Обобщение леммы Римана-Лебега

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автор:	Тригуб, Р.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2008
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124349
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Обобщение леммы Римана-Лебега / Р.М. Тригуб // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 394-405. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124349
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1243492017-09-24T03:03:58Z Обобщение леммы Римана-Лебега Тригуб, Р.М. 2008 Article Обобщение леммы Римана-Лебега / Р.М. Тригуб // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 394-405. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 42A38. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124349 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
format	Article
author	Тригуб, Р.М.
spellingShingle	Тригуб, Р.М. Обобщение леммы Римана-Лебега Український математичний вісник
author_facet	Тригуб, Р.М.
author_sort	Тригуб, Р.М.
title	Обобщение леммы Римана-Лебега
title_short	Обобщение леммы Римана-Лебега
title_full	Обобщение леммы Римана-Лебега
title_fullStr	Обобщение леммы Римана-Лебега
title_full_unstemmed	Обобщение леммы Римана-Лебега
title_sort	обобщение леммы римана-лебега
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124349
citation_txt	Обобщение леммы Римана-Лебега / Р.М. Тригуб // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 394-405. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT trigubrm obobŝenielemmyrimanalebega
first_indexed	2025-07-09T01:18:13Z
last_indexed	2025-07-09T01:18:13Z
_version_	1837130208737492992
fulltext	Український математичний вiсник Том 5 (2008), № 3, 394 – 405 Обобщение леммы Римана–Лебега Роальд М. Тригуб (Представлена В. Я. Гутлянским) Аннотация. В статье рассматривается следующая задача: най- ти вещественную функцию φ, которая удовлетворяет предельному условию lim λ→∞ b ∫ a f(t)eiφ(λt) dt = 0 для всех f ∈ L(a, b). Множество таких функций обозначим через (R−L)(a, b). Найден критерий принадлежности функции φ классу (R−L)(a, b). Этот кри- терий используется для нахождения эффективного необходимого и отдельно достаточного условий. В частности, если 0 ≤ a < b ≤ +∞ и φ выпукла около +∞, то для того чтобы φ ∈ (R−L)(a, b), необходимо и достаточно lim t→+∞ (φ(2t) − φ(t)) = ∞. Полученные результаты проиллюстрированы примерами. 2000 MSC. 42A38. Ключевые слова и фразы. Преобразование Фурье. 1. Введение. Формулировка результатов Рассмотрим следующую задачу. При какой измеримой веществен- ной функции φ на полуоси R+ = [0, +∞) lim λ→+∞ +∞ ∫ 0 f(t)eiφ(λt) dt = 0 (1.1) для любой функции f ∈ L(R+)? Множество таких функций φ обо- значим через R − L. Классическая лемма Римана–Лебега состоит в том, что линейная функция (не константа) принадлежит R − L. Статья поступила в редакцию 30.01.2008 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України Р. М. Тригуб 395 Очевидно, что если φ(t) ∈ R − L, то φ(t) + c при c ∈ R, φ(δt) при δ > 0 и −φ(t) принадлежат R−L, а принадлежность R−L зависит от поведения функции только около +∞ (см. также ниже теорему 1.1). Менее очевидно, что если φ ∈ R − L и ограничена, то при доста- точно малом δ > 0 функция δφ /∈ R − L (см. необходимое условие (2.4)), а функция φδ(t) = δ sin t, например, принадлежит R−L лишь для значений δ из вполне определённой