Про розв'язки одного операторного рівняння, що містить узагальнене диференціювання Гельфонда-Леонтьєва
Отримано опис усiх лiнiйних неперервних операторiв та iзоморфiзмiв, якi переставнi з рiзними операторами узагальненого диференцiювання Гельфонда-Леонтьєва i дiють у просторах функцiй, аналiтичних у опуклих областях....
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124351 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про розв'язки одного операторного рівняння, що містить узагальнене диференціювання Гельфонда-Леонтьєва / Т.І. Звоздецький // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 420-430. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124351 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243512017-09-24T03:03:14Z Про розв'язки одного операторного рівняння, що містить узагальнене диференціювання Гельфонда-Леонтьєва Звоздецький, Т.І. Отримано опис усiх лiнiйних неперервних операторiв та iзоморфiзмiв, якi переставнi з рiзними операторами узагальненого диференцiювання Гельфонда-Леонтьєва i дiють у просторах функцiй, аналiтичних у опуклих областях. 2008 Article Про розв'язки одного операторного рівняння, що містить узагальнене диференціювання Гельфонда-Леонтьєва / Т.І. Звоздецький // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 420-430. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 47B38. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124351 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Отримано опис усiх лiнiйних неперервних операторiв та iзоморфiзмiв, якi переставнi з рiзними операторами узагальненого диференцiювання Гельфонда-Леонтьєва i дiють у просторах функцiй, аналiтичних у опуклих областях. |
| format |
Article |
| author |
Звоздецький, Т.І. |
| spellingShingle |
Звоздецький, Т.І. Про розв'язки одного операторного рівняння, що містить узагальнене диференціювання Гельфонда-Леонтьєва Український математичний вісник |
| author_facet |
Звоздецький, Т.І. |
| author_sort |
Звоздецький, Т.І. |
| title |
Про розв'язки одного операторного рівняння, що містить узагальнене диференціювання Гельфонда-Леонтьєва |
| title_short |
Про розв'язки одного операторного рівняння, що містить узагальнене диференціювання Гельфонда-Леонтьєва |
| title_full |
Про розв'язки одного операторного рівняння, що містить узагальнене диференціювання Гельфонда-Леонтьєва |
| title_fullStr |
Про розв'язки одного операторного рівняння, що містить узагальнене диференціювання Гельфонда-Леонтьєва |
| title_full_unstemmed |
Про розв'язки одного операторного рівняння, що містить узагальнене диференціювання Гельфонда-Леонтьєва |
| title_sort |
про розв'язки одного операторного рівняння, що містить узагальнене диференціювання гельфонда-леонтьєва |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124351 |
| citation_txt |
Про розв'язки одного операторного рівняння, що містить узагальнене диференціювання Гельфонда-Леонтьєва / Т.І. Звоздецький // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 3. — С. 420-430. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT zvozdecʹkijtí prorozvâzkiodnogooperatornogorívnânnâŝomístitʹuzagalʹnenediferencíûvannâgelʹfondaleontʹêva |
| first_indexed |
2025-07-09T01:18:27Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:18:27Z |
| _version_ |
1837130221263781888 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 5 (2008), № 3, 420 – 430
Про розв’язки одного операторного рiвняння,
що мiстить узагальнене диференцiювання
Гельфонда–Леонтьєва
Тарас I. Звоздецький
(Представлена М. М. Маламудом)
Анотацiя. Отримано опис усiх лiнiйних неперервних операторiв
та iзоморфiзмiв, якi переставнi з рiзними операторами узагальнено-
го диференцiювання Гельфонда-Леонтьєва i дiють у просторах фун-
кцiй, аналiтичних у ̺-опуклих областях.
2000 MSC. 47B38.
Ключовi слова та фрази. Простiр аналiтичних функцiй, узагаль-
нене диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва, iзоморфiзм.
