Задача сопряжения для системы теории упругости с динамическим условием на линии сопряжения
Доказана классическая разрешимость задачи сопряжения при взаимодействии двух упругих сред с динамическим условием на линии сопряжения, включающем уравнение параболического типа для функции, моделирующей отклонение линии контакта от положения равновесия....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Назва видання: | Нелинейные граничные задачи |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124276 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача сопряжения для системы теории упругости с динамическим условием на линии сопряжения / Н.В. Краснощек // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 106-124. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124276 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242762017-10-01T17:25:01Z Задача сопряжения для системы теории упругости с динамическим условием на линии сопряжения Краснощек, Н.В. Доказана классическая разрешимость задачи сопряжения при взаимодействии двух упругих сред с динамическим условием на линии сопряжения, включающем уравнение параболического типа для функции, моделирующей отклонение линии контакта от положения равновесия. 2009 Article Задача сопряжения для системы теории упругости с динамическим условием на линии сопряжения / Н.В. Краснощек // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 106-124. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0236-0497 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124276 MSC (2000): 35R35, 74G40 ru Нелинейные граничные задачи Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Доказана классическая разрешимость задачи сопряжения при взаимодействии двух упругих сред с динамическим условием на линии сопряжения, включающем уравнение параболического типа для функции, моделирующей отклонение линии контакта от положения равновесия. |
| format |
Article |
| author |
Краснощек, Н.В. |
| spellingShingle |
Краснощек, Н.В. Задача сопряжения для системы теории упругости с динамическим условием на линии сопряжения Нелинейные граничные задачи |
| author_facet |
Краснощек, Н.В. |
| author_sort |
Краснощек, Н.В. |
| title |
Задача сопряжения для системы теории упругости с динамическим условием на линии сопряжения |
| title_short |
Задача сопряжения для системы теории упругости с динамическим условием на линии сопряжения |
| title_full |
Задача сопряжения для системы теории упругости с динамическим условием на линии сопряжения |
| title_fullStr |
Задача сопряжения для системы теории упругости с динамическим условием на линии сопряжения |
| title_full_unstemmed |
Задача сопряжения для системы теории упругости с динамическим условием на линии сопряжения |
| title_sort |
задача сопряжения для системы теории упругости с динамическим условием на линии сопряжения |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124276 |
| citation_txt |
Задача сопряжения для системы теории упругости с динамическим условием на линии сопряжения / Н.В. Краснощек // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 106-124. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Нелинейные граничные задачи |
| work_keys_str_mv |
AT krasnoŝeknv zadačasoprâženiâdlâsistemyteoriiuprugostisdinamičeskimusloviemnaliniisoprâženiâ |
| first_indexed |
2025-07-09T01:10:02Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:10:02Z |
| _version_ |
1837129692453273600 |
| fulltext |
106 Нелинейные граничные задачи 19, 106-124 (2009)
c©2009. Н. В. Краснощек
ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ С ДИНАМИЧЕСКИМ УСЛОВИЕМ
НА ЛИНИИ СОПРЯЖЕНИЯ
Доказана классическая разрешимость задачи сопряжения при взаимодействии двух
упругих сред с динамическим условием на линии сопряжения, включающем уравнение па-
раболического типа для функции, моделирующей отклонение линии контакта от положения
равновесия.
Ключевые слова: задача сопряжения, неоднородная среда, теория упругости, метод
продолжения по параметру
MSC (2000): 35R35, 74G40
Введение.
Пусть две упругих среды занимают области Π1 = {x ∈ R2, 0 < x2 < H1},
Π2 = {x ∈ R2, −H2 < x2 < 0}, где H1, H2 - произвольные положительные
постоянные. Предположим, что модули Юнга E1, E2 данных сред различны, а
(для упрощения выкладок) коэффициенты Пуассона совпадают: ν1 = ν2 = ν. В
дальнейшем обозначим через u(1) = (u
(1)
1 , u
(1)
2 ) и u(2) = (u
(2)
1 , u
(2)
2 ) векторы сме-
щений в 1-й и 2-й средах соответственно (аналогично, индексом вверху будут
обозначаться деформации, напряжения и внешние воздействия в соответству-
ющих средах), а через u следующую функцию:
u =
u(1), x ∈ Π1,
u(2), x ∈ Π1.
Для произвольной функции v обозначим через [v] = v|x2=+0 − v|x2=−0 ска-
чок на прямой x2 = 0. Рассмотрим задачу: найти функции u(1)(x, t), u(2)(x, t),
ρ(x1, t) такие, что
1
1−2ν∇divu(i) + ∆u(i) = F
(i), x ∈ Πi, t > 0, i = 1, 2,
σ
(1)
i2 = Gi, x2 = H1, t > 0, i = 1, 2,
u(2) = 0, x2 = −H2, t > 0,
[σ12] = H1, [σ22] + b0ρx1x1 = H2, x2 = 0, t > 0,
[u1] = 0, [u2] − b1ρ = 0, x2 = 0, t > 0,
(1)
Задача сопряжения 107
ρt − aρx1x1 + a0ρ− u
(1)
2 + c
[
σ22
E
]
= H0(x1, t), x2 = 0, t > 0, (2)
ρ(x1, 0) = 0, (3)
здесь σij - напряжения,
[
σ22
E
]
=
σ
(1)
22
E1
− σ
(2)
22
E2
, F
(i), Gi, Hi - заданные функции,
периодические по переменной x1 с периодом равным 2π, а b0, b1, a0, a, c -
произвольные положительные постоянные.
Напомним некоторые соотношения линейной теории упругости:
ε
(k)
ij = 1
2
(
∂u
(k)
i
∂xj
+
∂u
(k)
j
∂xi
)
, ε(k) = divu(k),
σ
(k)
ij = Ek
1+ν
(
ε
(k)
ij + ν
1−2ν ε
(k)δij
)
, i, j, k = 1, 2.
Задача данного типа возникает при исследовании задачи со свободной гра-
ницей при взаимодействии двух упругих сред (см., например, [1], [2]), а именно
при линеаризации исходной задачи в малой окрестности стационарного реше-
ния с плоским фронтом. Изучению данной задачи в полной постановке будет
посвящена отдельная статья.
Считаем, что выполнены следующие предположения
H1) F
(i) ∈ C(0,α)(Ω
(i)
T ), Gi ∈ C(0,1+α)(ST ), Hj ∈ C(0,1+α)(ST ), i = 1, 2; j =
0, 1, 2;
H2) F
(i)|t=0 = 0, Gi|t=0 = 0, Hj|t=0 = 0, i = 1, 2; j = 0, 1, 2.
