Обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням

Обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням

Встановлено умови iснування та єдиностi класичних розв’язкiв обернених задач визначення коефiцiєнта при старшiй похiднiй у параболiчних рiвняннях у припущеннi, що коефiцiєнт перед похiдною за часом перетворюється в нуль в початковий момент часу. Дослiджено випадок сильного степеневого виродження....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2009
1. Verfasser: Гринців, Н.М.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Schriftenreihe:Нелинейные граничные задачи
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124274
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням / Н.М. Гринців // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 79-90. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-124274
record_format dspace
spelling irk-123456789-1242742017-10-01T17:23:51Z Обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням Гринців, Н.М. Встановлено умови iснування та єдиностi класичних розв’язкiв обернених задач визначення коефiцiєнта при старшiй похiднiй у параболiчних рiвняннях у припущеннi, що коефiцiєнт перед похiдною за часом перетворюється в нуль в початковий момент часу. Дослiджено випадок сильного степеневого виродження. 2009 Article Обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням / Н.М. Гринців // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 79-90. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 0236-0497 MSC (2000): 35R30; 35K65; 45D05 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124274 uk Нелинейные граничные задачи Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Встановлено умови iснування та єдиностi класичних розв’язкiв обернених задач визначення коефiцiєнта при старшiй похiднiй у параболiчних рiвняннях у припущеннi, що коефiцiєнт перед похiдною за часом перетворюється в нуль в початковий момент часу. Дослiджено випадок сильного степеневого виродження.
format Article
author Гринців, Н.М.
spellingShingle Гринців, Н.М.
Обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням
Нелинейные граничные задачи
author_facet Гринців, Н.М.
author_sort Гринців, Н.М.
title Обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням
title_short Обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням
title_full Обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням
title_fullStr Обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням
title_full_unstemmed Обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням
title_sort обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate 2009
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124274
citation_txt Обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням / Н.М. Гринців // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 79-90. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series Нелинейные граничные задачи
