Крайові задачі для сингулярних параболічних сисем

Установлено коректнiсть сингулярної параболiчної задачi зi спецiальними крайовими умовами.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Конаровська, М.І.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Назва видання:	Нелинейные граничные задачи
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124284
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Крайові задачі для сингулярних параболічних сисем / М.І. Конаровська // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 77-90. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124284
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1242842017-10-01T17:31:01Z Крайові задачі для сингулярних параболічних сисем Конаровська, М.І. Установлено коректнiсть сингулярної параболiчної задачi зi спецiальними крайовими умовами. 2010 Article Крайові задачі для сингулярних параболічних сисем / М.І. Конаровська // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 77-90. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 0236-0497 MSC (2000): 35K35, 35K40, 35К50 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124284 uk Нелинейные граничные задачи Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Установлено коректнiсть сингулярної параболiчної задачi зi спецiальними крайовими умовами.
format	Article
author	Конаровська, М.І.
spellingShingle	Конаровська, М.І. Крайові задачі для сингулярних параболічних сисем Нелинейные граничные задачи
author_facet	Конаровська, М.І.
author_sort	Конаровська, М.І.
title	Крайові задачі для сингулярних параболічних сисем
title_short	Крайові задачі для сингулярних параболічних сисем
title_full	Крайові задачі для сингулярних параболічних сисем
title_fullStr	Крайові задачі для сингулярних параболічних сисем
title_full_unstemmed	Крайові задачі для сингулярних параболічних сисем
title_sort	крайові задачі для сингулярних параболічних сисем
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124284
citation_txt	Крайові задачі для сингулярних параболічних сисем / М.І. Конаровська // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 77-90. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series	Нелинейные граничные задачи
work_keys_str_mv	AT konarovsʹkamí krajovízadačídlâsingulârnihparabolíčnihsisem
first_indexed	2025-07-09T01:10:51Z
last_indexed	2025-07-09T01:10:51Z
_version_	1837129743862857728
fulltext	Нелинейные граничные задачи 20, 77-100 (2010) 77 c©2010. М.I. Конаровська КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ СИНГУЛЯРНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ Установлено коректнiсть сингулярної параболiчної задачi зi спецiальними крайовими умовами. Ключовi слова: крайова задача, модельна крайова задача, функцiя Грiна, бiлiнiйнi форми, умова Лопатинського, ядра Пуассона, функцiї типу ядер Пуассона. MSC (2000): 35K35, 35K40, 35К50 Вступ. Коректнiсть загальних параболiчних крайових задач встановлено у мо- нографiях [1, 3, 4]. Задачi зi спецiальними крайовими умовами i сингулярнi крайовi задачi вивчались у багатьох працях, зокрема в [2, 5, 6]. Розглядається параболiчна система з сингулярним оператором