Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде
Рассматривается линейная начально-краевая задача, порождённая малыми движениями сверхтекучей жидкости в открытом сосуде. Считается, что жидкость находится в достаточно сильном гравитационном поле, поэтому влияние капиллярных сил не учитывается. Получены достаточные условия существования сильного реш...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Нелинейные граничные задачи |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124272 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде / В.И. Войтицкий // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 29-48. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124272 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242722017-10-01T17:22:50Z Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде Войтицкий, В.И. Рассматривается линейная начально-краевая задача, порождённая малыми движениями сверхтекучей жидкости в открытом сосуде. Считается, что жидкость находится в достаточно сильном гравитационном поле, поэтому влияние капиллярных сил не учитывается. Получены достаточные условия существования сильного решения задачи на произвольном отрезке времени [0; T]. 2009 Article Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде / В.И. Войтицкий // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 29-48. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0236-0497 MSC (2000): 35Q35, 47F05 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124272 ru Нелинейные граничные задачи Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается линейная начально-краевая задача, порождённая малыми движениями сверхтекучей жидкости в открытом сосуде. Считается, что жидкость находится в достаточно сильном гравитационном поле, поэтому влияние капиллярных сил не учитывается. Получены достаточные условия существования сильного решения задачи на произвольном отрезке времени [0; T]. |
| format |
Article |
| author |
Войтицкий, В.И. |
| spellingShingle |
Войтицкий, В.И. Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде Нелинейные граничные задачи |
| author_facet |
Войтицкий, В.И. |
| author_sort |
Войтицкий, В.И. |
| title |
Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде |
| title_short |
Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде |
| title_full |
Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде |
| title_fullStr |
Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде |
| title_full_unstemmed |
Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде |
| title_sort |
малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124272 |
| citation_txt |
Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде / В.И. Войтицкий // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 29-48. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Нелинейные граничные задачи |
| work_keys_str_mv |
AT vojtickijvi malyedviženiâtâželojsverhtekučejžidkostivotkrytomsosude |
| first_indexed |
2025-07-09T01:09:36Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:09:36Z |
| _version_ |
1837129666257747968 |
| fulltext |
Нелинейные граничные задачи 19, 29-48 (2009) 29
c©2009. В.И. Войтицкий
МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЁЛОЙ СВЕРХТЕКУЧЕЙ
ЖИДКОСТИ В ОТКРЫТОМ СОСУДЕ
Рассматривается линейная начально-краевая задача, порождённая малыми движени-
ями сверхтекучей жидкости в открытом сосуде. Считается, что жидкость находится в до-
статочно сильном гравитационном поле, поэтому влияние капиллярных сил не учитывается.
Получены достаточные условия существования сильного решения задачи на произвольном
отрезке времени [0; T ].
Ключевые слова: малые движения, гильбертово пространство, разложение Вейля, вло-
жение пространств, самосопряжённый оператор, операторная матрица, дифференци-
альное уравнение в гильбертовом пространстве, сильное решение
MSC (2000): 35Q35, 47F05
1. Введение. Постановка задачи.
В данной работе в рамках двухскоростной модели Л.Д. Ландау рассматри-
вается линейная начально-краевая задача, порожденная малыми движениями
сверхтекучего гелия (He II) в открытом сосуде.
Эксперименты Капицы и др. (1938) показали, что при температурах ниже
2, 17◦K жидкий гелий может протекать сквозь узкие капилляры (диаметром
порядка 10−4 см.), не испытывая сколько-нибудь заметного сопротивления.
Это явление (присущее идеальной жидкости) получило название “сверхтеку-
честь”. Однако, в ряде других опытов выяснилось, что вязкость сверхтекучего
гелия всё же проявляется. В результате физики пришли к выводу, что при
низких температурах He II проявляет себя как идеальная и вязкая жидкость
одновременно. Это позволило Л.Д. Ландау построить в 1941 г. двухскоростную
модель, согласно которой для описания движения сверхтекучей жидкости вме-
сто одного поля скоростей следует ввести два поля: поле скоростей движения
сверхтекучей (идеальной) компоненты и поле скоростей движения нормальной
(вязкой) компоненты сверхтекучей жидкости.
Итак, пусть сверхтекучий гелий частично заполняет неподвижный сосуд
и занимает в состоянии покоя область Ω ⊂ R
3, ограниченную твердой стенкой
S и открытой свободной поверхностью Γ (граница ∂Ω = Γ∪S является липши-
цевой). Будем считать, что поверхность Γ является в состоянии покоя плоской,
расположенной перпендикулярно ускорению достаточно сильного гравитаци-
онного поля ~g. Тогда силами поверхностного натяжения можно пренебречь.
Согласно модели Л.Д. Ландау введем поля скоростей сверхтекучей и нор-
мальной компоненты жидкости ~w(x, t) и ~v(x, t) (x = (x1, x2, x3) ∈ Ω) соот-
ветственно. Компоненты взаимно проникают друг в друга без трения и отно-
сительное количество их в каждом единичном элементе объема равно ρs/ρ и
30 В.И. Войтицкий
ρn/ρ (ρ = ρs + ρn). Плотности соответствующих компонент ρs и ρn считаем
заданными константами. Не учитывая также изменения ряда других физи-
ческих параметров (энтропия, теплопроводность и др.), что не противоречит
физическому смыслу задачи, уравнения Ландау могут быть записаны как соот-
ветствующие уравнения движения идеальной и вязкой несжимаемой жидкости
(см. [1], c. 184).
Выберем систему координат Ox1x2x3 так, чтобы начало координат O на-
ходилось на Γ и ~g = −g~e3, тогда после линеаризации получаем следующие
уравнения (см. [1], c. 133):
∂~v
∂t
= −
1
ρn
∇pn + ν∆~v + ~f, div~v = 0, (в Ω), (1)
∂ ~w
∂t
= −
1
ρs
∇ps + ~f, div ~w = 0, (в Ω). (2)
Здесь кроме полей скоростей неизвестными также являются поля динамиче-
ских давлений pn и ps, являющиеся отклонениями давлений нормальной и
сверхтекучей компоненты жидкости от соответствующих равновесных давле-
ний p0
n и p0
s. В состоянии покоя (с учетом выбора системы координат) имеем
p0
n(x3) = cn − ρngx3, p0
s(x3) = cs − ρsgx3, cn + cs = pa,
где cn и cs — некоторые заданные константы, а pa — постоянное внешнее (ат-
мосферное) давление. Уравнения (1) и (2) — это линеаризованные уравнения
Навье-Стокса и Эйлера, описывающие малые движения вязкой и идеальной ни-
сжимаемых жидкостей соответствено под действием заданного поля внешних
сил ~f .
