Оценка решения задачи Коши вблизи времени обострения для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью
В настоящей работе рассматривается квазилинейное параболическое уравнение с источником и неоднородной плотностью. При условиях на параметры уравнения, при которых решение задачи Коши взрывается за конечное время, получена точная универсальная, т.е. не зависящая от начальной функции, оценка решения в...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Нелинейные граничные задачи |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124286 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оценка решения задачи Коши вблизи времени обострения для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью / А.В. Мартыненко, В.Н. Шраменко // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 104-115. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124286 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242862017-10-01T17:32:41Z Оценка решения задачи Коши вблизи времени обострения для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью Мартыненко, А.В. Шраменко, В.Н. В настоящей работе рассматривается квазилинейное параболическое уравнение с источником и неоднородной плотностью. При условиях на параметры уравнения, при которых решение задачи Коши взрывается за конечное время, получена точная универсальная, т.е. не зависящая от начальной функции, оценка решения вблизи времени обострения. 2010 Article Оценка решения задачи Коши вблизи времени обострения для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью / А.В. Мартыненко, В.Н. Шраменко // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 104-115. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0236-0497 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124286 ru Нелинейные граничные задачи Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В настоящей работе рассматривается квазилинейное параболическое уравнение с источником и неоднородной плотностью. При условиях на параметры уравнения, при которых решение задачи Коши взрывается за конечное время, получена точная универсальная, т.е. не зависящая от начальной функции, оценка решения вблизи времени обострения. |
| format |
Article |
| author |
Мартыненко, А.В. Шраменко, В.Н. |
| spellingShingle |
Мартыненко, А.В. Шраменко, В.Н. Оценка решения задачи Коши вблизи времени обострения для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью Нелинейные граничные задачи |
| author_facet |
Мартыненко, А.В. Шраменко, В.Н. |
| author_sort |
Мартыненко, А.В. |
| title |
Оценка решения задачи Коши вблизи времени обострения для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью |
| title_short |
Оценка решения задачи Коши вблизи времени обострения для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью |
| title_full |
Оценка решения задачи Коши вблизи времени обострения для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью |
| title_fullStr |
Оценка решения задачи Коши вблизи времени обострения для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью |
| title_full_unstemmed |
Оценка решения задачи Коши вблизи времени обострения для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью |
| title_sort |
оценка решения задачи коши вблизи времени обострения для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124286 |
| citation_txt |
Оценка решения задачи Коши вблизи времени обострения для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью / А.В. Мартыненко, В.Н. Шраменко // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 104-115. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Нелинейные граничные задачи |
| work_keys_str_mv |
AT martynenkoav ocenkarešeniâzadačikošivblizivremeniobostreniâdlâkvazilinejnogoparaboličeskogouravneniâsistočnikomineodnorodnojplotnostʹû AT šramenkovn ocenkarešeniâzadačikošivblizivremeniobostreniâdlâkvazilinejnogoparaboličeskogouravneniâsistočnikomineodnorodnojplotnostʹû |
| first_indexed |
2025-07-09T01:11:02Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:11:02Z |
| _version_ |
1837129755780972544 |
| fulltext |
104 Нелинейные граничные задачи 20, 104-115 (2010)
c©2010. А.В. Мартыненко, В.Н. Шраменко
ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ВБЛИЗИ ВРЕМЕНИ
ОБОСТРЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ИСТОЧНИКОМ
И НЕОДНОРОДНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ
В настоящей работе рассматривается квазилинейное параболическое уравнение с источником
и неоднородной плотностью следующего вида
ρ(x)
∂u
∂t
= div(um−1|Du|λ−1
Du) + ρ(x)up
.
При условиях на параметры уравнения, при которых решение задачи Коши взрывается
за конечное время, получена точная универсальная, т.е. не зависящая от начальной функции,
оценка решения вблизи времени обострения.
