К теории нижних Q-гомеоморфизмов
В статье исследуются нижние Q-гомеоморфизмы, которые естественным образом обобщают понятие квазиконформного отображения в направлении геометрического определения по Вяйсяля–Герингу. В статье найдены условия на мажоранту Q(x) для устранимости изолированных особенностей, а также для непрерывного и гом...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124334 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К теории нижних Q-гомеоморфизмов / Д.А. Ковтонюк, В.И. Рязанов // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 2. — С. 159-184. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124334 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243342017-09-24T03:02:59Z К теории нижних Q-гомеоморфизмов Ковтонюк, Д.А. Рязанов, В.И. В статье исследуются нижние Q-гомеоморфизмы, которые естественным образом обобщают понятие квазиконформного отображения в направлении геометрического определения по Вяйсяля–Герингу. В статье найдены условия на мажоранту Q(x) для устранимости изолированных особенностей, а также для непрерывного и гомеоморфного продолжения отображений данного класса на регулярные границы. В частности, в работе доказаны далеко идущие обобщения известной теоремы Геринга–Мартио (1985) о гомеоморфном продолжении на границу квазиконформных отображений между областями квазиэкстремальной длины. Указанный класс областей включает в себя такие широкие классы областей как равномерные, выпуклые, гладкие и т.д. Показано, что области с так называемыми слабо плоскими границами являются локально связными в граничных точках. На этой основе получается распространение всех результатов и на этот еще более широкий класс границ. Области со слабо плоскими границами - наиболее широкие из известных классов областей, граничное соответствие между которыми при конформных и квазиконформных отображениях осуществляется поточечно, а не по простым концам. Развитая теория применима также к отображениям с конечным искажением площади и, в частности, к конечно билипшицевым отображениям, которые являются естественным обобщением хорошо известных классов изометрических и квазиизометрических отображений. 2008 Article К теории нижних Q-гомеоморфизмов / Д.А. Ковтонюк, В.И. Рязанов // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 2. — С. 159-184. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 30C65, 30C75. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124334 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В статье исследуются нижние Q-гомеоморфизмы, которые естественным образом обобщают понятие квазиконформного отображения в направлении геометрического определения по Вяйсяля–Герингу. В статье найдены условия на мажоранту Q(x) для устранимости изолированных особенностей, а также для непрерывного и гомеоморфного продолжения отображений данного класса на регулярные границы. В частности, в работе доказаны далеко идущие обобщения известной теоремы Геринга–Мартио (1985) о гомеоморфном продолжении на границу квазиконформных отображений между областями квазиэкстремальной длины. Указанный класс областей включает в себя такие широкие классы областей как равномерные, выпуклые, гладкие и т.д. Показано, что области с так называемыми слабо плоскими границами являются локально связными в граничных точках. На этой основе получается распространение всех результатов и на этот еще более широкий класс границ. Области со слабо плоскими границами - наиболее широкие из известных классов областей, граничное соответствие между которыми при конформных и квазиконформных отображениях осуществляется поточечно, а не по простым концам. Развитая теория применима также к отображениям с конечным искажением площади и, в частности, к конечно билипшицевым отображениям, которые являются естественным обобщением хорошо известных классов изометрических и квазиизометрических отображений. |
| format |
Article |
| author |
Ковтонюк, Д.А. Рязанов, В.И. |
| spellingShingle |
Ковтонюк, Д.А. Рязанов, В.И. К теории нижних Q-гомеоморфизмов Український математичний вісник |
| author_facet |
Ковтонюк, Д.А. Рязанов, В.И. |
| author_sort |
Ковтонюк, Д.А. |
| title |
К теории нижних Q-гомеоморфизмов |
| title_short |
К теории нижних Q-гомеоморфизмов |
| title_full |
К теории нижних Q-гомеоморфизмов |
| title_fullStr |
К теории нижних Q-гомеоморфизмов |
| title_full_unstemmed |
К теории нижних Q-гомеоморфизмов |
| title_sort |
к теории нижних q-гомеоморфизмов |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124334 |
| citation_txt |
К теории нижних Q-гомеоморфизмов / Д.А. Ковтонюк, В.И. Рязанов // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 2. — С. 159-184. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT kovtonûkda kteoriinižnihqgomeomorfizmov AT râzanovvi kteoriinižnihqgomeomorfizmov |
| first_indexed |
2025-07-09T01:16:45Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:16:45Z |
| _version_ |
1837130114340487168 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 5 (2008), № 2, 159 – 184
К теории нижних Q-гомеоморфизмов
Денис А. Ковтонюк и Владимир И. Рязанов
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. В статье исследуются нижние Q-гомеоморфизмы,
которые естественным образом обобщают понятие квазиконформ-
ного отображения в направлении геометрического определения по
Вяйсяля–Герингу. В статье найдены условия на мажоранту Q(x) для
устранимости изолированных особенностей, а также для непрерыв-
ного и гомеоморфного продолжения отображений данного класса на
регулярные границы.
В частности, в работе доказаны далеко идущие обобщения изве-
стной теоремы Геринга–Мартио (1985) о гомеоморфном продолже-
нии на границу квазиконформных отображений между областями
квазиэкстремальной длины. Указанный класс областей включает в
себя такие широкие классы областей как равномерные, выпуклые,
гладкие и т.д.
Показано, что области с так называемыми слабо плоскими гра-
ницами являются локально связными в граничных точках. На этой
основе получается распространение всех результатов и на этот еще
более широкий класс границ. Области со слабо плоскими граница-
ми — наиболее широкие из известных классов областей, граничное
соответствие между которыми при конформных и квазиконформ-
ных отображениях осуществляется поточечно, а не по простым кон-
цам. Развитая теория применима также к отображениям с коне-
чным искажением площади и, в частности, к конечно билипшицевым
отображениям, которые являются естественным обобщением хорошо
известных классов изометрических и квазиизометрических отобра-
жений.
2000 MSC. 30C65, 30C75.
Ключевые слова и фразы. Модуль семейства поверхностей, ни-
жние Q-гомеоморфизмы, устранимoсть изолированной особенности,
граничное поведение, локальная связность на границе, сильно дости-
жимые границы, слабо плоские границы, области квазиэкстремаль-
ной длины.
Статья поступила в редакцию 09.11.2006
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
160 К теории нижних Q-гомеоморфизмов
1. Введение
Проблема граничного поведения является одной из центральных
тем теории квазиконформных отображений и их обобщений, см.,
напр., [8, 18, 24, 31, 35, 37]. В последние годы интенсивно изучаются
различные классы отображений с конечным искажением, естествен-
ным образом обобщающие конформные, квазиконформные и квази-
регулярные отображения, см. подробнее, напр., в [13, 20]. Главную
роль в теории таких отображений играют верхние оценки модулей,
см., напр., [7, 11, 12, 16, 20, 21]. В данной работе исследование про-
странственных отображений проводится с помощью нижних оценок
модулей, ср. [38].
Напомним, что борелевская функция ̺ : R
n → [0,∞] называется
допустимой для заданного семейства Γ кривых в R
n, сокр. ̺ ∈ admΓ,
если
∫
γ
̺ ds > 1 (1.1)
для каждой γ ∈ Γ. Модуль (конформный) семейства Γ определяется
равенством
M(Γ) = inf
̺∈adm Γ
∫
D
̺n(x) dm(x). (1.2)
Учитывая роль модульных оценок, профессор Олли Мартио пре-
дложил в 2001 году следующую общую концепцию. Пусть D и D′ —
области в Rn, n > 2, и пусть Q : D → [1,∞] — измеримая функция.