Перейдем теперь к граничным условиям. Будем предполагать, что на твер-
дой стенке S отсутствует поток тепла (стенка теплоизолирована), тогда имеем
~v · ~n = ~w · ~n = 0 (на S), где ~n — единичный вектор внешней нормали к гра-
нице области Ω. Кроме этого, поскольку на нормальную компоненту скорости
действуют вязкие напряжения, то также следует положить равной нулю тан-
генциальную составляющую скорости ~v, т.е. ~v · ~τ = 0 для любого вектора ~τ из
касательной плоскости к S. Отсюда получаем
~v = ~0, ~w · ~n = 0 (на S). (3)
Далее рассмотрим граничные условия на свободной поверхности. Считая
отклонения движущейся поверхности Γ(t) от равновесной поверхности Γ ма-
лыми, введём функцию
ζ(t, x1, x2) = x3, (x1, x2) ∈ Γ, (4)
описывающую в момент времени t малые отклонения Γ вдоль внешней нормали
~n = ~e3. С помощью функции ζ от условий на Γ(t) можно перейти к условиям на
Γ и считать занимаемую сверхтекучей жидкостью область Ω фиксированной.
Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости 31
Согласно квантово-механическим принципам в любой момент времени каж-
дая молекула жидкости участвует как в сверхтекучем, так и в нормальном типе
движения, т.е. нормальная и сверхтекучая компоненты существуют одновре-
менно во всем объёме, занимаемом сверхтекучей жидкостью (см. [1], с. 45, а
также [2], с. 707). Отсюда следует, что нормальные составляющие ~v и ~w на Γ
совпадают. Иначе на свободной границе будут образовываться зоны, заполнен-
ные лишь одной компонентой скорости.
Учитывая этот факт, получаем, что на Γ должно выполняться кинемати-
ческое условие
∂ζ
∂t
= ~v · ~n = ~w · ~n (на Γ). (5)
В процессе движения также выполняется условие сохранения объема
∫
Γ
ζdΓ = 0 (6)
и динамические условия
ρnν
(
∂v3
∂xi
+
∂vi
∂x3
)
= 0, i = 1, 2, (на Γ), (7)
pn + ps − 2ρnν
∂v3
∂x3
= ρgζ (на Γ). (8)
Граничные условия (7), (8) соответствуют условиям на свободной поверхности
в задаче о малых колебаниях вязкой жидкости в открытом неподвижном со-
суде (см. [3], п.7.1, а также [4]). Они означают, что касательное напряжение
нормальной компоненты равно нулю, а нормальное напряжение компенсирует-
ся скачком давлений. В правой части (8) учтено, что сверхтекучая жидкость
является тяжелой, т.е. находится под действием гравитационного поля.
Для полной постановки задачи о малых движениях тяжелой сверхтекучей
жидкости в открытом сосуде к уравнениям (1), (2) и граничным условиям (3),
(5)–(8) необходимо добавить начальные условия
~v(0, x) = ~v0(x), (9)
~w(0, x) = ~w0(x), (10)
ζ(0, x1, x2) = ζ0(x1, x2). (11)
Отметим, что данная задача является близкой к задаче о малых движени-
ях частично диссипативной гидросистемы в открытом сосуде (см. [5], а также
[6], п. 10.2.).
2. Применение метода ортогонального проектирования.
32 В.И. Войтицкий
Будем использовать сейчас некоторые подходы из [3], гл. 2, к исследованию
задачи (1)–(11). Будем считать что начально-краевая задача имеет решение, и
в любой момент времени t имеем
~v, ~w ∈ ~L2(Ω), ‖~v‖2
~L2(Ω)
:=
∫
Ω
|~v|2dΩ <∞. (12)
Требование (12) означает, что в любой момент времени жидкость обладает
конечной кинетической энергией.
При исследовании малых движений жидкости в открытом сосуде есте-
ственно использовать модифицированное разложение Г. Вейля (см. [3], п.2.1):
~L2(Ω) = ~J0(Ω) ⊕ ~G(Ω) = ~J0(Ω) ⊕ ~Gh,S(Ω) ⊕ ~G0,Γ(Ω) =: ~J0,S(Ω) ⊕ ~G0,Γ(Ω). (13)
Здесь
~J0(Ω) := {~u ∈ ~L2(Ω) : div ~u = 0 (в Ω), ~u · ~n = 0 (на ∂Ω)}, (14)
~J0,S(Ω) := {~u ∈ ~L2(Ω) : div ~u = 0 (в Ω), ~u · ~n = 0 (на S}, (15)
являются подпространствами пространства соленоидальных полей ~J(Ω), а ~G(Ω)
— пространство потенциальных полей, разлагающееся в прямую сумму (см. [3],
с. 106) подпространств
~Gh,S(Ω) := {~u = ∇p : ∆p = 0 (в Ω),
∂p
∂n
= 0 (на S)}, (16)
~G0,Γ(Ω) := {~u = ∇p : p = 0 (на Γ)}. (17)
Потенциалы полей из ~G(Ω) = ~Gh,S(Ω) ⊕ ~G0,Γ принадлежат пространству
H1(Ω) = H1
h,S(Ω) ⊕ H1
0,Γ(Ω), где H1
h,S(Ω) — подпространство потенциалов по-
лей из ~Gh,S(Ω), а H1
0,Γ(Ω) — подпространство потенциалов полей из ~G0,Γ(Ω).
Снабдим пространство H1(Ω) эквивалентной нормой
‖p‖2
H1(Ω) :=
∫
Ω
|∇p|2 dΩ +
(∫
Γ
p dΓ
)2
. (18)
Так как потенциалы определяются с точностью до константы, будем предпо-
лагать далее, что выполнено условие нормировки
∫
Γ
p dΓ = 0, (19)
тогда квадрат нормы потенциалов будет равен интегралу Дирихле. Множество
всех потенциалов с такой нормой будем обознать через H1
Γ(Ω).
Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости 33
Пусть P0 — ортопроектор из ~L2(Ω) на ~J0(Ω), тогда (I−P0) — ортопроектор
на ~G(Ω). Справедливо разложение сверхтекучей компоненты:
~w = P0 ~w + (I − P0)~w =: P0 ~w + ∇Φ. (20)
Действуя на обе части (2) проектором P0, имеем
∂
∂t
P0 ~w = P0
~f.
Отсюда с учётом начального условия (10) получаем, что составляющая P0 ~w
однозначно определяется начальным условием и полем внешних сил по фор-
муле
P0 ~w =
∫ t
0
(P0
~f)(τ)dτ + P0 ~w
0. (21)
По условию задачи ~w ∈ ~J0,S(Ω) = ~J0(Ω) ⊕ ~Gh,S(Ω). Отсюда и из (20) сле-
дует, что ∇Φ ∈ ~Gh,S(Ω). Потенциал Φ ∈ H1
Γ(Ω) является решением задачи
Неймана для уравнения Лапласа
∆Φ = 0 (в Ω),
∂Φ
∂n
= 0 (на S),
∂Φ
∂n
= ~v · ~n = ~wn · ~n =: ψ (на Γ). (22)
Согласно теореме Гальярдо (см. [7]) для области Ω с липшицевой границей
оператор следа
γΓΦ := Φ|Γ (23)
действует ограниченно из H1
Γ(Ω) на пространство H
1/2
Γ , где
H
1/2
Γ := H1/2(Γ) ∩ L2,Γ (24)
компактно вложено в L2,Γ := L2(Γ) ⊖ {1Γ}. Он имеет бесконечномерное ядро
H1
0,Γ(Ω).
