О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами

Рассматривается краевая задача для дифференциального оператора n-го порядка с матричными коэффициентами и разделенными граничными условиями и доказывается полнота системы собственных и присоединенных функций этой задачи в пространстве L₂([0, 1], Cp)....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автор:	Агибалова, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2008
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124342
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами / А.В. Агибалова // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 293-304. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124342
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1243422017-09-24T03:03:11Z О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами Агибалова, А.В. Рассматривается краевая задача для дифференциального оператора n-го порядка с матричными коэффициентами и разделенными граничными условиями и доказывается полнота системы собственных и присоединенных функций этой задачи в пространстве L₂([0, 1], Cp). 2008 Article О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами / А.В. Агибалова // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 293-304. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 34L10. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124342 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассматривается краевая задача для дифференциального оператора n-го порядка с матричными коэффициентами и разделенными граничными условиями и доказывается полнота системы собственных и присоединенных функций этой задачи в пространстве L₂([0, 1], Cp).
format	Article
author	Агибалова, А.В.
spellingShingle	Агибалова, А.В. О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами Український математичний вісник
author_facet	Агибалова, А.В.
author_sort	Агибалова, А.В.
title	О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами
title_short	О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами
title_full	О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами
title_fullStr	О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами
title_full_unstemmed	О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами
title_sort	о краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124342
citation_txt	О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами / А.В. Агибалова // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 293-304. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT agibalovaav okraevyhzadačahdlâobyknovennogodifferencialʹnogooperatorasmatričnymikoéfficientami
first_indexed	2025-07-09T01:17:31Z
last_indexed	2025-07-09T01:17:31Z
_version_	1837130166360342528