Гомеоморфизм f : D → D′ называется Q-гомеоморфизмом, если
M(fΓ) 6
∫
D
Q(x) · ̺n(x) dm(x) (1.3)
для каждого семейства Γ кривых в D и каждой допустимой фун-
кции ̺ для Γ, см., напр., [21]. Отметим, что эта концепция естествен-
ным образом связана с теорией так называемых модулей с весом,
см., напр., [1,26,32]. Заметим также, что неравенства вида (1.3) были
впервые установлены в рамках теории квазиконформных отображе-
ний, см., напр., [2, 17].
Согласно геометрическому определению Вяйсяля, см. 1.3.1 в [33],
гомеоморфизм f между областями D и D′ в Rn, n > 2, является
K-квазиконформным, если
M(Γ)/K 6 M(fΓ) 6 K M(Γ) (1.4)
Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов 161
для любого семейства Γ кривых γ в D. Гомеоморфизм f : D → D′
называется квазиконформным, если f является K-квазиконформным
для некоторого K ∈ [1,∞), т.е. если искажение модулей семейств
кривых при отображении f ограничено.
По теореме 34.3 в [33], гомеоморфизм f : D → D′ является квази-
конформным тогда и только тогда, когда
M(fΓ) 6 K M(Γ) (1.5)
для некоторого K ∈ [1,∞) и любых семейств Γ кривых γ в D. Дру-
гими словами, достаточно проверить, что
sup
M(fΓ)
M(Γ)
< ∞, (1.6)
где супремум берется над всеми семействами Γ кривых γ в D, для
которых M(Γ) и M(fΓ) не равны одновременно 0 или ∞. Тогда
sup
M(Γ)
M(fΓ)
< ∞. (1.7)
Также верно, что (1.7) влечет (1.6).
Таким образом, определение Q-гомеоморфизма по Мартио явля-
ется естественным обобщением геометрического определения квази-
конформного отображения по Вяйсяля.
Как это было впервые замечено Герингом, супремумы в (1.6) и
(1.7) остаются теми же самыми, если мы ограничимся семействами
кривых, соединяющими граничные компоненты колец в D, см. [4] или
теорему 36.1 в [33]. Таким образом, геометрическое определение ква-
зиконформного отображения по Вяйсяля эквивалентно кольцевому
определению по Герингу, которое само является вариантом геометри-
ческого определения.
Следующее понятие мотивировано кольцевым определением ква-
зиконформного отображения по Герингу. Пусть даны область D ⊆
R
n, n > 2, x0 ∈ D \ {∞}, и измеримая функция Q : D → (0,∞). Мы
говорим, что гомеоморфизм f : D → Rn есть нижний Q-гомеомор-
физм в точке x0 , если
M(fΣε) > inf
̺∈ ext adm Σε
∫
D∩Rε
̺n(x)
Q(x)
dm(x) (1.8)
для каждого кольца
Rε = {x ∈ R
n : ε < |x − x0| < ε0}, ε ∈ (0, ε0),
162 К теории нижних Q-гомеоморфизмов
где
0 < ε0 < d0 = sup
x∈D
|x − x0|, (1.9)
а через Σε обозначено семейство всех пересечений сфер
S(r) = S(x0, r) = {x ∈ R
n : |x − x0| = r}, r ∈ (ε, ε0)
с D. Здесь ext admΣε состоит из всех измеримых (по Лебегу) фун-
кций ̺ : R
n → [0,∞] с
∫
D(r)
̺n−1(x) dA > 1 (1.10)
для почти всех r ∈ (ε, ε0), где A — мера площади на
D(r) = D(x0, r) = {x ∈ D : |x − x0| = r} = D ∩ S(x0, r). (1.11)
Как обычно, это понятие может быть распространено на случай x0 =
∞ ∈ D с помощью инверсии относительно единичной сферы в Rn,
T (x) = x/|x|2, T (∞) = 0, T (0) = ∞. А именно, гомеоморфизм f :
D → Rn — нижний Q-гомеоморфизм в ∞ ∈ D, если F = f ◦ T —
нижний Q∗-гомеоморфизм с Q∗ = Q ◦ T в 0.
Мы также говорим, что гомеоморфизм f : D → Rn есть нижний
Q-гомеоморфизм в D, если f есть нижний Q-гомеоморфизм в каждой
точке x0 ∈ D.
В следующей секции будет показано, что неравенство (1.8) экви-
валентно неравенству:
M(fΣε) >
ε0
∫
ε
dr
‖Q‖n−1(r)
, (1.12)
где
‖Q‖n−1(r) =
(
∫
D(r)
Qn−1 dA
)
1
n−1
. (1.13)
Отметим, что инфимум в (1.8) достигается на функции
̺0(x) = Q(x)/‖Q‖n−1(|x|). (1.14)
Далее мы часто предполагаем, что Q ≡ 0 вне D, и берем интегралы
в (1.13) по целым сферам S(r) = S(x0, r).
Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов 163
Это делает возможным найти эффективные оценки искажения
при нижних Q-гомеоморфизмах и применить их к изучению проблем
устранимости изолированных особенностей, граничному поведению
и другим вопросам.
Отметим, что (1.8) влечет соответствующую нижнюю оценку мо-
дуля для семейства Σ∗
ε, состоящего из всех (n−1)−мерных поверхно-
стей в D, отделяющих сферы |x − x0| = ε и |x − x0| = ε0, поскольку
Σε ⊂ Σ∗
ε и, следовательно, ext admΣ∗
ε ⊂ ext admΣε. То же самое вер-
но для семейства Σ∗∗
ε , состоящего из всех замкнутых множеств в D,
отделяющих указанные сферы в D, поскольку Σ∗
ε ⊂ Σ∗∗
ε , ср. [40]. Та-
ким образом, (1.8), ср. (1.7), является обобщением геометрического
определения квазиконформного отображения.
В дальнейшем через Hk, k = 1, . . . , n − 1, обозначается k-мерная
хаусдорфова мера в R
n, n > 2. Точнее, если A — множество из R
n, то
Hk(A) = sup
ε>0
Hk
ε (A), (1.15)
Hk
ε (A) = Ωk inf
∞
∑
i=1
(δi
2
)k
, (1.16)
где инфимум берется по всем счетным наборам чисел δi ∈ (0, ε) та-
ким, что некоторые множества Ai ⊂ R
n с диаметрами d(Ai) = δi
покрывают множество A. Здесь Ωk — объем единичного шара в R
k.
Пусть ω — открытое множество в Rk, k = 1, . . . , n−1. Непрерывное
отображение S : ω → R
n называется k-мерной поверхностью S в
R
n. Иногда образ поверхности S(ω) ⊆ R
n мы также будем называть
поверхностью. Число прообразов
N(S, y) = N(S, y, ω) = card S−1(y) = card {x ∈ ω : S(x) = y} (1.17)
называется функцией кратности поверхности S в точке y ∈ R
n. Дру-
гими словами, N(S, y) равна кратности покрытия точки y поверхно-
стью S. Известно, что функция кратности полунепрерывна снизу, т.е.
