Расслоение решений стохастических уравнений Ито параболического типа с экспоненциальными нелинейностями
В работе получены условия, при которых обобщенное решение задачи Коши для стохастического уравнения Ито параболического типа с экспоненциальными нелинейностями допускает расслоение....
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124345 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Расслоение решений стохастических уравнений Ито параболического типа с экспоненциальными нелинейностями / С.А. Мельник // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 336-349. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124345 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243452017-09-24T03:03:51Z Расслоение решений стохастических уравнений Ито параболического типа с экспоненциальными нелинейностями Мельник, С.А. В работе получены условия, при которых обобщенное решение задачи Коши для стохастического уравнения Ито параболического типа с экспоненциальными нелинейностями допускает расслоение. 2008 Article Расслоение решений стохастических уравнений Ито параболического типа с экспоненциальными нелинейностями / С.А. Мельник // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 336-349. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 60F10, 62F05. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124345 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе получены условия, при которых обобщенное решение задачи Коши для стохастического уравнения Ито параболического типа с экспоненциальными нелинейностями допускает расслоение. |
| format |
Article |
| author |
Мельник, С.А. |
| spellingShingle |
Мельник, С.А. Расслоение решений стохастических уравнений Ито параболического типа с экспоненциальными нелинейностями Український математичний вісник |
| author_facet |
Мельник, С.А. |
| author_sort |
Мельник, С.А. |
| title |
Расслоение решений стохастических уравнений Ито параболического типа с экспоненциальными нелинейностями |
| title_short |
Расслоение решений стохастических уравнений Ито параболического типа с экспоненциальными нелинейностями |
| title_full |
Расслоение решений стохастических уравнений Ито параболического типа с экспоненциальными нелинейностями |
| title_fullStr |
Расслоение решений стохастических уравнений Ито параболического типа с экспоненциальными нелинейностями |
| title_full_unstemmed |
Расслоение решений стохастических уравнений Ито параболического типа с экспоненциальными нелинейностями |
| title_sort |
расслоение решений стохастических уравнений ито параболического типа с экспоненциальными нелинейностями |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124345 |
| citation_txt |
Расслоение решений стохастических уравнений Ито параболического типа с экспоненциальными нелинейностями / С.А. Мельник // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 336-349. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT melʹniksa rassloenierešenijstohastičeskihuravnenijitoparaboličeskogotipaséksponencialʹnyminelinejnostâmi |
| first_indexed |
2025-07-09T01:17:51Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:17:51Z |
| _version_ |
1837130184012070912 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 5 (2008), № 3, 336 – 349
Расслоение решений стохастических
уравнений Ито параболического типа
с экспоненциальными нелинейностями
Сергей А. Мельник
(Представлена С. Я. Махно)
Аннотация. В работе получены условия, при которых обобщен-
ное решение задачи Коши для стохастического уравнения Ито пара-
болического типа с экспоненциальными нелинейностями допускает
расслоение.
2000 MSC. 60F10, 62F05.
Ключевые слова и фразы. Стохастическое уравнение в частных
производных, амплитуда, фронт, расслоение.
1. Определения, обозначения, постановка задачи
На полном вероятностном пространстве (Ω,F,P) рассмотрим сле-
дующую задачу Коши в R
1
du(t, x) = a(eu(t,x))xx dt+ beγu(t,x) dw(t),
t ∈ [0; τ), x ∈ R
1, u(0, x) = u0(x).
(1.1)
Здесь: w(t) — стандартный винеровский процесс со значениями в R
1,
согласованный с потоком σ-алгебр {Ft}, t ≥ 0; a, γ — положительные
числа; τ — марковский момент остановки, согласованный с потоком
σ-алгебр {Ft}, t ≥ 0; u0(x) — неслучайная неотрицательная функция
такая, что
∫
u0(x) exp(u0(x)) dx < +∞. Буквенный индекс, стоящий
внизу возле знака функции, означает взятие частной производной по
соответствующей переменной.