fulltext	Український математичний вiсник Том 5 (2008), № 3, 293 – 304 О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами Анна В. Агибалова (Представлена М. М. Маламудом) Аннотация. Рассматривается краевая задача для дифференци- ального оператора n-го порядка с матричными коэффициентами и разделенными граничными условиями и доказывается полнота си- стемы собственных и присоединенных функций этой задачи в про- странстве L2([0, 1], C p). 2000 MSC. 34L10. Ключевые слова и фразы. Дифференциальный оператор, крае- вая задача, собственные и присоединенные функции, полнота. В пространстве вектор-функций L2([0, 1], C p) рассмотрим грани- чную задачу, порожденную дифференциальным уравнением l(y) := y(n) + n−1 ∑ k=0 Pk(x)y(k) = λy (1) и распадающимися нормированными краевыми условиями Uj(y) = n−1 ∑ k=0 Ajky (k)(0) = Ipy (kj)(0) + kj−1 ∑ k=0 Ajky (k)(0) = 0, j ∈ {1, . . . , l}, (2) Статья поступила в редакцию 13.09.2008 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 294 О краевых задачах... Uj(y) = n−1 ∑ k=0 Bjky (k)(1) = Ipy (kj)(1) + kj−1 ∑ k=0 Bjky (k)(1) = 0, j ∈ {l + 1, . . . , n}. (3) Здесь y = col(y1, . . . , yp), n− 1 > k1 > k2 > · · · > kl > 0, n− 1 > kl+1 > kl+2 > · · · > kn > 0, Pk(x) — (p× p) матрицы-функции, Ajk и Bjk ∈ C p×p, k ∈ {0, . . . , n− 1}, j ∈ {1, . . . , n}, Ip — единичная матрица порядка p. При этом предполагается, что граничные условия линейно независимы и l > n − l > 0. Заметим, что распадающиеся краевые условия являются регулярными тогда и только тогда, когда l = n− l. Если же l 6= n− l, то функция Грина соответствующей задачи может иметь экспонен- циальный рост по любому направлению комплексной плоскости. В случае p = 1 полнота системы собственных и присоединенных фун- кций задачи (1)–(3) впервые была анонсирована М. В. Келдышем [1], а доказана А. А. Шкаликовым [7]. В случае аналитических коэф- фициентов этот же результат был получен А. П. Хромовым. Гра- ничным задачам с матричными коэффициентами посвящена работа Л. М. Лужиной [2]. В данной работе доказательство основного ре- зультата ведется по схеме, предложенной А. А. Шкаликовым [7], а также используются операторы преобразования. Теорема 1. Пусть Pk(x) — целые аналитические матрицы-функ- ции, k ∈ {0, . . . , n − 1}. Тогда система собственных и присоединен- ных функций граничной задачи (1)–(3) полна в пространстве L2([0, 1], Cp). Доказательство. Положим λ = ρn, тогда уравнение l(y) = λy пере- пишется в виде l(y) = ρny. (4) Рассмотрим матричное уравнение Y (n) + n−1 ∑ k=0 Pk(x)Y (k) = ρnY. (5) (Y — (p× p)-матрица-функция.) Известно (см. [4, п◦2 §8]), что в каждом секторе S раствора π n комплексной плоскости существует фундаментальная система реше- ний {Yk(x, ρ)}nk=1 уравнения (5), аналитическая по ρ в секторе S и при достаточно большом \|ρ\| имеющая асимптотику А. В. Агибалова 295 Yk = eρωkx ( Ip + O (1 ρ )) , dYk dx = ρeρωkx ( ωkIp + O (1 ρ )) , . . . dn−1Yk dxn−1 = ρn−1eρωkx ( ωn−1 k Ip + O (1 ρ )) . (6) При этом ωk — корни n-й степени из 1, O(1 ρ ) обозначает матрицу вида A(x,ρ) ρ , где A(x, ρ) — матричная функция, все элементы которой удовлетворяют неравенству \|Aij(x, ρ)\| 6 M при \|ρ\| > R, 0 6 x 6 1, а M и R — некоторые постоянные, не зависящие от x. В дальнейшем все рассуждения проводятся в фиксированном се- кторе S. Общее векторное решение уравнения (4) имеет вид y = Y1c1 + · · ·+ Yncn, где cj — произвольные постоянные векторы из C p, j ∈ {1, . . . n}. Пусть {Φj(x, ρ)}nj=1 — фундаментальная система (p × p)-матрич- ных решений уравнения (5), удовлетворяющая начальным условиям Φ (ν−1) j (0, ρ) = δνjIp, j, ν ∈ {1, . . . , n}, (7) где δνj — символ Кронекера. Тогда в секторе S справедливы пред- ставления Φj(x, ρ) = n ∑ k=1 Yk(x, ρ)Cjk(ρ), ρ ∈ S, j ∈ {1, . . . , n}, (8) где Cjk(ρ) — (p×p)-матрицы. Равенство (8) можно записать в блочно- матричном виде (Φ1 . . .