Если пространство H
1/2
Γ снабдить эквивалентной нормой
‖ϕ‖
H
1/2
Γ
:= min
γΓΦ=ϕ
‖Φ‖H1
Γ
(Ω), (25)
то γΓ будет изометрически отображать H1
h,S(Ω) на H
1/2
Γ . Минимум в (25) до-
стигается при Φ ∈ H1
h,S(Ω).
Известно (см. [3], с. 45-46), что для любого элемента ψ ∈ H
−1/2
Γ := (H
1/2
Γ )∗
существует единственное слабое решение Φ ∈ H1
h,S(Ω) ⊂ H1
Γ(Ω) задачи (22),
которое определяется через ограниченный оператор TΓ : H
−1/2
Γ → H1
h,S(Ω).
При этом оператор TΓ является сопряжённым к оператору следа в смысле
тождества
(Φ, TΓψ)H1(Ω) = 〈γΓΦ, ψ〉L2,Γ
, ∀Φ ∈ H1(Ω), ∀ψ ∈ H
−1/2
Γ . (26)
34 В.И. Войтицкий
Здесь косыми скобками обозначено значение функционала ψ на элементе γΓΦ.
Таким образом, решение задачи (22) находится по формуле
Φ = TΓψ = TΓ(~v · ~n). (27)
Отсюда
Φ|Γ = γΓΦ = γΓTΓψ = CΓ(~v · ~n) (на Γ). (28)
Оператор CΓ := γΓTΓ действует непрерывным образом из H
−1/2
Γ в H
1/2
Γ , а его
сужение на L2,Γ является компактным (в силу компактности вложения H
1/2
Γ в
L2,Γ) самосопряжённым положительным оператором в L2,Γ. При этом обрат-
ный положительно определённый оператор C−1
Γ является оператором гильбер-
товой пары (H
1/2
Γ ;L2,Γ) (см. [3], с. 41).
Пусть теперь (I−P0)~f =: ∇f . Действуя проектором (I−P0) на уравнение
(2), получаем
∇
(
∂Φ
∂t
+
1
ρs
ps − f
)
= 0,
отсюда
∂Φ
∂t
+
1
ρs
ps = f + c(t), (29)
где c(t) — произвольная функция времени. Равенство (29) — это интеграл
Коши-Лагранжа, из которого можно найти ps. По определению оператора сле-
да должно выполняться включение γΓps ∈ H
1/2
Γ ⊂ L2,Γ. Очевидно, оно выпол-
нено, если f1 := f |Γ + c(t) ∈ L2,Γ, т.е.
c(t) = −
∫
Γ
f(t, x1, x2, 0)dΓ.
Отсюда
f1 = f(t, x1, x2, 0) −
∫
Γ
f(t, x1, x2, 0)dΓ. (30)
Из (29), (28) следует, что
γΓps = ps|Γ = −ρs
∂Φ
∂t
∣∣∣
Γ
+ ρsf1 = −ρs
∂
∂t
(CΓ(~v · ~n)) + ρsf1 ∈ H
1/2
Γ . (31)
Из проделанных выше построений следует, что поле сверхтекучей компо-
ненты скорости
~w = P0 ~w + ∇Φ =
∫ t
0
(P0
~f)(τ)dτ + P0 ~w
0 + ∇TΓγn~v, (32)
а также давление
ps = −ρs
∂Φ
∂t
+ ρs(f + c(t)) = −ρs
∂
∂t
(TΓγn~v) + ρs(f + c(t)), (33)
Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости 35
однозначным образом определяются по полю внешних сил ~f ∈ ~L2(Ω), по на-
чальным данным ~w0(x) ∈ ~L2(Ω) и по значению нормальной компоненты поля
~v на границе Γ:
γn~v := (~v · ~n)|Γ = (v3)
∣∣
Γ
. (34)
Известно, что оператор γn, заданный на ~J1
0,S(Ω), действует ограниченно на
H
1/2
Γ , либо компактно в L2,Γ (см. [3], с. 114).
Таким образом, проделанные преобразования позволяют исключить из ис-
ходной начально-краевой задачи уравнения и слагаемые, содержащие сверхте-
кучую компоненту скорости. Заметим, однако, что начальные данные ~w0(x) не
могут быть произвольными, а связаны с ~v0(x) условием согласования ~w0 · ~n =
~v0 · ~n (на Γ).
Будем использовать теперь модифицированное разложение Вейля (13) при-
менительно к нормальной компоненте скорости ~v. Введем ортопроекторы P0,S
и P0,Γ из ~L2(Ω) на подпространства ~J0,S(Ω) и ~G0,Γ(Ω) соответственно. Из усло-
вия задачи следует, что ~v ∈ ~J0,S(Ω). Поэтому, действуя проектором P0,Γ на
уравнение (1), получаем
1
ρn
P0,Γ∇pn = νP0,Γ∆~v + P0,Γ
~f. (35)
Из этого уравнения поле P0,Γ∇pn однозначно определяется по полю ~v.
Действуя теперь на обе части уравнения (1) проектором P0,S , получаем
∂~v
∂t
= −∇p̃n + νP0,S∆~v + P0,S
~f, (36)
где ∇p̃n := (1/ρn)P0,S∇pn. Так как потенциал поля P0,Γ∇pn обращается в нуль
на Γ, то p̃n|Γ = (1/ρn)pn|Γ. Кроме этого, в силу разложения ~J0,S(Ω) = ~J0(Ω) ⊕
~Gh,S(Ω), имеем ∇p̃n ∈ ~Gh,S(Ω), поэтому
∆p̃n = 0 (в Ω),
∂p̃n
∂n
= 0 (на S),
∫
Γ
p̃n dΓ = 0. (37)
Таким образом, разрешимость исходной задачи (1)–(11) сводится к разре-
шимости следующей проблемы:
−νP0,S∆~v + ∇p̃n = ~Φ(:= P0,S
~f −
∂~v
∂t
) (в Ω), (38)
div~v = 0 (в Ω), ~v = ~0 (на S), (39)
ντi3(~v) = 0, i = 1, 2, (на Γ), (40)
−p̃n + ντ33(~v) = −ψ(:= −
ρ
ρn
gζ −
ρs
ρn
∂
∂t
(CΓγn~v) +
ρs
ρn
f1) (на Γ), (41)
∂ζ
∂t
= γn~v (на Γ),
∫
Γ
ζ dΓ = 0, (42)
~v(0, x) = ~v0(x), ζ(0, x1, x2) = ζ0(x1, x2). (43)
36 В.И. Войтицкий
Здесь через
τij(~v) :=
∂vj
∂xi
+
∂vi
∂xj
, i, j = 1, 2, 3, (44)
обозначены компоненты тензора деформации нормальной компоненты жидко-
сти. Краевое условие (41) получено с учётом соотношения (31). Неизвестными
в задаче считаем поле ~v ∈ ~J0,S(Ω) и функцию ζ ∈ L2,Γ, определяемые по пра-
вым частям ~Φ ∈ ~J0,S(Ω) и ψ ∈ H
1/2
Γ ⊂ L2,Γ. Элемент ψ ∈ H
1/2
Γ , поскольку все
определяющие его слагаемые принадлежат H
1/2
Γ . Поле давлений ∇p̃n ∈ ~Gh,S(Ω)
однозначно определяется через поле ~v из условий (37) и (41).