Задача (1.1) рассматривается на случайном отрезке времени. Это
вызвано тем, что при различных сочетаниях параметров решение за-
дачи (1.1) может существовать как бесконечно долго, так и “взрыва-
ться”. Определение решения задачи (1.1) на случайном отрезке време-
ни [0; τ) дадим следуя аналогичному определению для обыкновенных
Статья поступила в редакцию 23.09.2008
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
С. А. Мельник 337
стохастических дифференциальных уравнений, сформулированному
в [1, c. 246]. Под решением задачи (1.1) будем понимать случайный
процесс u(t, x), подчиненный потоку σ-алгебр {Ft}, t ≥ 0, и удов-
летворяющий уравнению (1.1) в смысле определения 2.1 [2, c. 104],
т.е.
∫
u(t, x)g(x) dx−
∫
u(0, x)g(x) dx
= −a
t∧τ
∫
0
∫
(eu(s,x))xgx(x) dx ds+ b
t∧τ
∫
0
∫
eγu(s,x)g(x) dx dw(s)
при каждом t ∈ [0; +∞) для любой g ∈W 1
2 (R1) с вероятностью 1.
В работе используются следующие обозначения:
W = W 1
2 (R1)
⋂
Lγ+1(R
1)
⋂
L1(R
1),
p = ‖v‖1
1 =
∫
v(y) dy, q = ‖v‖γ+1
γ+1 =
∫
|v(y)|γ+1 dy,
z = ‖vy‖2
2 =
∫
|vy(y)|2dy, l =
∫
v(y) ln v(y) dy,
Λ = (
B(γ + 1)p
bq
)1/γ , y0 = min{y > 0 : v(y) = 0}.
Определение 1.1. Говорят, что процесс U(t, x) допускает расслое-
ние, если он может быть представлен в виде: U(t, x)=r(t)v(xrm(t)),
где r(t) — случайный процесс, который с вероятностью 1 принима-
ет неотрицательные значения, m ∈ R
1, v ∈ W. Процесс r(t) называ-
ют амплитудой, а функцию v(y) пространственной формой процес-
са U(t, x). Процесс x0(t) = min{x > 0 : v(xrm(t)) = 0} называется
точкой фронта процесса U(t, x).
Замечание 1.1. В данной работе за основу принят подход к изу-
чению нелинейных уравнений в частных производных, предложен-
ный в работе [3]. Структура уравнения (1.1) такова, что удобнее
строить расслоение не самого решения u(t, x), а процесса U(t, x) =
exp(u(t, x)).
Замечание 1.2. В теории детерминированных уравнений в частных
производных параболического типа большую роль играют решения,
пространственная форма которых является дифференцируемой в ну-
ле четной неотрицательной функцией, убывающей на положительной
полуоси [4, c. 173–174]. В данной работе рассматриваются решения с
аналогичными свойствами.
338 Расслоение решений стохастических уравнений...
Постановка задачи. Пусть исходные данные задачи (1.1) удов-
летворяют перечисленным выше ограничениям. Выясним, при каких
условиях процесс U(t, x) допускает расслоение, а также построим
уравнения, которым удовлетворяют его амплитуда и пространствен-
ная форма.
2. Основные результаты
Теорема 2.1. Пусть выполнены следующие условия:
1. a > 0, A < 0, bB > 0, γ > 0.
2. r(t) является решением задачи
dr(t) = (Ar4(t) + 0.5B2r2γ+1(t)) dt+Brγ+1(t) dw(t),
r(0) = r0 > 0. (2.1)
3. v(y) является решением задачи
vyy =
A
a
Λ2γ+3q3/γ
(
1 +
3(γ + 1)p
γq
vγ
)
, y ∈ (−y0; y0),
v(−y) = v(y), vy(0) = 0, v(0) = v0 > 0.
(2.2)
4. u0(x) = ln[r0Λv(xr0Λ
γ+1q)] при x ∈ (− y0
r0q
Λ−γ−1; y0
r0q
Λ−γ−1).
Тогда решение задачи (1.1) допускает представление следующего ви-
да
u(t, x)=ln[r(t)Λv(xr(t)Λγ+1q)] при x∈
(
− y0
r(t)q
Λ−γ−1;
y0
r(t)q
Λ−γ−1
)
.
3. Вспомогательные результаты
В данном разделе предполагаются выполненными условия теоре-
мы 2.1.
