Многомерная обратная краевая задача для системы гиперболических уравнений в ограниченной области

В работе с помощью обобщенного принципа сжатых отображений доказана теорема существования и единственности классического решения многомерной обратной краевой задачи для систем гиперболических уравнений в ограниченной области....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Кулиев, М.А., Эл-Хадиди, А.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Назва видання:	Нелинейные граничные задачи
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124285
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Многомерная обратная краевая задача для системы гиперболических уравнений в ограниченной области / М.А. Кулиев, А.М. Эл-Хадиди // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 91-103. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124285
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1242852017-10-01T17:31:35Z Многомерная обратная краевая задача для системы гиперболических уравнений в ограниченной области Кулиев, М.А. Эл-Хадиди, А.М. В работе с помощью обобщенного принципа сжатых отображений доказана теорема существования и единственности классического решения многомерной обратной краевой задачи для систем гиперболических уравнений в ограниченной области. 2010 Article Многомерная обратная краевая задача для системы гиперболических уравнений в ограниченной области / М.А. Кулиев, А.М. Эл-Хадиди // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 91-103. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0236-0497 MSC (2000): 35L20; 35L55 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124285 ru Нелинейные граничные задачи Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В работе с помощью обобщенного принципа сжатых отображений доказана теорема существования и единственности классического решения многомерной обратной краевой задачи для систем гиперболических уравнений в ограниченной области.
format	Article
author	Кулиев, М.А. Эл-Хадиди, А.М.
spellingShingle	Кулиев, М.А. Эл-Хадиди, А.М. Многомерная обратная краевая задача для системы гиперболических уравнений в ограниченной области Нелинейные граничные задачи
author_facet	Кулиев, М.А. Эл-Хадиди, А.М.
author_sort	Кулиев, М.А.
title	Многомерная обратная краевая задача для системы гиперболических уравнений в ограниченной области
title_short	Многомерная обратная краевая задача для системы гиперболических уравнений в ограниченной области
title_full	Многомерная обратная краевая задача для системы гиперболических уравнений в ограниченной области
title_fullStr	Многомерная обратная краевая задача для системы гиперболических уравнений в ограниченной области
title_full_unstemmed	Многомерная обратная краевая задача для системы гиперболических уравнений в ограниченной области