Бесселя i парними похiдними по однiй просторовiй змiннiй. Вiдшукується класичний розв’язок системи з крайовими умовами типу умов Дiрiхле i Неймана для рiв- нянь довiльного порядку. На основi формули Грiна-Остроградського отримано зображення розв’язку задач з допомогою функцiї Грiна задачi Кошi. Побудо- вано розв’язок задач з використанням операторiв дробового iнтегрування та диференцiювання редукцiєю задач до iнтегральних рiвнянь. Задачi з крайовими умовами за видiленими змiнними моделюють фiзичнi та iншi процеси. 1. Про зображення розв’язку крайових задач для сингуляр- них параболiчних систем. У шарi Π+ t0 ≡ (t0;T )×E+ n , E+ n = (0,+∞)×En−2×(0,+∞) розглянемо систе- му рiвнянь, яка мiстить тiльки парнi похiднi по x1 функцiй u1(t, x), . . . , uN (t, x) L(t,D) ≡ ∂u(t, x) ∂t − ∑ \|k\|+2j≤2b Akj(t)D 2k1 x1 Dk′′ x′′Bj xn u(t, x) = f(t, x) (1) з умовами u(t, x)\|t=t0 = ϕ(x), ∂u(t, x) ∂xn ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ xn=0 = 0, (2) ∂2lu(t, x) ∂x2l 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x1=0 = gl(t, x ′), l = 0, b − 1, (3) 78 М.I. Конаровська або з умовами (2) та ∂2l+1u(t, x) ∂x2l+1 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x1=0 = g̃l(t, x ′), l = 0, b − 1. (4) В системi (1) коефiцiєнти матрицi Akj(t) – неперервнi функцiї на [t0, T ], Dk′′ x′′ = = ∂\|k′′\| ∂x k2 2 ...∂x kn−1 n−1 – оператор диференцiювання, Bxn = ∂2 ∂x2 n + 2ν+1 xn ∂ ∂xn , ν ≥ −1 2 , – оператор Бесселя, x = (x1, x ′), x′ = (x′′, xn), x′′ = (x2, . . . , xn−1), \|k\| = 2k1 + \|k′′\|, \|k′′\| = n−1 ∑ i=2 ki. Система (1) називається B-параболiчною, якщо характеристичне рiвняння det    ∑ \|k\|+2j=2b Akj(t)(iσ1) 2k1(iσ′′)k ′′ (−σ2 n)j − λE    = 0 має всi коренi λ = λ(t, σ), в яких Reλ ≤ −δ\|σ\|2b, δ > 0, σ ∈ E+ n , t ∈ (t0;T ). Нехай T ξn xnG(t, τ, x1−ξ1, x ′′−ξ′′, xn) – матриця Грiна системи (1). Вона є цi- лою функцiєю аргументiв (x1−ξ1)(t−τ)−1/2b, (x′′−ξ′′)(t−τ)−1/2b, xn(t−τ)−1/2b, ξn(t− τ)−1/2b, парною по останнiх двох аргументах, i визначається як обернене перетворення Фур’є-Бесселя нормальної фундаментальної матрицi вiдповiдної системи в образах Фур’є-Бесселя. Оператор T ξn xn – оператор узагальненого зсу- ву, який вiдповiдає оператору Бесселя [2, c. 14] i f(x, ξ) = T ξn xn f(x̃, xn, ξ̃) = = Γ(1 + ν) Γ(1/2)Γ(ν + 1/2) π ∫ 0 f(x̃, √ x2 n + ξ2 n − 2xnξn cos α, ξ̃) sin2ν αdα, де x = (x̃, xn), x̃ = (x1, . . . , xn−1). Припустимо, що матриця Грiна системи (1) задовольняє умову Λ1, тобто для її похiдних справджується оцiнка [1, c.116] \|Dk xBj xn T ξn xn G(t, τ, x1 − ξ1, x ′′ − ξ′′, xn)\| ≤ Ckj(t − τ)− nν+\|k\|+2j 2b T ξn xn { e −c\| x−ξ̃ (t−τ)1/2b \|q } , (Λ1) τ < t ≤ T , x ∈ E+ n , Ckj, c – додатнi сталi, nν = n + 2ν + 1, q = 2b 2b−1 . Введемо простiр C (2b) k(t),N (Π+ t0) як сукупнiсть вектор-функцiй u1(t, x), . . . , uN (t, x), якi мають в шарi Π+ t0 неперервнi похiднi по x до порядку 2b зi скiн- ченною нормою \|\|u\|\|2b = ∑ \|k\|+2j≤2b sup Π    √ √ √ √ N ∑ i=1 \|Dk xBj xnui\|2e −k(t)\|x\|q    , Крайовi задачi для сингулярних параболiчних систем 79 де k(t − t0, a) = a(c − ε) [ (c − ε)2b−1 − a2b−1(t − t0) ]− 1 2b−1 , 0 < ε < c, a > 0, t0 < t < t1, t1 = t0 + ((c − ε)a−1)2b−1. Позначимо Γ±(t, τ, x, ξ) ≡ T ξn xn G(t, τ, x1 − ξ1, x ′′ − ξ′′, xn) ± T ξn xn G(t, τ, x1 + ξ1, x ′′ − ξ′′, xn). Теорема 1. (про зображення розв’язку). Якщо розв’язки задач (1) – (3) i (1), (2), (4) iснують, то вони зображаються вiдповiдно формулами u(t, x) = ∫ E+ n Γ−(t, t0, x, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1 n dξ + t ∫ t0 dτ ∫ E+ n Γ−(t, τ, x, ξ)f(τ, ξ)ξ2ν+1 n dξ+ + t ∫ t0 dτ ∫ E+ n−1 b−1 ∑ l=0 ∑ \|k\|+2j≤2b−2−2l 2(−1)\|k\|A′ kj(τ)× (5) ×D2k1+1 ξ1 Dk′′ ξ′′ B j ξn T ξn xn G(t, τ, x1, x ′′ − ξ′′, xn)gl(τ, ξ ′)ξ2ν+1 n dξ′, u(t, x) = ∫ E+ n Γ+(t, t0, x, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1 n dξ + t ∫ t0 dτ ∫ E+ n Γ+(t, τ, x, ξ)f(τ, ξ)ξ2ν+1 n dξ+ + t ∫ t0 dτ ∫ E+ n−1 b−1 ∑ l=0 ∑ \|k\|+2j≤2b−2−2l 2(−1)\|k\|A′ kj(τ)× (6) ×D2k1 ξ1 Dk′′ ξ′′ B j ξn T ξn xn G(t, τ, x1, x ′′ − ξ′′, xn)g̃l(τ, ξ ′)ξ2ν+1 n dξ′, де l = 0, b − 1, A′ kj – транспонованi матрицi. Доведення. Доведення теореми ґрунтується на використаннi формули Грiна- Остроградського. Випишемо для оператора L системи (1) спряжений оператор L∗(t,D) [2, c.25] L∗(t,D) ≡ − ∂ ∂t E − ∑ \|k\|+2j≤2b A′ kj(t)D 2k1 x1 (−Dx′′)k ′′ Bj xn , матриця A′ kj(t) транспонована до Akj(t). Розглянемо область Q+ = (t0, T )×Ω+, де Ω+ прямокутний паралелепiпед 0 ≤ ξ1 ≤ R, −R ≤ ξs ≤ R, 0 ≤ ξn ≤ R, s = 2, n − 1, 80 М.I. Конаровська Γ+ – межа областi Ω+. Припустимо, що функцiї u(t, x) i v(t, x) визначенi в областi Q+ = (t0, T ) × Ω+ i допускають застосування операторiв L i L∗. Тодi [vLu − (L∗v′)′u]x2ν+1 n = ∂ ∂t (uv)x2ν+1 n + n ∑ s=1 ∂ ∂xs ( Bs[u, v]x2ν+1 n ) , (7) де Bs[u, v], s = 1, n − 1, бiлiнiйнi форми, якi мiстять похiднi D2k1 ξ1 Dk′′ ξ′′ B j ξn u, D2k1 ξ1 Dk′′ ξ′′ B j ξn v з \|k\| + 2j ≤ 2b − 1, а Bn[u, v] має вигляд Bn[u, v] = ∑ 2≤\|k\|+2j≤2b [ vAkj(t) ∂ ∂xn (Dk x′Bj−1 xn u) − (−1)\|k\|A′ kj(t) ∂ ∂xn (Dk x′Bj−1 xn v)u ] . Для подальшого дослiдження важливо знати явний вигляд бiлiнiйної форми B1[u, v]: B1[u, v] = b−1 ∑ l=0 ∑ \|k\|+2j≤2b−2−2l (−1)\|k\|A′ kj(t)D 2k1 ξ1 Dk′′ ξ′′ B j ξn vD2l+1 x1 u− − b−1 ∑ l=0 ∑ \|k\|+2j≤2b−2−2l (−1)\|k\|A′ kj(t)D 2k1+1 ξ1 Dk′′ ξ′′ B j ξn vD2l x1 u. (8) У рiвностi (7) вiзьмемо за v(τ, ξ) матрицю Грiна T ξn xn G(t, τ, x1−ξ1, x ′′−ξ′′, xn) си- стеми (1), а за u(τ, ξ) – неперервно-диференцiйовну функцiю в Q+ 2b раз, парну по xn. Зауважимо, що матриця T ξn xn G′(t, τ, x1 − ξ1, x ′′− ξ′′, xn) як матриця аргу- ментiв τ i ξ є регулярним розв’язком спряженої системи, тобто L∗T ξn xnG′(t, τ, x1− ξ1, x ′′ − ξ′′, xn) = 0 при t > τ [2]. Крiм того, T ξn xnG(t, τ, x1 − ξ1, x ′′ − ξ′′, xn) має особливiсть при τ = t. Проiнтегруємо (7) по областi (t0, t − ε) × Ω+: t−ε ∫ t0 dτ ∫ Ω+ T ξn xn G(t, τ, x1 − ξ1, x ′′ − ξ′′, xn)Luξ2ν+1 n dξ = = ∫ Ω+ T ξn xn G(t, t − ε, x1 − ξ1, x ′′ − ξ′′, xn)u(t − ε, ξ)ξ2ν+1 n dξ− − ∫ Ω+ T ξn xn G(t, t0, x1 − ξ1, x ′′ − ξ′′, xn)u(t0, ξ)ξ 2ν+1 n dξ+ + n ∑ s=1 t−ε ∫ t0 dτ ∫ Γ+ Bs[T ξn xn G(t, τ, x1 − ξ1, x ′′ − ξ′′, xn), u] cos(~n, ξi)ξ 2ν+1 n dΓ+ ξ . Крайовi задачi для сингулярних параболiчних систем 81 Перейдемо до границi при ε → 0 i скористаємось в другому доданку вла- стивiстю δ-подiбностi функцiї Грiна задачi Кошi, а також розпишемо поверх- невi iнтеграли. Будемо