Описание автоморфизмов единичного операторного шара
Описаны автоморфизмы операторного шара радиуса 1 и их связь с унитарными операторами в пространствах с Jν-метрикой при ν ≠ 2.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124355 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Описание автоморфизмов единичного операторного шара / Т. Азизов, В. Хацкевич, В. Сендеров // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 139-149. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124355 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243552017-09-25T03:03:03Z Описание автоморфизмов единичного операторного шара Азизов, Т. Хацкевич, В. Сендеров, В. Описаны автоморфизмы операторного шара радиуса 1 и их связь с унитарными операторами в пространствах с Jν-метрикой при ν ≠ 2. 2009 Article Описание автоморфизмов единичного операторного шара / Т. Азизов, В. Хацкевич, В. Сендеров // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 139-149. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1810-3200 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124355 2000 MSC. 47B50. ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Описаны автоморфизмы операторного шара радиуса 1 и их связь с унитарными операторами в пространствах с Jν-метрикой при ν ≠ 2. |
| format |
Article |
| author |
Азизов, Т. Хацкевич, В. Сендеров, В. |
| spellingShingle |
Азизов, Т. Хацкевич, В. Сендеров, В. Описание автоморфизмов единичного операторного шара Український математичний вісник |
| author_facet |
Азизов, Т. Хацкевич, В. Сендеров, В. |
| author_sort |
Азизов, Т. |
| title |
Описание автоморфизмов единичного операторного шара |
| title_short |
Описание автоморфизмов единичного операторного шара |
| title_full |
Описание автоморфизмов единичного операторного шара |
| title_fullStr |
Описание автоморфизмов единичного операторного шара |
| title_full_unstemmed |
Описание автоморфизмов единичного операторного шара |
| title_sort |
описание автоморфизмов единичного операторного шара |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124355 |
| citation_txt |
Описание автоморфизмов единичного операторного шара / Т. Азизов, В. Хацкевич, В. Сендеров // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 139-149. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT azizovt opisanieavtomorfizmovediničnogooperatornogošara AT hackevičv opisanieavtomorfizmovediničnogooperatornogošara AT senderovv opisanieavtomorfizmovediničnogooperatornogošara |
| first_indexed |
2025-07-09T01:18:34Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:18:34Z |
| _version_ |
1837130228756905984 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 6 (2009), № 2, 139 – 149
Описание автоморфизмов единичного
операторного шара
Томас Азизов, Виктор Хацкевич, Валерий Сендеров
(Представлена М. М. Маламудом)
Аннотация. Описаны автоморфизмы операторного шара радиу-
са 1 и их связь с унитарными операторами в пространствах с Jν-
метрикой при ν 6= 2.
2000 MSC. 47B50.
Ключевые слова и фразы. Индефинитная метрика, дробно-ли-
нейное преобразование, автоморфизм операторного шара.
1. Введение
Пусть L1 и L2 — нетривиальные комплексные банаховы прост-
ранства, K — единичный открытый шар пространства L(L1, L2) всех
ограниченных линейных операторов, действующих из L1 в L2. Если
Tij ∈ L(Lj , Li), i, j = 1, 2, то T = ‖Tij‖i,j=1,2 — ограниченный линей-
ный оператор, действующий в пространстве
L = L1+̇L2 —
топологической прямой сумме пространств L1 и L2. Всюду ниже P1 и
P2 — соответствующие этому разложению L проекторы: Li = PiL, где
i = 1, 2, P1 +P2 = I. Если T11 обратим и ‖T−1
11 T12‖ ≤ 1, то оператор T
порождает дробно-линейное отображение (д.л.о.) FT : K → L(L1, L2)
по формуле
FT (K) = (T21 + T22K)(T11 + T12K)−1, (1.1)
где K ∈ K.
Ясно, что FT = FλT для любого λ 6= 0. Известно [1, 2], что спра-
ведливо и обратное. Именно, если хотя бы одно из д.л.о. FA и FB
Статья поступила в редакцию 5.01.2009
Работа Т. Азизова поддержана грантом РФФИ 08-01-00566-а.
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
140 Описание автоморфизмов...
отлично от константы и в некоторой окрестности нуля FA и FB сов-
падают, то A = λB, где λ 6= 0.
Положим
p+ = {x ∈ L : x = x+ + x−, x+ ∈ L1, x− ∈ L2, ‖x+‖ ≥ ‖x−‖},
p++ = {x ∈ L : x = x+ + x−, x+ ∈ L1, x− ∈ L2, ‖x+‖ > ‖x−‖}.
Д.л.о. FT отображает K в K в точности тогда, когда
Tp+ ⊆ p+. (1.2)
Линейные операторы со свойством (1.2) называются [3,4] плюс-опера-
торами.