title_sort	многомерная обратная краевая задача для системы гиперболических уравнений в ограниченной области
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124285
citation_txt	Многомерная обратная краевая задача для системы гиперболических уравнений в ограниченной области / М.А. Кулиев, А.М. Эл-Хадиди // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 91-103. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Нелинейные граничные задачи
work_keys_str_mv	AT kulievma mnogomernaâobratnaâkraevaâzadačadlâsistemygiperboličeskihuravnenijvograničennojoblasti AT élhadidiam mnogomernaâobratnaâkraevaâzadačadlâsistemygiperboličeskihuravnenijvograničennojoblasti
first_indexed	2025-07-09T01:10:56Z
last_indexed	2025-07-09T01:10:56Z
_version_	1837129750077767680
fulltext	Нелинейные граничные задачи 20, 91-103 (2010) 91 c©2010. М.А. Кулиев, А.М. Эл-Хадиди МНОГОМЕРНАЯ ОБРАТНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ В работе с помощью обобщенного принципа сжатых отображений доказана теорема суще- ствования и единственности классического решения многомерной обратной краевой задачи для систем гиперболических уравнений в ограниченной области. Ключевые слова: гиперболическая система, обратная задача, классическое решение. MSC (2000): 35L20; 35L55 В работе исследуется классическое решение многомерной обратной кра- евой задачи для систем гиперболических уравнений в ограниченной области. Предполагается, что неизвестные коэффициенты и правая часть уравнения за- висят от аргумента t. А именно рассматривается задача: ∂2u(x, t) ∂t2 −Au(x, t) = a1(t)b(x, t)u(x, t) + c1(t)d(x, t) ∂v(x, t) ∂t + f1(t)F (x, t), (1) ∂2v(x, t) ∂t2 −Av(x, t) = a2(t)b̃(x, t) ∂u(x, t) ∂t + c2(t)d̃(x, t)v(x, t) + f2(t)G(x, t), (2) (x, t) ∈ D̄T = Ω̄ × [0, T ], u(x, 0) = ϕ(x), ∂u ∂t ∣ ∣ ∣ ∣ t=0 = ψ(x), x ∈ Ω̄, (3) v(x, 0) = ϕ̃(x), ∂v ∂t ∣ ∣ ∣ ∣ t=0 = ψ̃(x), x ∈ Ω̄, (4) u(x, t)\|ΓT = 0, v(x, t)\|ΓT = 0, ΓT = S × [0, T ], (5) u(xi, t) = hi(t) (i = 1, 2, 3), t ∈ [0, T ], (6) v(xi, t) = gi(t) (i = 1, 2, 3), t ∈ [0, T ], (7) где 0 < T < +∞; Ω – произвольная ограниченная n-мерная область, n ≤ 2 ; S – граница области Ω; ΓT – боковая поверхность цилиндра D̄T ; xi (i = 1, 2, 3) – различные фиксированные точки в Ω, а оператор A имеет вид: Au(x, t) = n ∑ i,j=1 ∂ ∂xi ( aij(x) ∂u(x, t) ∂xj ) −K(x)u(x, t), (8) причем всюду на Ω̄ функции aij(x) = aji(x), K(x) ≥ 0 – измеримы, ограничены в Ω и n ∑ i,j=1 aij(x)ξiξj ≥ µ n ∑ i=1 ξ2i , µ = const > 0, ξi (i = 1, n) – любые действительные числа. 92 М.А.Кулиев, А.М.Эл-Хадиди Функции b(x, t), b̃(x, t), d(x, t), d̃(x, t), F (x, t), G(x, t), ϕ(x), ϕ̃(x), ψ(x), ψ̃(x), hi(t) и qi(t) (i = 1, 3) – заданные, а u(x, t), v(x, t), a1(t), a2(t) , c1(t), c2(t), f1(t) , f2(t) – искомые. Определение. Функции {u(x, t), v(x, t), a1(t), a2(t), c1(t), c2(t), f1(t), f2(t)} назовем классическим решением задачи (1)–(7), если выполняются следующие условия: 1. Функции u(x, t) и v(x, t) дважды непрерывно дифференцируемы в D̄T . 