Заметим, что задача (38)–(43) является в точности задачей о малых дви-
жениях вязкой жидкости в открытом сосуде при ρs = 0. Такая задача изуча-
лась ранее в большой серии работ (см., например, [3], [6], [8]). Применим сейчас
используемые ранее подходы к исследуемой задаче в случае ρs ≥ 0.
3. О формуле Грина для задачи Стокса.
Воспользуемся сейчас обобщенной формулой Грина для задачи Стокса,
полученной в [9] на основе абстрактной формулы Грина.
Будем считать, что решение ~v задачи (38)–(43) обладает большей гладко-
стью, чем произвольный элемент из ~J0,S(Ω). Именно, предположим, в любой
момент времени t поле ~v является функцией со значениями в подпространстве
~J1
0,S(Ω) := {~u ∈ ~H1(Ω) : div ~u = 0 (в Ω), ~u = ~0 (на S)} (45)
пространства векторных полей
~H1(Ω) = {~u =
3∑
i=1
ui~ei, ui ∈ H1(Ω) (i = 1, 2, 3)}, ‖~u‖2
~H1(Ω)
=
3∑
i=1
‖ui‖
2
H1(Ω).
(46)
Наличие вязких сил приводит к диссипации энергии в жидкости, скорость
которой вычисляется по формуле
ρnνE(~v,~v) :=
1
2
ρnν
∫
Ω
3∑
i,j=1
|τij(~v)|
2dΩ. (47)
С помощью неравенства Корна (см., например, [3], п. 2.2.6) можно доказать,
что введенная посредством (47) квадратичная форма E(~u, ~u) на подпростран-
стве ~J1
0,S(Ω) определяет норму, эквивалентную стандартной норме простран-
ства ~H1(Ω). Будем считать далее, что подпространство ~J1
0,S(Ω) снабжено соот-
ветствующим скалярным произведением
E(~u,~v) =
1
2
∫
Ω
3∑
i,j=1
τij(~u)τij(~v)dΩ. (48)
Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости 37
Известно (см. [8], с. 17, [3], с. 155, а также [10]), что для элементов
~u ∈ ~C2(Ω) ∩ ~J1
0,S(Ω), ~v ∈ ~C1(Ω) ∩ ~J1
0,S(Ω), ∇p ∈ ~G(Ω), (49)
справедлива формула Грина для задачи Стокса
∫
Ω
(∇p− P0,S∆~u) · ~v dΩ = E(~u,~v) −
∫
Γ
3∑
i=1
(τi3(~u) − pδi3)vi dΓ, (50)
где δij — символ Кронекера.
Для дальнейших рассмотрений, однако, удобно пользоваться более общей
формулой, полученной в [9] на базе абстрактной формулы Грина
〈η, Lu〉E = (η, u)F − 〈γη, ∂u〉G, ∀η, u ∈ F. (51)
В [9] доказано (см. также [3], [11]–[13]), что формула Грина (51) однозначным
образом строится по произвольным сепарабельным гильбертовым простран-
ствам E,F,G и ограниченному абстрактному оператору следа γ : F → R(γ) =:
G+, если выполнены условия: 1) F ограниченно (плотно) вложено в E; 2) G+
ограниченно вложено в G. В (51) выражения в косых скобках являются значе-
ниями функционалов Lu ∈ F ∗ и ∂u ∈ (G+)∗, действующх на элементы v ∈ F и
γv ∈ G+ соответственно.
Решение ~v задачи (38)–(41) ищем в подпространстве ~J1
0,S(Ω) = F , плотно
вложенном в ~J0,S(Ω) = E. Так как из условия сохранения объема и кинемати-
ческого условия следует, что
∫
Γ
v3 dΓ =
∫
Γ
γn~v dΓ = 0, (52)
то по теореме Гальярдо (см. [7]) оператор следа
γ~v := ~v
∣∣
Γ
, (53)
ограниченно действует из ~J1
0,S(Ω) на H1/2(Γ) × H1/2(Γ) × H
1/2
Γ = G+, причём
G+ компактно вложено в пространство L2(Γ) ⊕ L2(Γ) ⊕ L2,Γ = G (см. [9]).
Таким образом, выполняются все условия существования формулы Грина
вида (51) для данным образом выбранных пространств E,F,G и оператора
следа γ. В [9] доказано, что в этом случае мы получаем обобщение формулы
Грина (50) для задачи Стокса:
〈~η,∇p− νP0,S∆~v〉~L2(Ω) =
= E(~η, ν~v) − 〈γ~η,
3∑
i=1
(τi3(ν~v) − pδi3)~ei〉L2(Γ), ∀~η,~v ∈ ~J1
0,S(Ω), (54)
38 В.И. Войтицкий
причём формула (54) справедлива для любого (не обязательно связанного с ~v)
поля p ∈ H1
h,S(Ω). Она является частным случаем абстрактной формулы Грина
(51) при
L(ν~v) = −νP0,S∆~v + ∇p̃n ∈ ( ~J1
0,S(Ω))∗, (55)
∂(ν~v) =
3∑
i=1
(τi3(ν~v) − pδi3)~ei ∈ (H1/2(Γ))∗ × (H1/2(Γ))∗ × (H
1/2
Γ )∗. (56)
4. Вспомогательные краевые задачи.
Будем искать решение задачи (38)–(43) в виде суммы решений вспомога-
тельных краевых задач.
Итак, пусть ∇p̃n = ∇p1 + ∇p2, где p1 ∈ H1
h,S(Ω):
∆p1 = 0 (в Ω),
∂p1
∂n
= 0 (на S),
∫
Γ
p1 dΓ = 0, (57)
— поле давлений задачи (первой вспомогательной задачи С.Г. Крейна):
−νP0,S∆~v + ∇p1 = ~Φ −∇p2, div~v = 0 (в Ω), (58)
~v = ~0 (на S), (59)
ντi3(~v) = 0, i = 1, 2, (на Γ), (60)
−p1 + ντ33(~v) = 0 (на Γ), (61)
а p2 ∈ H1
h,S(Ω) — решение задачи Зарембы для уравнения Лапласа
∆p2 = 0 (в Ω),
∂p2
∂n
= 0 (на S), p2 = ψ (на Γ). (62)
Очевидно, что если задачи (58)–(61) и (62) имеют решения, то тогда поле дав-
лений p̃n = p1 + p2 и поле скорости ~v (решение задачи (58)–(61)) являются
решениями задачи (38)–(43).
