О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка с абсорбцией и L¹-данными
Рассмотрена задача Дирихле для класса нелинейных уравнений дивергентного вида четвертого порядка с условием усиленной коэрцитивности на коэффициенты, абсорбцией и L¹-данными. С использованием аналога метода Стампаккья доказано существование решений этой задачи, ограниченных на множествах, где поведе...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Нелинейные граничные задачи |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124273 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка с абсорбцией и L¹-данными / М.В. Войтович // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 49-78. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124273 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242732017-10-01T17:23:19Z О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка с абсорбцией и L¹-данными Войтович, М.В. Рассмотрена задача Дирихле для класса нелинейных уравнений дивергентного вида четвертого порядка с условием усиленной коэрцитивности на коэффициенты, абсорбцией и L¹-данными. С использованием аналога метода Стампаккья доказано существование решений этой задачи, ограниченных на множествах, где поведение данных достаточно регулярно. 2009 Article О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка с абсорбцией и L¹-данными / М.В. Войтович // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 49-78. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0236-0497 MSC (2000): 35J40; 35B45 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124273 ru Нелинейные граничные задачи Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача Дирихле для класса нелинейных уравнений дивергентного вида четвертого порядка с условием усиленной коэрцитивности на коэффициенты, абсорбцией и L¹-данными. С использованием аналога метода Стампаккья доказано существование решений этой задачи, ограниченных на множествах, где поведение данных достаточно регулярно. |
| format |
Article |
| author |
Войтович, М.В. |
| spellingShingle |
Войтович, М.В. О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка с абсорбцией и L¹-данными Нелинейные граничные задачи |
| author_facet |
Войтович, М.В. |
| author_sort |
Войтович, М.В. |
| title |
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка с абсорбцией и L¹-данными |
| title_short |
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка с абсорбцией и L¹-данными |
| title_full |
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка с абсорбцией и L¹-данными |
| title_fullStr |
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка с абсорбцией и L¹-данными |
| title_full_unstemmed |
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка с абсорбцией и L¹-данными |
| title_sort |
о множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка с абсорбцией и l¹-данными |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124273 |
| citation_txt |
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка с абсорбцией и L¹-данными / М.В. Войтович // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 49-78. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Нелинейные граничные задачи |
| work_keys_str_mv |
AT vojtovičmv omnožestvahograničennostirešenijnelinejnyhuravnenijčetvertogoporâdkasabsorbciejil1dannymi |
| first_indexed |
2025-07-09T01:09:43Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:09:43Z |
| _version_ |
1837129673274818560 |
| fulltext |
Нелинейные граничные задачи 19, 49-78 (2009) 49
c©2009. М.В. Войтович
О МНОЖЕСТВАХ ОГРАНИЧЕННОСТИ РЕШЕНИЙ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С АБСОРБЦИЕЙ И L1-ДАННЫМИ
Рассмотрена задача Дирихле для класса нелинейных уравнений дивергентного вида
четвертого порядка с условием усиленной коэрцитивности на коэффициенты, абсорбцией и
L
1-данными. С использованием аналога метода Стампаккья доказано существование реше-
ний этой задачи, ограниченных на множествах, где поведение данных достаточно регулярно.
Ключевые слова: нелинейные уравнения четвертого порядка, усиленная коэрцитив-
ность, абсорбция, L1-данные, H – решение.
MSC (2000): 35J40; 35B45
Введение.
В статье рассматривается класс нелинейных уравнений дивергентного ви-
да четвертого порядка с коэффициентами, удовлетворяющими условию уси-
ленной коэрцитивности, абсорбцией и L1-данными. Модельным представите-
лем этого класса является уравнение
−
∑
|α|=1
Dα
[(
∑
|β|=1
|Dβu|2
)(q−2)/2
Dαu
]
+
∑
|α|=2
Dα
[(
∑
|β|=2
|Dβu|2
)(p−2)/2
Dαu
]
= −|u|σ−1u + f в Ω,
где Ω – ограниченное открытое множество в R
n, n > 2, 1 < p < n/2, 2p < q < n,
σ > 1 и f ∈ L1(Ω).
Существование решений задачи Дирихле для уравнений данного класса
установлено в [1]. Свойства интегрируемости этих решений рассмотрены в [2].
С использованием результатов работ [1], [2] и аналога метода Стампаккья (см.,
например [3]–[5]), в настоящей работе доказано существование решений той же
задачи, ограниченных на множествах, где поведение данных задачи достаточно
регулярно.
Отметим, что для вырожденных нелинейных уравнений четвертого по-
рядка с усиленной коэрцитивностью и L1-данными результаты подобного типа
были установлены в работах [6] и [7] c помощью некоторой модификации ме-
тода Мозера (см. [8]). При этом в [6] существенной была определенная зави-
симость между показателем роста коэффициентов уравнений по переменным,
50 М.В. Войтович
соответствующим производным первого порядка неизвестной функции, и пока-
зателем, характеризующим вложение используемых весовых пространств Со-
болева в соответствующее невесовое пространство Лебега. В работе [7] в случае
p = 2 это ограничение было снято за счет условия на показатель абсорбции σ в
соответствующем уравнении. В настоящей работе предполагается выполнение
подобного условия. Однако, если говорить о невырожденном случае, то условия
на локальную интегрируемость данных, накладываемые в настоящей работе,
являются более слабыми по сравнению с теми, которые предполагаются в [6] и
[7].
Отметим ещё, что ограниченность и непрерывность по Гельдеру обобщен-
ных решений нелинейных эллиптических уравнений и вариационные неравен-
ства высших порядков с коэффициентами, удовлетворяющими условию уси-
ленной коэрцитивности, и достаточно регулярными данными уже изучены в
[8] (невырожденный случай) и в [9] – [11] (вырожденный случай). Свойства ин-
тегрируемости обобщенных решений нелинейных уравнений высших порядков
с усиленной коэрцитивностью и правыми частями из Lt c достаточно боль-
шим t, были установлены в [3], [4]. При этом было получено более слабое по
сравнению с [8] условие на показатель суммируемости правой части уравнения,
обеспечивающее ограниченность решений.
1. Исходные предположения, используемые функциональ-
ные множества и свойства их элементов.
Пусть n ∈ N, n > 2, Ω – ограниченное открытое множество в R
n.
Через Λ обозначим множество всех n-мерных мультииндексов α таких,
что |α| = 1 или |α| = 2, а через R
n,2 – пространство всех отображений ξ : Λ → R.
Если u ∈W 2,1(Ω), то ∇2u : Ω → R
n,2, причем для любых x ∈ Ω и α ∈ Λ имеем
(∇2u(x))α = D αu(x).
Пусть p ∈ (1, n/2) и q ∈ (2p, n). Через W 1,q
2,p (Ω) обозначим множество всех
функций из W 1,q(Ω), имеющих обобщенные производные второго порядка из
Lp(Ω). Множество W 1,q
2,p (Ω) – банахово пространство с нормой
‖u‖ = ‖u‖W 1,q(Ω) +
(
∑
|α|=2
∫
Ω
|Dαu|pdx
)1/p
.
Через
◦
W 1,q
2,p(Ω) обозначим замыкание множества C∞
0 (Ω) в W 1,q
2,p (Ω).
Для любого b ∈ [1, n) положим b∗ = nb/(n− b).
Как известно (см., например [12, гл.7]),
◦
W 1,q(Ω) ⊂ Lq∗(Ω), (1)
и существует положительная постоянная c, зависящая только от n и q, такая,
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка 51
что для любой функции u ∈
◦
W 1,q(Ω)
(
∫
Ω
|u|q
∗
dx
)1/q∗
6 c
(
∑
|α|=1
∫
Ω
|Dαu|q dx
)1/q
. (2)
Теперь, так же, как и в работах [13], [1], введем множество функций
◦
H1,q
2,p(Ω),
более широкое, чем пространство
◦
W 1,q
2,p(Ω), и содержащее даже несуммируемые
локально функции.
Пусть для любого k ∈ N ψ̃k – функция на R такая, что
ψ̃k(s) = s − s k+2 +
k + 1
k + 3
s k+3, s ∈ R.
Определим для любого k ∈ N функцию h̃k ∈ C 2(R), полагая
h̃k(s) =
s, если |s| 6 k,
[
ψ̃k
(
|s|−k
k
)
+ 1
]
k sign s, если k < |s| < 2k,
2k k+2
k+3 sign s, если |s| > 2k.
Через
◦
H1,q
2,p(Ω) обозначим множество всех функций u : Ω → R, удовлетво-
ряющих условию: h̃k(u) ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) для любого k ∈ N.
Определение 1.1. Если u ∈
◦
H1,q
2,p(Ω) и α ∈ Λ, то δαu – функция на
Ω такая, что δαu = Dαh̃1(u) на {|u| 6 1} и ∀k ∈ N δαu = Dαh̃2k(u) на
{2k−1 < |u| 6 2k}.
Это определение введено в [13] и [1] и эквивалентно определению, данному
в [2] в другой форме.
