О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений

Для параболических уравнений с одной пространственной переменной изучается разрешимость задач а) с нелокальными граничными условиями, сочетающими условия А.А. Самарского и условия интегрального вида; б) с интегральными условиями по пространственной переменной. Доказываются теоремы существования и ед...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Кожанов, А.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Назва видання:	Нелинейные граничные задачи
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124283
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений / А.И. Кожанов // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 54-76. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124283
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1242832017-10-01T17:30:20Z О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений Кожанов, А.И. Для параболических уравнений с одной пространственной переменной изучается разрешимость задач а) с нелокальными граничными условиями, сочетающими условия А.А. Самарского и условия интегрального вида; б) с интегральными условиями по пространственной переменной. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений. 2010 Article О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений / А.И. Кожанов // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 54-76. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0236-0497 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124283 MSC (2000): 35K20 ru Нелинейные граничные задачи Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Для параболических уравнений с одной пространственной переменной изучается разрешимость задач а) с нелокальными граничными условиями, сочетающими условия А.А. Самарского и условия интегрального вида; б) с интегральными условиями по пространственной переменной. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений.
format	Article
author	Кожанов, А.И.
spellingShingle	Кожанов, А.И. О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений Нелинейные граничные задачи
author_facet	Кожанов, А.И.
author_sort	Кожанов, А.И.
title	О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений
title_short	О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений
title_full	О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений
title_fullStr	О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений
title_full_unstemmed	О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений
title_sort	о разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124283
citation_txt	О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений / А.И. Кожанов // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 54-76. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
series	Нелинейные граничные задачи
work_keys_str_mv	AT kožanovai orazrešimostikraevyhzadačsnelokalʹnymiiintegralʹnymiusloviâmidlâparaboličeskihuravnenij
first_indexed	2025-07-09T01:10:45Z
last_indexed	2025-07-09T01:10:45Z
_version_	1837129737222225920
fulltext	54 Нелинейные граничные задачи 20, 54-76 (2010) c©2010. А.И. Кожанов О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Для параболических уравнений с одной пространственной переменной изучается раз- решимость задач а) с нелокальными граничными условиями, сочетающими условия А.А. Самарского и условия интегрального вида; б) с интегральными условиями по пространственной переменной. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений. Ключевые слова: параболические уравнения, пространственно нелокальные краевые задачи, задачи с интегральными условиями, существование и единственность решений MSC (2000): 35K20 1. Постановка задач. Пусть Ω есть интервал (0, 1) оси Ox, Q есть прямоугольник Ω × (0, T ), 0 < T < +∞, c(x, t), f(x, t), αi(t), βi(t),Ki(x, t) иNi(x, t), i = 1, 2, суть заданные функции, определенные при x ∈ Ω, t ∈ [0, T ] соответственно. Краевая задача I: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения ut − uxx + c(x, t)u = f(x, t) (1) и такую, что для нее выполняются условия u(x, 0) = 0, x ∈ Ω, (2) ux(0, t) = α1(t)u(0, t) + α2(t)u(1, t) + ∫ Ω K1(x, t)u(x, t) dx, 0 < t < T, (3) ux(1, t) = β1(t)u(0, t) + β2(t)u(1, t) + ∫ Ω K2(x, t)u(x, t) dx, 0 < t < T. (4) Краевая задача II: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условие (2), а также условия u(0, t) = α1(t)ux(0, t) + α2(t)ux(1, t) + ∫ Ω K1(x, t)u(x, t) dx, 0 < t < T, (5) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований, код проекта 09-01-00422а, и ФЦП " Научные и научно-педагогические кадры инновационной России", государственный контракт № 16.740.11.0127 О разрешимости задач с нелокальными и интегральными условиями 55 u(1, t) = β1(t)ux(0, t) + β2(t)ux(1, t) + ∫ Ω K2(x, t)u(x, t) dx, 0 < t < T. (6) Краевая задача III: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольни- ке Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условие (2), а также условия ux(0, t) = α1(t)u(0, t) + α2(t)ux(1, t) + ∫ Ω K1(x, t)u(x, t) dx, 0 < t < T, (7) u(1, t) = β1(t)u(0, t) + β2(t)ux(1, t) + ∫ Ω K2(x, t)u(x, t) dx, 0 < t < T. (8) Нелокальная краевая задача с интегральными условиями: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условие (2), а также условия ∫ Ω Ni(x, t)u(x, t) dx = 0, i = 1, 2, 0 < t < T. (9) Уточним, что в краевых задачах I — III предполагается, что функция α1(t)β2(t)−α2(t)β1(t) может обращаться в нуль (в том числе тождественно) на отрезке [0, T ]. Краевые задачи I — III, задача с интегральными условиями относятся к числу нелокальных задач, т.