N(S, y) > lim inf
m→∞
N(S, ym)
для любой последовательности ym ∈ R
n такой, что ym → y ∈ R
n при
m → ∞, см. [27, с. 160]. Таким образом, функция N(S, y) является бо-
релевской и поэтому измерима относительно любой меры Хаусдорфа
Hk, см. [29, с. 52].
164 К теории нижних Q-гомеоморфизмов
k-мерная хаусдорфова площадь в R
n, или просто площадь, ассо-
циированная с поверхностью S : ω → R
n, определяется формулой
A(B) = AS(B) = Ak
S(B) :=
∫
B
N(S, y) dHky (1.18)
для произвольного борелевского множества B ⊆ R
n и, более общо,
для произвольного множества, измеримого относительно Hk в R
n.
Поверхность S называется спрямляемой, если AS(Rn) < ∞.
Если ̺ : R
n → [0,∞] — борелевская функция, то ее интеграл по
S определяется равенством
∫
S
̺ dA :=
∫
Rn
̺(y)N(S, y) dHky. (1.19)
Борелевская функция ̺ : R
n → [0,∞] называется допустимой для
семейства Γ k-мерных поверхностей S в R
n, пишем ̺ ∈ admΓ, если
∫
S
̺k dA > 1 (1.20)
для всех S ∈ Γ. Пусть дано p ∈ (0,∞), p-модулем семейства Γ на-
зывается следующая величина
Mp(Γ) = inf
̺∈adm Γ
∫
Rn
̺p(x) dm(x). (1.21)
Мы также используем обозначение
M(Γ) = Mn(Γ). (1.22)
В большинстве случаев для доказательств тех или иных утвер-
ждений более удобным является понятие p-обобщенного модуля.
Говорят, что свойство P выполнено для p-почти всех, сокр.
p-п.в., k-мерных поверхностей S семейства Γ, если подсемейство всех
поверхностей из Γ, для которых P не выполнено, имеет нулевой p-
модуль. В случае p = n, мы пишем просто п.в.
Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов 165
Измеримая по Лебегу функция ̺ : R
n → [0,∞] называется p-
обобщенно допустимой для семейства Γ k-мерных поверхностей S в
R
n, пишем ̺ ∈ extp admΓ, если
∫
S
̺k dA > 1 (1.23)
для p-п.в. S ∈ Γ.
Для p ∈ (0,∞) p-обобщенным модулем семейства Γ k-мерных по-
верхностей S в R
n называется следующая величина
Mp(Γ) = inf
∫
Rn
̺p(x) dm(x), (1.24)
где инфимум берется по всем ̺ ∈ extp admΓ. В случае p = n будем
использовать обозначения M(Γ) и ̺ ∈ ext admΓ, соответственно.
Понятие p-обобщенного модуля является более удобным, посколь-
ку в нем участвуют измеримые по Лебегу функции, и, несмотря на
это, p-обобщенный модуль совпадает с обычным p-модулем, т.е. выпол-
нено равенство
Mp(Γ) = Mp(Γ). (1.25)
2. Описание нижних Q-гомеоморфизмов
Начнем со следующей леммы общего характера.
Лемма 2.1. Пусть (X, µ) — измеримое пространство X с конечной
мерой µ, p ∈ (1,∞), и пусть ϕ : X → (0,∞) — измеримая функция.
Положим
I(ϕ, p) = inf
α
∫
X
ϕ αp dµ, (2.1)
где инфимум берется по всем измеримым функциям α : X → [0,∞]
таким, что
∫
X
α dµ = 1. (2.2)
Тогда
I(ϕ, p) =
[
∫
X
ϕ−λ dµ
]− 1
λ
, (2.3)
где
λ =
q
p
,
1
p
+
1
q
= 1, (2.4)
166 К теории нижних Q-гомеоморфизмов
т.е. λ = 1/(p − 1) ∈ (0,∞). Кроме того, инфимум в (2.1) достигае-
тся на функции
α0 = C · ϕ−λ, (2.5)
где
C =
(
∫
X
ϕ−λ dµ
)−1
. (2.6)
Доказательство. Действительно, по неравенству Гельдера имеем
1 =
∫
X
α dµ =
∫
X
(ϕ
− q
p )
1
q [ϕ αp]
1
p dµ 6
[
∫
X
ϕ
− q
p dµ
]
1
q
·
[
∫
X
ϕ αp dµ
]
1
p
,
где равенство достигается тогда и только тогда, когда c ·ϕ
− q
p = ϕ ·αp
п.в., см. [9]. C = c
1
p в (2.6), т.е.
C =
(
∫
X
ϕ
− 1
p−1 dµ
)−1
,
α0(x) =
(
∫
X
ϕ
− 1
p−1 dµ
)−1
· ϕ
− 1
p−1 (x).
Если
∫
ϕ−λ dµ = ∞, то сначала эти рассуждения проводятся с
малым ε > 0 для функции ϕε(x) = ϕ(x) при ϕ(x) > ε и ϕε(x) = 1 при
ϕ(x) 6 ε. В этом случае, I(ϕ, p) 6 I(ϕε, p) → 0 при ε → 0.
Следующая теорема полностью характеризует нижние Q-гомео-
морфизмы.
Теорема 2.1. Пусть D — область в R
n, n > 2, x0 ∈ D, и пусть Q :
D → (0,∞) — измеримая функция. Тогда гомеоморфизм f : D → R
n
является нижним Q-гомеоморфизмом в точке x0 тогда и только
тогда, когда
M(fΣε) >
ε0
∫
ε
dr
‖Q‖n−1(r)
∀ ε ∈ (0, ε0), (2.7)
где
0 < ε0 < d0 = sup
x∈D
|x − x0| = sup
x∈∂D
|x − x0|, (2.8)
Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов 167
и через Σε обозначено семейство всех пересечений D со сферами
S(r) = {x ∈ R
n : |x − x0| = r}, r ∈ (ε, ε0), и
‖Q‖n−1(r) =
(
∫
D(r)
Qn−1 dA
)
1
n−1
(2.9)
есть Ln−1-норма функции Q по D(r) = {x ∈ D : |x − x0| = r} =
D∩S(r). Инфимум выражения из правой части в (1.8) достигается
на функции
̺0(x) = Q(x)/‖Q‖n−1(|x|).
Доказательство. Отметим, что для каждой ̺ ∈ ext admΣε, функция
A̺(r) :=
∫
D(r)
̺n−1(x) dA 6= 0 п. в.
является измеримой по переменной r, например, по теореме Фубини.
Таким образом, мы можем требовать равенство A̺(r) ≡ 1 п.в. вместо
(1.10), и
inf
̺∈ext admΣε
∫
D∩Rε
̺n(x)
Q(x)
dm(x) =
ε0
∫
ε
(
inf
α∈I(r)
∫
D(r)
αp(x)
Q(x)
dA
)
dr,
где p = n/(n − 1) > 1, и через I(r) обозначено множество всех изме-
римых функций α на поверхности D(r) = S(r) ∩ D таких, что
∫
D(r)
α(x) dA = 1.
Таким образом, теорема 2.1 следует из леммы 2.1, при X = D(r),
µ — площадь на D(r), ϕ = 1
Q
|D(r), и p = n/(n − 1) > 1.
