Теоремы Нётера некоторых краевых задач, порожденных оператором ∂/∂t, для пары полианалитических функций
Построена теория Нётера краевых задач, содержащих дифференциальный оператор, операторы сдвига и сопряжения, для пары полианалитических функций.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124344 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Теоремы Нётера некоторых краевых задач, порожденных оператором ∂/∂t, для пары полианалитических функций / Л.В. Матвиюк, З.М. Лысенко, А.П. Нечаев // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 327-335. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124344 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243442017-09-24T03:03:41Z Теоремы Нётера некоторых краевых задач, порожденных оператором ∂/∂t, для пары полианалитических функций Матвиюк, Л.В. Лысенко, З.М. Нечаев, А.П. Построена теория Нётера краевых задач, содержащих дифференциальный оператор, операторы сдвига и сопряжения, для пары полианалитических функций. 2008 Article Теоремы Нётера некоторых краевых задач, порожденных оператором ∂/∂t, для пары полианалитических функций / Л.В. Матвиюк, З.М. Лысенко, А.П. Нечаев // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 327-335. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 58J32. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124344 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Построена теория Нётера краевых задач, содержащих дифференциальный оператор, операторы сдвига и сопряжения, для пары полианалитических функций. |
| format |
Article |
| author |
Матвиюк, Л.В. Лысенко, З.М. Нечаев, А.П. |
| spellingShingle |
Матвиюк, Л.В. Лысенко, З.М. Нечаев, А.П. Теоремы Нётера некоторых краевых задач, порожденных оператором ∂/∂t, для пары полианалитических функций Український математичний вісник |
| author_facet |
Матвиюк, Л.В. Лысенко, З.М. Нечаев, А.П. |
| author_sort |
Матвиюк, Л.В. |
| title |
Теоремы Нётера некоторых краевых задач, порожденных оператором ∂/∂t, для пары полианалитических функций |
| title_short |
Теоремы Нётера некоторых краевых задач, порожденных оператором ∂/∂t, для пары полианалитических функций |
| title_full |
Теоремы Нётера некоторых краевых задач, порожденных оператором ∂/∂t, для пары полианалитических функций |
| title_fullStr |
Теоремы Нётера некоторых краевых задач, порожденных оператором ∂/∂t, для пары полианалитических функций |
| title_full_unstemmed |
Теоремы Нётера некоторых краевых задач, порожденных оператором ∂/∂t, для пары полианалитических функций |
| title_sort |
теоремы нётера некоторых краевых задач, порожденных оператором ∂/∂t, для пары полианалитических функций |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124344 |
| citation_txt |
Теоремы Нётера некоторых краевых задач, порожденных оператором ∂/∂t, для пары полианалитических функций / Л.В. Матвиюк, З.М. Лысенко, А.П. Нечаев // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 327-335. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT matviûklv teoremynëteranekotoryhkraevyhzadačporoždennyhoperatoromtdlâparypolianalitičeskihfunkcij AT lysenkozm teoremynëteranekotoryhkraevyhzadačporoždennyhoperatoromtdlâparypolianalitičeskihfunkcij AT nečaevap teoremynëteranekotoryhkraevyhzadačporoždennyhoperatoromtdlâparypolianalitičeskihfunkcij |
| first_indexed |
2025-07-09T01:17:45Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:17:45Z |
| _version_ |
1837130177768849408 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 5 (2008), № 3, 327 – 335
Теоремы Нётера некоторых краевых задач,
порожденных оператором ∂
∂t
, для пары
полианалитических функций
Людмила В. Матвиюк, Зоя М. Лысенко,
Анатолий П. Нечаев
(Представлена А. Е. Шишковым)
Аннотация. Построена теория Нётера краевых задач, содержащих
дифференциальный оператор, операторы сдвига и сопряжения, для
пары полианалитических функций.
2000 MSC. 58J32.
Ключевые слова и фразы. Нётеровый оператор, индекс, опера-
торный подход, прямой и обратный сдвиги контура.
Введение
В 40-х годах прошлого века под руководством Н. И. Мусхели-
швили были начаты исследования по краевым задачам со сдвигом и
сопряжением. Этому способствовало то, что ряд задач математиче-
ской физики и механики был сведен именно к таким задачам. Изве-
стные результаты по этой тематике были получены в работах [1–7].
Важную роль в теории краевых задач играет исследование диффе-
ренциальных краевых задач со сдвигом. Наиболее известными рабо-
тами в этом направлении можно назвать, например, [8,9]. Для иссле-
дования краевых задач со сдвигом применяется традиционный метод
интегральных представлений. Известно, что этот метод дает лишь
достаточные условия нётеровости краевой задачи в Hµ-постановке.