Φn) = (Y1 . . . Yn)     C11(ρ) C12(ρ) . . . C1n(ρ) C21(ρ) C22(ρ) . . . C2n(ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cn1(ρ) Cn2(ρ) . . . Cnn(ρ)     T , (9) где символ T означает транспонирование матрицы. Обозначим C(ρ) :=     C11(ρ) C12(ρ) . . . C1n(ρ) C21(ρ) C22(ρ) . . . C2n(ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cn1(ρ) Cn2(ρ) . . . Cnn(ρ)     . 296 О краевых задачах... Следуя [4, п◦9 $4], введем для краткости обозначение [A] = A + O (1 ρ ) . Справедлива следующая Лемма 1. Элементы матрицы C(ρ) имеют вид Ckj(ρ) = ωj k−1 nρk−1 [Ip], k, j ∈ {1, . . . , n}. (10) Доказательство. Найдем Ckj(ρ) для произвольного фиксированного k, k, j ∈ {1, . . . , n}. Подставляя (8) в (7) и учитывая асимптотику (6), получим систему матричных уравнений для Ckj(ρ), где 0p обозначает нулевую (p× p)-матрицу:                        n ∑ j=1 ( Ip + O ( 1 ρ )) Ckj(ρ) = 0p, . . . n ∑ j=1 ρk−1 ( ωk−1 j Ip + O ( 1 ρ )) Ckj(ρ) = Ip, ←−−−−−−− k-я строка . . . n ∑ j=1 ρn−1 ( ωn−1 j Ip + O ( 1 ρ )) Ckj(ρ) = 0p. (11) Разделив каждую строку системы (11) на ρ в соответствующей сте- пени, приходим к системе                        n ∑ j=1 ( Ip + O ( 1 ρ )) Ckj(ρ) = 0p, . . . n ∑ j=1 ( ωk−1 j Ip + O ( 1 ρ )) Ckj(ρ) = Ip ρk−1 , ←−−−−−−− k-я строка . . . n ∑ j=1 ( ωn−1 j Ip + O ( 1 ρ )) Ckj(ρ) = 0p, или в блочно-матричном виде         [Ip] . . . [Ip] . . . [Ip] ... ωk−1 1 [Ip] . . . ωk−1 k [Ip] . . . ωk−1 n [Ip] ... ωn−1 1 [Ip] . . . ωn−1 k [Ip] . . . ωn−1 n [Ip]         .         Ck1(ρ) ... Ckk(ρ) ... Ckn(ρ)         А. В. Агибалова 297 =         0p ... 1 ρk−1 Ip ... 0p         . (12) Обозначим W :=         [Ip] . . . [Ip] . . . [Ip] ... ωk−1 1 [Ip] . . . ωk−1 k [Ip] . . . ωk−1 n [Ip] ... ωn−1 1 [Ip] . . . ωn−1 k [Ip] . . . ωn−1 n [Ip]         . Тогда систему (12) можно переписать в виде W ·         Ck1(ρ) ... Ckk(ρ) ... Ckn(ρ)         =         0p ... 1 ρk−1 Ip ... 0p         . Умножая на обратную к W матрицу, получаем         Ck1(ρ) ... Ckk(ρ) ... Ckn(ρ)         = 1 n       [Ip] ω1[Ip] . . . ω1 k−1[Ip] . . . ω1 n−1[Ip] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Ip] ωk[Ip] . . . ωk k−1[Ip] . . . ωk n−1[Ip] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Ip] ωn[Ip] . . . ωn k−1[Ip] . . . ωn n−1[Ip]               0p ... 1 ρk−1 Ip ... 0p         = 1 n     ω1 k−1 ρk−1 ( Ip + O ( 1 ρ )) ... ωn k−1 ρk−1 ( Ip + O ( 1 ρ ))     = 1 nρk−1    ω1 k−1[Ip] ... ωn k−1[Ip]    . 