Замечание 3.1. Согласно теореме 6 [1, c. 246] для любых действи-
тельных чисел A и B существует момент остановки τ такой, что
P{τ > 0} = 1 и решение уравнения (2.1) существует и единственно
при t ∈ [0; τ). Кроме того, как показано в [5, теорема 4.35, теоре-
ма 4.37], существует единственное неотрицательное решение задачи
(2.1). Поэтому степенные выражения в уравнении (2.1) определены.
С. А. Мельник 339
Докажем существование и единственность решения задачи (2.2)
и изучим его свойства.
Лемма 3.1. Существует число Y0 > 0 такое, что задача
VY Y (Y ) +
3(γ + 1)
γ
V γ(Y ) + 1 = 0,
Y ∈ [0;Y0], V (0) = V0 > 0, VY (0) = 0,
(3.1)
имеет единственное неотрицательное решение, обладающее следу-
ющими свойствами:
1. Точка Y0 является точкой фронта решения, т.е.
Y0 = min{Y > 0 : V (Y ) = 0}.
2. Решение V (Y ) является выпуклой вверх функцией при Y ∈
[0;Y0).
Доказательство. Наряду с задачей (3.1) рассмотрим вспомогатель-
ную задачу Коши
VY Y (Y ) +
3(γ + 1)
γ
|V (Y )|γ−1V (Y ) + 1 = 0,
Y ∈ [0; +∞), V (0) = V0 > 0, VY (0) = 0.
Поскольку функция 3(γ + 1)|V (Y )|γ−1V (Y ) + γ является непрерыв-
ной, то согласно [6, c. 89] существует, по крайней мере, одно решение
вспомогательной задачи и всякое такое решение является непрерыв-
ной функцией. Обозначим Y0 = min{Y > 0 : V (Y ) = 0}. Так как
V (0) = V0 > 0, то всякое решение либо строго положительно при
всех Y ≥ 0 и Y0 = +∞, либо существует число, являющееся точкой
фронта решения, т.е. Y0 < +∞. Функция 3(γ + 1)|V (Y )|γ−1V (Y ) + γ
является локально липшицевой на множестве V ∈ (0;V0]. Значит,
согласно [6, c. 89] при Y ∈ [0;Y0) вспомогательная задача имеет един-
ственное решение, которое принимает положительные значения на
указанном множестве. Но при Y ∈ [0;Y0) вспомогательная задача и
задача (3.1) совпадают. Значит, задача (3.1) имеет единственное не-
отрицательное решение. Покажем, что решение задачи (3.1) имеет
конечную точку фронта. Понизив порядок уравнения (3.1), получим
задачу
VY = −
√
C0 −
3
γ
V γ+1 − V , Y ≥ 0, V (0) = V0, (3.2)
340 Расслоение решений стохастических уравнений...
где C0 = 3
γV
γ+1
0 + V0 > 0. Поскольку C0 − 3
γV
γ+1 + V > 0 при
V ∈ [0;V0), то VY (Y ) < 0 при Y ∈ (0;Y0), причем limY→Y0
VY (Y ) =
−
√
C0 < 0. Это означает, что решение задачи (3.1) имеет конечную
точку фронта и является положительной слева от неё. Определим тип
выпуклости функции V (Y ). Из уравнения (3.1) следует, что VY Y < 0
при Y ∈ [0;Y0]. Лемма 3.1 доказана.
Лемма 3.2. Если a > 0, A < 0, Bb > 0, γ > 0, v0 > 0, то суще-
ствует число y0 > 0 такое, что задача
vyy(y) =
A
a
q3/γ
[3(γ + 1)p
γq
vγ(y) + 1
]
,
y ∈ [0; y0], v(0) = v0, vy(0) = 0
(3.3)
имеет единственное неотрицательное решение с точкой фронта y0
и выпуклое вверх при y ∈ [0; y0].
Доказательство. Воспользуемся методом, изложенным в [3]. Рас-
смотрим функционал ζ(v) = Apq3/γ + 0.5az. Прежде всего отметим,
что ∇ζ(v) = Aq3/γ [3(γ+1)p
γq vγ(y) + 1] − avyy(y), т.е. критические точки
функционала ζ(v) являются решениями уравнения (3.3). В качестве
нормирующего функционала выберем E(s, v) = E(v) = p/q. Отме-
тим, что ∇E(v) = 1/q − (γ + 1)pvγ/q2 и 〈∇E(v), v〉 = −γp/q 6= 0, т.е.