Следствие 2.1. Пусть D — область в R
n, n > 2, x0 ∈ D, Q : D →
(0,∞) — измеримая функция, и f : D → R
n — нижний Q-гомеомор-
физм в точке x0. Тогда
M(fΣε) > ω
1
1−n
n−1
ε0
∫
ε
dr
r · qn−1(r)
∀ ε ∈ (0, ε0), (2.10)
168 К теории нижних Q-гомеоморфизмов
где через Σε обозначено семейство всех пересечений сфер S(r) = {x ∈
R
n : |x − x0| = r}, r ∈ (ε, ε0), с областью D и
qn−1(r) =
(
∫
−
S(r)
qn−1(x) dA
)
1
n−1
, (2.11)
где
q(x) =
{
Q(x), x ∈ D,
0, x ∈ R
n \ D.
(2.12)
3. Оценки искажения
В дальнейшем будем использовать сферическую (хордальную) ме-
трику h(x, y) = |π(x)− π(y)| в Rn = R
n
⋃
{∞}, где π — стереографи-
ческая проекция Rn на сферу Sn(1
2 en+1,
1
2) в R
n+1:
h(x,∞) =
1
√
1 + |x|2
, h(x, y) =
|x − y|
√
1 + |x|2
√
1 + | y|2
, x 6= ∞ 6= y.
(3.1)
Таким образом, из определения следует, что h(x, y) 6 1 для всех x
и y ∈ Rn. Сферический (хордальный) диаметр множества E ⊂ Rn
определяется равенством
h(E) = sup
x, y∈E
h(x, y). (3.2)
Отметим, что
h(x, y) 6 |x − y| (3.3)
для всех x,y ∈ R
n, и
h(x, y) >
1
2
|x − y| (3.4)
для всех x и y из единичного шара B
n ⊂ R
n с равенством в (3.4) на
∂ B
n.
Лемма 3.1. Пусть D — область в R
n, n > 2, и пусть f : D → R
n
является нижним Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D, и 0 < ε <
ε0 < dist(x0, ∂D). Тогда
Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов 169
h(fSε) ≤
αn
h(fSε0
)
· exp
(
−
ε0
∫
ε
dr
r qn−1(r)
)
, (3.5)
где αn = 2λ2
n с λn ∈ [4, 2en−1), λ2 = 4 и λ
1
n
n → e при n → ∞, и
qn−1 =
(
∫
−
|x−x0|=r
Qn−1(x) dA
)
1
n−1
, (3.6)
а через Sε и Sε0
обозначены концентрические сферы в R
n с центром
в x0 радиуса ε и ε0, соответственно.
Доказательство. Положим E = fSε и F = fSε0
. По известной лемме
Геринга
capR(E, F ) ≥ capRT
(
1
h(E)h(F )
)
, (3.7)
где h(E) и h(F ) — сферические диаметры континуумов E и F , соо-
тветственно, и RT (s) — кольцо Тейхмюллера
RT (s) = R
n \ ([−1, 0] ∪ [s,∞]), s > 1, (3.8)
см., например, [5] или [36, 7.37]. Также известно, что
cap RT (s) =
ωn−1
(log Ψ(s))n−1 , (3.9)
где функция Ψ удовлетворяет оценкам:
s + 1 ≤ Ψ(s) ≤ λ2
n · (s + 1) < 2λ2
n · s, s > 1, (3.10)
см., например, [5, с. 225–226], а также (7.19) и (7.22) в [36]. Поэтому
из неравенства (3.7) следует, что
capR(E, F ) ≥
ωn−1
(
log 2λ2
n
h(E) h(F )
)n−1 . (3.11)
По теореме 3.13 из [40] и (2.10) имеем
cap R(E, F ) 6
1
Mn−1(fΣε)
6
ωn−1
(
ε0
∫
ε
dr
r·qn−1(r)
)n−1 , (3.12)
поскольку fΣε ⊂ Σ(fSε, fSε0
), где Σ(fSε, fSε0
) состоит из всех за-
мкнутых множеств в D′, отделяющих fSε и fSε0
.
170 К теории нижних Q-гомеоморфизмов
Наконец, комбинируя (3.11) и (3.12), получаем (3.5). Лемма дока-
зана.
4. Устранимость изолированных особенностей
Используя теорему 2.1, аналогично доказательству леммы 3.1, по-
лучаем следующее утверждение.
Теорема 4.1. Пусть D — область в R
n, n > 2, x0 ∈ D, Q : D →
(0,∞) — измеримая функция, и пусть f : D \ {x0} → R
n — нижний
Q-гомеоморфизм в точке x0. Если
ε0
∫
0
dr
r · qn−1(r)
= ∞, (4.1)
где ε0 < dist(x0, ∂D), и
qn−1(r) =
(
∫
−
|x−x0|=r
Qn−1(x) dA
)
1
n−1
, (4.2)
то f имеет гомеоморфное продолжение в D.
Следствие 4.1. Пусть D — область в R
n, n > 2, x0 ∈ D, и пусть
f : D\{x0} → R
n — нижний Q-гомеоморфизм в точке x0. Если при
r → 0
∫
−
|x−x0|=r
Qn−1(x) dA = O
(
logn−1 1
r
)
, (4.3)
то f имеет гомеоморфное продолжение в D.
Следствие 4.2. Пусть D — область в R
n, n > 2, x0 ∈ D, и пусть
f : D\{x0} → R
n — нижний Q-гомеоморфизм в точке x0. Если при
r → 0
∫
−
|x−x0|=r
Qn−1(x) dA = O
([
log
1
r
· log log
1
r
· · · log · · · log
1
r
]n−1)
, (4.4)
то f имеет гомеоморфное продолжение в D.
Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов 171
5. О слабо плоских границах
Приведенные ниже определения сильной достижимости и слабой
плоскости в точках границы являются локализацией соответствую-
щих понятий в [21], ср. их со свойствами P1 и P2 по Вяйсяля в [33]
и квазиконформной достижимостью и плоскостью по Някки в [25],
см. также [15] и [28]. Приведенная ниже лемма 5.1 устанавливает
связь подобных свойств, сформулированных в терминах модулей се-
мейств кривых, с общетопологическим понятием локальной связно-
сти на границе, см. [15], ср. [28].
Напомним, что область D ⊂ Rn, n > 2, называется локально свя-
зной в точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки x0 найде-
тся окрестность V ⊆ U точки x0, для которой V ∩D связно (другими
словами, для любого шара B0 = B(x0, r0) существует компонента
связности B0 ∩ D, которая включает в себя B ∩ D, где B = B(x0, r),
r ∈ (0, r0)). Отметим, что любая жорданова область D в R
n является
локально связной в каждой точке своей границы ∂D, см., напр., [39,
с. 66].
Будем говорить, что точка x0 ∈ ∂D сильно достижима из D,
если для любой окрестности U точки x0 найдется континуум E ⊂ D,
окрестность V ⊂ U точки x0 и число δ > 0 такие, что
M(∆(E, F ; D)) > δ (5.1)
для всех континуумов F в D, пересекающих ∂U и ∂V . Здесь и всюду
далее ∆(E, F ; D) — семейство всех кривых, соединяющих E и F в D.
Говорим, что ∂D сильно достижима, если каждая точка x0 ∈ ∂D
сильно достижима из D.