При этом построение интегральных представлений является достато-
чно сложной задачей. Для преодоления указанных трудностей стали
разрабатывать так называемый операторный подход, суть которого
состоит в замене процедуры применения интегральных представле-
ний умножением на некоторый оператор с дальнейшим использовани-
ем методов теории линейных операторов в банаховых пространствах
Статья поступила в редакцию 2.04.2008
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
328 Теоремы Нётера...
(см. [10,14]). С помощью этого подхода удаётся найти необходимые и
достаточные условия нётеровости краевых задач в Lp-постановке.
1. Постановка краевых задач, порождённых
оператором ∂
∂t
Пусть конечная односвязная область G ограничена замкнутой,
простой кривой Ляпунова Γ. Предположим, что 0 ∈ G. За положи-
тельный обход границы Γ принимается тот, при котором область G
остается слева. На контуре Γ задан сдвиг α(t), диффеоморфно пере-
водящий Γ в себя с сохранением ориентации (α = α+(t)) или с изме-
нением ориентации (α = α−(t)). Предполагаем, что α′(t) 6= 0 (t ∈ Γ)
и α′(t) ∈ Hλ(Γ), 0 < λ 6 1, где Hλ(Γ) — банахово пространство фун-
кций, удовлетворяющих на Γ условию Гёльдера с показателем λ.
Введем две совокупности дифференциальных операторов:
Di =
n−1∑
j=0
aij(t)
∂j
∂t
j
, i = 1, n, (1.1)
D̃i =
n−1∑
j=0
bij(t)
∂j
∂t
j
, i = 1, n, (1.2)
где aij(t) и bij(t) — заданные непрерывные на контуре Γ функции,
i = 1, n, j = 0, n− 1. Через Ep(G) (1 < p <∞) обозначим класс Смир-
нова аналитических функций в G, представимых интегралами типа
Коши с плотностями из Lp(Γ).
Рассматривается задача об отыскании полианалитических в обла-
сти G и H-непрерывных в G
⋃
Γ функций вида
F1(z, z) =
n−1∑
k=0
ϕk(z)z
k, (1.3)
F2(z, z) =
n−1∑
k=0
ψk(z)z
k, (1.4)
где ϕk, ψk ∈ Ep(G) (k = 0, n− 1), угловые предельные значения ко-
торых F1(t, t) и F2(t, t) почти всюду на Γ удовлетворяют одному из
следующих краевых условий:
DiF1(t, t) = D̃iF2(t, t) + hi(t), i = 1, n; (1.5)
DiF1[α+(t), α+(t)] = D̃iF2(t, t) + hi(t), i = 1, n; (1.6)
Л. В. Матвиюк, З. М. Лысенко, А. П. Нечаев 329
DiF1[α−(t), α−(t)] = DiF2(t, t) + hi(t), i = 1, n, (1.7)
где hi(t) (i = 1, n) — известные функции из банахова пространства
Lp(Γ), а выражения в левых и правых частях задач (1.6), (1.7) будем
понимать так:
DiFj [α(t), α(t)] = DiFj(τ, τ)
∣∣
τ=α(t)
,
D̃iFj [α(t), α(t)] = D̃iFj(τ, τ)
∣∣
τ=α(t)
,
i = 1, n, j = 1, 2.
Напомним ([5]), что линейный ограниченный оператор U назы-
вается нётеровым, если его образ замкнут, а дефектные числа α =
dim KerU и β = dim coKerU конечны, при этом целое число indU =
α − β называется индексом оператора U . Под нётеровостью и инде-
ксом краевой задачи Uf = h будем понимать, соответственно, нётеро-
вость и индекс оператора U . В данной работе с помощью операторно-
го подхода, идея которого изложена, например, в обзорной статье [15],
найдены необходимые и достаточные условия нётеровости, а также
формула для нахождения индекса задач (1.5)–(1.7).
Отметим, что построение теории Нётера краевых задач (1.5)–(1.7)
сводится к теории Нётера операторов, принадлежащих хорошо изу-
ченной алгебре сингулярных интегральных операторов с матричны-
ми коэффициентами (обзор об этой алгебре можно найти, например,
в [16]). При этом существенно используются результаты работы [12],
касающиеся некоторых вспомогательных операторов, играющих клю-
чевую роль в операторном подходе.