Лемма 4.1. Задача (58)–(61) имеет единственное решение ν~v = A−1(~Φ −
∇p2) ∈ D(A) ⊂ ~J1
0,S(Ω) (p1 определяется через ~v) для любой правой части
~Φ − ∇p2 ∈ ~J0,S(Ω), где оператор задачи A : D(A) → ~J0,S(Ω) является само-
сопряжённым положительно определённым оператором гильбертовой пары
( ~J1
0,S(Ω); ~J0,S(Ω)).
Доказательство. Действительно, обозначим через A оператор задачи
(58)–(61). Пользуясь обозначениями (55)–(56), получаем, что A определяется
из соотношений A~v = L~v, ~v ∈ D(A) := {~v ∈ ~J1
0,S(Ω) : ∂~v = ~0}. Очевидно, что
задача (58)–(61) записывается кратко в виде
A(ν~v) = ~Φ −∇p2 ∈ ~J0,S(Ω). (63)
Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости 39
Cогласно формуле Грина (54) для оператора A выполнено тождество
〈~η,A~v〉~L2(Ω) = E(~η,~v), ∀~η ∈ ~J1
0,S(Ω), ∀~v ∈ D(A). (64)
Поскольку A~v ∈ ~J0,S(Ω), то от функционалов в левой части (64) можно пе-
рейти к скалярному произведению. Отсюда получаем тождество, из которого
однозначно определяется оператор гильбертовой пары ( ~J1
0,S(Ω); ~J0,S(Ω)) (см.,
например, [9]). Следовательно, оператором этой пары является построенный
оператор A. Он является положительно определённым самосопряжённым опе-
ратором в пространстве ~J0,S(Ω). Отсюда существует обратный ограниченный
в ~J0,S(Ω) оператор A−1 (можно доказать, что он является даже компактным).
Тогда из (63) следует, что задача (58)–(61) имеет единственное решение, кото-
рое находится по формуле ν~v = A−1(~Φ −∇p2).
2
Лемма 4.2. Задача (62) имеет единственное решение p2 ∈ H1
h,S(Ω) для любой
правой части ψ ∈ H
1/2
Γ . При этом ∇p2 = Gψ, где оператор G осуществляет
изометрию между H
1/2
Γ и ~Gh,S(Ω).
Доказательство. Выше мы упоминали, что оператор следа γΓ изометри-
чески отображает подпространство H1
h,S(Ω) на H
1/2
Γ с нормой (25). Отсюда об-
ратный к нему оператор будет определять единственное решение p2 ∈ H1
h,S(Ω)
задачи (62) для любой правой части ψ ∈ H
1/2
Γ , при этом
‖Gψ‖~L2(Ω) =
∫
Ω
|∇p2|
2 dΩ = ‖p2‖H1
Γ
(Ω) = ‖γΓp2‖H
1/2
Γ
= ‖ψ‖
H
1/2
Γ
. (65)
2
Таким образом, согласно Леммам 4.1 и 4.2 получаем, что решение задачи
(38)–(43) удовлетворяет соотношению ν~v = A−1(~Φ − ∇p2) = A−1(~Φ +G(−ψ)).
Применяя теперь к обеим частям полученного равенства оператор A и вспоми-
ная определения выражений ~Φ и (−ψ), получаем, что задача (38)–(43) равно-
сильна системе дифференциальных уравнений
d~v
dt
+ νA~v +
(
ρg
ρn
)
Gζ +
ρs
ρn
G
d
dt
(CΓγn)~v =
ρs
ρn
Gf1 + P0,S
~f, (66)
dζ
dt
= γn~v, (67)
~v(0) = ~v0(x), ζ(0) = ζ0(x1, x2). (68)
Здесь уравнение (66) рассматривается в пространстве ~J0,S(Ω), а (67) — в про-
странстве L2,Γ. При этом, для решений задачи ~v ∈ D(A), а ζ ∈ H
1/2
Γ . Последнее
включение выполняется в силу условия (67), поскольку оператор следа γn, за-
данный в (53), действует ограниченно из ~J1
0,S(Ω) на H
1/2
Γ . Оказывается, что
40 В.И. Войтицкий
этот оператор можно расширить на пространство ~J0,S(Ω). При этом справед-
ливо утверждение
Лемма 4.3. Операторы γn : ~J0,S(Ω) → H
−1/2
Γ и G : H
1/2
Γ → ~Gh,S(Ω) ⊂ ~J0,S(Ω)
являются взаимно сопряженными ограниченными операторами.
Доказательство. Действительно, поскольку оператор нормальной про-
изводной
∂Φ
∂n
: H1
h,S(Ω) → H
−1/2
Γ (69)
осуществляет изометрию между указанными пространствами (см. [3], с. 46),
то оператор следа γn действует ограниченным образом из ~Gh,S(Ω) на H
−1/2
Γ .
Имеем,
γn~v = ~v · ~n = ∇Φ · ~n = (∂Φ)/(∂n) ∈ H
−1/2
Γ , ∀Φ ∈ H1
h,S(Ω). (70)
Так как ~J0,S(Ω) = ~J0(Ω) ⊕ ~Gh,S(Ω) и на элементах ~v ∈ ~J0(Ω) : γn~v = 0, то
оператор γn : ~J0,S(Ω) → H
−1/2
Γ является ограниченным.
Далее, абстрактная формула Грина (51) в случае E = L2(Ω), F = H1
Γ(Ω),
G = L2,Γ, γΓ : H1
Γ(Ω) → G+ = H
1/2
Γ ⊂ G даёт обобщение формулы Грина для
оператора Лапласа в виде
〈p,−∆Φ〉L2(Ω) = (p,Φ)H1
Γ
(Ω) − 〈γΓp,
∂Φ
∂n
〉L2,Γ
, ∀p,Φ ∈ H1
Γ(Ω). (71)
Пусть в ней p,Φ ∈ H1
h,S(Ω), тогда ∆Φ = 0. Обозначая γΓp =: ψ ∈ H
1/2
Γ , получа-
ем тождество
(Gψ,~v)~L2(Ω)
=
∫
Ω
∇p · ∇Φ dΩ = (p,Φ)H1
Γ
(Ω) =
= 〈γΓp,
∂Φ
∂n
〉L2,Γ
= 〈ψ, γn~v〉L2,Γ
, ∀ψ ∈ H
1/2
Γ , ∀~v ∈ ~Gh,S(Ω). (72)
Тождество (72) остаётся верным и при ~v ∈ ~J0(Ω), поскольку в этом случае
γn~v = 0, а (GΨ, ~v)~L2(Ω) = 0 в силу ортогональности подпространств ~Gh,S(Ω) и
~J0(Ω). 2
Так как согласно Лемме 4.3 оператор γn действет ограниченно из ~J0,S(Ω)
на H
−1/2
Γ , а оператор CΓ ограниченно переводит H
−1/2
Γ в H
1/2
Γ , то оператор
CΓγn : ~J0,S(Ω) → H
1/2
Γ является ограниченным. Следовательно, он коммути-
рует с оператором дифференцирования по времени, и в (66) возникает оператор
J := I +
ρs
ρn
GCΓγ : ~J0,S(Ω) → ~J0,S(Ω), (73)
Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости 41
действующий на элемент d~v/dt. Так как оператор CΓ самосопряжён и положи-
телен, а операторы γn и G являются взаимно сопряжёнными и ограниченны-
ми, то оператор J является ограниченным самосопряжённым и положительно
определённым. Отсюда обратный J−1 также является ограниченным самосо-
пряжённым положительно определённым оператором в ~J0,S(Ω).