1. Нехай G — область комплексної площини, а A(G) — простiр
усiх аналiтичних в G функцiй, що надiлений топологiєю компактної
збiжностi. Для областей G1 i G2 iз C через L(A(G1),A(G2)) познача-
тимемо сукупнiсть усiх лiнiйних неперервних операторiв, що дiють з
A(G1) в A(G2).
Зафiксуємо зiркову вiдносно нуля область Gi ⊆ C та числа ̺i > 0
i µi ∈ C (Re µi > 0), i ∈ {1, 2}. Для i ∈ {1, 2} позначимо E
(i)
λ (z) =
E̺i
(λz; µi), λ, z ∈ C, де
E̺i
(z; µi) =
∞
∑
n=0
zn
Γ(n/̺i + µi)
, z ∈ C,
є функцiєю Мiттаґ-Лефлера, i розглянемо в просторi A(Gi) опера-
тор узагальненого диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва D̺i,µi
[1],
який на елементах iз повної в A(Gi) системи функцiй {E
(i)
λ (z) : λ ∈ C}
визначається спiввiдношенням
Стаття надiйшла в редакцiю 30.11.2007
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
Т. I. Звоздецький 421
(
D̺i,µi
E
(i)
λ
)
(z) = λE
(i)
λ (z), λ, z ∈ C.
У [2] було доведено, що D̺i,µi
продовжується до лiнiйного неперерв-
ного оператора в A(Gi), i ∈ {1, 2}.
У данiй роботi для випадку ̺i-опуклої областi Gi (i ∈ {1, 2}) отри-
мано опис усiх операторiв iз L(A(G1),A(G2)) (а також iзоморфiзмiв),
якi задовольняють операторне рiвняння
TD̺1,µ1
= D̺2,µ2
T. (1)
Вiдзначимо, що переставнi з узагальненим диференцiюванням Ге-
льфонда–Леонтьєва оператори були описанi в [3], коли ̺1 = ̺2 = ̺,
µ1 = µ2 = 1, а G1 i G2 — ̺-опуклi областi в C, для яких G2 ⊆ G1. Крiм
цього, в [4] для довiльних однозв’язних областей G1 i G2 були описанi
iзоморфiзми з L(A(G1),A(G2)), якi переставнi зi звичайним диферен-
цiюванням, у [5] для випадку, коли ̺1 = ̺2 = ̺, µ1 = µ2 = µ, G1 i G2 —
̺-опуклi областi, одержано опис iзоморфiзмiв iз L(A(G1),A(G2)), що
задовольняють (1), а в [6] були отриманi необхiднi й достатнi умо-
ви еквiвалентностi операторiв D̺1,µ1
в A(G1) та D̺2,µ2
в A(G2). За-
уважимо також, що iнтегральнi зображення описаних у данiй роботi
операторiв узагальнюють класичнi зображення у просторах аналiти-
чних функцiй комутанта оператора звичайного диференцiювання, якi
отримуються у випадку, коли ̺1 = ̺2 = µ1 = µ2 = 1 (див., наприклад,
огляд в [7]).
2. Нехай ненульовий оператор T ∈ L(A(G1),A(G2)) задовольняє
рiвняння (1). Подiявши обома частинами (1) на функцiю E
(1)
λ (z) i
позначивши t(λ, z) = (TE
(1)
λ )(z), одержимо
λt(λ, z) = D̺2,µ2
t(λ, z). (2)
Розглянемо в A(G2) оператор узагальненого iнтегрування Гель-
фонда–Леонтьєва I̺2,µ2
, який визначається формулою [8]
(I̺2,µ2
f) (z) =
z
Γ(1/̺2)
1
∫
0
tµ2−1(1 − t)1/̺2−1f
(
zt1/̺2
)
dt, f ∈ A(G2).
Оскiльки
I̺2,µ2
D̺2,µ2
f(z) = f(z) − f(0), f ∈ A(G2),
то з (2) отримаємо, що
(E − λI̺2,µ2
)t(λ, z) = a(λ),
422 Про розв’язки одного операторного рiвняння...
