Деякі операторні рівняння, що містять функції від оператора Помм'є
У класi лiнiйних неперервних операторiв, що дiють у просторах аналiтичних функцiй, дослiджено розв’язки деяких операторних рiвнянь, якi мiстять функцiї вiд оператора Помм’є....
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Series: | Український математичний вісник |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124336 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Деякі операторні рівняння, що містять функції від оператора Помм'є / Н.Є. Лінчук, С.С. Лінчук // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 2. — С. 193-202. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124336 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243362017-09-24T03:03:39Z Деякі операторні рівняння, що містять функції від оператора Помм'є Лінчук, Н.Є. Лінчук, С.С. У класi лiнiйних неперервних операторiв, що дiють у просторах аналiтичних функцiй, дослiджено розв’язки деяких операторних рiвнянь, якi мiстять функцiї вiд оператора Помм’є. 2008 Article Деякі операторні рівняння, що містять функції від оператора Помм'є / Н.Є. Лінчук, С.С. Лінчук // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 2. — С. 193-202. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 47B38. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124336 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
У класi лiнiйних неперервних операторiв, що дiють у просторах аналiтичних функцiй, дослiджено розв’язки деяких операторних рiвнянь, якi мiстять функцiї вiд оператора Помм’є. |
| format |
Article |
| author |
Лінчук, Н.Є. Лінчук, С.С. |
| spellingShingle |
Лінчук, Н.Є. Лінчук, С.С. Деякі операторні рівняння, що містять функції від оператора Помм'є Український математичний вісник |
| author_facet |
Лінчук, Н.Є. Лінчук, С.С. |
| author_sort |
Лінчук, Н.Є. |
| title |
Деякі операторні рівняння, що містять функції від оператора Помм'є |
| title_short |
Деякі операторні рівняння, що містять функції від оператора Помм'є |
| title_full |
Деякі операторні рівняння, що містять функції від оператора Помм'є |
| title_fullStr |
Деякі операторні рівняння, що містять функції від оператора Помм'є |
| title_full_unstemmed |
Деякі операторні рівняння, що містять функції від оператора Помм'є |
| title_sort |
деякі операторні рівняння, що містять функції від оператора помм'є |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124336 |
| citation_txt |
Деякі операторні рівняння, що містять функції від оператора Помм'є / Н.Є. Лінчук, С.С. Лінчук // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 2. — С. 193-202. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT línčuknê deâkíoperatornírívnânnâŝomístâtʹfunkcíívídoperatorapommê AT línčukss deâkíoperatornírívnânnâŝomístâtʹfunkcíívídoperatorapommê |
| first_indexed |
2025-07-09T01:16:55Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:16:55Z |
| _version_ |
1837130128864313344 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 5 (2008), № 2, 193 – 202
Деякi операторнi рiвняння, що мiстять функцiї
вiд оператора Помм’є
Надiя Є. Лiнчук, Степан С. Лiнчук
(Представлена В. Я. Гутлянським)
Анотацiя. У класi лiнiйних неперервних операторiв, що дiють у
просторах аналiтичних функцiй, дослiджено розв’язки деяких опе-
раторних рiвнянь, якi мiстять функцiї вiд оператора Помм’є
2000 MSC. 47B38.
Ключовi слова та фрази. Лiнiйнi неперервнi оператори в просто-
рах аналiтичних функцiй, операторнi рiвняння, оператор Помм’є.
