Эллиптические по Дуглису-Ниренбергу системы в пространствах обобщенной гладкости
Изучена равномерно эллиптическая по Дуглису–Ниренбергу линейная система псевдодифференциальных уравнений в гильбертовой шкале функциональных пространств Хермандера, заданных на евклидовом пространстве. Доказана априорная оценка решения системы и исследована его внутренняя гладкость в этой шкале. В к...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124346 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Эллиптические по Дуглису-Ниренбергу системы в пространствах обобщенной гладкости / А.A. Мурач // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 350-365. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124346 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243462018-07-17T22:16:28Z Эллиптические по Дуглису-Ниренбергу системы в пространствах обобщенной гладкости Мурач, А.А. Изучена равномерно эллиптическая по Дуглису–Ниренбергу линейная система псевдодифференциальных уравнений в гильбертовой шкале функциональных пространств Хермандера, заданных на евклидовом пространстве. Доказана априорная оценка решения системы и исследована его внутренняя гладкость в этой шкале. В качестве приложения найдено достаточное условие существования непрерывных ограниченных производных у решения. 2008 Article Эллиптические по Дуглису-Ниренбергу системы в пространствах обобщенной гладкости / А.A. Мурач // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 350-365. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 35J45, 46E35. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124346 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Изучена равномерно эллиптическая по Дуглису–Ниренбергу линейная система псевдодифференциальных уравнений в гильбертовой шкале функциональных пространств Хермандера, заданных на евклидовом пространстве. Доказана априорная оценка решения системы и исследована его внутренняя гладкость в этой шкале. В качестве приложения найдено достаточное условие существования непрерывных ограниченных производных у решения. |
| format |
Article |
| author |
Мурач, А.А. |
| spellingShingle |
Мурач, А.А. Эллиптические по Дуглису-Ниренбергу системы в пространствах обобщенной гладкости Український математичний вісник |
| author_facet |
Мурач, А.А. |
| author_sort |
Мурач, А.А. |
| title |
Эллиптические по Дуглису-Ниренбергу системы в пространствах обобщенной гладкости |
| title_short |
Эллиптические по Дуглису-Ниренбергу системы в пространствах обобщенной гладкости |
| title_full |
Эллиптические по Дуглису-Ниренбергу системы в пространствах обобщенной гладкости |
| title_fullStr |
Эллиптические по Дуглису-Ниренбергу системы в пространствах обобщенной гладкости |
| title_full_unstemmed |
Эллиптические по Дуглису-Ниренбергу системы в пространствах обобщенной гладкости |
| title_sort |
эллиптические по дуглису-ниренбергу системы в пространствах обобщенной гладкости |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124346 |
| citation_txt |
Эллиптические по Дуглису-Ниренбергу системы в пространствах обобщенной гладкости / А.A. Мурач // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 350-365. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT muračaa élliptičeskiepoduglisunirenbergusistemyvprostranstvahobobŝennojgladkosti |
| first_indexed |
2025-07-09T01:17:57Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:17:57Z |
| _version_ |
1837130190633828352 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 5 (2008), № 3, 350 – 365
Эллиптические по Дуглису–Ниренбергу
системы в пространствах обобщенной
гладкости
Александр А. Мурач
(Представлена М. Л. Горбачуком)
Аннотация. Изучена равномерно эллиптическая по Дуглису–Ни-
ренбергу линейная система псевдодифференциальных уравнений в
гильбертовой шкале функциональных пространств Хермандера, за-
данных на евклидовом пространстве. Доказана априорная оценка
решения системы и исследована его внутренняя гладкость в этой
шкале. В качестве приложения найдено достаточное условие суще-
ствования непрерывных ограниченных производных у решения.
2000 MSC. 35J45, 46E35.
Ключевые слова и фразы. Равномерно эллиптическая система,
пространства Хермандера, интерполяция с функциональным пара-
метром, априорная оценка решения, гладкость решения.
1. Введение и постановка задачи
В пространстве R
n рассматривается линейная система псевдодиф-
ференциальных уравнений
p∑
k=1
Aj,k uk = fj , j = 1, . . . , p. (1.1)
Здесь целые n, p ≥ 1, а Aj,k, где j, k = 1, . . . , p, — скалярные классиче-
ские (полиоднородные) псевдодифференциальные операторы (ПДО),
заданные в пространстве R
n [1, п. 1.5, 3.1]. Символ aj,k(x, ξ) ПДО Aj,k
является комплексно значной бесконечно дифференцируемой фун-
кцией аргументов x, ξ ∈ R
n, любая производная которой удовлетво-
ряет неравенству
|∂αx ∂
β
ξ aj,k(x, ξ) | ≤ cα,β 〈ξ〉
rj,k−|β| для любых x, ξ ∈ R
n. (1.2)
Статья поступила в редакцию 24.09.2008
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
А. A. Мурач 351
Здесь и далее rj,k := ordAj,k, 〈ξ〉 := (1+‖ξ‖2)1/2, где ‖ξ‖ := (ξ21 + · · ·+
ξ2n)
1/2, ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ R
n, и |β| := β1 + · · · + βn для мультииндекса
β = (β1, . . . , βn).