2. Функции a1(t), a2(t) , c1(t), c2(t), f1(t) и f2(t) непрерывны на [0, T ]. 3. Условия (1)–(7) выполняются в обычном классическом смысле. С целью исследования задачи (1)–(7) рассмотрим следующие простран- ства. Обозначим через Bk,k−1 2,T совокупность всех функций u(x, t) вида u(x, t) = = ∞ ∑ s=1 us(t)µs(x), где us(t) (s = 1, 2, ...) непрерывно дифференцируемы на [0, T ] и такие, что { ∞ ∑ s=1 ( λks max 0≤t≤T \|us(t)\| )2 } 1 2 + { ∞ ∑ s=1 ( λk−1 s max 0≤t≤T ∣ ∣u′s(t) ∣ ∣ )2 } 1 2 ≡ RT (u) < +∞. Здесь k ≥ 1, 0 > −λ2 1 ≥ −λ2 2 ≥ ... и µs(x) (s = 1, 2, ...) – собственные значения и соответствующие ортонормированные в L2(Ω) обобщенные собственные функ- ции первой однородной краевой задачи для оператора A в Ω. Нормы в этом множестве определим так: ‖u‖ = RT (u). Известно [3], что все эти пространства банаховы. Предположим, что функции aij(x) (i, j = 1, n), K(x), b(x, t), b̃(x, t), d(x, t), d̃(x, t), F (x, t), G(x, t), ϕ(x), ψ(x), ϕ̃(x), ψ̃(x), hi(t) и qi(t) (i = 1, 3) удовлетворяют следующим условиям: 1. Функция aij(x) (i, j = 1, n) [n 2 ] + 2 раза, а функция K(x) ≥ 0 [n 2 ] + 1 раз непрерывно дифференцируемы на Ω̄. 2. Область Ω является нормальной [2] и S ∈ C[n 2 ]+2. 3. Собственные функции µk(x) оператора A при граничном условии µk(x)\|S = = 0 (k = 1, 2, ...) [n 2 ] + 3 раза непрерывно дифференцируемы на Ω̄. 4. Функция ϕ(x) ∈ W [n 2 ]+3 2 (Ω), ϕ(x)\|S = A ϕ(x)\|S = ... = A[n 4 ]+1 ϕ(x)\|S = 0, ϕ̃(x) ∈W [n 2 ]+3 2 (Ω), ϕ̃(x)\|S = A ϕ̃(x)\|S = ... = A[n 4 ]+1 ϕ̃(x)\|S = 0, Многомерная обратная краевая задача 93 ψ(x) ∈ W [n 2 ]+2 2 (Ω), ψ(x)\|S = A ψ(x)\|S = ... = A[n+2 4 ] ψ(x)\|S = 0, ψ̃(x) ∈W [n 2 ]+2 2 (Ω), ψ̃(x) ∣ ∣ ∣ S = A ψ̃(x) ∣ ∣ ∣ S = ... = A[n+2 4 ] ψ̃(x) ∣ ∣ ∣ S = 0. 5. Функции ∂ib(x, t) ∂xα1 1 ...∂xαn n , ∂ib̃(x,t) ∂x α1 1 ...∂x αn n , ∂id(x,t) ∂x α1 1 ...∂x αn n , ∂id̃(x,t) ∂x α1 1 ...∂x αn n , ( i = 0, [ n 2 ] + 2 ) при- надлежат пространству C(D̄T ) и ∂jb(x, t) ∂xα1 1 ...∂xαn n = 0, ∂j b̃(x,t) ∂x α1 1 ...∂x αn n = 0, ∂jd(x, t) ∂xα1 1 ...∂xαn n = 0, ∂j d̃(x, t) ∂xα1 1 ...∂xαn n = 0, (t ∈ [0, T ] x ∈ S; j = 0, 2 [ n+2 2 ] ) . 6. Функции F (x, t), G(x, t) принадлежат пространству W [n 2 ]+2,0 x,t,2 (DT )∩C(DT ) и F (x, t)\|ΓT = AF (x, t)\|ΓT = ... = A[n+2 4 ]F (x, t) ∣ ∣ ∣ ΓT = 0, G(x, t)\|ΓT = AG(x, t)\|ΓT = ... = A[n+2 4 ]G(x, t) ∣ ∣ ∣ ΓT = 0 . 7. Функции hi(t) 6= 0, gi(t) 6= 0 (i = 1, 3) дважды непрерывно дифференци- руемы на [0, T ] и hi(0) = ϕ(xi), h′i(0) = ψ(xi), gi(0) = ϕ̃(xi), g′i(0) = ψ̃(xi) (i = 1, 3). 