Нехай G — довiльна область комплексної площини. Через H(G)
позначимо простiр усiх аналiтичних в областi G функцiй, що на-
дiлений топологiєю компактної збiжностi, а через H′(G) — про-
стiр усiх лiнiйних неперервних функцiоналiв на H(G). Символом
L(H(G1),H(G2)) позначимо множину всiх лiнiйних неперервних опе-
раторiв, що дiють з H(G1) в H(G2). Якщо 0 ∈ G, то через ∆ по-
значимо оператор Помм’є, який лiнiйно та неперервно дiє в H(G) за
правилом: (∆f)(z) = f(z)−f(0)
z
при z 6= 0 i (∆f)(0) = f ′(0). Оператор
Помм’є є модельним для просторiв аналiтичних функцiй. Багаточи-
сельнi дослiдження з теорiї операторiв присвячено вивченню рiзнома-
нiтних задач, пов’язаних з оператором Помм’є [1]. Оператор Помм’є
є спряженим до оператора множення на незалежну змiнну в просто-
рах Хардi. Дослiдження його властивостей у цих просторах прове-
дено в [2]. В монографiї [3] систематизовано результати, пов’язанi з
операторами Помм’є, якi дiють у просторах функцiй, аналiтичних у
кругових областях. В [4] доведено, що формулою
(Tf)(z) = L
ζ
[
zf(z) − ζf(ζ)
z − ζ
]
, (1)
Стаття надiйшла в редакцiю 30.01.2008
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
194 Деякi операторнi рiвняння...
де L — довiльний функцiонал iз H′(G), визначається загальний ви-
гляд операторiв T ∈L(H(G),H(G)), якi комутують з оператором ∆. В
статтi [5] наведено iнше доведення формули (1) зображення комутан-
та оператора Помм’є. В данiй статтi вивчаються загальнi операторнi
рiвняння, якi мiстять функцiї вiд оператора Помм’є. З цiєю метою ви-
користовується iнтегральне зображення Кете [6] операторiв з класу
L(H(G1), H(G2)).
Нехай G1 i G2 — довiльнi областi комплексної площини, а G
(n)
i ,
i = 1, 2; n = 1, 2, . . . — послiдовностi областей, якi апроксимують зсе-
редини вiдповiдну область Gi, тобто G
(n)
i ⊂ G
(n+1)
i , Gi =
⋃∞
n=1G
(n)
i .
Вважатимемо, що кожна з областей G
(n)
i є обмеженою скiнченною
кiлькiстю замкненених спрямних жорданових кривих, причому зв’я-
знiсть G
(n)
i не перевищує зв’язностi Gi, i = 1, 2; n = 1, 2, . . .. Якщо
T ∈ L(H(G1),H(G2)), то функцiя
t(λ, z) = T
[
1
λ− z̃
]
, λ ∈ ∁G1, z ∈ G2, z̃ ∈ G1, (2)
є локально аналiтичною на множинi ∁G1×G2, тобто iснує монотонно
зростаюча функцiя N(n) : N −→ N така, що для кожного натураль-
ного n функцiя t(λ, z) є аналiтичною на множинi ∁G
(N(n))
1 × G
(n)
2 ;
t(∞, z) = 0. Якщо m > n, то функцiя t(λ, z), яка визначена на мно-
жинах ∁G
(N(n))
1 ×G
(n)
2 i ∁G
(N(m))
1 ×G
(m)
2 збiгається на їхньому перетинi
∁G
(N(m))
1 ×G
(n)
2 . Для g ∈ H(G1) при z ∈ G
(n)
2 виконується рiвнiсть
(Tg)(z) =
1
2πi
∫
γn
t(λ, z)g(λ) dλ, (3)
де γn — межа областi G
(N(n)+1)
1 .
Навпаки, якщо функцiя t(λ, z) є локально-аналiтичною на множи-
нi ∁G1×G2, то вона є аналiтичною на множинi F=
⋃∞
n=1 ∁G
(N(n))
1 ×G
(n)
2
i рiвнiстю (3) визначається оператор T ∈ L(H(G1),H(G2)). Таким чи-
ном, формулами (2) та (3) встановлюється взаємно однозначна вiд-
повiднiсть мiж локально аналiтичними на множинi ∁G1 × G2 фун-
кцiями t(λ, z) i операторами T ∈ L(H(G1),H(G2)). Функцiю t(λ, z)
називають характеристичною за Кете функцiєю оператора T . Нехай
H(∁G) — простiр локально аналiтичних на множинi ∁G функцiй, тодi
H′(G) є iзоморфним до простору H(∁G) [6]. Формула
Н. Є. Лiнчук, С. С. Лiнчук 195
l(λ) = L
z
[
1
λ− z
]
(4)
встановлює вiдповiднiсть мiж L ∈ H ′(G) i l ∈ H(∁G). Функцiя l(λ)
називається характеристичною для функцiонала L.