Отметим, что с помощью традиционного метода интегральных
представлений теория Нётера задач (1.5)–(1.7) была построена в [17]
для случая, когда αij(t) = bij(t) = 0 (i 6= j; i = 1, n; j = 0, n− 1). До
последнего времени, насколько известно авторам, задачи (1.5)–(1.7)
в приведённой выше постановке не рассматривались.
2. Теория Нётера задач (1.5)–(1.7)
как теория Нётера краевых задач
для аналитических вектор–функций
Введём следующие операторы:
(IΓϕ)(t) = ϕ(t);
(Cϕ)(t) = ϕ(t);
(Vα±
ϕ)(t) = ϕ[α±(t)];
330 Теоремы Нётера...
((SΓϕ)(t) =
1
πi
v.p.
∫
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ (t ∈ Γ);
PΓ = (IΓ + SΓ)/2, QΓ = IΓ − PΓ.
Введём также пространства: L+
p (Γ) = ImP (Γ)
∣∣
Lp(Γ)
, где ”
∣∣“ — суже-
ние оператора; L(X,Y ) — множество всех линейных ограниченных
операторов, действующих из банахова пространства X в банахово
пространство Y ; L(X) = L(X,X); Xn — пространство n–мерных ве-
кторов с элементами из X; Xn×n — пространство n× n матриц с
элементами из X.
Через w(t) обозначим матрицу опеределителя Вронского функций
1, t, t
2
, . . . , t
n−1
, т.е.
w(t) =
1 t t
2
. . . t
n−1
0 1 2t . . . (n− 1)t
n−2
0 0 2 . . . (n− 1)(n− 2)t
n−3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . (n− 1)!
.
Заметим, что
detw(t) = detw(t) = 1!2! . . . (n− 1)!. (2.1)
Введём вектор–столбцы:
Φ(z) = {ϕ0(z), . . . , ϕn−1(z)}
T ∈ En
p (G),
Ψ(z) = {ψ0(z), . . . , ψn−1(z)}
T ∈ En
p (G),
H(t) = {h0(t), . . . , hn−1(t)}
T ∈ Ln
p (Γ),
где “T ” — транспонирование.
Совокупности дифференциальных операторов (1.1) и (1.2) одно-
значно определяются n× n матрицами-функциями
A(t) = ‖aij(t)‖ i=1,n
j=0,n−1
, B(t) = ‖bij(t)‖ i=1,n
j=0,n−1
,
принадлежащими пространству Cn×n(Γ).
Поскольку
w(t) = diag
{
I,
∂
∂t
, . . . ,
∂n−1
∂t
n−1
}
·
1 t . . . t
n−1
1 t . . . t
n−1
. . . . . . . . . . . . . . .
1 t . . . t
n−1
,
Л. В. Матвиюк, З. М. Лысенко, А. П. Нечаев 331
то действие операторов (1.1) на функцию F1(t, t) =
∑n−1
k=0 ϕk(t)t
k
удо-
бно записать в матричной форме:
[
D1F1(t, t), . . . , DnF1(t, t)
]T
= A(t)w(t)Φ(t).
Аналогично выпишем действие операторов из совокупности (1.2)
на функцию F2(t, t) =
∑n−1
k=0 ψk(t)t
k
:
[
D̃1F2(t, t), . . . , D̃nF2(t, t)
]T
= B(t)w(t)Ψ(t).
Тогда задачи (1.5)–(1.7) можно переписать в виде:
A(t)w(t)Φ(t) − CB(t)w(t)Ψ(t) = H(t), (2.2)
Vα+
A(t)w(t)Φ(t) − CB(t)w(t)Ψ(t) = H(t), (2.3)
Vα−
A(t)w(t)Φ(t) −B(t)w(t)Ψ(t) = H(t), (2.4)
t ∈ Γ, H ∈ Ln
p (Γ).
При этом, как следует из формул Сохоцкого ( [5]), вектор-столбцы
Φ(t) и Ψ(t) принадлежат пространству
(
L+
p (Γ)
)n
.
Введем операторные матрицы n× 2n:
T0 = [A(t)w(t),−CB(t)w(t)],
T1 = [Vα+
A(t)w(t),−CB(t)w(t)],
T2 = [Vα−
A(t)w(t),−B(t)w(t)],
принадлежащие пространству L
( (
L+
p (Γ)
)2n
, Ln
p (Γ)
)
. С помощью этих
операторов краевые задачи (2.2)–(2.4) примут вид соответствующих
операторных уравнений:
Tj
(
ΦT (t),ΨT (t)
)T
= H(t), j = 0, 2.
