ≤ const.\|h\|δ π/ω1 1 T ∥ ∥ ∥ r1−π/ω1∂Θ/∂t ∥ ∥ ∥ E1+α,β,α s+1 ((Γ∩Bδ1 (O))T ) . (37) Что касается слагаемых, входящих в определение для f0, то их оценки полу- чаются после последовательного применения интерполяционного неравенства и (36). Таким образом, из представлений (33) и оценок (34)-(37) имеем: ‖f3‖E1+α,β,α s+1 (bT ) ≤ (δ s1−π/ω1 1 + \|h\|δ π/ω1 1 T ) ∥ ∥ ∥ r1−π/ω1∂Θ/∂t ∥ ∥ ∥ E1+α,β,α s+1 ((Γ∩Bδ1 (O))T ) + ‖F3‖E1+α,β,α s+1 ((Γ∩Bδ1 (O))T ) , (38) ‖f0‖Eα,β,α s (GT ) ≤ T (δ −1+π/ω1 1 + δ π/ω1 1 δ̃−1 2 ) ∥ ∥ ∥ r1−π/ω1∂Θ/∂t ∥ ∥ ∥ E1+α,β,α s+1 ((Γ∩Bδ1 (O))T ) +δ1δ̃2 ‖Θ‖ E2+α,β,α s+2 ((Ω∩Bδ1 (O))T ) . (39) Далее, выбирая постоянные δi, i = 1, 2 из условий: δ s1−π/ω1 1 + T (\|h\|δ π/ω1 1 + δ −1+π/ω1 1 + δ π/ω1 1 δ̃−1 2 ) < 1 2N , δ1δ̃2 < 1 2N , (40) где, N некоторое фиксированное число, которое мы выбираем ниже, получаем: ‖Θ‖ E2+α,β,α s+2 ((Ω∩Bδ1 (O))T ) + ∥ ∥ ∥ r1−π/ω1∂Θ/∂t ∥ ∥ ∥ E1+α,β,α s+1 ((Γ∩Bδ1 (O))T ) ≤ ≤ const. ‖F3‖E1+α,β,α s+1 ((Γ∩Bδ1 (O))T ) . (41) Наконец, отметим, что оценка (29) получается с помощью разбиения единицы: ξi ∈ C∞ 0 (R2), i = 1, N : (supp ξi) ∩ Ω ⊂ Bδi (xi), Θi = Θξi, Θ = N ∑ i=1 Θi, xi ∈ Ω̄, где δi удовлетворяют неравенствам (40); и рассмотрения соответствующих модельных задач в полупространстве, для которых будут иметь место оценки вида (41). Доказательство существования и единственности слабого решения в зада- че (31) проводится стандартным образом, поэтому его детали мы опускаем. За- метим лишь, что для этого достаточно с помощью преобразования Лапласа по переменной t свести задачу (31) к эллиптической задаче с комплексным пара- метром в граничном условии. Далее с помощью известной техники (см., напри- мер, глава 3 в [28], §2.1.2 в [29] и [30]) доказывается однозначная разрешимость эллиптической задачи в классах Соболева и получаются соответствующие ко- эрцитивные оценки. Наконец, равенство Парсеваля и эквивалентность норм в 24 Н.Васильева пространствах L2 позволяют получить существование и единственность слабо- го решения в задаче (31): Θ ∈ L2(0, T ;W 1 2 (Ω∪Γ)), Θtr 1−γ0 2 ∈ L2(0, T ;W 1/2 2 (Γ)). Таким образом, теорема 2 для случая Fi = 0, i = 0, 2 доказана. Для того чтобы снять это ограничение, достаточно рассмотреть следующие эллиптиче- ские задачи: ∆xΘ̃ = F0, (x, t) ∈ ΩT ; Θ̃\|Γ1T = F1, Θ̃\|ΓT = 0, Θ̃(x, 0) = 0, x ∈ Ω̄; (42) ∆xΘ∗ = 0, (x, t) ∈ ΩT ; Θ∗\|Γ1T = 0, Θ∗\|ΓT = F2, Θ∗(x, 0) = 0, x ∈ Ω̄. (43) Из результатов главы 6 в [25] и теоремы 3.11 в [26] с учетом гладкости по t функций Fi следует однозначная разрешимость (42) и (43) и оценки: ‖Θ̃‖ E2+α,β,α s+2 (ΩT ) ≤ const.