выполнено условие (5.1) из [3]. Обозначим S = {v ∈ W : p/q = 1}. По-
ложим v(y) = ρv̄(y), где ρ ≥ 0, v̄ ∈ S. Тогда, ζ(ρv̄) = Aρ(4γ+3)/γ p̄q̄3/γ+
0.5aρ2z̄. Покажем, что выполнено условие реализуемости расслоения
(2.1) [3]
ζρ(ρv̄) =
4γ + 3
γ
Aρ3(γ+1)/γ p̄q̄3/γ + aρz̄ = 0.
Так как a > 0, A < 0, то уравнение имеет единственный положитель-
ный корень ρ0 = (− aγz̄
A(4γ+3)p̄q̄3/γ )γ/(2γ+3), являющийся точкой макси-
мума функции ζ(ρv̄) как функции от ρ. Тогда
ζ̂(v̄) = max
ρ>0
ζ(ρv̄) = Ĉ
( z̄(4γ+3)/(2γ)
p̄q̄3/γ
)2γ/(2γ+3)
,
где Ĉ = a(2γ+3)
2(4γ+3) (−
aγ
A(4γ+3))
2γ/(4γ+3). Докажем, что функционал ζ̂(v̄)
имеет условно стационарную точку на S. Функция Лагранжа имеет
вид: L(v̄, α) = ζ̂(v̄)−α(q̄/p̄−1). Точки, подозрительные на экстремум,
С. А. Мельник 341
находим из уравнения
Lv̄(v̄, α) = − 2
2γ + 3
C̄(z̄4γ+3p̄−4γ−3q̄−6)1/(2γ+3)
×
[
(4γ + 3)
p̄
z̄
v̄yy + 3(γ + 1)
p̄
q̄
v̄γ + γ
]
−
− α
(1
q̄
− (γ + 1)
p̄
q̄2
v̄γ
)
= 0
при условии q̄ = p̄. Умножив уравнение на v̄(y) и проинтегрировав по
y, получим: αγp̄/q̄ = 0, т.е. α = 0. Тогда, уравнение, с учётом условия,
принимает вид:
(4γ + 3)
p̄
z̄
v̄yy + 3(γ + 1)v̄γ + γ = 0. (3.4)
Добавив начальные условия v̄y(0) = 0, v̄(0) = v̄0 > 0, получим за-
дачу Коши для функции v̄(y). Произведём замены: Y =
√
γz̄
(4γ+3)p̄y,
V (Y ) = v̄(y). Для функции V (Y ) получаем задачу (3.1). Согласно
лемме 3.1 функция V (Y ) является единственным неотрицательным
решением задачи (3.1), имеет конечную точку фронта и выпукла
вверх при Y ∈ [0;Y0]. Тогда, функция v(y) = ρ0V (Y ) является един-
ственным неотрицательным решением задачи (3.3), которое имеет ко-
нечную точку фронта y0, и выпукла вверх при y ∈ [0; y0]. Лемма 3.2
доказана.
Лемма 3.3. Если a > 0, A < 0, Bb > 0, γ > 0, то задача (2.2)
имеет единственное неотрицательное решение, которое имеет ко-
нечную точку фронта, и является выпуклой вверх функцией всюду,
где она положительна.
Доказательство. Вначале рассмотрим задачу (2.2) на множестве y ∈
[0; y0). В уравнении (2.2) произведём замену переменных: y = B(γ +
1)pỹ/q, v(y) = ṽ(ỹ). Тогда, функция ṽ(ỹ) удовлетворяет уравнению и
условиям задачи (3.3). В силу леммы 3.2 функция ṽ(ỹ) существует,
единственна и обладает необходимыми свойствами. Продолжив по-
строенную функцию симметричным образом на интервал y∈(−y0; 0),
получим решение задачи (2.2) с необходимыми свойствами. Лемма 3.3
доказана.