Будем также говорить, что граница ∂D слабо плоская в точке
x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки x0 и любого числа
P > 0 найдется окрестность V ⊂ U точки x0 такая, что
M(∆(E, F ; D)) > P (5.2)
для любых континуумов E и F в D, пересекающих обе границы ∂U и
∂V . Говорим, что ∂D слабо плоская, если она слабо плоская в каждой
своей точке.
Замечание 5.1. Здесь, в определениях сильно достижимых и слабо
плоских границ, в качестве окрестностей U и V точки x0 можно брать
шары (замкнутые или открытые) с центром в точке x0.
172 К теории нижних Q-гомеоморфизмов
Предложение 5.1. Если область D в R
n, n > 2, слабо плоская в
точке x0 ∈ ∂D, то точка x0 сильно достижима из D.
Доказательство. Действительно, пусть U = B(x0, r0), где 0 < r0 <
d0 = supx∈D |x−x0| и P ∈ (0,∞). Тогда по условию найдется r ∈ (0, r0)
такое, что
M(∆(E, F ; D)) > P (5.3)
для любых континуумов E и F в D, пересекающих ∂B(x0, r0) и
∂B(x0, r). В качестве континуума E выберем произвольную кривую,
соединяющую ∂B(x0, r0) и ∂B(x0, r) в D. Тогда для любого континуу-
ма F в D, пересекающего ∂B(x0, r0) и ∂B(x0, r), имеет место (5.3).
Следствие 5.1. Слабо плоские границы в R
n, n > 2, являются силь-
но достижимыми.
Лемма 5.1. Если область D в R
n, n > 2, слабо плоская в точке
x0 ∈ ∂D, то D локально связна в x0.
Доказательство. Допустим, что область D не является локально
связной в точке x0. Тогда найдется положительное число r0 < d0 =
supx∈D |x − x0| такое, что для любой окрестности V ⊆ U := B(x0, r0)
точки x0 выполняется хотя бы одно из двух условий:
1) V ∩D имеет по крайней мере две связные компоненты K1 и K2
такие, что x0 ∈ K1 ∩ K2;
2) V ∩D имеет бесконечное число компонент связности K1, K2, . . . ,
Km, . . . таких, что xm → x0 для некоторых xm ∈ Km. Заметим,
что Km ∩ ∂V 6= ∅ при всех m = 1, 2 . . . ввиду связности D.
В частности, это верно для окрестности V = U = B(x0, r0). Пусть
r∗ — произвольное число из интервала (0, r0). Тогда при всех i 6= j
M(∆(K∗
i , K∗
j ; D)) 6 M0 :=
|D ∩ B(x0, r0)|
[2(r0 − r∗)]n
< ∞ (5.4)
где K∗
i = Ki ∩B(x0, r∗) и K∗
j = Kj ∩B(x0, r∗). Заметим, что допусти-
мой функцией для семейства кривых Γij = ∆(K∗
i , K∗
j ; D) является
̺(x) =
{
1
2(r0−r∗) для x ∈ B0 \ B∗,
0 для x ∈ B∗ и x ∈ R
n \ B0,
где B0 = B(x0, r0) и B∗ = B(x0, r∗), поскольку Ki и Kj , как компо-
ненты связности D ∩ B0, не могут быть соединены ни одной кривой
Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов 173
в B0, и потому любая кривая, соединяющая K∗
i и K∗
j , обязана хотя
бы дважды пройти через кольцо B0 \ B∗.
Однако, ввиду 1), 2), получаем противоречие (5.4) с условием сла-
бой плоскости границы ∂D в точке x0. Действительно, по условию
слабой плоскости, найдется r ∈ (0, r∗) такое, что
M(∆(E, F ; D)) > 2M0 (5.5)
для любых двух континуумов E и F в D, которые пересекают сферы
|x−x0| = r∗ и |x−x0| = r. По 1), 2) найдется пара компонент связности
Ki0 и Kj0 пересечения D ∩ B0, которые пересекают обе указанные
сферы. Выберем по одной точке x0 и y0 в Ki0 ∩ B и Kj0 ∩ B, где
B = B(x0, r), и соединим их непрерывной кривой C в D. Пусть C1 и
C2 — компоненты связности C ∩K∗
i0
и C ∩K∗
j0
, содержащие точки x0
и y0, соответственно. Тогда по (5.4)
M(∆(C1, C2; D)) 6 M0,
а по (5.5)
M(∆(C1, C2; D)) > 2M0.
Полученное противоречие опровергает предположение о том, что об-
ласть D не является локально связной в точке x0.
Следствие 5.2. Любая область D в R
n, n > 2, со слабо плоской
границей локально связна в каждой своей граничной точке.
6. Основная лемма о непрерывном
продолжении на границу
Лемма 6.1. Пусть D — область в R
n, n > 2, x0 ∈ ∂D, Q : D →
(0,∞) — измеримая функция, и пусть f : D → D′ ⊂ R
n — нижний
Q-гомеоморфизм в точке x0, область D локально связна в x0, а ∂D′
сильно достижима из D′ хотя бы в одной точке предельного мно-
жества
L = C(x0, f) =
{
y ∈ Rn : y = lim
k→∞
f(xk), xk → x0, xk ∈ D
}
. (6.1)
Если
ε0
∫
0
dr
‖Q‖n−1(r)
= ∞, (6.2)
где
0 < ε0 < d0 = sup
x∈D
|x − x0| = sup
x∈∂D
|x − x0|, (6.3)
174 К теории нижних Q-гомеоморфизмов
и
‖Q‖n−1(r) =
(
∫
D∩S(x0,r)
Qn−1 dA
)
1
n−1
, (6.4)
то f продолжается по непрерывности в точку x0.
Доказательство. Заметим, что L 6= ∅ в силу компактности расши-
ренного пространства Rn. По условию ∂D′ сильно достижима в неко-
торой точке y0 ∈ L. Допустим, что найдется еще одна точка z0 ∈ L,
и пусть U = B(y0, r0), где 0 < r0 < |y0 − z0|.
В силу локальной связности D в x0 найдется последовательность
окрестностей Vk точки x0 со связными пересечениями Dk = D ∩ Vk и
δ(Vk) → 0 при k → ∞. В областях D′
k = fDk найдутся точки yk и zk
с |y0 − yk| < r0 и |y0 − zk| > r0, yk → y0 и zk → z0 при k → ∞. Пусть
Ck — непрерывные кривые, соединяющие yk и zk в D′
k. Заметим, что
по построению ∂U ∩ Ck 6= ∅.
По условию сильной достижимости точки y0 из D′, найдется кон-
тинуум E ⊂ D′ и число δ > 0, для которых
M(∆(E, Ck; D
′)) > δ
при больших k. Без ограничения общности, можно считать, что по-
следнее условие выполнено для всех k = 1, 2, . . .. Заметим, что C =
f−1E является компактом в D, и потому ε0 = dist(x0, C) > 0.
Пусть Γε — семейство всех непрерывных путей в D, соединяющих
сферы Sε0
= S(x0, ε0) и Sε = S(x0, ε). Заметим, что Ck ⊂ fBε для
любого фиксированного ε ∈ (0, ε0) при больших k, где Bε = B(x0, ε).
Таким образом, M(fΓε) > δ при всех ε ∈ (0, ε0).