е. задач, в которых задается связь значений реше- ния или (и) его производных в различных точках тех или иных граничных либо внутренних многообразий. Подобные задачи в целом активно изучаются в по- следнее время (см., например, монографии [1, 2]). Если же говорить о работах, более близких к предмету настоящей статьи, то заметим здесь следующее. Краевые задачи I — III в случае Ki(x, t) ≡ 0, i = 1, 2, как было отмечено в статье [3], возникают при моделировании некоторых теплофизических процес- сов (см. также [2]). В работе [4] методом Фурье была исследована разрешимость начально-краевой задачи для уравнения ut − uxx + c(x)u = f(x, t) с нелокальными краевыми условиями статьи [3]: α1u(0, t) + α2u(1, t) + α3ux(0, t) + α4ux(1, t) = 0, β1u(0, t) + β2u(1, t) + β3ux(0, t) + β4ux(1, t) = 0, αi = const, βi = const, i = 1, 4; основными требованиями на входные данные в этой работе были требование линейной независимости векторов (α1, α2, α3, α4) 56 А.И. Кожанов и (β1, β2, β3, β4), а также требование самосопряженности в смысле простран- ства L2 оператора − d2 dx2 + c(x) с указанными краевыми условиями. Некоторые частные случаи задач I — III в ситуации Ki(x, t) ≡ 0, i = 1, 2, при отказе от требования самосопряженности в случае постоянных коэффициентов в гранич- ных условиях были рассмотрены в [5], в случае переменных коэффициентов и для более общего уравнения в [6]. Систематическое исследование краевых задач для параболических урав- нений с нелокальными граничными условиями интегрального вида началось, по-видимому, с работ [7] и [8]; как близкие по постановке изучаемых задач отметим также работы [9 — 16]. 2. Разрешимость краевой задачи I. Обозначим через V0 пространство V0 = {v(x, t) : v(x, t) ∈W 2,1 2 (Q), vx(x, t) ∈W 2,1 2 (Q)}; норму в этом пространстве определим естественным образом ‖v‖V0 = ‖v‖ W 2,1 2 (Q) + ‖vx‖W 2,1 2 (Q). Очевидно, что пространство V0 с данной нормой является банаховым. Проведем вначале некоторые вспомогательные построения. Пусть ϕ(x), ψ(x), ai(x, t), γi(t) и δi(t), i = 1, 2, суть функции ϕ(x) = x− x2 2 , ψ(x) = x2 2 , ai(x, t) = βi(t) − αi(t) 2 x2 + αi(t)x, γi(t) = ∫ Ω ϕ(y)Ki(y, t) dy, δi(t) = ∫ Ω ψ(y)Ki(y, t) dy. Для заданной функции v(x, t) через v(t) и ṽ(t) будем обозначать функции v(t) = ∫ Ω K1(y, t)v(y, t) dy, ṽ(t) = ∫ Ω K2(y, t)v(y, t) dy, через B — оператор, действие которого определяется равенством (Bv)(x, t) = v(x, t) − a1(x, t)v(0, t) − a2(x, t)v(1, t) − ϕ(x)v(t) − ψ(x)ṽ(t). О разрешимости задач с нелокальными и интегральными условиями 57 Обозначим w(x, t) = (Bv)(x, t). Имеют место равенства v(0, t) = w(0, t), [1 − a2(1, t)]v(1, t) − 1 2 v(t) − 1 2 ṽ(t) = w(1, t) + a1(1, t)w(0, t), (10) −a2(t)v(1, t) + [1 − γ1(t)]v(t) − δ1(t)ṽ(t) = w(t) + a1(t)w(0, t), (11) −ã2(t)v(1, t) − γ2(t)v(t) + [1 − δ2(t)]ṽ(t) = w̃(t) + ã1(t)w(0, t). (12) Если определитель ∆(t) алгебраической системы (10) — (12) отличен от нуля на отрезке [0, T ], то функции v(0, t), v(1, t), v(t) и ṽ(t) вычисляются через функции w(0, t), w(1, t), w(t) и w̃(t): v(0, t) = w(0, t), v(1, t) = b1(x, t)w(0, t) + b2(x, t)w(1, t) + b3(x, t)w(t) + b4(x, t)w̃(t), v(t) = c1(x, t)w(0, t) + c2(x, t)w(1, t) + c3(x, t)w(t) + c4(x, t)w̃(t), ṽ(t) = d1(x, t)w(0, t) + d2(x, t)w(1, t) + d3(x, t)w(t) + d4(x, t)w̃(t). Из этих равенств следует, что при выполнении условия ∆(t) 6= 0 оператор B обратим, и что оператор B−1 задается равенством (B−1w)(x, t) = w(x, t) +A1(x, t)w(0, t) +A2(x, t)w(1, t)+ +A3(x, t)w(t) +A4(x, t)w̃(t), в котором функции Aj(x, t), j = 1, 4, вычисляются через функции αi(t), βi(t) и Ki(x, t), i = 1, 2. Определим функции Φ(x, t, v) и F (x, t, v): Φ(x, t, v) = [a1xx(x, t) − a1t(x, t) − c(x, t)a1(x, t) + a1(x, t)c(0, t)]v(0, t)+ +[a2xx(x, t) − a2t(x, t) − c(x, t)a2(x, t) + a2(x, t)c(1, t)]v(1, t)− −ϕ(x) ∫ Ω ∫ Ω K1(y, t)vyy(y, t) dy − ψ(x) ∫ Ω K2(y, t)vyy(y, t) dy+ + ∫ Ω [ϕ′′(x)K1(y, t) − ϕ(x)K1t(y, t) − c(x, t)ϕ(x)K1(y, t)+ +ϕ(x)K1(y, t)c(y, t)]v(y, t) dy + ∫ Ω [ψ′′(x)K2(y, t)− −ψ(x)K2t(y, t) − c(x, t)ψ(x)K1(y, t) + ψ(x)K2(y, t)c(y, t)]v(y, t) dy, F (x, t, v) = −a1(x, t)vxx(0, t) − a2(x, t)vxx(1, t) + Φ(x, t, v). 58 А.