Лемма 3.4. Если V (Y ) — решение задачи (3.1), то справедливы сле-
дующие равенства:
1. ‖V ‖1
1 = ‖V ‖γ+1
γ+1 =
√
−A
a ( b
B(γ+1))
2γ+3
2γ .
342 Расслоение решений стохастических уравнений...
2. ‖VY ‖2
2 = 4γ+3
γ ‖V ‖1
1 = 4γ+3
γ
√
−A
a ( b
B(γ+1))
2γ+3
2γ .
3. Y0 = 5γ+6
2(4γ+3)C0
‖VY ‖2
2 = 5γ+6
2γC0
√
−A
a ( b
B(γ+1))
2γ+3
2γ .
Доказательство. Согласно лемме 3.2 имеет место равенство ‖v̄‖1
1 =
‖v̄‖γ+1
γ+1. Но v̄(ỹ) = V
(
√
γz̄
(4γ+3)p̄ ỹ
)
. Значит, ‖V ‖1
1 = ‖V ‖γ+1
γ+1. Поскольку
v(y) = v(B(γ + 1)pỹ/b) = ṽ(ỹ), то p = ‖v‖1
1 = B(γ + 1)p‖ṽ‖1
1/b, т.е.
‖ṽ‖1
1 = b
B(γ+1) . Поскольку ṽ(ỹ) = ρ0v̄(ỹ), то ‖ṽ‖1
1 = (− aγz̄p̄
A(4γ+3))
γ/(2γ+3).
Значит, z̄p̄ = −A(4γ+3)
aγ ( b
B(γ+1))
(2γ+3)/γ . С другой стороны, из равен-
ства v̄(ỹ) = V
(
√
γz̄
(4γ+3)p̄ ỹ
)
следует, что z̄p̄ = 4γ+3
γ (‖V ‖1
1)
2. Значит,
справедливо первое равенство леммы 3.4. Умножив уравнение (3.1)
на V (Y ) и проинтегрировав, получим второе равенство леммы 3.4.
Возведя равенство (3.2) в квадрат и проинтегрировав, получим ра-
венство: ‖V ‖2
2 = 2C0Y0− 3+γ
γ ‖V ‖1
1, которое, с учетом первого и второго
равенств, дает третье равенство. Лемма 3.4 доказана.
4. Доказательство теоремы 2.1
В задаче (1.1) произведём замену фазовой переменной U(t, x) =
exp(u(t, x)). Тогда
d lnU(t, x) = aUxxdt+ bUγdw(t),
t ∈ [0; τ), x ∈ R
1, U(0, x) = exp(u0(x)).
(4.1)
Рассмотрим функционал
f(U) =
∫
U(t, x) lnU(t, x) dx
−
∫
U(0, x) lnU(0, x) dx+
a
2
t
∫
0
‖Ux(s, ·)‖2
2 ds
− b
γ + 1
t
∫
0
‖U(s, ·)‖γ+1
γ+1 dw(s).
Он определен на пространстве L2([0;T ) × Ω;W) и дифференцируем
по Гато по подпространству W в среднем квадратическом [7, c. 118].
С. А. Мельник 343
Его дифференциал Гато по подпространству равен
Df(U) =
∫
lnU(t, x)g(x) dx
−
∫
lnU(0, x)g(x) dx+ a
t
∫
0
∫
Ux(s, x)gx(x) dx ds
− b
t
∫
0
∫
|U(s, x)|γ−1U(s, x)g(x) dx dw(s).
Здесь g ∈ W 1
2 (R1). Таким образом, критические точки функциона-
ла f(U), являющиеся положительными функциями, будут являться
решениями задачи (4.1), а решения задачи (1.1) могут быть получе-
ны из решений задачи (4.1) с помощью равенства u(t, x) = lnU(t, x).