мати для x ∈ Ω+ u(t, x) = R ∫ 0 . . . R ∫ 0 T ξn xn G(t, t0, x1 − ξ1, x ′′ − ξ′′, xn)u(t0, ξ)ξ 2ν+1 n dξ1 . . . dξn+ + t ∫ t0 dτ R ∫ 0 . . . R ∫ 0 T ξn xn G(t, τ, x1 − ξ1, x ′′ − ξ′′, xn)Luξ2ν+1 n dξ1 . . . dξn+ + t ∫ t0 dτ R ∫ −R . . . R ∫ 0 B1[T ξn xn G(t, τ, x1, x2 − ξ2, . . . , xn), u(τ, 0, ξ2, . . . , ξn)]ξ2ν+1 n dξ2 . . . dξn− − t ∫ t0 dτ R ∫ −R . . . R ∫ 0 B1[T ξn xn G(t, τ, x1 − R,x2 − ξ2, . . . , xn), u(τ,R, ξ2, . . . , ξn)]ξ2ν+1 n dξ2 . . . dξn− − n−1 ∑ s=2 t ∫ t0 dτ R ∫ 0 R ∫ −R . . . R ∫ 0 Bs[T ξn xn G(t, τ, x1 − ξ1, . . . , xs − ξs, xs+1 − ξs+1, . . . , xn), u(τ, ξ1, . . . , ξs, ξs+1 . . . , ξn)] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ξs=R ξs=−R ξ2ν+1 n dξ1 . . . dξs−1dξs+1 . . . dξn+ − t ∫ t0 dτ R ∫ 0 R ∫ −R . . . R ∫ −R Bn[TR xn G(t, τ, x1 − ξ1, x2 − ξ2, . . . , xn), u(τ, ξ1, ξ2, . . . , R)]R2ν+1dξ1 . . . dξn−1. (9) Якщо x∈̄ Ω+, то в лiвiй частинi (9) замiсть u(t, x) буде нуль. Якщо функцiя u ∈ C (2b) k(t),N (Π+ t0) i матриця Грiна задовольняє умову Λ1, то iнтеграли з (9), в пiдiнтегральну функцiю яких входить R, прямують до нуля при R → ∞ [6]. Отримаємо u(t, x) = ∫ E+ n T ξn xn G(t, t0, x1 − ξ1, x ′′ − ξ′′, xn)u(t0, ξ)ξ 2ν+1 n dξ+ 82 М.I. Конаровська + t ∫ t0 dτ ∫ E+ n T ξn xn G(t, τ, x1 − ξ1, x ′′ − ξ′′, xn)Lu(τ, ξ)ξ2ν+1 n dξ+ (10) + t ∫ t0 dτ ∫ E+ n−1 B1[T ξn xn G(t, τ, x1, x ′′ − ξ′′, xn), u(τ, ξ′)]ξ2ν+1 n dξ′, якщо x1 > 0. При x1 < 0 лiва частина в (10) дорiвнює нулевi. Вiзьмемо у формулi (10) точку, симетричну з (t, x1, . . . , xn) вiдносно гiперплощини x1 = 0, будемо мати ∫ E+ n T ξn xn G(t, t0,−x1 − ξ1, x ′′ − ξ′′, xn)u(t0, ξ)ξ 2ν+1 n dξ+ + t ∫ t0 dτ ∫ E+ n T ξn xn G(t, τ,−x1 − ξ1, x ′′ − ξ′′, xn)Lu(τ, ξ)ξ2ν+1 n dξ+ (11) + t ∫ t0 dτ ∫ E+ n−1 B1[T ξn xn G(t, τ,−x1, x ′′ − ξ′′, xn), u(τ, ξ′)]ξ2ν+1 n dξ′ = 0. Похiднi матрицi Грiна мають таку властивiсть: Dm ξ1D k ξ′′B j ξn T ξn xn G(t, τ,−x1 − ξ1, x ′′ − ξ′′, xn) = = (−1)mDm ξ1D k ξ′′B j ξn T ξn xn G(t, τ, x1 + ξ1, x ′′ − ξ′′, xn). (12) (12) одержується за рахунок парностi нормальної фундаментальної матрицi Q(t, τ, σ) вiдповiдної системи в образах Фур’є-Бесселя. Просумуємо вирази з (10) i (11). Тодi, використовуючи властивiсть (12) та зображення бiлiнiйної форми (8), дiстанемо зображення розв’язку (6). Анало- гiчно, якщо розглянути рiзницю (10) i (11), отримаємо зображення (5). 2. Iснування розв’язку крайових задач. 2.1. Модельна крайова задача. Розглянемо систему зi сталими коефiцiєнта- ми, яка мiстить тiльки групу старших i по змiннiй x1 в систему входять тiльки парнi похiднi ∂u(t, x) ∂t = ∑ \|k\|+2j=2b AkjD 2k1 x1 Dk′′ x′′Bj xn u(t, x), (1′) з нулевою початковою умовою (2) та крайoвими умовами (3). Крайовi задачi для сингулярних параболiчних систем 83 Для знаходження розв’язку використаємо перетворення Фур’є-Бесселя по x′′, xn, а по t – перетворення Лапласа. В образах Фур’є-Бесселя-Лапласа отри- маємо наступну задачу на пiвосi  pE − ∑ \|k\|+2j=2b Akj(iσ ′′)k ′′ (−σ2 n)jD2k1 x1   v(p, x1, σ ′) = 0, (13) D2l x1 v(p, x1, σ ′)\|x1=0 = g̃l(p, σ′), l = 0, b − 1, (14) v(p, x1, σ ′)\|x1=∞ = 0, (15) σ′ = (σ′′, σn), g̃l(p, σ′) = Fx′′,xnLtgl(t, x ′). Розв’язок системи (13) шукаємо у виглядi v(p, x1, σ ′) = αeiσ1x1 =   α1 . . . αN   eiσ1x1 . (16) Пiдставляючи (16) в (13), отримаємо однорiдну алгебраїчну систему вiдносно невiдомих α1, . . . , αN  pE − ∑ \|k\|+2j=2b Akj(iσ1) 2k1(iσ′′)k ′′ (−σ2 n)j  α = 0, (17) яка має ненульовий розв’язок при умовi, що det  pE − ∑ \|k\|+2j=2b Akj(iσ1) 2k1(iσ′′)k ′′ (−σ2 n)j   = 0. (18) Многочлен в (18) є многочленом степеня 2bN вiдносно σ1. Нехай {σ (s) 1 (p, σ′)}2bN s=1 коренi цього многочлена. Розмiщення цих коренiв характеризує лема 1.4 [1, c.354], згiдно якої маємо, що якщо система (1′) параболiчна, то в областi Da = {(p, σ′) 6= 0, Re p = a ≥ 0} система (18) не має дiйсних коренiв i половина коренiв знаходиться у верхнiй характеристичнiй пiвплощинi, а половина – у нижнiй. Позначимо цi коренi {σ ±(s) 1 (p, σ′)}bN s=1, де σ +(s) 1 – коренi, для яких Im σ1 > 0, σ −(s) 1 – коренi, для яких Im σ1 < 0. Кожному σ ±(s) 1 (p, σ′) кореню вiдповiдає частинний розв’язок i загальний розв’язок записується у виглядi v(p, x1, σ ′) = bN ∑ s=1 P+ s (p, x1, σ ′)eiσ +(s) 1 x1 + bN ∑ s=1 P− s (p, x1, σ ′)eiσ −(s) 1 x1 , (19) 84 М.I. Конаровська де P+ s (p, x1, σ ′) та P− s (p, x1, σ ′) – многочлени по x1, степеня на одиницю мен- шого, нiж кратнiсть коренiв σ +(s) 1 та σ −(s) 1 вiдповiдно. Оскiльки коренням, якi лежать у верхнiй пiвплощинi, вiдповiдають спаднi розв’язки, а коренням, якi лежать у нижнiй пiвплощинi, – зростаючi розв’язки, то виконання умови (15) досягатиметься за рахунок коефiцiєнтiв многочленiв P− s (p, x1, σ ′), тобто P− s (p, x1, σ ′) ≡ 0. Нехай всi σ +(s) 1 – простi коренi. Тодi v(p, x1, σ ′) = bN ∑ s=1 Csαse iσ (s) 1 x1, σ (s) 1 ≡ σ +(s) 1 , αs =   α1s · · · αNs   . Для знаходження Cs задовольнимо крайовi умови в (14) D2l x1 v(p, x1, σ ′)\|x1=0 = bN ∑ s=1 Csαs(iσ (s) 1 )2l = g̃l(p, σ′), l = 0, b − 1. (20) Отримаємо систему лiнiйних неоднорiдних алгебраїчних рiвнянь. Кiлькiсть невiдомих та кiлькiсть рiвнянь дорiвнює bN . Нехай ∆(p, σ′) – головний визнач- ник системи (20). Якщо виконується умова Я.Б. Лопатинського, а саме ∆(p, σ′) 6= 0, (p, σ′) ∈ Da, то система (20) має ненульовий розв’язок i Cs = ∆s ∆ , s = 1, bN , ∆s – визначники, утворенi з визначника ∆ замiною s-го стовпця на стовпець з вiльних членiв системи (20). Тодi компоненти розв’язку vj(p, x1, σ ′), j = 1, N , визначаються наступним чином vj(p, x1, σ ′) = b−1 ∑ m=0 Qjm(p, x1, σ ′)g̃m(p, σ′), (21) де Qjm(p, x1, σ ′) = bN ∑ s=1 ∆m s ∆ αjse iσ (s) 1 x1 , ∆m s = (∆m1 s , . . . , (−1)N+1∆mN s ), ∆mj s – вiдповiднi алгебраїчнi доповнення до елементiв g̃ (j) m ,j = 1, N ; нижнiй iндекс s вказує на те, що вiдповiднi алгебраїч- нi доповнення вираховуються в ∆s. У формулi (21) елементи Qjm(p, x1, σ ′) – матрицi розмiру 1 × N , а функцiї g̃m(p, σ′) – матрицi розмiру N × 1. Для подальшого дослiдження важливо знати оцiнки Qjm(p, x1, σ ′). Пiд- рахуємо степiнь однорiдностi Qjm, j = 1, N , m = 0, b − 1. Зауважимо, що {σ (s) 1 (p, σ′)}bN s=1 як функцiї (p, σ′) задовольняють умову однорiдностi [1, с.355] {σ (s) 1 (a2bp, aσ′)}bN s=1 = {aσ (s) 1 (p, σ′)}bN s=1. Крайовi задачi для сингулярних параболiчних систем 85 Cтепiнь однорiдностi ∆ дорiвнює bN(b−1), а степенi однорiдностi ∆m s – bN(b− −1) − 