Зададим на L функцию Jν(x) (“Jν-метрику”) формулой
Jν(x) = ‖x+‖
ν − ‖x−‖
ν ,
где x = x+ + x−, x+ ∈ L1, x− ∈ L2, ν > 0.
Ниже нам понадобятся некоторые геометрические определения и
обозначения. Обозначим через M+(M−) множество подпространств
L± = {x± + K±x±}), где x± пробегает все L1,2, а K± — сжатие, дей-
ствующее из L1,2 в L2,1. Операторы K± называются угловыми опера-
торами подпространств L±. Аналогично определяются угловые опе-
раторы любых семидефинитных линеалов M±; в этом случае угловой
оператор K± определен на P±M± ⊆ L1,2.
Определение 1.1. Будем говорить, что линеалы L и M пространс-
тва L Jν-ортогональны, если Jν(x + y) = Jν(x) + Jν(y) при x ∈ L,
y ∈ M .
Оператор V называется Jν-унитарным, если V L = L и Jν(V x) =
Jν(x) для всех x ∈ L. Очевидно, Jν-унитарный оператор является
плюс-оператором. Кроме того, L ∈ M+ влечет V L +̇ V L2 = L. Отсю-
да V L ∈ M+ [4].
Таким образом, всякий Jν-унитарный оператор V = T порожда-
ет по формуле (1.1) автоморфное д.л.о. шара K. В настоящей статье
нас, в частности, будет интересовать обратная задача: какие именно
дробно-линейные автоморфизмы порождаются Jν-унитарными опе-
раторами?
Ответ оказывается различным при различных ν.
Т. Азизов, В. Хацкевич, В. Сендеров 141
2. Случай гильбертова пространства
Рассмотрим пространство Aut(K) всех автоморфизмов шара K.
Через Aut(K, I) обозначим связную компоненту тождественного ав-
томорфизма I, а через LF Aut(K) — множество всех дробно-линей-
ных автоморфизмов шара K.
В работе М. Г. Крейна и Ю. Л. Шмульяна [3] установлено, что
всякое FT ∈ LF Aut(K) порождается J2-унитарным оператором V =
αT , описываемым тремя параметрами: Γ, V1 и V2 (см. ниже формулу
(2.1)).
Ниже нами устанавливается теорема 2.1, включающая при ν = 2
вышеупомянутые результаты М. Г. Крейна и Ю. Л. Шмульяна;
с помощью результата [3] она дает полное описание компоненты
Aut(K, I). При ν 6= 2 теорема 2.1 дает описание множества поро-
жденных Jν-унитарными операторами автоморфизмов K. Именно,
это множество совпадает с множеством всех линейных автоморфиз-
мов Lin Aut(K).
Теорема 2.1. a) Всякое автоморфное д.л.о вида (1.1) шара K по-
рождается J2-унитарным оператором V = αT , определяемым
тремя параметрами: Γ ∈ K и операторами V1 и V2, унитар-
ными в L1 и L2 соответственно, с помощью равенства
V =
(I − Γ∗Γ)−
1
2 V1 Γ∗(I − ΓΓ∗)−
1
2 V2
Γ(I − Γ∗Γ)−
1
2 V1 (I − ΓΓ∗)−
1
2 V2
. (2.1)
b) Пусть теперь ν 6= 2. Тогда автоморфное д.л.о. вида (1.1) шара
K порождается Jν-унитарным оператором в точности если
FT (K) = T22KT−1
11 . (2.2)
c) Множество автоморфизмов пункта b) совпадает с Lin Aut(K).
Доказательство. a) Очевидно, оператор T отображает p++ в себя.
Из автоморфности д.л.о. FT следует сюръективность, а также, вслед-
ствие [6, теорема 3.1], — инъективность отображения T : p++ → p++.
Следовательно, отображение T : p++ → p++ — биекция; отсюда T —
коллинеарный J2-унитарному оператор [3]. Для завершения дока-
зательства осталось воспользоваться [7, теорема 2.5.10] и [7, след-
ствие 2.5.11].
Как отмечалось выше, формула (2.1) получена в [3].
b) Доказательству предпошлем вспомогательные предложения.
142 Описание автоморфизмов...
Лемма 2.1. Пусть L — гильбертово Jν-пространство; ν 6= 2;
{λx} (* L1) — положительный линеал; неположительный линеал
L, L 6= {0}, Jν-ортогонален {λx}. Тогда
1) (x+, y+) = (x−, y−) = 0, где x = x+ + x−, y = y+ + y− ∈ L;
2) линеал L отрицателен;
3) ν = 4;
4) угловые операторы линеалов {λx} и L имеют одинаковые нор-
мы.