work_keys_str_mv AT grincívnm obernenízadačídlâparabolíčnihrívnânʹzvirodžennâm
first_indexed 2025-07-09T01:09:49Z
last_indexed 2025-07-09T01:09:49Z
_version_ 1837129678762016768
fulltext Нелинейные граничные задачи 19, 79-90 (2009) 79 c©2009. Н.М. Гринцiв ОБЕРНЕНI ЗАДАЧI ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ З ВИРОДЖЕННЯМ Встановлено умови iснування та єдиностi класичних розв’язкiв обернених задач визна- чення коефiцiєнта при старшiй похiднiй у параболiчних рiвняннях у припущеннi, що коефi- цiєнт перед похiдною за часом перетворюється в нуль в початковий момент часу. Дослiджено випадок сильного степеневого виродження. Ключевые слова: обернена задача, параболiчне рiвняння з виродженням, функцiя Грi- на MSC (2000): 35R30; 35K65; 45D05 Вступ. При описi таких фiзичних процесiв, як рух рiдин та газiв у пористому сере- довищi, явища в плазмi, опрiснення морських вод та iнших, виникають прямi задачi для параболiчних рiвнянь з виродженням, зокрема й тi, виродження котрих спричиняє коефiцiєнт перед похiдною за часом. В [1] розглянуто рiвняння uxx − tkd(t, x)ut − b(x, t)ux + c(t, x)u = f(t, x) в областi Q = {0 < t ≤ T, 0 < x < ∞}. Показано, що у випадку слабкого (0 < k < 1) виродження вказане рiвняння має в Q єдиний обмежений розв’язок, що задовольняє умови u(0, x) = ψ(x), u(t, 0) = ϕ(t). Якщо ж k ≥ 1 (сильне ви- родження), то єдиний обмежений розв’язок цього рiвняння визначається лише умовою u(t, 0) = ϕ(t). Це означає, що у випадку сильного виродження потрiбно вiдмовитись вiд виконання початкових умов. Лiнiйне параболiчне рiвняння −ϕ(t, x)ut + aij(t, x)uxixj + bi(t, x)uxi + c(t, x)u = f(t, x), яке вироджується на довiльнiй пiдмножинi шару H = {0 < t ≤ T, x ∈ R n}, розглянуто в [2]. У роботi дано визначення слабкого та сильного виродження у виглядi iнтегральної умови, а також знайдено обмеження на допустимий рiст шуканої функцiї, якi забезпечують однозначну розв’язнiсть задачi без почат- кових даних. Умови коректностi деяких крайових задач для лiнiйних параболiчних рiв- нянь другого порядку у припущеннi, що коефiцiєнт перед ut має нуль досить високого порядку при t = 0, знайдено в [3], [4]. Оберненi задачi визначення коефiцiєнта a(t) > 0, t ∈ [0, T ] в параболiчно- му рiвняннi ut = a(t)tβuxx + b(x, t)ux + c(x, t)u+ f(x, t) 80 Н.М. Гринцiв в областi QT = {(x, t) : 0 < x < h, 0 < t < T} вивчались в [5], [6]. Дослiджено випадки слабкого (0 < β < 1) та сильного (β ≥ 1) виродження. Умови iснуван- ня та єдиностi розв’язку встановлено також у випадку −1 < β < 0. Питання розв’язностi обернених задач для параболiчних рiвнянь, виродження котрих спричиняє коефiцiєнт при похiднiй за часом, залишалось вiдкритим. У данiй роботi дослiджуються оберненi задачi визначення залежного вiд часу коефiцiєнта при старшiй похiднiй в рiвняннi теплопровiдностi та повному параболiчному рiвняннi у припущеннi, що коефiцiєнт перед ut дорiвнює нулю при t = 0. Встановлено умови iснування та єдиностi розв’язкiв таких задач у випадку сильного степеневого виродження, а також дослiджено вплив молод- ших членiв рiвняння на розв’язнiсть задачi. 