2m. Враховуючи вигляд Qjm, визначається степiнь однорiдностi Qjm, який дорiвнює (−2m). Крiм того, для Qjm справджується оцiнка \|Qjm\| ≤ bN ∑ s=1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∆m s ∆ αjse iσ (s) 1 x1 ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ Cjmρ−2m(p, σ′)e−c0ρ(p,σ′)x1 , (22) c0 = min 1≤s≤b Im σ (s) 1 (p∗, σ′∗), (p∗, σ′∗) ∈ Da, ρ(p∗, σ′∗) = 1, де Cjm > 0, ρ(p, σ′) = √ \|σ′\|2 + \|p\|2/2b. Елементи Qjm є аналiтичними функцiями по (p, σ′) в областi Da, якi експоненцiально спадають при x1 > 0, якщо (p, σ′) → ∞. Нерiвнiсть (22) дозволяє здiйснити обернене перетворення Фур’є-Бесселя- Лапласа по (p, σ′). Тодi з (21) на основi теореми про перетворення Фур’є- Бесселя-Лапласа згортки отримаємо uj(t, x) = b−1 ∑ m=0 t ∫ t0 dτ ∫ E+ n−1 T ξn xn Gjm(t − τ, x1, x ′′ − ξ′′, xn)× × gm(τ, ξ′)ξ2ν+1 n dξ′, j = 1, N, (23) де Gjm(t, x) = c′ν ∫ E+ n−1 eiσ′′x′′ jν(σnxn)σ2ν+1 n dσ′ a+i∞ ∫ a−i∞ eptQjm(p, x1, σ ′)dp, c′ν = (2π)−n2−2νΓ−2(ν + 1)i−1, Gjm(t, x), j = 1, N , – елементи m-го стовпчика ядер Пуассона, m = 0, b − 1. Нехай G(t, x) – матриця, складена з Gjm(t, x), а T ξn xnGm(t, x) – m-ий стовп- чик матрицi G(t, x). Для похiдних T ξn xn Gm(t, x) справджуються оцiнки \|Dk xBj xn T ξn xn Gm(t−τ, x1, x ′′−ξ′′, xn)\|≤Ckj(t−τ)− nν−1+2b−2m+\|k\|+2j 2b T ξn xn { e−cρ(t,τ,x,ξ′′) } , Ckj > 0. Тодi на основi теореми 2.4 [1, c.381] одержуємо наступну теорему. Теорема 2. Нехай система (1′) B-параболiчна в Π+ t0 , виконується умова Ло- патинського в областi Da, крайовi функцiї gm ∈ C (2b−2−2m+α, 2b−2−2m+α 2b ) x′,t (Π ′+ t0 ), Π ′+ t0 = (t0, T ) × E+ n−1. Тодi iснує єдиний розв’язок задачi (1′), (2), (3), який визначається формулою (23). 86 М.I. Конаровська Наслiдок 1. Розглянемо випадок N = 1. Тодi головний визначник системи (20) є визначником Вандермонда i ∆ = ∏ 1 ≤ j, s ≤ b j 6= s ( (σ (j) 1 )2 − (σ (s) 1 )2 ) = = ( (σ (1) 1 )2 − (σ (2) 1 )2 )( (σ (1) 1 )2 − (σ (3) 1 )2 ) . . . ( (σ (b−1) 1 )2 − (σ (b) 1 )2 ) . Для випадку рiзних σ (s) 1 -коренiв визначник ∆ 6= 0 в областi Da, тому умова Я.Б. Лопатинського буде виконуватися. Наслiдок 2. Iз зображення (5) та (23) розв’язку задачi (1′), (2), (3) випливає зв’язок мiж елементами l-го стовпчика ядер Пуассона та матрицею Грiна G0 системи (1′) T ξn xn Gl(t − τ, x1, x ′′ − ξ′′, xn) = = ∑ \|k\|+2j≤2b−2−2l 2A′ kjD 2k1+1 ξ1 Dk′′ ξ′′ B j ξn T ξn xn G0(t − τ, x1, x ′′ − ξ′′, xn), l = 0, b − 1. 2.2. Випадок загальної крайової задачi. У шарi Π+ t0 = (t0, T ) × E+ n роз- глянемо крайову задачу (1) – (3). Розв’язок задачi (1) – (3) вiдшукуємо у виглядi u(t, x) = uзк(t, x) + uкз(t, x), де uзк(t, x) – розв’язок задачi Кошi (1) – (2), а uкз(t, x) – розв’язок крайової задачi Lu = 0, u\|t=t0 = 0, ∂u ∂xn ∣ ∣ ∣ xn=0 = 0, ∂2lu ∂x2l 1 ∣ ∣ ∣ x1=0 = gl(t, x ′) − ∂2l ∂x2l 1 uзк ∣ ∣ ∣ x1=0 ≡ ḡl(t, x ′), який будемо знаходити за алго- ритмом, описаним в [2, c.82-94]. Видiлимо iз задачi (1) – (3) модельну крайову задачу, а саме: розглянемо однорiдну систему N рiвнянь, якi мiстять лише групу старших, коефiцiєнти в (1) “заморозимо“ в точцi τ ∈ (t0, T ): L̃(τ,D)u(t, x) ≡ ∂u(t, x) ∂t − ∑ \|k\|+2j=2b Akj(τ)D2k1 x1 Dk′′ x′′Bj xn u(t, x) = 0. Далi розглянемо функцiї