Докажем, что функционал f(U) имеет критическую точку, допуска-
ющую расслоение. Подставим в f(U) следующее выражение U(t, x) =
r(t)φ(p, q)v(y), где: y = xr(t)ψ(p, q), r(t) — решение задачи (2.1) с не-
которыми действительными A, B и положительным r(0); φ(p, q) и
ψ(p, q) — некоторые неотрицательные дифференцируемые функции;
v(y) — решение задачи (2.2). Согласно замечанию 3.1 процесс r(t)
существует, единственен и принимает положительные значения. Со-
гласно лемме 3.3 функция v(y) может быть построена. Тогда,
∫
U(t, x) dx =
φ
ψ
p,
∫
|U(t, x)|γ+1 dx =
φγ+1
ψ
qrγ(t),
∫
|Ux(t, x)|2 dx = φ2ψzr3(t),
∫
U(t, x) lnU(t, x) dx =
φ
ψ
p
[
ln r(t) + lnφ+
l
p
]
(4.2)
и
f(U) =
pφ
ψ
(ln r(t) − ln r(0)) + 0.5azφ2ψ
t
∫
0
r3(s) ds
− bqφγ+1
(γ + 1)ψ
t
∫
0
rγ(s) dw(s).
Выберем φ(p, q) = (B(γ+1)p
bq )1/γ . Тогда pφ
ψ = bqφγ+1
B(γ+1)ψ и
344 Расслоение решений стохастических уравнений...
f(U) =
pφ
ψ
(ln r(t) − ln r(0) −B
t
∫
0
rγ(s) dw(s)) + 0.5azφ2ψ
t
∫
0
r3(s) ds.
Из уравнения (2.1) по формуле Ито получаем:
ln r(t) − ln r(0) −B
t
∫
0
rγ(s) dw(s) = A
t
∫
0
r3(s) ds.
Следовательно,
f(U) =
Apφ
ψ
t
∫
0
r3(s) ds+ 0.5a
t
∫
0
‖Ux(s, ·)‖2
2 ds.
Если ψ = φγ+1q, то (‖U(s, ·)‖γ+1
γ+1)
3/γ = r3(s) и
f(U) =
t
∫
0
[
A‖U(s, ·)‖1
1 ‖U(s, ·)‖3(γ+1)/γ
γ+1 + 0.5a‖Ux(s, ·)‖2
2
]
ds.
Вычислим дифференциал Гато функционала f(U) по подпространст-
ву W.
Df(U) =
t
∫
0
∫
[
A‖U(s, ·)‖3(γ+1)/γ
γ+1
+
3(γ + 1)
γ
A‖U(s, ·)‖1
1 ‖U(s, ·)‖(3−γ)(γ+1)/γ
γ+1 Uγ(s, x)
− aUxx(s, x)
]
g(x) dx ds.
Так как U(s, x) = r(s)φv(r(s)φγ+1qx), то
Ux(s, x) = r2(s)φγ+2qvy(r(s)φ
γ+1qx).
Тогда, с учетом равенств (4.2), получаем
Df(U) =
t
∫
0
r3(s)
∫
[
A+
3(γ + 1)Ap
γq
vγ(r(s)φγ+1qx)
− aφ2γ+3q2vyy(r(s)φ
γ+1qx)
]
g(x) dx ds.
Так как функция v(y) является решением задачи (2.2), то выраже-
ние в квадратных скобках равно нулю и Df(U) = 0. Значит, фун-
кция U(t, x) = r(t)φv(r(t)φγ+1qx) является решением задачи (4.1) при
|x| < y0/(r(t)Λ
γ+1q), а функция u(t, x) = lnU(t, x) является решением
задачи (1.1). Теорема 2.1 доказана.
С. А. Мельник 345
5. Применение расслоения к изучению
динамики решения задачи (1.1)
Исследуем предельное поведение процесса u(t, x) при t → +∞.
Согласно доказанной теореме 2.1 пространственная форма v(y) и ам-
плитуда r(t) определяют решение задачи (1.1). Вначале исследуем
предельное поведение процесса r(t), который является решением за-
дачи (2.1).
Теорема 5.1. Пусть процесс r(t) является решением задачи (2.1).
Если A < 0, r0 > 0, 0 < γ < 1.5, то
P
{
lim
t→+∞
r(t) = 0
}
= 1 − P∞, P
{
lim
t→+∞
r(t) = +∞
}
= P∞,
где: P∞ = Γ(2/(3 − 2γ), h(r0))/Γ(2/(3 − 2γ)), Γ(x), Γ(x, h) — полная
и неполная гамма-функции, h(r) = 2|A|
(3−2γ)B2 r
3−2γ.