Таким образом, теория Нётера задач (1.5)–(1.7) для полианали-
тических функций сводится к теории Нётера операторов T0–T2, соо-
тветственно.
3. Теория Нётера операторов T0, T1, T2
Пусть запись U ≃ V означает, что операторы U и V отличаются
на вполне непрерывный оператор. Рассмотрим вспомогательные опе-
раторы ”интегрального представления“ n× 2n:
Πn =
(
diag
{
PΓ, . . . , PΓ
}
,diag
{
PΓC, . . . , PΓC
})T
,
332 Теоремы Нётера...
Π+
n =
(
diag
{
PΓV
−1
α+
, . . . , PΓV
−1
α+
}
,diag
{
PΓC, . . . , PΓC
})T
,
Π−
n =
(
diag
{
PΓV
−1
α−
C, . . . , PΓV
−1
α−
C
}
,diag
{
PΓC, . . . , PΓC
})T
.
Отметим, что оператор Π1 впервые использовался в [10] для слу-
чая, когда Γ — единичная окружность. Для случая произвольного
гладкого ляпуновского контура Γ в работе [12] доказано, что опе-
раторы Π1, Π+
1 , Π−
1 нётеровы и indΠ1 = ind Π+
1 = ind Π−
1 = −2. Этот
результат без труда переносится на операторы Πn, Π+
n , Π−
n при n > 1.
Поэтому имеет место
Предложение 3.1. Операторы Πn, Π+
n , Π−
n нётеровы в пространс-
тве L
(
Ln
p (Γ),
(
L+
p (Γ)
)2n )
и ind Πn = ind Π+
n = ind Π−
n = −2n.
Введём принадлежащие L
( (
L+
p (Γ)
)2n
, Ln
p (Γ)
)
операторы:
G0 =
(
ν(t),Cµ(t)
)
,
G1 =
(
Vα+
ν(t),Cµ(t)
)
,
G2 =
(
Vα−
ν(t), µ(t)
)
,
где ν(t), µ(t) ∈ Cn×n(Γ).
Пусть
M0 = ν(t)PΓ + µ(t)QΓ,
M1 = ν[α+(t)]PΓ + µ(t)QΓ,
M2 = µ(t)PΓ + ν[α−(t)]QΓ,
M3 = ν[α−(t)]PΓ + µ(t)QΓ.
Согласно [5],
CPΓ ≃ QC, Vα+
PΓ ≃ PΓVα+
, Vα−
PΓ ≃ QΓVα−
. (3.1)
Тогда
G0Πn = ν(t)PΓ + µ(t)CPΓC ≃M0, (3.2)
G1Π
+
n = Vα+
ν(t)PΓV
−1
α+
+ µ(t)CPΓC ≃M1, (3.3)
G2Π
−
n = Vα−
ν(t)PΓV
−1
α−
C + µ(t)PΓC ≃M2C. (3.4)
Используя известное матричное равенство [5], получим, что опе-
ратор M2C может быть нётеровым одновременно с оператором
U =
[
0 M2
CM2C 0
]
Л. В. Матвиюк, З. М. Лысенко, А. П. Нечаев 333
и, в случае нётеровости,
indM2C =
1
2
indU. (3.5)
На основании (3.1)
CM2C = ν[α−(t)]CQΓC + µ(t)CPΓC ≃M3.
Таким образом, U ≃
[
0 M2
M3 0
]
и нётеровость U равносильна нёте-
ровости операторов M2 и M3, причем
indU = indM2 + indM3. (3.6)
Из предложения 3.1, свойств нётеровых операторов, а также (3.2)–
(3.6) вытекает следующая
Теорема 3.1. Операторы G0, G1, G2, принадлежащие пространс-
тву L
( (
L+
p (Γ)
)2n
, Ln
p (Γ)
)
, нётеровы тогда и только тогда, когда
нётеровы, соответственно, операторы M0, M1 и пара M2, M3 в про-
странстве L(Ln
p (Γ)). В случае нётеровости указанных операторов
indGj = indMj + 2n, j = 0, 1,
indG2 =
1
2
indM2 +
1
2
indM3 + 2n.
Отметим, что операторы Mi (i = 0, 3) принадлежат алгебре син-
гулярных интегральных операторов с матричными коэффициента-
ми. Согласно, например, [16] оператор K = Z1(t)PΓ + Z2(t)QΓ, где
Z1, Z2 ∈ Cn×n(Γ), нётеров тогда и только тогда, когда
detZ1(t) 6= 0, detZ2(t) 6= 0, t ∈ Γ.