Ключевые слова: неоднородная плотность, вырождающееся параболическое уравне-
ние, режим с обострением
MSC (2000):
1. Введение.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения с неоднородной плотностью и
источником
ρ(x)
∂u
∂t
= div(um−1|Du|λ−1Du) + ρ(x)up, (1)
(x, t) ∈ QT = RN × (0, T ), T > 0, N ≥ 1,
u(x, 0) = u0(x), x ∈ RN . (2)
Всюду далее предполагаем, что λ > 0, m + λ − 2 > 0, p > m + λ − 1,
ρ(x) = |x|−l, 0 ≤ l < λ + 1 < N , u0(x)-неотрицательная измеримая функция из
класса L1,loc(R
N ) и такая, что
∫
RN
ρ(x)u
1+ m+λ−1
λ
0 dx < ∞.
Хорошо известно, что решение уравнения (1) не всегда существует гло-
бально по времени. Более точно, если p > p∗(l) = m+λ−1+ λ+1−l
N−l
и начальная
функция мала в некотором смысле, то решение существует глобально по вре-
мени. Если же 1 < p < p∗(l), то любое нетривиальное решение задачи (1), (2)
взрывается за конечное время. Этот результат для случая неоднородной плот-
ности (l > 0) был впервые получен в работе [17]. Для однородной плотности
(l = 0) условия существования и несуществования глобального по времени ре-
шения при различных значениях параметров были получены в работах [9], [10],
[11], [12], [13],[14].
Оценка решения времени обострения для параболического уравнения 105
В работах [15], [16] рассматривались уравнения
∂u
∂t
= div(um−1|Du|λ−1Du) + ρ(x)up
и
ρ(x)
∂u
∂t
= div(um−1|Du|λ−1Du) + up
соответственно. Были получены условия на параметры уравнения при которых
решение задачи Коши взрывается за конечное время, а так же точные оценки
решения вблизи времени обострения.
Так же следует отметить работу [19], в которой исследовалась задача Ко-
ши для уравнения
∂u
∂t
= div(a(x)um−1|Du|λ−1Du) + up, a(x) = |x|l.
Оказалось, что в данном случае условия глобальной разрешимости и неразре-
шимости такие же, как и для задачи (1)-(2). Кроме того в этой работе была
получена универсальная оценка решения вблизи времени обострения. Введем
обозначения
Kl,ω = (N − l)(m + λ − 2) + λ + 1 − l,
Q =
(N − l)(p − m − λ + 1)
λ + 1 − l
,
p∗(l) = m + λ − 1 +
λ + 1 − l
N − l
.
В работе [17] рассматривалась задача (1), (2) и были доказаны следующие
теоремы
Теорема 1. Пусть p > p∗(l) и
∫
RN
ρuq
0(x)dx +
∫
RN
ρu0(x)dx ≤ δ, (3)
где q > Q и δ-достаточно малое число, зависящее лишь от параметров урав-
нения.
Тогда задача (1)-(2)имеет глобальное по времени решение u(x, τ) и справедли-
вы оценки
‖u(x, τ)‖
∞,RN
×( t
2
,t) ≤ γt
−
N−l
Kl
[
sup
0<τ<t
∫
RN
ρu(x, τ)dx
] λ+1−l
Kl
∀t ∈ (0,∞), (4)
sup
0<τ<t
∫
RN
ρu(x, τ)dx ≤ γ
∫
RN
ρu0(x)dx ∀t ∈ (0,∞) (5)
106 А.В. Мартыненко, В.Н. Шраменко
где γ зависит только от параметров уравнения.
Условия несуществования решения в целом по времени дает следующая
теорема.
Теорема 2. При условии, что p < p∗(l), любое нетривиальное решение задачи
(1)-(2) "взрывается"за конечное время, т. е. найдутся 0 < θ < 1 и 0 < R < ∞,
что ∫
BR
ρ(x)u1−θdx → ∞, при t → T < ∞.
Цель данной работы - получить точную оценку решения уравнения (1)
вблизи времени обострения, которая носит универсальный характер, т. е. не
зависит от начальных данных.