Доказательство. Обозначим P (r, ǫ, R, α) — решение следующей за-
дачи
0.5B2r2(γ+1)Prr(r, ǫ, R, α) + (Ar4 + 0.5B2r2γ+1)Pr(r, ǫ, R, α) = 0,
0 < ǫ < r < R < +∞,
P (ǫ, ǫ, R, α) = α, P (R, ǫ,R, α) = 1 − α, 0 ≤ α ≤ 1.
(5.1)
Если α = 1, то P (r, ǫ, R, 1) является вероятностью выхода процесса
r(t) из интервала (ǫ;R) через левый конец при условии, что r(0) =
r ∈ (ǫ;R). Если α = 0, то P (r, ǫ, R, 0) является вероятностью выхода
процесса r(t) из интервала (ǫ;R) через правый конец при условии,
что r(0) = r ∈ (ǫ;R).
Решение задачи (5.1) имеет вид
P (r, ǫ, R, α) = α+ (1 − 2α)H(ǫ, r)/H(ǫ, R),
где
H(ǫ, r) =
r
∫
ǫ
m exp(−h(m)) dm.
Замена s = h(m) приводит H(ǫ, r) к виду
346 Расслоение решений стохастических уравнений...
H(ǫ, r) =
(B2(3 − 2γ)
2|A|
)2/(3−2γ) 1
3 − 2γ
h(r)
∫
h(ǫ)
s2/(3−2γ)−1e−s ds.
По условию теоремы 3 − 2γ > 0. Значит,
lim
ǫ→0,
R→+∞
P (r, ǫ, R, α) = α+ (1 − 2α)Γ(2/(3 − 2γ), h(r0))/Γ(2/(3 − 2γ)).
Положив, поочередно, α = 1 и α = 0, получим утверждение теоремы.
Теорема 5.1 доказана.
Теорема 5.2. Пусть процесс r(t) является решением задачи (5.1).
Если A < 0, r0 > 0, γ = 1.5, то
P
{
lim
t→+∞
r(t) = 0
}
= 1,
причем время достижения процессом r(t) значения 0 с вероятно-
стью 1 конечно.
Доказательство. В случае γ = 1.5 решением задачи (5.1) является
функция P (r, ǫ, R, α) = α+ (1− 2α)(rλ − ǫλ)/(Rλ − ǫλ), λ = −2AB−2.
Так как A < 0, то λ > 0 и
lim
ǫ→0,
R→+∞
P (r, ǫ, R, 1) = 1, lim
ǫ→0,
R→+∞
P (r, ǫ, R, 0) = 0.
Таким образом, процесс r(t) с вероятностью 1 устремится к нулю. До-
кажем, что время достижения точки ноль является конечным. Обо-
значим: τ0, τǫ, τR — моменты достижения процессом r(t) значений 0,
ǫ и R, соответственно.
lim
ǫ→0
P (r, ǫ, R, 1) = (Rλ − rλ)R−λ = P{τ0 < τR}.
Тогда
P{τ0 < +∞} = lim
R→+∞
P{τ0 < τR} = 1.
Это означает, что время достижения процессом r(t) значения 0 с ве-
роятностью 1 конечно. Теорема 5.2 доказана.
Теорема 5.3. Пусть процесс r(t) является решением задачи (2.1).
Если A < 0, r0 > 0, γ > 1.5, то
С. А. Мельник 347
P
{
lim
t→+∞
r(t) = 0
}
= 1,
причем время достижения процессом r(t) значения 0 с вероятно-
стью 1 бесконечно.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 5.1 функция
P (r, ǫ, R, α) = α+ (1 − 2α)H(ǫ, r)/H(ǫ, R)
является решением задачи (5.1) и при α = 1 задает вероятность выхо-
да процесса r(t) из интервала (ǫ;R) через левый конец. Положим
α = 1. Тогда P (r, ǫ, R, 1) = (H(ǫ, R) − H(ǫ, r))/H(ǫ, R). Так как в
рассматриваемом случае 3 − 2γ < 0, то замена s = −h(m) приводит
функцию H(ǫ; r) к виду:
H(ǫ, r) =
(B2(2γ − 3)
2|A|
)2/(3−2γ) 1
3 − 2γ
−h(ǫ)
∫
−h(r)
s2/(3−2γ)−1es ds.