Нехай функцiя ψ(λ) така, що t(λ, z) =
ψ( 1
λ
)
λ−z
є локально аналiти-
чною на множинi ∁G×G. Тодi формулою
(ψ(∆)g)(z) =
1
2πi
∫
γn
ψ( 1
λ
)
λ− z
g(λ) dλ (5)
визначається оператор ψ(∆) ∈L(H(G),H(G)) (контур iнтегрування
γn в (5) вибирається за означенням локально аналiтичної функцiї
t(λ, z)). Оператор виду (5) називається функцiєю вiд оператора Пом-
м’є [7]. Оператор (1) є функцiєю вiд оператора Помм’є. Тому кому-
тант оператора ∆ в H(G) збiгається з множиною операторiв, якi є
функцiями вiд оператора ∆.
Нехай Gj — довiльнi областi комплексної площини, якi мiстять
точку 0, а ϕj(∆) — лiнiйнi неперервнi оператори, що дiють в H(Gj),
j = 1, 2. Оператори ϕj(∆) породженi характеристичними функцiями
ϕj(
1
λ
)
λ−z
, якi локально аналiтичнi вiдповiдно на множинах ∁Gj×Gj (j =
1, 2). В цiй статтi вивчається операторне рiвняння виду
Tϕ1(∆) = ϕ2(∆)T (6)
у класi лiнiйних неперервних операторiв T ∈ L(H(G1),H(G2)).
Доведемо основний результат цiєї статтi.
Теорема 1. Нехай G1 i G2 — довiльнi областi в C, що мiстять
точку 0, а оператори ϕ1(∆) i ϕ2(∆) неперервно дiють вiдповiдно
в H(G1) i H(G2). Для того, щоб оператор T ∈ L(H(G1),H(G2)) з
характеристичною функцiєю t(λ, z) був розв’язком рiвняння (6) не-
обхiдно i достатньо, щоб функцiя (ϕ1(
1
λ
) − ϕ2(
1
z
))t(λ, z) аналiтично
продовжувалася на множину ∁G1 × ∁G2, (λ ∈ ∁G1, z ∈ ∁G2).
Доведення. Необхiднiсть. Нехай оператор T ∈ L(H(G1),H(G2)) з
характеристичною функцiєю t(λ, z) задовольняє рiвняння (6). Через
t1(λ, z) позначимо характеристичну функцiю оператора ϕ2(∆)T . За-
фiксуємо n таким, що функцiя
ϕ2( 1
λ
)
λ−z
є аналiтичною при λ ∈ ∁G
(2)
n i
z ∈ G
(2)
n . Нехай γn+1 = ∂G
(2)
n+1. Тодi для z ∈ G
(2)
n+1 i g ∈ H(G2) згiдно
(5) маємо:
196 Деякi операторнi рiвняння...
(ϕ2(∆)g)(z) =
1
2πi
∫
γn+1
ϕ2(
1
τ
)
τ − z
g(τ) dτ. (7)
За числом n+1 вибираємо номер N(n+1) таким, щоб характеристи-
чна функцiя t(λ, z) оператора T була аналiтичною при λ ∈ H
(1)
N(n+1)
i z ∈ G
(2)
n+1, де H
(1)
N(n+1) = ∁G
(1)
N(n+1). Тодi для λ ∈ H
(1)
N(n+1) i z ∈
G
(2)
n+1 \G
(2)
n одержимо:
t1(λ, z) =
1
2πi
∫
γn+1
t(λ, τ)
ϕ2(
1
τ
)
τ − z
dτ
= ϕ2
(1
z
)
t(λ, z) +
1
2πi
∫
γn+1
t(λ, τ)
ϕ2(
1
τ
) − ϕ2(
1
z
)
τ − z
dτ.