де E — тотожний оператор в A(G2), а a(λ) = t(λ, 0), λ ∈ C. Звiдси,
враховуючи рiвнiсть
(E − λI̺2,µ2
)−1 =
∞
∑
n=0
λnIn
̺2,µ2
,
будемо мати, що
t(λ, z) = a(λ)
∞
∑
n=0
λnIn
̺2,µ2
1 = Γ(µ2)a(λ)E
(2)
λ (z).
Отже, якщо оператор T ∈ L(A(G1),A(G2)) задовольняє (1), то
його характеристична функцiя t(λ, z) подається у виглядi
t(λ, z) = b(λ)E
(2)
λ (z), λ ∈ C, z ∈ G2, (3)
де b(λ) = Γ(µ2)a(λ) — деяка цiла функцiя. Вiдзначимо, що оскiльки
цiла функцiя E̺(z; µ) має порядок ̺ i T ∈ L(A(G1),A(G2)), то при
фiксованому z ∈ G2 порядок цiлої вiдносно λ функцiї t(λ, z) не пе-
ревищує ̺1. Зокрема, звiдси одержимо, що i порядок цiлої функцiї
b(λ) = Γ(µ2) t(λ, 0) не перевищує ̺1. Разом з цим, iз (3) випливає, що
при фiксованому z ∈ G2 \{0} порядок цiлої вiдносно λ функцiї t(λ, z)
дорiвнює максимуму з двох чисел — порядку функцiї b(λ) та порядку
функцiї E
(2)
z (λ). Тому ̺1 ≥ ̺2.
Таким чином, доведено наступну лему.
Лема. Нехай ̺i > 0, µi ∈ C (Re µi > 0), Gi — зiркова вiдносно ну-
ля область в C, i ∈ {1, 2}. Якщо ненульовий оператор T ∈ L(A(G1),
A(G2)) задовольняє рiвняння (1), то ̺1 ≥ ̺2 i характеристична фун-
кцiя t(λ, z) = (TE
(1)
λ )(z) цього оператора подається у виглядi (3), де
b(λ) — деяка цiла функцiя, порядок якої не перевищує ̺1.
Зауважимо, що з цiєї леми випливає, що коли ̺1 < ̺2, то рiвня-
ння (1) має в класi L(A(G1),A(G2)) лише нульовий розв’язок. Тому
вважатимемо надалi, що ̺1 ≥ ̺2.
Щоб повнiстю описати ненульовi розв’язки рiвняння (1) в
L(A(G1),A(G2)) (тобто, враховуючи (3), детальнiше вивчити власти-
востi функцiї b(λ)), скористаємось отриманим у [9] зображенням опе-
раторiв iз L(A(G1),A(G2)) за допомогою їх характеристичних фун-
кцiй. Тому будемо розглядати далi два випадки (коли ̺1 > ̺2 i
̺1 = ̺2).
Т. I. Звоздецький 423
Нехай ̺1 > ̺2, G1 — ̺1-опукла область, а G2 — зiркова вiдносно
нуля область в C. Нагадаємо, що для цiлої функцiї g(λ), порядок
якої ̺g не перевищує числа ̺ > 0, її iндикатором h̺(θ; g) називається
функцiя [10, c. 72]
h̺(θ; g) = lim
r→+∞
ln |g(reiθ)|
r̺
, θ ∈ (−π; π].
Вiдзначимо, що h̺(θ; g) ≡ 0, якщо ̺g < ̺.
Зафiксуємо z ∈ G2 i знайдемо iндикатор h̺1
(θ; tz) цiлої вiдносно
λ функцiї tz(λ) = t(λ, z). Використовуючи (3), матимемо,що
h̺1
(θ; tz) = lim
r→+∞
(
ln |b(reiθ)|
r̺1
+
ln |E̺2
(zreiθ; µ2)|
r̺1
)
= h̺1
(θ; b),
θ ∈ (−π; π],
бо
lim
r→+∞
ln |E̺2
(zreiθ; µ2)|
r̺1
= 0.
Отже, в цьому випадку iндикатори функцiй tz(λ) та b(λ) збiгаються.