Основная особенность задачи (1)-(3) состоит в том, что в уравнении для
функции ρ первое и четвертое слагаемые являются равносильными по поряд-
ку, то есть фактически содержат вторую производную ρx1x1 . В данной связи
заметим, на примере однородной задачи, что если E1 = E2 = E, то из условия
[σ22] = −b0ρx1x1 следует, что в этом случае ρ удовлетворяет уравнению:
ρt −
(
a+
c
E
)
ρx1x1 + a0ρ+ u
(1)
2 = H0(x1, t).
Подход, предлагаемый в данной статье, состоит, в применении метода про-
должения по параметру. Введем параметр λ ∈ [0, 1] и рассмотрим уравнение
ρt − aρx1x1 + λ
(
a0ρ− u
(1)
2 + c
[σ22
E
])
= H0, x2 = 0, t > 0, (2λ)
которое при λ = 1 совпадает с уравнением (2), а при λ = 0 переходит в урав-
нение теплопроводности
ρt − aρx1x1 = H0, (20)
а значит мы можем сначала найти ρ, а потом - смещения u(1), u(2) из задачи
сопряжения (1). План работы состоит в том, чтобы 1) доказать разрешимость
108 Н. В. Краснощек
задачи (1), (20), (3); 2) получить равномерные по λ оценки решения задачи (1),
(2λ), (3); 3) применить теорему о продолжении по параметру.
Эволюционные задачи со свободными границами для эллиптических урав-
нений и систем изучались во многих работах при помощи различных подходов.
Не претендуя на полноту изложения, укажем на некоторые из них. В работе [3]
при доказательстве разрешимости линеаризованной задачи применяется метод
поточечных оценок Шаудера и теорема Фредгольма, в работах [4] и [5] метод
построения регуляризатора в пространствах Гельдера и Бесова-Никольского
соответственно, в [6] используется метод разделения переменных, в [7] - теория
полугрупп, в работе [8] исходная задача регуляризуется: для функции, опи-
сывающей отклонение свободной границы от начального положения, рассмат-
ривается параболическое уравнение 4-го порядка с малым параметром ǫ при
старших производных по пространственным переменным, а затем производит-
ся предельный переход по ǫ, в работе [9] постановка задачи (задача Веригина)
позволяет сначала "решить" задачу сопряжения для эллиптического уравне-
ния, а затем "найти" свободную границу: при этом существенную роль игра-
ет изучение модельной задачи сопряжения и последующее применение метода
Шаудера.
1. Основные обозначения. Задача при λ = 0. Оценка
максимума модуля в задаче сопряжения.
Обозначим через S окружность единичного радиуса. В дальнейшем, не
указывая на периодичность рассматриваемых функций по x1, будем говорить,
что x1 ∈ S. Введем следующие обозначения: Σ(1) = {(x1, x2) : x1 ∈ S, x2 = H1},
Σ(2) = {(x1, x2) : x1 ∈ S, x2 = −H2}, Γ = {(x1, x2) : x1 ∈ S, x2 = 0},
Ω(1) = {x : x ∈ S × (0,H1)} Ω(2) = {x : x ∈ S × (−H2, 0)}, Ω = {x : x ∈
S × (−H2,H1)}. Обозначим Σ
(1)
T = {(x, t) : x ∈ Σ(1), t ∈ (0, T )}, определив
аналогичным образом множества Σ
(2)
T , ΓT , ST , Ω
(1)
T , Ω
(2)
T , ΩT .
Пусть Q одно из множеств на плоскости, перечисленных выше. Положим
(k - целое неотрицательное число, 0 < α < 1)
|v|(0)Q = sup
Q
|v| , |v|(k)
Q =
∑
0≤|j|≤k
∣∣Djv
∣∣(0)
Q
,
〈v〉(α)
Q = sup
x,y∈Q
|v(x)−v(y)|
|x−y|α , 〈v〉(k+α)
Q =
∑
|j|=k
〈
Djv
〉(α)
Q
.
Напомним, что норма в пространстве Гёльдера задаётся формулой |v|(k+α)
Q =
|v|(k)
Q + 〈v〉(k+α)
Q .
Следуя работе [10], введем пространства C0,α (QT ), состоящее из непре-
рывных и ограниченных в QT функций v(x, t), непрерывных по Гёльдеру с
показателем α равномерно по t.
Задача сопряжения 109
Далее введем пространства C0,k+α (QT ) функций v(x, t) таких, что сами
функции и их производные по пространственным переменным до k-го поряд-
ка включительно принадлежат C0,α (QT ). Норма в пространстве C0,k+α (QT )
задается формулой
|v|(k+α)
QT
= sup
0≤t≤T
|v(·, t)|(k)
Q + sup
0≤t≤T
〈v(·, t)〉(k+α)
Q .
Для вектора u(i) принадлежность пространству C0,k+α
(
Ω
(i)
T
)
означает, что
u
(i)
j ∈ C0,k+α
(
Ω
(i)
T
)
для j = 1, 2, причем
∣∣∣u(i)
∣∣∣
(k+α)
Ω
(i)
T
=
∣∣∣u(i)
1
∣∣∣
(k+α)
Ω
(i)
T
+
∣∣∣u(i)
2
∣∣∣
(k+α)
Ω
(i)
T
.
В свою очередь, обозначим
|u|(k+α)
ΩT
=
∣∣∣u(1)
∣∣∣
(k+α)
Ω
(1)
T
+
∣∣∣u(2)
∣∣∣
(k+α)
Ω
(2)
T
.
Также будем использовать пространства
C1,2+α (ST ) =
{
v|v ∈ C0,2+α (ST ) , vt ∈ C0,α (ST )
}
и
C1,3+α (ST ) =
{
v| v ∈ C0,3+α (ST ) , vt ∈ C0,1+α (ST )
}
с нормами
‖v‖(2+α)
ST
= |v|(2+α)
ST
+ |vt|(α)
ST
и
‖v‖(3+α)
ST
= |v|(3+α)
ST
+ |vt|(1+α)
ST
соответственно.
Из Теоремы 3.0.12 работы [10] непосредственно следует следующее утвер-
ждение.
Лемма 1. Пусть H0 ∈ C0,α (ST ), тогда существует единственное классиче-
ское решение задачи (20), (3) такое, что u ∈ C1,2+α (ST ).
Рассматривая задачу вида (20), (3) для конечно-разностного отношения
(u(x+ δ, t)−u(x, t))/δ и правой части (H0(x+ δ, t)−H0(x, t))/δ, можем продиф-
ференцировать уравнение (20) по x1 и убедиться в справедливости леммы.