Отметим, что
◦
W 1,q
2,p(Ω) ⊂
◦
H1,q
2,p(Ω), однако обратное включение, вообще го-
воря, не верно. Кроме того, если u ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω), α ∈ Λ, то δαu = Dαu п.в. на Ω
(см. [1] и [2]).
В работе будут полезны следующие вспомогательные результаты.
Лемма 1.1. Пусть u ∈
◦
H1,q
2,p(Ω), k ∈ N. Тогда:
1) если α – n-мерный мультииндекс, |α| = 1, то
Dαh̃k(u) = h̃′k(u) δ
αu п.в. на Ω;
2) если α – n-мерный мультииндекс, |α| = 2, то
|Dαh̃k(u)| 6 |δαu| + 3
∑
|β|=1
|δβu|2 п.в. на Ω.
52 М.В. Войтович
Лемма 1.2. Пусть u ∈
◦
H1,q
2,p(Ω), λ ∈ [1, q]. Пусть для любого n-мерного
мультииндекса α, |α| = 1, имеет место включение δαu ∈ Lλ(Ω). Тогда u ∈
◦
W 1,λ(Ω).
Лемма 1.3. Пусть u ∈
◦
H1,q
2,p(Ω), λ ∈ [1, p ] и для любого n-мерного муль-
тииндекса α, |α| = 1, имеет место включение δαu ∈ L2λ(Ω). Пусть для любого
n-мерного мультииндекса α, |α| = 2, имеет место включение δαu ∈ Lλ(Ω).
Тогда u ∈
◦
W 2,λ(Ω).
Лемма 1.4. Пусть u ∈
◦
H1,q
2,p(Ω)∩L1(Ω). Пусть α – мультииндекс такой,
что |α| = 1, и пусть δαu ∈ L1(Ω). Тогда существует обобщенная производная
Dαu, причем Dαu = δαu п.в. на Ω.
Лемма 1.5. Пусть u ∈
◦
H1,q
2,p(Ω)∩L1(Ω). Пусть α – мультииндекс такой,
что |α| = 2, и пусть δαu ∈ L1(Ω). Предположим еще, что
lim
k→∞
∫
{|u|>k}
|Dαh̃k(u)| dx = 0.
Тогда существует обобщенная производная Dαu, причем Dαu = δαu п.в. на
Ω.
Отметим, что леммы 1.1 – 1.3 доказаны в [2], а леммы 1.4 и 1.5 установлены
в [1].
Введем обозначение: если u ∈
◦
H1,q
2,p(Ω), то δ2u : Ω → R
n,2, причем для
любых x ∈ Ω и α ∈ Λ имеем (δ2u(x))α = δαu(x).
2. Задача Дирихле c L
1-данными и соответствующие
аппроксимирующие задачи.
Пусть c1, c2 > 0, g – неотрицательная суммируемая функция на Ω, и пусть
Aα : Ω × R
n,2 → R – функция Каратеодори для любого α ∈ Λ. Будем предпо-
лагать, что для почти всех x ∈ Ω и любых ξ ∈ R
n,2 справедливы неравенства
∑
|α|=1
|Aα(x, ξ)|q/(q−1) +
∑
|α|=2
|Aα(x, ξ)|p/(p−1)
6 c1
{
∑
|α|=1
|ξα|
q +
∑
|α|=2
|ξα|
p
}
+ g(x), (3)
∑
α∈Λ
Aα(x, ξ) ξα > c2
{
∑
|α|=1
|ξα|
q +
∑
|α|=2
|ξα|
p
}
− g(x). (4)
Кроме того, будем предполагать, что для почти всех x ∈ Ω и любых ξ, ξ′ ∈
R
n,2, имеет место неравенство
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка 53
∑
α∈Λ
[Aα(x, ξ) −Aα(x, ξ′)](ξα − ξ′α) > 0. (5)
Пусть еще F : Ω × R → R – функция Каратеодори, такая что
a) для почти всех x ∈ Ω функция F (x, ·) невозрастающая на R;
b) для любого s ∈ R функция F (·, s) принадлежит L1(Ω).
Рассмотрим следующую задачу Дирихле:
∑
α∈Λ
(−1)|α|DαAα(x,∇2u) = F (x, u) в Ω, (6)
Dαu = 0, |α| = 0, 1, на ∂Ω. (7)
Определение 2.1. H-решением задачи (6), (7) будем называть функцию
u ∈
◦
H1,q
2,p(Ω), удовлетворяющую условиям:
1) F (x, u) ∈ L1(Ω);
2) Aα(x, δ2u) ∈ L1(Ω) для любого α ∈ Λ;
3) для любой функции φ ∈ C∞
0 (Ω)
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x, δ2u) δ
αφ
}
dx =
∫
Ω
F (x, u)φdx.
Отметим, что понятие H-решения задачи (6), (7) введено в [13] и [1]. Там
же установлено существование таких решений. При этом доказательство раз-
решимости задачи (6), (7) было основано на рассмотрении последовательности
аппроксимирующих задач для уравнений с ограниченными правыми частями,
получении специальных оценок для решений этих задач и последующем пре-
дельном переходе.
Опишем рассмотренные в работе [1] аппроксимирующие задачи. С этой
целью определим для каждого i ∈ N функцию Fi : Ω × R → R равенством
Fi(x, s) = h̃i(F (x, 0) − F (x, s)), (x, s) ∈ Ω × R.
В силу свойства a) функции F имеем: если i ∈ N, то
для почти всех x ∈ Ω функция Fi(x, ·) не убывает на R. (8)
Далее, в силу свойства b) функции F имеем F (·, 0) ∈ L1(Ω) и, следовательно,
существует последовательность {fi} ⊂ C∞
0 (Ω) такая, что
lim
i→∞
‖fi − F (·, 0)‖L1(Ω) = 0. (9)
Используя неравенства (2)–(5), свойство (8) и известные результаты о раз-
решимости уравнений с монотонными операторами (см., например [14]), полу-
чаем: если i ∈ N, то существует функция ui ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) такая, что для любой
54 М.В. Войтович
функции v ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω)
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2ui)D
αv + Fi(x, ui) v
}
dx =
∫
Ω
fi v dx. (10)
Другими словами, функция ui ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) есть обобщенное решение следующей
задачи Дирихле:
∑
α∈Λ
(−1)|α|DαAα(x,∇2u) + Fi(x, u) = fi в Ω, (11)
Dαu = 0, |α| = 0, 1, на ∂Ω. (12)
В силу изложенного в § 7 работы [1] существуют возрастающая последова-
тельность {ij} ⊂ N и функция u ∈
◦
H1,q
2,p(Ω) такие, что u есть H-решение задачи
(6), (7)
uij → u п.в. на Ω, (13)
∀ α ∈ Λ Dαuij → δαu п.в. на Ω. (14)
В настоящей работе возникает необходимость рассмотрения аппроксими-
рующей задачи, отличной от задачи (11), (12). Определим для любого i ∈ N
функцию f̄i : Ω → R следующим образом:
f̄i(x) =
{
F (x, 0), если |F (x, 0)| 6 i,
0, если |F (x, 0)| > i.
Пусть еще F̄ : Ω × R → R, причем
∀ (x, s) ∈ Ω × R , F̄ (x, s) = F (x, 0) − F (x, s).
Зафиксируем i ∈ N и рассмотрим следующую задачу Дирихле:
∑
α∈Λ
(−1)|α|DαAα(x,∇2w) + F̄ (x,w) = f̄i в Ω, (15)
Dαw = 0, |α| = 0, 1, на ∂Ω. (16)
Отметим, что функция F̄ , в отличии от функции Fi, неограничена. Поэто-
му, в отличии от задачи (11), (12), доказательство разрешимости задачи (15),
(16) уже не укладывается в обычную схему теории монотонных операторов, а
опирается на результаты работы [1] и леммы 1.1 – 1.5.
Теорема 2.1. Пусть i ∈ N. Тогда существует функция ūi ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω)
такая, что
F̄ (x, ūi) ∈ L1(Ω), F̄ (x, ūi) ūi ∈ L1(Ω), (17)
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка 55
∀ φ ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) ∩ L∞(Ω)
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2ūi)D
αφ
}
dx+
∫
Ω
F̄ (x, ūi)φdx =
∫
Ω
f̄i φdx. (18)
Следующие три леммы являются последовательными этапами доказатель-
ства теоремы 2.1. В доказательствах этих лемм используются рассмотрения и
построения работ [1] и [2].
Далее через ci, i = 3, 4, . . . , будем обозначать положительные постоянные,
зависящие только от n, p, q, c1, c2, ‖g‖L1(Ω) и measΩ.
Лемма 2.1. Для любого k ∈ N имеем
c2
∫
Ω
{
∑
|α|=1
|δαu|q +
∑
|α|=2
|δαu|p
}
h̃′k(u) dx 6 12
∫
Ω
|F (·, 0)||h̃k(u)| dx + c3.