Тодi, оскiльки t(λ, z) — характеристична функцiя деякого оператора
T ∈ L(A(G1),A(G2)), то, згiдно з [9], iснує такий ̺1-опуклий компакт
K1 ⊂ G1, що
h̺1
(θ; b) ≤ k̺1
(−θ; K1), θ ∈ (−π; π], (4)
де k̺1
(θ; K1) – ̺1-опорна функцiя компакта K1, тобто [11, с. 334]
k̺1
(θ; K1) = max
ζ∈K1,
|Arg ζ−θ|≤min{π, π
2̺
}
|ζ|̺1 cos[̺1(Arg ζ − θ)], θ ∈ (−π; π].
Зауважимо, що функцiя k̺1
(θ; K1) обмежена (бо компакт K1 обме-
жений), а тому з нерiвностi (4) випливає, що порядок функцiї b(λ) не
перевищує ̺1. Якщо розглянути ще й ̺1-опорну функцiю ̺1-опуклої
областi G1
k̺1
(θ; G1) = sup
ζ∈G1,
|Arg ζ−θ|≤min{π, π
2̺
}
|ζ|̺1 cos[̺1(Arg ζ − θ)], θ ∈ (−π; π],
i врахувати, що k̺1
(θ; K1) < k̺1
(θ; G1), θ ∈ (−π; π], то з (4) отримаємо,
що
424 Про розв’язки одного операторного рiвняння...
h̺1
(θ; b) < k̺1
(−θ; G1), θ ∈ (−π; π]. (5)
Крiм цього, для всiх f ∈ A(G1) [9]
(Tf)(z) =
1
2πi
∫
γ
(B̺1,µ1
tz)(λ)f(λ) dλ, z ∈ G2, (6)
де γ — замкнений контур, що лежить в G1 i охоплює K1, а
(B̺1,µ1
tz)(λ) — узагальнене ̺1, µ1-перетворення Бореля цiлої функцiї
tz(λ) [11, c. 324]. Вiдзначимо, що оскiльки для всiх z ∈ G2 h̺1
(θ; tz) =
h̺1
(θ; b), θ ∈ (−π; π], то ̺1-опуклi оболонки всiх особливостей функцiй
(B̺1,µ1
tz)(λ) та (B̺1,µ1
b)(λ) збiгаються [11, c. 335–336] i, враховуючи
(4), лежать в K1. Тому за γ в (6) можна брати замкнений контур, що
лежить в G1 i охоплює всi особливостi функцiї (B̺1,µ1
b)(λ).
Таким чином, ми довели необхiднi умови наступної теореми.
Теорема 1. Нехай ̺1 > ̺2 > 0, µ1, µ2 ∈ C (Re µ1 > 0, Re µ2 > 0),
G1 — ̺1-опукла область, а G2 — зiркова вiдносно нуля область в
C. Для того, щоб ненульовий оператор T ∈ L(A(G1),A(G2)) був
розв’язком рiвняння (1), необхiдно i досить, щоб його характеристи-
чна функцiя t(λ, z) = (TE
(1)
λ )(z) подавалась у виглядi (3), де b(λ) —
така цiла функцiя, для якої виконується нерiвнiсть (5). При цьому,
дiя оператора T на довiльну функцiю f ∈ A(G1) визначається фор-
мулою (6), де γ — замкнений контур, що лежить в G1 i охоплює
всi особливостi функцiї (B̺1,µ1
b)(λ).
Доведення. Достатнiсть. Нехай b(λ) — така цiла функцiя, для якої
виконується нерiвнiсть (5). Тодi, згiдно з [3, лема 2.1], для деякого
̺1-опуклого компакта K1 ⊂ G1 виконується нерiвнiсть (4). Розгляне-
мо функцiю t(λ, z), яка визначається рiвнiстю (3). Оскiльки, як було
показано вище, в цьому випадку h̺1
(θ; tz) = h̺1
(θ; b) (для всiх z ∈ G2
i θ ∈ (−π; π]) i виконується (4), то формулою (6) визначається опе-
ратор T ∈ L(A(G1),A(G2)) [9]. Переконаємося, що вiн задовольняє
рiвняння (1), тобто, що
TD̺1,µ1
f = D̺2,µ2
Tf, f ∈ A(G1).