Тогда
P (r, ǫ, R, 1) =
−h(r)
∫
−h(R)
s2/(3−2γ)−1es ds
/
−h(ǫ)
∫
−h(R)
s2/(3−2γ)−1es ds.
Предельным переходом R → +∞ получаем вероятность того, что
процесс r(t) когда-либо достигнет значения ǫ. Поскольку
lim
R→+∞
P (r, ǫ, R, 1) = 1, ∀ ǫ > 0,
то
P
{
lim
t→+∞
r(t) = 0
}
= 1.
Выясним, достигнет ли процесс r(t) точки 0 за конечное время.
Воспользуемся обозначениями, введенными в доказательстве теоре-
мы 5.2. Поскольку τ0 = limǫ→0 τǫ, то
P{τ0 < τR} = lim
ǫ→0
P{τǫ < τR} = lim
ǫ→0
P (r, ǫ, R, 1) = 0 = P{τ0 < +∞}.
Теорема 5.3 доказана.
348 Расслоение решений стохастических уравнений...
Полученные результаты позволяют описать структуру и дина-
мику решений задачи 2.1, построенных в теореме 2.1. Если выпол-
нены условия теоремы 2.1, то решение задачи имеет вид: u(t, x) =
ln[r(t)Λv(xr(t)Λγ+1q)] при x ∈ (− y0
r(t)qΛ
−γ−1; y0
r(t)qΛ
−γ−1). Пространс-
твенная форма решения определяется функцией v(y). Согласно лем-
ме 3.3 функция v(y) имеет конечную точку фронта y0 и на интервале
(−y0; y0) является четной положительной выпуклой вверх функци-
ей. Тогда, процесс u(t, x) определен на интервале (−x0(t);x0(t)), где
x0(t) = y0/(r(t)qΛ
γ+1), и
lim
x→−x0(t)+0
u(t, x) = lim
x→x0(t)−0
u(t, x) = −∞
при каждом t ≥ 0 с вероятностью 1. Процесс u(t, x), как функция
переменной x, является четной функцией и достигает максимума в
точке x = 0. Если 0 < γ < 1.5, то, согласно теореме 5.1, либо про-
цесс r(t) с вероятностью 1−P∞ устремится к нулю, либо с вероятно-
стью P∞ устремится к бесконечности. В первом случае: x0(t) → +∞,
u(t, 0) → −∞ при t→ +∞. Во втором случае: x0(t) → 0, u(t, 0) → +∞
при t→ +∞. Если γ = 1.5, то, согласно теореме 5.2, с вероятностью 1
реализуется первый сценарий, причем время жизни процесса конеч-
но. Если γ > 1.5, то, согласно теореме 5.3, вновь с вероятностью 1
реализуется первый сценарий, но время жизни процесса в этом слу-
чае бесконечно.
Литература
[1] И. И. Гихман, А. В. Скороход, Стохастические дифференциальные уравне-
ния и их приложения. Киев, Наук. думка, 1982, 536 с.
[2] Н. В. Крылов, Б. Л. Розовский, Об эволюционных стохастических уравнени-
ях // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Москва,
ВИНИТИ, 14 (1979), 74–147.
[3] С. И. Похожаев, Об одном подходе к нелинейным уравнениям // ДАН СССР.
Математика, 241.6 (1979), 1327–1331.
[4] А. А. Самарский, В. П. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов, Ре-
жимы с обострениями в задачах для квазилинейных параболических урав-
нений. Москва, Наука, 1987, 475 с.
[5] H. J. Engelbert, W. Schmidt, Strong Markov continuous local vartingals and
solutions of one-dimentional stochastic differential equations (part III) // Math.
Nachr., Berlin 151 (1991), 149–197.
[6] Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференцильным уравнениям. Мо-
сква, Наука, 1971, 576 с.
[7] Х.-С. Гo, Гауссовские меры в банаховых пространствах. Москва, Мир, 1979,
176 с.
С. А. Мельник 349
Сведения об авторах
Сергей
Анатольевич
Мельник
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины
Розы Люксембург 74,
Донецк, 83114,
Украина
E-Mail: melnik@iamm.ac.donetsk.ua
|