Зафiксуємо m таким, щоб m > N(n + 1) i функцiя
ϕ1( 1
λ
)
λ−z
була аналi-
тичною на множинi ∁G
(1)
m ×G
(1)
m . Тодi при λ ∈ H
(1)
m i z ∈ G
(2)
n+1 маємо:
t1(λ, z) = ϕ1(
1
λ
)t(λ, z). Прирiвнюючи одержанi вирази для t1(λ, z) ма-
тимемо, що при λ ∈ H
(1)
m i z ∈ G
(2)
n+1 \G
(2)
n виконується рiвнiсть
(
ϕ1
( 1
λ
)
− ϕ2
(1
z
))
t(λ, z) =
1
2πi
∫
γn+1
t(λ, τ)
ϕ2(
1
τ
) − ϕ2(
1
z
)
τ − z
dτ. (8)
Але функцiя t2(λ, z) = 1
2πi
∫
γn+1
t(λ, τ)
ϕ2( 1
τ
)−ϕ2( 1
z
)
τ−z
dτ є аналiтичною
при λ ∈ ∁G
(1)
m i z ∈ ∁G
(2)
n . Тому з (8) випливає, що функцiя (ϕ1(
1
λ
) −
ϕ2(
1
z
))t(λ, z) аналiтично продовжується на множину ∁G1 × ∁G2 (λ ∈
∁G1, z ∈ ∁G2).
Достатнiсть. Нехай функцiя t2(λ, z) = (ϕ1(
1
λ
) − ϕ2(
1
z
))t(λ, z)
аналiтично продовжується на множину ∁G1 × ∁G2. Покажемо, що
оператор T з характеристичною функцiєю t(λ, z) задовольняє рiвня-
ння (6). Зафiксуємо числа m i n такими, щоб функцiя t2(λ, z) була
аналiтичною на множинi ∁G
(1)
m × ∁G
(2)
n . Не порушуючи загальностi
вважатимемо, що функцiї
ϕ1( 1
λ
)
λ−z
i
ϕ2( 1
λ
)
λ−z
є аналiтичними вiдповiдно на
множинах ∁G
(1)
m ×G
(1)
m i ∁G
(2)
n ×G
(2)
n . Нехай Γn+1 = ∂(G
(2)
n+1). Тодi для
довiльної функцiї g ∈ H(G1) при z ∈ G
(2)
n+1 маємо:
Н. Є. Лiнчук, С. С. Лiнчук 197
(ϕ2(∆)Tg)(z) =
1
2πi
∫
Γn+1
ϕ2(
1
λ
)
λ− z
(Tg)(λ) dλ. (9)
За означенням локально аналiтичної на множинi ∁G1 × G2 функцiї
t(λ, z) для числа n+ 2 iснує натуральний номер N(n+ 2) > m такий,
що для довiльної функцiї g ∈ H(G1) при z ∈ G
(2)
n+2 маємо
(Tg)(z) =
1
2πi
∫
γn
t(τ, z)g(τ) dτ, (10)
де γn = ∂(G
(1)
N(n+2)+1). Тодi, згiдно (9) та (10) одержимо:
(ϕ2(∆)Tg)(z)
=
1
(2πi)2
∫
Γn+1
ϕ2(
1
λ
)
λ− z
dλ
∫
γn
t(τ, z)g(τ) dτ
=
1
(2πi)2
∫
γn
g(τ) dτ
(
∫
Γn+1
(ϕ2(
1
λ
) − ϕ1(
1
τ
))t(τ, λ)
λ− z
dλ
+
∫
Γn+1
ϕ1(
1
τ
)t(τ, λ)
λ− z
dλ
)
=
1
2πi
∫
γn
g(τ)ϕ1(
1
τ
) dτ
1
2πi
∫
Γn+1
t(τ, λ)
λ− z
dλ
=
1
2πi
∫
γn
ϕ1(
1
τ
)t(τ, z)g(τ) dτ
=
1
2πi
∫
γn+1
ϕ1(
1
τ
)t(τ, z)g(τ) dτ,
де z ∈ G
(2)
n+1, а γn+1 = ∂(G
(1)
N(n+2)+2).