Враховуючи повноту в A(G1) системи функцiй {E
(1)
λ (z) : λ ∈ C} та лi-
нiйнiсть i неперервнiсть у вiдповiдних просторах операторiв T , D̺1,µ1
i D̺2,µ2
, досить перевiрити останню рiвнiсть для функцiй f(z) =
E
(1)
λ (z), λ ∈ C. Але
Т. I. Звоздецький 425
T
[
D̺1,µ1
E
(1)
λ (z)
]
= λt(λ, z)
= b(λ)λE
(2)
λ (z) = D̺2,µ2
[
b(λ)E
(2)
λ (z)
]
= D̺2,µ2
[
TE
(1)
λ (z)
]
, λ ∈ C, z ∈ G2.
Отже, оператор T справдi задовольняє рiвняння (1). Теорему дове-
дено.
Нехай тепер ̺1 = ̺2 = ̺, а G1 i G2 — ̺-опуклi областi в C. При-
пустимо, що ненульовий оператор T ∈ L(A(G1),A(G2)) є розв’язком
рiвняння (1). Тодi, згiдно з лемою, його характеристична функцiя
t(λ, z) подається у виглядi (3), де b(λ) — деяка цiла функцiя, поря-
док якої не перевищує ̺. Крiм цього, згiдно з [9], для довiльного ̺-
опуклого компакта K2 ⊂ G2 iснує такий ̺-опуклий компакт K1 ⊂ G1,
що для всiх θ ∈ (−π; π] та z ∈ K2 iндикатор h̺(θ; tz) цiлої функцiї
tz(λ) = t(λ, z) задовольняє нерiвнiсть
h̺(θ; tz) = lim
r→+∞
(
ln |b(reiθ)|
r̺
+
ln
∣
∣E̺
(
|z|rei(Arg z+θ); µ2
)
∣
∣
r̺
)
≤ k̺(−θ; K1). (7)
Вiдзначимо, що iз [11, леми 3.4, 3.6] випливає, що для ζ ∈ C
E̺(ζ; µ) = ̺ ζ̺(1−µ) exp (ζ̺) + O
(
1
|ζ|
)
, |ζ| → +∞,
коли | arg ζ| ≤ min{π, π
2̺}, або
E̺(ζ; µ) = −
1
ζΓ(µ − 1/̺)
+ O
(
1
|ζ|2
)
, |ζ| → +∞,
коли π
2̺ < | arg ζ| ≤ π (при ̺ > 1
2). Тому для θ ∈ (−π; π] i z ∈ K2
будемо мати, що
lim
r→+∞
ln
∣
∣E̺
(
|z|rei(Arg z+θ); µ2
)∣
∣
r̺
= lim
r→+∞
( ln ̺ + ln(|z|r)̺(1−Re µ) + ̺Im µ(Arg z + θ)
r̺
+
|z|̺r̺ cos[̺(Arg z + θ)]
r̺
)
= |z|̺ cos[̺(Arg z + θ)],
коли |Arg z + θ| ≤ min{π, π
2̺}, або
426 Про розв’язки одного операторного рiвняння...