Доказательство. Пусть {χk} ⊂ C 2(R) последовательность функций та-
кая, что для любого k ∈ N,
χk(s) = s, если |s| 6 k,
|χk| 6 3k на R, (19)
0 < χ′
k 6 1 на R, (20)
|χ′′
k| 6
8
k
χ′
k на R. (21)
Такая последовательность построена в [1].
Зафиксируем произвольные k, i ∈ N. Имеем χk(ui) ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω), причем для
α с |α| = 1 п.в. на Ω
Dαχk(ui) = χ′
k(ui)D
αui, (22)
а для α с |α| = 2 п.в. на Ω
|Dαχk(ui) − χ′
k(ui)D
αui| 6 |χ′′
k(ui)|
∑
|β|=1
|Dβui|
2. (23)
Подставляя в (10) вместо v функцию χk(ui), получаем
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2ui)D
αχk(ui) + Fi(x, ui)χk(ui)
}
dx =
∫
Ω
fi χk(ui) dx. (24)
В силу (24), (8) и свойств функции χk имеем:
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2ui)D
αχk(ui)
}
dx 6
∫
Ω
fi χk(ui) dx. (25)
56 М.В. Войтович
Обозначим через Ik,i интеграл в левой части неравенства (25) и положим
Jk,i =
∫
Ω
{
∑
|α|=1
|Dαui|
q +
∑
|α|=2
|Dαui|
p
}
χ′
k(ui) dx.
Используя (4), (22) и (23), находим, что
Ik,i > c2 Jk,i −
∫
Ω
g χ′
k(ui) dx
−
∫
Ω
{
∑
|α|=2
|Aα(x,∇2ui)|
}{
∑
|α|=1
|Dαui|
2
}
|χ′′
k(ui)| dx. (26)
Получим подходящую оценку для последнего интеграла в правой части нера-
венсва (26). Обозначим этот интеграл через J ′
k,i и положим
c4 =
c2
16
[c1n
2p/(p−1) + nq/2]−1.
Используя неравенство Юнга с показателями p/(p − 1), q/2, qp/(q − 2p) и (3),
устанавливаем, что п.в. на Ω
{
∑
|α|=2
|Aα(x,∇2ui)|
}{
∑
|α|=1
|Dαui|
2
}
6
c2
16
{
∑
|α|=1
|Dαui|
q +
∑
|α|=2
|Dαui|
p
}
+
c2
16c1
g + c5.
Тогда, принимая во внимание (20), (21), получаем
J ′
k, i 6
c2
2
Jk, i +
c2
2c1
‖g‖L1(Ω) + c5 meas Ω. (27)
Из (27), (26) следует, что Ik, i >
c2
2 Jk, i−c6. Из этого неравенства и (25) вытекает,
что
c2
2
Jk,i 6
∫
Ω
fi χk(ui) dx+ c6.
Отсюда, учитывая (13), (14), (9), свойства функции χk и используя лемму
Фату, выводим, что для любого k ∈ N
c2
2
∫
{|u|<k}
{
∑
|α|=1
|δαu|q +
∑
|α|=2
|δαu|p
}
dx 6
∫
Ω
|F (·, 0)||χk(u)| dx + c6. (28)
Пусть k ∈ N. Поскольку h̃′k(s) = 0, если |s| > 2k, и 0 6 h̃′k 6 1 на R,
используя (28), получаем
c2
∫
Ω
{
∑
|α|=1
|δαu|q +
∑
|α|=2
|δαu|p
}
h̃′k(u) dx
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка 57
6 c2
∫
{|u|<2k}
{
∑
|α|=1
|δαu|q +
∑
|α|=2
|δαu|p
}
dx
6 2
∫
Ω
|F (·, 0)||χ2k(u)| dx + 2c6. (29)
Заметим, что в силу свойств функций χk и h̃k имеем |χ2k(u)| 6 6|h̃k(u)| на Ω.
Учитывая это, из (29) выводим требуемое неравенство. Лемма доказана.
Лемма 2.2. Пусть F (·, 0) ∈ Lq∗/(q∗−1)(Ω). Тогда существует функция
u0 ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) такая, что F (x, u0) ∈ L1(Ω) и для любой функции φ ∈ C∞
0 (Ω)
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2u0)D
αφ
}
dx =
∫
Ω
F (x, u0)φdx.
Доказательство. В силу выше изложенного, в частности, леммы 2.1 су-
ществует функция u0 ∈
◦
H1,q
2,p(Ω) такая, что
(i) F (x, u0) ∈ L1(Ω);
(ii) для любого α ∈ Λ, Aα(x, δ2u0) ∈ L1(Ω);
(iii) для любой функции φ ∈ C∞
0 (Ω)
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x, δ2u0) δ
αφ
}
dx =
∫
Ω
F (x, u0)φdx;
(iv) для любого k ∈ N
c2
∫
Ω
{
∑
|α|=1
|δαu0|
q +
∑
|α|=2
|δαu0|
p
}
h̃′k(u0) dx 6 12
∫
Ω
|F (·, 0)||h̃k(u0)| dx+ 2c6.
Зафиксируем k ∈ N и положим
Ik =
∫
Ω
{
∑
|α|=1
|δαu0|
q +
∑
|α|=2
|δαu0|
p
}
h̃′k(u0) dx.
Из (iv) и неравенства Гельдера следует, что
c2Ik 6 12 ‖F (·, 0)‖Lq∗/(q∗−1)(Ω)
(
∫
Ω
|h̃k(u0)|
q∗dx
)1/q∗
+ 2c6. (30)
В силу неравенства (2)
(
∫
Ω
|h̃k(u0)|
q∗dx
)1/q∗
6 c
∑
|α|=1
(
∫
Ω
|Dαh̃k(u0)|
qdx
)1/q
. (31)
58 М.В. Войтович
Отсюда, учитывая лемму 1.1 и то, что 0 6 h̃′k 6 1 на R, получаем ∀α, |α| = 1,
∫
Ω
|Dαh̃k(u0)|
qdx 6 Ik.
Учитывая это, из (31) получаем
(
∫
Ω
|h̃k(u0)|
q∗ dx
)1/q∗
6 c n I
1/q
k .
Отсюда и из (30), используя неравенство Юнга, выводим, что
Ik 6 c7
(
1 + ‖F (·, 0)‖
q/(q−1)
Lq∗/(q∗−1)(Ω)
)
. (32)
Из (32) и леммы Фату, учитывая определение функции h̃k, выводим, что
∫
Ω
{
∑
|α|=1
|δαu0|
q +
∑
|α|=2
|δαu0|
p
}
dx 6 c7
(
1 + ‖F (·, 0)‖
q/(q−1)
Lq∗/(q∗−1)(Ω)
)
. (33)
Отсюда и из лемм 1.2 и 1.3 следует, что u0 ∈W 1,q
2,p (Ω).
Учитывая последнее включение и леммы 1.4, 1.5 и 1.1, имеем
∀ α ∈ Λ, Dαu0 = δαu0 п. в. на Ω. (34)
Отсюда и из леммы 1.1 вытекает ограниченность последовательности {h̃k(u0)}
в
◦
W 1,q
2,p(Ω). Ясно, также, что последовательность {h̃k(u0)} сильно сходится к u0
в Lq(Ω). Теперь заключаем, что u0 ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω).
Наконец, из утверждения (iii) и (34) следует, что для любой функции φ ∈
C∞
0 (Ω),
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2u0)D
αφ
}
dx =
∫
Ω
F (x, u0)φdx.
Лемма доказана.
Лемма 2.3. Пусть F (·, 0) ∈ Lq∗/(q∗−1)(Ω). Тогда существует функция
u0 ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) такая, что
(i) F (x, u0) ∈ L1(Ω);
(ii) для любой функции φ ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) ∩ L∞(Ω),
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2u0)D
αφ
}
dx =
∫
Ω
F (x, u0)φdx.
(iii) F (x, u0)u0 ∈ L1(Ω).
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка 59
Доказательство. В силу леммы 2.2 существует функция u0 ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω)
такая, что F (x, u0) ∈ L1(Ω) и для любой функции φ ∈ C∞
0 (Ω)
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2u0)D
αφ
}
dx =
∫
Ω
F (x, u0)φdx. (35)
Пусть теперь φ ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) ∩ L∞(Ω). Возьмем последовательность {φj} ⊂
C∞
0 (Ω) такую, что
φj → φ сильно в
◦
W 1,q
2,p(Ω), (36)
φj → φ п. в. на Ω, (37)
∀ j ∈ N |φj| 6 ‖φ‖L∞(Ω) + 1 на Ω. (38)
Используя (35), для любого j ∈ N получаем
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2u0)D
αφj
}
dx =
∫
Ω
F (x, u0)φj dx.
Теперь, используя (36)–(38), в последнем равенстве перейдем к пределу при
j → ∞. Получим
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2u0)D
αφ
}
dx =
∫
Ω
F (x, u0)φdx.
Значит, утверждение (ii) доказано.