Лемма 2. Пусть H0 ∈ C0,1+α (ST ), тогда u ∈ C1,3+α (ST ).
110 Н. В. Краснощек
Теперь рассмотрим стационарную задачу сопряжения
1
1−2ν∇divu(i) + ∆u(i) = F
(i), x ∈ Ω(i), i = 1, 2,
σ
(1)
i2 = Gi, x ∈ Γ(1), i = 1, 2, u(2) = 0, x ∈ Γ(2),
[σ12] = φ1, [σ22] = φ2, x ∈ S, [u1] = ψ1, [u2] = ψ2, x ∈ S.
(4)
Заметим, что для единственности решения данной задачи достаточно предпо-
ложить, что u(i) ∈W 1
2 (Ω(i)), i = 1, 2. Действительно, однородную задачу можно
записать в виде
2∑
j,k,l=1
∂
∂xj
(
cijkl(x)
∂uk
∂xl
)
= 0, x ∈ Ω, i = 1, 2,
2∑
k,l=1
ci2kl
∂uk
∂xl
= 0, x ∈ Γ(1), i = 1, 2,
u = 0, x ∈ Γ(2),
здесь cijkl(x) - кусочно-постоянные компоненты тензора упругости, значения
которых зависят от E1, E2, ν. Поскольку на части границы решение обращается
в нуль, можем применить неравенство Корна и тогда
∑
i,j=1,2
∫
Ω
∣∣∣∣
∂ui
∂xj
∣∣∣∣
2
dx ≤ C
2∑
i,j,k,l=1
∫
Ω
cijkl(x)
∂uk
∂xl
∂ui
∂xj
dx = 0,
а значит u = 0 п.в. в Ω.
Подробная библиография работ, в которых изучена проблема оценки мак-
симума модуля смещений для различных задач теории упругости, приведена
в [11]. К сожалению, не удалось найти результатов, которые можно было бы
непосредственно применить к задаче (4). Поэтому ход рассуждений состоит в
следующем: используя известную из [12] оценку решения u(i) в соболевском
пространстве W 2
2 (Ω(i)) i = 1, 2, применить теорему вложения:
|u|(0)
Ω(i) ≤ Ci‖u,W 2
2 (Ω(i))‖, i = 1, 2. (5)
Обозначим через W 2
2 (Ω) прямую сумму пространств W 2
2 (Ω(1)) +W 2
2 (Ω(1)).
В силу приведенных выше соображений о единственности, можем применить
оценку Теоремы 2 работы [12] (см. также [13]):
‖u,W 2
2 (Ω)‖ ≤ K
(
∑
i=1,2
‖F(i), L2(Ω
(i))‖+
+‖G(i),W
1/2
2 (S))‖ + ‖ψi,W
3/2
2 (S)‖ + ‖φi,W
1/2
2 (S)‖
)
(6)
Задача сопряжения 111
Для дальнейших рассуждений можно огрубить последнюю оценку и записать
её в виде
‖u,W 2
2 (Ω)‖ ≤ K
∑
i=1,2
(∣∣F(i)
∣∣(0)
Ω(i) +
∣∣G(i)
∣∣(1)
S
+ |ψi|(2)S + |φi|(1)S
)
. (7)
Используя оценку (7) и вложение (5), применительно к исходной задаче сопря-
жения (1), для каждого t ∈ [0, T ] и произвольной, достаточно гладкой функции
ρ имеем
|u(·, t)|(0)Ω ≤ K̃
(
∑
i=1,2
{∣∣F(i)(·, t)
∣∣(0)
Ω(i) +
∣∣G(i)(·, t)
∣∣(1)
S
+ |Hi(·, t)|(1)S
}
+ |ρ(·, t)|(3)S
)
.
(8)
Отметим также, что непосредственно из уравнения (2) следует неравен-
ство (t ∈ [0, T ])
|ρt(·, t)|(1)S ≤ C(a0, a, c)
(
|ρ(·, t)|(3)S +
∣∣u(1)(·, t)
∣∣(2)
Γ
+
∣∣u(2)(·, t)
∣∣(2)
Γ
+|H0(·, t)|(1)S
)
.
(9)
2. Модельные задачи. Априорная оценка модельной задачи со-
пряжения.
Зададим при помощи бесконечно дифференцируемых функций {ζk}N
k=1
разбиение единицы в области Ω, т.е.
N∑
k=1
ζk(x) = 1 для всех x ∈ Ω. Обозначим
u
(i)
,k = (u
(i)
1 ζk, u
(i)
2 ζk), ρk = ρζk. Умножим выражения (1)-(3) на ζk при фикси-
рованном значении параметра k. Используя формулы приведенные в главе I
работы [14], получим следующие соотношения
1
1 − 2ν
∇divu
(i)
,k + ∆u
(i)
,k = F
(i)
k , x ∈ Ω
(i)
T , i = 1, 2, (10)
σ
(1)
i2,k = fi,k, i = 1, 2, x ∈ Σ
(1)
T , t > 0, i = 1, 2, (11)
u
(2)
,k = 0, x ∈ Σ
(2)
T , (12)
[σ12,k] = φ1,k, [σ22] = φ2,k − b0ρx1x1,k, x ∈ ΓT ,
[u1,k] = 0, [u2,k] = b1ρk x ∈ ΓT ,
(13)
ρk,t = aρk,x1x1 − a0ρk+
+λ
(
u
(1)
2,k − c
[σ22,k
E
])
+ hk(x1, t), x ∈ ΓT ,
ρk(x1, 0) = 0, x ∈ S,
(14)
112 Н. В. Краснощек
где
F
(i)
k = F
(i)ζk + 1
1−2ν
(
∇(∇ζk) · u(i) + (∇u(i)) · (∇ζk) + ∇ζk∇ · u
)
+
+
(
(∇ · (∇ζk))u(i) + ∇ζk · (∇u(i)) + (∇u(i))T · (∇ζk)
)
.
f1,k = G1ζk + E1
2(1+ν)u
(1)
2,k
∂ζk
∂x1
, f2,k = G2ζk + E1ν
2(1+ν)(1−2ν)u
(1)
1,k
∂ζk
∂x1
,
φ1,k = H1ζk + E1
2(1+ν)u
(1)
2,k
∂ζk
∂x1
− E2
2(1+ν)u
(2)
2,k
∂ζk
∂x1
,
φ2,k = H2ζk + E1ν
2(1+ν)(1−2ν)u
(1)
1,k
∂ζk
∂x1
− E2ν
2(1+ν)(1−2ν)u
(2)
1,k
∂ζk
∂x1
+
+b0(2ζk,x1ρx1,k + ζk,x1x1ρk),
hk = H0ζk − a(2ζk,x1ρx1,k + ζk,x1x1ρk) + hζk.