lim
r→+∞
ln
∣
∣E̺
(
|z|rei(Arg z+θ); µ2
)∣
∣
r̺
= 0,
коли π
2̺ < |Arg z + θ| ≤ π (при ̺ > 1
2). Тодi з (7) одержимо, що для
θ ∈ (−π; π] i z ∈ K2
h̺(θ; tz) = h̺(θ; b) + |z|̺ cos[̺(Arg z + θ)]
≤ k̺(−θ; K1) < k̺(−θ; G1), (8)
коли |Arg z + θ| ≤ min{π, π
2̺}, або h̺(θ; tz) = h̺(θ; b), коли π
2̺ <
|Arg z + θ| ≤ π (при ̺ > 1
2). Враховуючи означення ̺-опорної функцiї
̺-опуклої множини та переходячи у (8) до супремуму вiдносно z по
вiдповiдних множинах, отримаємо, що
∀ θ ∈ (−π; π] ∀ z ∈ K2 : h̺(θ; tz) ≤ h̺(θ; b) + k̺(−θ; K2) (9)
i
∀ θ ∈ (−π; π] : h̺(θ; b) + k̺(−θ; G2) ≤ k̺(−θ; G1). (10)
При цьому, для всiх f ∈ A(G1) i z ∈ G2
(Tf)(z) =
1
2πi
∫
γz
(B̺,µ1
tz)(λ)f(λ) dλ, (11)
де γz — замкнений контур, що вибирається наступним чином. Для
кожного z ∈ G2 розглядаємо такий ̺-опуклий компакт K2 ⊂ G2, що
z ∈ K2. Згiдно з [9], iснує такий ̺-опуклий компакт K1 ⊂ G1, що для
всiх z ∈ K2 i θ ∈ (−π; π] виконується нерiвнiсть h̺(θ; tz) ≤ k̺(−θ; K1).
Тодi за γz в (11) беремо довiльний замкнений контур, що лежить у G1
i охоплює K1, бо всi особливостi функцiї (B̺,µ1
tz)(λ) лежать усерединi
K1.
Таким чином, ми довели необхiднi умови наступної теореми.
Теорема 2. Нехай ̺1 = ̺2 = ̺, µ1, µ2 ∈ C (Re µ1 > 0, Re µ2 > 0),
а G1 i G2 — ̺-опуклi областi в C. Для того, щоб ненульовий опе-
ратор T ∈ L(A(G1),A(G2)) був розв’язком рiвняння (1), необхiдно
i досить, щоб його характеристична функцiя t(λ, z) = (TE
(1)
λ )(z)
подавалась у виглядi (3), де b(λ) — така цiла функцiя, для якої ви-
конується нерiвнiсть (10). При цьому, дiя оператора T на довiльну
функцiю f ∈ A(G1) при z ∈ G2 визначається формулою (11), де
γz — замкнений контур, що лежить у G1 i охоплює всi особливостi
функцiї (B̺,µ1
tz)(λ).
Т. I. Звоздецький 427
Доведення. Достатнiсть. Нехай b(λ) — така цiла функцiя, для якої
виконується нерiвнiсть (10). Зафiксуємо ̺-опуклий компакт K2 ⊂ G2.
Тодi
∀ θ ∈ (−π; π] : h̺(θ; b) + k̺(−θ; K2) < k̺(−θ; G1).
Тому, згiдно з [3, лема 2.1], iснує такий ̺-опуклий компакт K1 ⊂ G1,
для якого виконується нерiвнiсть
∀ θ ∈ (−π; π] : h̺(θ; b) + k̺(−θ; K2) ≤ k̺(−θ; K1). (12)
Розглянемо функцiю t(λ, z), яка визначається рiвнiстю (3). Тодi з (9)
i (12) отримаємо, що
∀ θ ∈ (−π; π] ∀ z ∈ K2 : h̺(θ; tz) ≤ k̺(−θ; K1),
де tz(λ) = t(λ, z). Тому t(λ, z) є характеристичною функцiєю для
деякого оператора T ∈ L(A(G1),A(G2)) [9], дiя якого на довiльну
функцiю f ∈ A(G1) при z ∈ K2 визначається формулою (11), де
γz — замкнений контур, що лежить у G1 i охоплює K1. Те, що так
визначений оператор T задовольняє рiвняння (1), перевiряється так
само, як i при доведеннi теореми 1. Теорему доведено.
3. Опишемо тепер iзоморфiзми T ∈ L(A(G1),A(G2)), якi задо-
вольняють рiвняння (1).
Нехай T ∈ L(A(G1),A(G2)) є iзоморфiзмом, який задовольняє (1).