С другой стороны, величина M(Γε) равна емкости конденсатора
в D′ с обкладками fBε и fD \ B0, где B0 = B(x0, ε0), см., напр.,
[10, 26,30]. Таким образом, по теореме 3.13 в [40]
M(fΓε) 6
1
Mn−1(fΣε)
,
где Σε — семейство пересечений с областью D всех сфер S(x0, ρ),
ρ ∈ (ε, ε0), поскольку fΣε ⊂ Σ(fSε, fSε0
), где Σ(fSε, fSε0
) состоит из
всех замкнутых множеств в D′, отделяющих fSε и fSε0
. Наконец, по
теореме 2.1 и условию (6.2) получаем, что M(Γε) → 0 при ε → 0. По-
лученное противоречие опровергает предположение, что предельное
множество C(x0, f) состоит более чем из одной точки.
Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов 175
7. Об областях квазиэкстремальной длины
Область D ⊂ R
n, n > 2, называется областью квазиэкстремаль-
ной длины, сокр. QED областью, если
M(∆(E, F ; Rn) 6 K · M(∆(E, F ; D)) (7.1)
для некоторого K > 1 и для всех пар непересекающихся континуумов
E и F в D, см. [6].
Как хорошо известно, см., напр., [33, 10.12],
M(∆(E, F ; Rn)) > cn log
R
r
для любых множеств E и F в R
n, n > 2, пересекающих все сферы
S(x0, ρ), ρ ∈ (r, R). Поэтому непосредственно из определений, любая
QED область имеет слабо плоскую границу. Таким образом, по след-
ствию 5.1 QED области имеют сильно достижимые границы, а по
следствию 5.2 они локально связны во всех своих граничных точках.
Область D ⊂ R
n, n > 2, называется равномерной областью, если
каждая пара точек x1 и x2 ∈ D может быть соединена спрямляемой
кривой γ в D такой, что
s(γ) 6 a · |x1 − x2| (7.2)
и
min
i=1,2
s(γ(xi, x)) 6 b · d(x, ∂D) (7.3)
для всех x ∈ γ, где γ(xi, x) часть γ между xi и x, см. [22]. Известно,
что каждая равномерная область является QED областью, но суще-
ствуют QED области, которые не являются равномерными, см. [6].
Ограниченные выпуклые области предоставляют простые примеры
равномерных областей.
Теорема 7.1. Пусть D – область в R
n, n > 2, x0 ∈ ∂D, Q : D →
(0,∞) — измеримая функция, и пусть f : D → R
n — нижний Q-
гомеоморфизм в точке x0. Если D и D′ = f(D) являются QED
областями, и
ε0
∫
0
dr
‖Q‖n−1(r)
= ∞, (7.4)
где
0 < ε0 < d0 = sup
x∈D
|x − x0| = sup
x∈∂D
|x − x0|, (7.5)
176 К теории нижних Q-гомеоморфизмов
‖Q‖n−1(r) =
(
∫
D∩S(x0,r)
Qn−1 dA
)
1
n−1
, (7.6)
то f продолжим по непрерывности в точку x0.
8. Сингулярные нуль-множества экстремальной длины
Замкнутое множество X ⊂ R
n, n > 2, называется нуль-множест-
вом экстремальной длины, сокр. NED множеством, если
M(∆(E, F ; Rn)) = M(∆(E, F ; Rn\X)) (8.1)
для любых двух непересекающихся континуумов E и F ⊂ R
n\X.
Замечание 8.1. Известно, что если X ⊂ R
n является NED множе-
ством, то
|X| = 0 (8.2)
и X не разделяет локально R
n, т.е.
dim X 6 n − 2. (8.3)
Обратно, если множество X ⊂ R
n замкнуто и
Hn−1(X) = 0, (8.4)
то X является NED множеством, см. [34].
Здесь через Hn−1(X) обозначена (n − 1)-мерная хаусдорфова ме-
ра множества X в R
n. Также обозначим через C(X, f) предельное
множество отображения f : D → Rn для множества X ⊂ D,
C(X, f) : =
{
y ∈ Rn : y = lim
k→∞
f(xk), xk → x0 ∈ X, xk ∈ D
}
. (8.5)
Отметим, что дополнение NED множеств в R
n есть весьма ча-
стный случай QED областей, рассматривавшихся в предыдущей се-
кции. Таким образом, рассуждая локально, получаем по теореме 7.1
следующее утверждение.
Теорема 8.1. Пусть D — область в R
n, n > 2, X ⊂ D, и пусть
f : D\X → Rn — нижний Q-гомеоморфизм в точке x0 ∈ X. Если X
и C(X, f) являются NED множествами, и
ε0
∫
0
dr
‖Q‖n−1(r)
= ∞, (8.6)
Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов 177
где ε0 < dist(x0, ∂D),
‖Q‖n−1(r) =
(
∫
|x−x0|=r
Qn−1(x) dA
)
1
n−1
, (8.7)
то f продолжим по непрерывности в точку x0.
9. О продолжении на границу обратных отображений
Лемма 9.1. Пусть D и D′ — области в R
n, n > 2, z1 и z2 различные
точки на ∂D в Rn, z1 6= ∞, и f — нижний Q-гомеоморфизм области
D на область D′, и пусть функция Q интегрируема в степени n−1
по поверхностям
D(r) = {x ∈ D : |x − z1| = r} = D ∩ S(z1, r)
для некоторого множества E чисел r ∈ (0, d), d = | z1 − z2|, поло-
жительной линейной меры. Если D локально связна в точках z1 и
z2, а ∂D′ слабо плоская, то в Rn
C(z1, f) ∩ C(z2, f) = ∅. (9.1)
Здесь подразумевается, что |z1 − z2| = ∞, если z2 = ∞.
Доказательство. Выберем ε0 ∈ (0, d) такое, что
E0 = {r ∈ E : r ∈ (ε, ε0)}
имеет положительную линейную меру. Такой выбор возможен в силу
счетной полуаддитивности линейной меры и исчерпания
E =
∞
⋃
m=1
Em,
где при d < ∞
Em = {r ∈ E : r ∈ (1/m, d − 1/m)}.
Если d = ∞, то в последнем случае берем интервал (1/m, m). Заме-
тим, что каждая сфера S(z1, r), r ∈ E0, отделяет точки z1 и z2 в R
n, и
D(r), r ∈ E0, отделяет их в D. Таким образом, по теореме 2.1 имеем,
что
M(fΣε) > 0, (9.2)
178 К теории нижних Q-гомеоморфизмов
где Σε — семейство всех пересечений сфер S(z1, r), r ∈ (ε, ε0), с обла-
стью D.
Для i = 1, 2, пусть Ci — предельное множество C(zi, f) и предпо-
ложим, что C1 ∩ C2 6= ∅. Поскольку D локально связна в z1 и z2, то
существуют окрестности Ui точек zi такие, что Wi = D ∩ Ui связны
и U1 ⊂ Bn(z1, ε) и U2 ⊂ R
n \ Bn(z1, ε0).
Положим Γ = Γ(W1, W2; D). Согласно (9.2)
M(fΓ) 6
1
Mn−1(fΣε)
< ∞, (9.3)
см. теорему 3.13 в [40], ср. также [10] и [30].