типу ядер Пуассона T ξn xnG (αm) m (t−τ, x1, x ′′−ξ′′, xn; τ) ≡ G (αm) m (t− τ, x− ξ′′; τ) = J (αm) x′ Gm(t− τ, x− ξ′′; τ), де J (αm) x′ – оператор дробового iнтегрування, що вiдповiдає оператору Λ(D) [2, c.69]: Λ(D)u ≡ ( ∂ ∂t + (−1)b(∆x′′ + Bxn)b ) u = 0, J (αm) x′ (f)(t, x′) = 1 Γ(αm) t ∫ 0 (t − τ)αm−1 ∫ E+ n−1 G0(t − τ, x′, y′)f(τ, y′)y2ν+1 n dy′, Крайовi задачi для сингулярних параболiчних систем 87 αm ∈ (0, 1), G0(t − τ, x′, y′) – фундаментальний розв’язок рiвняння Λ(D)u = 0. Функцiї типу ядер Пуассона G (αm) m (t− τ, x− ξ′′; τ) задовольняють нерiвнiсть [2, c.85] \|Dk xBj xn G (αm) m (t − τ, x − ξ′′; τ)\| ≤ Ckjm(t − τ)− nν−1+2b−rm−2bαm+\|k\|+2j 2b × × T ξn xn { e−cρ(t,τ,x,ξ′′) } , (24) m = 0, b − 1, rm = 2m. Вiзьмемо αm = 2b−rm−ε 2b i розглянемо об’ємний потенцiал Wm(t, τ, x, ξ′) = t ∫ τ dβ ∫ E+ n T yn xn G(t, β, x1 − y1, x ′′ − y′′, yn)× × L(β,D)G(αm) m (β − τ, y − ξ′′; τ)y2ν+1 n dy, (25) m = 0, b − 1. Оскiльки G (αm) m – функцiї типу ядер Пуассона задачi iз “замороженими“ коефiцiєнтами, то L(t,D)G(αm) m = ∑ \|k\|+2j=2b [Akj(τ) − Akj(t)]D 2k1 x1 Dk′′ x′′Bj xn G (αm) m − − ∑ \|k\|+2j<2b Akj(t)D 2k1 x1 Dk′′ x′′Bj xn G (αm) m . Використовуючи умову Гельдера коефiцiєнтiв Akj, \|k\| + 2j = 2b, та оцiнки по- хiдних функцiй типу ядер Пуассона (24), дiстанемо оцiнку щiльностi об’ємного потенцiала (25) \|L(t,D)G(αm) m (t − τ, x − ξ′′; τ)\| ≤ C(t − τ)− nν−1+2b−α+ε 2b T ξn xn { e−cρ(t,τ,x,ξ′′) } , (26) 0 < ε < α. На основi леми 3.1 [2, c.36] визначається порядок особливостi Wm, який на α менший вiд порядку особливостi G (αm) m . В результатi застосу- вання оператора L(t,Dx) до Wm(t, τ, x, ξ′) одержимо щiльнiсть L(t,Dx)G (αm) m . Розв’язок крайової задачi вiдшукуємо у виглядi поверхневого потенцiалу uкз(t, x) = b−1 ∑ m=0 t ∫ t0 dτ ∫ E+ n−1 E(αm) m (t, τ, x, ξ′)µm(τ, ξ′)ξ2ν+1 n dξ′, де E (αm) m = G (αm) m − Wm, µm(t, x′) – шуканi функцiї, якi неперервнi при t > t0 i сумовнi на [t0, T ]. Так побудована функцiя uкз(t, x) є розв’язком однорiдної си- стеми i виконується нульова початкова умова [2, c.87]. Для визначення µm(t, x′) 88 М.I. Конаровська задовольнимо крайовi умови. В результатi дiстанемо систему iнтегральних рiв- нянь Вольтера-Фредгольма першого роду Jαl x′ µl(t, x ′) + b−1 ∑ m=0 t ∫ t0 dτ ∫ E+ n−1 Elm(t, τ, x′, ξ′)µm(τ, ξ′)ξ2ν+1 n dξ′ = ḡl(t, x ′), (27) де Elm(t, τ, x′, ξ′) = ∂2l ∂x2l 1 [ G (αm) m (t − τ, x − ξ′′; τ)− −G (αm) m (t − τ, x − ξ′′; t) ] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x1=0 − ∂2l ∂x2l 1 Wm(t, τ, x, ξ′) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x1=0 . На основi теореми 6.4 [2, c.79] в результатi дiї оператора дробового диференцi- ювання D (αl) x′ на обидвi частини (27) отримаємо систему рiвнянь другого роду µl(t, x ′) = D (αl) x′ ḡl(t, x ′) − b−1 ∑ m=0 t ∫ t0 dτ ∫ E+ n−1 D (αl) x′ Elm(t, τ, x′, ξ′)µm(τ, ξ′)ξ2ν+1 n dξ′. (28) Позначимо Klm(t, τ, x′, ξ′) ≡ −D (αl) x′ Elm(t, τ, x′, ξ′). Розв’язок (28) шукаємо ме- тодом послiдовних наближень. На основi оцiнок ядер Klm \|Klm(t, τ, x′, ξ′)\| ≤ C(t − τ)− nν−1+2b−α 2b T ξn xn { e−cρ(t,τ,x′,ξ′′) } встановлюється iснування резольвенти Rlm(t, τ, x′, ξ′) = Klm(t, τ, x′, ξ′)+ + ∞ ∑ j=1 b−1 ∑ s=0 