Малые движения и нормальные колебания баротропного газа в ограниченной области
Рассматриваются эволюционная и спектральная задачи, порождённые малыми движениями сжимаемого баротропного вязкого и невязкого газа в ограниченной области. Доказано, что начально–краевая задача о малых движениях идеального баротропного газа в замкнутом неподвижном сосуде имеет единственное сильное ре...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Назва видання: | Нелинейные граничные задачи |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124277 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Малые движения и нормальные колебания баротропного газа в ограниченной области / Е.А. Пронина // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 125-133. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124277 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242772017-10-01T17:25:37Z Малые движения и нормальные колебания баротропного газа в ограниченной области Пронина, Е.А. Рассматриваются эволюционная и спектральная задачи, порождённые малыми движениями сжимаемого баротропного вязкого и невязкого газа в ограниченной области. Доказано, что начально–краевая задача о малых движениях идеального баротропного газа в замкнутом неподвижном сосуде имеет единственное сильное решение на любом отрезке времени. В соответствующей спектральной задаче установлено, что ее спектр состоит из бесконечнократного нулевого собственного значения (очевидное решение) и двух ветвей конечнократных собственных значений, локализованных в окрестности мнимой оси. Этим ветвям отвечает совокупность корневых элементов, образующая базис Абеля–Лидского в подпространстве, ортогональном к подпространству очевидных решений. Аналогичные вопросы рассмотрены и для случая вязкого газа. 2009 Article Малые движения и нормальные колебания баротропного газа в ограниченной области / Е.А. Пронина // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 125-133. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0236-0497 MSC (2000): 35Q35; 76B03; 76D03 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124277 ru Нелинейные граничные задачи Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматриваются эволюционная и спектральная задачи, порождённые малыми движениями сжимаемого баротропного вязкого и невязкого газа в ограниченной области. Доказано, что начально–краевая задача о малых движениях идеального баротропного газа в замкнутом неподвижном сосуде имеет единственное сильное решение на любом отрезке времени. В соответствующей спектральной задаче установлено, что ее спектр состоит из бесконечнократного нулевого собственного значения (очевидное решение) и двух ветвей конечнократных собственных значений, локализованных в окрестности мнимой оси. Этим ветвям отвечает совокупность корневых элементов, образующая базис Абеля–Лидского в подпространстве, ортогональном к подпространству очевидных решений. Аналогичные вопросы рассмотрены и для случая вязкого газа. |
| format |
Article |
| author |
Пронина, Е.А. |
| spellingShingle |
Пронина, Е.А. Малые движения и нормальные колебания баротропного газа в ограниченной области Нелинейные граничные задачи |
| author_facet |
Пронина, Е.А. |
| author_sort |
Пронина, Е.А. |
| title |
Малые движения и нормальные колебания баротропного газа в ограниченной области |
| title_short |
Малые движения и нормальные колебания баротропного газа в ограниченной области |
| title_full |
Малые движения и нормальные колебания баротропного газа в ограниченной области |
| title_fullStr |
Малые движения и нормальные колебания баротропного газа в ограниченной области |
| title_full_unstemmed |
Малые движения и нормальные колебания баротропного газа в ограниченной области |
| title_sort |
малые движения и нормальные колебания баротропного газа в ограниченной области |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124277 |
| citation_txt |
Малые движения и нормальные колебания баротропного газа в ограниченной области / Е.А. Пронина // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2009. — Т. 19. — С. 125-133. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Нелинейные граничные задачи |
| work_keys_str_mv |
AT proninaea malyedviženiâinormalʹnyekolebaniâbarotropnogogazavograničennojoblasti |
| first_indexed |
2025-07-09T01:10:08Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:10:08Z |
| _version_ |
1837129698324250624 |
| fulltext |
Нелинейные граничные задачи 19, 125-133 (2009) 125
c©2009. Е.А. Пронина
МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ И НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
БАРОТРОПНОГО ГАЗА В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
Рассматриваются эволюционная и спектральная задачи, порождённые малыми движе-
ниями сжимаемого баротропного вязкого и невязкого газа в ограниченной области.