Введем понятие обобщенного решения , для чего заметим, что (1) допус-
кает эквивалентную запись:
ρ(x)
∂vβ
∂t
= βλdiv(|Dv|λ−1Dv) + ρ(x)vµ,
где β = λ
m+λ−1 , µ = λp
m+λ−1 , u = vβ .
Определение. Будем говорить, что u(x, t) есть обобщенное решение (или
просто решение) задачи (1), (2) в QT = RN × (0, T ), если u
m+λ−1
λ является
элементом пространства
Lλ+1(0, T,W 1
λ+1(R
N )) ∩ Lµ+1(0, T, Lµ+1,ρ(R
N )) ∩ C([0, T ), Lβ+1,ρ(R
N ))
и удовлетворяет задаче (1), (2) в смысле интегрального тождества. Су-
ществование решения доказывается аналогично работам [20], [21]. Гельдеро-
вость решений показана в работе [18].
Замечание. Поскольку при доказательстве основных результатов будут ис-
пользоваться локальные энергетические оценки, то модельность уравнения (1)
не принципиальна. Более того, все результаты справедливы при более общих
предположениях на поведение ρ(x).
Перейдем к формулировке основных результатов, предварительно огово-
рив, что через γ, γ1, γ2,... будем обозначать постоянные, которые зависят только
от параметров задачи l, m, λ, p, N .
В следующей теореме формулируется основной результат работы
Теорема 3. Пусть u(x, t)-решение уравнения (1), существующее при t ∈ (0, T ),
T > 0 и выполнены условия
0 ≤ l < λ + 1 < N, p < p∗(l),
Оценка решения времени обострения для параболического уравнения 107
тогда для всех t ∈ (T
2 , T ), |x| ≤ 1
2(T − t)
1
H справедлива оценка
u(x, t) ≤ γ(T − t)−
1
p−1 , (6)
где показатель H определяются следующим образом
H =
(p − 1)(λ + 1 − l)
p − m − λ + 1
.
2. Доказательство теоремы 3.
Для доказательства теоремы нам необходима следующая интегральная
оценка.
Лемма 1. Пусть 0 < θ < 1 и u(x, t)-решение уравнения (1) существующее
при t ∈ (0, T ), T > 0. Тогда при R ≤ (T − t)
1
H справедлива оценка
∫
BR
ρ(x)u1−θdx ≤ γRN−l−
(λ+1−l)(1−θ)
p−m−λ+1 , (7)
где γ = γ(θ) > 0.
Доказательство. Пусть BR-шар с центром в точке x0 = 0 и радиусом R.
Определим гладкую срезающую функцию ξ = ξ(x) такую, что ξ(x) = 1 при
x ∈ BR и ξ(x) = 0 при x 6∈ B2R, |Dξ| ≤ γ/R.
Пусть ε > 0 и некоторое s > 0, тогда умножив обе части уравнения на
функцию (u + ε)−θξs и проинтегрировав по B2R, получим
d
dt
∫
B2R
ρ(x)(u + ε)1−θξsdx ≥ γ1
∫
B2R
um−1|Du|λ+1(u + ε)−(1+θ)ξsdx−
−γ2
∫
B2R
um−1|Du|λ(u + ε)−θξs−1|Dξ|dx + γ3
∫
B2R
ρ(x)up(u + ε)−θξsdx.
