Об одной многомерной задаче со свободной границей для параболического уравнения с разрывной правой частью и коэффициентами
В работе рассмотрена задача со свободной границей для общего квазилинейного параболического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами и правой частью. Источником такой задачи являются некоторые математические модели горения в пористой среде. Доказано наличие гладкого интерфейса в задаче...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Нелинейные граничные задачи |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124275 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об одной многомерной задаче со свободной границей для параболического уравнения с разрывной правой частью и коэффициентами / С.П. Дегтярев // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 91-105. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124275 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242752017-10-01T17:24:27Z Об одной многомерной задаче со свободной границей для параболического уравнения с разрывной правой частью и коэффициентами Дегтярев, С.П. В работе рассмотрена задача со свободной границей для общего квазилинейного параболического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами и правой частью. Источником такой задачи являются некоторые математические модели горения в пористой среде. Доказано наличие гладкого интерфейса в задаче и гладкость самого решения. 2009 Article Об одной многомерной задаче со свободной границей для параболического уравнения с разрывной правой частью и коэффициентами / С.П. Дегтярев // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 91-105. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0236-0497 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124275 MSC (2000): 35R35; 35K65 ru Нелинейные граничные задачи Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе рассмотрена задача со свободной границей для общего квазилинейного параболического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами и правой частью. Источником такой задачи являются некоторые математические модели горения в пористой среде. Доказано наличие гладкого интерфейса в задаче и гладкость самого решения. |
| format |
Article |
| author |
Дегтярев, С.П. |
| spellingShingle |
Дегтярев, С.П. Об одной многомерной задаче со свободной границей для параболического уравнения с разрывной правой частью и коэффициентами Нелинейные граничные задачи |
| author_facet |
Дегтярев, С.П. |
| author_sort |
Дегтярев, С.П. |
| title |
Об одной многомерной задаче со свободной границей для параболического уравнения с разрывной правой частью и коэффициентами |
| title_short |
Об одной многомерной задаче со свободной границей для параболического уравнения с разрывной правой частью и коэффициентами |
| title_full |
Об одной многомерной задаче со свободной границей для параболического уравнения с разрывной правой частью и коэффициентами |
| title_fullStr |
Об одной многомерной задаче со свободной границей для параболического уравнения с разрывной правой частью и коэффициентами |
| title_full_unstemmed |
Об одной многомерной задаче со свободной границей для параболического уравнения с разрывной правой частью и коэффициентами |
| title_sort |
об одной многомерной задаче со свободной границей для параболического уравнения с разрывной правой частью и коэффициентами |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124275 |
| citation_txt |
Об одной многомерной задаче со свободной границей для параболического уравнения с разрывной правой частью и коэффициентами / С.П. Дегтярев // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 91-105. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Нелинейные граничные задачи |
| work_keys_str_mv |
AT degtârevsp obodnojmnogomernojzadačesosvobodnojgranicejdlâparaboličeskogouravneniâsrazryvnojpravojčastʹûikoéfficientami |
| first_indexed |
2025-07-09T01:09:56Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:09:56Z |
| _version_ |
1837129685495971840 |
| fulltext |
Нелинейные граничные задачи 19, 91-105 (2009) 91
c©2009. С. П. Дегтярев
ОБ ОДНОЙ МНОГОМЕРНОЙ ЗАДАЧЕ СО СВОБОДНОЙ
ГРАНИЦЕЙ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ И КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В работе рассмотрена задача со свободной границей для общего квазилинейного пара-
болического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами и правой частью.
Источником такой задачи являются некоторые математические модели горения в пористой
среде. Доказано наличие гладкого интерфейса в задаче и гладкость самого решения.
Ключевые слова: задача со свободной границей, квазилинейные уравнения с разрыв-
ными коэффициентами
MSC (2000): 35R35; 35K65
1. Постановка задачи и основной результат.
Рассмотрим двухсвязную область Ω в RN с границей состоящей из двух
замкнутых связных непересекающихся поверхностей Γ+ и Γ−, ∂Ω = Γ+∪Γ−, та-
ких, что Γ± ∈ H4+α, α ∈ (0, 1). В данной работе мы пользуемся стандартными
пространствами Гельдера H l, H l, l
2 из [1], а также стандартным определением
поверхностей класса H l, H l, l
2 . Обозначим ΩT = Ω× [0, T ], T > 0, и рассмотрим
следующую начально-краевую задачу для неизвестной функции u(x, t):
∂u
∂t
−
n∑
i,j=1
∂
∂xi
(
aij(x, t, u)
∂u
∂xj
)
≡
≡
∂u
∂t
− (∇, A(x, t, u)∇) u = f(x, t, u,∇u), (x, t) ∈ ΩT , (1.1)
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω, (1.2)
u(x, t) = g±(x, t), (x, t) ∈ Γ±
T = Γ± × [0, T ], (1.3)
где u0(x), g
+(x, t) и g−(x, t) - заданные функции, A(x, t, u) = {aij(x, t, u)} -
матрица коэффициентов, ∇u = ( ∂u
∂x1
, ∂u
∂x2
, ..., ∂u
∂xn
).