(‖F0‖Eα,β,α s (ΩT ) + ‖F1‖E2+α,β,α s+2 (Γ1T ) ), ∂Θ̃ ∂t \|ΓT = 0; ‖Θ∗‖ E2+α,β,α s+2 (ΩT ) + ‖Θ∗ t ‖E1+α,β,α s+γ0 (ΓT ) ≤ ≤ const.(‖F2‖E2+α,β,α s+2 (ΓT ) + ‖∂F2/∂t‖E1+α,β,α s+γ0 (ΓT ) ), что и завершает доказательство теоремы 2. 2 5. Доказательство Теоремы 1. Для завершения доказательства теоремы 1 вернемся к рассмотрению нели- нейной задачи (22)-(25). Пусть HΨ пространство элементов Ψ = (Θ, σ) с нормой ‖Ψ‖HΨ = ‖Θ‖ E2+α,β,α s+2 (ΩT ) + ∥ ∥σrγ0−1 ∥ ∥ E2+α,β,α s+2 (ΓT ) + ‖ρτ‖E1+α,β,α s+1 (ΓT ) . Введем также пространство Hh с элементами h = (F 0, F 1) и нормой ‖h‖Hh = ∥ ∥F 0 ∥ ∥ Eα,β,α s (ΩT ) + ∥ ∥F 1 ∥ ∥ E1+α,β,α s+1 (ΓT ) . В рамках введенных обозначений задачу (22)-(25) можно записать в виде AΨ = f(x, t) + F (Ψ), (44) где A- линейный оператор, определяемый левыми частями соотношений (22)- (25), A : HΨ −→ Hh, вектор f(x, t) строится только по начальным условиям, F (Ψ) = Fl(Ψ) +Fn(Ψ), где Fn(Ψ) содержит элементы Ψ, начиная с квадратич- ных членов, а Fl(Ψ) является линейной частью вектора F (Ψ) (см. представле- ния для F i(x, t, σ,Θ) в (22), (24)). Поскольку оператор A удовлетворяет условиям теоремы 2, то нелинейную задачу (44) можно записать в виде: Ψ = A−1f(x, t) +A−1Fl(Ψ) +A−1Fn(Ψ) ≡ P (Ψ). О существовании гладких решений 25 Очевидно, что неподвижная точка нелинейного оператора P (Ψ) дает решение исходной задачи. Лемма 1. Пусть Bd- шар радиуса d с центром в нуле, Bd ⊂ HΨ. При Ψ ∈ Bd имеют место оценки: ‖F (0)‖Hh ≤ C1(w(x), s(ω, t), T ), (45) ‖F (Ψ1) − F (Ψ2)‖Hh ≤ C2(w(x), s(ω, t), T, d)\|\|Ψ1 − Ψ2\|\|HΨ , (46) где C1(w(x), s(ω, t), T ) → 0, C2(w(x), s(ω, t), T, d) → 0, при d→ 0, T → 0, и \|\|Ψ1 − Ψ2\|\|HΨ = ‖Θ1 − Θ2‖E2+α,β,α s+2 (ΩT ) + ∥ ∥(σ1 − σ2)r γ0−1 ∥ ∥ E2+α,β,α s+2 (ΓT ) + + ‖(σ1 − σ2)t‖E1+α,β,α s+1 (ΓT ) . Доказательство. Оценка (45) следует из представления для F (Ψ) (см. (22), (24), (15), (16)) и более высокой гладкости по t элементов: f(x, t), Fl(Ψ), ко- торые определяются функциями w(x) и s(ω, t) (см. (20)). При доказательстве оценки (46) нам потребуются следующие свойства весовых пространств, ко- торые следуют непосредственно из определений классов Ek+α,β,δ s и Ck+α,β,δ ( доказательство этих фактов можно найти в работе [19]). Предложение 1. [19]Пусть Ω- ограниченная область в Rn, ΩT = Ω × (0, T ), α, β ∈ (0, 1) s > 0, k- целое неотрицательное. 1) Пусть Ψ(x, t) ∈ Ek+α,β,δ s (ΩT ) и Φ(x, t) ∈ Ck+α,β,δ(ΩT ), тогда \|\|ΨΦ\|\| Eα,β,δ s (ΩT ) ≤ c1\|\|Ψ\|\| Eα,β,δ s (ΩT ) \|\|Φ\|\|Cα,β,δ(ΩT ), \|\|ΨΦ\|\| Ek+α,β,δ s (ΩT ) ≤ c1(\|\|Ψ\|\| Ek+α,β,δ s (ΩT ) \|\|Φ\|\|Ck−1+α,β,δ(ΩT )+ +\|\|Ψ\|\| Ek−1+α,β,δ s (ΩT ) \|\|Φ\|\|Ck+α,β,δ(ΩT )), k 6= 0. 