Решение уравнения (1.1) понимается в смысле теории распреде-
лений. Важным примером системы (1.1) является система линейных
дифференциальных уравнений с бесконечно гладкими комплексными
коэффициентами, ограниченными со всеми производными в R
n.
Определение 1.1 ([1, п. 3.2.b]). Cистема (1.1) называется равно-
мерно эллиптической в R
n по Дуглису–Ниренбергу, если существу-
ют наборы вещественных чисел {l1, . . . , lp} и {m1, . . . ,mp} такие,
что:
i) ordAj,k ≤ lj +mk для всех j, k = 1, . . . , p;
ii) найдется число c > 0 такое, что
|det
(
a
(0)
j,k(x, ξ)
)p
j,k=1
| ≥ c для любых x, ξ ∈ R
n, ‖ξ‖ = 1,
где a
(0)
j,k(x, ξ) — главный символ ПДО Aj,k в случае ordAj,k =
lj +mk, либо a
(0)
j,k(x, ξ) ≡ 0 в случае ordAj,k < lj +mk.
Далее предполагается, что система (1.1) удовлетворяет определе-
нию 1.1.
Общие эллиптические системы уравнений смешанного порядка
были введены А. Дуглисом и Л. Ниренбергом в [2]. Ими получе-
ны априорные оценки решения такой эллиптической системы диф-
ференциальных уравнений в подходящих парах пространств Гельде-
ра (нецелых порядков). Л. Хермандер [3, п. 175] установил априор-
ные оценки решения общей эллиптической системы псевдодифферен-
циальных уравнений в подходящих парах пространств Соболева. В
случае, когда эллиптическая система задана на гладком замкнутом
(компактном) многообразии, эти оценки равносильны тому, что огра-
ниченный оператор, соответствующий системе, является фредголь-
мовым (т. е. имеет конечный индекс) [1, п. 3.2.b], [4, п. 19.5]. Если
многообразие не компактно, то на символ равномерно эллиптическо-
го ПДО необходимо накладывать некоторые дополнительные усло-
вия, обеспечивающие фредгольмовость оператора [5, гл. IV], [6], [1,
п. 3.1.h]).
В отличие от цитированных работ, мы изучаем систему (1.1) в
гильбертовой шкале специальных изотропных пространств Херман-
дера [7, п. 2.2], [8, п. 10.1]
Hs,ϕ(Rn) := B2, 〈·〉s ϕ(〈·〉) =
{
w ∈ S ′(Rn) : 〈ξ〉sϕ(〈ξ〉) ŵ(ξ) ∈ L2(R
n
ξ )
}
.
(1.3)
352 Эллиптические системы
Здесь, как обычно, S ′(Rn) — линейное топологическое пространство
Л. Шварца медленно растущих распределений (антилинейных фун-
кционалов), заданных в R
n, а ŵ(ξ) — преобразование Фурье распре-
деления w. Пространство Hs,ϕ(Rn) зависит от двух параметров: чи-
слового s ∈ R и функционального ϕ. Последний эквивалентен в окре-
стности бесконечности медленно меняющейся по Карамата функции.
В частности, допустима любая эталонная функция
ϕ(t) = (log t)j1(log log t)j2 . . . (log . . . log t)jk при t≫ 1,
где целое k ≥ 1, а j1, j2, . . . , jk ∈ R. Отметим, что в гильбертовом слу-
чае пространства Хермандера, а значит, и пространства (1.3), совпа-
дают с пространствами, введенными и изученными Л. Р. Волевичем
и Б. П. Панеяхом [9, § 2], [10, п. 1.4.2].
Класс пространств (1.3) содержит шкалу пространств Соболева
Hs(Rn) = Hs,1(Rn), привязан к ней числовым параметром s и, очеви-
дно, много тоньше ее. Этот класс мы называем уточненной шкалой
(по отношению к соболевской шкале). Благодаря своим интерполя-
ционным свойствам пространства Hs,ϕ(Rn) занимают особое место
среди пространств обобщенной гладкости, которые все активнее ис-
следуются и используются в последние годы (см. обзор [11], недавнюю
работу [12] и приведенную там литературу).
Линейный оператор, соответствующий системе (1.1), непрерывно
действует из пространства
⊕p
k=1 H
s+mk, ϕ(Rn) в пространство⊕p
j=1 H
s−lj , ϕ(Rn). В парах этих пространств нами доказана апри-
орная оценка решения системы (1.1) (теорема 4.1) и исследована его
гладкость (теоремы 5.1, 5.2). В качестве приложения установлено до-
статочное условие существования непрерывных ограниченных прои-
зводных у решения (теорема 6.1).
Эллиптические операторы и эллиптические краевые задачи на
гладких компактных многообразиях ранее исследованы в пространс-
твах Хермандера в работах [14–24].
2. Уточненная шкала
Сформулируем необходимое нам определение [25, п. 1.1].