И. Кожанов Пусть функции v(x, t) и w(x, t) связаны равенством w(x, t) = (Bv)(x, t). В представлениях функций Φ(x, t, v) и F (x, t, v) заменим v(0, t), v(1, t), vt(0, t), vt(1, t), vyy(y, t), vxx(0, t), vxx(1, t) их значениями, вычисленными через функ- цию w(x, t). Получим равенства Φ(x, t, v) = Φ1(x, t, w), F (x, t, v) = −a1(x, t)wxx(0, t) − a2(x, t)wxx(1, t) + Φ2(x, t, w), Φ̃1(x, t, w) = Φ1(x, t, w) + Φ2(x, t, w), в которых формы Φ1(x, t, w) и Φ2(x, t, w) определяются функциями αi(t), βi(t), Ki(x, t), i = 1, 2, а также c(x, t). Теорема 1. Пусть выполняются условия c(x, t) ∈ C1(Q), αi(t) ∈ C 1([0, T ]), βi(t) ∈ C1([0, T ]), Ki(x, t) ∈ C1(Q), i = 1, 2; (14) ∆(t) 6= 0 при t ∈ [0, T ]; (15) f(x, t) ∈ L2(Q), fx(x, t) ∈ L2(Q). (16) Тогда краевая задача I имеет решение u(x, t) такое, что u(x, t) ∈ V0, u(0, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]), u(1, t) ∈W 1 2 ([0, T ]). Доказательство. Пусть g(x, t) есть заданная функция такая, что g(x, t) ∈ L2(Q), gx(x, t) ∈ L2(Q). Рассмотрим краевую задачу: найти функцию w(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения wt−wxx +c(x, t)w = g(x, t)−a1(x, t)wxx(0, t)−a2(x, t)wxx(1, t)+Φ̃1(x, t, w) (17) и такую, что для нее выполняются условие (2), а также условия wx(0, t) = wx(1, t) = 0, 0 < t < T. (18) Установим ее разрешимость в пространстве V0. Воспользуемся методом про- должения по параметру. Пусть λ есть число из отрезка [0, 1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию w(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения wt −wxx + c(x, t)w = g(x, t) + λ[−a1(x, t)wxx(0, t)− a2(x, t)wxx(1, t) + Φ̃1(x, t, w)] (17λ) и такую, что для нее выполняются условия (2) и (18). Как обычно это дела- ется при применении теоремы о методе продолжения по параметру (см. [17]), обозначим через Λ множество тех чисел λ из отрезка [0, 1], для которых краевая задача (17λ), (2), (18) разрешима в пространстве V0 для всех функций g(x, t), О разрешимости задач с нелокальными и интегральными условиями 59 удовлетворяющих включениям g(x, t) ∈ L2(Q), gx(x, t) ∈ L2(Q). Как известно (вновь см. [17]), если множество Λ будет не пустым, открытым и замкнутым в отрезке [0, 1], то оно будет совпадать со всем отрезком [0, 1]. Покажем, что наше множество Λ будет требуемым — не пустым, открытым и замкнутым. Тот факт, что множество Λ не пусто, очевиден, поскольку число 0 принад- лежит ему (см. [18]). Открытость и замкнутость Λ будет иметь место, если для всевозможных решений краевой задачи (17λ), (2), (18) из пространства V0 выполняется рав- номерная по λ априорная оценка ‖w‖V0 ≤ R0 (19) (см. [17]). Покажем ее наличие. Рассмотрим равенство t∫ 0 ∫ Ω (wxτ − wxxx + cwx + cxw) [ µwxτ − ( x− 1 2 ) wxx ] dx dτ = = t∫ 0 ∫ Ω (gx + λ[−a1xwxx(0, τ) − a2xwxx(1, τ) + Φ̃1x(x, τ, w)])· · [ µwxτ − ( x− 1 2 ) wxx ] dx dτ, (20) в котором µ есть положительное число, величина которого будет уточнена ни- же. Интегрируя по частям и используя (2) и (18), нетрудно данное равенство преобразовать к виду µ t∫ 0 ∫ Ω w2 xτ dx dτ + µ 2 ∫ Ω w2 xx(x, t) dx + 1 4 t∫ 0 w2 xx(0, τ) dτ + 1 2 t∫ 0 w2 xx(0, τ) dτ = = 1 2 t∫ 0 ∫ Ω w2 xx dx dτ + t∫ 0 ∫ Ω ( x− 1 2 ) wxxwxτ dx dτ− −λ t∫ 0 ∫ Ω [a1xwxx(0, τ) + a2xwxx(1, τ)] [ µwxτ − ( x− 1 2 ) wxx ] dx dτ+ + t∫ 0 ∫ Ω [gx − cwx − cxw + Φ̃1x(x, τ, w)] [ µwxτ − ( x− 1 2 ) wxx ] dx dτ. 60 А.И. Кожанов Второе слагаемое правой части данного равенства оценивается сверху с помо- щью неравенства Юнга величиной δ21 2 t∫ 0 ∫ Ω w2 xτ dx dτ + 1 8δ21 t∫ 0 ∫ Ω w2 xx dx dτ. Далее, имеют место неравенства ∣∣∣∣∣∣ λ t∫ 0 ∫ Ω [a1xwxx(0, τ) + a2xwxx(1, τ)] [ µwxτ − ( x− 1 2 ) wxx ] dx dτ ∣∣∣∣∣∣ ≤ ≤ 2δ22 t∫ 0 [w2 xx(0, τ) + w2 xx(1, τ)] dτ+ + µ2 δ22 [max{max Q \|a1x(x, t)\|,max Q \|a2x(x, t)\|}]2 t∫ 0 ∫ Ω w2 xτ dx dτ+ + 1 δ22 [max{max Q \|a1x(x, t)\|,max Q \|a2x(x, t)\|}]2 t∫ 0 ∫ Ω w2 xx dx dτ, ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 ∫ Ω [gx − cwx − cxw + Φ̃1x] [ µwxτ − ( x− 1 2 ) wxx ] dx dτ ∣∣∣∣∣∣ ≤ ≤ δ3 t∫ 0 ∫ Ω w2 xτ dx dτ + C(δ3) t∫ 0 ∫ Ω (w2 + w2 x + Φ̃2 1x + w2 xx + g2 x) dx dτ ; в этих неравенствах δ2 и δ3 — произвольные положительные числа, число C(δ3) определяется, помимо числа δ3, также функциями c(x, t), αi(t), βi(t) и Ki(x, t), i = 1, 2. Зафиксируем число δ2: δ2 = 1 4 . Далее зафиксируем число µ таким, чтобы выполнялось 8µ[max{max Q \|a1x(x, t)\|,max Q \|a2x(x, t)\|}] < 1. Подбирая теперь числа δ1 и δ3 малыми, нетрудно получить, что следствием равенства (20) будет неравенство t∫ 0 ∫ Ω w2 xτ dx dτ + ∫ Ω w2 xx(x, t) dx + t∫ 0 [w2 xx(0, τ) + w2 xx(1, τ)] dτ ≤ О разрешимости задач с нелокальными и интегральными условиями 61 ≤ C1 t∫ 0 ∫ Ω (w2 + w2 x + w2 xx + Φ̃2 1x + g2 x) dx dτ, (21) постоянная C1 в котором определяется лишь функциями c(x, t), αi(t), βi(t) и Ki(x, t), i = 1, 2. Для функции Φ̃1x(x, τ, w) имеет место неравенство t∫ 0 ∫ Ω Φ̃2 1x dx dτ ≤ C2    t∫ 0 ∫ Ω (w2 +w2 x) dx dτ + t∫ 0 [w2(0, τ) + w2(1, τ)] dτ    , постоянная C2 в котором вновь определяется лишь функциями c(x, t), αi(t), βi(t) и Ki(x, t), i = 1, 2. Это неравенство, а также элементарные неравенства ∫ Ω w2 x(x, τ) dx ≤ ∫ Ω w2 xx(x, τ) dx, (22) w2(0, τ) ≤ 4   ∫ Ω w2(x, τ) dx + ∫ Ω w2 x(x, τ) dx   , (23) w2(1, τ) ≤ 4   ∫ Ω w2(x, τ) dx + ∫ Ω w2 x(x, τ) dx   , (24) позволяют продолжить (21): t∫ 0 ∫ Ω w2 xτ dx dτ + ∫ Ω w2 xx(x, t) dx + t∫ 0 [w2 xx(0, τ) + w2 xx(1, τ)] dτ ≤ ≤ C3   t∫ 0 ∫ Ω w2 dx dτ + t∫ 0 ∫ Ω w2 xx dx dτ + ∫ Q g2 x dx dτ   ; (25) постоянная C3 здесь вновь определяется лишь функциями c(x, t), αi(t), βi(t), Ki(x, t), i = 1, 2. Рассмотрим теперь равенство t∫ 0 ∫ Ω (wτ − wxx + cw)w dxdτ = = t∫ 0 ∫ Ω [g + λ[−a1xwxx(0, τ) − a2xwxx(1, τ) + Φ̃1(x, τ, w)]w dxdτ. Интегрируя по частям, используя оценку для функции Φ̃1(x, τ, w): 62 А.