Обозначая α := (ρg)/ρn и умножая обе части (67) на α, получаем оператор-
но-матричную формулировку системы дифференциальных уравнений (66)–(68)
в гильбертовом пространстве H := ~J0,S(Ω) ⊕ L2,Γ:
(
J 0
0 αIΓ
)
d
dt
(
~v
ζ
)
+
(
νA αG
−αγ 0
)(
~v
ζ
)
= F0(t). (74)
Здесь IΓ — единичный оператор в L2,Γ, F0(t) := (P0,S
~f + ρs
ρn
Gf1; 0)
t ∈ H.
5. Исследование дифференциального уравнения в гильбер-
товом пространстве.
Введём операторные матрицы
J :=
(
J 0
0 αIΓ
)
, D(J ) := H, A :=
(
νA αG
−αγ 0
)
, D(A) := D(A) ⊕D(G),
(75)
действующие на элементы X(t) := (~v(t); ζ(t))t ∈ H. Тогда задачу (74) можно
записать в краткой форме
J
d
dt
X(t) + AX(t) = F0(t), X(0) =
(
~v0
ζ0
)
. (76)
Очевидно, оператор J обладает теми же свойствами, что и оператор J , т.е.
является ограниченным и ограниченно обратимым самосопряжённым и поло-
жительно определённым в H. Из взаимной сопряжённости операторов γn и G
следует аккретивность оператора A:
Re(AX,X)H = ν‖A1/2~vn‖
2
~J0,S(Ω)
≥ 0. (77)
Чтобы получить задачу с равномерно аккретивным оператором, введём
новую неизвестную функцию
Y (t) := (ṽ; ζ̃)t = e−tX(t). (78)
Подставляя X(t) = etY (t) в (76), после умножения обеих частей на e−t прихо-
дим к дифференциальному уравнению
J
d
dt
Y (t) + (A + J )Y (t) = F1(t), F1(t) := F0(t)e
−t, Y (0) = X(0), (79)
42 В.И. Войтицкий
с равномерно аккретивным в H оператором
AJ := A + J =
(
νA+ J αG
−αγ αIΓ
)
, D(AJ ) = D(A) ⊕D(G). (80)
В силу свойства νA+ J ≥ I получаем, что
Re(AJ Y, Y )H ≥ min{1;α}‖Y ‖2
H. (81)
Обозначим
Q := αγnA
−1/2 : ~J0,S(Ω) → L2,Γ, Q+ := αA−1/2G : H
1/2
Γ → ~J0,S(Ω). (82)
Можно проверить, что оператор AJ допускает факторизацию
AJ =
(
A1/2 0
0 IΓ
)(
νI +A−1/2JA−1/2 Q+
−Q αIΓ
)(
A1/2 0
0 IΓ
)
. (83)
Лемма 5.1. Оператор Q является компактным. При этом Q+ ⊂ Q∗, Q+ =
Q∗
∣∣
D(G)
, Q+ = Q∗.
Доказательство. Так как оператор A−1/2 действует непрерывно из ~J0,S(Ω)
в ~J1
0,S(Ω), а оператор γn : ~J1
0,S(Ω) → L2,Γ является компактным, то их произ-
ведение является компактным оператором.
Для всех ~v ∈ ~J0,S(Ω), ζ ∈ D(G) справедливо тождество
(Q~v, ζ)L2,Γ
= (αγnA
−1/2~v, ζ)L2,Γ
= (αA−1/2~v,Gζ) ~J0,S(Ω) =
= (~v, αA−1/2Gζ) ~J0,S(Ω) = (~v,Q+) ~J0,S(Ω). (84)
Отсюда Q+ = Q∗
∣∣
D(G)
. Так как оператор Q является ограниченным, то опе-
ратор Q∗ : L2,Γ → ~J0,S(Ω) также является ограниченным. Поскольку D(G) =
H
1/2
Γ является плотным множеством в L2,Γ, то оператор Q+ при замыкании
даёт Q∗. 2
Оператор AJ задан на плотном в H множестве D(AJ ) = D(A)⊕D(G). Он
может быть расширен (замкнут) до максимального равномерно аккретивного
оператора в H.
Лемма 5.2. Оператор
Am := AJ , D(Am) := {Y (t) = (ṽ; ζ̃)t : νṽ +A−1/2Q∗ζ̃ ∈ D(A)}, (85)
Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости 43
является максимальным равномерно аккретивным оператором в H. Он до-
пускает факторизацию в форме
Am =
(
A1/2 0
0 IΓ
)(
νI +A−1/2JA−1/2 Q∗
−Q αIΓ
)(
A1/2 0
0 IΓ
)
. (86)
Доказательство. Действительно, замыкание оператора AJ в силу пред-
ставления (83) эквивалентно замене элемента Q+ оператором Q∗, поскольку в
(83) все остальные элементы являются замкнутыми операторами. Для замкну-
того оператора Am выполняются свойства D(A−1
m ) = R(Am) = H, D(Am) =
R(A−1
m ). Значит, областью определения оператора Am являются все элементы
Y ∈ H для которых AmY ∈ H.
Имеем, Y = (ṽ; ζ̃)t ∈ D(diag{A1/2; IΓ}), отсюда ṽ ∈ D(A1/2). Далее, из
включения
(
νI +A−1/2JA−1/2 Q∗
−Q αIΓ
)(
A1/2ṽ
ζ̃
)
∈ D(diag{A1/2; IΓ}) (87)
следует, что νA1/2ṽ +A−1/2Jṽ +Q∗ζ̃ ∈ D(A1/2). Очевидно, это условие выпол-
нено, если
νṽ +A−1/2Q∗ζ̃ ∈ D(A). (88)
Поскольку A−1/2Q∗ζ̃ ∈ D(A1/2), то из справедливости (88) условие ṽ ∈
D(A1/2) следует автоматически. Таким образом, AmY ∈ H для всех Y ∈ H,
для которых выполняется (88). 2
Перейдём от задачи (79) к задаче
J
d
dt
Y (t) + AmY (t) = F1(t), Y (0) = X(0). (89)
Подействуем на обе части (89) ограниченным оператором J−1. Так как опе-
ратор J является ограниченным и ограниченно обратимым положительным
оператором, то скалярное произведение
〈Y,Z〉 := (J Y,Z)H (90)
определяет в H эквивалентную норму.