Определение 2.1. Функция ϕ : (b,∞) → (0,∞), где b ∈ R, называе-
тся медленно меняющейся на бесконечности по Карамата, если она
измерима по Борелю на полуоси (b1,∞) для некоторого числа b1 ≥ b
и удовлетворяет условию
lim
t→+∞
ϕ(λ t)
ϕ(t)
= 1 для любого λ > 0.
А. A. Мурач 353
Обозначим через M множество всех функций ϕ : [1,∞) → (0,∞)
таких, что:
(i) ϕ измерима по Борелю на полуоси [1,∞);
(ii) функции ϕ и 1/ϕ ограничены на каждом отрезке [1, b], где 1 <
b < +∞;
(iii) функция ϕ эквивалентна на полуоси (b,∞) некоторой функции,
медленно меняющейся на бесконечности по Карамата; здесь
число b ≥ 1.
Замечание 2.1. Напомним, что положительные функции ϕ и ϕ0
называются эквивалентными на множестве Q, если существуют по-
ложительные числа c1 и c2 такие, что c1ϕ0(t) ≤ ϕ(t) ≤ c2ϕ0(t) для
любого t ∈ Q.
Из известного [25, теорема 1.2] интегрального представления ме-
дленно меняющихся функций вытекает следующее описание класса
M.
Предложение 2.1. Функция ϕ принадлежит классу M тогда и
только тогда, когда
ϕ(t) = exp
(
β(t) +
t∫
1
α(τ)
τ
dτ
)
при t ≥ 1,
где функция β : [1,∞) → R измерима по Борелю и ограничена, а
функция α : [1,∞) → R непрерывна и α(τ) → 0 при τ → ∞.
Пусть s ∈ R и ϕ ∈ M. Детализируя (1.3), дадим определение
пространства Hs,ϕ(Rn).
Определение 2.2. Обозначим через Hs,ϕ(Rn) линейное пространс-
тво всех распределений w ∈ S ′(Rn) таких, что их преобразование
Фурье ŵ является локально суммируемой по Лебегу в R
n функцией,
удовлетворяющей условию
∫
Rn
〈ξ〉2s ϕ2(〈ξ〉) |ŵ(ξ)|2 dξ <∞.
В пространстве Hs,ϕ(Rn) определено скалярное произведение распре-
делений w1, w2 по формуле
(w1, w2)s,ϕ :=
∫
Rn
〈ξ〉2sϕ2(〈ξ〉) ŵ1(ξ) ŵ2(ξ) dξ.
Оно порождает норму ‖w‖s,ϕ = (w,w)
1/2
s,ϕ .
354 Эллиптические системы
Пространство Hs,ϕ(Rn) как специальный L2-случай пространств
Хермандера и Волевича–Панеяха обладает всеми их свойствами, ус-
тановленными в [7, п. 2.2], [9]. Так, пространство Hs,ϕ(Rn) сепара-
бельно и гильбертово, причем множество C∞
0 (Rn) бесконечно диф-
ференцируемых функций с компактными носителями плотно в нем.
Отметим, что для любого ε > 0 существуют положительные чи-
сла c1 и c2 такие, что c1t
−ε ≤ ϕ(t) ≤ c2t
ε при t ≥ 1. Это вытекает
из свойства [25, п. 1.5] медленно меняющихся функций и определе-
ния класса M. Следовательно, справедливы непрерывные и плотные
вложения
Hs+ε(Rn) →֒ Hs,ϕ(Rn) →֒ Hs−ε(Rn) при ε > 0. (2.1)
Таким образом, в шкале пространств
{
Hs,ϕ(Rn) : s ∈ R, ϕ ∈ M
}
(2.2)
функциональный параметр ϕ характеризует дополнительную глад-
кость по отношению к основной (степенной) s-гладкости (уточняет
последнюю). Поэтому (2.2) естественно называть уточненной шка-
лой.
3. Интерполяционное свойство уточненной шкалы
Нам понадобится важное свойство уточненной шкалы, состоящее
в том, что каждое пространствоHs,ϕ(Rn) получается посредством ин-
терполяции с подходящим функциональным параметром пары про-
странств Соболева. Напомним определение интерполяции с функци-
ональным параметром пар гильбертовых пространств. Она является
естественным обобщением классического интерполяционного метода
С. Г. Крейна и Ж.-Л. Лионса [26, гл. 1, п. 2.1]. Для наших целей
достаточно ограничиться сепарабельными пространствами.
Пусть задана упорядоченная пара X := [X0, X1] сепарабельных
комплексных гильбертовых пространств X0 и X1 такая, что спра-
ведливо непрерывное и плотное вложение X1 →֒ X0. Пару X мы
называем допустимой. Для нее существует такой изометрический
изоморфизм J : X1 ↔ X 0, что J является самосопряженным по-
ложительно определенным оператором в пространстве X 0 с обла-
стью определения X1. Оператор J определяется парой X однозначно.