8. ∆(t) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ b(x1, t)h1(t) d(x1, t)g′1(t) F (x1, t) b(x2, t)h2(t) d(x2, t)g′2(t) F (x2, t) b(x3, t)h3(t) d(x3, t)g′3(t) F (x3, t) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6= 0 ∀t ∈ [0, T ] , ∆̃(t) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ b̃(x1, t)h′1(t) d̃(x1, t)g1(t) G(x1, t) b̃(x2, t)h′2(t) d̃(x2, t)g2(t) G(x2, t) b̃(x3, t)h′3(t) d̃(x3, t)g3(t) G(x3, t) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6= 0 ∀t ∈ [0, T ] . При выполнении условий 1–8, применяя метод Фурье и учитывая условия 6 и 7, решение задачи (1)–(7) сведем к решению следующей системы интегро- дифференци-альных уравнений: u(x, t) = ∞ ∑ k=1 ϕk cos λktµk(x)+ ∞ ∑ k=1 ψk λk sinλktµk(x)+ ∞ ∑ k=1 1 λk ∫ t 0 ∫ Ω [a1(τ)b(ξ, τ)u(ξ, τ)+ +c1(τ)d(ξ, τ) ∂v ∂τ (ξ, τ) + f1(τ)F (ξ, τ) ] sinλk(t− τ)µk(ξ)dξdτ · µk(x), (9) 94 М.А.Кулиев, А.М.Эл-Хадиди v(x, t) = ∑∞ k=1 ϕ̃k cos λktµk(x) + ∑∞ k=1 ψ̃k λk sinλktµk(x)+ ∑∞ k=1 1 λk ∫ t 0 ∫ Ω[a2(τ)b̃(ξ, τ) × ∂u ∂τ (ξ, τ)+ +c2(τ)d̃(ξ, τ) v(ξ, τ) + f2(τ)G(ξ, τ) ] sinλk(t− τ)µk(ξ)dξdτ · µk(x), (10)        a1(t) = 1 ∆(t) ∑3 i=1Ai1Φi(u, v, a1, c1, f1; t), c1(t) = 1 ∆(t) ∑3 i=1Ai2Φi(u, v, a1, c1, f1; t), f1(t) = 1 ∆(t) ∑3 i=1Ai3Φi(u, v, a1, c1, f1; t); (11)        a2(t) = 1 ∆̃(t) ∑3 i=1 Ãi1Φ̃i(u, v, a2, c2, f2; t), c2(t) = 1 ∆̃(t) ∑3 i=1 Ãi2Φ̃i(u, v, a2, c2, f2; t), f2(t) = 1 ∆̃(t) ∑3 i=1 Ãi3Φ̃i(u, v, a2, c2, f2; t), (12) где Φi(u, v, a1, c1, f1; t) = h′′i (t) + ∞ ∑ k=1 λ2 kϕk cos λktµk(x i) + ∞ ∑ k=1 λkψk sinλktµk(x i)+ + ∞ ∑ k=1 ∫ t 0 ∫ Ω λk [ a1(τ)b(ξ, τ)u(ξ, τ) + c1(τ)d(ξ, τ) ∂v ∂τ (ξ, τ) + f1(τ)F (ξ, τ) ] × × sinλk(t− τ)µk(ξ)dξdτ · µk(xi) (i = 1, 3), Φ̃i(u, v, a2, c2, f2; t) = g′′i (t) + ∞ ∑ k=1 λ2 kϕ̃k cos λktµk(x i) + ∞ ∑ k=1 λkψ̃k sinλktµk(x i)+ + ∞ ∑ k=1 ∫ t 0 ∫ Ω λk [ a2(τ)b̃(ξ, τ) ∂u ∂τ (ξ, τ) + c2(τ)d̃(ξ, τ)v(ξ, τ) + f2(τ)G(ξ, τ) ] × × sinλk(t− τ)µk(ξ)dξdτ · µk(xi) (i = 1, 3), Aij(t) – алгебраическое дополнение элемента bij определителя ∆(t); Ãij(t) – алгебраическое дополнение элемента b̃ij определителя ∆̃(t). Справедлива следующая Теорема. Пусть выполнены условия 1–8. Тогда при достаточно малых зна- чениях T задача (1)–(7) имеет единственное классическое решение. Доказательство. Запишем систему (9)–(12) в виде Z = LZ, (13) где Z = {u(x, t), v(x, t), a1(t), a2(t), c1(t), c2(t), f1(t), f2(t)}, LZ = (L1(z), L2(z), L3(z), L4(z), L5(z), L6(z), L7(z), L8(z)) , Многомерная обратная краевая задача 95 причем компоненты Li(z) (i = 1, 8) оператора LZ равны правым частям урав- нений (9)–(12) соответственно. А это означает, что мы должны найти непо- движную точку оператора L в пространстве ET = ( B [n 2 ]+3,[n 2 ]+2 2,T )2 × (C[0, T ])6, причем норму в ET определим так: ‖ (u, v, a1, a2, a3, a4, a5, a6) ‖ET = ‖u‖ B [ n 2 ]+3,[ n 2 ]+2 2,T + ‖v‖ B [ n 2 ]+3,[ n 2 ]+2 2,T + 6 ∑ i=1 ‖ai‖C[0,T ] . Рассмотрим оператор L(u, v, a1, a2, c1, c2, f1, f2) в шаре KR ( ‖z‖ET ≤ R ) пространства ET , где C ( ‖ϕ‖ W [n 2 ]+3 2 (Ω) + ‖ψ‖ W [n 2 ]+3 2 (Ω) + ‖ϕ̃‖ W [n 2 ]+3 2 (Ω) + ∥ ∥ ∥ ψ̃ ∥ ∥ ∥ W [n 2 ]+3 2 (Ω) ) + + ( min 0≤t≤T \|∆(t)\| )−1 · 3 ∑ i,j=1 ‖Aij(t)‖C[0,T ] [ ∥ ∥h′′i (t) ∥ ∥ C[0,T ] + C ( ‖ϕ‖ W [n 2 ]+3 2 (Ω) + + ‖ψ‖ W [n 2 ]+2 2 (Ω) )    ∞ ∑ s=1   µ s (xi) λ [n 2 ]+1 2   2   1 2     + + ( min 0≤t≤T ∣ ∣ ∣∆̃(t) ∣ ∣ ∣ )−1 · 3 ∑ i,j=1 ∥ ∥ ∥Ãij(t) ∥ ∥ ∥ C[0,T ] [ ∥ ∥g′′i (t) ∥ ∥ C[0,T ] + +C ( ‖ϕ̃‖ W [n 2 ]+3 2 (Ω) + ∥ ∥ ∥ ψ̃ ∥ ∥ ∥ W [n 2 ]+2 2 (Ω) )    ∞ ∑ s=1   µ s (xi) λ [n 2 ]+1 2   2   1 2     = M < R, (14) где C > 0 – некоторая постоянная. Пользуясь условиями 5–8 теоремы и тем, что в Ω µs(x) = − 1 λ2 s Aµs(x) 96 М.А.Кулиев, А.М.Эл-Хадиди для любого (u, v, a1, a2, c1, c2, f1, f2) ∈ KR , имеем ‖L(u, v, a1, a2, c1, c2, f1, f2)‖ET ≤ ‖W1(x, t)‖ B [ n 2 ]+3,[ n 2 ]+2 2,T + ‖W5(x, t)‖ B [ n 2 ]+3,[ n 2 ]+2 2,T + + 4 ∑ i=2 ‖Wi(x, t)‖C[0,T ] + 8 ∑ i=6 ‖Wi(x, t)‖C[0,T ]+ + √ T [ q1 + q2 3 ∑ i,j=1 ( ‖Aij(t)‖C[0,T ] + ‖Ãij(t)‖C[0,T ] ) { ∞ ∑ s=1 ( µ s (xi) λ [ n 2 ]+1 2 )2} 1 2 ] · · [ ‖Q(u(x, t), v(x, t), a1(t), c1(t), f1(t))‖ W [ n 2 ]+2, 0 x,t (DT ) + +‖Q̃(u(x, t), v(x, t), a2(t), c2(t), f2(t))‖ W [ n 2 ]+2, 0 x,t (DT ) ] , (15) где q1 > 0, q2 > 0 – некоторые постоянные и W1(x, t) = ∞ ∑ k=1 ϕk cosλkt · µk(x) + ∞ ∑ k=1 ψk λk sinλkt · µk(x), (16) Wi+1(x, t) = 1 ∆(t) 3 ∑ j=1 Aji(t) [ h′′i (t) + ∞ ∑ k=1 λk(λkϕk cos λkt+ +ψk sinλkt)µk(x i) ] (i = 1, 3), (17) W5(x, t) = ∞ ∑ k=1 ϕ̃k cosλkt · µk(x) + ∞ ∑ k=1 ψ̃k λk sinλkt · µk(x), (18) Wi+5(x, t) = 1 ∆̃(t) 3 ∑ j=1 Ãji(t) [ g′′i (t) + ∞ ∑ k=1 λk(λkϕ̃k cos λkt+ +ψ̃k sinλkt)µk(x i) ] (i = 1, 3), (19) Q(u(x, t), v(x, t), a1(t), c1(t), f1(t)) = a1(t)b(x, t)u(x, t)+ +c1(t)d(x, t) ∂v(x, t) ∂t + f1(t)F (x, t), (20) Q̃(u(x, t), v(x, t), a2(t), c2(t), f2(t)) = a2(t)b̃(x, t) ∂u(x, t) ∂t + +c2(t)d̃(x, t)v(x, t) + f2(t)G(x, t). (21) Многомерная обратная краевая задача 97 Пользуясь теоремами вложения С.Л.Соболева и структурой пространства B [n 2 ]+3,[n 2 ]+2 2,T , для любых u, v ∈ B [n 2 ]+3,[n 2 ]+2 2,T и t ∈ [0, T ] имеем ∥ ∥ ∥ ∥ ∂iu(x, t) ∂xα1 1 ...∂xαn n ∥ ∥ ∥ ∥ L 2(Ω) ≤ q3 ‖u‖ B [ n 2 ]+3,[ n 2 ]+2 2,T ( i = 0, [ n 2 ] + 3 ) , ∥ ∥ ∥ ∥ ∂iv(x, t) ∂xα1 1 ...∂xαn n ∥ ∥ ∥ ∥ L 2(Ω) ≤ q4 ‖v‖ B [ n 2 ]+3,[n 2 ]+2 2,T ( i = 0, [ n 2 ] + 3 ) , (22) где q3 > 0, q4 > 0 – некоторые постоянные, не зависящие от u, v, t. Тогда, с учетом оценки (22), из (15) получаем, что ∀ u, v, a1, a2, c1, c2, f1, f2 ∈ KR: ‖L(u, v, a1, a2, c1, c2, f1, f2)‖ET ≤ ‖W1(x, t)‖ B [ n 2 ]+3,[ n 2 ]+2 2,T + ‖W5(x, t)‖ B [ n 2 ]+3,[n 2 ]+2 2,T + + 4 ∑ i=2 ‖Wi(x, t)‖C[0,T ]+ 8 ∑ i=6 ‖Wi(x, t)‖C[0,T ]+TK1 ·M1 · ( ‖a1‖C[0,T ] ·‖u‖ B [ n 2 ]+3,[ n 2 ]+2 2,T + +‖c1‖C[0,T ] · ‖v‖ B [ n 2 ]+3,[ n 2 ]+2 2,T + ‖f1‖C[0,T ]+ +‖a2‖C[0,T ] · ‖u‖ B [ n 2 ]+3,[ n 2 ]+2 2,T + ‖c2‖C[0,T ] · ‖v‖ B [ n 2 ]+3,[ n 2 ]+2 2,T + ‖f2‖C[0,T ] ) , (23) где K1 = q1 + q2 3 ∑ i,j=1 ( ‖Aij(t)‖C[0,T ] + ‖Ãij(t)‖C[0,T ] )    ∞ ∑ s=1   µ s (xi) λ [ n 2 ]+1 2   2   1 2 ; M1 > 0 – некоторое число. Из последнего имеем ‖L(u, v, a1, a2, c1, c2, f1, f2)‖ET ≤M+TK1M12(2R 2+R). (231) Так как M < R, то из оценки (231) следует, что при достаточно малом T > 0 выполнено ‖L(u, v, a1, a2, c1, c2, f1, f2)‖ET ≤ R, то есть оператор L отображает шар KR в себя. Покажем, что некоторая итерация оператора L является сжимающим опе- ратором. Рассмотрим два произвольных элемента W и W̃ из шара KR. Постро- им их образы с помощью последовательных итераций оператора L. Тогда имеем W0 = W, W1 = L(W0), ... , Wk = L(Wk−1), ... , и W̃0 = W̃ , W̃1 = L(W̃0), ... , W̃k = L(W̃k−1), ... , 98 М.А.Кулиев, А.М.Эл-Хадиди где Wk = { uk, vk, a (k) 1 , a (k) 2 , c (k) 1 , c (k) 2 , f (k) 1 , f (k) 2 } , W̃k = { ũk, ṽk, ã (k) 1 , ã (k) 2 , c̃ (k) 1 , c̃ (k) 2 , f̃ (k) 1 , f̃ (k) 2 } , u0 = u, v0 = v, a (0) 1 = a1, a (0) 2 = a2, c (0) 1 = c1, c (0) 2 = c2, f (0) 1 = f1, f (0) 2 = f2, ũ0 = ũ, ṽ0 = ṽ, ã (0) 1 = ã1, ã (0) 2 = ã2, c̃ (0) 1 = c̃1, c̃ (0) 2 = c̃2, f̃ (0) 1 = f̃1, f̃ (0) 2 = f̃2 . Тогда из системы (9)–(12) при условиях теоремы ∀t ∈ [0, T ] имеем: ‖uk(x, t)−ũk(x, t)‖2 B [ n 2 ]+3,[ n 2 ]+2 2,t ≤ q5 t ∫ 0 dτ‖Q(uk−1(x, t), vk−1(x, t), a (k−1) 1 (t), c (k−1) 1 (t) , f (k−1) 1 (t)) −Q(ũk−1(x, t), ṽk−1(x, t), ã (k−1) 1 (t), c̃ (k−1) 1 (t), f̃ (k−1) 1 (t))‖2 W [ n 2 ]+2, 0 x,t (Dτ ) ; (24) ‖vk(x, t)−ṽk(x, t)‖2 B [ n 2 ]+3,[ n 2 ]+2 2,t ≤ q6 t ∫ 0 dτ‖Q̃(uk−1(x, t), vk−1(x, t), a (k−1) 2 (t), c (k−1) 2 (t), f (k−1) 2 (t)) − Q̃(ũk−1(x, t), ṽk−1(x, t), ã (k−1) 2 (t), c̃ (k−1) 2 (t), f̃ (k−1) 2 (t))‖2 W [ n 2 ]+2, 0 x,t (Dτ ) ; (25) ∥ ∥ ∥a (k) 1 (τ) − ã (k) 1 (τ) ∥ ∥ ∥ 2 C[0,t] ≤ K2q7 t ∫ 0 dτ ∥ ∥ ∥Q(uk−1(x, t), vk−1(x, t), a (k−1) 1 (t), c (k−1) 1 (t), f (k−1) 1 (t)) −Q(ũk−1(x, t), ṽk−1(x, t), ã (k−1) 1 (t), c̃ (k−1) 1 (t), f̃ (k−1) 1 (t)) ∥ ∥ ∥ W [ n 2 ]+2, 0 x,t (Dτ ) ; (26) ∥ ∥ ∥ c (k) 1 (τ) − c̃ (k) 1 (τ) ∥ ∥ ∥ 2 C[0,t] ≤ K3q8 t ∫ 0 dτ ∥ ∥ ∥ Q(uk−1(x, t), vk−1(x, t), a (k−1) 1 (t), c (k−1) 1 (t), f (k−1) 1 (t)) −Q(ũk−1(x, t), ṽk−1(x, t), ã (k−1) 1 (t), c̃ (k−1) 1 (t), f̃ (k−1) 1 (t)) ∥ ∥ ∥ 2 W [ n 2 ]+2,0 x,t (Dτ ) ; (27) Многомерная обратная краевая задача 99 ∥ ∥ ∥f (k) 1 (τ) − f̃ (k) 1 (τ) ∥ ∥ ∥ 2 C[0,t] ≤ K4q9 t ∫ 0 dτ ∥ ∥ ∥Q(uk−1(x, t), vk−1(x, t), a (k−1) 1 (t), c (k−1) 1 (t), f (k−1) 1 (t)) −Q(ũk−1(x, t), ṽk−1(x, t), ã (k−1) 1 (t), c̃ (k−1) 1 (t), f̃ (k−1) 1 (t)) ∥ ∥ ∥ 2 W [ n 2 ]+2, 0 x,t (Dτ ) ; (28) ∥ ∥ ∥a (k) 2 (τ) − ã (k) 2 (τ) ∥ ∥ ∥ 2 C[0,t] ≤ K2q10 t ∫ 0 dτ ∥ ∥ ∥Q̃(uk−1(x, t), vk−1(x, t), a (k−1) 2 (t), c (k−1) 2 (t), f (k−1) 2 (t)) − Q̃(ũk−1(x, t), ṽk−1(x, t), ã (k−1) 2 (t), c̃ (k−1) 2 (t), f̃ (k−1) 2 (t)) ∥ ∥ ∥ W [ n 2 ]+2, 0 x,t (Dτ ) ; (29) ∥ ∥ ∥c (k) 2 (τ) − c̃ (k) 2 (τ) ∥ ∥ ∥ 2 C[0,t] ≤ q11K̃3 t ∫ 0 dτ ∥ ∥ ∥Q̃(uk−1(x, t), vk−1(x, t), a (k−1) 2 (t), c (k−1) 2 (t), f (k−1) 2 (t)) − Q̃(ũk−1(x, t), ṽk−1(x, t), ã (k−1) 2 (t), c̃ (k−1) 2 (t), f̃ (k−1) 2 (t)) ∥ ∥ ∥ 2 W [ n 2 ]+2, 0 x,t (Dτ ) ; (30) ∥ ∥ ∥f (k) 2 (τ) − f̃ (k) 2 (τ) ∥ ∥ ∥ 2 C[0,t] ≤ K̃4q12 t ∫ 0 dτ ∥ ∥ ∥Q̃(uk−1(x, t), vk−1(x, t), a (k−1) 2 (t), c (k−1) 2 (t), f (k−1) 2 (t)) −Q(ũk−1(x, t), ṽk−1(x, t), ã (k−1) 2 (t), c̃ (k−1) 2 (t), f̃ (k−1) 2 (t)) ∥ ∥ ∥ 2 W [ n 2 ]+2, 0 x,t (Dτ ) , (31) где Ki = ( min 0≤t≤T \|∆(t)\| )−2 · 3 · 3 ∑ j=1 ‖Aij(t)‖2 C[0,T ] ∞ ∑ s=1 ( µs(x i) λ [ n 2 ]+1 2 )2 (i = 2, 4), K̃i = ( min 0≤t≤T ∣ ∣ ∣ ∆̃(t) ∣ ∣ ∣ )−2 · 3 · 3 ∑ j=1 ∥ ∥ ∥ Ãij(t) ∥ ∥ ∥ 2 C[0,T ] ∞ ∑ s=1 ( µs(x i) λ [ n 2 ]+1 2 )2 (i = 2, 4), qi > 0 (i = 5, 12) – некоторые постоянные, не зависящие от u, v, a1, a2, c1, c2, f1, f2. 100 М.А.Кулиев, А.М.Эл-Хадиди Отсюда получим ∥ ∥ ∥ Wk − W̃k ∥ ∥ ∥ 2 Et ≤ K t ∫ 0 ∥ ∥ ∥ Wk−1 − W̃k−1 ∥ ∥ ∥ 2 Eτ dτ, (32) где ∥ ∥ ∥ Wk − W̃k ∥ ∥ ∥ Et = ‖uk(ξ, τ) − ũk(ξ, τ)‖2 B [ n 2 ]+3,[ n 2 ]+2 2,t + ‖vk(ξ, τ) − ṽk(ξ, τ)‖2 B [ n 2 ]+3,[n 2 ]+2 2,t + + ∥ ∥ ∥a (k) 1 (τ) − ã (k) 1 (τ) ∥ ∥ ∥ 2 C[0,t] + ∥ ∥ ∥a (k) 2 (τ) − ã (k) 2 (τ) ∥ ∥ ∥ 2 C[0,t] + ∥ ∥ ∥c (k) 1 (τ) − c̃ (k) 1 (τ) ∥ ∥ ∥ 2 C[0,t] + + ∥ ∥ ∥c (k) 2 (τ) − c̃ (k) 2 (τ) ∥ ∥ ∥ 2 C[0,t] + ∥ ∥ ∥f (k) 1 (τ) − f̃ (k) 1 (τ) ∥ ∥ ∥ 2 C[0,t] + ∥ ∥ ∥f (k) 2 (τ) − f̃ (k) 2 (τ) ∥ ∥ ∥ 2 C[0,t] , K = [ 2 + 4 ∑ i=2 (Ki + K̃i) ] q13, q13 > 0 – некоторая постоянная, не зависящая от u, v, a1, a2, c1, c2, f1, f2. Тогда по индукции нетрудно получить оценку ∥ ∥ ∥ Wk − W̃k ∥ ∥ ∥ ET ≤ { (KT )k k! } 1 2 ∥ ∥ ∥ W0 − W̃0 ∥ ∥ ∥ ET . (33) Таким образом, итерация Ln оператора L удовлетворяет неравенству ∥ ∥ ∥LkW − LkW̃ ∥ ∥ ∥ ET ≤ { (KT )k k! } 1 2 ∥ ∥ ∥W − W̃ ∥ ∥ ∥ ET . (34) Ясно, что при достаточно больших значениях k { (KT )k k! } 1 2 < 1. (35) А это означает, что существующая итерация Lk является сжимающей. Следо- вательно, при достаточно малых значениях T оператор Lk удовлетворяет на множестве KR условию принципа сжатых отображений. Тогда единственная неподвижная точка W оператора Lk является и единственной в KR неподвиж- ной точкой для оператора L. Многомерная обратная краевая задача 101 Таким образом, оператор L имеет в KR единственную неподвижную точку (u(x, t), v(x, t), a1(t), a2(t), c1(t), c2(t), f1(t), f2(t)). Тогда функции u(x, t) ∈ B [n 2 ]+3,[n 2 ]+2 2,T , v(x, t) ∈ B [n 2 ]+3,[n 2 ]+2 2,T , a1(t), a2(t), c1(t), c2(t), f1(t), f2(t) удовлетворяют на [0, T ] системам (9)–(12). Легко можно показать, что (u(x, t), v(x, t), a1(t), a2(t), c1(t), c2(t), f1(t), f2(t)) является классическим решением задачи (1)–(7) (см. [7], гл. II). Теперь покажем, что функции u(x, t), v(x, t) удовлетворяют условиям (6), (7), соответственно. Тогда из (9), (10), в силу теоремы, получим, что ∂2u(xi, t) ∂t2 = − ∞ ∑ k=1 λ2 kϕk cos λktµk(x i) − ∞ ∑ k=1 λkψk sinλktµk(x i)+ +a1(t)b(x i, t)u(xi, t) + c1(t)d(x i, t) ∂v(xi, t) ∂t + f1(t)F (xi, t)− − ∞ ∑ k=1 λk t ∫ 0 ∫ Ω [ a1(τ)b(ξ, τ)u(ξ, τ) + c1(τ)d(ξ, τ) ∂v ∂τ (ξ, τ) + f1(τ)F (ξ, τ) ] × × sinλk(t− τ) · µk(ξ)dξdτ · µk(xi) (i = 1, 