З iншого боку, при z ∈ G
(2)
n+1 маємо:
(Tϕ1(∆)g)(z) =
1
2πi
∫
γn
t(λ, z)(ϕ1(∆)g)(λ) dλ
=
1
(2πi)2
∫
γn
t(λ, z) dλ
∫
γn+1
ϕ1(
1
τ
)
τ − λ
g(τ) dτ
198 Деякi операторнi рiвняння...
=
1
2πi
∫
γn+1
ϕ1(
1
τ
)g(τ) dτ
1
2πi
∫
γn
t(λ, z)
τ − λ
dλ
=
1
2πi
∫
γn+1
ϕ1(
1
τ
)t(τ, z)g(τ) dτ.
Теорема 1 доведена.
Наведемо деякi застосування теореми 1.
Нехай Gj — довiльнi областi комплексної площини, що мiстять
точку 0, j = 1, 2. Для P (z) =
∑m
k=0 pkz
k, pm 6= 0, m ≥ 1, через P (∆)
позначимо оператор (P (∆)g)(z) =
∑n
k=0 pk(∆
kg)(z). Для ϕ(∆) ∈
L(H(G1),H(G1)) розглянемо операторне рiвняння виду
Tϕ(∆) = P (∆)T (11)
у класi операторiв T ∈ L(H(G1),H(G2)).
Теорема 2. Для того, щоб оператор T ∈ L(H(G1),H(G2)) був роз-
в’язком рiвняння (11) необхiдно i достатньо, щоб iснували функцiї
lk ∈ H(∁G1), k = 0,m− 1, такi, що для характеристичної функцiї
t(λ, z) оператора T на деякiй множинi F виконувалася рiвнiсть
(zmP (
1
z
) − zmϕ(
1
λ
))t(λ, z) =
m−1
∑
k=0
lk(λ)zk. (12)
Якщо (12) виконується, то формулою (10) визначається оператор
T ∈ L(H(G1),H(G2)), що задовольняє рiвняння (11).
Доведення. Необхiднiсть. Нехай оператор T ∈ L(H(G1),H(G2)) з
характеристичною функцiєю t(λ, z) задовольняє рiвняння (11). З до-
ведення необхiдностi умов теореми 1 випливає що для довiльного чи-
сла n iснує натуральне число m = m(n) таке, що при λ ∈ H
(1)
m(n) i
z ∈ G
(2)
n+1 виконується рiвнiсть
(ϕ(
1
λ
) − P (
1
z
))t(λ, z) =
1
2πi
∫
γn
t(λ, τ)
P ( 1
τ
) − P (1
z
)
τ − z
dτ (13)
(див. формулу (8)). Оскiльки при τ, z ∈ C, τ 6= z,
P ( 1
τ
) − P (1
z
)
τ − z
= −z−m
m−1
∑
k=0
Pk(τ)z
k,
Н. Є. Лiнчук, С. С. Лiнчук 199
де
Pk(τ) =
k
∑
j=0
pm−k+jτ
−(j+1) ∈ H(∁G2), k = 0,m− 1,
то рiвнiсть (13) набуває вигляду (12), де lk(λ) = 1
2πi
∫
γn
t(λ, τ)Pk(τ) dτ ,
lk ∈ H(∁G1). Необхiднiсть умов теореми 2 доведено.
Достатнiсть умов теореми 2 випливає з теореми 1.
Наслiдок 1. Якщо P (G−1
2 )
⋂
ϕ((∁G1)
−1) = Ø, то формулою (10), де
t(λ, z) =
(
zmP
(1
z
)
− zmϕ
( 1
λ
))−1
m−1
∑
k=0
lk(λ)zk, (14)
а lk(λ) ∈ H(∁G1), k = 0,m− 1, дається загальний розв’язок рiвняння
(11).
Застосуємо одержанi результати до рiвняння виду
T∆m = ∆mT. (15)
Теорема 3. Нехай G1 i G2 — довiльнi областi в C, що мiстять
точку 0, i ωkG2 ⊂ G1 при k = 0,m− 1, де ω = exp 2πi
m
. Для то-
го, щоб оператор T ∈ L(H(G1),H(G2)) був розв’язком рiвняння (15)
необхiдно i достатньо, щоб вiн зображався у виглядi
(Tf)(z) =
m−1
∑
j=0
m−1
∑
k=0
zkLk
ζ
[
ωjzf(ωjz) − ζf(ζ)
ωjz − ζ
]
, (16)
де Lk (k = 0,m− 1) — деякi лiнiйнi неперервнi функцiонали з H′(G1).