Доказательство. Полагая λ ≥ 0, ‖x+‖ = ‖y−‖ = 1, запишем условие
Jν-ортогональности векторов λx и y в следующем виде:
(λ2 + bλ + c)
ν
2 − (dλ2 + eλ + 1)
ν
2 = fλν + g,
где b = 2 Re(x+, y+), c = (y+, y+), d = (x−, x−), e = 2 Re(x−, y−),
f = Jν(x), g = Jν(y).
Докажем, что ν — целое. При c > 0 слева стоит функция веще-
ственного переменного λ ∈ [0,∞), аналитическая в нуле, т.е. разла-
гающаяся в ряд Тейлора, а потому и функция справа должна быть
аналитической в нуле, что влечет ν ∈ N. Если c = 0, т.е. y+ = 0, то
b = 0, −(dλ2 + eλ + 1)
ν
2 = (f − 1)λν + g. При f = 1 имеем x− = 0; при
f − 1 6= 0 рассуждаем, как выше.
Пусть ν нечетно. Т.к. fλν + g ≡ 0, то λ2 + bλ + c и dλ2 + eλ + 1 —
точные квадраты. Значит, Re2(x+, y+) = ‖y+‖
2, Re2(x−, y−) = ‖x−‖
2.
Аналогично Im2(x+, y+) = ‖y+‖
2, 2‖y+‖
2 = |(x+, y+)|2 ≤ ‖y+‖
2, y+ =
0; аналогично x− = 0.
Таким образом, мы пришли к равенству
(λ2 + bλ + c)m − (dλ2 + eλ + 1)m = fλ2m + g,
где m ∈ N\{1}, 0 ≤ c ≤ 1, 0 < d < 1.
(2.3)
Вычисляя коэффициенты при λ и λ2m−1 в левой части, получаем:
e = bcm−1, b = dm−1e. Отсюда |e| ≤ |b| ≤ |e|, |e| = |b|. Если это число
не 0, то dm−1 = 1, d = 1 — вопреки (2.3). Значит, e = b = 0. Получили
Re(x+, y+) = Re(x−, y−) = 0; заменяя x+ на ix+, x− на ix−, получаем
Im(x+, y+) = Im(x−, y−) = 0. Следовательно, (y+, x+) = (x−, y−) = 0.
Утверждение 1) доказано.
Докажем 2), или c 6= 1. При c = 1 равенство cm−1 = d давало бы
d = 1. Утверждение 2) также доказано.
Докажем 3). Пусть ν > 4, или m > 2. Тогда равенство (2.3) дает
cm−1 = d, cm−2 = d2. Отсюда d = 0 либо d = 1. Противоречие.
Т. Азизов, В. Хацкевич, В. Сендеров 143
Докажем 4). Таким образом, m = 2, c = d, т.е. (y+, y+) = (x−, x−).
Утверждение 4) доказано.
Доказанная лемма позволяет в случае ν 6= 2 полностью описать
пары (L+,L−) нетривиальных Jν-ортогональных дефинитных лине-
алов разных знаков.
Предложение 2.1. Пусть L — гильбертово Jν-пространство, где
ν 6= 2; L+ и L− — положительный и отрицательный соответ-
ственно нетривиальные Jν-ортогональные линеалы. Тогда в случае
ν 6= 4 имеем L± ⊆ L1,2. Пусть ν = 4, K+ и K− — угловые операторы
линеалов L+ и L− соответственно. Тогда либо L± ⊆ L1,2, либо
1) (x+, y+) = (x−, y−) = 0 при x = x++x− ∈ L+, y = y++y− ∈ L−;
2) K+ = αU+, K− = αU−, где 0 < α < 1, U+ и U− — некоторые
изометрии.
Доказательство. Достаточно доказать 2). Пусть L+ * L1, x = x+ +
x− ∈ L+\L1, α = ‖x
−
‖
‖x+‖ , y = y+ + y− ∈ L−\{0}. Из леммы 2.1 сле-
дует, что ‖y+‖
‖y
−
‖ = α. Пусть теперь z = z+ + z− ∈ L+\{0}. Рассуждая
аналогично, получаем ‖z
−
‖
‖z+‖ = ‖y+‖
‖y
−
‖ = α. Предложение доказано.
Следствие 2.1. Пусть L — гильбертово Jν-пространство, где
ν 6= 2; L+ и L− — линеалы, удовлетворяющие условиям предложе-
ния 2.1. Тогда если dimL ≤ 3, то L± ⊆ L1,2.
Замечание 2.1. Некоторое усложнение рассуждений предложе-
ния 2.1 приводит к полному описанию при ν 6= 2 всех пар нетри-
виальных Jν-ортогональных семидефинитных линеалов разных зна-
ков. Именно, помимо описываемых конструкциями предложения 2.1,
при любом ν > 0, ν 6= 2 существует ровно два типа таких пар. Пара
первого типа получается произвольным разложением L = L+ + L−
нетривиального нейтрального линеала L (L± 6= {0}). Пара второ-
го типа получается следующим образом. В L1 или в L2 (например,
в L1) рассмотрим нетривиальные “ν-ортогональные” линеалы L+ и
M (‖y + z‖ν = ‖y‖ν + ‖z‖ν при y ∈ L+, z ∈ M). Линеалы L+ и
L− = {x + Kx}, где x ∈ M, K — некоторая изометрия из M в L2,
образуют искомую пару.