(15)
В зависимости от расположения носителя ζk разобъём множество индексов
k на четыре класса: 1) k ∈ K1, если носитель ζk не имеет общих точек с Σ(1), Σ(2)
и Γ ; 2) k ∈ K2, если носитель ζk имеет непустое пересечение с Σ(1) 3) k ∈ K3,
если носитель ζk имеет непустое пересечение с Σ(2); 4) k ∈ K4, если носитель
ζk имеет непустое пересечение с Γ . Соответственно, следует рассмотреть мо-
дельные задачи четырёх видов: 1) при k ∈ K1 система (10) во всей плоскости,
решение которой стремится к нулю на бесконечности; 2) k ∈ K2: система (10)
в верхней полуплоскости , решение которой стремится к нулю при x2 → +∞,
с краевым условием (11); 3) k ∈ K3: система (10) в верхней полуплоскости,
решение которой стремится к нулю при x2 → +∞, с краевым условием (12); 4)
k ∈ K3: модельная задача сопряжения на плоскости для системы (10), точную
формулировку которой дано ниже. В первых трёх случаях будем опираться на
результаты, полученные в работе [15].
Введём вспомогательные множества D(1) = {x ∈ R2 : x2 > 0}, D(2) =
{x ∈ R2 : x2 < 0}, D(1)
T = {(x, t) : x ∈ D(1), t ∈ (0.T )}, D(2)
T = {(x, t) : x ∈
D(2), t ∈ (0.T )}, ω = {x ∈ R2 : x2 = 0}, ωT = {(x, t) : x ∈ ω, t ∈ (0.T )}. Итак,
в четвертом случае рассматривается задача: найти функции w, p такие, что
1
1−2ν∇divv(i) + ∆v(i) = f (i), (x, t) ∈ D
(i)
T ,
[v1] = 0, [v2] = b1p
[σ12(v)] = φ1, [σ22(v)] = −b0px1x1 + φ2, (x, t) ∈ ωT ,
v → 0, при |x| → ∞, (16)
Задача сопряжения 113
pt = apx1x1 − a0p+ λ
(
v
(1)
2 − c
[
σ22(v)
E
])
+ g(x1, t), (x, t) ∈ ωT ,
p(x1, 0) = 0, x1 ∈ R1.
Рассмотрим вспомогательную задачу сопряжения: найти смещения s та-
кие, что
1
1−2ν∇divs(i) + ∆s(i) = f (i), (x, t) ∈ D
(i)
T ,
[s1] = 0, [s2] = 0
[σ12(s)] = φ1, [σ22(s)] = φ2, (x, t) ∈ ωT ,
s→ 0, при |x| → ∞.
(17)
Для вектор-функции w = v − s и p получим следующую задачу
1
1 − 2ν
∇divw(i) + ∆w(i) = 0, (x, t) ∈ D
(i)
T ,
[w1] = 0, [w2] = b1p
[σ12(w)] = 0, [σ22(w)] = −b0px1x1, (x, t) ∈ ωT ,
w → 0, при |x| → ∞, (18)
pt = apx1x1 − a0p+ λ
(
v
(1)
2 − c
[
σ22(w)
E
])
+ ψ(x1, t), (x, t) ∈ ωT ,
p(x1, 0) = 0, x1 ∈ R1,
где ψ = g −Bλs, а Bλs = λ(s
(1)
2 − c
[
σ22(s)
E
]
)
∣∣∣
x2=0
.
После преобразования Фурье по переменной x1 задача (18) переходит в
систему обыкновенных дифференциальных уравнений
iξ
1−2ν (iξw̃
(k)
1 +
dw̃
(k)
2
dx2
) +
d2w̃
(k)
1
dx2
2
− ξ2w̃
(k)
1 = 0,
1
1−2ν
d
dx2
(iξw̃
(k)
1 +
dw̃
(k)
2
dx2
) +
d2w̃
(k)
2
dx2
2
− ξ2w̃
(k)
2 = 0, k = 1, 2,
(19)
с граничными условиями
w̃ → 0, при |x| → ∞, (20)
114 Н. В. Краснощек
[w̃1] = 0, [w̃2] = b1p̃
iξ
2(1+ν)
[
Ek(iξw̃
(k)
2 +
dw̃
(k)
1
dx2
)
]k=1
k=2
= 0, x2 = 0,
1
(1+ν)
[
Ek
(
iξw̃
(k)
1 + ν
1−2ν (iξw̃
(k)
1 +
dw̃
(k)
2
dx2
)
)]k=1
k=2
= b0ξ
2p̃,
(21)
p̃t = −aξ2p̃− aop̃+
+λ
(
w̃
(2)
1 − c
1+ν
[
iξw̃
(k)
1 + ν
1−2ν (iξw̃
(k)
1 +
dw̃
(k)
2
dx2
)
]k=1
k=2
)
+ ψ̃, x2 = 0,
p̃(ξ, 0) = 0.
(22)
Рассмотрим сначала задачу (19)-(21) в предположении, что p̃ известно, затем
подставим полученное представление w̃ в (22) и, таким образом, найдем p̃.
Общим решением системы (19) в двух полупространствах, удовлетворяю-
щим условиям (20), являются функции
w̃1 = iξ
(
− z1
|ξ| − z2x2 + (3 − 4ν1)
z2
|ξ|
)
e−|ξ|x2,
w̃2 = (z1 + z2|ξ|x2) e
−|ξ|x2, x2 > 0,
w̃1 = iξ
(
z3|ξ| − z4x2 − (3 − 4ν1)
z4
|ξ|
)
e|ξ|x2,
w̃2 = (z3 − z4|ξ|x2) e
|ξ|x2, x2 < 0,
(23)
где zk (k = 1, .., 4)- произвольные постоянные. Подставляя выражения (23) в
граничные условия (21) и решая полученную систему, находим:
z1 =
(
E2b1{E2(3 − 4ν) +E1((2 − 2ν)2 + (1 − 2ν)2)}−
−2(3 − 4ν)(1 − ν2)b0(E1 + E2)|ξ|
)
p̃/Z,
z2 = (E2b1 − b0(1 + ν)|ξ|) ((3 − 4ν)E1 + E2) p̃/Z,
z3 = −
(
E1b1{(3 − 4ν)E1 + E2((2 − 2ν)2 + (1 − 2ν)2)+
+2(3 − 4ν)(1 − ν2)b0(E1 + E2)|ξ|}
)
p̃/Z,
z4 = − (E1b1 + b0(1 + ν)|ξ|) ((3 − 4ν)E2 + E1) p̃/Z,
Z = ((3 − 4ν)E2 + E1)((3 − 4ν)E1 + E2).