Доведення. Необхiднiсть. Нехай оператор T ∈ L(H(G1),H(G2)) з ха-
рактеристичною функцiєю t(λ, z) задовольняє рiвняння (15). Оскiль-
ки ωkG2 ⊂ G1, k = 0,m− 1, то за наслiдком 1 iснують функцiї
lk ∈ H(∁G1) такi, що для характеристичної функцiї t(λ, z) оператора
T на множинi F виконується рiвнiсть
t(λ, z) =
λm
λm − zm
m−1
∑
k=0
lk(λ)zk. (17)
Розклавши функцiю λm
λm−zm на простi дроби, одержимо, що
t(λ, z) =
m−1
∑
j=0
m−1
∑
k=0
zk
m
λlk(λ)
λ− ωjz
.
200 Деякi операторнi рiвняння...
Оскiльки функцiїm−1lk(λ) є локально аналiтичними на множинi ∁G1,
то iснують функцiонали Lk ∈ H′(G1), для яких цi функцiї є характе-
ристичними. Розглянемо оператор
(T1f)(z) =
m−1
∑
j=0
m−1
∑
k=0
zkLk
ζ
[
ωjzf(ωjz) − ζf(ζ)
ωjz − ζ
]
.
Оскiльки ωkG2 ⊂ G1 при k = 0,m− 1, то оператор T1 ∈ L(H(G1),
H(G2)). Безпосередньою перевiркою переконуємося в тому, що ха-
рактеристична функцiя оператора T1 збiгається з характеристичною
функцiєю оператора T , яка визначена формулою (17). Тому T = T1.
Достатнiсть. При виконаннi умов теореми 3, формулою (16)
визначається оператор T з класу L(H(G1),H(G2)). Оскiльки хара-
ктеристична функцiя оператора T подається у виглядi (17), то за
наслiдком 1 оператор T задовольняє спiввiдношення (15). Теорема 3
доведена.
Теорема 4. Нехай G1 — однозв’язна, а G2 — довiльна областi в C,
що мiстять точку 0, а P (z) i ϕ(λ) такi ж як i в теоремi 2. Якщо
для деякого λ, λ ∈ ∁G1, усi коренi рiвняння P (1
z
) = ϕ( 1
λ
) вiдносно z
лежать всерединi областi G2, то рiвняння (11) має лише нульовий
розв’язок.
Доведення. Нехай t(λ, z) є характеристичною функцiєю оператора
T ∈ L(H(G1),H(G2)), який є розв’язком рiвняння (11). Тодi за теоре-
мою 2 iснують функцiї lk ∈ H(∁G1), k = 0,m− 1, такi, що на множинi
F виконується рiвнiсть (12). Зафiксуємо λ′ ∈ ∁G1, для якого усi ко-
ренi рiвняння P (1
z
) = ϕ( 1
λ′
) вiдносно z лежать в областi G2. Вiзьмемо
натуральне число n таким, щоб вказанi розв’язки належали множи-
нi G
(2)
n . Нехай N(n) таке, що на множинi H
(1)
N(n) × G
(2)
n виконується
рiвнiсть (12). Рiвняння P (1
z
) = ϕ( 1
λ′
) має m коренiв, якi належать
вiдкритiй множинi G
(2)
n . Коренi рiвняння P (1
z
) = ϕ( 1
λ′
) неперервно
залежать вiд λ′. Тому iснує окiл Vε = {λ ∈ C : |λ − λ′| < ε} точки
λ′, Vε ⊂ H
(1)
N(n), такий, що для довiльного λ ∈ Vε всi коренi рiвнян-
ня P (1
z
) = ϕ( 1
λ′
) також належать множинi G
(2)
n . Тодi з рiвностi (12)
випливає, що при кожному λ ∈ Vε рiвняння
∑m−1
k=0 lk(λ)zk = 0 вiдно-
сно z має m коренiв (враховуючи їхнi кратностi). Тому lk(λ) = 0 для
λ ∈ Vε. За теоремою єдиностi lk(λ) ≡ 0 в ∁G1 при k = 0,m− 1, оскiль-
ки ∁G1 є зв’язною множиною. Таким чином, з рiвностi (12) випливає,
що t(λ, z) ≡ 0, тобто T = 0.