Докажем утверждение (iii). Пусть k ∈ N. Имеем χk(u0) ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω)∩L∞(Ω),
причем для α с |α| = 1 п. в. на Ω
Dαχk(u0) = χ′
k(u0)D
αu0, (39)
а для α с |α| = 2 п. в. на Ω
|Dαχk(u0) − χ′
k(u0)D
αu0| 6 |χ′′
k(u0)|
∑
|β|=1
|Dβu0|
2. (40)
Из утверждения (ii) следует, что
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2u0)D
αχk(u0)
}
dx =
∫
Ω
F (x, u0)χk(u0) dx.
Отсюда с помощью (39) и (40) получаем
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2u0)D
αu0
}
χ′
k(u0) dx+
∫
Ω
[F (·, 0) − F (x, u0)]χk(u0) dx
60 М.В. Войтович
6
∫
Ω
|F (·, 0)||χk(u0)| dx+ I ′k, (41)
где
I ′k =
∫
Ω
{
∑
|α|=2
|Aα(x,∇2u0)|
}{
∑
|β|=1
|Dβu0|
2
}
|χ′′
k(u0)| dx.
С помощью рассуждений аналогичных доказательству (27) выводим
I ′k 6
c2
2
∫
Ω
{
∑
|α|=1
|Dαu0|
q +
∑
|α|=2
|Dαu0|
p
}
χ′
k(u0) dx
+
c2
2c1
‖g‖L1(Ω) + c5 meas Ω. (42)
Кроме того, в силу (4)
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2u0)D
αu0
}
χ′
k(u0) dx
> c2
∫
Ω
{
∑
|α|=1
|Dαu0|
q +
∑
|α|=2
|Dαu0|
p
}
χ′
k(u0) dx −
∫
Ω
gχ′
k(u0) dx. (43)
Положим
Z =
∫
Ω
{
∑
|α|=1
|Dαu0|
q +
∑
|α|=2
|Dαu0|
p
}
χ′
k(u0) dx.
Теперь из (41)–(43) следует
c2
2
Z +
∫
Ω
[F (·, 0) − F (x, u0)]χk(u0) dx 6 c8 +
∫
Ω
|F (·, 0)||χk(u0)| dx
6 c8 + ‖F (·, 0)‖Lq∗/(q∗−1)(Ω)
(
∫
Ω
|χk(u0)|
q∗dx
)1/q∗
. (44)
В силу неравенства (2) имеем
(
∫
Ω
|χk(u0)|
q∗dx
)1/q∗
6 c
∑
|α|=1
(
∫
Ω
|Dαχk(u0)|
q dx
)1/q
6 c
∑
|α|=1
(
∫
Ω
|Dαu0|
qχ′
k(u0) dx
)1/q
6 c nZ1/q.
Отсюда и из (44) получаем
c2
2
Z +
∫
Ω
[F (·, 0) − F (x, u0)]χk(u0) dx 6 c8 + c9Z
1/q‖F (·, 0)‖Lq∗/(q∗−1)(Ω).
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка 61
Следовательно,
∫
Ω
[F (·, 0) − F (x, u0)]χk(u0) dx 6 c8 + c10‖F (·, 0)‖
q/(q−1)
Lq∗/(q∗−1)(Ω)
. (45)
Из условия a) относительно функции F и свойств функции χk следует,
что
[F (·, 0) − F (x, u0)]χk(u0) > 0 п. в. на Ω.
Отсюда и из (45) с помощью леммы Фату выводим [F (·, 0)−F (x, u0)]u0 ∈ L1(Ω).
Тогда, учитывая включение F (·, 0) ∈ L q∗/(q∗−1)(Ω), получаем F (x, u0)u0 ∈
L1(Ω). Лемма доказана.
Завершим доказательство теоремы 2.1. Определим функцию Gi : Ω×R →
R следующим образом:
Gi(x, s) = f̄i(x) − F̄ (x, s).
Ясно, что функция Gi удовлетворяет условиям:
(i) для почти всех x ∈ Ω функция Gi(x, ·) невозрастающая на R;
(ii) для любого s ∈ R функция Gi(·, s) принадлежит L1(Ω);
(iii) Gi(·, 0) ∈ L q∗/(q∗−1)(Ω).
Поэтому, в силу леммы 2.3 существует функция ūi ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) такая, чтоGi(x, ūi) ∈
L1(Ω), Gi(x, ūi) ūi ∈ L1(Ω) и для любой функции φ ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) ∩ L∞(Ω)
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2ūi)D
αφ
}
dx =
∫
Ω
Gi(x, ūi)φdx. (46)
Ясно, что F̄ (x, ūi) ∈ L1(Ω), F̄ (x, ūi) ūi ∈ L1(Ω) и в силу (46) для любой
функции φ ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) ∩ L∞(Ω)
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2ūi)D
αφ
}
dx+
∫
Ω
F̄ (x, ūi)φdx =
∫
Ω
f̄iφdx.
Теорема 2.1 доказана.
Таким образом, зафиксирована последовательность {ūi} ⊂
◦
W 1,q
2,p(Ω) такая,
что для каждого i ∈ N справедливы включения (17) и для любых i ∈ N и
φ ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) ∩ L∞(Ω) справедливо равенство (18).
Лемма 2.4. Для любого i ∈ N имеем
∫
Ω
|F̄ (x, ūi)|dx 6 C̄, (47)
62 М.В. Войтович
где C̄ – положительная константа, зависящая только от n, p, q, c1, c2,
meas Ω и норм в L1(Ω) функций g, F (·, 0) и F (·,±1).
Доказательство. Зафиксируем i, k ∈ N. Имеем χk(ūi) ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω)∩L∞(Ω).
В силу (18)
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2ūi)D
αχk(ūi)
}
dx+
∫
Ω
F̄ (x, ūi)χk(ūi) dx =
∫
Ω
f̄i χk(ūi) dx.
(48)
Положим
J̄k,i =
∫
Ω
{
∑
|α|=1
|Dαūi|
q +
∑
|α|=2
|Dαūi|
p
}
χ′
k(ūi) dx.
J̄ ′
k,i =
∫
Ω
{
∑
|α|=2
|Aα(x,∇2ūi)|
}{
∑
|α|=1
|Dαūi|
2
}
|χ′′
k(ūi)| dx.
Аналогично (26) и (27), имеем
c2J̄k,i 6
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2ūi)D
αχk(ūi)
}
dx+ J̄ ′
k,i +
∫
Ω
g χ′
k(ūi) dx. (49)
J̄ ′
k,i 6
c2
2
J̄k,i +
c2
2c1
‖g‖L1(Ω) + c5 meas Ω. (50)
Из (48) – (50) выводим
c2
2
J̄k,i +
∫
Ω
F̄ (x, ūi)χk(ūi) dx 6
∫
Ω
f̄i χk(ūi) dx+ c11. (51)
Отсюда, с учетом (19) и того, что F̄ (x, ūi)χk(ūi) > 0 п. в. на Ω, следует
∫
{|ūi|>k}
|F̄ (x, ūi)| |χk(ūi)| dx 6 3k‖F (·, 0)‖L1(Ω) + c11.
Из этого неравенства, учитывая тот факт, что |χk(ūi)| > k на {|ūi| > k}, полу-
чаем
∫
{|ūi|>k}
|F̄ (x, ūi)| dx 6 3‖F (·, 0)‖L1(Ω) + c11.
В частности,
∫
{|ūi|>1}
|F̄ (x, ūi)| dx 6 3‖F (·, 0)‖L1(Ω) + c11. (52)
Легко видеть, что п. в. на {|ūi| < 1}
|F̄ (x, ūi)| 6 |F (·, 0)| + |F (x, ūi)| 6 2|F (·, 0)| + |F (·, 1)| + |F (·,−1)|.
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка 63
Отсюда и из (52) следует (47). Лемма доказана.
Далее, аналогично изложенному в параграфах 7 и 2 работы [1] устанавли-
вается существование H-решения ū задачи (6), (7) и возрастающей последова-
тельности {ij} ⊂ N, таких что
ūij → ū п. в. в Ω. (53)
Заметим, что в силу (51) и леммы 2.5 из [1] для произвольных k, i ∈ N
meas {|ūi| > k} 6 c12k
−q∗(q−1)/q, (54)
где c12 – положительная константа, зависящая только от n, p, q, c1, c2, meas Ω
и норм в L1(Ω) функций g и F (·, 0).
Из (54) и леммы 2.6 из [1] следует, что для каждого i ∈ N и любого
λ ∈ (0, q∗(q − 1)/q)
∫
Ω
|ūi|
λ dx 6 c13, (55)
где c13 – положительная константа, зависящая только от тех же параметров,
что и c12, и λ. Отметим, также, что при λ > q∗(q − 1)/q последовательность
{‖ūi‖Lλ(Ω)}, вообще говоря, может быть неограниченной (по этому поводу см.,
например, [15]).
В дальнейшем будем использовать "локальный" аналог метода Стампак-
кья изучения свойств интегрируемости решений. В связи с этим возникает
необходимость в выполнении неравенства (55) при λ > q. Для того, чтобы
обеспечить это, не привлекая ограничение q < q∗(q − 1)/q, сделаем следующее
дополнительное предположение относительно функции F .