Доказано, что начально–краевая задача о малых движениях идеального баротропного
газа в замкнутом неподвижном сосуде имеет единственное сильное решение на любом от-
резке времени. В соответствующей спектральной задаче установлено, что ее спектр состоит
из бесконечнократного нулевого собственного значения (очевидное решение) и двух ветвей
конечнократных собственных значений, локализованных в окрестности мнимой оси. Этим
ветвям отвечает совокупность корневых элементов, образующая базис Абеля–Лидского в
подпространстве, ортогональном к подпространству очевидных решений.
Аналогичные вопросы рассмотрены и для случая вязкого газа.
Ключевые слова: баротропный газ; спектральная задача; гильбертово пространство;
задача Коши; операторный метод
MSC (2000): 35Q35; 76B03; 76D03
1. Общая постановка линейно начально-краевой задачи.
Будем считать, что некоторый сосуд Ω ⊂ R
3 с границей S := ∂Ω класса C2
целиком заполнен сжимаемым газом. Обозначим через ~u = ~u(t, x), x ∈ Ω, поле
скоростей движения газа, через P = P (t, x) – поле давлений, ρ̃ = ρ̃(t, x) – поле
плотности, а через ~F = ~F (t, x) – поле внешних массовых сил.
Рассмотрим малые движения газа, близкие к состоянию покоя. Пусть
~F (t, x) = −g~e3 + ~f(t, x), (1)
где g > 0 – ускорение силы тяжести, ~e3 – орт декартовой системы координат
Ox1x2x3, выбранной так, что ось Ox3 направлена против ускорения гравита-
ционного поля, а ~f(t, x) – малое поле внешних сил, наложенное на гравитаци-
онное.
Пусть
P (t, x) = P0(x3) + p(t, x), ρ̃(t, x) = ρ0(x3) + ρ(t, x), (2)
где P0(x3) и ρ0(x3) – давление и плотность газа в состоянии покоя. Считая,
что вертикальный размер области Ω не является достаточно большим, будем
иметь
ρ0(x3) ≃ ρ0 = const > 0, P0(x3) = −ρ0gx3 + c. (3)
В этом приближении начально-краевая задача о малых движениях баро-
126 Е.А. Пронина
тропного газа принимает следующий вид:
ρ0
∂~u
∂t
− µ△~u − (µ + µ′)∇div~u + ρg~e3 + ∇p = ρ0
~f,
∂ρ
∂t
+ ρ0 div~u = 0, p = c2ρ (в Ω),
un := ~u · ~n = 0 (на S),
∫
Ω
ρ dΩ = 0,
~u(0, x) = ~u 0(x), ρ(0, x) = ρ0(x), x ∈ Ω.
(4)
Здесь c2 = const > 0 – скорость звука в газе, µ и µ′ – первая и вторая
динамические вязкости газа, ~n – единичный вектор внешней нормали к границе
S = ∂Ω. Отметим еще, что условие
∫
Ω
ρ dΩ = 0 следует из того, что в процессе
движения газа его масса не изменяется. Кроме того, для вязкого газа на S
вместо условия непротекания un = 0 должно выполняться условие прилипания
~u = ~0 (на S).
2. Задача о малых движениях идеального баротропного газа.
Рассмотрим задачу (4) при µ = µ′ = 0, учтем условие баротропности
p = c2ρ и перепишем эту задачу в более симметричном виде, введя вместо
ρ(t, x) новую искомую функцию:
η(t, x) = c ρ−1
0 ρ(t, x). (5)
Тогда задача (4) примет вид
∂~u
∂t
+ c∇η + gc−1~e3η = ~f(t, x),
∂η
∂t
+ cdiv~u = 0 (в Ω),
un = 0 (на S),
∫
Ω
η dΩ = 0, ~u(0, x) = ~u 0(x), η(0, x) = η0(x) (в Ω).
(6)
Исследуем задачу (6) методами теории операторов, действующих в гиль-
бертовом пространстве, и теории дифференциально-операторных уравнений
(см., например, [1]).