Н. Є. Лiнчук, С. С. Лiнчук 201
Застосуємо одержанi результати до дослiдження деяких конкре-
тних операторних рiвнянь для P (∆) = ∆.
Наслiдок 2. Нехай G1 i G2 — довiльнi однозв’язнi областi в C, що
мiстять точку 0, ϕ(∆) ∈ L(H(G1)). Для того, щоб рiвняння
Tϕ(∆) = ∆T (18)
у класi L(H(G1),H(G2)) мало ненульовий розв’язок, необхiдно i до-
статньо, щоб G−1
2
⋂
ϕ((∁G1)
−1) = Ø. Якщо виконується остання
умова, то загальний розв’язок рiвняння (18) дається формулою
(Tg)(z) =
1
2πi
∫
γn
l0(λ)
1 − zϕ( 1
λ
)
g(λ) dλ,
де l0 ∈ H(∁G1).
Перша частина цього наслiдку випливає з наслiдку 1, а друга —
з теореми 2.
Наслiдок 3. Нехай G1 i G2 — довiльнi однозв’язнi областi в C, що
мiстять точку 0. Для того, щоб операторне рiвняння
T∆ = ∆T (19)
мало ненульовий розв’язок в L(H(G1),H(G2)), необхiдно i достатньо,
щоб G2 ⊂ G1. При виконаннi цiєї умови, загальний розв’язок рiвня-
ння (19) дається формулою
(Tf)(z) = L
ζ
[
zf(z) − ζf(ζ)
z − ζ
]
,
де L ∈ H′(G1).
Наслiдок 4. При виконаннi умов наслiдку 3, оператор ∆ в H(G1)
еквiвалентний до оператора ∆ в H(G2) тодi i тiльки, коли G1 = G2.
Результати цiєї статтi можна застосувати до дослiдження розв’яз-
кiв операторного рiвняння (15) у класi L(H(G1),H(G2)), де G1, G2 —
довiльнi областi в C. Також є цiкавою задача про опис розв’язкiв
операторного рiвняння T∆m = ∆nT при m 6= n.
202 Деякi операторнi рiвняння...
Лiтература
[1] Н. К. Никольский, Инвариантные подпространства в теории операторов
и теории функций // Итоги науки и техники. Математический анализ, 27
(1974), 199–412.
[2] Н. К. Никольский, Лекции об операторе сдвига, Наука, Москва, 1980, 383 c.
[3] М. I. Нагнибiда, Оператори Помм’є в просторi аналiтичних у крузi функ-
цiй, Київ, 1997, 125 с.
[4] Н. Е. Линчук, Представление коммутантов оператора Поммье и их прило-
жения // Матем. заметки 44 (1988), N 6, 794–802.
[5] I. H. Dimovski, V. Z. Hristov, Commutants of the Pommiez operator // Int. J.
Math. Math. Sci. (2005), N 8, 1239–1251.
[6] G. Köthe, Dualität in der Funktionentheorie // J. reine und angew. Math., 191
(1953), 30–49.
[7] Н. Є. Лiнчук, С. С. Лiнчук, Про один клас операторних рiвнянь у просторi
аналiтичних функцiй // Наук. вiсн. Чернiвецького ун-ту. Математика, 46
(1999), 67–71.
Вiдомостi про авторiв
Надiя Євгенiвна
Лiнчук,
Степан
Степанович
Лiнчук
Чернiвецький нацiональний унiверситет,
Коцюбинського 2,
Чернiвцi, 58012
Україна
E-Mail: nesslin.new@gmail.com
|