Предположение 2.5. Существуют c̄ > 0, σ̄ ∈ (q, n) и f ∈ L1(Ω), f > 0 в
Ω, такие, что для почти всех x ∈ Ω и любых s ∈ R справедливо неравенство
|F (x, s)| > c̄|s|σ̄ − f(x). (56)
Лемма 2.6. Для любого i ∈ N
∫
Ω
|ūi|
σ̄dx 6 c14, (57)
где c14 – положительная константа, зависящая только от c̄, C̄, ‖F (·, 0)‖L1(Ω)
и ‖f‖L1(Ω).
Доказательство. В силу (56) имеем
c̄|ūi|
σ̄
6 |F (x, ūi)| + f 6 |F (·, 0)| + |F̄ (x, ūi)| + f.
Отсюда и из (47) следует
c̄
∫
Ω
|ūi|
σ̄ dx 6
∫
Ω
(
|F (·, 0)| + f
)
dx+ C̄.
64 М.В. Войтович
Из последнего неравенства вытекает (57). Лемма доказана.
3. Формулировка основного результата, замечания и
вспомогательные предложения.
Теорема 3.1. Пусть Ω1 – непустое открытое множество в R
n такое,
что Ω1 ⊂ Ω. Пусть для любого непустого замкнутого множества G в R
n
такого, что G ⊂ Ω1, сужения функций g и F (·, 0) на G принадлежат Lr(G)
с r > n/q. Тогда для любого замкнутого множества G в R
n, обладающего
свойствами G ⊂ Ω1 и meas G > 0 справедливо неравенство vrai max
G
|ū| < +∞.
Доказательство теоремы 3.1 будет дано в п.4. Перед этим сделаем несколь-
ко замечаний и изложим ряд вспомогательных результатов.
Замечание 3.1. Пусть p = 2, q < q1 < min(σ̄, q∗) и τ > q∗/(q∗ − q1). Пусть
правая часть уравнения (6) имеет модельный вид F (x, s) = f(x) − a|s|σ̄−1s,
где a > 0, f ∈ L1(Ω). Если, теперь, для любого непустого замкнутого множе-
ства G в R
n, удовлетворяющего условиям теоремы 3.1, сужения функций g и
|f |q1/(q1−1) на G принадлежат классу Lτ (G), то согласно основному результату
работы [7] справедливо заключение теоремы 3.1. Поскольку q∗/(q∗− q1) > n/q,
условия относительно суммируемости функций g и F (·, 0) на подмножествах в
Ω в теореме 3.1 слабее соответствующих условий в [7].
Замечание 3.2. Справедливость теоремы 3.1 будет следовать из равно-
мерной ограниченности последовательности {ūi} на соответствующих подмно-
жествах Ω. Отметим, что такая ограниченность была установлена в работах
[6], [7] с помощью некоторой модификации метода Мозера (см. также [8]). В
настоящей работе для этой же цели используется локальный аналог подхода,
который применялся в работах [3] – [5]. Этот подход подобен методу Стампак-
кья, и использует следующие аналоги его известной леммы (см., [16] – [18]).
Лемма 3.3. Пусть ϕ – невозрастающая неотрицательная функция на
[0,+∞). Пусть C > 0, 0 6 τ1 < τ2, γ > 1 и k0 > 0. Пусть для любых k и l
таких, что k0 < k < l < 2k, справедливо неравенство
ϕ(l) 6
Ckτ1
(l − k)τ2
[ϕ(k)]γ . (58)
Пусть ϑ > k0 и
ϑτ2−τ1 > 2τ1+(2γ−1)τ2/(γ−1) C [ϕ(k0)]
γ−1. (59)
Тогда ϕ(k0 + ϑ) = 0.
Лемма 3.4. Пусть ϕ – невозрастающая неотрицательная функция на
[0,+∞). Пусть C > 0, τ > 0, γ ∈ (0, 1) и k0 > 0. Пусть для любого k > k0
справедливо неравенство
ϕ(2k) 6 Ck−τ [ϕ(k)]γ . (60)
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка 65
Тогда для любого k > k0 имеем
ϕ(k) 6 2τ/(1−γ)2
{
C1/(1−γ) + ϕ(k0)(2k0)
τ/(1−γ)
}
k−τ/(1−γ). (61)
Доказательства лемм 3.3 и 3.4 даны в [3].
Роль лемм 3.3 и 3.4 в доказательстве теоремы 3.1 состоит в следующем.
Пусть G – множество в R
n, удовлетворяющее условиям теоремы 3.1. Фиксиру-
ем функцию η ∈ C∞
0 (Ω) такую что, 0 6 η 6 1 на Ω, η = 1 на G и η = 0 вне
некоторой окрестности множества G. Подставляя в интегральное тождество
(18) в качестве пробных элементов функции ūiη
q+1 − hk(ūiη
q+1), k > 0, где hk
– специальные срезающие функции класса C2(R), и оценивая подходящим об-
разом возникающие при этом интегралы, мы приходим как раз к соотношению
вида (60) с функцией ϕ, заданной равенством ϕ(s) = meas {|ūiη
q+1| > s}, s > 0,
числами τ = q∗, γ = (1 − q
σ̄ ) q∗
q и постоянной C, не зависящей от ūi. Применяя
лемму 3.4 и лемму 2.6 из [1], получаем, что для любого λ ∈ (0, σ̄∗) последова-
тельность {ūiη
q+1} ограничена в Lλ(Ω). Учитывая это и выполняя повторно,
описанную выше, процедуру, устанавливаем ограниченность последовательно-
сти {ūiη
q+1} в Lλ(Ω) для любого λ ∈ (0, σ̄∗∗). После конечного числа шагов мы
приходим к соотношению вида (58) c той же функцией ϕ, что и выше, показа-
телем γ > 1, зависящим только от n, p, q, r, σ̄, и постоянной C, не зависящей
от ūi. Применяя затем лемму 3.3, устанавливаем равномерную ограниченность
функциональной последовательности {ūiη} в Ω.
4. Доказательство теоремы 3.1.
Введем ряд вспомогательных чисел. В силу предположения относительно
числа r имеем (r − 1)/r − 1/q∗ > 0. Положим
r1 =
(
r − 1
r
−
1
q∗
)−1
, (62)
γ = q∗ min
{
1
r1(q − 1)
,
r − 1
rq
}
. (63)
В силу (62) имеем
1
r1
+
1
r
+
1
q∗
= 1. (64)
Кроме того, из предположения r > n/q и определения чисел r1 и γ вытекает,
что
γ > 1. (65)
Поскольку q < n, существует число ñ ∈ N такое, что
ñq < n 6 (ñ+ 1)q. (66)
66 М.В. Войтович
Зафиксируем σ такое, что q < σ < min(σ̄, n/ñ). Тогда
ñσ < n 6 (ñ+ 1)σ. (67)
Учитывая неравенства (66) и (67), положим
q1 = q∗, q2 = q∗1 , . . . , qñ = q∗ñ−1;
σ1 = σ∗, σ2 = σ∗1 , . . . , σñ = σ∗ñ−1.
Из неравеств q < σ, (66) и (67) следует, что
qκ < σκ < n, κ = 1, 2, . . . , ñ− 1; (68)
n 6 qñ < σñ. (69)
Используя метод индукции, построим две последовательности чисел {γκ}
ñ+1
κ=1 и
{νκ}
ñ
κ=0. Для этого положим ν0 = σ и γ1 = (1− q
ν0
) q∗
q . Из неравенств q < σ < n
следует, что 0 < γ1 < 1. Учитывая (68), зафиксируем число ν1 такое, что
q1 < ν1 < σ1. Предположим, что уже построены числа γκ, νκ, κ = 1, 2, ...,m,
m 6 ñ− 1 со свойствами:
0 < γκ < 1, (70)
qκ < νκ < ν∗κ−1 6 σκ. (71)
Теперь положим γm+1 = (1 − q
νm
) q∗
q . В силу (71) и (68) имеем 0 < γm+1 < 1.
Опираясь на (71), фиксируем число νm+1 такое, что qm+1 < νm+1 < ν∗m 6
σm+1. Положим еще νñ+1 = ∞. Таким образом построена последовательность
чисел {νκ}
ñ+1
κ=0 такая, что для κ = 1, 2, ..., ñ справедливо (71). Наконец, положим
γñ+1 = (1 − q
νñ
) q∗
q . Из неравенств (69) и qñ < νñ следует, что νñ > n и
γñ+1 > 1. (72)
Построена последовательность чисел {γκ}
ñ+1
κ=1 такая, что верно (72) и для κ =
1, 2, ..., ñ справедливо (70).
Докажем следующее утверждение:
а) для любого замкнутого множества G в R
n, удовлетворяющего условиям
теоремы 3.1, и для любого κ = 1, 2, ..., ñ + 1 последовательность {‖ūi‖Lνκ(G)}
ограничена.