Тодi за лемою ̺1 ≥ ̺2. Разом з цим, оператор T−1 ∈ L(A(G2),A(G1))
задовольняє рiвняння T−1D̺2,µ2
= D̺1,µ1
T−1. Тому з леми отрима-
ємо, що ̺2 ≥ ̺1. Отже, ̺1 = ̺2 = ̺. Крiм цього, згiдно з лемою,
характеристична функцiя t(λ, z) = TE̺(λz; µ1) оператора T подає-
ться у виглядi
t(λ, z) = b(λ)E̺(λz; µ2), (13)
причому порядок функцiї b(λ) не перевищує ̺. Оскiльки T є iзомор-
фiзмом, то вiн не має нетривiальних нулiв. Тодi з (13) одержимо, що
функцiя b(λ) не має нулiв у C. Тому b(λ) = exp[p(λ)], де p(λ) — де-
який многочлен, степiнь якого не перевищує ̺ (позначатимемо надалi
степiнь многочлена p(λ) через deg p(λ)) [12, c. 266]. Отже,
t(λ, z) = exp[p(λ)]E̺(λz; µ2), (14)
де p(λ) — многочлен, причому deg p(λ) ≤ ̺.
428 Про розв’язки одного операторного рiвняння...
Вiдзначимо, що в даному випадку
∀ θ ∈ (−π; π] : h̺(θ; b) = lim
r→+∞
Re p(reiθ)
r̺
=
{
0, deg p(λ) < ̺,
Re
(
a0e
i̺θ
)
, deg p(λ) = ̺.
Тому розглянемо далi окремо ситуацiї коли deg p(λ) < ̺ i deg p(λ) =
̺.
Нехай deg p(λ) < ̺. Тодi з теореми 2 отримаємо, що k̺(θ; G2) ≤
k̺(θ; G1) для всiх θ ∈ (−π; π]. А це означає, що G2 ⊆ G1. Крiм цього,
оскiльки T є iзоморфiзмом i (14) можна записати у виглядi
T−1E̺(λz; µ2) = exp[−p(λ)]E̺(λz; µ1), (15)
то звiдси аналогiчними мiркуваннями одержимо, що G1 ⊆ G2. Отже,
в цьому випадку G1 = G2.
Нехай тепер deg p(λ) = ̺. Тодi з теореми 2 будемо мати, що
Re (a0e
−i̺θ) + k̺(θ; G2) ≤ k̺(θ; G1) для всiх θ ∈ (−π; π]. Аналогi-
чно, використовуючи (15), отримаємо, що k̺(θ; G1) − Re (a0e
−i̺θ) ≤
k̺(θ; G2) для всiх θ ∈ (−π; π]. Отже, в цьому випадку ̺-опорнi фун-
кцiї ̺-опуклих областей G1 i G2 пов’язанi спiввiдношенням
k̺(θ; G1) = k̺(θ; G2) + Re (a0e
−i̺θ), θ ∈ (−π; π], (16)
де a0 — це коефiцiєнт при λ̺ у p(λ).
Таким чином, ми довели необхiднi умови наступної теореми.
Теорема 3. Нехай ̺i > 0, µi ∈ C (Re µi > 0), а Gi — ̺i-опукла
область в C, i ∈ {1, 2}. Для того, щоб оператор T ∈ L(A(G1),A(G2))
був iзоморфiзмом, який задовольняє рiвняння (1), необхiдно i досить,
щоб виконувались наступнi умови:
1) ̺1 = ̺2 = ̺;
2) характеристична функцiя t(λ, z) = TE̺(λz; µ1) оператора T
подається у виглядi (14), де p(λ) — многочлен, для якого
deg p(λ) ≤ ̺;
3) якщо deg p(λ) < ̺, то G1 = G2, а якщо deg p(λ) = ̺, то ̺-
опорнi функцiї k̺(θ; G1) i k̺(θ; G2) ̺-опуклих областей G1 i G2
пов’язанi спiввiдношенням (16), де a0 — це коефiцiєнт при λ̺
у p(λ).