(24)
Задача сопряжения 115
Подстановка представлений (23) в уравнение (22), с учетом (24), дает
p̃t = −µξ2p̃+ µ1|ξ|p̃+ µ0p̃+ ψ̃, (30)
где
µ = a+ λ8(1−ν)(1−ν2)
Z(1+ν) сb0(E2 + E1),
µ1 = λ
Z
(
−E2b12(3 − 4ν)(1 − ν2)b0(E1 + E2)+
+2c(1−ν)
(1+ν)
(
(E2 − E1)(E2 + E1)
2b1
))
,
µ0 = λE2b1
Z {E2(3 − 4ν) + E1((2 − 2ν)2 + (1 − 2ν)2)} − ao.
(25)
Из полученных выражений для µ, µ1, µ0 следует, что можно выбрать постоян-
ную κ, такую, что
|µ0| ≤ κ, 1
κ
≤ µ ≤ κ, µ1 ≤ κ для всех λ ∈ [0, 1]. (26)
Решение уравнения (22) с нулевыми начальными данными можно записать в
виде
p̃(ξ, t) =
t∫
0
Q̃(ξ, t− τ)ψ̃(ξ, τ)dτ,
где Q̃(ξ, t) = exp
(
(−µξ2 + µ1|ξ| + µ0)t
)
. Рассмотрим отдельно функцию G̃(ξ, t) =
exp
(
(−µξ2 + µ1|ξ|)t
)
и соответственно
G(x1, t) =
1
2π
+∞∫
−∞
exp
(
(−µξ2 + µ1|ξ|)t+ iξx1
)
dξ.
Введём потенциал
v(x1, t) =
t∫
0
+∞∫
−∞
G(x1 − y, t− τ)f(y, τ)dτdy. (27)
Получим оценки констант Гельдера производных vx1x1 , vt. Очевидно, на произ-
вольном конечном интервале из них будут следовать оценки px1x1 , pt. Оценим
сначала производные G(x1, t).
Лемма 4. Имеет место оценка
∣∣Dl
tD
k
x1
G(x1, t)(x1, t)
∣∣ ≤ C(l, n,κ, T )t−
1+2l+k
2 exp
(
−Cκ
x2
1
t
)
. (28)
116 Н. В. Краснощек
Доказательство. Рассмотрим случай µ1 ≤ 0. Как видим
Dl
tD
k
x1
G(x1, t) = 1
2π
+∞∫
−∞
(−µξ2 − |µ1||ξ|)l(iξ)k×
× exp
(
(−dξ2 + d1|ξ|)t+ iξx1
)
dξ.
(29)
Поэтому предварительно оценим выражения вида
Φn(x1, t) =
+∞∫
−∞
|ξ|n exp
(
(−dξ2 + d1|ξ|)t+ iξx1
)
dξ, 0 ≤ m ≤ n.
Докажем, что
|Φn(x1, t)| ≤ C(l, n,κ, T )t−
1+n
2 exp
(
−Cκ
x2
1
t
)
, t ∈ (0, T ]. (30)
Cделаем замену ξ =
√
µtη и обозначим y = x1√
µt
, тогда
Φn = (µt)−
n+1
2
+∞∫
−∞
|η|n exp(−η2 + iyη −
√
t/µ|µ1||η|)dη.
Замена η = iy
2 + u и очевидное неравенство zn exp(−z2) ≤ cn exp(−z2/2) при
z ≥ 0 приводят к цепочке неравенств
|Φn| ≤ (µt)−
n+1
2 exp
(
−y2
4
) +∞∫
−∞
(
|u|n + |y|n
4
)
exp(−u2)du ≤
≤ c(n,κ)t−
n+1
2 exp
(
−Cκ
y2
4
) +∞∫
−∞
exp(−u2/2)du
из которых следует (30).
Из представления (29) и оценки (30) следует оценка (28) при µ ≤ 0.
Пусть теперь µ > 0. Поскольку
exp(µ1|ξ|t) = 2ch(µ1|ξ|t) − exp(−µ1|ξ|t) = 2ch(µ1ξt) − exp(−µ1|ξ|t),
функцию G можно записать в виде
G(x1, t) = 1
π
+∞∫
−∞
exp
(
(−µξ2 + iξx1
)
ch(µ1|ξ|)t)dξ−
− 1
2π
+∞∫
−∞
exp
(
(−µξ2 − µ1|ξ|)t+ iξx1
)
dξ = G(x1, t) −H(x1, t),
Задача сопряжения 117
причем функция H имеет тот же вид, что и G при µ ≤ 0. Первое же слагаемое
можно преобразовать к виду
G(x1, t) =
1√
πµt
exp
(
− x2
1
4µt
+
µ2
1t
4µ
)
cos
(
µ1x1
2µ
)
, (31)
из которого следует оценка вида (28) и для функции G.
Далее оценим функцию v(x1, t) из (27).
Лемма 4. Выполнены неравенства
а) sup
0≤t≤T
〈vx1x1(·, t)〉
(α)
R1 ≤ c(T,κ) sup
0≤t≤T
〈f(·, t)〉(α)
R1 , (32)
б) sup
0≤t≤T
〈vt(·, t)〉(α)
R1 ≤ c(T,κ) sup
0≤t≤T
〈f(·, t)〉(α)
R1 . (33)
Доказательство. Для доказательства неравенства (32), как и при получении
оценок §2 главы 4 монографии [16], используем представление
vx1x1(x1, t) =
t∫
0
+∞∫
−∞
Gx1x1(x1 − y, t− τ) (f(y, τ) − f(x1, τ)) dτdy.
Получим
vx1x1(x1, t) − vz1z1(z1, t) =
=
t∫
0
∫
|x1−y|≤2|x1−z1|
Gx1x1(x1 − y, t− τ) (f(y, τ) − f(x1, τ)) dτdy−
−
t∫
0
∫
|x1−y|≤2|x1−z1|
Gz1z1(z1 − y, t− τ) (f(y, τ) − f(z1, τ)) dτdy+
t∫
0
∫
|x1−y|≥2|x1−z1|
[Gx1x1(x1 − y, t− τ) −Gz1z1(z1 − y, t− τ)] (f(y, τ) − f(z1, τ)) dτdy+
+
t∫
0
(f(z1, τ) − f(x1, τ)) dτ
∫
|x1−y|≥2|x1−z1|
Gx1x1(x1 − y, t− τ)dy =
4∑
i=1
I4.