При этом предполагаем функции aij(u, x, t) и f(u,∇u, x, t) имеющими раз-
рыв при u = 0, что является главной и существенной особенностью уравнения
(1.1) в нашей постановке :
aij(x, t, u),
∂aij
∂u
,
∂2aij
∂u2
∈ C2(ΩT × [0,+∞)) ∩ C2(ΩT × (−∞, 0]), (1.4)
92 С. П. Дегтярев
f(x, t, u, ξ) ∈ C2(ΩT × (−∞, 0] ×Rn) ∩C2(ΩT × [0,+∞) ×Rn). (1.5)
Таким образом, функции aij(u, x, t) и f(u, ξ, x, t) могут иметь разрыв пер-
вого рода при значении аргумента u = 0. Мы предполагаем также выполнен-
ным условию эллиптичности при всех значениях аргументов функций aij(u, x, t)
, то есть
νξ2 ≤
n∑
i,j=1
aij(x, t, u)ξiξj ≤ ν−1ξ2, (1.6)
где здесь и всюду ниже мы будем использовать обозначения ν и C для всех
абсолютных констант или констант, зависящих только от фиксированных ис-
ходных данных задачи (1.1)-(1.3).
Модельным случаем для уравнения (1.1) с указанными свойствами служит
квазилинейное уравнение
∂u
∂t
−△u = H(u), (1.7)
либо уравнение
∂u
∂t
−△u = sign(u), (1.8)
где H(u) - функция Хевисайда, H(u) ≡ 1, u > 0, H(u) ≡ 0, u ≤ 0. Уравнение
(1.7) возникает в теории горения - см. [2], [3], а также в ряде других областей -
см. [4]- [6], см. также [7]. Важно отметить, что из теории локальной регулярно-
сти решений параболических уравнений следует, что если решение уравнения
(1.7) непрерывно, то оно регулярно в каждой из областей {u > 0} и {u < 0}
и, как следует из уравнения, имеет разрыв старших производных на границе
раздела множеств {u > 0} и {u < 0}. Следовательно, рассмотрение уравнения
типа (1.7) влечет вопрос о нахождении неизвестных заранее областей {u > 0}
и {u < 0}, а также неизвестной границы - интерфейса {u = 0}. Следовательно,
уравнения (1.1), (1.7), (1.8) фактически являются задачей со свободной гра-
ницей, состоящей в нахождении неизвестного заранее интерфейса {u = 0} и
определении его свойств.
В работах [8], [9] уравнение (1.7) рассматривалось ранее в случае одной
пространственной переменной, и в этих работах была получена регулярность
кривой, разделяющей области знакопостоянства решения. В случае двух про-
странственных переменных уравнение (1.7) рассматривалось в работе [10]. В
этой работе предполагалось, что Ω = (0, 1) × (0, 1) и, при определенных огра-
ничениях на данные задачи, было показано, что линия уровня {u = 0} имеет
вид y = f(x, t), причем функция f(x, t) обладает определенной регулярностью.
Об одной многомерной задаче со свободной границей 93
В работе [11] уравнение (1.7) было рассмотрено в многомерном случае и ло-
кально по времени было получено существование решения, свободная граница
которого обладает определенной регулярностью. В этой же работе указаны
условия, при которых решение уравнения (1.7) и свободная граница существу-
ют глобально по времени. В работе [12] для уравнения вида (1.7) при наличии в
уравнении конвективного слагаемого вида a∂u
∂x
в многомерной постановке изу-
чалась устойчивость бегущих волн.
Целью данной работы является рассмотреть не просто модельное урав-
нение вида (1.7), а изучить существование гладкого интерфейса упомянутого
типа локально по времени для общего квазилинейного уравнения вида (1.1),
имеющего разрывы не только в правой части, но и в коэффициентах. Отме-
тим также, что во всех указанных выше работах предполагалось выполненным
условие определенного знакопостоянства правой части
f(u, ξ, x, t) · sign(u) ≥ 0(≤ 0).
В данной работе мы покажем существование гладкого интерфейса и гладкого
решения отказавшись от такого рода ограничений.
Перейдем теперь к формулировке задачи со свободной границей, порож-
даемой задачей (1.1)-(1.3). Так как в данной работе мы будем рассматривать
случай наличия у задачи (1.1)-(1.3) гладкого интерфейса {u = 0}, мы нач-
нем с его параметризации с помощью некоторой неизвестной функции. Пусть
начальная функция u0(x) в (1.3) такова, что множество {u0(x) = 0} пред-
ставляет собой гладкую замкнутую поверхность класса H4+α, лежащую меж-
ду Γ+ и Γ− и разбивающую область Ω на две подобласти Ω+ и Ω−, так что
∂Ω± = Γ ∪ Γ±. Пусть γ0 > 0 достаточно мало. Введем в достаточно малой
окрестности N = {x ∈ Ω : dist(x,Γ) ≤ γ0} поверхности Γ координаты (ω, λ),
где ω - некоторые гладкие координаты на поверхности Γ, λ ∈ R, |λ| ≤ γ0, таким
образом, что если x ∈ N , то единственным образом
x = x(ω) + λ−→n (ω) = x(ω, λ), (1.9)
где x(ω) ∈ Γ - точка поверхности Γ с координатами ω, λ - отклонение точки
x от x(ω) по нормали −→n = −→n (ω) к поверхности Γ в точке x(ω), направленной
внутрь Ω+. Пусть гладкая функция ρ(ω, t) определена на ΓT = Γ×[0, T ], причем
ρ(ω, 0) ≡ 0 на Γ. Тогда уравнение
x = x(ω) + −→n (ω)ρ(ω, t), t ∈ [0, T ],
задает некоторую поверхность Γρ,T в ΩT , которая при |ρ(ω, t)| ≤ γ0 лежит в
окрестности NT = N × [0, T ] поверхности ΓT , причем Γρ,T ∩ {t = 0} = Γ так
как ρ(ω, 0) = 0. Обозначим через Ω±
ρ,T те области, на которые Γρ,T разбивает
область ΩT .