И. Кожанов \|Φ̃1(x, τ, w)\| ≤ C4     ∫ Ω w2(x, τ) dx   1 2 +   ∫ Ω w2 xx(x, τ) dx   1 2 + +\|w(0, τ)\| + \|w(1, τ)\|   , применяя неравенство Юнга и далее вновь используя неравенства (23) и (24), нетрудно получить оценку ∫ Ω w2(x, t) dx ≤ δ t∫ 0 [w2 xx(0, τ) + w2 xx(1, τ)] dτ+ +C(δ)   t∫ 0 ∫ Ω (w2 +w2 xx) dx dτ + ∫ Q g2 dx dt   , (26) в которой δ есть произвольное положительное число, число же C(δ) определя- ется, помимо δ, еще функциями c(x, t), αi(t), βi(t) и Ki(x, t), i = 1, 2. Сложив (25) и (26), подобрав δ малым и зафиксировав, далее применяя лемму Гронуолла, получаем, что для решений w(x, t) краевой задачи (17λ), (2), (18) из пространства V0 имеет место априорная оценка ∫ Ω [w2(x, t) + w2 xx(x, t)] dx+ t∫ 0 ∫ Ω w2 xτ dx dτ + t∫ 0 [w2 xx(0, τ) + w2 xx(1, τ)] dτ ≤ ≤ C5 ∫ Q (g2 + g2 x) dx dt (27) с постоянной C5, определяющейся лишь функциями c(x, t), αi(t), βi(t) иKi(x, t), i = 1, 2. Из оценки (27) и из уравнения (17λ) следует очевидная вторая априорная оценка t∫ 0 ∫ Ω w2 τ dx dτ ≤ C6 ∫ Q (g2 + g2 x) dx dt, (28) О разрешимости задач с нелокальными и интегральными условиями 63 из оценки (27) и из продифференцированного по переменной x уравнения (17λ) — третья: t∫ 0 ∫ Ω w2 xxx dx dτ ≤ C7 ∫ Q (g2 + g2 x) dx dt, (29) числа C6 и C7 в этих оценках вновь определяются лишь функциями c(x, t), αi(t), βi(t) и Ki(x, t), i = 1, 2. Оценки (27) — (29) дают требуемую оценку (19); как уже говорилось выше, из этой оценки и из непустоты множества Λ следует совпадение этого множе- ства со всем отрезком [0, 1]. В свою очередь, совпадение множества Λ со всем отрезком [0,1] означает, что краевая задача (17), (2), (18) имеет решение w(x, t), принадлежащее пространству V0. Определим функцию u(x, t) с помощью равенства (13): u(x, t) = w(x, t) +A1(x, t)w(0, t) +A2(x, t)w(1, t) +A3(x, t)w(t) +A4(x, t)w̃(t). Эта функция принадлежит пространству V0 и является решением уравнения ut − uxx + c(x, t)u = g(x, t) − a1(x, t)uxx(0, t) − a2(x, t)uxx(1, t) + Φ(x, t, u). (30) Если обозначить через L оператор Lu = ut − uxx + c(x, t)u, то уравнение (30) можно записать в виде BLu = g. (31) Положим g(x, t) = (Bf)(x, t). Тогда вследствие взаимной однозначности опера- тора B из (31) вытекает, что функция u(x, t) является решением уравнения (1). Выполнение условий (2) — (4) для функции u(x, t) очевидно. Следователь- но, функция u(x, t) представляет собой (при указанном выше выборе функции g(x, t)) требуемое решение краевой задачи I. Теорема доказана. Приведем еще одну теорему о разрешимости краевой задачи I, более удоб- ную для дальнейших использований. Положим h1(t) = α2(t) + β2(t) − 2, и пусть выполняется условие h1(t) 6= 0 при t ∈ [0, T ]. (32) Далее положим h01(t) = 1 − β2(t) h1(t) , h11(t) = β2(t) − 2 h1(t) , 64 А.И. Кожанов g01(t) = α2(t) − 1 h1(t) , g11(t) = − α2(t) h1(t) , N11(x, t) = h01(t)K1(x, t) + g01(t)K2(x, t), N21(x, t) = h11(t)K1(x, t) + g11(t)K2(x, t), M1(x, y, t) = x2N11(y, t) + xN21(y, t), R11(t) = 1 − ∫ Ω x2N11(x, t) dx, R21(t) = − ∫ Ω xN11(x, t) dx, S11(t) = − ∫ Ω x2N21(x, t) dx, S21(t) = 1 − ∫ Ω xN21(x, t) dx, ∆1(t) = R11(t)S21(t) −R21(t)S11(t), M∗ 1 (x, y, t) = 1 ∆1(t) {[x2S21(t) − xS11(t)]N11(y, t) − [x2R21(t) − xR11(t)]N21(y, t)}. Определим оператор M : (Mu)(x, t) = u(x, t) − ∫ Ω M1(x, y, t)u(y, t) dy. Пусть выполняется условие ∆1(t) 6= 0 при t ∈ [0, T ]. (33) Тогда оператор M будет обратим, и обратный оператор будет определяться равенствами u(x, t) = w(x, t) + ∫ Ω M∗ 1 (x, y, t)w(y, t) dy, w(x, t) = (Mu)(x, t). Определим функцию Ψ1(x, t, v) (v = v(x, t) — заданная функция): Ψ1(x, t, v) = ∫ Ω [M1xx(x, y, t) −M1t(x, y, t) − c(x, t)M1(x, y, t)+ +c(y, t)M1(x, y, t)]v(y, t) dy − ∫ Ω M1(x, y, t)vyy(y, t) dy. Теорема 2. Пусть выполняются условия (14) и (16) теоремы 1, а также условия (32) и (33). Тогда краевая задача I имеет решение u(x, t) такое, что u(x, t) ∈ V0, u(0, t) ∈W 1 2 ([0, T ]), u(1, t) ∈W 1 2 ([0, T ]). О разрешимости задач с нелокальными и интегральными условиями 65 Доказательство. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию w(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения wt − wxx + cw − Ψ1(x, t,M −1w) = g(x, t) (11) и такую, что для нее выполняются условие (2), а также условия wx(0, t) = α1(t)w(0, t) + α2(t)w(1, t), 0 < t < T, (31) wx(1, t) = β1(t)w(0, t) + β2(t)w(1, t), 0 < t < T. (41) Предполагая, что для функции g(x, t) выполняются включения g(x, t) ∈ L2(Q), gx(x, t) ∈ L2(Q), нетрудно установить, что краевая задача (11), (2), (31), (41) имеет решение w(x, t) такое, что w(x, t) ∈ V0, w(0, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]), w(1, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]) — делается это дословным повторением доказательства теоремы 1. Положим u(x, t) = (M−1w)(x, t), g(x, t) = (Mf)(x, t). Для функции u(x, t) вы- полняются включения u(x, t) ∈ V0, u(0, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]), u(1, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]). Далее имеет место равенство M(ut − uxx + cu− f) = 0. Вследствие взаимной однозначности оператора M из этого равенства вытекает, что функция u(x, t) является решением краевой задачи I из требуемого класса. Теорема доказана. Ниже нам понадобится результат о повышении гладкости решений краевой задачи I по переменной t. Теорема 3.