Пусть y0 ∈ C1 ∩C2. Без ограничения общности, считаем, что y0 6=
∞, ибо в противном случае можно всегда применить дополнительное
преобразование Мёбиуса. Выберем r0 > 0 такое, что S(y0, r0)∩fW1 6=
∅ и S(y0, r0) ∩ fW2 6= ∅.
По условию ∂D′ слабо плоская, и потому найдется r∗ ∈ (0, r0)
такое, что
M(∆(E, F ; D′)) > M0,
где M0 > M(fΓ) — некоторое конечное число для всех континуумов
E и F в D′, пересекающих сферы S(y0, r0) и S(y0, r∗). Однако, эти
сферы можно соединить кривыми C1 и C2 в областях fW1 и fW2 и
для этих кривых
M0 6 M(∆(C1, C2; D
′)) 6 M(fΓ). (9.4)
Полученное противоречие опровергает предположение, что C1 ∩
C2 6= ∅. Лемма доказана.
Теорема 9.1. Пусть D и D′ — области в R
n, n > 2, D локально
связна на ∂D, а ∂D′ слабо плоская. Если f является нижним Q-
гомеоморфизмом D на D′ с Q ∈ Ln−1(D), то f−1 имеет непрерывное
продолжение на D′.
Доказательство. По теореме Фубини множество
E = {r ∈ (0, d) : Q|D(r) ∈ Ln−1(D(r))}
имеет положительную линейную меру, поскольку Q ∈ Ln−1(D), и зак-
лючение теоремы является непосредственным следствием леммы 9.1.
Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов 179
Замечание 9.1. Как видно из доказательства, в действительности
достаточно потребовать в теореме 9.1, чтобы функция Q была инте-
грируема со степенью n − 1 только в некоторой окрестности ∂D.
Лемма 9.2. Пусть D — область в R
n, n > 2, и пусть f : D → R
n —
нижний Q-гомеоморфизм в точке x0 ∈ D. Тогда
ε0
∫
ε
dr
‖Q‖n−1(r)
< ∞, ∀ ε ∈ (0, ε0), ε0 ∈ (0, d0), (9.5)
где
d0 = sup
x∈D
|x − x0|, (9.6)
и
‖Q‖n−1(r) =
(
∫
D(r)
Qn−1(x) dA
)
1
n−1
(9.7)
Ln−1-норма функции Q по D(r) = D(x0, r) = {x ∈ D : |x−x0| = r} =
D ∩ S(x0, r).
Доказательство. Пусть x1 ∈ D(ε) и x2 ∈ D(ε0). Обозначим через
C1 и C2 компакты f(D(ε)∩B(x1, r1)) и f(D(ε0)∩B(x2, r2)), где r1 <
dist(x1, ∂D) и r2 < dist(x2, ∂D). Тогда по Хессе и Циммеру
M(Γ(C1, C2; fD)) 6
1
Mn−1(fΣε)
,
где Σε = {D(r)}r∈(ε,ε0), а по лемме 1.15 в [25, с. 16], M(Γ(C1, C2; fD))
> 0, поскольку C1 и C2 невырожденные непересекающиеся контину-
умы в области D′ = fD. Следовательно, Mn−1(fΣε) < ∞, и, таким
образом, заключение леммы следует из теоремы 2.1.
Следствие 9.1. Если f : D → R
n нижний Q-гомеоморфизм в точке
x0 ∈ D с
δ0
∫
0
dr
‖Q‖n−1(r)
= ∞
для некоторого δ0 ∈ (0, d0), то
δ
∫
0
dr
‖Q‖n−1(r)
= ∞
для всех δ ∈ (0, d0).
180 К теории нижних Q-гомеоморфизмов
Лемма 9.2 и следствие 9.1 показывают, в частности, что не для
любой измеримой функции Q : D → (0,∞) существуют нижние Q-
гомеоморфизмы. Неравенство (9.5) является одним из необходимых
условий этого.
Комбинируя леммы 9.1 и 9.2, немедленно получаем следующее
утверждение.
Теорема 9.2. Пусть D и D′ — области в R
n, n > 2, D локально
связна на ∂D, а D′ = f(D) имеет слабо плоскую границу, и пусть
Q : D → (0,∞) — измеримая функция такая, что условие
δ(x0)
∫
0
dr
‖Q‖n−1(x0, r)
= ∞
выполнено для всех x0 ∈ ∂D при некотором δ(x0) ∈ (0, d(x0)), где
d(x0) = sup
x∈D
|x − x0|,
и
‖Q‖n−1(x0, r) =
(
∫
D(r)
Qn−1(x) dA
)
1
n−1
Ln−1-норма функции Q на поверхности D(r) = D(x0, r) = {x ∈ D :
|x − x0| = r}. Тогда для любого нижнего Q-гомеоморфизма f : D →
D′ обратное отображение f−1 имеет непрерывное продолжение на
замыкание D′ в Rn.
10. Гомеоморфное продолжение на границу
Комбинируя результаты секций 6–9, получаем следующие утвер-
ждения.
Теорема 10.1. Пусть D — область в R
n, n > 2, Q : D → (0,∞) —
измеримая функция, и пусть f : D → R
n — нижний Q-гомеомор-
физм в D. Предположим, что область D локально связна на ∂D,
а область D′ = f(D) имеет слабо плоскую границу. Если в каждой
точке x0 ∈ ∂D
δ(x0)
∫
0
dr
‖Q‖n−1(x0, r)
= ∞ (10.1)
для некоторого δ(x0) ∈ (0, d(x0)), где
d(x0) = sup
x∈D
|x − x0|, (10.2)
Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов 181
‖Q‖n−1(x0, r) =
(
∫
D∩S(x0,r)
Qn−1(x) dA
)
1
n−1
, (10.3)
то f имеет гомеоморфное продолжение на замыкание D на D ′ в Rn.
Отсюда мы, в частности, получаем следующее обобщение извест-
ной теоремы Геринга–Мартио о гомеоморфном продолжении на гра-
ницу квазиконформных отображений между QED областями, см. [6,
с. 196], ср. также [19, с. 36].
Теорема 10.2. Пусть D и D′ — области со слабо плоскими грани-
цами в R
n, n > 2, а Q : D → (0,∞) — измеримая функция, удов-
летворяющая условию (10.1) в каждой точке x0 ∈ ∂D. Тогда любой
нижний Q-гомеоморфизм f между областями D и D′ допускает
гомеоморфное продолжение f : D → D′ в Rn.
Теорема 10.3. Пусть D — область в R
n, n > 2, Q : D → (0,∞) —
измеримая функция, и пусть f : D\X → Rn, X ⊂ D, — нижний Q-
гомеоморфизм. Если X и C(X, f) являются NED множествами, и
условие (10.1) имеет место в каждой точке x0 ∈ X для δ(x0) <
dist(x0, ∂D), где
‖Q‖n−1(x0, r) =
(
∫
|x−x0|=r
Qn−1(x) dA
)
1
n−1
, (10.4)
то f имеет гомеоморфное продолжение в D в смысле Rn.
Замечание 10.1. В частности, заключение теоремы 10.3 имеет мес-
то, если X — замкнутое множество в D с
Hn−1(X) = 0 = Hn−1(C(X, f)), (10.5)
а условие (10.1) имеет место, если
Q(x) = O
(
log
1
|x − x0|
)
(10.6)
при x → x0, или более общо, в терминах интегральных средних по
сферам, если
∫
−
S(x0,r)
Qn−1(x) dA = O
(
logn−1 1
r
)
(10.7)
при r → 0, где Q подразумевается продолженной нулем вне D.