94 С. П. Дегтярев
Рассмотрим следующую задачу, состоящую в нахождения неизвестной функ-
ции ρ(ω, τ), определенной на ΓT , и неизвестных функций u+(y, τ) > 0 и u−(y, τ) <
0, определенных соответственно в областях Ω+
ρ,T и Ω−
ρ,T , по соотношениям (мы
изменили обозначение независимых переменных (x, t) на (y, τ) ввиду последу-
ющей замены переменных):
L±
0 (u±)u± ≡
∂u
∂τ
−
n∑
i,j=1
∂
∂yi
(
a±ij(y, τ, u
±)
∂u±
∂yj
)
=
= f±(y, τ, u±,∇u±), (y, τ) ∈ Ω±
ρ,T , (1.10)
u±(y, 0) = u±0 (y), y ∈ Ω
±
; ρ(ω, 0) = 0, ω ∈ Γ, (1.11)
u±(y, τ) = g±(y, τ), (y, τ) ∈ Γ±
T , (1.12)
u+(y, τ) = u−(y, τ) = 0, (y, τ) ∈ Γρ,T , (1.13)
(ν,A+∇u+) = (ν,A−∇u−), (y, τ) ∈ Γρ,T , (1.14)
±u±(y, τ) > 0, (y, τ) ∈ Ω±
ρ,T , (1.15)
где мы обозначили
(ν,A±∇u±) =
n∑
i,j=1
a±ij(y, τ, 0)
∂u±
∂yj
νi(τ),
где a±ij(u, y, τ) и f±(u,∇u, y, τ) есть сужения функций aij и f из (1.1) на области
{u ≥ 0} и {u ≤ 0} соответственно, u±0 (y), g±(y, τ) - заданные функции, νi(τ)
- координаты вектора единичной нормали к поверхности Γρ,T ∩ {τ = const},
направленного внутрь Ω+
ρ,T . Условия (1.13), (1.14) представляют собой три
условия на неизвестной границе Γρ,T , причем условия (1.13) вместе с (1.15)
означают, что Γρ,T является интерфейсом {u = 0}, а условие (1.14) означает
непрерывность потока, так как уравнение (1.1) должно выполняться в обычном
смысле. Таким образом, ввиду условий (1.13), (1.14), а также условия (1.15),
задача (1.10) - (1.15) эквивалентна задаче (1.1)- (1.3). Отметим, что с целью
удовлетворить условие (1.15) мы накладываем на данные задачи (1.10) - (1.15)
следующее требование
±g±(y, τ) ≥ ν > 0, (y, τ) ∈ Γ±
T ; ±u±0 (y) > 0, y ∈ Ω±. (1.16)
Сформулируем теперь основное утверждение данной статьи.
Об одной многомерной задаче со свободной границей 95
Теорема 1.1 Пусть кроме условий (1.4) - (1.6), (1.16) для задачи (1.10) - (1.15)
выполнены условия согласования до первого порядка включительно при y ∈ Γ±,
τ = 0, а также выполнено условие
|∇u±0 (y)| = |
∂u0(y)
∂−→n
| ≥ ν > 0, y ∈ Γ, (1.17)
и пусть
Γ,Γ± ∈ H4+α, u±0 ∈ H4+α(Ω
±
), g±(y, τ) ∈ H4+α, 4+α
2 (Γ±
T ). (1.18)
Пусть, кроме того, выполнены условия согласования при y ∈ Γ, τ = 0 :
(∇, A+∇u+
0 ) = (∇, A−∇u−0 ), (1.19)
[
(∇, A+∇u+
0 ) + f+(y, 0, 0,∇u+
0 )
]
/
∂u+
0
∂−→n
=
=
[
(∇, A−∇u−0 ) + f−(y, 0, 0,∇u−0 )
]
/
∂u−
0
∂−→n
.
(1.20)
(Условие (1.19) вытекает из (1.14), а условие (1.20) является необходимым
для наличия гладкого интерфейса, как будет показано ниже.)
Тогда на некотором интервале времени [0, T ] задача (1.10) - (1.15) (а, тем
самым, и задача (1.1) - (1.3)) имеет единственное гладкое решение, причем
|ρ|
H
2+α,
2+α
2 (ΓT )
+ |u±|
H
2+α,
2+α
2 (Ωρ,T )
≤ C(T, u±0 , g
±). (1.21)
Доказательство этой теоремы основано на методе, аналогичном методу,
примененному, например, в [13]. Опишем общую схему этого метода. Во пер-
вых, с помощью некоторой замены координат, описанной ниже и зависящей
от неизвестной функции ρ(ω, t), задача (1.10) - (1.15) сводится к задаче в из-
вестных (фиксированных) областях Ω±
T = Ω± × [0, T ] для набора неизвестных
функций ψ = (u+, u−, ρ) и представляется в виде уравнения в функциональных
банаховых пространствах
A(ψ) = F (1.22)
с некоторым гладким по ψ нелинейным оператором A (точное определение
банаховых пространств и оператора A будут даны ниже). Во вторых, путем
продолжения начальных данных (которые предполагаются обладающими по-
вышенной гладкостью) в область t > 0 строится "начальный"элемент ψ0 таким
образом, что величина отклонения F − A(ψ0) является малой для достаточно
96 С. П. Дегтярев
малого интервала [0, T ], ‖F−A(ψ0)‖ ≤ CT δ. Далее, вводится новое неизвестное
ϕ = ψ − ψ0 и уравнение (1.22) представляется в виде
A′(ψ0)ϕ = [F −A(ψ0)] − [A(ψ0 + ϕ) −A′(ψ0)ϕ−A(ψ0)] ≡ F0 −R(ϕ), (1.23)
где A′(ψ0) - линейный оператор, являющийся производной Фреше оператора
A(ψ) в точке ψ0, а оператор R(ψ) содержит только "квадратичные"по ψ сла-
гаемые, в силу гладкости оператора A(ψ) по ψ, . Ниже будет показано, что
оператор A′(ψ0) имеет ограниченный обратный оператор, и поэтому уравнение
(1.23) может быть записано в виде
ϕ = [A′(ψ0)]
−1F0 − [A′(ψ0)]
−1R(ϕ) ≡ K(ϕ).