С этой целью введем гильбертовы пространства ~L2(Ω) и L2(Ω) векторных
и скалярных функций со стандартными нормами
‖~u‖2
~L2(Ω)
:=
∫
Ω
|~u|2dΩ, ‖η‖2
L2(Ω) =
∫
Ω
|η|2dΩ, (7)
и соответствующими скалярными произведениями. Далее, будем считать, что
в (6) ~u = ~u(t, x) – функция переменной t со значениями в ~L2(Ω), а η = η(t, x)
Малые движения и нормальные колебания баротропного газа 127
– функция t со значениями в L2(Ω). В связи с этим далее производные ∂/∂t
заменяем на d/dt.
Интегральное условие в (6) показывает, что
η = η(t) ∈ L2,Ω := L2(Ω) ⊖ {1Ω}. (8)
Введем еще пространство H1(Ω) с нормой
‖η‖2
H1(Ω) :=
∫
Ω
|∇η|2dΩ +
(∫
Ω
η dΩ
)2
,
эквивалентной стандартной норме, и его подпространство
H1
Ω := {ρ ∈ H1(Ω) :
∫
Ω
ρ dΩ = 0}. (9)
Тогда
‖ρ‖2
H1
Ω
=
∫
Ω
|∇ρ|2dΩ.
Перепишем уравнения задачи (6) в векторно-матричной форме
d
dt
(
~u
η
)
+ c
(
0 ∇
div 0
) (
~u
η
)
+ g c−1
(
0 ~e3
0 0
) (
~u
η
)
=
(
~f(t)
0
)
(10)
и введем следующие обозначения:
H := ~L2(Ω) ⊕ L2,Ω, z(t) := (~u; η)t, ~u ∈ ~L2(Ω), η ∈ L2,Ω,
‖z‖2
H :=
∫
Ω
|~u|2dΩ +
∫
Ω
|η|2dΩ, f(t) := (~f(t); 0)t,
B̃ :=
(
0 ∇
div 0
)
, C :=
(
0 ~e3
0 0
)
, D(C) = H, (11)
D(B̃) := {z = (~u; η)t : ~u ∈ ~H1(Ω), un = 0 (на S), η ∈ H1
Ω}, (12)
где ~H1(Ω) – пространство векторных полей ~u =
3∑
k=1
uk ~ek с проекциями на оси
uk ∈ H1(Ω).
Лемма 1. Оператор B̃, заданный на D(B̃), является кососамосопряженным
неограниченным оператором, действующим в H : B̃∗ = −B̃, D(B̃∗) = D(B).
При этом он имеет бесконечномерное ядро
KerB̃ = {z = (~u; 0)t : ∀~u ∈ ~J0(Ω)}, (13)
128 Е.А. Пронина
~J0(Ω) := {~u ∈ ~L2(Ω) : div~u = 0 (в Ω), un = 0 (на S)}. (14)
(Здесь операции div~u и un = ~u · ~n понимаются в смысле обобщенных функций
(распределений).)
Доказательство. Оно проводится по тому же плану, что и в работах [2-3],
где рассматривалась плоская (двумерная) задача для вращающегося тонкого
слоя идеальной несжимаемой жидкости. 2
С учетом введенных обозначений и леммы 1 задачу (6) можно переписать
в виде задачи Коши в гильбертовом пространстве H:
dz
dt
= i cBz − g c−1 Cz + f(t), z(0) = z0 = (~u 0; η0)t, (15)
где
B = B∗ = i B̃, D(B) = D(B̃). (16)
Так как оператор B самосопряжен, то оператор icB является генератором
сильно непрерывной группы унитарных операторов. В силу очевидной огра-
ниченности оператора C (см. (11)) оператор i cB − g c−1 C также является ге-
нератором C0-группы, и через нее можно выразить сильное решение задачи
Коши (15)– (16), если выполнены условия
z0 ∈ D(B), f(t) ∈ C 1([0, T ]; H). (17)
Теорема 1. Пусть выполнены условия
~u 0 ∈ ~H1(Ω), un = 0 (наS), η0 ∈ H1
Ω, ~f(t) ∈ C 1([0, T ]; H). (18)
Тогда задача (15), а вместе с ней и исходная задача (6) имеют единственное
сильное решение на отрезке [0,T]. Это означает, что существует единствен-
ная функция z(t) такая, что для любого t ∈ [0, T ] выполнено уравнение (15),
причем все слагаемые в нем являются непрерывными функциями t, а также
выполнено начальное условие (15). Соответственно в задаче (6) выполнены
уравнения движения и неразрывности, причем в первом уравнении все сла-
гаемые являются непрерывными функциями t со значениями в ~L2(Ω), а во
втором уравнении - непрерывными функциями t со значениями в L2,Ω. При
этом выполнены также начальные условия (6).