Поскольку оценки (28) функции G с точностью до множителя совпадают с
оценками фундаментального решения уравнения теплопроводности, первые пер-
вые три слагаемых можно оценить стандартным образом. Последнее слагаемое
118 Н. В. Краснощек
запишем в виде:
I4 =
t∫
0
(f(z1, τ) − f(x1, τ)) [Gx1(2|x1 − z1|, t− τ) −Gx1(−2|x1 − z1|, t− τ)] dτ.
Теперь рассмотрим более подробно выражение для Gx1 . Докажем, что
|Gx1(x1, t)| ≤ c(κ, T )
( |x1|
t3/2
+
1
t1/2
)
exp(−cκ
x2
1
t
). (34)
Пусть µ1 > 0, тогда
Gx1(x1, t) = − 1√
πµt
[
x1
2µt cos
(
µ1x1
2µ
)
+ µ1
2µ sin
(
µ1x1
2µ
)]
exp
(
− x2
1
2µt +
µ2
1t
4µ
)
и, значит, для Gx1(x1, t) оценка вида (34) выполнена.
Далее при помощи тех же самых преобразований, что были использованы
при доказательстве оценки (30), получим выражение
Hx1(x1, t) = i
2π
+∞∫
−∞
ξ exp
(
(−µξ2 − µ1|ξ|)t+ iξx1
)
dξ =
= i
2π
1
µt exp
(
− x2
1
4µt
) +∞∫
−∞
(
u+ ix1
2
√
µt
)
exp
(
−u2 − µ1
√
t
µ
(
u2 +
x2
1
4µt
))
du,
которое можно разбить на два слагаемых с множителями u и ix1
2
√
µt
соответ-
ственно. Причём первый интеграл, в силу нечетности подынтегральной функ-
ции равен нулю. Отсюда
|Hx1(x1, t)| ≤ C(κ) |x1|
t3/2 exp
(
− x2
1
4µt
) +∞∫
−∞
exp
(
−u2
)
du.
Т.о. оценка (34) при µ1 > 0 доказана. При µ1 ≤ 0 данная оценка, очевидно,
следует из оценки для Hx1 .
Используя (34) и замену σ = |x1−z1|
(t−τ)1/2 , получим
|I4| ≤ c(κ, T )|x1 − z1|α sup
0≤t≤T
〈f(·, t)〉(α)
R1
t∫
0
[
|x1−z1|
t3/2 exp(−cκ |x1−z1|2
t−τ ) + 1
(t−τ)1/2
]
dτ ≤
≤ c(κ, T )|x1 − z1|α sup
0≤t≤T
〈f(·, t)〉(α)
R1
+∞∫
0
exp(−cκσ2)dσ.
Т.о. оценка (32) доказана.
Задача сопряжения 119
В случае б) имеем
vt(x1, t) =
t∫
0
dτ
+∞∫
−∞
Gt(x1 − y, t− τ)(f(y, τ) − f(x, τ))dy. (35)
Рассмотрим сначала случай неположительных µ1. Непосредственно из пред-
ставления функции G следует, что Gt(x1, t) = µGx1x1(x1, t) + µ1G
∗(x1, t), где
G∗(x1, t) =
1
2π
+∞∫
−∞
|ξ| exp
(
(−µξ2 − |µ1||ξ|)t+ iξx1
)
dξ.
Имеем
vt(x1, t) = µ
t∫
0
dτ
+∞∫
−∞
Gx1x1(x1 − y, t− τ)(f(y, τ) − f(x, τ))dy+
+µ1
t∫
0
dτ
+∞∫
−∞
G∗(x1 − y, t− τ)(f(y, τ) − f(x, τ))dy + f(x1, t) =
= v′(x1, t) + v∗(x1, t) + f(x1, t).
Первое слагаемое оценено в случае а). Для второго слагаемого получим оценку
sup
R1×[0,T ]
|v∗x1
| ≤ c(T,κ) sup
0≤t≤T
〈f(·, t)〉(α)
R1 . (36)
Т.к.
G∗
x1
(x1, t) =
1
2π
+∞∫
−∞
iξ|ξ| exp
(
(−µξ2 − |µ1||ξ|)t+ iξx1
)
dξ,
аналогично оценке (30), можно убедиться в том, что
|G∗
x1
(x1, t)| ≤ c(κ, T )t−
3
2 exp(−cκ
x2
1
t
). (37)
В силу последней оценки
|v∗x1
(x1, t)| =
∣∣∣∣∣
t∫
0
dτ
+∞∫
−∞
G∗
x1
(x1 − y, τ) (f(y, τ) − f(x1, τ)) dy
∣∣∣∣∣ ≤
≤ c(κ, T ) sup
0≤t≤T
〈f(·, t)〉(α)
R1
t∫
0
dτ
+∞∫
−∞
|x1 − y|α(t− τ)−
3
2 exp(−cκ |x1−y|2
t−τ )dy.
120 Н. В. Краснощек
Замена переменной z = x1−y√
t−τ
приводит к неравенству
|v∗x1
(x1, t)| ≤ c(κ, T ) sup
0≤t≤T
〈f(·, t)〉(α)
R1
t∫
0
(t− τ)
α
2
−1dτ ·
+∞∫
−∞
zα exp(−cκz2)dz,
из которого следует (36).
При µ1 > 0, дифференцируя (31), получим
Gt − µGx1x1 = µ1G∗ ≡ µ1√
πµt
[
(µ1/4 + µ1µ)G − µ1x1
2µt3/2 sin
(
µ1x1
2µ
)
exp
(
− x2
1
2µt
)]
.
Из данного выражения видим, что для производной также справедлива оценка
вида (37). Т.о. оценка (36), а с ней и оценка (33) доказаны.
Обозначим (0 < α < 1)
〈u〉(α)
[0,T ] = sup
t,σ∈[0,T ]
|u(t) − u(σ)|
|t− σ|α .
Следует отметить, что необходимо также доказать, что функция и её произ-
водные непрерывны по переменной t.