В этом соотношении нелинейный оператор K(ϕ) обладает свойствами:
‖K(0)‖ ≤ CT δ, ‖K(ϕ)‖C(T δ + ‖ϕ‖2),
‖K(ϕ2) −K(ϕ1)‖ ≤ C(T δ + ‖ϕ1‖ + ‖ϕ2‖) ‖ϕ2 − ϕ1‖ .
Используя эти свойства, нетрудно показать, что при достаточно малом T > 0
оператор K(ϕ) переводит шар {ϕ : ‖ϕ‖ ≤ r} достаточно малого радиуса r в
себя и является в нем сжимающим. Так как такой оператор имеет неподвижную
точку, то единственная неподвижная точка ϕ0 оператора K(ϕ) и дает решение
исходной задачи в виде ψ0 + ϕ0.
Последующие параграфы статьи представляют собой конкретную реали-
зацию описанной схемы.
2. Сведение задачи (1.10) - (1.15) к задаче в фиксированной
области.
Прежде чем сводить задачу (1.10) - (1.15) к задаче в фиксированной об-
ласти, мы, в технических целях, продолжим каждую из функций f±(u, ξ, y, τ)
и a±ij(u, y, τ) на все значения u ∈ R с сохранением гладкости и свойства (1.6).
Такое продолжение стандартно - см., например, [1]. За продолженными функ-
циями мы сохраним те же обозначения, и, таким образом, вместо одной разрыв-
ной при u = 0 функции f(u, ξ, y, τ) мы теперь будем рассматривать две глад-
кие функции f+(u, ξ, y, τ) и f−(u, ξ, y, τ). То же самое касается и разрывных
функций aij(u, y, τ), вместо которых мы теперь будем рассматривать гладкие
функции a±ij(u, y, τ), определенные при всех значениях u ∈ R.
Пусть функция χ(λ) ∈ C∞([0,∞)) такова, что χ(0) = 1, χ(λ) ≡ 0 при
λ ≥ γ0, |χ
′(λ)| ≤ 6/5γ0, где γ0 - малая константа из определения окрестности
N поверхности Γ, и пусть достаточно гладкая функция ρ(ω, t) определена на ΓT
и такова, что ρ(ω, 0) ≡ 0, |ρ(ω, t)| ≤ γ0/2. Следуя [14], определим отображение
Об одной многомерной задаче со свободной границей 97
eρ : (x, t) → (y, τ) цилиндра ΩT на себя используя координаты (ω, λ) из (1.9)
следующим образом
eρ :
{
t→ τ = t
x→ y(x, t) = −→x (ω(x)) + −→n (ω(x))[λ(x) + χ(λ(x))ρ(ω(x), t)].
(2.1)
Таким образом, в окрестности NT = N × [0, T ] координаты (ω, λ) точек x и
y = y(x, t) связаны следующим образом
ω(y) = ω(x), λ(y) = λ(x) + χ(λ(x))ρ(ω(x), t)]. (2.2)
Нетрудно видеть, что при |ρ| достаточно малых отображение eρ является диф-
феоморфизмом областей Ω±
T на области Ω±
ρ,T , причем поверхность ΓT отобра-
жается на поверхность Γρ,T , а сужение отображения eρ на область {t = 0}
является тождественным отображением, eρ(x, 0) ≡ x, и, кроме того, eρ от-
лично от тождественного отображения только в окрестности NT . Чтобы не
усложнять обозначения, неизвестные функции u± после замены переменных
(y, τ) = eρ(x, t) мы будем обозначать тем же символом, то есть u±(x, t) =
u±(y, τ) ◦ eρ(x, t), причем функции u±(x, t) определены уже в известных фик-
сированных областях Ω±
T .
После замены переменных (2.1) в задаче (1.10) - (1.15) эта задача примет
вид (мы опускаем пока условие (1.15) - выполнение этого условия на получен-
ном решении будет проверено отдельно):
L±
ρ (u±)u±(x, t) = f±ρ (x, t, u±,∇ρu
±), (x, t) ∈ Ω±
T , (2.3)
u±(x, 0) = u±0 (x), x ∈ Ω
±
; ρ(ω, 0) = 0, ω ∈ Γ, (2.4)
u±(x, t) = g±(x, t), (x, t) ∈ Γ±
T , (2.5)
u+(x, t) = u−(x, t) = 0, (x, t) ∈ ΓT , (2.6)
Bρ(u
+, u−)u± ≡ (Eρ
−→n ,A+
ρ Eρ∇u
+)− (Eρ
−→n ,A−
ρ Eρ∇u
−) = 0, (x, t) ∈ ΓT . (2.7)
Здесь −→n = −→n (x) - нормаль к Γ, направленная внутрь Ω+, Eρ = Eρ(x, t) - мат-
рица, сопряженная и обратная к матрице Якоби преобразования eρ|t=const, так
что ∇yu→ Eρ∇xu ≡ ∇ρu при такой замене. Далее, A±
ρ - матрица с элементами
a±ij,ρ(u, x, t) = a±ij(u, y, τ) ◦ eρ(x, t), f
±
ρ (u,∇ρu, x, t) = f±(u,∇u, y, τ) ◦ eρ(x, t), L
±
ρ
- параболические операторы, в которые переходят операторы L±
0 из (1.10) при
указанной замене переменных, так что в переменных (x, t)
98 С. П. Дегтярев
L±
ρ (θ±)u± ≡
∂u
∂t
+ (
−→
h ρ,∇xu
±) − (Eρ∇x, Aρ(x, t, θ
±)Eρ∇x)u
±, (2.8)
где
−→
h ρ(x, t) ≡
∂
∂t
x(y, τ)|(y,τ)=eρ(x,t) = −−→n (ω(x))χ(λ(x))
∂ρ
∂t
(ω(x), t),
а условие (2.7) получается при замене координат из (1.14) с учетом того, что
−→ν = Eρ
−→n .