2) Пусть Ψ(x, t), Φ(x, t) ∈ Ek+α,β,δ s (ΩT ), тогда \|\|ΨΦ\|\| Eα,β,δ s (ΩT ) ≤ c2\|\|Ψ\|\| Eα,β,δ s (ΩT ) \|\|Φ\|\|Cα,β,δ(ΩT ) ≤ ≤ c3\|\|Ψ\|\| Eα,β,δ s (ΩT ) \|\|Φ\|\| Eα,β,δ s (ΩT ) , \|\|ΨΦ\|\| Ek+α,β,δ s (ΩT ) ≤ c4(\|\|Ψ\|\| Ek+α,β,δ s (ΩT ) \|\|Φ\|\| Ek−1+α,β,δ s (ΩT ) + +\|\|Ψ\|\| Ek−1+α,β,δ s (ΩT ) \|\|Φ\|\| Ek+α,β,δ s (ΩT ) ) ≤ ≤ c5\|\|Ψ\|\| Ek+α,β,δ s (ΩT ) \|\|Φ\|\| Ek+α,β,δ s (ΩT ) , k 6= 0, здесь ci,i = 1, 5,− положительные постоянные. 26 Н.Васильева Предложение 2. [19]Пусть функции Ψ(y, t) и Ψt(y, t) определены в ограни- ченной области ΩT , Ψt(y, t) ∈ E1+α,β,δ s (ΩT ) и Dm t Ψt(y, 0) = 0, y ∈ Ω, m = 0, 1, тогда Ψ(y, t) ∈ E1+α,β,δ s (ΩT ) и справедливы неравенства: \|\|Ψ\|\| E1+α,β,δ s (ΩT ) ≤ c1T \|\|Ψt\|\|E1+α,β,δ s (ΩT ) , \|\|Ψ\|\| E1+α,β,δ s−1 (ΩT ) ≤ c2d 1−α 0 T 1−β\|\|Ψt\|\|E1+α,β,δ s (ΩT ) , где ci, i = 1, 2− положительные постоянные, d0 = diamΩ. Вернемся к доказательству неравенства (46). Отметим, что оно в случае Fn(Ψ) есть следствием того обстоятельства, что Fn(Ψ) не содержит линейных слагаемых относительно Ψ. Таким образом, используя представления (22)-(25) и (16), оценку (29) с Fi(y, t) = 0, i = 1, 2, и результаты предложений 1, 2, можно показать справедливость неравенства (46) для Fn(Ψ). Что касается линейной части Fl(Ψ), то оценка (46) следует из более высо- кой гладкости по t функции s(ω, t) и предложений 1, 2. Так, например, покажем справедливость (46) для функции [bij(x, t, s, sω)−bij(x, 0, s, sω)] [Θ1xixj −Θ2xixj ] из представления для F 0 l (см. (22)). ‖[bij(x, t, s, sω) − bij(x, 0, s, sω)][Θ1xixj − Θ2xixj ]‖ Eα,β,α s (Ω̄T ) ≤ ≤ ‖bij(x, t, s, sω) − bij(x, 0, s, sω)‖Cα,β,α(Ω̄T )‖Θ1 − Θ2‖E2+α,β,α s+2 (Ω̄T ) . (47) Вначале оценим величину ‖bij(x, t, s, sω)−bij(x, 0, s, sω)‖Cα,β,α(Ω̄T ) в окрестности угловой точки O. Из представлений (16) для bij(x, t, s, sω) cледует: b22(x, t, s, sω) − b22(x, 0, s, sω) = 0, b11(x, t, s, sω − b11(x, 0, s, sω) = [χ′s cotω1 + χs′ω sin−1 ω1] 2 − 2χ′s− χ2s2 (1 + χ′s)2 , b12(x, t, s, sω) − b12(x, 0, s, sω) = = b21(x, t, s, sω) − b21(x, 0, s, sω) = χ′s cotω1 + χs′ω sinω1 1 + χ′s . (48) Таким образом, из представлений (48), неравенства (20) и предложений 1,2 следует оценка ‖bij(x, t, s, sω) − bij(x, 0, s, sω)‖ Cα,β,α((Ω∩Bδ1 (O))T ) ≤ T β∗−βc(s,w), (49) где c(s,w)- постоянная, зависящая от норм функций w(x) и s(ω, t). Заметим, что неравенства аналогичные (49) будут иметь место и вне окрестности точки O. Возвращаясь к (47), получим ‖[bij(x, t, s, sω) − bij(x, 0, s, sω)][Θ1xixj − Θ2xixj ]‖ Eα,β,α s (Ω̄T ) ≤ О существовании гладких решений 27 ≤ T β∗−βc(s,w)‖Θ1 − Θ2‖E2+α,β,α s+2 (Ω̄T ) . Для остальных слагаемых в F 0 l и F 1 l оценки получаются аналогично, что и завершает доказательство леммы. 