Пусть выполняются условие (15), а также условия c(x, t) ∈ C2(Q), αi(t) ∈ C2([0, T ]), βi(t) ∈ C2([0, T ]), Ki(x, t) ∈ C2(Q), i = 1, 2; (34) f(x, t) ∈W 1 2 (Q), fxt(x, t) ∈ L2(Q), f(x, 0) ≡ 0 при x ∈ Ω. (35) Тогда краевая задача I имеет решение u(x, t) такое, что u(x, t) ∈ V0, ut(x, t) ∈ V0, u(0, t) ∈W 2 2 ([0, T ]), u(1, t) ∈W 2 2 ([0, T ]). Доказательство. Пусть g(x, t) есть заданная функция такая, что g(x, t) ∈ L2(Q), gt(x, t) ∈ L2(Q), gxt(x, t) ∈ L2(Q). Обозначим w(x, t) = t∫ 0 v(x, τ) dτ и рассмотрим краевую задачу: найти функцию v(x, t), являющуюся в прямо- угольнике Q решением уравнения vt − vxx + c(x, t)v = gt(x, t) − a1(x, t)vxx(0, t) − a2(x, t)vxx(1, t)− 66 А.И. Кожанов −a1t(x, t)wxx(0, t) − a2t(x, t)wxx(1, t) + Φ̃1(x, t, v) + Φ̃1t(x, t, w) и такую, что для нее выполняются условия (2) и (18). Существование реше- ния v(x, t) этой задачи такого, что v(x, t) ∈ V0, v(0, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]), v(1, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]), устанавливается также, как доказывалась разрешимость краевой задачи (17), (2), (18) — с помощью метода продолжения по параметру и апри- орных оценок, при этом наличие требуемых оценок доказывается вполне ана- логично тому, как доказывалась справедливость оценки (19). Очевидно теперь, что функция w(x, t) будет решением задачи (17), (2), (18), причем таким, что для нее выполняются включения w(x, t) ∈ V0, wt(x, t) ∈ V0, w(0, t) ∈W 2 2 ([0, T ]), w(1, t) ∈W 2 2 ([0, T ]). Также очевидно, что функция u(x, t), определенная равен- ством (13), будет решением краевой задачи I из требуемого класса. Теорема доказана. Теорема 3’.Пусть выполняются условия (32) — (35). Тогда краевая задача I имеет решение u(x, t) такое, что u(x, t) ∈ V0, ut(x, t) ∈ V0, u(0, t) ∈W 2 2 ([0, T ]), u(1, t) ∈W 2 2 ([0, T ]). Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству тео- ремы 3, т.е. с помощью перехода к продифференцированной по переменной t задаче. 3. Разрешимость краевых задач II и III . Как и при доказательстве теоремы 2, выполним некоторые построения, сводящие краевую задачу II к задаче без интегральных слагаемых в граничных условиях, но для интегро-дифференциального уравнения. Положим h2(t) = β1(t) + β2(t) − α1(t) − α2(t) − 1, и пусть выполняется условие h2(t) 6= 0 при t ∈ [0, T ]. (36) Далее положим h02(t) = 1 h2(t) , h12(t) = β1(t) + β2(t) − 1 h2(t) , g02(t) = − 1 h2(t) , g12(t) = − α1(t) + α2(t) h2(t) , N12(x, t) = h02(t)K1(x, t) + g02(t)K2(x, t), N22(x, t) = h12(t)K1(x, t) + g12(t)K2(x, t), M2(x, y, t) = xN12(y, t) +N22(y, t), R12(t) = 1 − ∫ Ω xN12(x, t) dx, R22(t) = − ∫ Ω N12(x, t) dx, О разрешимости задач с нелокальными и интегральными условиями 67 S12(t) = − ∫ Ω xN22(x, t) dx, S22(t) = 1 − ∫ Ω N22(x, t) dx, ∆2(t) = R12(t)S22(t) −R22(t)S12(t), M∗ 2 (x, y, t) = 1 ∆2(t) {[xS22(t) − S12(t)]N12(y, t)− −[xR22(t) −R12(t)]N22(y, t)}. Оператор M для краевой задачи II определим прежним способом, но с помо- щью функции M2(x, y, t); при выполнении условия ∆2(t) 6= 0 при t ∈ [0, T ] (37) этот оператор будет обратим, и обратный оператор будет определяться равен- ствами u(x, t) = w(x, t) + ∫ Ω M∗ 2 (x, y, t)w(y, t) dy, w(x, t) = (Mu)(x, t). Наконец, определим функцию Ψ2(x, t, v) (v = v(x, t) — заданная функция): Ψ2(x, t, v) = ∫ Ω [M2xx(x, y, t) −M2t(x, y, t) − c(x, t)M2(x, y, t)+ +c(y, t)M2(x, y, t)]v(y, t) dy − ∫ Ω M2(x, y, t)vyy(y, t) dy. Теорема 4. Пусть выполняются условия (34) — (37), а также условия α1(t) ≥ 0, β2(t) ≤ 0, α1(t)β2(t) − α2(t)β1(t) ≤ 0, α1(t) − α2(t) ≥ 0 при t ∈ [0, T ]; (38) α2(t) + β1(t) ≡ 0. (39) Тогда краевая задача II имеет решение u(x, t) такое, что u(x, t) ∈ V0, u(0, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]), u(1, t) ∈W 1 2 ([0, T ]), ux(0, t) ∈W 1 2 ([0, T ]), ux(1, t) ∈W 1 2 ([0, T ]). Доказательство. Пусть g(x, t) есть заданная функция такая, что g(x, t) ∈ L2(Q), gt(x, t) ∈ L2(Q), gxt(x, t) ∈ L2(Q). Рассмотрим вспомогательную крае- вую задачу: найти функцию w(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q реше- нием уравнения wt − wxx + cw = g(x, t) + Ψ2(x, t,M −1w) (12) 68 А.И. Кожанов и такую, что для нее выполняются условие (2), а также условия w(0, t) = α1(t)wx(0, t) + α2(t)wx(1, t), 0 < t < T, (52) w(1, t) = β1(t)wx(0, t) + β2(t)wx(1, t), 0 < t < T. (62) Разрешимость этой задачи докажем, используя метод регуляризации. Пусть ε есть положительное число. Положим α1ε(t) = α1(t) + ε, β2ε(t) = β2(t) − ε. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию w(x, t), являющуюся в прямо- угольнике Q решением уравнения (12) и такую, что для нее выполняются условие (2), а также условия w(0, t) = α1ε(t)wx(0, t) + α2(t)wx(1, t), 0 < t < T, (52,ε) w(1, t) = β1(t)wx(0, t) + β2ε(t)wx(1, t), 0 < t < T. (62,ε) В данной задаче условия (52,ε), (62,ε) можно записать в виде wx(0, t) = β2ε(t) α1ε(t)β2ε(t) − α2(t)β1(t) w(0, t) − α2(t) α1ε(t)β2ε(t) − α2(t)β1(t) w(1, t), wx(1, t) = − β1(t) α1ε(t)β2ε(t) − α2(t)β1(t) w(0, t) + α1ε(t) α1ε(t)β2ε(t) − α2(t)β1(t) w(1, t). Заметим, что вследствие (38) при t ∈ [0, T ] выполняется неравенство α1ε(t)β2ε(t) − α2(t)β1(t) ≤ −ε2. Следовательно, краевая задача (12), (2), (52,ε), (62,ε) является краевой задачей вида I, но для интегро-диференциального уравнения (12). Используя технику доказательства теорем 1 и 3 (3′), нетрудно установить, что при выполнении условий (34) — (38) краевая задача (12), (2), (52,ε), (62,ε) при фиксированном ε имеет решение wε(x, t) такое, что wε(x, t) ∈ V0, wεt(x, t) ∈ V0, wε(0, t) ∈ W 2 2 ([0, T ]), wε(1, t) ∈ W 2 2 ([0, T ]). Покажем, что для семейства {wε(x, t)} име- ют место априорные оценки, которые позволят перейти к пределу в семействе задач (12), (2), (52,ε), (62,ε). При выводе априорных оценок индекс «ε» у решений задачи (12), (2), (52,ε), (62,ε) будем опускать. Уточним прежде всего, что имеет место равенство Ψ2(x, t,M −1w) = ∫ Ω M0(x, y, t)w(y, t) dy+ О разрешимости задач с нелокальными и интегральными условиями 69 + ∫ Ω M0(x, y, t)   ∫ Ω M∗ 2 (y, z, t)w(z, t) dz   dy− − ∫ Ω M2(x, y, t)   ∫ Ω M∗ 2yy(y, z, t)w(z, t) dz   dy+ + ∫ Ω M2y(x, y, t)wy(y, t) dy −M2(x, 1, t)wy(1, t) +M2(x, 0, t)wy(0, t), (40) функция M0(x, y, t) в котором определяется функциями c(x, t), αi(t), βi(t), Ki(x, t), i = 1, 2. Рассмотрим равенство t∫ 0 ∫ Ω (wτ − wxx + cw)[µ1wτ − (x− 1 2 )wx] dx dτ = = t∫ 0 ∫ Ω (g + Ψ2(x, τ,M −1w))[µ1wτ − (x− 1 2 )wx] dx dτ, в котором µ1 есть положительное число, значение которого будет уточнено ниже. Интегрируя по частям в этом равенстве, используя граничные условия и условие (39), нетрудно преобразовать его к виду µ1 t∫ 0 ∫ Ω w2 τ dx dτ + µ1 2 ∫ Ω w2 x(x, t) dx + 1 4 t∫ 0 w2 x(0, τ) dτ + 1 4 t∫ 0 w2 x(1, τ) dτ+ + µ1 2 t∫ 0 [α1ε(τ)w 2 x(0, τ) − β2ε(τ)w 2 x(1, τ)] dτ+ + µ1 2 α1ε(t)w 2 x(0, t) + µ1α2(t)wx(0, t)wx(1, t) − µ1 2 β2ε(t)w 2 x(1, t) = = t∫ 0 ∫ Ω {(x− 1 2 )wxwτ −µ1cwwτ +[g+Ψ2(x, τ,M −1w)][µ1wτ − (x− 1 2 )wx]} dx dτ+ +µ1 t∫ 0 {− 1 2 α′ 1(τ)w 2 x(0, τ) + β′1(τ)wx(0, τ)wx(1, τ) + 1 2 β′2(τ)w 2 x(1, τ)} dτ. (41) 70 А.И. Кожанов Заметим, что справедливо неравенство 1 2 α1(t)w 2 x(0, t) + α2(t)wx(0, t)wx(1, t) − 1 2 β2(t)w 2 x(1, t) ≥ 0. Учитывая это неравенство, учитывая далее равенство (40), применяя неравен- ство Юнга (в правой части), подбирая число µ1 малым (и фиксируя), наконец, используя лемму Гронуолла, получим, что следствием равенства (41) будет априорная оценка решений w(x, t) краевой задачи (12), (2), (52,ε), (62,ε): t∫ 0 ∫ Ω w2 τ dx dτ + ∫ Ω w2 x(x, t) dx+ t∫ 0 [w2 x(0, τ) + w2 x(1, τ)] dτ ≤ R1 ∫ Q g2 dx dt, (42) постоянная R1 в которой определяется лишь функциями c(x, t), αi(t), β(t), Ki(x, t), i = 1, 2, а также числом T . На следующем шаге рассмотрим равенство t∫ 0 ∫ Ω (wττ − wxxτ + cwτ + cτw)[µ2wττ − (x− 1 2 )wxτ ] dx dτ = = t∫ 0 ∫ Ω [gτ + (Φ2(x, τ,M −1w))τ ][µ2wττ − (x− 1 2 )wxτ ] dx dτ, в котором µ2 есть положительное число, величина которого будет уточнена ни- же. Повторяя выкладки, с помощью которых было доказано неравенство (42), подбирая число µ2 малым, нетрудно вывести вторую априорную оценку реше- ний краевой задачи (12), (2), (52,ε), (62,ε): t∫ 0 ∫ Ω w2 ττ dx dτ+ ∫ Ω w2 xt(x, t) dx+ t∫ 0 [w2 xt(0, τ)+w 2 xτ (1, τ)] dτ ≤ R2 ∫ Q g2 t dx dt, (43) постоянная R2 в которой определяется лишь функциями c(x, t), αi(t), βi(t), Ki(x, t), i = 1, 2, а также числом T . Следующая оценка решений w(x, t) краевой задачи (12), (2), (52,ε), (62,ε) t∫ 0 ∫ Ω w2 xx dx dτ ≤ R3 ∫ Q (g2 + g2 t ) dx dt (44) очевидным образом вытекает из оценок (42), (43), а также из уравнения (12) (с учетом равенства (40)). О разрешимости задач с нелокальными и интегральными условиями 71 Оценок (42) — (44) уже вполне достаточно для осуществления проце- дуры предельного перехода. Именно, из этих оценок и из свойства рефлек- сивности пространства L2 следует, что существуют последовательность {εn} положительных чисел и функция w(x, t) такие, что при n → ∞ εn → 0, wεn (x, t) → w(x, t), wεnt → wt(x, t), wεnxx(x, t) → wxx(x, t) слабо в L2(Q), wεn (0, t) → w(0, t), wεnx(0, t) → wx(0, t), wεn (1, t) → w(1, t), wεnt(1, t) → wt(1, t) слабо в пространстве L2([0, T ]) (здесь wεn (x, t) — решение краевой задачи (12), (2), (5εn,2), (6εn,2)). Из указанных сходимостей следует, что предельная функ- ция w(x, t) будет являться решением краевой задачи (12), (2), (52), (62), и что для нее будут выполняться включения w(x, t) ∈ V0, w(0, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]), w(1, t) ∈W 1 2 ([0, T ]), wx(0, t) ∈W 1 2 ([0, T ]), wx(1, t) ∈W 1 2 ([0, T ]). Определим функцию u(x, t): u(x, t) = w(x, t) + ∫ Ω M∗ 2 (x, y, t)w(y, t) dy. Очевидно, что для функции u(x, t) сохранятся включения u(x, t) ∈ V0, u(0, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]), u(1, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]), ux(0, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]), ux(1, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]). Если теперь выбрать функцию g(x, t) специальным образом: g(x, t) = (Mf)(x, t), то построенная по данной функции g(x, t) функция u(x, t) будет искомым реше- нием краевой задачи II. Теорема доказана. Обратимся теперь к задаче III. Положим h3(t) = [α2(t) − 1][β1(t) − 1] − α1(t)[β2(t) − 1], и пусть выполняется условие h3(t) 6= 0 при t ∈ [0, T ]. (45) Далее положим h03(t) = 1 − β1(t) h3(t) , h13(t) = β2(t) − 1 h3(t) , g03(t) = α1(t) h3(t) , g13(t) = 1 − α2(t) h3(t) , N13(x, t) = h03(t)K1(x, t) + g03(t)K2(x, t), N23(x, t) = h13(t)K1(x, t) + g13(t)K2(x, t), M3(x, y, t) = xN13(y, t) +N23(y, t), 72 А.