Отметим, что из соотношений (2.3), в силу (2.4), определяются начальные
значения ∂u±/∂t(x, 0) и ∂ρ/∂t(ω, 0). Действительно, полагая в соотношениях
(2.3) t = 0 и x ∈ Γ и учитывая, что u± ≡ 0 на ΓT , получим, учитывая опреде-
ление Lρ в (2.8):
∂ρ
∂t
(ω, 0) = −
(∇, A±∇)u±0 + f±(x, 0, 0,∇u±0 )
∂u±0 /∂n
≡ ρ(1)(ω), (2.9)
где мы учли, что при t = 0 отображение eρ является тождественным, так
что Eρ = I, χ(0) = 1. В силу условия (1.20), соотношения (2.9) однозначно
определяют некоторую функцию ρ(1)(ω). (Соотношения (2.9) показывают, в
частности, что условие (1.20) с необходимостью следует из предположения о
наличия гладкого интерфейса.)
Теперь из соотношений (2.3) вытекает значение ∂u±/∂t(x, 0) при t = 0,
x ∈ Ω:
∂u±
∂t
(x, 0) = χ(λ(x))ρ(1)(ω(x))(−→n (ω(x)),∇u±0 (x))+
+(∇, A±∇)u±0 + f±(x, 0, u±0 (x),∇u±0 ) ≡ u(1)±(x). (2.10)
В силу (1.18) и (1.17) нетрудно видеть, что
ρ(1)(ω) ∈ H2+α(Γ), u(1)±(x) ∈ H2+α(Ω
±
). (2.11)
Определим еще функцию
ũ(1)±(x) ≡ (∇, A±∇)u±0 + f±(x, 0, u±0 (x),∇u±0 ). (2.12)
Продолжим функции u±0 (x), u(1)±(x) и ũ(1)±(x) с областей Ω
±
на всю область Ω
с сохранением класса, сохраняя за новыми функциями те же обозначения. По-
строим, долее, такие функции w±(x, t) ∈ H4+α, 4+α
2 (Ω
±
T ) и σ(ω, t) ∈ H4+α, 4+α
2 (ΓT ),
что
w±(x, 0) = u±0 (x),
∂w±
∂t
(x, 0) = ũ(1)±(x),
Об одной многомерной задаче со свободной границей 99
σ(ω, 0) = ρ(ω, 0) = 0,
∂σ
∂t
(ω, 0) = ρ(1)(ω). (2.13)
Способ построения таких функций описан, например, в [1]. Отметим, что по
построению функций w± и так как σ ≡ 0 при t = 0, выполнено
∂
∂t
[w± ◦ eσ]|t=0 =
∂w±
∂t
+
∂w±
∂λ
∂λ
∂t
= ũ(1)± +
∂w±
∂n
∂σ
∂t
= u(1)±(x).
Поэтому соотношения (2.3)-(2.7) на функциях w±
σ = w± ◦ eσ] σ выполнены при
t = 0, то есть
L±
σ (w± ◦eσ, σ)w± ◦eσ(x, t)−f±σ (x, t, w± ◦eσ,∇σw
± ◦eσ) = 0, x ∈ Ω, t = 0. (2.14)
Тройка ψ0 = (w+
σ , w
−
σ , σ) и является тем элементом, на котором будет
произведена линеаризация задачи (2.3)-(2.7), описанная в конце параграфа 1.
3. Линеаризация задачи (2.3)-(2.7).
Отметим, во первых, что, как нетрудно проверить, для δ ∈ H2+α, 2+α
2 вы-
полнено
lim
ε→0
w± ◦ eσ+εδ − w± ◦ eσ
ε
= (
∂w±
∂λ
◦ eσ)χ(λ)δ(ω(x), t) ≡ b±δ(ω(x), t), (3.1)
то есть правая часть последнего соотношения представляет собой главную ли-
нейную часть отображения ρ → w± ◦ eρ при ρ = σ. Обозначим коэффициент
при δ(ω, t) в правой части (3.1) через b± = b±(x, t).