Если эти условия выполнены, то indK равен числу оборотов ориен-
тированной кривой V (t) = det Z2(t)
det Z1(t) (t ∈ Γ) вокруг начала координат,
т.е.
indK =
1
2π
{
arg V (t)
}
t∈Γ
.
Отсюда, а также из теоремы 3.1 и (2.1), следует
Теорема 3.2. Операторы T0, T1, T2 ∈ L
( (
L+
p (Γ)
)2n
, Ln
p (Γ)
)
нётеро-
вы тогда и только тогда, когда detA(t) 6= 0, detB(t) 6= 0, t ∈ Γ. Если
эти условия выполнены, то
indT0 = indT1 =
1
2π
{
arg
detB(t)
detA(t)
}
t∈Γ
+ 2n,
indT2 =
1
2π
{
arg
detA(t)
detB(t)
}
t∈Γ
+ 2n.
334 Теоремы Нётера...
Литература
[1] Н. И. Мусхелишвили, Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука,
1968, 511 с.
[2] Д. А. Квеселава, Некоторые граничные задачи теории функций // Труды
матем. ин-та АН Груз. ССР, 16 (1948), 39–80.
[3] Н. Г. Векуа, Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые
граничные задачи. М.: Наука, 1970, 380 с.
[4] Ф. Д. Гахов, Краевые задачи. М.: Наука, 1977, 640 с.
[5] Г. С. Литвинчук, Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со
сдвигом. М: Наука, 1977, 448 с.
[6] Э. И. Зверович, Краевые задачи теории аналитических функций в
гёльдеровых классах на римановских поверхностях // Успехи мат. наук,
1971, т. 26, № 1, с. 113–179.
[7] Л. Г. Михайлов, Новый класс особых интегральных уравнений и его прило-
жение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами.
Душанбе, 1963, 183 с.
[8] Р. С. Сакс, Об одном классе сингулярных интегро-дифференциальных урав-
нений // Диф. уравн., 5 (1969), N 1, 115–131.
[9] Р. С. Исаханов, Дифференциальная граничная задача линейного сопряжения
и её применение в теории интегро-дифференциальных уравнений // Сообщ.
АН Груз. ССР, 20 (1958), N 6.
[10] С. Ф. Скороход, О критерии нётеровости и индексе некоторых многоэле-
ментных краевых задач с некарлемановским сдвигом. Одесса, 1980, 10 с.,
Деп. в ВИНИТИ 27.03.80, N 1208-80 Деп.
[11] Ю. Д. Латушкин, Г. С. Литвинчук, И. М. Спитковский, К теории Нётера
одной граничной задачи Николая Векуа // Труды матем. ин–та АН Груз.
ССР, 1983.
[12] Н. И. Лисовец, Исследование некоторых смешанных краевых задач теории
аналитических функций. Диссертация . . . канд. физ.–мат. наук. Одесса, ОГУ,
1984, 149 с.
[13] З. М. Лысенко, Об одной граничной задаче Н. Г. Векуа с кусочно-гладким
сдвигом на кусочно-ляпуновском контуре // Сибирский мат. журнал, 33
(1992), N 2, 108–115.
[14] З. М. Лысенко, Л. В. Матвиюк, А. П. Нечаев, Об одной краевой задаче те-
ории аналитических функций со сдвигом в область // Крайовi задачi для
диференцiальних рiвнянь. Сб. наук. праць, (2006), вип. 13, 164–178.
[15] Г. С. Литвинчук Об операторном подходе к теории краевых задач со сдви-
гом для функций, аналитических в области // Научные труды юбилейно-
го семинара, повященного 75-летию со дня рождения академика АН БССР
Ф. Д. Гахова, Минск, Изд–во ”Университетское“, 1985, 69–76.
[16] З. Прёссдорф, Линейные интегральные уравнения // Итоги науки и техники.
Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИ-
НИТИ, 27 (1988), 6–127.
[17] С. В. Левинский, Теория Нётера первой краевой задачи для полианалитиче-
ских функций // Известия вузов. Математика, (1989), N 3, 35–39.
Л. В. Матвиюк, З. М. Лысенко, А. П. Нечаев 335
Сведения об авторах
Людмила
Васильевна
Матвиюк,
Зоя Михайловна
Лысенко
Одесский институт математики,
экономики и механики
Одесского национального университета
им. И. И. Мечникова
ул. Дворянская, 2,
Одесса, 65026,
Украина
E-Mail: ivanpribegin@rambler.ru
Анатолий
Петрович Нечаев
Одесская академия холода
ул. Дворянская, 1,
Одесса, 65026,
Украина
|