3. Задача о собственных колебаниях идеального баротроп-
ного газа.
Рассмотрим решения однородного уравнения (15), зависящие от t по зако-
ну exp(iωct), где ωc – комплексная частота колебаний. Имеем z(t) = eiωctz, z ∈
H, и для амплитудных элементов z приходим к спектральной задаче
Bz + igc−2Cz = ωz, z ∈ D(B), (19)
Малые движения и нормальные колебания баротропного газа 129
относительно спектрального параметра ω ∈ C.
Лемма 2. Число ω = 0 является бесконечнократным собственным значением
задачи (19) и
Ker(B + igc−2C) = KerB = {z = (~u; 0)t : ∀~u ∈ ~J0(Ω)} =: H0. (20)
Доказательство. При ω = 0 с учетом обозначений (16), (11) приходим к
уравнениям
∇η + gc−2~e3η = 0,
∫
Ω
η dΩ = 0; div~u = 0, un = 0 (на S). (21)
Тогда
η = η(x3) = η0e
−gc−2x3, η0
∫
Ω
e−gc−2x3dΩ = 0 ⇒ η0 = 0.
Отсюда и из (14) следует (20). 2
Воспользуемся далее ортогональным разложением
~L2(Ω) = ~J0(Ω) ⊕ ~G(Ω), (22)
где ~G(Ω) – подпространство потенциальных полей:
~G(Ω) := {~v ∈ ~L2(Ω) : ~v = ∇ϕ,
∫
Ω
ϕdΩ = 0}. (23)
Нетрудно видеть, что между элементами из ~G(Ω) и H1
Ω (см. (9)) имеется
изометрический изоморфизм:
‖∇ϕ‖~L2(Ω) = ‖ϕ‖H1
Ω
, ∀ϕ ∈ H1
Ω. (24)
Введем ортогональное разложение
~L2(Ω) ⊕ L2,Ω =: H = H0 ⊕H1,
H1 := {z = (~u; η)t ∈ H : ∀~u = ∇ϕ ∈ ~G(Ω), ∀η ∈ L2,Ω}.
Лемма 3. Пусть P1 – ортопроектор из H на H1. Оператор
B1 := P1B|H1
= B∗
1, (25)
130 Е.А. Пронина
имеет дискретный спектр, состоящий из положительной и отрицательной
ветвей собственных значений λ±
k (B) с предельными точками λ = ±∞ соот-
ветственно и асимптотическим поведением
λ±
k (B) = ±
(
|Ω|/6π2
)−1/3
k1/3[1 + o(1)] (k → ∞). (26)
Система собственных элементов z±k = (∇ϕ±
k ; η±k )t, k = 1, 2, . . ., отвечающая
этим собственным значениям, образует ортогональный базис в H1:
(z±k , z±l )H = (λ±
k )−1(Bz±k , z±l )H = δkl. (27)
Доказательство. Оно основано на том, что задача на собственные зна-
чения для оператора B1 равносильна системе уравнений
i∇η = λ∇ϕ, idiv∇ϕ = λη (в Ω),
∂ϕ
∂n
= 0 (на S),
∫
Ω
η dΩ =
∫
Ω
ϕdΩ = 0, (28)
которая, в свою очередь, приводит к известной задаче Неймана
−△η = λ2η (в Ω),
∂η
∂n
= 0 (на S = ∂Ω),
∫
Ω
η dΩ = 0. (29)
В частности, асимптотические формулы (26) следуют из классической асимп-
тотики Вейля для собственных значений задачи (29). 2
Возвращаясь к задаче (19), представим ее решение в виде
z = z0 + z1, z0 = (~ω; 0)t ∈ H0, ~ω ∈ ~J0(Ω), (30)
z1 = (∇ϕ; η)t ∈ H1, ∇ϕ ∈ ~G(Ω), η ∈ H1
Ω. (31)
Подставляя это представление в (19) (это можно делать, так как H0 и H1
– инвариантные подпространства для B, см. лемму 3) и действуя ортопроекто-
рами P0 и P1 соответственно, с учетом свойства Cz0 = 0 (см. (11)), приходим
к системе уравнений
B1z1 + igc−2P1CP1z1 = ωz1, igc−2P0CP1z1 = ωz0. (32)
Отсюда следует, что элементы z1 находятся из первого уравнения, а эле-
менты z0 выражаются через z1 из второго соотношения.