182 К теории нижних Q-гомеоморфизмов
Таким образом, результаты статьи распространяют хорошо изве-
стные теоремы Дж. Вяйсяля, М. Вуоринена, Ф. Геринга, О. Мар-
тио, Р. Някки и др. для квазиконформных отображений на нижние
Q-гомеоморфизмы, которые являются их естественным обобщением,
см., напр., [6, 19,25,33,37,38], ср. также [11,12,20,21,28].
Ввиду ограничений на объем, приложения полученных результа-
тов к теории отображений класса Соболева, с конечным искажением
площади и конечно билипшицевым отображениям будут предметом
отдельной статьи, см. [16].
Литература
[1] C. Andreian Cazacu, Some formulae on the extremal length in n-dimensional case,
Proc. Rom.-Finn. Sem. on Teichmüller Spaces and Quasiconformal Mappings
(Brazov, 1969), pp. 87–102, Publ. House of Acad. Soc. Rep. Romania, Bucharest,
1971.
[2] Ch. Bishop, V. Ya. Gutlyanski, O. Martio, M. Vuorinen, On conformal dilatation
in space // Int. J. Math. Sci., 22 (2003), 1397–1420.
[3] H. Federer, Geometric Measure Theory, Springer, Berlin etc., 1969.
[4] F. W. Gehring, Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer.
Math. Soc., 103 (1962), N 3, 353–393.
[5] F. W. Gehring, Quasiconformal mappings, in Complex Analysis and its Appli-
cations, V. 2, International Atomic Energy Agency, Vienna, 1976.
[6] F. W. Gehring and O. Martio, Quasiextremal distance domains and extension of
quasiconformal mappings // J. d’Anal. Math., 24 (1985), 181–206.
[7] A. Golberg, Homeomorphisms with finite mean dilatations // Contemporary
Math. 382 (2005), 177–186.
[8] V. Gutlyanski, V. Ryazanov, On the boundary correspondence under quasi-
conformal mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. A1. Math., 21 (1996), N 1, 167–178.
[9] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya, Inequalities, Cambridge Univ. Press,
Cambridge, 1934.
[10] J. Hesse, A p-extremal length and p-capacity equality // Ark. Mat., 13 (1975),
131–144.
[11] A. Ignat’ev, V. Ryazanov, Finite mean oscillation in the mapping theory // Ukrai-
nian Math. Bull., 2 (2005), N 3, 403–424.
[12] A. Ignat’ev, V. Ryazanov, To the theory of the boundary behavior of space mappi-
ngs // Ukrainian Math. Bull., 3 (2006), N 2, 199–211.
[13] T. Iwaniec, G. Martin, Geometrical Function Theory and Non-linear Analysis,
Clarendon Press, Oxford, 2001.
[14] T. Iwaniec, V. Šverák, On mappings with integrable dilatation // Proc. Amer.
Math. Soc., 118, (1993), 181–188.
[15] Д. А. Ковтонюк, В. Рязанов, О границах пространственных областей //
Труды ИПММ НАН Украины, 13 (2006), 110–120.
[16] D. Kovtonyuk, V. Ryazanov, On the theory of mappings with finite area distorti-
on // J. Anal. Math., 104 (2008), 291–306.
Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов 183
[17] O. Lehto, K. I. Virtanen, Quasiconformal mappings in the plane, New York–
Heidelberg, Springer, 1973.
[18] A. J. Lohwater, The boundary behavior of a quasiconformal mapping // Rational
Mech. Anal., 5 (1956), 335–342.
[19] O. Martio, M. Vuorinen, Whitney cubes, p-capacity and Minkowski coutent //
Expo. Math., 5 (1987), 17–40.
[20] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Mappings with finite length
distortion // J. Anal. Math., 93 (2004), 215–236.
[21] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On Q-omeomorphisms // Ann.
Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math., 30 (2005), 49–69.
[22] O. Martio, J. Sarvas, Injectivity theorems in plane and space // Ann. Acad. Sci.
Fenn. Ser. A1. Math., 4, (1978/1979), 383–401.
[23] В. М. Миклюков, Об устранимых особенностях квазиконформных отобра-
жений в пространстве // Докл. АН СССР, 188 (1969), N 3, 525–527.
[24] В. М. Миклюков, О некоторых граничных задачах теории конформных ото-
бражений // Сиб. матем. ж., 18 (1977), N 5, 1111–1124.
[25] R. Näkki, Boundary behavior of quasiconformal mappings in n-space distances //
Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math., 484 (1970), 1–50.
[26] M. Ohtsuka, Extremal length and precise functions, Gakuto International Series,
Math. Sci. & Appl., 19, 2003, 343 pp.
[27] T. Rado, P. V. Reichelderfer, Continuous transformations in analysis, Berlin etc.,
Springer, 1955.
[28] V. Ryazanov and R. Salimov, Weakly flat spaces and boundaries in the mapping
theory // Ukrainian Math. Bull., 4 (2007), N 2, 199–234.
[29] S. Saks, Theory of the Integral, New York, Dover Publ. Inc., 1964.
[30] V. A. Shlyk, On the equality between p-capacity and p-modulus // Sibirsk. Mat.
Zh., 34 (1993), N 6, 216–221; transl. in Siberian Math. J., 34 (1993), N 6, 1196–
1200.
[31] U. Srebro, E. Yakubov, Boundary behavior of conformal and quasiconformal
mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math., 8 (1983), N 1, 139–148.
[32] П. М. Тамразов, Модули и экстремальные метрики в неориентированных
и скрученных римановых многообразиях // Укр. матем. ж., 50 (1998), N 10,
1388–1398.
[33] J. Väisälä, Lectures on n−Dimensional Quasiconformal Mappings, Lecture Notes
in Math. 229, Berlin etc., Springer–Verlag, 1971.
[34] J. Väisälä, On the null-sets for extremal distances // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser.
A1. Math., 322 (1962), 1–12.
[35] С. К. Водопьянов, В. М. Гольдштейн, О граничном соответствии при ква-
зиконформных отображениях пространственных областей // Сиб. матем.
ж., 16 (1975), N 3, 630–633.
[36] M. Vuorinen, Conformal Geometry and Quasiregular Mappings, Lecture Notes in
Math. 1319, Berlin etc., Springer–Verlag, 1988.
[37] M. Vuorinen, Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in
n-space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math., Dissertattiones, no. 11, 1976,
44 pp.
184 К теории нижних Q-гомеоморфизмов
[38] M. Vuorinen, Lower bounds for the moduli of path families with applications to
nontangential limits of quasiconformal mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser.
A1. Math., 2 (1979), 279–291.
[39] R. L. Wilder, Topology of Manifolds, AMS, New York, 1949.
[40] W. P. Ziemer, Extremal length and conformal capacity // Trans. Amer. Math.
Soc., 126 (1967), N 3, 460–473.
Сведения об авторах
Денис
Александрович
Ковтонюк,
Владимир Ильич
Рязанов
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины,
Розы Люксембург 74,
Донецк, 83114,
Украина,
E-Mail: denis_kovtonyuk@bk.ru,
vlryazanov1@rambler.ru
|