298 О краевых задачах... Таким образом, матрица C(ρ) имеет вид C(ρ) = 1 n          [Ip] . . . [Ip] ω1 ρ [Ip] . . . ωn ρ [Ip] ω2 1 ρ2 [Ip] . . . ω2 n ρ2 [Ip] ... ωn−1 1 ρn−1 [Ip] . . . ωn−1 n ρn−1 [Ip]          . Пусть A(ρ; Φ) :=   U1(Φ1) . . . U1(Φn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un(Φ1) . . . Un(Φn)   , A(ρ; Y ) :=   U1(Y1) . . . U1(Yn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un(Y1) . . . Un(Yn)   . (13) Из (9) и (13) следует, что A(ρ; Φ) = A(ρ; Y )CT (ρ). (14) Тогда характеристические определители ∆(ρ; Φ) и ∆(ρ; Y ) связаны соотношением ∆(ρ; Φ) = ∆(ρ; Y ) det C(ρ). С помощью (10) нетрудно вычислить, что detC(ρ) = 1 n ρ− pn(n−1) 2 [M1], где константа M1 зависит от ω1, . . . , ωn и M1 6= 0. Таким образом, получаем связь между характеристическими определителями ∆(ρ; Φ) = ρ− pn(n−1) 2 [M1]∆(ρ; Y ). (15) Вычислим ∆(ρ; Y ). Занумеруем (см. [4, п◦2 §4]) ω1, . . . , ωn так, чтобы в секторе S выполнялись соотношения Re(ρω1) < Re(ρω2) < · · · < Re(ρωn−s) < 0 < Re(ρωn−s+1) < · · · < Re(ρωn). (16) А. В. Агибалова 299 Далее асимптотику (6) подставляем в ∆(ρ; Y ) и из каждой строки выносим ρ в соответствующей степени: ∆(ρ; Y ) = ρp(k1+...+kn) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ωk1 1 [Ip] . . . ωk1 n [Ip] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ω kl+1 1 eρω1 [Ip] . . . ω kl+1 n eρωn [Ip] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ωkn 1 eρω1 [Ip] . . . ωkn n eρωn [Ip] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ . Обозначим k1 + · · ·+ kn =: κ. Полученный определитель раскладываем по последним n−l стро- кам. При этом согласно (16) старший минор в полученном разложе- нии с точностью до знака имеет вид ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ω kl+1 l+1 eρωl+1 [Ip] . . . ω kl+1 n eρωn [Ip] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ωkn l+1e ρωl+1 [Ip] . . . ωkn n eρωn [Ip] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = epρ(ωl+1+···+ωn) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ω kl+1 l+1 [Ip] . . . ω kl+1 n [Ip] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ωkn l+1[Ip] . . . ωkn n [Ip] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = [M2]e pρ n ∑ j=l+1 ωj =: [M2]e pρω̃. Возвращаясь к равенству (15), получаем ∆(ρ; Φ) = [M3]ρ p(κ− n(n−1) 2 )epρω̃. (17) Определение 1. Пусть λ0 — собственное значение оператора L и Z0 — соответствующий собственный вектор (т.е. (L − λ0)Z0 = 0). Говорят, что система функций {Zj(x, λ)}kj=1 образует цепочку собственной Z0(x, λ) и присоединенных функций, соответствующих собственному значению λ0, если a) [ ∑i j=0 1 j!D j λl(D)(Zi−j(x, λ)) ]∣ ∣ λ=λ0 = 0, i ∈ {1, . . . , k}, b) каждая функция Zj(x, λ), j ∈ {1, . . . , k}, удовлетворяет грани- чным условиям (2)–(3). Лемма 2. Пусть σ(L) = {ρm} ∞ 1 — множество нулей целой функции ∆(ρ; Φ) и пусть νm — кратность нуля ρm. Обозначим ∆j(x, ρ; Φ), j ∈ {1, . . . , pn}, определитель, полученный заменой j-ой 300 О краевых задачах... строки характеристического определителя ∆(ρ; Φ) столбцами ма- триц Φk, k ∈ {1, . . . , n}. Тогда для каждого j ∈ {1, . . . , pn} система функций ∆j(x, ρm; Φ), Dρ∆j(x, ρ; Φ)\|ρ=ρm , . . . , 1 (νm − 1)! Dνm−1 ρ ∆j(x, ρ; Φ)\|ρ=ρm образует ССПФ, соответствующую ρm ∈ σ(L). Обозначим через Aj(x, ρ; Y ) матрицу, полученную заменой j-ой строки A(ρ; Y ) столбцами матриц Yk, k ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}. Тогда матрицы Aj(x, ρ; Φ) и Aj(x, ρ; Y ) связаны тем же соотношением (14), что и матрицы A(ρ; Φ) и A(ρ; Y ). Отсюда их опре- делители ∆j(x, ρ; Φ) и ∆j(x, ρ; Y ) связаны (подобно (15)) равенством ∆j(x, ρ; Φ) = [M1]ρ pn(n−1) 2 ∆j(x, ρ; Y ), j ∈ {pl + 1, . . . , pn}, (18) откуда ∆j(x, ρ; Φ) ∆(ρ; Φ) = [1] ∆j(x, ρ; Y ) ∆(ρ; Y ) . (19) Асимптотические оценки ∆j(x, ρ; Y ) = ρpκ−kjepρω̃eρωl+1(x−1)     B1 ( 1 + O ( 1 ρ )) ... Bp ( 1 + O ( 1 ρ ))     , j ∈ {pl + 1, . . . , pn} (20) (B1, . . . , Bp — константы, не зависящие от ρ и x) получаются как и оценка для ∆(ρ; Y ). Пусть вектор-функция g(x) = (g1(x), . . . , gp(x)), gk(x) ∈ L2[0, 1], k ∈ {1, . . . , p}, ортогональна ССПФ задачи (5), (2)–(3). Рассмотрим целые функции Υj(ρ) := 1 ∫ 0 g(x)∆j(x, ρ; Φ) dx, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}. (21) Покажем, что Υj(ρ) ≡ 0, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}. Поскольку Dr ρΥj(ρ)\|ρ=ρm = 0, ρm ∈ σ(L), r ∈ {0, 1, . . . , νm − 1}, то функция Gj(ρ) := Υj(ρ) ∆(ρ; Φ) , j ∈ {pl + 1, . . . , pn}, А. В. Агибалова 301 является целой. Поэтому чтобы показать, что Υj(ρ) ≡ 0 для j ∈ {pl+ 1, . . . , pn}, достаточно доказать, что Gj(ρ) ≡ 0, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}. С учетом (19) ∆j(x, ρ; Φ) ∆(ρ; Φ) = [M4]ρ −kjeρωl+1(x−1)      A1 ( 1 + O ( 1 ρ )) ... Ap ( 1 + O ( 1 ρ ))      , j ∈ {pl + 1, . . . , pn}. (22) Учитывая (18), неравенство Re(ρωl+1) > 0, x ∈ (0, 1), и применяя неравенство Коши–Буняковского, получаем \|Gj(ρ)\| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 ∫ 0 g(x) ∆j(x, ρ; Φ) ∆(ρ; Φ) dx ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6 \|[M4]\| · \|ρ\| −kj 1 ∫ 0 ∣ ∣eρωl+1(x−1) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ p ∑ k=1 gk(x)[Ak] ∣ ∣ ∣ ∣ dx 6 [M5]\|ρ\| −kj ( 1 ∫ 0 e2(x−1) Re(ρωl+1) dx ) 1 2 = [M5]\|ρ\| −kj √ 2 Re(ρωl+1) ( 1− e−2Re(ρωl+1) ) 1 2 . Здесь M5 = \|[M4]\| ( 1 ∫ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ p ∑ k=1 gk(x)[Ak] ∣ ∣ ∣ ∣ 2 dx ) 1 2 , g(x) = ( g1(x), . . . , gp(x) ) . Очевидно, что \|Gj(ρ)\| → 0, \|ρ\| → ∞, ρ ∈ S, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}. Из теоремы Фрагмена–Линделёфа и теоремы Лиувилля следует, что Gj(ρ) ≡ 0, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}, откуда 1 ∫ 0 g(x)∆j(x, ρ; Φ) dx ≡ 0, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}. (23) Пусть Ψ1(x, ρ), . . . ,Ψn(x, ρ) — фундаментальная система решений ма- тричного уравнения (5), удовлетворяющая условиям 302 О краевых задачах... dk−1 dxk Ψs(0, ρ) = Tks, k, s ∈ {1, . . . , n}, (24) при этом числовые матрицы Tks выбраны таким образом, что мат- рицы-функции Ψ1(x, ρ), . . . ,Ψn−l(x, ρ) удовлетворяют всем краевым условиям (2), а матрицы-функции Ψn−l+k(x, ρ), k ∈ {1, . . . , n− l +1}, удовлетворяют всем краевым условиям (2), кроме краевого условия при j = k, причем Uk(Ψn−l+k) = Dn−l+k, где Dn−l+k — некото- рые диагональные матрицы. Тогда ∆j(x, ρ; Φ) можно представить в виде линейной комбинации столбцов Ψs m(x, ρ) матриц Ψs(x, ρ), s ∈ {1, . . . , n}, m ∈ {1, . . . , p}, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}: ∆j(x, ρ; Φ) = n ∑ s=1 p ∑ m=1 qj sm(ρ)Ψs m(x, ρ) = n−l ∑ s=1 p ∑ m=1 qj sm(ρ)Ψs m(x, ρ), (25) так как q j sm ≡ 0 при s > n− l, что следует из свойств выбранной фун- даментальной системы и выполнения