Пусть также задана измеримая по Борелю функция ψ : (0,+∞) →
(0,+∞). Поскольку spec J ⊂ (0,+∞), то в пространстве X0 опреде-
лен, как функция от J , оператор ψ(J). Обозначим через [X0, X1]ψ
А. A. Мурач 355
или, короче, Xψ область определения оператора ψ(J), наделенную
скалярным произведением графика:
(u, v)Xψ = (u, v)X0
+ (ψ(J)u, ψ(J)v)X0
.
Пространство Xψ сепарабельное, гильбертово и непрерывно вложено
в X0.
Определение 3.1. Функция ψ называется интерполяционным па-
раметром, если для произвольных допустимых пар X = [X0, X1],
Y = [Y0, Y1] гильбертовых пространств и для любого линейного ото-
бражения T , заданного на X0, выполняется следующее условие. Если
при j = 0, 1 сужение отображения T на пространство Xj являе-
тся ограниченным оператором T : Xj → Yj, то и сужение отобра-
жения T на пространство Xψ является ограниченным оператором
T : Xψ → Yψ.
Описание класса всех интерполяционных параметров в смысле
определения 3.1 вытекает из результата Я. Петре [27, п. 5.4] и приве-
дено в [22, теорема 2.7].
Следующее интерполяционное свойство уточненной шкалы дока-
зано в [15, теорема 3.1] (ср. [28]).
Предложение 3.1. Пусть заданы функция ϕ ∈ M и положитель-
ные числа ε, δ. Положим ψ(t) := t ε/(ε+δ) ϕ(t1/(ε+δ)) при t ≥ 1 и ψ(t) :=
ϕ(1) при 0 < t < 1. Тогда:
(i) функция ψ является интерполяционным параметром;
(ii) для произвольного s ∈ R справедливо равенство пространств с
точностью до эквивалентности норм в них:
[
Hs−ε(Rn), Hs+δ(Rn)
]
ψ
= Hs,ϕ(Rn).
4. Эллиптическая система в уточненной шкале
Следуя [1, п. 1.1], обозначим через Ψr(Rn), где r ∈ R, класс всех
ПДО G в R
n (не обязательно классических) таких, что их символ
g(x, ξ) является комплексно значной бесконечно дифференцируемой
функцией, удовлетворяющей условию вида (1.2): для произвольных
мультииндексов α, β существует число cα,β > 0 такое, что
| ∂αx ∂
β
ξ g(x, ξ) | ≤ cα,β 〈ξ〉
r−|β| для любых x, ξ ∈ R
n.
356 Эллиптические системы
Таким образом, Aj,k ∈ Ψlj+mk(Rn). Положим
Ψ−∞(Rn) :=
⋂
r∈R
Ψr(Rn).
Лемма 4.1. Пусть G — ПДО класса Ψr(Rn), где r ∈ R. Тогда суже-
ние отображения u 7→ Gu, u ∈ S ′(Rn), на пространство Hs,ϕ(Rn)
является линейным ограниченным оператором
G : Hs,ϕ(Rn) → Hs−r, ϕ(Rn) (4.1)
для любых s ∈ R и ϕ ∈ M.
Доказательство. В соболевском случае ϕ ≡ 1 эта лемма хорошо
известна [1, теорема 1.1.2], [4, теорема 18.1.13]. Выберем произволь-
ные s ∈ R и ϕ ∈ M. Рассмотрим линейные ограниченные операторы
G : Hs∓1(Rn) → Hs∓1−r(Rn).
Применим интерполяцию с функциональным параметром ψ из пред-
ложения 3.1, где полагаем ε = δ = 1. В силу пункта (i) этого предло-
жения имеем ограниченный оператор
G :
[
Hs−1(Rn), Hs+1(Rn)
]
ψ
→
[
Hs−1−r(Rn), Hs+1−r(Rn)
]
ψ
.
Отсюда в силу пункта (ii) вытекает существование и ограниченность
линейного оператора (4.1).
Запишем систему (1.1) в матричной форме: Au = f . Здесь A :=
(Aj,k)
p
j,k=1 — матричный ПДО, а u = col (u1, . . . , up), f = col (f1, . . . ,
fp) — функциональные столбцы. Поскольку Aj,k ∈ Ψlj+mk(Rn), со-
гласно лемме 4.1 имеем ограниченный оператор
A :
p⊕
k=1
Hs+mk, ϕ(Rn) →
p⊕
j=1
Hs−lj , ϕ(Rn) (4.2)
для любых s ∈ R и ϕ ∈ M. Найдем априорную оценку решения
уравнения Au = f для оператора (4.2).
Поскольку система (1.1) равномерно эллиптическая в R
n, для ма-
тричного ПДО A существует параметрикс B, т. е. справедливо сле-
дующее утверждение [1, п. 3.2.b].
Предложение 4.1. Существует матричный классичесский ПДО
B = (Bk,j)
p
k,j=1 такой, что Bk,j ∈ Ψ−mk−lj (Rn) и
BA = I + T1, AB = I + T2, (4.3)
А. A. Мурач 357
где T1 = (T j,k1 )pj,k=1 и T2 = (T k,j2 )pk,j=1 — некоторые матричные ПДО,
элементы которых принадлежат классу Ψ−∞(Rn), а I — тождест-
венный оператор в S ′(Rn).