Вводя теперь в (2.3)-(2.7) новые неизвестные функции
δ(ω, t) = ρ(ω, t) − σ(ω, t), v±(x, t) = u±(x, t) − w± ◦ eσ − b±δ,
а также дифференциальные операторы в соответствии с обозначениями
w±
σ ≡ w± ◦ eσ, L±
0 ≡ L±
0 (w± ◦ eσ), L±
σ ≡ L±
σ (w± ◦ eσ), (3.2)
представим соотношения (2.3)-(2.7) в виде (ср. (1.23))
L±
0 v
±(x, t) =
{
(L±
0 − L±
σ )v± − (L±
0 (w±)w± − f±(x, t, w±,∇w±)) ◦ eσ+δ−
−[L±
σ+δ(v
± + w±
σ + b±δ) − L±
σ+δ(w
±
σ )]w±
σ +
100 С. П. Дегтярев
+[f±σ+δ(x, t, v
± +w±
σ + b±δ,∇(v± +w±
σ + b±δ))−f±σ+δ(x, t, w
± ◦ eσ+δ,∇w
± ◦ eσ+δ)]
}
+
+
{
L±
σ (w± ◦ eσ+δ − w±
σ − b±δ) − (L±
σ+δ(w
±
σ ) − L±
σ )(v± + b±δ)+
+(L±
σ+δ(w
±
σ ) − L±
σ )(w± ◦ eσ+δ − w±
σ )−
−[L±
σ+δ(v
± + w±
σ + b±δ) − L±
σ+δ(w
±
σ )](v± + b±δ)
}
≡
≡ F±
1 (x, t; v±, δ) + F±
2 (x, t; v±, δ), (x, t) ∈ Ω
±
T , (3.3)
v±(x, 0) = 0, x ∈ Ω
±
, δ(ω, 0) = 0, ω ∈ Γ, (3.4)
v±(x, t) = g±(x, t) − w±
σ (x, t) = F±
3 (x, t), (x, t) ∈ Γ±
T , (3.5)
v±(x, t) + b±(x, t)δ = −w±
σ (x, t) ≡ F±
4 (x, t), (x, t) ∈ ΓT , (3.6)
(−→n ,A+(w+
σ )∇v+) − (−→n ,A−(w−
σ )∇v−) ≡ B0v
± ≡ B0(w
±
σ )v± =
=
{
(B0 −Bσ(w±
σ ))v± − (B0w
±) ◦ eσ+δ
}
+
+
{
Bσ(w±
σ )(w± ◦ eσ+δ − w±
σ − b±δ)−
−[Bσ+δ(w
±
σ ) −Bσ(w±
σ )](v± + b±δ)+
+[Bσ+δ(w
±
σ ) −Bσ(w±
σ )](w± ◦ eσ+δ − w±
σ )
}
≡
≡ F±
5 (x, t; v±, δ) + F±
6 (x, t; v±, δ), (x, t) ∈ ΓT . (3.7)
Заметим, что при заданных правых частях Fi в соотношениях (3.3)- (3.7) эти
соотношения представляют собой некоторую линейную задачу для нахождения
функций v± и δ.
Следуя [1], обозначим через H
l, l
2
◦ (Ω
±
T ) подпространства пространств
H l, l
2 (Ω
±
T ), состоящие из функций, которые обращаются в ноль при t = 0 вме-
сте со всеми своими производными по t, которые допускаются классом, то есть
Об одной многомерной задаче со свободной границей 101
до порядка [l/2]. Эти пространства обладают тем свойством (см. [1]), что для
функций u и v из этих пространств, если 0 < l′ < l, то
|u|
H
l′, l′
2 (ΩT )
≤ CT
l−l′
2 |u|
H
l, l
2 (ΩT )
, (3.8)
|uv|
Hl, l
2 (ΩT )
≤ CT
l−[l]
2 |u|
Hl, l
2 (ΩT )
|v|
Hl, l
2 (ΩT )
. (3.9)
Отметим теперь, что функции F±
i (v±, δ, x, t) в правых частях соотношений
(3.3)- (3.7) обладают следующими свойствами. Во первых, из способа их постро-
ения с учетом свойств w± и σ следует, что если задать в них v± ∈ H
2+α, 2+α
2
◦ (Ω
±
T ),
δ ∈ H
2+α, 2+α
2
◦ (ΓT ), то при t = 0 выполнено F±
i (0, 0, x, 0) ≡ 0. Отсюда, в частно-
сти, вытекает, что если в правых частях соотношений (3.3)- (3.7) задать неко-
торые v± ∈ H
2+α, 2+α
2
◦ (Ω
±
T ) и δ ∈ H
2+α, 2+α
2
◦ (ΓT ), то левые части указанных со-
отношений определяют линейную задачу для нахождения новых v± и δ из тех
же классов.
Во вторых, функции Fi в правых частях (3.3)- (3.7) определены таким об-
разом, что удовлетворяют соотношениям (в которых ψ = (v+, v−, δ) ∈
H
2+α, 2+α
2
◦ (Ω
+
T ) ×H
2+α, 2+α
2
◦ (Ω
−
T ) ×H
2+α, 2+α
2
◦ (ΓT )):
|F±
1 (x, t, ψ)|
H
α, α
2 (ΩT )
≤ CT
α
2 (1 + ‖ψ‖), (3.10)
|F±
1 (x, t, ψ2) − F±
1 (x, t, ψ1)|Hα, α
2 (ΩT )
≤ CT
α
2 (1 + ‖ψ1‖ + ‖ψ2‖) ‖ψ2 − ψ1‖ , (3.11)
|F±
2 (x, t, ψ)|
Hα, α
2 (ΩT )
≤ C ‖ψ‖2 , (3.12)
|F±
2 (x, t, ψ2) − F±
2 (x, t, ψ1)|Hα, α
2 (ΩT )
≤ C(‖ψ1‖ + ‖ψ2‖) ‖ψ2 − ψ1‖ , (3.13)
|F±
3 (x, t)|
H2+α,
2+α
2 (Γ±
T
)
+ |F±
4 (x, t)|
H2+α,
2+α
2 (ΓT )
≤ CT
α
2 , (3.14)
|F5(x, t, ψ)|
H1+α,
1+α
2 (ΓT )
≤ CT
α
2 (1 + ‖ψ‖), (3.15)
|F5(x, t, ψ2) − F5(x, t, ψ1)|
H1+α,
1+α
2 (ΓT )
≤ CT
α
2 (‖ψ1‖ + ‖ψ2‖) ‖ψ2 − ψ1‖ , (3.16)
|F6(x, t, ψ)|
H1+α,
1+α
2 (ΓT )
≤ C ‖ψ‖2 , (3.17)
102 С. П. Дегтярев
|F6(x, t, ψ2) − F6(x, t, ψ1)|
H
1+α,
1+α
2 (ΓT )
≤ C(‖ψ1‖ + ‖ψ2‖) ‖ψ2 − ψ1‖ . (3.18)
Смысл соотношений (3.10)- (3.18) состоит в том, что в левой части системы
(3.3)- (3.7) стоят главные линейные по v± и δ части системы (2.3)- (2.7), а
все "квадратичные"и младшие по порядку дифференцирования слагаемые, а
также значения операторов системы (2.3)- (2.7) на элементах w±
σ и σ, отнесены
в правую часть. При этом функции F±
1 и F5 содержат младшие по порядку или
более гладкие слагаемые, так что при получении оценок (3.10), (3.11), (3.15),
(3.16) мы воспользовались неравенствами (3.8), (3.9). Этими же неравенствами
мы воспользовались в оценке (3.14). Оценки же (3.12), (3.13), (3.17) и (3.18)
следуют из того, что функции F±
2 и F6 не зависящих от ψ или линейных по ψ
слагаемых и носят квадратичный характер - при этом мы используем гладкость
по своим аргументам функций a±ij(u, x, t) и f±(u,∇u, x, t), а также гладкость
поверхности Γ.