Применяя ко второму слагаемому правой части неравенство Юнга с достаточно
малым δ и переходя к пределу при ε → 0, получаем
d
dt
∫
B2R
ρu1−θξsdx ≥ γ1
∫
B2R
um−θ−2|Du|λ+1ξsdx−
−
γ2
Rλ+1
∫
B2R
um+λ−θ−1ξs−λ−1dx + γ3
∫
B2R
ρ(x)up−θξsdx = γ1I1 − γ2I2 + γ3I3. (8)
108 А.В. Мартыненко, В.Н. Шраменко
Пользуясь неравенством Юнга с произвольным δ > 0 и выбирая s >
(λ+1)(p−θ)
p−m−λ+1 , оцениваем I2
I2 =
γ2
Rλ+1
∫
B2R
ρ
m+λ−θ−1
p−θ ρ
−
m+λ−θ−1
p−θ um+λ−θ−1ξs−λ−1dx ≤
≤ δI3 + γ(δ)R−
(λ+1)(p−θ)
p−m−λ+1
∫
B2R
ρ−
m+λ−θ−1
p−m−λ+1 dx ≤ δI3 + γ(δ)Rα, (9)
где
α = N +
l(m + λ − θ − 1) − (λ + 1)(p − θ)
p − m − λ + 1
.
Пусть E = E(t) =
∫
B2R
ρu1−θξsdx, тогда, выбрав δ > 0 достаточно малой, из
(8) и (9) имеем
d
dt
E ≥ γ3I3 − γ2R
α. (10)
Применив неравенство Гельдера, получим
E ≤ I
1−θ
p−θ
3
( ∫
B2R
ρξsdx
) p−1
p−θ
.
Следовательно,
I3 ≥ γE
p−θ
1−θ R−
(N−l)(p−1)
1−θ ,
Таким образом, из (10) получаем
d
dt
E ≥ γR−
(N−l)(p−1)
1−θ E
p−θ
1−θ − γ2R
α. (11)
Для произвольных R > 0, t0 ∈ (0, T ) возможны два случая
1)R−
(N−l)(p−1)
1−θ E
p−θ
1−θ < γRα, 2)R−
(N−l)(p−1)
1−θ E
p−θ
1−θ > γRα.
В случае 1) сразу получаем
E(t0) ≤ γR
N−l−
(λ+1−l)(1−θ)
p−m−λ+1 . (12)
В случае 2) ∀t ∈ (t0, T ) получаем неравенство
d
dt
E ≥ γR−
(N−l)(p−1)
1−θ E
p−θ
1−θ ,
после интегрирования которого на (t0, T ) получим
E(t0) ≤ γRN−l(T − t0)
−
1−θ
p−1 .
Оценка решения времени обострения для параболического уравнения 109
При условии, что R ≤ (T − t0)
1
H из последнего получаем (12). Таким образом,
(12) справедливо при любом t ∈ (0, T ) и R ≤ (T − t)
1
H . Лемма доказана. 2
Обозначим Ui = Bri
× (ti, t), 0 < r1 < r2, 0 < t2 < t1 < t, 0 < h2 <
h1.
Лемма 2. Пусть u(x, t)-решение уравнения (1), существующее при t ∈ (0, T ),
T > 0. Тогда справедлива оценка
sup
t1<τ<t
∫
B1
ρ(u − h1)
s+1
+ dx +
∫∫
U1
∣∣∣∣D(u − h1)
m+λ+s−1
λ+1
+
∣∣∣∣
λ+1
dxdτ ≤
≤ γF (r1, r2, t1, t2, h1, h2)
∫∫
U2
ρ(u − h2)
p+s
+ dxdτ, (13)
F (r1, r2, t1, t2, h1, h2) =
=
1
t1 − t2
·
1
(h1 − h2)p−1
+
rl
2
(r2 − r1)λ+1
·
hm−1
1
(h1 − h2)p−λ
+
(
h1
h1 − h2
)p
,
где s > max[1, 2 − m], γ зависит от s. Доказательство этой леммы анало-
гично доказательству леммы 3.1. из работы [15].
Введем zi(x, t)-гладкие функции такие, что
zi(x, t) =
{
1 в Ui−1,
0 вне Ui
, |Dzi| ≤
1
ri − ri−1
.
Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2 и кроме того
p < pν = m + λ − 1 + ν
λ + 1 − l
N − l
,
с некоторым ν ∈ (0, 1). Тогда справедлива оценка
sup
t1<τ<t
∫
B1
ρvq
1dx +
∫∫
U1
∣∣∣∣D(v1z1)
∣∣∣∣
λ+1
dxdτ ≤
≤ ε
∫∫
U3
∣∣∣∣D(v2z3)
∣∣∣∣
λ+1
dxdτ + C(ε)F̃M1(t − t3)
[
sup
t3<τ<t
∫
B3
ρ(v2z3)
µdx
]M2
. (14)
Здесь µ ∈ (0, β), ε > 0, C(ε) > 0 и использованы следующие обозначе-
ния vi = (u − hi)
m+λ+s−1
λ+1
+ , q = (s+1)(λ+1)
m+λ+s−1 , β = (p+s)(λ+1)
m+λ+s−1 ,
a =
( 1
µ
− 1
β
)(N − l)
N−l
µ
− N−λ−1
λ+1
, M1 =
λ + 1
λ + 1 − βa
, M2 = M1(1 − a)
β
µ
,
110 А.В. Мартыненко, В.Н. Шраменко
F̃ = F (r1, r2, t1, t2, h1, h2) +
rl
2
(r1 − r0)λ+1(h1 − h2)p−m−λ+1
.
Доказательство. Очевидно, что
∫∫
U1
∣∣∣∣D(v1z1)
∣∣∣∣
λ+1
dxdτ ≤ γ
∫∫
U1
∣∣∣∣Dv1
∣∣∣∣
λ+1
dxdτ + γ|Dz1|
λ+1
∫∫
U1
vλ+1
1 dxdτ,
и к тому же ∫∫
U1
vλ+1
1 dxdτ ≤
rl
2
(h1 − h2)p−m−λ+1
∫∫
U2
ρvβ
2dxdτ,
поэтому из леммы 2 следует
sup
t1<τ<t
∫
B1
ρvq
1dx +
∫∫
U1
∣∣∣∣D(v1z1)
∣∣∣∣
λ+1
dxdτ ≤ γF̃
∫∫
U3
ρ(v2z3)
βdx. (15)
Функция v2z3 финитна в B3, следовательно справедливо весовое мультиплика-
тивное неравенство [22]
[∫
B3
ρ(v2z3)
βdx
] 1
β
≤ C
[∫
B3
∣∣∣∣D(v2z3)
∣∣∣∣
λ+1
dx
] a
λ+1
·
[∫
B3
ρ(v2z3)
µdx
] 1−a
µ
, (16)
где использованы обозначения из условия леммы.
Условия, которым должны удовлетворять показатели в (16), сводятся к
неравенствам
0 < µ < β, p <
(N − l)(m + λ − 1) + s(λ + 1 − l)
N − λ − 1
.
Нетрудно видеть, что справедливость последнего неравенства следует из
условий p < pν , l < λ + 1 и того, что s ≥ 1.
Проверка условия aβ
λ+1 < 1 сводится к неравенству
p < m + λ − 1 +
µ(m + λ + s − 1)
λ + 1
·
λ + 1 − l
N − l
.
Очевидно, что оно имеет место, если µ(m+λ+s−1)
λ+1 = ν, причем, поскольку ν < 1,
мы должны выбрать µ < λ+1
m+λ+s−1 < β.
Далее, используя неравенство Юнга с ε > 0 и сопряженными показателями
λ+1
aβ
и M1, из (16) получим
F̃
∫
B3
ρ(v2z3)
βdx ≤ ε
∫
B3
∣∣∣∣D(v2z3)
∣∣∣∣
λ+1
dx + С(ε)F̃M1
[∫
B3
ρ(v2z3)
µdx
]M2
.
Оценка решения времени обострения для параболического уравнения 111
Интегрируя последнее неравенство по τ ∈ (t3, t), имеем
F̃
∫∫
U3
ρ(v2z3)
βdxdτ ≤
≤ ε
∫∫
U3
∣∣∣∣D(v2z3)
∣∣∣∣
λ+1
dxdτ + С(ε)F̃M1(t − t3)
[
sup
t3<τ<t
∫
B3
ρ(v2z3)
µdx
]M2
.