Теорема 4.1. Пусть s ∈ R, σ > 0 и ϕ ∈ M. Существует число
c = c(s, σ, ϕ) > 0 такое, что для произвольных вектор-функций
u = col (u1, . . . , up) ∈
p⊕
k=1
Hs+mk, ϕ(Rn),
f = col (f1, . . . , fp) ∈
p⊕
j=1
Hs−lj , ϕ(Rn),
(4.4)
удовлетворяющих уравнению Au = f в R
n, справедлива априорная
оценка
( p∑
k=1
‖uk‖
2
s+mk,ϕ
)1/2
≤ c
( p∑
j=1
‖fj‖
2
s−lj ,ϕ
)1/2
+ c
( p∑
k=1
‖uk‖
2
s+mk−σ,ϕ
)1/2
. (4.5)
Доказательство. Обозначим через ‖ · ‖′s,ϕ, ‖ · ‖′′s,ϕ и ‖ · ‖′s−σ,ϕ соответ-
ственно нормы в пространствах
p⊕
k=1
Hs+mk, ϕ(Rn),
p⊕
j=1
Hs−lj , ϕ(Rn) и
p⊕
k=1
Hs+mk−σ, ϕ(Rn).
Пусть вектор-функции (4.4) удовлетворяют уравнению Au = f в R
n.
В силу первого равенства в (4.3) запишем u = Bf − T1u. Отсюда
следует оценка (4.5):
‖u‖′s,ϕ = ‖Bf − T1u‖
′
s,ϕ ≤ ‖Bf‖′s,ϕ + ‖T1u‖
′
s,ϕ ≤ c ‖f‖′′s,ϕ + c ‖u‖′s−σ,ϕ.
Здесь c — максимум норм операторов
B :
p⊕
j=1
Hs−lj , ϕ(Rn) →
p⊕
k=1
Hs+mk, ϕ(Rn), (4.6)
T1 :
p⊕
k=1
Hs+mk−σ, ϕ(Rn) →
p⊕
k=1
Hs+mk, ϕ(Rn). (4.7)
Эти операторы ограниченные в силу леммы 4.1 и предложения 4.1.
358 Эллиптические системы
5. Гладкость решения эллиптической системы
Предположим, что правая часть уравнения Au = f имеет не-
которую внутреннюю гладкость в уточненной шкале на заданном
открытом непустом множестве V ⊆ R
n. Изучим внутреннюю глад-
кость решения u на этом множестве. Рассмотрим сначала случай,
когда V = R
n. Обозначим через H−∞(Rn) объединение всех про-
странств Hs,ϕ(Rn), где s ∈ R, ϕ ∈ M. В линейном пространстве
H−∞(Rn) вводится топология индуктивного предела.
Теорема 5.1. Предположим, что вектор-функция u ∈ (H−∞(Rn))p
является решением уравнения Au = f в R
n, где
fj ∈ Hs−lj , ϕ(Rn) при j = 1, . . . , p
для некоторых параметров s ∈ R и ϕ ∈ M. Тогда
uk ∈ Hs+mk, ϕ(Rn) при k = 1, . . . , p.
Доказательство. В силу вложений (2.1), для вектор-функции u ∈
(H−∞(Rn))p существует число σ > 0 такое, что
u ∈
p⊕
k=1
Hs+mk−σ, ϕ(Rn). (5.1)
Отсюда и из условия теоремы получаем на основании формул (4.3),
(4.6), (4.7) требуемое свойство:
u = BAu− T1u = Bf − T1u ∈
p⊕
k=1
Hs+mk, ϕ(Rn).
Рассмотрим теперь общий случай, когда V — произвольное откры-
тое непустое подмножество пространства R
n. Положим
Hσ,ϕ
int (V ) :=
{
w ∈ H−∞(Rn) : χw ∈ Hσ,ϕ(Rn)
∀ χ ∈ C∞
b (Rn), suppχ ⊂ V, dist(suppχ, ∂V ) > 0
}
.
Здесь σ ∈ R, ϕ ∈ M, а C∞
b (Rn) — пространство всех бесконечно
дифференцируемых в R
n функций, у которых любая частная прои-
зводная ограничена в R
n. Топология в пространстве Hσ,ϕ
int (V ) задае-
тся полунормами w 7→ ‖χw‖Hσ,ϕ(Rn), где функции χ те же, что и в
определении этого пространства.