Итак, получаем задачу
d
dt
Y (t) = −J−1AmY (t) + J −1F1(t), Y (0) = X(0) = (~v0; ζ0)t, (91)
с максимальным равномерно диссипативным оператором −J−1Am в скаляр-
ном произведении (90). Именно, согласно (81) имеем
Re〈−J−1AmY, Y 〉 = −Re(AmY, Y ) ≤ −min{1;α}‖Y ‖2
H. (92)
44 В.И. Войтицкий
Следовательно (см. [14], гл. 1, теорема 4.5), оператор −J−1Am является
генератором сжимающей C0-полугруппы операторов {U(t)}t≥0. Пусть в задаче
(91) выполнено условие Y (0) ∈ D(Am), т.е.
ν~v0 +A−1/2Q∗ζ0 ∈ D(A). (93)
Тогда согласно теореме Р.С. Филлипса (см. также [14], гл. 1, теорема 6.5) задача
(91) при любой функции
J−1F1(t) ∈ C1([0;T ];H) (94)
является корректно поставленной задачей Коши, при этом единственное ее
сильное на отрезке [0;T ] решение Y (t) выражается формулой
Y (t) = U(t)Y (0) +
∫ t
0
U(t− s)J −1F1(t) ds. (95)
Под сильным на отрезке [0;T ] решением задачи (91) понимается функция Y (t)
такая, что выполнено уравнение и начальное условие, причём все слагаемые в
(91) являются непрерывными функциями времени t ∈ [0;T ] со значениями в
гильбертовом пространстве H, т.е. Y (t) ∈ C([0;T ],D(Am)) ∩ C1([0;T ],H).
Теорема 5.1. О разрешимости финальной задачи. Пусть выполнены
условия:
1◦. ~v0 ∈ D(A);
2◦. ζ0 ∈ H
1/2
Γ ;
3◦. P0,S
~f+
ρs
ρn
Gf1 ∈ C1([0;T ]; ~J0;S(Ω)), тогда финальная задача (91) имеет
единственное сильное на отрезке [0;T ] решение Y (t) вида (95).
Доказательство. Действительно, второе условие эквивалентно тому, что
ζ0 ∈ D(G). Отсюда согласно лемме 5.1 имеем A−1/2Q∗ζ0 = αA−1Gζ0 ∈ D(A).
Так как согласно условию 1◦ имеем ~v0 ∈ D(A), то ν~v0 + A−1/2Q∗ζ0 ∈ D(A).
Следовательно, Y (0) ∈ D(Am).
Из условия 3◦ следует, что F0(t) = (P0,S
~f + ρs
ρn
Gf1; 0)
t ∈ C1([0;T ];H). То-
гда в силу ограниченности оператора J−1 имеем J−1F1(t) = J−1F0(t)e
−t ∈
C1([0;T ];H). Таким образом, при выполнении условий 1◦–3◦ для задачи (91)
выполняются все условия теоремы Филлипса, т.е. задача (91) имеет единствен-
ное сильное решение на отрезке [0;T ]. 2
Теорема 5.2. При выполнении условий 1◦–3◦ теоремы 5.1 сильное решение
задачи (91) является также единственным сильным решением задачи (79).
Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости 45
Доказательство. Согласно Теореме 5.1 при выполнении условий 1◦–3◦
существует единственное сильное решение задачи (91). Действуя на обе ча-
сти (91) ограниченным оператором J , получаем, что задача (89) имеет един-
ственное сильное решение Y (t) = (ṽ; ζ̃)t ∈ H. Запишем уравнение (89) в виде
системы:
J
d
dt
ṽ + Jṽ +A
(
νṽ +A−1/2Q∗ζ̃
)
= e−tP0,S
~f + e−t ρs
ρn
Gf1, (96)
α
d
dt
ζ̃ −QA1/2ṽ + αζ̃ = 0, (97)
ṽ(0) = ~v0(x), ζ̃(0) = ζ0(x1, x2). (98)
Заметим, что, вообще говоря, скобки в (96) пока раскрыть нельзя, поскольку
сумма νṽ + A−1/2Q∗ζ̃ ∈ D(A), но каждое слагаемое в отдельности может не
принадлежать D(A). Однако сейчас будет показано, что для решений задачи
(89) все же ζ̃ ∈ D(G), ṽ ∈ D(A), т.е. Y (t) ∈ D(AJ ) = D(A) ⊕ D(G), и значит
решение задачи (89) является также решением задачи (79).
Действительно, умножим обе части (97) на et. Получаем
α
d
dt
(etζ̃) = etQA1/2ṽ. (99)
Отсюда ζ̃ = (1/α)
∫ t
0 e
−(t−s)QA1/2ṽ ds + ζ0. Подставляя в это выражение Q =
αγnA
−1/2, получаем
ζ̃ =
∫ t
0
e−(t−s)γnṽ ds+ ζ0. (100)
Так как ṽ ∈ D(A1/2) = ~J1
0,S(Ω), то γnṽ ∈ H
1/2
Γ . Согласно условиям теоремы
5.1 имеем ζ0 ∈ H
1/2
Γ , поэтому из (100) следует, что ζ̃ ∈ H
1/2
Γ = D(G). Тогда
в силу свойства Q∗|D(G) = Q+ получаем νṽ + A−1/2Q∗ζ̃ = νṽ + A−1/2Q+ζ̃ =
νṽ + αA−1Gζ̃ ∈ D(A). Отсюда ṽ ∈ D(A). Что и требовалось доказать. 2
Определение 5.1. Будем говорить, что заданных начальных данных (9)–
(11) и поля внешних сил ~f исходная начально-краевая задача (1)–(11) имеет
сильное на отрезке [0;T ] решение, если существуют единственные функции
~v(t) ∈ C([0;T ],D(A)) ∩ C1([0;T ], ~J0,S(Ω)), (101)
~w(t) ∈ C1([0;T ], ~J0,S(Ω)), (102)
ζ(t) ∈ C([0;T ],H
1/2
Γ ) ∩ C1([0;T ], L2,Γ), (103)
удовлетворяющие уравнению (1) в смысле распределений, а всем остальным
соотношениям (1)–(11) в смысле равенств (для всех t ∈ [0;T ]) элементов из
соответствующих гильбертовых пространств. При этом в уравнении (2) и
46 В.И. Войтицкий
краевом условии (8) все слагаемые являются непрерывными функциями време-
ни со значениями в соответствующих гильбертовых пространствах ~J0,S(Ω)
и L2,Γ, а элементы ~v(t) и ζ(t) являются сильным решением спроектированной
задачи (38)–(43). Это значит, что для всех t ∈ [0;T ] выполняются начальные
условия (43) и соотношения (39), уравнение (38) в пространстве ~J0,S(Ω), кра-
евые условия (40)–(42) в пространстве L2,Γ, причем все слагаемые в уравнении
(38) являются непрерывными функциями времени со значениями в ~J0,S(Ω).