2 Таким образом, вследствие оценок (45) и (46) и ограниченности операто- ра A−1, отображение P переводит Bd в себя и при достаточно малых d и T является сжимающим. Справедливость теоремы 1 следует тогда из принципа сжимающих отображений. Из теорем 1, 2 следует, что для функции ρ(y1, t) из задачи (1) справедлива оценка с ограниченной постоянной c(T ) : \|ρy1 (y1, t)\| ≤ c(T )\|y1\| γ0−3−δ. Из которой следует, что при ωi < π/3, i = 1, 2, ρy1 (y1, t) −→ 0, когда y1 −→ 0. Это означает, что геометрия угла в задаче Hele-Shaw в этом случае не разруша- ется. Более того, т.к. ρt ∈ E1+α,β,α s+1 (Γt), ∀t ∈ (0, T0), то в случае углов ωi < π/3 имеем ρt(y1, t) −→ 0 при y1 −→ 0, t ∈ (0, T1), T1 < T0, а это означает, что в течении некоторого времени угловая точка остается неподвижной. Таким обра- зом, для задачи (1) при выполнении условий теоремы 1 имеет место феномен "времени ожидания." Замечание 2.Теорема 1 остается справедливой если в граничном условии на фиксированной границе Γ1T функцию g(y1) заменить на g(y1, t): g(y1, 0) ≥ 0, y ∈ Γ1, g(y1, t) 6≡ 0, g(y1, 0) = 0, y1 ∈ [0, ε] ∪ [a − ε, a], 0 < ε < min{b1,b2} 3 и g(y1, t) ∈ E3+α,β∗,α γ0 (Γ1T ), gt(y1, t) ∈ E2+α,β∗,α γ0−1 (Γ1T ), γ0 = min{ π ω1 , π ω2 }, α, β∗ ∈ (0, 1), t ∈ [0, T ]. 1. Hele-Shaw H.S. The flow of water // Nature.- 1898. - v.58.- P.34-36. 2. Polubarinova-Kochina P.Ya. On the motion of the oil contour// Dokl. Akad. Nauk SSSR.- 1945. - v.47.- P.254-257. 3. Galin L.A. Unsteady filtration with a free surface// Dokl. Akad. Nauk SSSR.- 1945. - v.47.- P.246-249. 4. Pamplin B.R. Crystal growth.-Oxford.–Pergamon.– 1975. 450P. 5. Lacey A.A. IMAJ // Appl.Math.- 1985. - v.35.- P.357-364. 6. Howard G.C. Hydraulic Fracturing.-Dallas,TX.–Soc.Petrol.Eng. AIME.– 1970. 500P. 7. Rubinstein L.I. The Stefan problem.-AMS.–Providence.– 1971. 430P. 8. Elliot J.M., Ockendon J.R. Weak and variational methods for moving boundary problem.– London.–Pitman– 1982. 350P. 9. Richardson S. Hele-Shaw flow with a free boundary produced by the injection of fluid into a narrow channel// J. Fluid Mech.- 1972. - v.56. - P.609-618. 10. Howison S.D. Hele-Shaw // http://www.maths.ox.ac.uk/howison/Hele-Shaw–2009. 11. Elliot J.M., Janovsky V.A. A variational inequality approach to the Hele-Shaw flow with a moving boundary// Proc. Royal Soc. Edinburgh.- 1981. - sect A.88. - P.93-107. 12. Di Benedetto E., Friedman A. The ill-possed Hele-Shaw and Stefan problem for suprecoold water// Trans. Amer. Math. Soc.- 1984. - 282, N.3. - P.183-203. 13. Базалий Б.В. О задаче Стефана для уравнения Лапласа// Доповiдi АН України.- 1997. - N.1. - C.11-16. 28 Н.