А. A. Мурач 359
Теорема 5.2. Предположим, что вектор-функция u ∈ (H−∞(Rn))p
является решением уравнения Au = f на множестве V , где
fj ∈ H
s−lj , ϕ
int (V ) при j = 1, . . . , p (5.2)
для некоторых парметров s ∈ R и ϕ ∈ M. Тогда
uk ∈ Hs+mk, ϕ
int (V ) при k = 1, . . . , p. (5.3)
Доказательство. Покажем сначала, что из условия (5.2) вытекает
следующее свойство повышения внутренней гладкости решения урав-
нения Au = f : для каждого числа r ≥ 1 справедлива импликация
u ∈
p⊕
k=1
Hs−r+mk, ϕ
int (V ) ⇒ u ∈
p⊕
k=1
Hs−r+1+mk, ϕ
int (V ). (5.4)
Произвольно выберем функцию χ ∈ C∞
b (Rn) такую, что
suppχ ⊂ V и dist(suppχ, ∂V ) > 0. (5.5)
Для нее существует функция η ∈ C∞
b (Rn) такая, что
supp η ⊂ V, dist(supp η, ∂V ) > 0, η = 1 в окрестности suppχ. (5.6)
Действительно, мы можем определить указанную функцию с помо-
щью операции свертки η := χ2ε ∗ωε, где ε := dist(suppχ, ∂V )/4, χ2ε —
индикатор 2ε-окрестности множества suppχ, а функция ωε ∈ C∞(Rn)
удовлетворяет условиям
ωε ≥ 0, suppωε ⊂ {x ∈ R
n : ‖x‖ ≤ ε},
∫
Rn
ωε(x) dx = 1.
Непосредственно проверяется, что такая функция η принадлежит
классу C∞
b (Rn) и имеет следующее свойство: η ≡ 1 в ε-окрестности
множества suppχ и η ≡ 0 вне 3ε-окрестности этого же множества,
т. е. η удовлетворяет условиям (5.6).
Переставив матричный ПДО A и оператор умножения на фун-
кцию χ, запишем
Aχu = Aχηu = χAηu+A′ηu
= χAu+ χA(η − 1)u+A′ηu
= χf + χA(η − 1)u+A′ηu в R
n. (5.7)
360 Эллиптические системы
Здесь матричный ПДО A′ = (A′
j,k )pj,k=1 — коммутатор ПДО A и опе-
ратора умножения на функцию χ. Поскольку A′
j,k ∈ Ψlj+mk−1(Rn),
то в силу леммы 4.1 имеем ограниченный оператор
A′ :
p⊕
k=1
Hs−r+mk, ϕ(Rn) →
p⊕
j=1
Hs−r+1−lj , ϕ(Rn).
Следовательно,
u ∈
p⊕
k=1
Hs−r+mk, ϕ
int (V ) ⇒ A′ηu ∈
p⊕
j=1
Hs−r+1−lj , ϕ(Rn). (5.8)
Далее, согласно условию (5.2) и ввиду неравенства r ≥ 1 имеем
χf ∈
p⊕
j=1
Hs−lj ,ϕ(Rn) →֒
p⊕
j=1
Hs−r+1−lj ,ϕ(Rn). (5.9)
Кроме того, так как носители функций χ и η− 1 не пересекаются, то
ПДО
χAj,k(η − 1) ∈ Ψ−∞(Rn)
для всех j, k = 1, . . . , p. Это сразу следует из формулы для символа
композиции двух ПДО: χAj,k и оператора умножения на функцию
η − 1 (см. [1, п. 1.2.d]). Отсюда, поскольку для вектор-функции u ∈
(H−∞(Rn))p справедливо (5.1) при некотором σ > 0, мы получаем в
силу леммы 1 включение
χA(η − 1)u ∈
p⊕
j=1
Hs−r+1−lj ,ϕ(Rn). (5.10)
На основании формул (5.7) – (5.10) и теоремы 5.1 получаем, что
u ∈
p⊕
k=1
Hs−r+mk, ϕ
int (V ) ⇒ Aχu ∈
p⊕
j=1
Hs−r+1−lj ,ϕ(Rn)
⇒ χu ∈
p⊕
k=1
Hs−r+1+mk, ϕ(Rn).
Тем самым доказано (5.4) ввиду произвольности выбора функции χ ∈
C∞
b (Rn), удовлетворяющей условию (5.5).
Теперь с помощью (5.4) легко вывести свойство (5.3). Можно счи-
тать, что в формуле (5.1) число σ > 0 целое. Значит,
u ∈
p⊕
k=1
Hs−σ+mk, ϕ
int (V ).
А. A. Мурач 361
Применив импликацию (5.4) последовательно для r = σ, σ − 1, . . . , 1,
выводим свойство (5.3):
u ∈
p⊕
k=1
Hs−σ+mk, ϕ
int (V )
⇒ u ∈
p⊕
k=1
Hs−σ+1+mk, ϕ
int (V ) ⇒
. . .⇒ u ∈
p⊕
k=1
Hs+mk, ϕ
int (V ).
Теорема 5.2 уточняет применительно к шкале пространств
Hs,ϕ(Rn) известные утверждения о повышении внутренней гладкости
решений эллиптических уравнений в соболевской шкале (см., напри-
мер, [7, п. 10.6], [29, гл. III, § 4]). Как видим, уточненная гладкость ϕ
правой части эллиптического уравнения наследуется его решением.