4. Линейная задача.
Как отмечено выше, при заданных правых частях Fi в соотношениях (3.3)-
(3.7) левые части этих соотношений определяют следующую линейную задачу
для нахождения неизвестных функций v± и δ:
∂v±
∂t
−
n∑
i,j=1
∂
∂xi
(
b±ij(x, t)
∂v±
∂xj
)
= f±1 , (x, t) ∈ Ω±
T , (4.1)
v±(x, 0) = 0, δ(ω, 0) = 0, (4.2)
v±(x, t) = f±2 (x, t), (x, t) ∈ Γ±
T , (4.3)
n∑
i,j=1
b+ij(x, t)
∂u+
∂xj
ni −
n∑
i,j=1
b−ij(x, t)
∂u−
∂xj
ni = f3, (x, t) ∈ ΓT , (4.4)
v±(x, t) + b±(x, t)δ = f±4 (x, t), (x, t) ∈ ΓT , (4.5)
где b±ij(x, t) = a±ij(x, t, w
±
σ (x, t)) ∈ H2+α, 2+α
2 (Ω
±
T ), b±(x, t) = ∂w±
∂n
∈ H2+α, 2+α
2 (ΓT ),
b±(x, t) ≥ ν > 0.
Особенностью данной задачи является то, что неизвестная функция δ вхо-
дит только в соотношения (4.5), так что эту неизвестную функцию можно ис-
ключить умножая соотношение (4.5) для знака + на b−, а это же соотношение
для знака − на b+ и вычитая одно из другого. В результате вместо (4.5) полу-
чим
Об одной многомерной задаче со свободной границей 103
b−v+(x, t) − b+v−(x, t) = f4 ≡ b−f+
4 − b+f−4 , (x, t) ∈ ΓT . (4.6)
Полученная задача (4.1) - (4.4), (4.6) представляет собой известную задачу
дифракции, или задачу сопряжения. Эта задача хорошо изучена и из результа-
тов работ [15] - [18] следует, что при соответствующей гладкости правых частей
(см. (4.7) ниже) задача (4.1) - (4.4), (4.6) однозначно разрешима в ΩT , причем
для ее решения справедлива оценка
|v+|
(2+α)
Ω+
T
+ |v−|
(2+α)
Ω−
T
≤ C(|f+
1 |
(α)
Ω+
T
+ |f−1 |
(α)
Ω−
T
+ |f+
2 |
(2+α)
Γ+
T
+ |f−2 |
(2+α)
Γ−
T
+
+|f3|
(1+α)
ΓT
+ |f+
4 |
(2+α)
ΓT
+ |f−4 |
(2+α)
ΓT
) ≡ CM(T ). (4.7)
После того, когда функции v± найдены, функция δ легко определяется из со-
отношения (4.5), причем
|δ|
(2+α)
ΓT
≤ CM(T ). (4.8)
Следовательно, для любых функций f±1 ∈ Hα, α
2 (Ω
±
T ), f±2 ∈ H2+α, 2+α
2 (Γ±
T ),
f3 ∈ H1+α, 1+α
2 (ΓT ), f±4 ∈ H2+α, 2+α
2 (ΓT ) задача (4.1) - (4.5) имеет единственное
решение, причем
|v+|
(2+α)
Ω+
T
+ |v−|
(2+α)
Ω−
T
+ |δ|
(2+α)
ΓT
≤ CM(T ). (4.9)
5. Нелинейная задача (3.3) - (3.7).
Определим на достаточно малом шаре Br = Br(0) радиуса r пространства
H = H
2+α, 2+α
2
◦ (Ω
+
T ) × H
2+α, 2+α
2
◦ (Ω
−
T ) × H
2+α, 2+α
2
◦ (ΓT ) нелинейный оператор K,
который каждой тройке ψ = (v+, v−, δ) ∈ Br ⊂ H ставит в соответствие элемент
K(ψ) = (ṽ+, ṽ−, δ̃) - решение линейной задачи (3.3) - (3.7) с правыми частями
Fi(v
±, δ, x, t), в которых зафиксированы заданные (v+, v−, δ) = ψ. На основании
параграфа ?? такой оператор корректно определен из H в H. Кроме того, из
оценки (4.9) и из оценок (3.10) - (3.18) следует, что оператор K(ψ) обладает
свойствами
‖K(ψ)‖H ≤ C[(1 + ‖ψ‖H)T
α
2 + ‖ψ‖2
H ]; (5.1)
‖K(ψ2) −K(ψ1)‖H ≤ C(T
α
2 + ‖ψ1‖H + ‖ψ2‖H) ‖ψ2 − ψ1‖H . (5.2)
104 С. П. Дегтярев
Из оценок (5.1), (5.2) вытекает, что при достаточно малых r > 0 и T > 0
оператор K переводит шар Br в себя и является там сжимающим. Единствен-
ная неподвижная точка этого оператора и дает, очевидно, решение нелинейной
задачи (3.3) - (3.7), а, тем самым, и задачи (2.3) - (2.7) кроме.