Проведём доказательство индукцией по κ. Справедливость утверждения
а) для κ = 0 следует из леммы 2.6.
Предположим теперь, что утверждение а) уже доказано для κ = m, 0 6
m 6 ñ, и докажем его для κ = m+ 1.
Пусть G – произвольное замкнутое подмножество R
n со свойствами G ⊂
Ω1 и meas G > 0. Положим ρ = dist(G, ∂Ω1) и
Ω0 = {x ∈ R
n : d(x,G) < ρ/2}.
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка 67
Ясно, что Ω̄0 ⊂ Ω1.
Зафиксируем функцию η ∈ C∞
0 (Ω), такую что
0 6 η 6 1 на Ω, (73)
η = 1 на G, supp η ⊂ Ω0, и положим
m(η) = 1 + max
Ω
{
∑
|α|=1
|Dαη|2 +
∑
|α|=2
|Dαη|2
}
.
Далее, зафиксируем i ∈ N и положим
Φi =
∑
|α|=1
|Dαūi|
q +
∑
|α|=2
|Dαūi|
p, wi = ūiη
q+1,
J1 =
∫
Ω
{
∑
|α|=1
|Aα(x,∇2ūi)|
}
|ūi|η
q dx,
J2 =
∫
Ω
{
∑
|α|=2
|Aα(x,∇2ūi)|
}
|ūi|η
q−1 dx,
J3 =
∫
Ω
{
∑
|α|=2
|Aα(x,∇2ūi)|
}{
∑
|β|=1
|Dβūi|
}
ηq dx.
Очевидно, что wi ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) и справедливы утверждения:
б) для любого n-мерного мультииндекса α, |α| = 1,
|Dαwi −Dαūiη
q+1| 6 (q + 1)m(η)|ūi|η
q п.в. на Ω;
в) для любого n-мерного мультииндекса α, |α| = 2,
|Dαwi −Dαūiη
q+1| 6 2m(η)(q + 1)
{
∑
|β|=1
|Dβ ūi|
}
ηq+
+2m(η)q(q + 1)|ūi|η
q−1 п. в. на Ω.
Пусть M – мажоранта для ‖F (·, 0)‖Lr
(Ω0)
, ‖g‖Lr
(Ω0).
Докажем сейчас следующую оценку:
∫
Ω
Φiη
q+1dx 6 c15, (74)
где c15 – положительная константа, зависящая только от c1, c2, c14, m(η), n, p,
q, σ, r, ‖g‖L1(Ω), meas Ω и M .
68 М.В. Войтович
Пусть k ∈ N. Имеем wi ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) и h̃k(wi) ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω), причем
h̃k(wi) → wi сильно в W 1,q
2,p (Ω) (75)
(см. лемму 2.2 в [1]).
Так как h̃k(wi) ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) ∩ L∞(Ω), то в силу (18)
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2ūi)D
αh̃k(wi)
}
dx
+
∫
Ω
F̄ (x, ūi) h̃k(wi) dx =
∫
Ω
f̄i h̃k(wi) dx.
Отсюда, переходя к пределу при k → ∞, используя при этом (75) и учитывая
второе из включений (17), получаем
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2ūi)D
αwi
}
dx +
∫
Ω
F̄ (x, ūi)wi dx =
∫
Ω
f̄iwi dx. (76)
Используя свойство a) функции F и (73), получаем
F̄ (x, ūi)wi > 0 п. в. на Ω.
Из (76) и последнего неравенства следует, что
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2ūi)D
αwi
}
dx 6
∫
Ω
f̄iwi dx.
Отсюда с помощью утверждений б), в) и (4) получаем
c2
∫
Ω
Φiη
q+1 dx 6 2q(q + 1)m(η)(J1 + J2 + J3)
+
∫
Ω
gηq+1 dx+
∫
Ω
|f̄i||wi| dx. (77)
Оценим подходящим образом интегралы в правой части последнего неравен-
ства. Положим
c16 =
c2
16c1q(q + 1)m(η)
, c17 =
c2
16(nc1 + |Λ|)q(q + 1)m(η)
, (78)
где |Λ| – число всех n-мерных мультииндексов α таких, что |α| = 2. Очевидно,
что
q =
q − 1
q
(q + 1) +
1
q
.
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка 69
Используя это равенство и неравенство Юнга с показателями q/(q − 1) и q,
устанавливаем, что если α – n-мерный мультииндекс, |α| = 1, то
|Aα(x,∇2ūi)||ūi|η
q
6 c16|Aα(x,∇2ūi)|
q/(q−1)ηq+1 + c1−q
16 |ūi|
qη на Ω.
Отсюда и из (3) выводим, что
J1 6 c16
(
c1
∫
Ω
Φiη
q+1dx +
∫
Ω
gηq+1dx
)
+ nc1−q
16
∫
Ω
|ūi|
qη dx. (79)
Легко проверить, что
q − 1 =
p− 1
p
(q + 1) +
1
p
(q − 2p + 1).
С помощью этого равенства и неравенства Юнга с показателями p/(p − 1) и p
находим, что если α – n-мерный мультииндекс, |α| = 2, то
|Aα(x,∇2ūi)||ūi|η
q−1
6 c16|Aα(x,∇2ūi)|
p/(p−1)ηq+1 + c1−p
16 |ūi|
pηq−2p+1 на Ω.
Отсюда и из (3) выводим, что
J2 6 c16
(
c1
∫
Ω
Φiη
q+1dx +
∫
Ω
gηq+1dx
)
+ nc1−p
16
∫
Ω
|ūi|
pηq−2p+1dx. (80)
С помощью равенства
q =
p− 1
p
(q + 1) +
1
q
(q + 1) +
q − p
pq
(
1 +
q(q − 2p)
q − p
)
и неравенства Юнга с показателями p/(p − 1), q, pq/(q − p) устанавливаем,
что если α – n-мерный мультииндекс, |α| = 2, и β – n-мерный мультииндекс,
|β| = 1, то
|Aα(x,∇2ūi)||D
β ūi|η
q
6 c17
(
|Aα(x,∇2ūi)|η
q+1 + |Dβ ūi|
qηq+1
)
+ c
1−pq/(q−p)
17 η1+q(q−2p)/(q−p) на Ω.
Отсюда, а также из (3) и (73) следует, что
J3 6 c17
(
(nc1 + |Λ|)
∫
Ω
Φiη
q+1dx + n
∫
Ω
gηq+1dx
)
+ c
1−pq/(q−p)
17 n|Λ|meas Ω. (81)
70 М.В. Войтович
Используя неравенство Гельдера, (64), (2), неравенство Юнга и (73), получаем
∫
Ω
|f̄i||wi| dx 6
(
∫
Ω̄0
|f̄i|
r dx
)1/r(∫
Ω̄0
|ūiη
q+1|q
∗
dx
)1/q∗
(meas Ω̄0)
1/r1
6 cM(meas Ω)1/r1
(
∑
|α|=1
∫
Ω
|Dαwi|
q dx
)1/q
6
c2
2q+2
∫
Ω
{
∑
|α|=1
|Dαwi|
q
}
dx+
(
c2
2q+2
)1/(1−q)[
cM(meas Ω)1/r1
]q/(q−1)
.
Отсюда с помощью утверждения б) выводим, что
∫
Ω
|f̄i||wi| dx 6
c2
8
∫
Ω
Φiη
q+1dx+
c2
8
(q + 1)m(η)n
∫
Ω
|ūi|
qηq2
dx
+(c2/2
q+2)1/(1−q)
[
cM(meas Ω)1/r1
]q/(q−1)
. (82)
Теперь из (77)–(82), учитывая (73) и (57) выводим (74).
Пусть теперь ϕ – функция на [0,+∞) такая, что для любого s ∈ [0,+∞)
ϕ(s) = meas {|wi| > s}.
Получим неравенства вида (60), (58) для функции ϕ и затем применим
леммы 3.3 и 3.4.
Положим c18 = c12
q/(q−1)q∗ и заметим, что
∀ k > c18 + 1 ϕ(k) < 1. (83)
Действительно, с помощью (73) и (54) устанавливаем, что для любого k ∈ N
ϕ(k) 6 c12k
−q∗(q−1)/q. Из последнего неравенства вытекает (83).
Далее, положим
t =
2qpr
q − 2p
+ 2, (84)
и пусть ψ – функция на (0,+∞) такая, что для любого s ∈ (0,+∞)
ψ(s) = s− st +
t− 1
t+ 1
st+1 .
Положим
k0 = max {c19 + 1, 24tnq(nc1 + |Λ|)(q + 1)2m2(η)/c2} (85)
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка 71
и зафиксируем произвольное число k > k0. Пусть hk – функция на R такая,
что
hk(s) =
s, если |s| 6 k,
[
ψ
(
|s|−k
k
)
+ 1
]
k sign s, если k < |s| < 2k,
2kt
t+1 sign s, если |s| > 2k.