1. Формулювання задач та основнi результати. В областi QT = {(x, t) : 0 < x < h, 0 < t < T} розглядаються оберненi задачi визначення коефiцiєнта a = a(t), a(t) > 0, t ∈ [0, T ] в рiвняннi теплопро- вiдностi tβut = a(t)uxx + f(x, t) (1) та в повному параболiчному рiвняннi tβut = a(t)uxx + b(x, t)ux + c(x, t)u+ f(x, t) (2) з умовами u(0, t) = µ1(t), u(h, t) = µ2(t), 0 ≤ t ≤ T, (3) a(t)ux(0, t) = µ3(t), 0 ≤ t ≤ T, (4) де β > 1 – задане число. Теорема 1. Припустимо, що виконуються умови: 1) µi ∈ C1[0, T ], i = 1, 2, µ3(t) = µ3,0(t)t γ , µ3,0 ∈ C[0, T ], f ∈ C1,0(QT ); 2) fx(x, t) ≥ 0, |f(x, t)| + |fx(x, t)| ≤ A0t β−1+γ, (x, t) ∈ QT , µ3,0(t) > 0, A1t β+γ−1 ≤ f(0, t) − tβµ′1(t) ≤ A2t β+γ−1, 0 ≤ tβµ′2(t) − f(h, t) ≤ A3t β+γ−1, t ∈ [0, T ], де γ > 0 – задане число, Ai, i = 0, 3 — додатнi сталi. Тодi iснує єдиний розв’язок (a, u0) ∈ C[0, T ]×C2,1(QT )∩C1,0(QT ), a(t) > 0, t ∈ [0, T ] задачi (1), (3), (4). Теорема 2. Нехай виконуються умови Теореми 1, а також 1) b, c ∈ C1,0(QT ); 2) |b(x, t)|+|bx(x, t)| ≤ A4t α, |c(x, t)| ≤ A5t α+γ , де α > β−1, A4, A5 — додатнi сталi. Оберненi задачi для параболiчних рiвнянь з виродженням 81 Тодi iснує єдиний розв’язок (a, u) ∈ C[0, T0] × C2,1(QT0) ∩ C1,0QT0 , a(t) > 0, t ∈ [0, T0] задачi (2) - (4), де число T0, 0 < T0 ≤ T визначається вихiдними даними цiєї задачi. 2. Доведення Теореми 1. Припустимо тимчасово, що функцiя a = a(t) вiдома. Для побудови розв’яз- ку u0 = u0(x, t) задачi (1), (3) використаємо метод функцiй Грiна [7, с.49]. Че- рез Gk(x, t, ξ, τ), k = 1, 2 позначимо функцiї Грiна вiдповiдно першої та другої крайових задач для рiвняння (1). Вони визначаються формулою Gk(x, t, ξ, τ) = 1 2 √ π(θ(t) − θ(τ)) +∞ ∑ n=−∞ ( exp ( −(x− ξ + 2nh)2 4(θ(t) − θ(τ)) ) + + (−1)k exp ( −(x+ ξ + 2nh)2 4(θ(t) − θ(τ)) )) , k = 1, 2, (5) де θ(t) − θ(τ) = t ∫ τ a(σ) σβ dσ. Розв’язок задачi (1), (3) має вигляд u0(x, t) = t ∫ 0 G1ξ(x, t, 0, τ) a(τ) τβ µ1(τ)dτ − t ∫ 0 G1ξ(x, t, h, τ) a(τ) τβ µ2(τ)dτ+ + t ∫ 0 h ∫ 0 G1(x, t, ξ, τ) f(ξ, τ) τβ dξdτ, (x, t) ∈ QT . (6) Обчислимо похiдну вiд функцiї u0(x, t) за змiнною x. Для цього використаємо рiвностi G1x = −G2ξ, G2τ = −a(τ) τβ G2ξξ та iнтегрування частинами: u0x(x, t) = t ∫ 0 G2(x, t, 0, τ) ( f(0, τ) τβ − µ′1(τ) ) dτ+ + t ∫ 0 G2(x, t, h, τ) ( µ′2(τ) − f(h, τ) τβ ) dτ+ + t ∫ 0 h ∫ 0 G2(x, t, ξ, τ) fξ(ξ, τ) τβ dξdτ, (x, t) ∈ QT . (7) 82 Н.