Кроме того, из определения v± следует, что для найденных таким образом
функций u± в (2.3) - (2.7) выполнено
|u±−u±0 |
(1+α)
Ω+
T
≤ |v±|
(1+α)
Ω±
T
+ |b±δ|
(1+α)
ΓT
+ |w± ◦eσ −u
±
0 |
(1+α)
Ω±
T
≤ CT
α′
−α
2 , α′ ∈ (α, 1).
(5.3)
где мы воспользовались неравенствами (3.8). Таким образом, при достаточно
малом T > 0 сами функции u±(x, t) и их градиенты ∇u±(x, t) мало отличаются
от u±0 (x, t) и ∇u±0 (x, t) соответственно в Ω±
T . Учитывая условие (1.17) нетрудно
показать, что если T в (5.3) достаточно мало, то, ввиду второго из условий
(1.16), ±u±(x, t) > 0 при x ∈ Ω± (то есть в открытых областях). Следователь-
но, функции f±ρ и a±ij,ρ в соотношениях (2.3) - (2.7) совпадают, после обратной
замены переменных, с исходными функциями f и aij из уравнения (1.1) в об-
ластях Ω±
ρ,T . Тем самым полученные функции u±(x, t) после обратной замены
переменных дают гладкое вне гладкого интерфейса {u = 0} решение задачи
(1.1)- (1.3).
Этим завершается доказательство Теоремы 1.1. �
1. О.А.Ладыженская, В.А.Солонников, Н.Н.Уральцева. Линейные и квазилинейные урав-
нения параболического типа.// М., "Наука".- 1967.
2. J.Norburu, A.M.Stuart. A Model for Porous Medium Combustion//Quart.J.Appl.Math. -
1989.- 42.- P.159-178.
3. J.Norburu, A.M.Stuart. Parabolic Free Boundary Problems Arising in Porous Medium Com-
bustion // IMA J.Appl.Math.-1987.-V.39.-P.241-257.
4. A.A.Lacey. The Spatial Dependence of Supercritical Reacting Systems//IMA J.Appl.Math.-
1981.-V.27.-P.71-84.
5. J.Rinzel, J.B.Keller. Traveling Wave Solutions of a Nerve Conducting Equation// Biophysics
J.- 1973.-V.13.-P.1313-1337.
6. A.Friedman, A.E.Tzavaras. Combustion in a Porous Medium// Siam.J.Math.Anal.- 1988.-
V.19(3).-P.509-519.
7. R.Gianni, P.Manucci. Some Existence Theorems for an N-dimensional Parabolic Equation
with a Discontinuous Source Term// Preprint.- 1991.
8. R.Gianni, J.Hulshof. The semilinear heat equation with a Heawiside source term.// Eur. J.
Appl. Math.-1992.-V.3.-№4.-P.367-379.
9. R.Gianni, P.Manucci. Existence theorems for a free boundary problem in combustion theory//
Q.Appl.Math.- 1993.-V.51.-№1.-P.43-53.
10. R.Gianni, P.Manucci. Some existence theorems for n-dimensional parabolic equation with a
discontinuous source term// SIAM J.Math.Anal.- 1993.-V.24.-№3.-P.618-633.
11. R.Gianni. Existence of the free boundary in a multi-dimensional combustion problem// Proc.
R. Soc. Edinb..-Sect.A.- 1995.-V.125.-№3.-P.525-544.
12. C.-M. Brauner, J.-M. Roquejoffre, C. Shmidt-Laine. Stability of travelling waves in a parabolic
equation with discontinuous source term// Comm.Appl.Nonl.Anal.- 1996.-V.2(4).-P.83-100.
Об одной многомерной задаче со свободной границей 105
13. Б.В. Базалий, С.П. Дегтярев. О классической разрешимости многомерной задачи Сте-
фана при конвективном движении вязкой несжимаемой жидкости// Матем. Сборник. -
1987. -Т.132(174). -№1. -С.3-19.
14. E.-I. Hanzawa. Classical solutions of the Stefan problem// Tohoku Math.Journ.- 1981.-№33.-
P.297-335.
15. Н.В.Житарашу. Шаудеровские оценки и разрешимость общих краевых задач для общих
параболических систем с разрывными коэффициентами// ДАН СССР.- 1966.-Т.169.-
№3.-С.511-514.
16. О.А.Ладыженская, В.Я.Ривкинд, Н.Н.Уральцева. О классической разрешимости задачи
дифракции// Труды мат. ин-та им.В.А.Стеклова.- 1966.-Т.92.-С.116-146.
17. В.А.Солонников. О краевых задачах для линейных параболических систем дифферен-
циальных уравнений общего вида// Труды мат. ин-та им.В.А.Стеклова.- 1965.-Т.83.-184
С.
18. Ж.Я.Цаповска. Решение параболической задачи сопряжения в нецилиндрической обла-
сти методом потенциала// Мат.Методы Физ.-Мех. Поля.- 1999.-Т.42.-№2.-С.39-46.
ИПММ НАН Украины,
ул. Розы Люксембург, 74,
83114, Донецк, Украина
Получено 16.05.2009
|