И. Кожанов R13(t) = 1 − ∫ Ω xN13(x, t) dx, R23(t) = − ∫ Ω N13(x, t) dx, S13(t) = − ∫ Ω xN23(x, t) dx, S23(t) = 1 − ∫ Ω N23(x, t) dx, ∆3(t) = R13(t)S23(t) −R23(t)S13(t), M∗ 3 (x, y, t) = 1 ∆3(t) {[xS23(t) − S13(t)]N13(y, t)− −[xR23(t) −R13(t)]N23(y, t)}. Вновь определим оператор M — теперь с помощью ядра M3(x, y, t); при выполнении условия ∆3(t) 6= 0 при t ∈ [0, T ] (46) этот оператор будет обратим, и обратный оператор будет определяться равен- ствами u(x, t) = w(x, t) + ∫ Ω M∗ 3 (x, y, t)w(y, t) dy, w(x, t) = (Mu)(x, t). Определим функцию Ψ3(x, t, v) (v = v(x, t) — заданная функция): Ψ3(x, t, v) = ∫ Ω [M3xx(x, y, t) −M3t(x, y, t) − c(x, t)M3(x, y, t)+ +c(y, t)M3(x, y, t)]v(y, t) dy − ∫ Ω M3(x, y, t)vyy(y, t) dy. Теорема 5. Пусть выполняются условия (34), (35), (45) и (46), а также условие α2(t) + 2β2(t) + 1 ≤ 0, β2(t) ≤ 0 при t ∈ [0, T ]. Тогда краевая задача III имеет решение u(x, t) такое, что u(x, t) ∈ V0, u(0, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]), u(1, t) ∈W 1 2 ([0, T ]), ux(0, t) ∈W 1 2 ([0, T ]), ux(1, t) ∈W 1 2 ([0, T ]). Доказательство. Пусть g(x, t) есть заданная функция такая, что g(x, t) ∈ L2(Q), gt(x, t) ∈ L2(Q), gxt(x, t) ∈ L2(Q). Рассмотрим вспомогательную крае- вую задачу: найти функцию w(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q реше- нием уравнения wt −wxx + cw = g(x, t) + Ψ3(x, t,M −1w) (13) и такую, что для нее выполняются условие (2), а также условия wx(0, t) = α1(t)w(0, t) + α2(t)wx(1, t), 0 < t < T, (73) О разрешимости задач с нелокальными и интегральными условиями 73 wx(1, t) = β1(t)w(0, t) + β2(t)wx(1, t), 0 < t < T. (83) Разрешимость этой задачи докажем вновь с помощью метода регуляризации. Пусть ε есть положительное число, β2ε(t) есть функция β2ε(t) = β2(t) − ε. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию w(x, t), являющуюся в прямо- угольнике Q решением уравнения (13) и такую, что для нее выполняются условия (2) и (73), а также условие w(1, t) = β1(t)w(0, t) + β2ε(t)wx(1, t), 0 < t < T. (83,ε) В этой задаче условия (73) и (83,ε) представляют собой условия краевой зада- чи I для интегро-дифференциального уравнения (13); используя технику дока- зательства теорем 1 и 3 (3′), нетрудно установить, что при выполнении условий теоремы краевая задача (13), (2), (73), (83,ε) имеет решение wε(x, t) такое, что wε(x, t) ∈ V0, wεt(x, t) ∈ V0, wε(0, t) ∈ W 2 2 ([0, T ]), wε(1, t) ∈ W 2 2 ([0, T ]). Для семейства {wε(x, t)} имеют место априорные оценки (42) — (44), что устанав- ливается дословным повторением доказательства этих же оценок для решений краевой задачи (12), (2), (52,ε), (62,ε). Осуществляя далее процедуру предельно- го перехода аналогичную использованной при доказательстве теоремы 4, полу- чаем существование решения w(x, t) краевой задачи (13), (2), (73), (83) такого, что w(x, t) ∈ V0, w(0, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]), w(1, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]), wx(0, t) ∈ W 1 2 ([0, T ]), wx(1, t) ∈W 1 2 ([0, T ]); определяя же функцию u(x, t) равенством u(x, t) = w(x, t) + ∫ Ω M∗ 3 (x, y, t)w(y, t) dy, получаем существование решения u(x, t) краевой задачи III из требуемого клас- са. Теорема доказана. 4. Нелокальная краевая задача с интегральными условиями. Сделаем два предварительных замечания. Прежде всего отметим, что функции N1(x, t) и N2(x, t) обязаны быть ли- нейно независимыми на множестве Q, и в дальнейшем это будет отражено в соответствующих условиях. Далее, в отличие от задач I — III задача (1), (2), (9) названа не «краевой», а «нелокальной». Строго говоря, в условиях (9) граница («край») не участвует; кроме того, если задачи I — III в частных случаях превращаются в классиче- ские первую, вторую или смешанную начально-краевые задачи для параболи- ческого уравнения, то задача (1), (2), (9) ни при каких функциях Ni(x, t) не совпадает с классическими задачами и всегда является нелокальной. 74 А.И. Кожанов Положим Ki(x, t) = Ni(x, t)c(x, t) −Nixx(x, t) −Nit(x, t), i = 1, 2. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x, t), являющуюся в пря- моугольнике Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условие (2), а также условия Ni(0, t)ux(0, t) −Ni(1, t)ux(1, t) +Nix(1, t)u(1, t) −Nix(0, t)u(0, t)+ + ∫ Ω Ki(x, t)u(x, t) dx = 0, i = 1, 2, 0 < t < T. (47) Утверждение. Пусть функция f(x, t) такова, что выполняются условия ∫ Ω Ni(x, t)f(x, t) dx = 0 при t ∈ [0, T ], i = 1, 2. (48) Тогда на классе решений из пространства W 2,1 2 (Q) задачи (1), (2), (9) и (1), (2), (47) эквивалентны. Доказательство. Пусть функция u(x, t) является решением задачи (1), (2), (9) из пространства W 2,1 2 (Q). Умножая уравнение (1) последовательно на функ- ции N1(x, t) и N2(x, t), интегрируя по интервалу Ω и используя условия (48), получаем, что для функции u(x, t) будут выполняться условия (47). Следова- тельно, функция u(x, t) будет решением краевой задачи (1), (2), (47). Обратно, пусть функция u(x, t) является решением краевой задачи (1), (2), (47), принадлежащим пространству W 2,1 2 (Q). Интегрируя по частям в слагае- мых левой части равенств (47), соответствующих функциям Nixx(x, t), получим равенства ∂ ∂t   ∫ Ω Ni(x, t)u(x, t) dx   = 0, i = 1, 2. Из этих равенств и из условия (2) следует, что для функции u(x, t) выполня- ются условия (9). Утверждение доказано. Пусть выполняется одно