(17)
Оценка (14) следует из (15) и (17).
Лемма доказана. 2
Замечание. Число ν появляется в лемме из технических соображений, в даль-
нейшем оно исчезает из показателя в оценке решения. Поскольку ν может быть
сколь угодно близким к единице, то теорема 3 имеет место для произвольных
p < p∗(l).
Продолжим доказательство теоремы. Введем в рассмотрение последова-
тельности
ρn = R2 − (R2 − R1)2
−n, θn = τ2 + (τ1 − τ2)2
−n, kn = a2 + (a1 − a2)2
−n,
где a1 > a2 > 0, R2 > R1 > 0, t > τ1 > τ2 > 0, n = 0,∞.
Обозначим Ui = Bi × (θi, t), Bi = Bρi
, ξi-гладкие функции такие, что
ξi(x, t) =
{
1 в Ui−1,
0 вне Ui
, |Dξi| ≤
1
ρi − ρi−1
, i = 1,∞.
В лемме 3 можно положить
h1 = kn, h2 = kn+2, r0 = ρn−1, r1 = ρn, r2 = ρn+1, r3 = ρn+2,
t0 = θn−1, t1 = θn, t2 = θn+1, t3 = θn+2, z1 = ξn, z3 = ξn+2.
Тогда элементарными вычислениями получаем
F̃ ≤ dnF (R1, R2, τ1, τ2, a1, a2) = dnF1, где d = const > 1,
и оценка (14) принимает вид
sup
θn<τ<t
∫
Bn
ρvq
ndx +
∫∫
Un
∣∣∣∣D(vnξn)
∣∣∣∣
λ+1
dxdτ ≤ ε
∫∫
Un+2
∣∣∣∣D(vn+2ξn+2)
∣∣∣∣
λ+1
dxdτ+
+C(ε)dnFM1
1 (t − θn+2)
[
sup
θn+2<τ<t
∫
Bn+2
ρ(vn+2ξn+2)
µdx
]M2
. (18)
112 А.В. Мартыненко, В.Н. Шраменко
Пользуясь обозначением In =
∫∫
Un
|D(vnξn)|λ+1dxdτ и возростанием по n
второго члена в правой части реккурентного неравенства (18) получаем
sup
θ1<τ<t
∫
B1
ρvq
1dx + I1 ≤
≤ εnI2n+1 +
n−1∑
i=0
(ε
i
2i+1 d)2i+1C(ε)FM1
1 (t − θ∞)
[
sup
θ∞<τ<t
∫
B∞
ρvµ
∞
dx
]M2
. (19)
Выберем ε > 0 так, чтобы ε
i
2i+1 d < 1
2 и устремим n → ∞, тогда из (19)
следует
sup
τ1<τ<t
∫
BR1
ρ(u − a1)
s+1
+ dx ≤
≤ γ(t − τ2)F (R1, R2, τ1, τ2, a1, a2)
M1
[
sup
τ2<τ<t
∫
BR2
ρ(u − a2)
ν
+dx
]M2
. (20)
Пусть 0 < T2 < T1 < t < T , 0 < d1 < d2 и k-постоянная, значение
которой будет выбрано ниже. Рассмотрим последовательности
rn = d1 + (d2 − d1)2
−n, tn = T1 − (T1 − T2)2
−n,
hn = k(1 − 2−n−1), hn = (hn + hn+1)2
−1, n = 0,∞.
В неравенстве (20) положим
R1 = rn+1, R2 = rn, τ1 = tn+1, τ2 = tn, a1 = hn, a2 = hn.