Лемма 5. Имеют место неравенства
sup
x1∈R1
〈vx1(x1, ·)〉
( 1+α
2
)
[0,T ]
≤ C(T,κ) sup
0≤t≤T
〈f(·, t)〉(α)
R1 ,
sup
x1∈R1
〈vx1x1(x1, ·)〉
(α
2
)
[0,T ] ≤ C(T,κ) sup
0≤t≤T
〈f(·, t)〉(α)
R1 ,
(38)
sup
x1∈R1
|vt(x1, t) − vσ(x1, σ)| ≤
≤ C(T,κ) sup
0≤t≤T
〈f(·, t)〉(α)
R1 |t− σ|α/2 + sup
x1∈R1
|f(x1, t) − f(x1, σ)|.
(39)
Доказательство. Оценки (38) следуют из (32) и интерполяционных нера-
венств (см. [17])
sup
x1∈R1
〈vx1(x1, ·)〉
( 1+α
2
)
[0,T ] ≤ C
(
sup
0≤t≤T
〈vt(·, t)〉(α)
R1 + sup
0≤t≤T
〈vx1x1(·, t)〉
(α)
R1
)
,
sup
x1∈R1
〈vx1x1(x1, ·)〉
(α
2
)
[0,T ] ≤ C
(
sup
0≤t≤T
〈vt(·, t)〉(α)
R1 + sup
0≤t≤T
〈vx1x1(·, t)〉
(α)
R1
)
.
Задача сопряжения 121
Для доказательства оценки (39) используем представление (35). Для опре-
делённости считаем, что 0 ≤ σ < t ≤ T . Следуя выкладкам §2 главы 4 моно-
графии [16], запишем разность vt(x1, t) − vσ(x1, σ) в виде
vt(x1, t) − vσ(x1, σ) =
=
t∫
2σ−t
dτ
+∞∫
−∞
Gt(x1 − y, t− τ) (f(y, τ) − f(x1, τ)) dy−
−
σ∫
2σ−t
dτ
+∞∫
−∞
Gσ(x1 − y, σ − τ) (f(y, τ) − f(x1, τ)) dy+
+
2σ−t∫
0
dτ
+∞∫
−∞
[Gt(x1 − y, t− τ) −Gσ(x1 − y, σ − τ)]×
× (f(y, τ) − f(x1, τ)) dy + (f(x1, t) − f(x1, σ)) =
4∑
i=1
I4
Причем, следуя Замечанию 1, можем считать, что f(x1, t) = 0 при t ≤ 0. Пер-
вые три слагаемых оцениваются одинаковым образом на основе оценки (28).
Например, для I1 имеем
|I1| ≤ c(κ, T ) 〈f(·, t)〉(α)
R1
t∫
2σ−t
dτ
+∞∫
−∞
|x1−y|α
(t−τ)3/2 exp(−cκ |x1−y|2
t−τ )dy =
≤ c(κ, T ) 〈f(·, t)〉(α)
R1
t∫
2σ−t
(t− τ)
α
2
−1dτ
+∞∫
−∞
|x1−y|α
(t−τ)α/2 exp(−cκ |x1−y|2
t−τ ) dy
(t−τ)1/2 .
Замена z1 = x1−y
(t−τ)1/2 в интеграле по y и последующее интегрирование по τ
приводят к неравенствам
|I1| ≤ c(κ, T ) 〈f(·, t)〉(α)
R1
t∫
2σ−t
(t− τ)
α
2
−1dτ ·
+∞∫
−∞
zαexp(−cκz2)dz ≤
≤ c(κ, T ) 〈f(·, t)〉(α)
R1 |t− σ|α/2.
Поскольку
vx1(x1, t) =
t∫
0
dτ
+∞∫
−∞
Gx1(x1 − y, t− τ)f(y, τ) =
= −
t∫
0
dτ
+∞∫
−∞
Gy(x1 − y, t− τ)f(y, τ)dy =
t∫
0
dτ
+∞∫
−∞
G(x1 − y, t− τ)fy(y, τ)dy,
122 Н. В. Краснощек
из оценок (32), (33) следуют неравенства
sup
0≤t≤T
〈v(·, t)〉(3+α)
R1 + sup
0≤t≤T
〈vt(·, t)〉(1+α)
R1 ≤ c(T,κ) sup
0≤t≤T
〈f(·, t)〉(1+α)
R1 . (40)
Остается оценить функцию u из (16). Из результатов работы [12] следует оцен-
ка решения задачи (17)
2∑
i=1
sup
0≤t≤T
〈
s(i)(·, t)
〉(2+α)
D(i) ≤ C
[
2∑
i=1
(
sup
0≤t≤T
〈fi(·, t)〉(α)
D(i) + sup
0≤t≤T
〈φi(·, t)〉(1+α)
R1
)]
.
(41)
Используя теперь оценки (40) и (41) имеем
sup
0≤t≤T
〈p(·, t)〉(3+α)
R1 + sup
0≤t≤T
〈pt(·, t)〉(1+α)
R1 ≤
≤ c(T,κ)
[
2∑
i=1
(
sup
0≤t≤T
〈fi(·, t)〉(α)
D(i)+ sup
0≤t≤T
〈φi(·, t)〉(1+α)
R1
)
+ sup
0≤t≤T
〈g(·, t)〉(1+α)
R1
]
.
(42)
Рассматривая задачу (18) относительно неизвестной функции w с заданной
функцией p, из работы [12] и (42) получим
2∑
i=1
sup
0≤t≤T
〈
w(i)(·, t)
〉(2+α)
D(i) ≤ C sup
0≤t≤T
〈p(·, t)〉(3+α)
R1 ≤
≤ c(T,κ)
[
2∑
i=1
(
sup
0≤t≤T
〈fi(·, t)〉(α)
D(i)+ sup
0≤t≤T
〈φi(·, t)〉(1+α)
R1
)
+ sup
0≤t≤T
〈g(·, t)〉(1+α)
R1
]
.
(43)
Суммируя оценки (41)-(43), получим для решения задачи (16) оценку
2∑
i=1
sup
0≤t≤T
〈
u(i)(·, t)
〉(2+α)
D(i) + sup
0≤t≤T
〈p(·, t)〉(3+α)
R1 + sup
0≤t≤T
〈pt(·, t)〉(1+α)
R1 ≤
≤ c(T,κ)
[
2∑
i=1
(
sup
0≤t≤T
〈fi(·, t)〉(α)
D(i)+ sup
0≤t≤T
〈φi(·, t)〉(1+α)
R1
)
+ sup
0≤t≤T
〈g(·, t)〉(1+α)
R1
]
.
(43)
3. Априорная оценка. Теорема существования.