Теорема 2. Задача (32) имеет дискретный спектр {ω±
k }∞k=1, состоящий из
двух ветвей конечнократных собственных значений, локализованных в полосе
|Imλ| ≤ gc−2 и имеющих асимптотическое поведение
ω±
k = λ±
k (B) = ±
(
|Ω|/6π2
)1/2
k1/3[1 + o(1)] (k → ∞). (33)
Малые движения и нормальные колебания баротропного газа 131
Корневые (собственные и присоединенные) элементы {z±1k}
∞
k=1, z±1k = P1z
±
k ,
отвечающие собственным значениям ω±
k , образуют базис Абеля-Лидского по-
рядка α > 3 в подпространстве H1.
Доказательство. Первое уравнение (32) есть задача на собственные зна-
чения для слабо возмущенного самосопряженного неограниченного оператора
с дискретным спектром. Поэтому утверждения теоремы следуют из утвержде-
ний 10 и 20 монографии [4], стр.292. 2
Отметим, что спектру частот ω±
k из (33) отвечают акустические волны,
возникающие в баротропном газе при дополнительном действии гравитацион-
ных сил.
4. Малые движения вязкого баротропного газа.
Исследуя задачу о малых движениях вязкого баротропного газа, осуще-
ствим в (4) ту же замену (5), а также замены
ν = µρ−1
0 , ν ′ = µ′ρ−1
0 .
Тогда возникает начально-краевая задача
∂~u
∂t
−(ν△~u+(ν+ν ′)∇div~u)+c∇η+gc−1η~e3 = ~f(t, x),
∂η
∂t
+cdiv~u = 0 (в Ω), (34)
∫
Ω
η dΩ = 0, ~u = ~0 (на S), ~u(0, x) = ~u 0(x), η(0, x) = η0(x), x ∈ Ω. (35)
Эту задачу, как и в п.2, приведем к задаче Коши для дифференциального
уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве H = ~L2(Ω) ⊕ L2,Ω.
С этой целью рассмотрим оператор A : D(A) ⊂ ~L2(Ω) → ~L2(Ω), действую-
щий по закону
A~u := −(ν△~u + (ν + ν ′)∇div~u), (36)
D(A) := {~u ∈ ~H2(Ω) : ~u = ~0 (на S)}. (37)
Лемма 4. Оператор A является неограниченным самосопряженным положи-
тельно определенным оператором с дискретным спектром. Его собственные
значения
{λk(A)}∞k=1 конечнократны и имеют асимптотическое поведение
λk(A) = cA k2/3[1 + o(1)], cA = |Ω|/(2π2), k → ∞. (38)
Собственные элементы оператора A образуют ортогональный базис в
пространстве ~L2(Ω) и в пространстве ~H1
0 (Ω) с эквивалентной нормой
‖~u‖2
~H1
0
(Ω)
= ν E(~u, ~u) + ν ′
∫
Ω
|div~u|2dΩ, (39)
132 Е.А. Пронина
E(~u, ~u) :=
1
2
∫
Ω
3∑
j,k=1
(
|
∂uj
∂xk
+
∂uk
∂xj
|2
)
dΩ, ~H1
0 (Ω) := {~u ∈ ~H1(Ω) : ~u = ~0 (на S)}.
(40)
С помощью введенного оператора A задачу (34)– (35) можно переписать
в виде
dz
dt
= −Az + i cBz − g c−1Cz + f(t), z(0) = z0, (41)
z = (~u; η)t, ~u ∈ D(A), η ∈ H1
Ω, A := diag(A; 0). (42)
Здесь операторы A и B неограничены, A = A∗ ≥ 0, B = B∗.