Тогда
F (R1, R2, τ1, τ2, a1, a2) = F (rn+1, rn, tn+1, tn, hn, hn) ≤
≤ AnF (d1, d2, T1, T2, k, 0) = AnF2, где A = const > 1,
а неравенство (20) будет иметь вид
sup
tn+1<τ<t
∫
Brn+1
ρ(u− hn)s+1
+ dx ≤ γAn(t− tn)FM1
2
[
sup
tn<τ<t
∫
Brn
ρ(u− hn)ν+dx
]M2
. (21)
Оценка решения времени обострения для параболического уравнения 113
Заметим, что так как ν < s + 1, имеет место неравенство
∫
Brn+1
ρ(u − hn+1)
ν
+dx ≤ (hn+1 − hn)ν−s−1
∫
Brn+1
ρ(u − hn)s+1
+ dx (22)
Используя обозначение Yn = sup
tn<τ<t
∫
Brn
ρ(u−hn)ν+dx, из (21) и (22) получим
рекурентное неравенство
Yn+1 ≤ bn(t − T2)F
M1
2 kν−s−1Y M2
n , где b = const > 1. (23)
Отметим, что M2 > 1 при указанном выше выборе µ.
Из итеративной леммы(см. [23, гл. II, лемма 5.6]) следует Yn → 0 при n → ∞
(что в свою очередь означает ‖u‖
∞,Bd1
×(T1,t) ≤ k), если
(t − T2)F
M1
2 kν−s−1Y M2−1
0 ≤ γ0.
Это будет выполнено, если в качестве k взять решение уравнения
k =
[
γ−1
0 (t − T2)F
M1
2
(
sup
T2<τ<t
∫
Bd2
ρuνdx
)M2−1
] 1
s+1−ν
. (24)
Напомним, что F2 = 1
T1−T2
· 1
kp−1 +
dl
2
(d2−d1)λ+1 · 1
kp−m−λ+1 + 1. Уравнение (24)
имеет положительное решение, потому что F2(k) монотонно убывает при k > 0
и F2(0) = +∞.
Рассмотрим два случая
1)F2 > 3, 2)F2 ≤ 3.
В случае 1) из определения функции F2 следует, что
либо 1
T1−T2
· 1
kp−1 > 1, либо
dl
2
(d2−d1)λ+1 · 1
kp−m−λ+1 > 1. Следовательно,
k ≤ (T1 − T2)
−
1
p−1 + d
l
p−m−λ+1
2 (d2 − d1)
−
λ+1
p−m−λ+1 . (25)
В случае 2) из (24) получаем
k ≤ γ
[
(t − T2)
(
sup
T2<τ<t
∫
Bd2
ρuνdx
)M2−1
] 1
s+1−ν
. (26)
В неравенствах (25), (26) положим
d1 =
1
2
(T − t)
1
H , d2 = (T − t)
1
H , T1 = t −
T − t
2
, T2 = t − (T − t).
114 А.В. Мартыненко, В.Н. Шраменко
В случае 1), из неравенства (25) следует, что
k ≤ 2(T − t)−
1
p−1 .
В случае 2) применим лемму 1 с θ = 1 − ν и проделывая громоздкие, но эле-
ментарные вычисления, получим:
(
1 +
1
H
(N − l −
(λ + 1 − l)ν
p − m − λ + 1
)(M2 − 1)
) 1
s + 1 − ν
= −
1
p − 1
,
Таким образом, для всех t ∈ (T
2 , T ), |x| ≤ 1
2(T − t)
1
H
u(x, t) ≤ k ≤ γ(T − t)−
1
p−1 . (27)
Теорема доказана.
Авторы выражают благодарность Анатолию Федоровичу Тедееву за по-
становку задачи и полезные обсуждения способствовавшие ее решению.
1. Kamin S., Rosenau P. Nonlinear diffusion in a finite mass medium // Comm. Pure Appl.
Math. 1982. V. 35. P. 113-127.
2. Kamin S., Rosenau P. Propagation of thermal waves in an inhomogeneous medium // Comm.
Pure Appl. Math. 1981. V. 34. P. 831-852.
3. Kamin S., Kersner R. Disappearence of interfaces in finite time // Meccanica. 1993. V. 28.
P. 117-120.
4. Guedda M., Hilhorst D., Peletier M.A. Disappearing interfaces in nonlinear diffusion // Adv.
Math. Sci. Appl. 1997. V. 7. P. 695-710.