для функций ∆j(x, ρ; Φ) всех краевых условий в нуле , j ∈ {pl + 1, . . . , pn}. Очевидно, определи- тель ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ q pl+1 11 (ρ) . . . q pl+1 1p (ρ) q pl+1 21 (ρ) . . . q pl+1 2p (ρ) . . . q pl+1 n−l,1(ρ) . . . q pl+1 n−l,p(ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . q pn 11 (ρ) . . . q pn 1p (ρ) q pn 21 (ρ) . . . q pn 2p (ρ) . . . q pn n−l,1(ρ) . . . q pn n−l,p(ρ) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6= 0. Тогда, принимая во внимание (23), получaeм 1 ∫ 0 g(x)Ψj m(x, ρ) dx ≡ 0, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}, m ∈ {1, . . . , p}. (26) С другой стороны, матричные решения Ψ1(x, ρ), . . . ,Ψn(x, ρ) с помо- щью оператора преобразования (см. [5], а также [3]) допускают пред- ставление Ψs(x, ρ) = (I + K)Zs = Zs(x, ρ) + x ∫ 0 K(x, t)Zs(t, ρ) dt, s ∈ {1, . . . , n}, (27) где Zs(x, ρ) — решения простейшего уравнения вида (5) (т.е. Pk(x) ≡ А. В. Агибалова 303 0, k ∈ {0, . . . , n− 1}) с теми же начальными условиями (24). Имеем −→ 0 = 1 ∫ 0 Ψj(x, ρ)g(x)T dx = 1 ∫ 0 ((I + K)Zj(x, ρ)) g(x)T dx = 1 ∫ 0 Zj(x, ρ)h(x) dx, где h(x) = (I + K∗)gT = gT (x) + 1 ∫ x K(t, x)gT (t) dt, −→ 0 — нулевой вектор-столбец высоты p. Поскольку система функций {Zs(x, ρ)}ρ∈S полна в L2([0, 1], C p×p), то h(x) = −→ 0 . Так как K∗ — вольтерров оператор, то gT (x) = −→ 0 . Полнота матричной системы функций {Zs(x, ρ)}ρ∈S следует из скалярного случая. Действительно, матричные решения Zs(x, ρ) можно представить в виде Zs(x, ρ) = n ∑ k=1 TksΦk(x, ρ), s ∈ {1, . . . , n}, где Tks — матрицы из условий (24). А при k ∈ {1, . . . , n} набор столб- цов каждой матрицы Φk(x, ρ) полон в пространстве L2([0, 1], C p), ρ ∈ S (это следует из полноты системы экспонент в скалярном случае). Литература [1] М. В. Келдыш, О собственных значениях и собственных функциях некото- рых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР, 77 (1951), N 1, 11–14. [2] Л. М. Лужина, Регулярные спектральные задачи в пространстве вектор- функций // Вестник Московского ун-та. Сер. I. Математика. Механика, (1988), N 1, 31–35. [3] М. М. Маламуд, Подобие вольтерровых операторов и смежные вопросы те- ории дифференциальных уравнений дробного порядка // Труды Моск. Матем. Общества, 55 (1994), 57–122. [4] М. А. Наймарк, Линейные дифференциальные операторы, Москва, 1969. 304 О краевых задачах... [5] Л. А. Сахнович, Обратная задача для дифференциальных операторов поряд- ка n > 2 с аналитическими коэффициентами // Матем. сборник, 46 (1958), 61–76. [6] А. П. Хромов, Разложение по собственным функциям обыкновеных диффе- ренциальных операторов в конечном интервале // ДАН СССР, 146 (1962), N 6 , 1294–1297. [7] А. А. Шкаликов, О полноте собственных и присоединённых функций обыкновенного дифференциального оператора с распадающимися краевыми условиями // Функциональный анализ и его приложения, 10 (1976), N 4, 69–80. Сведения об авторах Анна Владимировна Агибалова Донецкий национальный университет, ул. Университетская, 24, Донецк 83055, Украина E-Mail: AgAnnette@rambler.ru

О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами

Репозитарії

Схожі ресурси