Т. I. Звоздецький 429
При цьому, дiя оператора T на довiльну функцiю f ∈ A(G1) при
z ∈ G2 визначається формулою (11), де γz — замкнений контур, що
лежить у G1 i охоплює всi особливостi функцiї (B̺,µ1
tz)(λ).
Доведення. Достатнiсть. Нехай виконуються умови 1)–3). Те, що
вiдповiдний оператор T належить до L(A(G1),A(G2)) i задовольняє
(1), випливає з теореми 2. Крiм цього, вiн є iзоморфiзмом, оскiль-
ки оберненим до нього є оператор T1 ∈ L(A(G2),A(G1)), для якого
характеристичною є функцiя
t1(λ, z) = T1E̺(λz; µ2) = exp[−p(λ)]E̺(λz; µ1).
Теорему доведено.
Вiдзначимо, що отриманi тут результати узгоджуються з вiдпо-
вiдними результатами iз [3–6].
Лiтература
[1] А. О. Гельфонд, А. Ф. Леонтьев, Об одном обобщении ряда Фурье // Матем.
сб., 29 (71) (1951), N 3, 477–500.
[2] Н. Е. Линчук, Представление решений некоторых операторных уравнений
в аналитических пространствах и их применения. Дисс. ... канд. физ.-мат.
наук. Киев, 1987, 121 с.
[3] В. А. Ткаченко, Об операторах, коммутирующих с обобщенным дифферен-
цированием, в пространствах аналитических функционалов с заданным ин-
дикатором роста // Матем. сб., 102 (144) (1977), N 3, 435–456.
[4] М. I. Нагнибiда, Еквiвалентнiсть деяких операцiй в аналiтичних просто-
рах // Доповiдi АН УРСР. Сер. А. (1982), N 9, 14–16.
[5] Т. I. Звоздецький, Про iзоморфiзми, якi є переставними з оператором уза-
гальненого диференцiювання Гельфонда-Леонтьєва // Iнтегральнi перетво-
рення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. Київ: Iн-т матем.
НАН України, 10 (1995), 243–248.
[6] Т. I. Звоздецький, Про еквiвалентнiсть у просторах аналiтичних функцiй
деяких операторiв, пов’язаних з узагальненим iнтегруванням та диферен-
цiюванням Гельфонда-Леонтьєва // Укр. мат. вiсн, 2 (2005), N 4, 490–501.
[7] Ю. Ф. Коробейник, Операторы сдвига на числовых семействах. Ростов-на-
Дону: Изд-во Рост. ун-та, 1983, 160 c.
[8] I. H. Dimovski, V. S. Kiryakova, Convolution and commutant of Gelfond-Leontiev
operator of integration // Конструктивная теория функций: Труды междунар.
конф. (Варна, 1–5 июня, 1981). София, 1983, 288–294.
[9] Т. I. Звоздецький, С. С. Лiнчук, Одне зображення лiнiйних неперервних опе-
раторiв, що дiють у просторах аналiтичних функцiй // Наук. вiсн. Чернi-
вецького ун-ту. Вип. 314–315. Математика, Чернiвцi: Рута, 2006, 73–76.
[10] Б. Я. Левин, Распределение корней целых функций. Москва: Гостехиздат,
1956, 632 с.
430 Про розв’язки одного операторного рiвняння...
[11] М. М. Джрбашян, Интегральные преобразования и представления функций
в комплексной области. Москва: Наука, 1966, 671 с.
[12] А. И. Маркушевич, Теория аналитических функций. Том II. Москва: Наука,
1968, 624 с.
Вiдомостi про авторiв
Тарас Iванович
Звоздецький
Кафедра математичного аналiзу,
Чернiвецький нацiональний унiверситет
iменi Юрiя Федьковича,
вул. Коцюбинського, 2
Чернiвцi, 58012
Україна
E-Mail: taras_zv@ukr.net,
mathan@ukr.net
|