5. Galaktionov V.A., King J.R. On the behaviour of blow-up interfaces for an inhomogeneous
filtration equation// J. Appl. Math. 1996. V. 57. P. 53-77.
6. Kersner R., Reyes G., Tesei A. On a class of nonlinear parabolic equations with variable
density and absortion // Advances Diff. Eqs. 2002. V. 7. № 2. P. 155-176.
7. Тедеев А. Ф. Условия существования и несуществования в целом по времени компактного
носителя решений задачи Коши для квазилинейных вырождающихся параболических
уравнений. Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 1. С. 189-200.
8. Курдюмов С.П., Куркина Е.С. Спектр собственных функций для нелинейного уравнения
теплопроводности с источником // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. № 9.
C. 1619-1637.
9. Fujita H. On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for ut = ∆u + u1+α // J.
Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I. 1966. V. 13. P. 109-124.
10. Галактионов В.А, Курдюмов С.П, Михайлов А.П, Самарский А.А О неограниченных
решениях задачи Коши для параболического уравнения ut = ∇(uσ∇u) + uβ // ДАН
СССР. 1980. Т. 252. № 6. С. 1362-1364.
11. Andreucci D., Tedeev A.F. A Fujita type result for degenerate Neumann problem in domains
with noncompact boundary // J. Math. Anal. Appl. 1999. V. 231. P. 543-567.
12. Andreucci D., Tedeev A.F. Optimal bounds and blow-up phenomena for parabolic problems
in narrowing domains // Proc. Roy. Soc. Edinburg Sect. A. 1998. V. 128. № 6. P. 1163-1180.
13. Deng K., Levine H.A. The role of critical exponents in blow up theorems: The sequel // J.
Math. Anal. Appl. 2000. V. 243. P. 85-126.
Оценка решения времени обострения для параболического уравнения 115
14. Самарский А.А, Галактионов В.А, Курдюмов С.П, Михайлов А.П. Режимы с обостре-
нием в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.
15. Andreucci D., Tedeev A.F. Universal bounds at the blow-up time for nonlinear parabolic
equations // Advances Diff. Eqs. 2005. V. 10. № 1. P. 89-120.
16. Мартыненко А.В., Тедеев А.Ф. Задача Коши для квазилинейного параболического урав-
нения с источником и неоднородной плотностью.Журнал вычислительной математики
и математической физики. 2007. Т.47. №2. с.245-255
17. Мартыненко А.В., Тедеев А.Ф. Задача Коши для квазилинейного параболического урав-
нения с источником и неоднородной плотностью.Журнал вычислительной математики
и математической физики. 2008. Т.48. №7. с.1214-1229
18. Мартыненко А.В., Тедеев А.Ф., Регулярность решений вырождающихся параболиче-
ских уравнений с неоднородной плотностью, УMB.- Т.5.- № 1.- 2008.- с.116-145.
19. Cianci P., Martynenko A.V., Tedeev A.F. The blow-up phenomenon for degenerate parabolic
equations with variable coefficient and nonlinear source// Nonlinear Analysis: Theory, Methods
and Applications. - 2010.-V.73.-I7.-p.2310-2323
20. Bernis F. Existence results for doubly nonlinear higher order parabolic equations on unbounded
domains// Math. Ann. 1988. V. 279. P. 373-394.
21. Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z. 1983.
V. 183. P. 311-341 .
22. Caffarelli L., Kohn R., Nirenberg L. First order interpolation inequalities with weights //
Compositio Math. 1984. V. 53. P. 259-275.
23. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные урав-
нения параболического типа. М.: Наука, 1967.
Национальний технический университет Украины
”Киевский политехнический институт”,
пр. Победы, 37,
03056, м. Киев
vshramenko@ukr.net
Луганский национальный университет
имени Тараса Шевченко,
ул. Оборонная, 2,
91011 Луганск
Получено 8.02.11
|