Васильева 14. Fahuai Y. Classical solution of quasi-stationary Stefan problem// Chin. Ann. of Math.- 1996. - v. 17 B., N.2. - P.175-186. 15. Базалий Б.В. О классической разрешимости задачи Hele-Shaw со свободной границей// Укр. мат. журнал.- 1998. - т. 50, N.11. - C.1452-1462. 16. Escher J., Simonett G. Classical solutions for Hele-Shaw models// SIAM J. MATH. Anal.- 1997. - v. 28, N.5. - P.1028-1047. 17. Procert G. Existence results for Hele-Shaw flow driven by surface tension// Euro. J. of Appl. Math.- 1998. - v.9. - P.195-224. 18. Bailly S-H. Local existence of classical solutions to the first-order parabolic equations describing free boundaries// Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications.- 1998. - v.32, N.5. - P.583-599. 19. Vasylyeva N. On the solvability of the Hele-Shaw problem in the case of nonsmooth initial data in weighted Hölder classes// Ukr. Math. Bulletin.- 2005. - v.2, N.3. - P.323-349. 20. Bazaliy, B.V. and Friedman A. The Hele-Shaw problem with surface tension in a half-plane// J. Differential Equations.- 2005. - v. 216. - P. 387-438. 21. King J.R., Lacey A.A., Vazquez J.L. Persistence of corners in free boundaries in Hele-Shaw flow// Euro. J. of Appl. Math.- 1995. - v.6. - P.445-490. 22. Базалий Б.В. Задача Стефана// Докл. АН УССР.- 1986. - сер. А, N.11. - P.3-7. 23. Hanzava E. Classical solutions of the Stefan problem// Tohoku Math.J.- 1981. - v.33, N.3. - P.297-335. 24. Солонников В.А. О разрешимости второй начально-краевой задачи для линейной неста- ционарной системы уравнений Навье-Стокса// Зап. научн. семинара ЛОМИ.- 1977. - т. 69. - C.200-218. 25. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains.- London.–Pitman.–1985. 600C. 26. Borsuk M., Kondratiev V. Elliptic boundary value problems of second order in piecewise smooth domains.- Amsterdam: Elsevier Science B.V.–North-Holland Mathematical Library, 69.–1985. 534P. 27. Vasylyeva N. On the solvability of some nonclassical boundary-value problem for the Laplace equation in the plane corner// Advances in Differential Equations.- 2007. - v.12, N.10. - P.1167-1200. 28. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптиче- ского типа.- М.–Наука.–1973. 654C. 29. Nicaise S. Polygonal interface problems. -Franfurt am Main.– Lang.–1993. 251 P. 30. Фролова Е.В. Об одной нестационарной задаче в двугранном угле. I.// Зап. научн. се- минара ЛОМИ.- 1991. - т. 69. - C.159-177. ИПММ НАН Украины, ул. Розы Люксембург, 74, 83114, Донецк, Украина vasylyeva@iamm.ac.donetsk.ua Получено 14.12.2009

О существовании гладких решений в задаче о зечениях Hele-Shaw в негладких областях

Institution

Ähnliche Einträge