Функция hk была введена в [3]. Имеем hk ∈ C2(R),
|hk| < 2k на R, (86)
0 6 h′k 6 1 на R, (87)
|h′′k| 6
t2
k
на R. (88)
Кроме того, справедливы следующие утверждения:
г) если ε ∈ (0, 1), s ∈ R и k 6 |s| 6 k(1 + ε), то
|h′′k(s)| 6
t2
k
εt−2 ;
д) если ε ∈ (0, 1), s ∈ R и k(1 + ε) 6 |s| 6 2k, то
|h′′k(s)| 6
t
kε
(1 − h′k(s));
е) если k < l 6 2k, s ∈ R и |s| > l, то
|s− hk(s)| >
2
t+ 1
(l − k)
(
l − k
k
)t−1
.
Утверждения г) – е) доказаны в [3].
Из утверждения е) вытекает следующее утверждение:
ж) если k < l 6 2k, то
ϕ(l) 6
tq
∗
k(t−1)q∗
(l − k)tq
∗
∫
Ω
|wi − hk(wi)|
q∗dx. (89)
Далее, оценим подходящим образом интеграл в правой части неравенства
(89). В результате, мы получим неравенство вида (60), если m 6 ñ− 1, и нера-
венство вида (58), если m = ñ.
Через ci, i = 20, 21, ..., будем обозначать положительные числа, зависящие
только от n, p, q, r, σ, meas Ω, c1, c2, c14 – c18, m(η) и M .
Используя (86)–(88), аналогично лемме 2.2 из [1] устанавливаем, что hk(wi) ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) и справедливы утверждения:
72 М.В. Войтович
з) для любого n-мерного мультииндекса α, |α| = 1,
Dαhk(wi) = h′k(wi)D
αwi п. в. на Ω ;
и) для любого n-мерного мультииндекса α, |α| = 2,
|Dαhk(wi) − h′k(wi)D
αwi| 6 |h′′k(wi)|
∑
|β|=1
|Dβwi|
2 п. в. на Ω .
Положим
Ik =
∫
Ω
|f̄i||wi − hk(wi)| dx,
I1 =
∫
Ω
{
∑
|α|=1
|Aα(x,∇2ūi)|
}
|ūi|η
q(1 − h′k(wi)) dx,
I2 =
∫
Ω
{
∑
|α|=2
|Aα(x,∇2ūi)|
}
|ūi|η
q−1(1 − h′k(wi)) dx,
I3 =
∫
Ω
{
∑
|α|=2
|Aα(x,∇2ūi)|
}{
∑
|β|=1
|Dβ ūi|
}
ηq(1 − h′k(wi)) dx,
I4 =
∫
Ω
{
∑
|α|=2
|Aα(x,∇2ūi)|
}
|ūi|
2η2q|h′′k(wi)| dx,
I5 =
∫
Ω
{
∑
|α|=2
|Aα(x,∇2ūi)|
}{
∑
|β|=1
|Dβūi|
2
}
η2(q+1)|h′′k(wi)| dx.
Поскольку hk(wi) ∈
◦
W 1,q
2,p(Ω) ∩ L∞(Ω), в силу (18) имеем
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2ūi)D
αhk(wi) + F̄ (x, ūi)hk(wi)
}
dx =
∫
Ω
f̄i hk(wi)dx.
Отсюда и из (76) следует
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2ūi)D
α(wi − hk(wi)) + F̄ (x, ūi)(wi − hk(wi))
}
dx
=
∫
Ω
f̄i(wi − hk(wi))dx. (90)
Используя условие a) относительно функции F , (73), а также то, что функция
s− hk(s) не убывает на R и hk(0) = 0, получаем
F̄ (x, ūi)(wi − hk(wi)) > 0 п. в. на Ω .
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка 73
Из (90) и последнего неравенства следует, что
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2ūi)D
α(wi − hk(wi))
}
dx 6
∫
Ω
f̄i(wi − hk(wi)) dx.
Из этого неравенства и утверждений б), в), з), и) выводим, что
∫
Ω
{
∑
α∈Λ
Aα(x,∇2ūi)D
αūi
}
ηq+1(1 − h′k(wi)) dx
6 Ik + 2nq(q + 1)2m2(η)
5
∑
i=1
Ii .
Отсюда, используя (4), (87) и то, что h′k = 1 на (−k, k), получаем
c2
∫
Ω
Φiη
q+1(1 − h′k(wi))dx 6 Ik
+
∫
{|wi|>k}
gηq+1 dx+ 2nq(q + 1)2m2(η)
5
∑
i=1
Ii . (91)
Установим подходящие оценки для слагаемых в правой части этого нера-
венства. Ясно, что
∫
{|wi|>k}
gηq+1 dx 6 M [ϕ(k)](r−1)/r . (92)
Оценим Ik. Используя неравенство Гельдера, (73) и утверждение а) для
κ = m, получаем
∫
{|wi|>k}
|ūi|
qη dx 6
(
∫
{|wi|>k}
|ūi|
νmη dx
)q/νm
(
∫
{|wi|>k}
η dx
)1−q/νm
6 c20[ϕ(k)]1−q/νm . (93)
Далее отметим, что в силу (2), утверждений з), б), (73) и (87) справедливо
неравенство
(
∫
Ω
|wi − hk(wi)|
q∗dx
)1/q∗
6 2(q−1)/qc
×
(
c21
∫
{|wi|>k}
|ūi|
qη dx+
∫
Ω
Φiη
q+1(1 − h′k(wi)) dx
)1/q
.
74 М.В. Войтович
Отсюда и из (93) следует, что
(
∫
Ω
|wi − hk(wi)|
q∗dx
)1/q∗
6 2(q−1)/qc
×
(
c22[ϕ(k)]1−q/νm +
∫
Ω
Φiη
q+1(1 − h′k(wi)) dx
)1/q
. (94)
Используя тот факт, что hk(s) = s для s ∈ (−k, k), а также (64), неравенство
Гельдера, (73) и (94), получаем
Ik 6 [ϕ(k)]1/r1‖f̄i‖Lr
(Ω̄0)
(
∫
Ω
|wi − hk(wi)|
q∗dx
)1/q∗
6 2(q−1)/qcM [ϕ(k)]1/r1
(
c22[ϕ(k)]1−q/νm +
∫
Ω
Φiη
q+1(1 − h′k(wi)) dx
)1/q
.
Отсюда и из неравенства Юнга вытекает, что
Ik 6
c2
12
∫
Ω
Φiη
q+1(1 − h′k(wi)) dx + c23([ϕ(k)]q/(q−1)r1 + [ϕ(k)]1−q/νm). (95)
Оценим интегралы Ii, 1 6 i 6 3. С помощью рассуждений аналогичных
доказательству неравенств (79)–(81), а также с помощью (87), того, что h′k = 1
на (−k, k), (73), (92), (93) и неравенства ϕ(k) < 1, устанавливаем следующие
неравенства:
I1 6
c2
24nq(q + 1)2m2(η)
∫
Ω
Φiη
q+1(1 − h′k(wi)) dx
+c24([ϕ(k)](r−1)/r + [ϕ(k)]1−q/νm). (96)
I2 6
c2
24nq(q + 1)2m2(η)
∫
Ω
Φiη
q+1(1 − h′k(wi)) dx
+c25([ϕ(k)](r−1)/r + [ϕ(k)]1−q/νm). (97)
I3 6
c2
24nq(q + 1)2m2(η)
∫
Ω
Φiη
q+1(1 − h′k(wi)) dx + c26[ϕ(k)](r−1)/r . (98)
Перейдем к оценке интегралов I4 и I5. Предположим сначала, что ϕ(k) > 0.
Положим
ε = [ϕ(k)]1/(t−2) . (99)
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка 75
Поскольку k > k0, в силу (85) и (83) имеем ϕ(k) < 1. Следовательно, ε ∈ (0, 1).
Легко проверить, что
q =
p− 1
p
(q + 1) +
2
q
+
q − 2p
qp
(
1 +
q(q − p)
q − 2p
)
.
Используя это равенство, неравенство Юнга с показателями (p − 1)/p, q/2,
qp/(q−2p) и (73), устанавливаем, что если α – n-мерный мультииндекс, |α| = 2,
то
|Aα(x,∇2ūi)||ūi|
2η2q
6 ε2|Aα(x,∇2ūi)|
p/(p−1)ηq+1 + ε2|ūi|
qη
+ ε2−2qp/(q−2p)η на Ω.