М. Гринцiв Оцiнимо функцiї u0(x, t) та u0x(x, t), виходячи з формул (6), (7). Оскiльки G1(x, t, ξ, τ) ≤ G2(x, t, ξ, τ) та h ∫ 0 G2(x, t, ξ, τ)dξ = 1, (8) то, враховуючи умови Теореми 1, отримаємо оцiнки ∣ ∣ ∣ ∣ t ∫ 0 h ∫ 0 G1(x, t, ξ, τ) f(ξ, τ) τβ dξdτ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ C1 t ∫ 0 τγ−1dτ ≤ C2t γ , ∣ ∣ ∣ ∣ t ∫ 0 h ∫ 0 G2(x, t, ξ, τ) fx(ξ, τ) τβ dξdτ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ C3t γ . (9) При оцiнюваннi перших двох iнтегралiв правої частини рiвностi (6) викори- стаємо (5): ∣ ∣ ∣ ∣ t ∫ 0 G1ξ(x, t, 0, τ) a(τ) τβ µ1(τ)dτ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ 1 2 √ π max [0,T ] |µ1(t)| t ∫ 0 1 (θ(t) − θ(τ))3/2 a(τ) τβ × × +∞ ∑ n=−∞ (x+ 2nh) exp ( − (x+ 2nh)2 4(θ(t) − θ(τ)) ) dτ ≤ C4. Аналогiчно ∣ ∣ ∣ ∣ t ∫ 0 G1ξ(x, t, h, τ) a(τ) τβ µ2(τ)dτ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ C5. Таким чином, з (6) матимемо |u0(x, t)| ≤ C2t γ + C4 + C5 ≤ C6, (x, t) ∈ QT . (10) Для оцiнки перших двох iнтегралiв, що входять до правої частини формули (7), використаємо нерiвнiсть G2(x, t, ξ, τ) ≤ C7 ( 1 + 1 √ θ(t) − θ(τ) ) . (11) Оберненi задачi для параболiчних рiвнянь з виродженням 83 Беручи до уваги припущення теореми 1 та означення рiзницi θ(t)− θ(τ), отри- маємо I1 ≡ t ∫ 0 G2(x, t, 0, τ) ( f(0, τ) τβ − µ′1(τ) ) dτ ≤ C8 t ∫ 0 ( 1 + 1 √ θ(t) − θ(τ) ) τγ−1dτ ≤ ≤ C9t γ + C10 t ∫ 0 τγ−1 √ θ(t) − θ(τ) dτ ≤ C9t γ + C11 t ∫ 0 t β−1 2 τ β−3 2 +γ √ tβ−1 − τβ−1 dτ. (12) Пiсля замiни τ = zt, знаходимо I1 ≤ C9t γ + C11t β−1 2 +γ 1 ∫ 0 z β−3 2 +γ √ 1 − zβ−1 dz ≤ C9t γ + C12t β−1 2 +γ . Повторюючи тi ж мiркування, приходимо до оцiнки ∣ ∣ ∣ ∣ t ∫ 0 G2(x, t, h, τ) ( µ′2(τ) − f(h, τ) τβ ) dτ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ C13t γ + C14t β−1 2 +γ . В результатi з (7) отримаємо u0x(x, t) ≤ C15t γ + C16t β−1 2 +γ ≤ C17t γ , (x, t) ∈ QT . (13) Рiвняння (4) подамо у виглядi a(t) = µ3(t) u0x(0, t) , t ∈ [0, T ], (14) де u0x(x, t) визначається формулою (7), та знайдемо апрiорнi оцiнки розв’язкiв цього рiвняння. Беручи до уваги (9), (12) та припущення теореми, оцiнимо функцiю a = a(t) знизу, виходячи з рiвняння (14): a(t) ≥ µ3,0(t)t γ C18tγ + C19 t ∫ 0 τγ−1dτ √ θ(t) − θ(τ) , t ∈ [0, T ]. (15) Позначимо amin = min t∈[0,T ] a(t). Враховуючи умови теореми 1 та означення рiз- ницi θ(t) − θ(τ) для amin отримаємо нерiвнiсть C18amin + C20 √ amin − C21 ≥ 0, t ∈ [0, T ], 84 Н.М. Гринцiв звiдки одержуємо amin ≥ B0, або a(t) ≥ B0, t ∈ [0, T ]. (16) Для того, щоб оцiнити a = a(t) зверху, знайдемо оцiнку функцiї u0x(0, t) знизу. В силу припущень теореми одержимо u0x(0, t) ≥ t ∫ 0 G2(0, t, 0, τ) ( f(0, τ) τβ − µ′1(τ) ) dτ = = t ∫ 0 1 √ π(θ(t) − θ(τ)) ( 1 + 2 +∞ ∑ n=1 exp ( − n2h2 θ(t) − θ(τ) ))( f(0, τ) τβ − µ′1(τ) ) dτ≡J1+J2. Розглянемо ряд +∞ ∑ n=1 e− n2h2 z ≥ +∞ ∑ n=1 n+1 ∫ n e− s2h2 z ds = ∞ ∫ 1 e− s2h2 z ds. Пiсля замiни змiнних σ = hs√ z , приходимо до нерiвностi 1√ z +∞ ∑ n=1 e− n2h2 z ≥ 1 h ∞ ∫ h/ √ z e−σ2 dσ. Останню нерiвнiсть та (16) використаємо для оцiнки J2: J2 ≥ C22 t ∫ 0 τγ−1 dτ ∞ ∫ h√ θ(t)−θ(τ) e−σ2 dσ ≥ C22 t ∫ 0 τγ−1 dτ ∞ ∫ C23t β−1 2 τ β−1 2√ tβ−1 −τβ−1 e−σ2 dσ. В отриманому iнтегралi проведемо замiну змiнних τ = zt : J2 ≥ C22t γ 1 ∫ 0 zγ−1 dz ∞ ∫ C23t β−1 2 z β−1 2√ 1−zβ−1 e−σ2 dσ = C22t γ 1/2 ∫ 0 zγ−1 dz ∞ ∫ C23t β−1 2 z β−1 2√ 1−zβ−1 e−σ2 dσ+ +C22t γ 1 ∫ 1/2 zγ−1 dz ∞ ∫ C23t β−1 2 z β−1 2√ 1−zβ−1 e−σ2 dσ ≥ C22t γ 1/2 ∫ 0 zγ−1 dz ∞ ∫ C24T β−1 2 e−σ2 dσ ≥ C25t γ . Оберненi задачi для параболiчних рiвнянь з виродженням 85 Оскiльки згiдно з умовами теореми J1 ≥ 0, то u0x(0, t) ≥ C25t γ , t ∈ [0, T ]. (17) Виходячи з (14), отримуємо оцiнку a(t) ≤ µ3,0(t)t γ C25tγ ≤ B1 <∞, t ∈ [0, T ]. (18) Через N позначимо множину N = {a ∈ C[0, T ] : B0 ≤ a(t) ≤ B1}. Рiвняння (14) подамо у виглядi a(t) = Pa(t), де P визначається правою частиною рiвностi (14). Те, що оператор P цiлком неперервний на N , доводиться подiбно як в [5] i [7, с.27]. Застосовуючи теоре- му Шаудера про нерухому точку цiлком неперервного оператора, отримуємо iснування розв’язку задачi (1), (3), (4). Єдинiсть розв’язку задачi (1), (3), (4) доводитимемо вiд супротивного. Припустимо, що iснують два розв’язки (ai(t), ui(x, t)), i = 1, 2 задачi (1), (3), (4). Рiзницi цих розв’язкiв позначимо вiдповiдно a(t) = a1(t) − a2(t), u(x, t) = u1(x, t) − u2(x, t). Цi рiзницi задовольняють рiвняння tβut = a1(t)uxx + a(t)u2xx, (x, t) ∈ QT (19) та умови u(0, t) = u(h, t) = 0, t ∈ [0, T ], (20) a(t)u2x(0, t) + a1(t)ux(0, t) = 0, t ∈ [0, T ]. (21) За допомогою функцiї Грiна G1(x, t, ξ, τ) для рiвняння tβut = a1(t)uxx задачу (19) - (21) зведемо до iнтегрального рiвняння Вольтерра другого роду вiдносно функцiї a = a(t) : a(t) = − a1(t) u2x(0, t) t ∫ 0 a(τ) τβ dτ h ∫ 0 G1x(0, t, ξ, τ)u2ξξ(ξ, τ)dξ, t ∈ [0, T ]. (22) Ядро рiвняння (22) має iнтегровну особливiсть, а, отже, рiвняння (22) має єди- ний тривiальний розв’язок, що й завершує доведення Теореми 1. 3. Доведення Теореми 2. 86 Н.М. Гринцiв Позначимо v(x, t) ≡ ux(x, t). За допомогою функцiї Грiна G1(x, t, ξ, τ) за- дачу (2) - (4) зведемо до системи рiвнянь u(x, t) = u0(x, t)+ + t ∫ 0 h ∫ 0 G1(x, t, ξ, τ) ( b(ξ, τ) τβ v(ξ, τ) + c(ξ, τ) τβ u(ξ, τ) ) dξdτ, (x, t) ∈ QT , (23) v(x, t) = u0x(x, t)+ + t ∫ 0 h ∫ 0 G1x(x, t, ξ, τ) ( b(ξ, τ) τβ v(ξ, τ) + c(ξ, τ) τβ u(ξ, τ) ) dξdτ, (x, t) ∈ QT , (24) a(t)v(0, t) = µ3(t), t ∈ [0, T ], (25) в якiй u0(x, t), u0x(x, t) визначаються формулами (6), (7). Позначимо V (t) = max x∈[0,h] v(x, t), U(t) = max x∈[0,h] u(x, t), amin(t) = min 0≤τ≤t a(τ). Враховуючи припущення на вихiднi данi та нерiвнiсть h ∫ 0 |G1x(x, t, ξ, τ)|dξ ≤ C26 √ θ(t) − θ(τ) , оцiнимо iнтеграли, котрi мiстяться у правих частинах рiвностей (23), (24): ∣ ∣ ∣ ∣ t ∫ 0 h ∫ 0 G1(x, t, ξ, τ) b(ξ, τ) τβ v(ξ, τ) dξdτ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ C27 t ∫ 0 τα−βV (τ)dτ, ∣ ∣ ∣ ∣ t ∫ 0 h ∫ 0 G1(x, t, ξ, τ) c(ξ, τ) τβ u(ξ, τ) dξdτ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ C28 t ∫ 0 τα−β+γU(τ)dτ, ∣ ∣ ∣ ∣ t ∫ 0 h ∫ 0 G1x(x, t, ξ, τ) b(ξ, τ) τβ v(ξ, τ) dξdτ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ C29 t ∫ 0 τα−βV (τ) √ θ(t) − θ(τ) dτ, (26) ∣ ∣ ∣ ∣ t ∫ 0 h ∫ 0 G1x(x, t, ξ, τ) c(ξ, τ) τβ u(ξ, τ) dξdτ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ C30 t ∫ 0 τα+γ−βU(τ) √ θ(t) − θ(τ) dτ. (27) Беручи до уваги (10), (13), з (23), (24) отримуємо нерiвностi вiдносно функцiй U(t), V (t) : U(t) ≤ C6 + C27 t ∫ 0 τα−βV (τ)dτ + C28 t ∫ 0 τα−β+γU(τ)dτ, (x, t) ∈ QT , (28) Оберненi задачi для параболiчних рiвнянь з виродженням 87 V (t) ≤ C17t γ + C29 t ∫ 0 τα−βV (τ) √ θ(t) − θ(τ) dτ + C30 t ∫ 0 τα+γ−βU(τ) √ θ(t) − θ(τ) dτ, (x, t) ∈ QT . (29) Оцiнимо функцiю a = a(t), виходячи з рiвняння (25). Для цього спочатку знайдемо оцiнку v(0, t) знизу. Враховуючи (17), (26), (27) , стверджуємо, що iснує число t1, 0 < t1 < T , яке визначається з нерiвностi C25 2 t γ 1 − t ∫ 0 h ∫ 0 G1x(x, t, ξ, τ) ( b(ξ, τ) τβ v(ξ, τ) + c(ξ, τ) τβ u(ξ, τ) ) dξdτ ≥ 0, що для функцiї v(0, t) виконується оцiнка v(0, t) ≥ C25 2 tγ , t ∈ [0, t1]. (30) Використовуючи останню нерiвнiсть в (25), отримуємо a(t) ≤ B2, t ∈ [0, t1]. (31) Для оцiнки a(t) знизу розглянемо (28), (29). Розв’язавши нерiвнiсть (28) вiд- носно функцiї U(t), знаходимо U(t) ≤ C31 + C32 t ∫ 0 τα−βV (τ)dτ, t ∈ [0, T ]. (32) Враховуючи (32), для V (t) одержуємо нерiвнiсть V (t) ≤ C33t γ + C34 t ∫ 0 τα+γ−β √ θ(t) − θ(τ) dτ + C35 t ∫ 0 τα−βV (τ) √ θ(t) − θ(τ) dτ. (33) Розв’язуючи нерiвнiсть (33) методом, викладеним в [8], знаходимо V (t) ≤ C36t γ + C37 √ amin(t) tα+γ−β−1 2 + C38 amin(t) t2α+γ−β+1 + C39t α−β+1 amin(t) ( C36t γ+ + C37 √ amin(t) tα+γ−β−1 2 + C38 amin(t) t2α+γ−β+1 ) exp ( t ∫ 0 C40σ α−β amin(σ) dσ ) , t ∈ [0, T ]. (34) 88 Н.М. Гринцiв Пiдставляючи (34) в (25), отримаємо a(t) ≥ µ3,0(t)t γ ( C36t γ + C37 √ amin(t) tα+γ−β−1 2 + C38 amin(t) t2α+γ−β+1 + C39t α−β+1 amin(t) × × ( C36t γ + C37 √ amin(t) tα+γ−β−1 2 + C38 amin(t) t2α+γ−β+1 ) exp ( t ∫ 0 C40σ α−β amin(σ) dσ ))−1 , або, пiсля елементарних перетворень, C36amin(t) + C37t α−β−1 2 √ amin(t) + C38t 2α−β+1 + C39t α−β+1 ( C36 + C37 √ amin(t) + + C38 amin(t) t2α−β+1 ) exp ( t ∫ 0 C40σ α−β amin(σ) dσ ) − C41 ≥ 0. (35) Оскiльки вираз K(t) ≡ C37t α−β−1 2 √ amin(t) + C38t 2α−β+1 + C39t α−β+1 ( C36 + C37 √ amin(t) + + C38 amin(t) t2α−β+1 ) exp ( t ∫ 0 C40σ α−β amin(σ) dσ ) прямує до нуля при t→ 0, то можна вказати таке число t2, 0 < t2 < T, що K(t) ≤ C41 2 , t ∈ [0, t2]. Тодi з нерiвностi (35) отримаємо, що C36amin(t) − C41 2 ≥ 0, звiдки a(t) ≥ B4, t ∈ [0, t2]. (36) Використовуючи оцiнку (36) в нерiвностях (34), (32) знаходимо v(x, t) ≤ C42t γ , (x, t) ∈ [0, h] × [0, t2], (37) u(x, t) ≤ C43, (x, t) ∈ [0, h] × [0, t2]. (38) Доведення iснування розв’язку задачi (2) - (4) закiнчуємо як i у випадку рiв- няння теплопровiдностi. Оберненi задачi для параболiчних рiвнянь з виродженням 89 Для доведення єдиностi розв’язку задачi (2) - (4) використаємо тi ж мiр- кування, що й при доведеннi єдиностi розв’язку задачi (1), (3), (4). У цьому випадку для вiдповiдних рiзниць a(t) = a1(t) − a2(t), u(x, t) = u1(x, t) − u2(x, t) отримаємо задачу tβut = a1(t)uxx + a(t)u2xx + b(x, t)ux + c(x, t)u, (x, t) ∈ QT , (39) u(0, t) = u(h, t) = 0, t ∈ [0, T ], (40) a(t)u2x(0, t) + a1(t)ux(0, t) = 0, t ∈ [0, T ]. (41) Позначимо v(x, t) ≡ ux(x, t). Згiдно з умовами теореми 2 u2x(0, t) > 0, t ∈ (0, T ], тому рiвняння (41) можемо записати у виглядi a(t) = −a1(t)v(0, t) u2x(0, t) , t ∈ [0, T ]. (42) Використовуючи функцiю Грiна G1(x, t, ξ, τ) для рiвняння tβut = a1(t)uxx, задачу (39), (40) замiнимо системою рiвнянь u(x, t) = t ∫ 0 h ∫ 0 G1(x, t, ξ, τ) ( b(ξ, τ) τβ v(ξ, τ) + c(ξ, τ) τβ u(ξ, τ) ) dξdτ+ + t ∫ 0 a(τ) τβ dτ h ∫ 0 G1(x, t, ξ, τ)u2ξξ(ξ, τ)dξ, (x, t) ∈ QT , (43) v(x, t) = t ∫ 0 h ∫ 0 G1x(x, t, ξ, τ) ( b(ξ, τ) τβ v(ξ, τ) + c(ξ, τ) τβ u(ξ, τ) ) dξdτ+ + t ∫ 0 a(τ) τβ dτ h ∫ 0 G1x(x, t, ξ, τ)u2ξξ(ξ, τ)dξ, (x, t) ∈ QT . (44) Оскiльки ядра системи iнтегральних рiвнянь (42) - (44) мають iнтегровнi особ- ливостi, то система має єдиний тривiальний розв’язок. Поклавши T0 = min{t1, t2}, приходимо до твердження Теореми 2. 1. Смирнова Г.Н. Линейные параболические уравнения, вырождающиеся на границе обла- сти // Сиб. мат. ж. – 1963. – Т.4, №2. – С.343-357. 2. Калашников А.С. О растущих решениях линейных уравнений второго порядка с неотри- цательной характеристической формой // Мат. заметки. – 1968. – Т.3, №2. – С.171-178. 3. Джураев Т.Д. О краевых задачах для линейных пераболических уравнений, вырождаю- щихся на границе области // Мат. заметки. – 1972. – Т.12, №5. – С.643-652. 4. Глушак А.В., Шмулевич С.Д. О некоторых корректных задачах для параболических уравнений высокого порядка, вырождающихся по временной переменной // Дифференц. уравн. – 1986. – Т.22, №6. – С.1065-1068. 90 Н.М. Гринцiв 5. Iванчов М.I., Салдiна Н.В. Обернена задача для параболiчного рiвняння з сильним сте- пеневим виродженям // Укр. мат. ж. – 2006. – Т.57, №11. – С.1563-1570. 6. Салдiна Н.В. Iдентифiкацiя старшого коефiцiєнта в параболiчному рiвняннi з вироджен- ням // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. – 2006. – №288. – С.99-106. 7. Ivanchov M.I. Inverse problems for equations of parabolic type. – Lviv: VNTL Publishers, 2003. – 240p. 8. Гринцiв Н.М. Розв’язнiсть оберненої задачi для виродженого параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. – 2006. – №314-315. – С.40-49. Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, Львiв hryntsiv@ukr.net Отримано 15.02.09

Ähnliche Einträge