бесконечно большой после- довательности (см. примеры в п. 3). Теорема 1.1. Для того чтобы φ ∈ R − L, необходимо, чтобы для любого δ ∈ [0, 1) lim R→+∞ 1 R R ∫ δR eiφ(t) dt = 0, (1.2) и достаточно, чтобы это условие (1.2) выполнялось хотя бы для одного δ ∈ [0, 1). Теорема 1.2. Пусть функция φ выпукла (вверх или вниз) около +∞. Для того чтобы φ ∈ R − L, необходимо и достаточно: lim t→+∞ (φ(2t) − φ(t)) = ∞. Эта теорема анонсирована автором в лекциях на симпозиуме “Fou- rier series methods in complex analysis” [1, 1.1]. Теорема 1.3. Пусть функция φ такова, что существует число T > 0 и целозначная функция h : R+ → Z, при которых φ(t + T ) = φ(t) + 2πh(t) (t ∈ R+). Тогда φ ∈ R − L тогда и только тогда, когда T ∫ 0 eiφ(t) dt = 0. В частности, если φo(t + π) = φo(t) для всех t ∈ R+, то функция φ(t) = φo(t) + (2h(t) + 1)t, где h : R+ → Z, принадлежит R − L. Отметим, кстати, что единственная функция φ, удовлетворяющая условиям теорем 1.2 и 1.3 (одновременно) — это линейная функция. 396 Обобщение леммы Римана–Лебега См. также п. 3 (III), в котором вместо R+ рассмотрен случай произвольного промежутка (a, b) ⊂ R. 2. Доказательства Доказательство теоремы 1.1. Интеграл в условии (1.1) есть линей- ный непрерывный функционал на L(R+) и при любом λ > 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∞ ∫ 0 f(t)eiφ(λt) dt ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ ∞ ∫ 0 \|f(t)\| dt. Поэтому достаточно (и необходимо, конечно) проверить искомое ра- венство (1.1) для всех функций f из какого-либо плотного в L(R+) множества. В качестве такого подмножества возьмём все финитные ступенчатые функции, т. е. все функции вида f(t) = n ∑ k=1 ckhbk (t) (0 < b1 < b2 < · · · < bn), где hb(t) = 1 при 0 ≤ t ≤ b и hb(t) = 0 при t > b (индикатор [0, b]), n ∈ N, ck ∈ C, 1 ≤ k ≤ n. В силу линейности функционала можно ограничиться функцией hb при b > 0. Но ∞ ∫ 0 hb(t)e iφ(λt) dt = b ∫ 0 eiφ(λt) dt = b · 1 R R ∫ 0 eiφ(t) dt (R = bλ). Таким образом, доказано, что φ ∈ R−L в том и только в том случае, если lim R→∞ 1 R R ∫ 0 eiφ(t) dt = 0. (2.3) Из условия (2.3) сразу следует условие (1.2) при любом δ ∈ (0, 1), так как 1 R R ∫ δR eiφ(t) dt = 1 R R ∫ 0 eiφ(t) dt − δ 1 δR δR ∫ 0 eiφ(t) dt. Р. М. Тригуб 397 Пусть теперь выполнено условие (1.2) при некотором δ ∈ (0, 1). Выве- дем из него условие (2.3). Возьмём ε > 0. В силу (1.2) найдётся число M такое, что при R > M ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ R ∫ δR eiφ(t) dt ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ < εR. Выберем натуральное число N так, чтобы δN < ε. Тогда при любом R > Mδ1−N ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ R ∫ 0 eiφ(t) dt ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ RδN ∫ 0 eiφ(t) dt + N ∑ k=1 Rδk−1 ∫ Rδk eiφ(t) dt ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ RδN + N ∑ k=1 εRδk−1 < εR + εR · 1 1 − δ = 2 − δ 1 − δ εR. Теорема 1.1 доказана. Аналогичный критерий можно привести для существования пре- дела lim ∫∞ 0 f(t)g(λt) dt с любой ограниченной функцией g при λ → +∞ и λ → +0. См. [2, 1.1]. Выведем из теоремы 1.1 необходимые условия принадлежности R − L. Следствие. Пусть φ ∈ R − L. Тогда полная вариация любой фун- кции, совпадающей с φ почти всюду , на отрезке [R, 2R] при R → +∞ стремится к +∞ и при любом δ ∈ [0, 1) lim R→+∞ ω(φ; δR, R) ≥ π, (2.4) где ω(g; a, b) = ess sup{\|g(x)− g(y)\|, x, y ∈ [a, b]}− колебание функции на [a, b]. При этом число π в этом условии увеличить нельзя. Доказательство. Предположим, что при δ ∈ [0, 1) найдётся ε ∈ (0, π 2 ) такое, что при некоторой последовательности Rn → ∞ ω(φ; δRn, Rn) ≤ π − 2ε. Тогда существует последовательность cn ∈ R такая, что почти всюду 398 Обобщение леммы Римана–Лебега \|φ(t) − cn\| ≤ π − 2ε 2 и 1 Rn ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ Rn ∫ δRn eiφ(t) dt ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 Rn ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ Rn ∫ δRn ei(φ(t)−cn) dt ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ≥ 1 Rn ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ Rn ∫ δRn cos(φ(t) − cn) dt ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ≥ (1 − δ) sin ε > 0. В силу теоремы 1.1 φ /∈ R − L. Точность неравенства (2.4) видна на примере φ(t) = π 2 sign sin t (см. пример φa,b в п. 3). При любом натуральном N (1 + 1 2N )N < √ e < 2. Поэтому полная вариация V 2R R (φ) ≥ V R(1+ 1 2N )N R = N−1 ∑ k=0 V R(1+ 1 2N )k+1 R(1+ 1 2N )k (φ) ≥ N−1 ∑ k=0 ω ( φ; R ( 1 + 1 2N )k , R ( 1 + 1 2N )k+1) . Но в силу (4) при любом N существует число RN такое, что при R ≥ RN и k = 0, а значит, и при k ≥ 1 ω ( φ; R ( 1 + 1 2N )k , R ( 1 + 1 2N )k+1) > 1. Но тогда при R ≥ RN V 2R R (φ) > N , т. е. limR→∞ V 2R R (φ) = +∞. Следствие доказано. Доказательство теоремы 1.2. Если функция φ ∈ R−L и монотонна около +∞, то в силу следствия при R → +∞ \|φ(2R) − φ(R)\| = V 2R R (φ) → ∞. А если φ выпукла около +∞, то при больших t она монотонна и необходимость в теореме 1.2 доказана. Р. М. Тригуб 399 Можно считать, что φ возрастает (в случае убывания заменяем φ на −φ). Так как φ(t) ≡ const /∈ R−L, то можно считать, что φ′(t) > 0 при больших t за исключением, быть может, счётного числа точек, в которых существуют обе односторонние производные, и, напр., пра- вая производная φ′ монотонна. Пусть limR→+∞(φ(2R) − φ(R)) = ∞. Докажем соотношение (1.2) при δ = 1 2 . После интегрирования по частям 1 R 2R ∫ R eiφ(t) dt = 1 iR 2R ∫ R 1 φ′(t) deiφ(t) = 1 iR [ 1 φ′(t) eiφ(t) ]2R R − 1 iR 2R ∫ R eiφ(t) d ( 1 φ′(t) ) , применяя обычную оценку интеграла Стилтьеса \| ∫ b a fdg\| ≤ V b a (g) × max \|f(x)\|, получим ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 R 2R ∫ R eiφ(t) dt ∣ ∣ ∣ ≤ 1 R ( 1 \|φ′(2R)\| + 1 \|φ′(R)\| ) + 1 R V 2R R ( 1 φ′ ) . Очевидно, что при R → +∞ R max{φ′(R), φ′(2R)} ≥ 2R ∫ R φ′(t) dt = φ(2R) − φ(R) → +∞ и, значит, учитывая ещё монотонность φ′, lim R→+∞ Rφ′(R) = +∞. Кроме того, при R → +∞ 1 R V 2R R ( 1 φ′ ) = 1 R ∣ ∣ ∣ 1 φ′(R) − 1 φ′(2R) ∣ ∣ ∣ → 0. Так что 400 Обобщение леммы Римана–Лебега lim R→∞ 1 R 2R ∫ R eiφ(t) dt = 0 и в силу теоремы 1.1 φ ∈ R − L. Теорема 1.2 доказана. Доказательство теоремы 1.3. Из условия теоремы φ(t + T ) = φ(t) + 2πh(t) (t ∈ R+), h : R+ → Z следует, что для всех t ∈ R+ eiφ(t+T ) = eφ(t). Тогда при R → +∞ и n = [R T ] (целая часть) T ∫ 0 eiφ(t) dt = 1 n n−1 ∑ k=0 T ∫ 0 eiφ(t+kT ) dt = 1 n nT ∫ 0 eiφ(t) dt = 1 n R ∫ 0 eiφ(t) dt + O (T n ) = T R R ∫ 0 eiφ(t) dt + O (T n ) . Таким образом, условие (2.3) (необходимое и достаточное) для таких функций φ принимает вид: T ∫ 0 eiφ(t) dt = 0. Теперь к функции φ из теоремы 1.3 применяем этот критерий при T = 2π: 2π ∫ 0 eiφ(t) dt = π ∫ 0 eiφ(t) dt + π ∫ 0 eiφ(t+π) dt = π ∫ 0 eiφ(t) dt + π ∫ 0 eiφo(t)+(2h(t)+1)(t+π) dt = π ∫ 0 eiφ(t) dt − π ∫ 0 eiφ(t) dt = 0. Теорема 1.3 доказана. Р. М. Тригуб 401 3. Примеры и дополнения I) Рассмотрим сначала пример функции φa,b, принимающей на R+ два различных значения a и b на множествах E и R+ \ E, соо- тветственно. Проверим, что для того чтобы φa,b ∈ R − L, необходимо и доста- точно: b − a = (2s + 1)π при некотором s ∈ Z и (m-мера Лебега) lim R→∞ 1 R m(E ∩ [0, R]) = 1 2 . Для этого применим к функции теорему 1.1. При R → +∞ 1 R R ∫ 0 eiφa,b(t) dt = 1 R (eiam(E ∩ [0, R]) + eib(R − m(E ∩ [0, R]))) → 0, откуда следует, что eia 6= eib и lim R→∞ 1 R m(E ∩ [0, R]) = −eib eia − eib = 1 2 · ei( b−a 2 −π 2 ) sin( b−a 2 ) . Но этот предел в силу положительности меры должен быть неотри- цательным. Поэтому b − a = (2s + 1)π при некотором s ∈ Z , что и требовалось доказать. Как следует из теоремы 1.2, функция φ(t) = (ln t)γ принадлежит R − L лишь в случае γ > 1. Построим теперь серию гладких монотонных функций без усло- вия выпуклости, принадлежащих R − L. Для этого применим теоре- му 1.3. Пусть φ возрастает на [0, π] и φ(t + π) = φ(t) + π при t > 0. Тогда φ ∈ R − L. Если φ(π) ≤ φ(+0) + π, то эта функция возрастает на R+. Если φ ∈ C[0, π] и φ(π) = φ(0) + π, то φ ∈ C(R+). А если дополнительно при некотором r ∈ N или r = ∞ φ(k)(0) = φ(k)(π) (0 ≤ k ≤ r), то φ ∈ Cr(R+). Все такие функции принадлежат R − L. Отметим теперь, что необходимое условие для возрастающих функций lim R→∞ (φ(2R) − φ(R)) = 0 (см. следствие из теоремы 1.1) не является достаточным, вообще го- 402 Обобщение леммы Римана–Лебега воря. Чтобы это доказать, достаточно взять φ(t) = 1 на [0, 2π] и φ(t+2π) = φ(t)+2πh(t), где h− любая возрастающая положительная и целозначная функция. При h(t) ≡ 1 φ(t) = 1 + [ t 2π ]. Заметим ещё, что если повторить доказательство следствия те- оремы 1.1 применительно к функциям из теоремы 1.3, то получим: ω(φ; 0, π) ≥ π. II) Из предыдущего следует, что если φ ∈ R−L и ограничена, то при достаточно малом δ > 0 δφ /∈ R − L. Кроме того, функция Φ(δ) = T ∫ 0 eiδφ(t) dt в этом случае является целой, Φ(0) 6= 0 и, значит, она имеет не более счётного числа нулей и все нули изолированные. Наличие бесконечного числа вещественных нулей можно иногда доказать с помощью следующего предложения. Лемма 3.1. Если g ∈ L(R) и имеет хотя бы одну точку разрыва, которую нельзя устранить исправлением функции на множестве нулевой лебеговой меры, то её преобразование Фурье ĝ /∈ L(R). А если вещественная чётная функция g ∈ L(R) и ограничена в неко- торой окрестности нуля, а ĝ /∈ L(R), то в любой окрестности ∞ непрерывная функция ĝ меняет знак бесконечное число раз. Доказательство. Если g и ĝ ∈ L(R), то почти всюду имеет место формула обращения g(x) = 1√ 2π +∞ ∫ −∞ ĝ(y)eixy dy, ĝ(y) = 1√ 2π +∞ ∫ −∞ g(x)e−ixy dx (см., напр., [3, 1.21]). Поэтому g может отличаться от непрерывной функции лишь на множестве нулевой меры. Если ещё функция g вещественная и чётная, то и ĝ такая же. Предположим, что в некоторой окрестности ∞ функция ĝ сохраняет знак. Тогда \|ĝ\| − ĝ ∈ L(R) и в силу одного из свойств преобразования Фурье (см. [2, 3.1.15]) и ĝ ∈ L(R)(в более слабой форме это свойство имеется в [3, 1.26]). Противоречие. Лемма доказана. Заметим, что разрыв нельзя устранить в указанном смысле, если, напр., в точке существуют различные односторонние пределы или хотя бы один односторонний предел бесконечный. Р. М. Тригуб 403 Пример. Функция Бесселя порядка λ > −1 2 Jλ(x) = c · xλ 