Отсюда и из (4) выводим, что
I4 6 c1ε
2
∫
Ω
Φiη
q+1|h′′k(wi)| dx + ε2
∫
Ω
gηq+1|h′′k(wi)| dx
+ ε2|Λ|
∫
Ω
|ūi|
qη|h′′k(wi)| dx+ |Λ|ε2−
2qp
q−2p
∫
Ω
η|h′′k(wi)| dx. (100)
В силу (88), (73), (92), (93) и того, что h′′k = 0 на (−k, k), имеем
∫
Ω
gηq+1|h′′k(wi)| dx 6
Mt2
k
[ϕ(k)](r−1)/r , (101)
∫
Ω
η|h′′k(wi)| dx 6
t2
k
ϕ(k), (102)
∫
Ω
|ūi|
qη|h′′k(wi)| dx 6
c20t
2
k
[ϕ(k)]1−q/νm . (103)
Ясно также, что
∫
Ω
Φiη
q+1|h′′k(wi)| dx =
∫
Φiη
q+1|h′′k(wi)| dx
{k6|wi|<k(1+ε)}
+
∫
Φiη
q+1|h′′k(wi)| dx
{k(1+ε)6|wi|62k}
. (104)
Из утверждения г) и (74) следует, что
∫
Φiη
q+1|h′′k(wi)| dx
{k6|wi|<k(1+ε)}
6
c15t
2
k
εt−2, (105)
76 М.В. Войтович
а в силу утверждения д) имеем
∫
Φiη
q+1|h′′k(wi)| dx
{k(1+ε)6|wi|62k}
6
t
kε
∫
Ω
Φiη
q+1(1 − h′k(wi)) dx. (106)
Из (104)–(106) вытекает неравенство
∫
Ω
Φiη
q+1|h′′k(wi)| dx 6
c15t
2
k
εt−2 +
t
kε
∫
Ω
Φiη
q+1(1 − h′k(wi)) dx. (107)
В свою очередь, из (100)–(103) и (107), учитывая (84), (85) и (99), выводим
I4 6
c2
24nq(q + 1)2m2(η)
∫
Ω
Φiη
q+1(1 − h′k(wi)) dx
+c27([ϕ(k)](r−1)/r + [ϕ(k)]1−q/νm). (108)
Далее, используя равенство
2(q + 1) =
p− 1
p
(q + 1) +
2
q
(q + 1) +
q − 2p
qp
(
1 +
q(qp+ q − p)
q − 2p
)
,
неравенство Юнга с показателями (p−1)/p, q/2, qp/(q−2p) и (73), устанавлива-
ем, что если α – n-мерный мультииндекс, |α| = 2, и β – n-мерный мультииндекс,
|β| = 1, то
|Aα(x,∇2ūi)||D
βūi|
2η2(q+1)
6 ε2|Aα(x,∇2ūi)|
p/(p−1)ηq+1
+ ε2|D βūi|
qηq+1 + ε2−2qp/(q−2p)η на Ω.
Отсюда и из (4) выводим, что
I5 6 (nc1 + |Λ|)ε2
∫
Ω
Φiη
q+1|h′′k(wi)| dx + nε2
∫
Ω
gηq+1|h′′k(wi)| dx
+n|Λ|ε
2− 2qp
q−2p
∫
Ω
η|h′′k(wi)| dx. (109)
Из (109), (107), (101) и (102), с учетом (85), (86) и (95), следует, что
I5 6
c2
24nq(q + 1)2m2(η)
∫
Ω
Φiη
q+1(1 − h′k(wi)) dx + c28[ϕ(k)](r−1)/r . (110)
Неравенства (108) и (110) доказаны в предположении, что ϕ(k) > 0. Однако
легко видеть, что они имеют место и в случае ϕ(k) = 0.
О множествах ограниченности решений нелинейных уравнений четвертого порядка 77
Из (91), (92), (95)–(98), (108) и (110) следует, что
c2
∫
Ω
Φiη
q+1(1 − h′k(wi)) dx
6 c29([ϕ(k)]q/(q−1)r1 + [ϕ(k)](r−1)/r + [ϕ(k)]1−q/νm).
Полученный результат, неравенство (95) и равенство (63) позволяют за-
ключить, что
∫
Ω
|wi − hk(wi)|
q∗dx 6 c30([ϕ(k)]γ + [ϕ(k)]γm+1). (111)
Из (111), утверждения ж), (70) и (65) выводим, что справедливо следую-
щее утверждение:
к) если 0 6 m 6 ñ− 1, k0 6 k, то
ϕ(2k) 6 c31k
−q∗ [ϕ(k)]γm+1 .
Используя это утверждение, а также (70), равенство q∗/(1 − γm+1) = ν∗m, (71)
и леммы 3.4 и 2.6 из [1], устанавливаем справедливость утверждения а) для
κ = m+ 1, 0 6 m 6 ñ− 1.
Из (111) и утверждения ж) вытекает следующее утверждение:
л) если m = ñ, γ̃ = min{γ, γñ+1}, k0 6 k < l 6 2k, то
ϕ(l) 6
c32k
(t−1)q∗
(l − k)tq
∗
[ϕ(k)]γ̃ .
Используя это утверждение, а также (72), (65) и лемму 3.3, устанавливаем
справедливость утверждения а) для κ = ñ+ 1.
Утверждение а) доказано.
Наконец, из утверждения а) для κ = ñ+ 1 и (53) следует справедливость
теоремы 3.1.
Теорема доказана.
Автор благодарит А.А. Ковалевского за полезные замечания.
1. Ковалевский А.А. Энтропийные решения задачи Дирихле для одного класса нелинейных
эллиптических уравнений четвертого порядка с L
1–правыми частями // Изв. РАН. Сер.
матем. – 2001. – 65, N 2. – С. 27–80.
2. Ковалевский А.А. О суммируемости энтропийных решений задачи Дирихле для одно-
го класса нелинейных эллиптических уравнений четвертого порядка // Изв. РАН. Сер.
матем. – 2003. – 67, N 5. – С. 35–48.
3. Ковалевский А.А., Войтович М.В. О повышении суммируемости обобщенных решений
задачи Дирихле для нелинейных уравнений четвертого порядка с усиленной эллиптич-
ностью // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, N 11. – С. 1511–1524.
78 М.В. Войтович
4. Войтович М.В. О свойствах интегрируемости обобщенных решений задачи Дирихле для
нелинейных уравнений высокого порядка с усиленной эллиптичностью // Труды ИПММ
НАН Украины. – Донецк, 2007. – 15. – С. 3–14.
5. Войтович М.В. О повышении суммируемости минимизантов функционалов с интегран-
тами, удовлетворяющими условию усиленной коэрцитивности // Труды ИПММ НАН
Украины. – Донецк, 2006. – 13. – С. 19–30.
6. Ковалевский А.А., Николози Ф. О множествах ограниченности решений для класса вы-
рожденных нелинейных эллиптических уравнений четвертого порядка с L
1-данными //
Фундаментальная и прикладная математика. – 2006. – 12, N 4. – С. 99–112.
7. Kovalevsky A.A., Nicolosi F. On the sets of boundedness of solutions to degenerate fourth-
order equations with strengtheningly monotone principal parts, absorption and L
1-data // Le
Matematiche. – 2007. – LXII, Fasc. II. – P. 235–253.
8. Скрыпник И.В. О квазилинейных эллиптических уравнениях высшего порядка с непре-
рывными обобщенными решениями // Дифференц. уравн. – 1978. – 14, N 6. – С. 1104–
1118.
9. Nicolosi F., Skrypnik I. V. Nirenberg–Gagliardo interpolation inequality and regularity of
solutions of nonlinear high order equations // Topol. Methods Nonlinear Anal. – 1996. – 7. –
P. 327–347.
10. Kovalevsky A., Nicolosi F. Boundedness of solutions of variational inequalities with nonlinear
degenerated elliptic operators of high order // Appl. Anal. – 1997. – 65. – P. 225–249.
11. Kovalevsky A., Nicolosi F. On Hölder continuity of solutions of equations and variational
inequalities with degenerate nonlinear high order operators // Problemi attuali dell’analisi e
della fisica matematica. Atti del 2
0 Simp. Int. dedicato alla memoria del Prof. Gaetano Fichera.
– Roma: Aracne Editrice, 2000. – P. 205–220.
12. Gilbarg D., Trudinger N.S. Elliptic partial differential equations of second order. – Berlin:
Springer-Verlag, 1983. – 513 p.
13. Kovalevsky A. Entropy solutions of Dirichlet problem for a class of nonlinear elliptic fourth-
order equations with L
1-data // Nonlinear Boundary Value Problems. – 1999. – 9. – P. 46–54.
14. Lions J.L. Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires. – Paris:
Dunod, Gauthier-Villars, 1969. – 554 p.
15. Kovalevsky A. On a sharp condition of limit summability of solutions of nonlinear elliptic
equations with L
1-right-hand sides // Ukrainian Mathematical Bulletin. – 2005. – 2, N 4. –
P. 507–545.
16. Stampacchia G. Regularisation des solutions de problemes aux limites elliptiques a donnees
discontinues // Proc. Int. Symp. Linear Spaces, Jerusalem 1960. – 1961. – P. 399–408.
17. Stampacchia G. Équations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus // Seminaire
de mathematiques superieures n. 16 (ete 1965). – Montreal: Les Presses de l’Universite de
Montreal, 1966. – 326 p.
18. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения.
– Москва: Мир. – 1983. – 256 с.
ИПММ НАН Украины,
ул. Розы Люксембург, 74,
83114, Донецк, Украина
voytovich@bk.ru
Получено 7.12.09
|