Замечание 5.1. Следует различать внутреннюю и локальную глад-
кость на открытом множестве V ⊂ R
n. Пространство распределений,
имеющих данную локальную гладкость на этом множестве, опреде-
ляется следующим образом:
Hσ,ϕ
loc (V ) :=
{
w ∈ H−∞(Rn) : χw ∈ Hσ,ϕ(Rn)
∀ χ ∈ C∞
0 (Rn), suppχ ⊂ V
}
.
В случае, когда множество V ограничено, пространства Hσ,ϕ
int (V ) и
Hσ,ϕ
loc (V ) совпадают. Если же V неограничено, то может быть строгое
включение Hσ,ϕ
int (V ) ⊂ Hσ,ϕ
loc (V ). Для локальной уточненной гладко-
сти справедлив аналог теоремы 5.2; в ее формулировке следует лишь
заменить int на loc в обозначениях пространств. Он легко выводится
из этой теоремы.
6. Приложение
Теорема 5.2 позволяет установить наличие непрерывных произво-
дных у выбранной компоненты uk решения системы (1.1). При этом
используется следующий результат, уточняющий классическую тео-
рему вложения Соболева. Обозначим через C r
b (Rn), где целое число
r ≥ 0, банахово пространство всех функций w : R
n → C, имеющих
непрерывные и ограниченные в R
n частные производные до порядка
r включительно.
362 Эллиптические системы
Предложение 6.1. Пусть заданы функция ϕ ∈ M и целое число
r ≥ 0. Тогда неравенство
∞∫
1
d t
t ϕ 2(t)
<∞ (6.1)
эквивалентно вложению Hr+n/2, ϕ(Rn) →֒ C r
b (Rn). Это вложение
непрерывно.
Предложение 6.1 является следствием теоремы 2.2.7 из моногра-
фии Л. Хермандера [7].
Теорема 6.1. Пусть заданы целые числа k ∈ {1, . . . , p}, r ≥ 0 и фун-
кция ϕ ∈ M, удовлетворяющая неравенству (6.1). Предположим,
что вектор-функция u ∈ (H−∞(Rn))p является решением уравне-
ния Au = f на открытом множестве V ⊆ R
n, где
fj ∈ H
r−mk−lj+n/2, ϕ
int (V ) для всех j = 1, . . . , p. (6.2)
Тогда компонента uk решения имеет на множестве V непрерыв-
ные частные производные до порядка r включительно, причем эти
производные ограничены на каждом множестве V0 ⊂ V таком, что
dist(V0, ∂V ) > 0. В частности, если V = R
n, то uk ∈ C r
b (Rn).
Доказательство. В силу теоремы 5.2, где полагаем s := r − mk +
n/2, справедливо включение uk ∈ H
r+n/2, ϕ
int (V ). Пусть функция η ∈
C∞
b (Rn) удовлетворяет условиям
supp η ⊂ V, dist(supp η, ∂V ) > 0, η = 1 в окрестности V0.
Эта функция строится так же, как и в доказательстве теоремы 5.2,
если заменить в нем множество suppχ на V0. Для распределения ηuk
в силу предложения 6.1 имеем
ηuk ∈ Hr+n/2, ϕ(Rn) →֒ C r
b (Rn).
Отсюда вытекает, что все частные производные функции uk до по-
рядка r включительно непрерывны и ограничены в некоторой окре-
стности множества V0. Тогда эти производные непрерывны и на мно-
жестве V , поскольку можно взять V0 := {x0} для любой точки x0 ∈
V .
А. A. Мурач 363
Замечание 6.1. Если использовать теорему 6.1 лишь для шкалы
пространств Соболева, то придется вместо (6.2) потребовать, чтобы
для некоторого числа ε > 0 выполнялось условие
fj ∈ H
r−mk−lj+n/2+ε,1
int (V ) для всех j = 1, . . . , p.
Оно завышает основную гладкость правых частей системы (1.1), что
существенно огрубляет результат.
Литература
[1] M. S. Agranovich, Elliptic operators on closed manifolds // Encycl. Math. Sci.,
vol. 63, Partial differential equations. VI, Berlin: Springer-Verlag, 1994, 1–130.
[2] A. Douglis, L. Nirenberg, Interior estimates for elliptic systems of partial di-
fferential equations // Commun. Pure Appl. Math. 8 (1955), N 4, 503–538.
[3] L. Hörmander, Pseudo-differential operators and non-elliptic boundary
problems // Ann. Math. 83 (1966), N 1, 129–209. (Имеется перевод в
кн. Псевдодифференциальные операторы, Москва: Мир, 1967, 166– 296.)
[4] L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators. III: Pseudo-
Differential Operators, Berlin: Springer-Verlag, 1985, 525 p. (Имеется перевод:
Л. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными
производными, т. 3, Москва: Мир, 1987, 696 с.)
[5] М. А. Шубин, Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория,
Москва: Наука, 1978, 280 с.