Для приведения задачи (41) к стандартной изученной проблеме осуще-
ствим замену
z(t) = eaty(t), a > 0. (43)
Тогда взамен (41) возникает задача Коши
dy
dt
= −
(
Aa 0
0 aI
)
y + i c
(
0 B12
B21 0
)
y − gc−1Cy + f0(t), (44)
f0(t) = e−atf(t), y(0) = z0, Aa := A + aI ≫ 0, (45)
где B12 и B21 = B∗
12 – соответствующие нулевые элементы матричного опера-
тора B (см. (16) и (11)).
Лемма 5. Имеет место факторизация
(
Aa −icB12
−icB21 aI
)
=
(
A
1/2
a 0
0 I
)(
I −icA
−1/2
a B12
−icB21A
−1/2
a aI
)(
A
1/2
a 0
0 I
)
,
(46)
причем оператор Q := B21A
−1/2
a : ~L2(Ω) → L2,Ω ограничен, а оператор
Q+ := A
−1/2
a B12, D(Q+) = D(B12) = H1
Ω, обладает свойствами
Q+ = Q∗|H1
Ω
, Q+ = Q∗. (47)
Лемма 6. Операторная матрица (46) допускает замыкание до максимально-
го равномерно аккретивного оператора:
Aa :=
(
A
1/2
a 0
0 I
) (
I −icQ∗
−icQ aI
) (
A
1/2
a 0
0 I
)
, (48)
Малые движения и нормальные колебания баротропного газа 133
D(Aa) = {y = (~y1; y2)
t : A1/2
a ~y1 − icQ∗y2 ∈ D(A1/2
a )}, (49)
Re(Aay, y)H ≥ a‖y‖2
H, ∀y ∈ D(Aa). (50)
Рассмотрим наряду с (44)– (45) задачу Коши
dy
dt
= −Aay − gc−1C y + f0(t), y(0) = z0. (51)
Из леммы 6 следует, что оператор −Aa является генератором сжимаю-
щей C0-полугруппы. Так как оператор C ограничен, то оператор −Aa− g c−1C
является генератором C0-полугруппы.
Из этих фактов следует утверждение.
Теорема 3. Пусть выполнены условия
~u 0 ∈ D(A), η0 ∈ H1
Ω, ~f(t, x) ∈ C1([0, T ]; ~L2(Ω)). (52)
Тогда задача (44), а поэтому и исходная задача (34)– (35) имеют единствен-
ное сильное решение на отрезке [0, T ].
Доказательство. Можно проверить, что из условий (52) следует, что в
задаче (51) z0 ∈ D(Aa), f0(t) ∈ C1([0, T ];H). Поэтому задача (51) имеет един-
ственное сильное решение на отрезке [0, T ]. Далее устанавливается (с использо-
ванием теории интегральных уравнений Вольтерра второго рода), что при этих
же условиях задача (44)– (45) имеет единственное сильное решение. Отсюда,
возвращаясь от (44)– (45) к исходной задаче (34)– (35), получаем, что она име-
ет единственное сильное решение, т.е. все слагаемые в первом уравнении (34)
– непрерывные функции t со значениями в ~L2(Ω), а во втором уравнении –
непрерывные функции t со значениями в L2,Ω. При этом выполнены также
начальные условия (35). 2
Автор благодарит Копачевского Н.Д. за руководство работой.
1. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидроди-
намике: Эволюционные и спектральные задачи. — М.: Наука, 1989. — 416 с.
2. Иванов Ю.Б., Копачевский Н.Д. О разрешимости начально-краевой задачи о малых дви-
жениях вращающегося слоя идеальной жидкости // Таврический вестник информатики
и математики (ТВИМ, Симферополь). – №1. – 2003. – С. 61-77.
3. Копачевский Н.Д. Собственные колебания вращающегося слоя идеальной жидкости //
Таврический вестник информатики и математики (ТВИМ, Симферополь). – №2. – 2006.
– С. 3-27.
4. Agranovich M.S., Katsenelenbaum B.Z., Sivov A.N., Voitovich N.N. Generalized Method of
Eigenoscillations in Diffraction Theory. – Willy-VCH, Berlin,Toronto, 1999. – 380 pp.
Таврический национальный ун-т им. В.И. Вернад-
ского, Симферополь
namekat@gmail.com
Получено 28.02.09
|