из условий N1(0, t)N2(1, t) −N1(1, t)N2(0, t) 6= 0 при t ∈ [0, T ]; (49) N1x(0, t)N2x(1, t) −N1x(1, t)N2x(0, t) 6= 0 при t ∈ [0, T ]; (50) N1(0, t)N2x(1, t) −N1x(1, t)N2(0, t) 6= 0 при t ∈ [0, T ]. (51) О разрешимости задач с нелокальными и интегральными условиями 75 Разрешая соотношения (47) относительно ux(0, t) и ux(1, t) при выполнении условия (49) , относительно u(0, t) и u(1, t) при выполнении условия (50), отно- сительно ux(0, t) и u(1, t) при выполнении условия (51), получаем, что краевая задача (1), (2), (47) и при выполнении условий (48) нелокальная задача (1), (2), (9) эквивалентны краевым задачам I, II или III соответственно. Имея теперь условия разрешимости краевых задач I, II или III, приведенные в теоремах 2, 4 и 5, автоматически получаем условия разрешимости нелокальной задачи (1), (2), (9). 5. Комментарии и дополнения. 1. Все полученные выше результаты справедливы и для более общих па- раболических уравнений вида ut − a(x, t)uxx + b(x, t)ux + c(x, t)u = f(x, t) при выполнении условия a(x, t) ≥ a0 > 0 при (x, t) ∈ Q и необходимых условий гладкости. 2. При выполнении условий теорем 1, 2, 4 и 5 для краевых задач I — III имеет место единственность решений. Далее, единственность имеет место и для нелокальной задачи с интегральными условиями — при выполнении одного из условий (49), (50) или (51), а также условий соответствующих теорем разре- шимости краевых задач вида I — III, эквивалентных задаче с интегральными условиями. 3. Теоремы разрешимости для задач II и III нетрудно доказать при выпол- нении условия типа (15). Однако поскольку такое условие должно выполнять- ся для регуляризованной задачи, то проверка его в реальной ситуации пред- ставляется (автору) затруднительной. Именно поэтому был выбран «обходной» путь, связанный с расщеплением задач I — III. 4. Наличие в условиях (3) — (10) свободных членов не влияет на разреши- мость соответствующих задач. 5. Условие (2) с нулевой начальной функцией, условие f(x, 0) ≡ 0 теорем 4 и 5 не является необходимым. 6. Условие fxt(x, t) ∈ L2(Q) теорем 4 и 5 не является необходимым, по- скольку для справедливости оценок (42) — (44) оно не нужно. Приближая функцию f(x, t) гладкими (например) функциями, используя для гладких при- ближений теоремы 3 или 3′, получая далее оценки (42) — (44), переходя к пре- делу по параметру ε, а потом по параметру сглаживания функции f(x, t), по- лучим, что разрешимость задач II и III имеет место лишь при условии f(x, t) ∈ W 1 2 (Q). 1. Skubachevskii, A.L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications. Operator Theory. Advances and Applications. Vol. 91. Birkhäuser Verlag, 1997. 76 А.И. Кожанов 2. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 3. Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных урав- нений // Дифференц. уравнения, 1980, Т. 16, № 11. С. 1925-1935. 4. Lažetic, N.L. On classical solutions of mixed boundary problems for one dimensional parabolic equation of second order // Publ. de l’Institut mathematique-Nouvelle serie, 2000, V. 67(81). P. 53-75. 5. Мокин А.Ю. Об одном семействе начально-краевых задач для уравнения теплопровод- ности // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 1. С. 123-137. 6. Кожанов А.И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых за- дач для линейных параболических уравнений // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия, 2008, № 3(62). С. 165-174. 7. Cannon, J.R. The Solution of the Heat Equation Subject to the Specification of Energy // Quart. Appl. Math. 1963, V. 21. P. 155-160. 8. Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1964. Т. 4, № 6. С. 1006- 1024. 9. Fridman, A. Monotonic decay of solutions of parabolic equation with nonlocal boundary conditions // Quaterly of Applied Mathematics. 1986. V. XLIV, № 3. P. 401-407. 10. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 2. С. 294-304. 11. Муравей Л.А., Филиновский А.В. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения // Мат. заметки. 1993. Т. 54, № 4. С. 98-116. 12. Bouziani A. On a class of parabolic equations with a nonlocal boundary condition // Bulletin de la Classe des Sciences. Academie Royail de Belgique. 1996. 6 e serie. T. X. P. 61-77. 13. Пулькина Л.С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Институт математики им. С.Л. Собо- лева СО РАН. 2005. С. 231-239. 14. Абдрахманов А.М., Кожанов А.И. Задача с нелокальным граничным условием для од- ного класса уравнений нечетного порядка // Известия вузов. Математика. 2007. № 5. С. 3-12. 15. Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости некоторых граничных задач со смещени- ем для линейных гиперболических уравнений // Математический журнал (Казахстан). 2009. Т. 9, № 2. С. 78-92. 16. Абдрахманов А.М. О разрешимости краевой задачи с интегральным граничным условием второго рода для уравнений нечетного порядка // Математические заметки. 2010. Т. 88, Вып. 2. С. 163-170. 17. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 18. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, пр. Коптюга, 4, Новосибирск 630090, Россия kozhanov@math.nsc.ru Получено 14.12.10

О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений

Репозитарії

Схожі ресурси