На основании проделанных рассмотрений получаем утверждение о раз-
решимости исходной начально-краевой задачи о малых движениях тяжёлой
сверхтекучей жидкости в открытом сосуде.
Теорема 5.3. О разрешимости исходной начально-краевой задачи.
Пусть в задаче (1)–(11) выполнены условия
1◦. ~v0(x) ∈ D(A) ⊂ ~J1
0,S(Ω), где D(A) — область определения оператора
Стокса (оператора первой вспомогательной задачи (58)–(61));
2◦. ~w0(x) ∈ ~L2(Ω), такой, что на Γ выполнено условие согласования ~w0 ·
~n = ~v0 · ~n;
3◦. ζ0(x) ∈ H
1/2
Γ = H1/2(Γ) ∩ L2,Γ, L2,Γ = L2(Γ) ⊖ {1Γ};
4◦. ~f ∈ C([0;T ]; ~L2(Ω)), причём P0,S
~f+
ρs
ρn
Gf1 ∈ C1([0;T ]; ~J0;S(Ω)), где P0,S
— проектор на подпространство соленоидальных полей ~J0;S(Ω) (см. (15)), а
f1 ∈ H
1/2
Γ определяется по полю ~f через (30).
Тогда исходная начально-краевая задача (1)–(11) имеет сильное на от-
резке [0;T ] решение.
Доказательство. В Теореме 5.2 доказано существование сильного реше-
ния задачи (79) при выполнении условий 1◦, 3◦, 4◦. Осуществляя обратную
замену к (78), получаем, что задача (76) имеет единственное сильное на отрез-
ке [0;T ] решение. Это значит, что
X(t) = (~v(t); ζ(t))t ∈ C([0;T ],D(A)) ∩ C1([0;T ],H), (104)
причём для всех t ∈ [0;T ] выполняется уравнение в H и начальное условие.
Записывая операторно-матричное уравнение в виде системы, получаем,
что задача (66)–(68) имеет сильное решение. Под сильным решением здесь
понимаем функции ~v(t) и ζ(t) такие, что выполняются начальные условия
(68), уравнение (66) в пространстве ~J0,S(Ω), уравнение (67) в пространстве
L2,Γ, причём все слагаемые в уравнениях являются непрерывными функци-
ями времени со значениями в соответствующих гильбертовых пространствах.
В силу (104) для решений задачи (66)–(68) выполнены соотношения ~v(t) ∈
C([0;T ],D(A)) ∩ C1([0;T ], ~J0,S(Ω)), ζ(t) ∈ C([0;T ],H
1/2
Γ ) ∩ C1([0;T ], L2,Γ). Так
Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости 47
как задача (66)–(68) эквивалентна задаче (38)–(43), то для последней справед-
ливы аналогичные свойства, т.е. выполняются начальные условия (43), соотно-
шения (39), уравнение (38) в пространстве ~J0,S(Ω), краевые условия (40)–(42)
в пространстве L2,Γ, причем все слагаемые в уравнении (38) являются непре-
рывными функциями времени со значениями в ~J0,S(Ω).
Имеем P0,S∆~v ∈ C([0;T ], ~J0,S(Ω)). Однако, поскольку в исходной задаче
область Ω имеет липшицеву границу, то элемент ∆~v может не принадлежать
пространству ~L2(Ω) (см., например, [15]), в общем случае он является распре-
делением. Отсюда следует, что соотношение (35) выполняется в смысле рас-
пределений. Складывая его с соотношением (38), получаем что поле ~v и, опре-
деляемое через него, поле ∇pn удовлетворяют для всех t ∈ [0;T ] уравнению (1)
в смысле равенства функционалов.
Далее, при выполнении условия 2◦ поля ~w и ps восстанавливаются по зна-
чению поля ~v на границе Γ посредством формул (32), (33). Отсюда в силу
свойства ~v(t) ∈ C1([0;T ], ~J0,S(Ω)) следует, что ~w(t) ∈ C1([0;T ], ~J0,S(Ω)). По по-
строению поля ~w и ∇ps обращают уравнение (2) в верное равенство элементов
из ~L2(Ω). Условия (3), (6), а также краевые условия (5), (7)–(8) выполняются
по построению, причём последние выполняются в смысле равенства элементов
гильбертова пространства L2,Γ. 2
Автор благодарит проф. Копачевского Н.Д. за постановку задачи и руко-
водство работой.
1. Паттерман С. Гидродинамика сверхтекучей жидкости. – М.: Мир, 1978. – 520 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. – М.: Наука, 1986. – 734 с.
3. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидроди-
намике. Эволюционные и спектральные задачи. – М.: Наука, 1989. – 416 с.
4. Крейн С.Г. О колебаниях вязкой жидкости в открытом сосуде // Докл. АН СССР. – 1964.
– 159, № 2. – С. 262-265.
5. Закора Д.А. Малые движения частично диссипативной гидродинамической системы //
Межведомственный научный сборник "Динамические системы". – №15. – 1999. – С. 149-
154.
6. Kopachevsky, N. D., Krein, S. G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics.
Vol. 2: Nonselfadjoint Problems for Viscous Fluid. — Birkhäuser Verlag. – Basel – Boston –
Berlin. 2003. — 444 pp. (Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 146).
7. Gagliargo E. Caratterizzazioni delletrace sulla frontiera relative ad alaine classi di funzioni in
n variabili // Rendiconti Sem. Mat. Univ. Padova. –V.27. – 1957. – P. 284-305.
8. Azizov T.Ya., Hardt V., Kopachevsky N.D., Mennicken R. On the problem of small motions
and normal oscillations of a viscous fluid in a partially filled container. – Math. Nachr., 248,
249, 2003. pp. 3-39.
9. Копачевский Н.Д. Об абстрактной формуле Грина для тройки гильбертовых пространств
и ее приложениях к задаче Стокса // Таврический вестник информатики и математики
(ТВИМ). – №2. – 2004. – С. 52-80.
10. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.
– М.: Наука, 1961. – 204 с.
11. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г. Абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых
пространств, абстрактные краевые и спектральные задачи // Украинский матем. вестник.
48 В.И. Войтицкий
– Т. 1, № 1. – 2004. – С. 69-97.
12. Обэн Ж.-П. Приближённое решение эллиптических краевых задач. – М.: Мир, 1977. –
384 с.
13. Showalter R. Hilbert space methods for partial differential equations. – Electronic journal of
differential equations. 1994. – 214 pp.
14. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. – М.:
Наука, 1967. – 464 с.
15. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптиче-
ского типа. – М.: Наука, 1973. – 576 с.
Кафедра математического анализа
Таврического национального университета
им. В.И. Вернадского
просп. Вернадского 4
95007, г. Симферополь
victor.voytitsky@gmail.com
Получено 26.02.2009
|