t ∫ τ dβ ∫ E+ n−1 Kls(t, β, x′, y′)K(j) sm(β, τ, y′, ξ′)y2ν+1 n dy′, m = 0, b − 1, K (1) lm ≡ Klm. Розв’язок системи (28) визначається формулою µm(t, x′) = D (αm) x′ ḡm(t, x′) − b−1 ∑ s=0 t ∫ t0 dτ ∫ E+ n−1 Rms(t, τ, x ′, ξ′)D (αm) ξ′ ḡs(τ, ξ ′)ξ2ν+1 n dξ′. Пiдставляючи знайденi функцiї µm(t, x′) у формулу для знаходження uкз(t, x) i проводячи замiну порядку iнтегрування, отримаємо, що uкз(t, x) = b−1 ∑ m=0 t ∫ t0 dτ ∫ E+ n−1 Ẽm(t, τ, x, ξ′)D (αm) ξ′ ḡm(τ, ξ′)ξ2ν+1 n dξ′, Крайовi задачi для сингулярних параболiчних систем 89 де Ẽm(t, τ, x, ξ′) = E(αm) m (t, τ, x, ξ′)+ + b−1 ∑ m=0 t ∫ τ dβ ∫ E+ n−1 E(αm) s (t, β, x, y′)Rms(β, τ, y′, ξ′)y2ν+1 n dy′, m = 0, b − 1. Сформулюємо теорему про коректнiсть крайової задачi. Теорема 3. Припустимо, що для задачi (1) – (3) виконуються умови: 1) система (1) B-параболiчна в Π+ t0 ; 2) виконується умова Лопатинського для вiдповiдної модельної задачi iз “замороженими“ коефiцiєнтами у групi старших системи (1); 3) коефiцiєнти Akj(t) гельдеровi по t при \|k\| + 2j = 2b, крайовi функцiї gl ∈ C (2b−2−2l+α, 2b−2−2l+α 2b ) x′,t (Π ′+ t0 ), початкова функцiя ϕ ∈ C(2b+α)(E+ n ), функцiя f ∈ C(α)(Π+ t0); 4) виконується умова узгодження мiж початковою i крайовими функцiя- ми: ∂2l ∂x2l 1 ϕ(x) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x1=0 = gl(t0, x ′), l = 0, b − 1. Тодi iснує єдиний розв’язок задачi, який належить класу C (2b+α,1) x,t (Π+ t0) i справджується нерiвнiсть: \|u\|2b+α ≤ C ( \|ϕ\|2b+α + \|f \|α + b−1 ∑ l=0 \|gl\|2b−2−2l+α ) . Зауваження. Для того, щоб записати умову 2) теореми 3, потрiбно в си- стемi (1) у групi старших “заморозити“ коефiцiєнти в точцi τ i провести аналогiчнi мiркування, як i у випадку модельної крайової задачi. Ця умова бу- де такою ж, як i в пунктi 2.1., тобто для кожного τ головний визначник системи (20) повинен бути вiдмiнним вiд нуля. 1. Эйдельман С.Д. Параболические системы. – М.: Наука, 1964. – 442 с. 2. Матiйчук М.I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. – Київ: Iнститут математики НАН України, 1999. – 176 с. 3. Ивасишен С.Д. Матрица Грина параболических задач. – К.: Вища школа, 1990. – 199 с. 4. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических дифференциальных уравнений общего вида // Труды МИАН СССР, 83, 1965. – 163 с. 5. Михайлов В.П. О смешаной задаче для параболической системы на плоскости // ДАН СССР, 126, №6, 1959, – С.1199-1202. 90 М.I. Конаровська 6. Эйдельман С.Д. О некоторых свойствах решений параболических систем // Укр. матем. журн., т.8, №2, 1956. – С.191-207. 7. Конаровська М.I. Теореми Лiувiлля для сингулярних параболiчних систем // Науковий вiсник ЧНУ: Збiрник наук. праць. Вип.485. Математика. – Чернiвцi: Чернiвецький нац. ун-т, 2009. – С.28-34. 8. Масiкевич М.I., Матiйчук М.I. Оцiнка матрицi Грiна в чвертi простору B-параболiчної системи з iмпульсною дiєю // Науковий вiсник ЧНУ: Збiрник наук. праць. Вип.374. Ма- тематика. – Чернiвцi: Рута, 2008. – С.88-95. Чернiвецький нацiональний унiверситет iменi Ю.Федьковича, вул. Коцюбинського 2, 58012 Чернiвцi mmi_marina@mail.ru Отримано 29.12.10

Крайові задачі для сингулярних параболічних сисем

Репозитарії

Схожі ресурси