1 ∫ −1 (1 − t2)λ− 1 2 eitx dt. Лемма применима при λ ∈ (−1 2 , 1 2 ]. А воспользовавшись формулой Jλ+1(x) = −xλ(x−λJλ(x))′ и теоремой Ролля, сразу получаем, что при любом λ > −1 2 функция Jλ имеет бесконечное число изолированных вещественных нулей. Этот факт известен, конечно. Применим теперь лемму для построения новых примеров на осно- ве теоремы 1.3. Пусть φ(+0) = φ(0) = 0, φ ∈ C ′(0, π 2 ], φ′(t) > 0 при t ∈ (0, π 2 ), φ(π− t) = φ(t) при t ∈ [0, π 2 ], φ(t + π) = −φ(t) при t ∈ [0, π] и при t ∈ R φ(t + 2π) = φ(t). Например, φ(t) = \| sin t\|r sign sin t, r > 0. При каких δ ∈ R δφ ∈ R − L? 0 = 2π ∫ 0 eiδφ(t) dt = 2 π ∫ 0 cos(δφ(t)) dt = 4 π 2 ∫ 0 cos(δφ(t)) dt. После замены x = φ(t) получаем φ(π 2 ) ∫ 0 cos δx φ′(φ−1(x)) dx = 0. (3.5) Функция g(x) = (φ′(φ−1(\|x\|)))−1 при \|x\| ≤ φ(π 2 ) и g(x) = 0 при \|x\| > φ(π 2 ) удовлетворяет условиям леммы, так как ∞ ∫ −∞ \|g(x)\| dx = 2 φ(π 2 ) ∫ 0 g(x) dx = 2 π 2 ∫ 0 dt = π, g(φ(π 2 ) + 0) = 0, а g(φ( π 2 ) − 0) = lim x→φ(π 2 )−0 g(x) = lim t→π 2 −0 1 φ′(t) = 1 φ′(π 2 − 0) 6= 0. Следовательно, δφ ∈ R − L для некоторой бесконечной последова- тельности изолированных чисел, удовлетворяющих условию (3.5). III) Рассмотрим теперь ту же задачу (см. начало статьи) для любого промежутка (a, b) ⊂ R. 404 Обобщение леммы Римана–Лебега Обозначим через (R−L)(a, b) множество вещественных функций φ таких, что для любой функции f ∈ L(a, b) lim λ→+∞ b ∫ a f(t)eiφ(λt) dt = 0. (3.6) Пусть сначала 0 ≤ a < b ≤ +∞, φ : R+ → R. Очевидно, что (R − L)(R+) ⊂ (R − L)(a, b) (это общий факт для любого измеримого подмножества) . На самом деле, эти два множе- ства функций φ совпадают. Действительно, если φ ∈ (R − L)(a, b), то для индикатора интер- вала (a, c) при c ∈ (a, b) 0 = lim λ→+∞ c ∫ a eiφ(λt) dt = lim λ→+∞ 1 λ λc ∫ λa eiφ(x) dx = c lim R→+∞ 1 R R ∫ a c R eiφ(x) dx и можно применить теорему 1.1 при δ = a c ∈ [0, 1). При −∞ ≤ a < b ≤ 0, как следует из предыдущего после замены t на −t, (R−L)(a, b) = (R−L)(R−). Здесь R− = (−∞, 0] и φ : R− → R. Остался случай a < 0 < b, а φ : R → R. В этом случае (первое и последнее равенства очевидны, а среднее равенство следует из предыдущего) (R − L)(a, b) = (R − L)(a, 0) ∩ (R − L)(0, b) = (R − L)(R−) ∩ (R − L)(R+) = (R − L)(R). Таким образом, для того чтобы φ ∈ (R − L)(a, b), где a < 0 < b, необходимо и достаточно: lim R→+∞ 1 R ( ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 ∫ −R eiφ(t) dt ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ R ∫ 0 eiφ(t) dt ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ) = 0. (3.7) При этом в соотношении (3.6) можно считать дополнительно, что λ → −∞ (замена λ на −λ и t на −t). А если φ чётная или нечётная, то два предела в (3.7) можно заменить одним из них. Р. М. Тригуб 405 Литература [1] R. M. Trigub, Some Topics in Fourier Analysis and Approximation of Theory. Fourier series methods in complex analysis // (Mekrijärvi, 2005). Univ. Joensuu Dept. Math. Rep. Ser. (2006), N 10, 159–185. [2] R. M. Trigub, E. S. Belinsky, Fourier Analysis and Approximation of Functions. Kluwer–Springer. 2004, 585 p. [3] И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых про- странствах. М.: Мир, 1974, 332 с. Сведения об авторах Роальд Михайлович Тригуб Донецкий национальный университет, ул. Университетская 24, 83055, Донецк, Украина E-Mail: roald@ukrpost.ua

Обобщение леммы Римана-Лебега

Репозитарії

Схожі ресурси