[6] B. Helffer, Théorie spectrale pour des opérateurs globalement elliptiques //
Astérisque. 112 (1984), 3–197.
[7] L. Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Berlin: Springer-Verlag,
1963, 285 p. (Имеется перевод: Л. Хермандер, Линейные дифференциальные
операторы с частными производными, Москва: Мир, 1965, 380 с.)
[8] L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators. II: Di-
fferential Operators with Constant Coefficients, Berlin: Springer-Verlag, 1983,
391 p. (Имеется перевод: Л. Хермандер, Анализ линейных дифференциаль-
ных операторов с частными производными, т. 2, Москва: Мир, 1986, 456 с.)
[9] Л. Р. Волевич, Б. П. Панеях, Некоторые пространства обобщенных функций
и теоремы вложения // Успехи мат. наук. 20 (1965), N 1, 3–74.
[10] B. Paneah, The Oblique Derivative Problem. The Poincaré Problem, Berlin:
Wiley–VCH, 2000, 348 p.
[11] G. A. Kalyabin, P. I. Lizorkin, Spaces of functions of generalized smoothness //
Math. Nachr. 133 (1987), 7–32.
[12] W. Farkas, H.-G. Leopold, Characterisations of function spaces of generalised
smoothness // Ann. Mat. Pura Appl. 185 (2006), N 1, 1–62.
364 Эллиптические системы
[13] G. Slenzak, Ellptic problems in a refined scale of spaces // Moscow Univ. Math.
Bull. 29 (1974), N 3–4, 80–88.
[14] V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Improved scales of spaces and elliptic boundary-
value problems. I // Ukrainian. Math. J. 58 (2006), N 2, 244–262.
[15] V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Improved scales of spaces and elliptic boundary-
value problems. II // Ibid. 58 (2006), N 3, 398–417.
[16] V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Refined scales of spaces and elliptic boundary-
value problems. III // Ibid. 59 (2007), N 5, 744–765.
[17] V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Regular elliptic boundary-value problem for
homogeneous equation in two-sided refined scale of spaces // Ibid. 58 (2006),
N 11, 1748–1767.
[18] V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Elliptic operator with homogeneous regular
boundary conditions in two-sided refined scale of spaces // Ukrainian Math. Bull.
3 (2006), N 4, 529–560.
[19] А. А. Мурач, Эллиптические по Петровскому системы дифференциальных
уравнений в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии //
Доповiдi НАН України. Математика, природознавство, техн. науки. (2007),
N 5, 29–35.
[20] А. А. Мурач, Крайова задача для елiптичної за Петровським системи дифе-
ренцiальних рiвнянь в уточненiй шкалi просторiв // Доповiдi НАН України.
Математика, природознавство, техн. науки. (2007), N 6, 24–31.
[21] A. A. Murach, Elliptic pseudo-differential operators in a refined scale of spaces
on a closed manifold // Ukrainian Math. J. 59 (2007), N 6, 874–893.
[22] V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Interpolation with a function parameter and
refined scale of spaces // Methods Funct. Anal. Topology. 14 (2008), N 1, 81–
100.
[23] A. A. Murach, Douglis-Nirenberg elliptic systems in the refined scale of spaces on
a closed manifold // Ibid. 14 (2008), N 2, 142–158.
[24] В. А. Михайлец, А. А. Мурач, Эллиптическая краевая задача в двусторонней
уточненной шкале пространств // Укр. мат. журн. 60 (2008), N 4, 497–520.
[25] E. Seneta, Regularly Varying Functions, Berlin: Springer-Verlag, 1976, 112 p.
(Имеется перевод: Е. Сенета, Правильно меняющиеся функции, Москва: На-
ука, 1985, 142 с.)
[26] J.-L. Lions, E. Magenes, Problèmes aux Limites non Homogènes et Applications,
vol. 1, Paris: Dunod, 1968, 372 p. (Имеется перевод: Ж.-Л. Лионс, Э Мадженес,
Неоднородные граничные задачи и их приложения, Москва: Мир, 1971, 372 с.)
[27] J. Bergh, J. Löfström, Interpolation Spaces, Berlin: Springer-Verlag, 1976, 207 p.
(Имеется перевод: Й. Берг, Й. Лёфстрём, Интерполяционные пространства.
Введение, Москва: Мир, 1980, 264 с.)
[28] C. Merucci, Application of interpolation with a function parameter to Lorentz,
Sobolev and Besov spaces // Proc. Lund Conf. 1983, Lecture Notes in Math.
1070, Berlin: Springer-Verlag, 1984, 183–201.
[29] Ю. М. Березанский, Разложение по собственным функциям самосопряжен-
ных операторов, Киев: Наукова думка, 1965, 800 с.
А. A. Мурач 365
Сведения об авторах
Александр
Александрович
Мурач
Институт математики НАН Украины,
ул. Терещенкивська 3,
01601, Киев,
Украина;
Черниговский государственный
технологический университет,
ул. Шевченка, 95,
14027, Чернигов,
Украина
E-Mail: murach@imath.kiev.ua
|