3); (36) ∂2v(xi, t) ∂t2 = − ∞ ∑ k=1 λ2 kϕ̃k cos λktµk(x i) − ∞ ∑ k=1 λkψ̃k sinλktµk(x i)+ +a2(t)b̃(x i, t) ∂u(xi, t) ∂t + c2(t)d̃(x i, t)v(xi, t) + f2(t)G(xi, t)− − ∞ ∑ k=1 λk t ∫ 0 ∫ Ω [ a2(τ)b̃(ξ, τ) ∂u(ξ, τ) ∂τ + c2(τ)d̃(ξ, τ)v(ξ, τ) + f2(τ)G(ξ, τ) ] × × sinλk(t− τ) · µk(ξ)dξdτ · µk(xi) (i = 1, 3). (37) Из (11) и (12) имеем h′′i (t) = − ∞ ∑ k=1 λ2 kϕk cos λktµk(x i) − ∞ ∑ k=1 λkψk sinλktµk(x i)+ +a1(t)b(x i, t)hi(t) + c1(t)d(x i, t)g′i(t) + f1(t)F (xi, t)− − ∞ ∑ k=1 λk t ∫ 0 ∫ Ω [ a1(τ)b(ξ, τ)u(ξ, τ) + c1(τ)d(ξ, τ) ∂v ∂τ (ξ, τ) + f1(τ)F (ξ, τ) ] × × sinλk(t− τ) · µk(ξ)dξdτ · µk(xi) (i = 1, 3), (38) 102 М.А.Кулиев, А.М.Эл-Хадиди g′′i (t) = − ∞ ∑ k=1 λ2 kϕ̃k cos λktµk(x i) − ∞ ∑ k=1 λkψ̃k sinλktµk(x i)+ +a2(t)b̃(x i, t)h′i(t) + c2(t)d̃(x i, t)gi(t) + f2(t)G(xi, t)− − ∞ ∑ k=1 λk t ∫ 0 ∫ Ω [ a2(τ)b̃(ξ, τ) ∂u(ξ, τ) ∂τ + c2(τ)d̃(ξ, τ)v(ξ, τ) + f2(τ)G(ξ, τ) ] × × sinλk(t− τ) · µk(ξ)dξdτ · µk(xi) (i = 1, 3). (39) Отсюда имеем ∂2u(xi, t) ∂t2 − h′′i (t) = a1(t)b(x i, t)(u(xi, t) − hi(t))+ + c1(t)d(x i, t) ( ∂v(xi, t) ∂t − g′i(t) ) (i = 1, 3), (40) ∂2v(xi, t) ∂t2 − g′′i (t) = a2(t)b̃(x i, t) ( ∂u(xi, t) ∂t − h′i(t) ) + + c2(t)d̃(x i, t) ( v(xi, t) − gi(t) ) (i = 1, 3) , (41) в силу условия 7 данной теоремы u(xi, 0) − hi(0) = 0 (i = 1, 3) , ∂u(xi, 0) ∂t − h′i(0) = 0 (i = 1, 3), v(xi, 0) − gi(0) = 0 (i = 1, 3), ∂v(xi, 0) ∂t − g′i(0) = 0 (i = 1, 3) . (42) Тогда для функции u(xi, t) − hi(t) и v(xi, t) − gi(t) (i = 1, 3) получаем задачу Коши (40), (41). Отсюда имеем u(xi, t) − hi(t) = 0 (i = 1, 3) ∀t ∈ [0, T ], v(xi, t) − gi(t) = 0 (i = 1, 3) ∀t ∈ [0, T ]. 1. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для диф- ференциальных уравнений. – Новосибирск: Наука, 1967. – 150 с. 2. Ильин В.А., Шишмарев И.А. Равномерные в замкнутой области оценки для собственных функций эллиптического оператора и их производных // Изв. АН СССР, сер. математика. – 1960, 24. – С. 883–896. Многомерная обратная краевая задача 103 3. Худавердиев К.И. К теории многомерных смешанных задач для нелинейных гиперболи- ческих уравнений. – Дисс.док.физ.-мат.наук, metricconverterProductID1973 г. 1973 г., АГУ. – 319 с. 4. Кулиев М.А. Многомерная обратная краевая задача для линейного гиперболического уравнения в ограниченной области // Дифференциальные уравнения. – 2002. – 38, №1. – C. 98–101. 5. Кулиев М.А. Многомерная обратная краевая задача для систем линейных гиперболиче- ских уравнений в ограниченной области // Вестн. Бакинского ун-та, физ.-мат. сер., №2, 2007. – С. 5–15. 6. Шишмарев И.А. Введение в теорию эллиптических уравнений. – Изд-во МГУ, 1979. 7. Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. – Москва, 1953. – 279 с. Бакинский государственный университет Получено 19.10.10

Многомерная обратная краевая задача для системы гиперболических уравнений в ограниченной области

Репозитарії

Схожі ресурси