Следуя работе [17] введём обозначения
Задача сопряжения 123
Nt[u, ρ] = sup
0≤τ≤t
|u(·, τ)|(2+α)
Ω + sup
0≤τ≤t
|ρ(·, τ)|(3+α)
S + sup
0≤τ≤t
|ρτ (·, τ)|(1+α)
S ,
Ft =
2∑
i=1
sup
0≤τ≤t
|F(i)(·, τ)|(2+α)
Ω(i) +
2∑
i=1
sup
0≤τ≤t
|Gi(·, τ)|(2+α)
S +
2∑
i=0
sup
0≤τ≤t
|Hi(·, τ)|(2+α)
S .
При k ∈ Ki, i = 1, 2, 3 используем оценки, полученные в работе [15], при
k ∈ K4 неравенство (43). Следуя стандартной схеме (см., например, главу 3
монографии [18] ), приходим к оценке
Nt[u, ρ] ≤ c1(κ, T )
(
Ft + sup
0≤τ≤t
|u(·, τ)|(2)Ω + sup
0≤τ≤t
|ρ(·, τ)|(3)S + sup
0≤τ≤t
|ρτ (·, τ)|(1)S
)
.
Из неравенства (9) следует, что
Nt[u, ρ] ≤ c2(κ, T )
(
Ft + sup
0≤τ≤t
|u(·, τ)|(2)Ω + sup
0≤τ≤t
|ρ(·, τ)|(3)S
)
.
Применяя интерполяционные неравенства (2.1) работы [18] к функциям
u
(i)
j , i, j = 1, 2 получим
Nt[u, ρ] ≤ c3(κ, T )
(
Ft + sup
0≤τ≤t
|u(·, τ)|(0)
Ω(i) + sup
0≤τ≤t
|ρ(·, τ)|(3)S
)
.
Учитывая оценку (8), имеем
Nt[u, ρ] ≤ c4(κ, T )
(
Ft + sup
0≤τ≤t
|ρ(·, τ)|(3)S
)
.
Далее, после применения интерполяционных неравенств к функции ρ, заклю-
чаем, что
Nt[u, ρ] ≤ c5(κ, T )
(
Ft + sup
0≤τ≤t
|ρ(·, τ)|(0)S
)
≤ c5(κ, T )
(
Ft +
t∫
0
Nτ [u, ρ]dτ
)
.
Как и в работе [17], применяя к последнему неравенству лемму Гронуолла
приходим к оценке
Nt[u, ρ] ≤ С(κ, T )Ft. (46)
Из оценки (46) и теоремы о продолжении по параметру (см. §14.2 работы
[19]) вытекает следующая теорема.
Теорема 1. Пусть выполнены предположения H1), H2, тогда существует
единственное решение задачи (1)-(3): ρ ∈ C(1,3+α)(ST ), u(i) ∈ C(0,2+α)(Ω
(i)
T ),
i = 1, 2.
В заключение автор выражает глубокую признательность Б.В.Базалию и
А.И.Марковскому за полезное обсуждение данной тематики.
124 Н. В. Краснощек
1. Angheluta L., Jettestuen E., Mathiesen J., Renard F., Jamtveit B. Stress-driven phase transfor-
mation and the roughening of solid-solid interfaces // Prysical review letters – 2008. –
Vol.100(9), 096105.- p.1-4.
2. Angheluta L., Jettestuen E., Mathiesen J. The thermodynamics and roughening of solid-solid
interfaces // Physical review. E, Statistical, nonlinear, and soft matter physics - 2009, vol.
79(1), N.3.- P.7-25.
3. Базалий Б.В. Задача Cтефана для уравнения Лапласа с учетом кривизны свободной
границы // Укр. матем. журнал.- 1997. - Т. 49, №10. - С. 1299-1315.
4. Васильева Н.В. Об одной краевой задаче со старшими производными в граничном усло-
вии, возникающей при исследовани задачи Hele-Shaw с нерегулярной границей // Труды
ИПММ.- 2002. - Т. 7. - С. 33-44.
5. Mucha P. On the weak solutions to the Stefan problem with Gibbs-Thompson correction //
Differential and integral equations. - V. 20, - 2007. P. 769-792.
6. Bum Ja Jin Estimates of the solutions of the elastic system in a moving domain with free
upper interface // Nonlinear Analysis. – 2002. – v. 51. – P. 1009–1029.
7. Esher J., Simonett G. Classical solutions for Hele-Shaw models with surface tension // Adv.
Differential Eqs. – 1997. – V.2. - No. 4. – P. 619-642.
8. Cheng X., Hong J., Yi F. Existence, uniqueness of classical solutions of the Mullins-Sekerka
problem // Commun. in Partial Differential Equations, v.21, 1996, pp.1705-1727.
9. Гусаков, Дегтярев С.П. Существование гладкого решения в одной задаче фильтрации
// Укр. матем. журнал.- 1989. - 41, No.9. - С.1192-1198.
10. Lunardi A. How to use interpolation in PDE’s // Summer School on Harmonic Analysis and
PDE’s - Helsinki. - August 2003.- 34p.
11. Maremonti P., Russo R. On the existence and uniqueness of clasical solutions to the stationaty
Navier-Stokes equations and to the traction problem of linear elastostatics // Quad. Mat. -
1997.- V.1.- P.171-251.
12. Шефтель З.Г. Общая теория граничных задач для эллиптических систем с разрывными
коэффициентами // Укр. матем. журнал.- 1966. - 18, No.3. - С.132-136.
13. Житарашу Н.В. Априорные оценки и разрешимость общих краевых задач для общих
эллиптических систем с разрывными коэффициентами // Доклады АН СССР .- 1965. -
Т.165, No.1. - С.24-27.
14. Подстригач Я.С., Повстенко Ю.З Введение в механику поверхностных явлений в дфор-
мируемых твёрдых телах.- Киев.- Наукова думка.- 1985.- 200с.
15. Agmon S., Douglis A., Nirenberg Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial
differential equations satisfying general boundary condition, II // Comm. Pure Apll. Math. -
1964. - V.17. - P.35-92.
16. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные урав-
нения параболического типа. – Москва: Наука, 1967. – 736 c.
17. Солонников В.А. Оценки решения второй начально-краевой задачи для системы Стокса
в пространствах функций с непрерывными по Гельдеру производными по пространстве-
ным переменным // Записки научных семинаров ПОМИ. - 1999.- Т.259. - С.254-279.
18. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптиче-
ского типа. – Москва: Наука, 1973. – 576 c.
19. Треногин В.А. Функциональный анализ.– Москва: Наука, 1980. – 496 c.
ИПММ НАН Украины,
ул. Розы Люксембург, 74,
83114, Донецк, Украина
krasnoschok@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 23.07.2009
|