Предложение 2.2. Пусть L = L1 +̇ L2 — гильбертово Jν-прост-
ранство, ν 6= 2, V − Jν-унитарный оператор. Тогда V Li = Li, где
i = 1, 2.
144 Описание автоморфизмов...
Доказательство. Известно [4], что V L2 ∈ M−. Пусть P2V x+ 6= 0
(x+ ∈ L1). Рассмотрим вектор y− ∈ L2 такой, что P2V y− = P2V x+.
Имеем dimл.о. {P1V x+,P1V y−,P2V x+} ≤ 3. Линеалы {λV x+} и
{λV y−} в нем Jν-ортогональны — в противоречии со следствием 2.1.
Следовательно, V Li ⊆ Li (i = 1, 2).
Замечание 2.2. Гильбертовость L2 в доказательстве не использова-
на.
Приступим теперь к доказательству второй части теоремы 2.1
(утверждения b)). Если V − Jν-унитарный оператор, где ν 6= 2, то
из Предложения 6 следует равенство FV (K) = V22KV −1
11 , где K ∈ K.
Обратно, пусть (2.2) — автоморфизм шара K, ‖T11‖ = 1. Нетрудно
показать непосредственно, что T11 и T22 — унитарные операторы (это
сразу следует также из вытекающей из а) J2-унитарности оператора
T ), — откуда сразу следует завершение доказательства пункта b).
Докажем c). Пусть FT ∈ Lin Aut(K), т.е. T12 = 0. Согласно а)
оператор T коллинеарен J2-унитарному. Значит, T12 = 0 влечет T21 =
0, и справедливо равенство (2.2).
Теорема 2.1 доказана.
Замечание 2.3. Известно [5], что всякий биголоморфный автомор-
физм шара K является д.л.о. вида (1.1). Это позволяет уточнить пер-
вое утверждение теоремы 2.1 следующим образом.
Всякий биголоморфный автоморфизм шара K есть д.л.о. вида
(1.1). Это д.л.о. порождается J2-унитарным оператором V = αT ,
определяемым тремя параметрами: Γ ∈ K и операторами V1 и V2,
унитарными в L1 и L2 соответственно, с помощью равенства
V =
(I − Γ∗Γ)−
1
2 V1 Γ∗(I − ΓΓ∗)−
1
2 V2
Γ(I − Γ∗Γ)−
1
2 V1 (I − ΓΓ∗)−
1
2 V2
.
3. Общий случай банаховых пространств
В случае банаховых пространств аналоги многих предложений
предыдущего раздела могут быть получены при дополнительном ес-
тественном ограничении на один из “уголков” Vij Jν-унитарного опе-
ратора V .
Лемма 3.1. Пусть dimL1 = dimL2 = 1, ν 6= 2, Jν(x+ + x−) > 0,
Jν(y+ + y−) < 0, Jν(λ(x+ + x−) + µ(y+ + y−)) = Jν(λ(x+ + x−)) +
Jν(µ(y+ + y−)) при всех λ, µ. Тогда x− = y+ = 0.
Т. Азизов, В. Хацкевич, В. Сендеров 145
Доказательство в силу одномерности пространств L1 и L2 сразу
вытекает из следствия 2.1.
Теорема 3.1. Пусть V − Jν-унитарный оператор, ν 6= 2 и хотя бы
один из элементов матрицы (Vij)
2
i,j=1 конечномерен. Тогда V12 = 0
и V21 = 0.
Доказательство. Поскольку KerV11 = {0} и KerV22 = {0}, то ко-
нечномерность хотя бы одного из операторов V11 и V22 влечет
min{dimL1, dimL2} < ∞. Следовательно, без ограничения общности
можно считать, что конечномерным является хотя бы один из опера-
торов V12 и V21. Рассмотрим подпространства L+ = V L1 и L− = V L2.
Эти подпространства принадлежат M+ и M− соответственно [4], и их
угловыми операторами являются операторы K+ = V21(V11)
−1 и K− =
V12(V22)
−1 соответственно. Следовательно, оператор K− конечноме-
рен. Рассмотрим два конечномерных оператора K+K− и K−K+, дей-
ствующих в L− и L+ соответственно.
Пусть λ0 ∈ σp (K−K+). Если λ0 6= 0, то рассмотрим вектор x+ ∈
L+\{0}: K−K+x+ = λ0x+. Вектор x = x+ + K+x+ принадлежит L+,
а вектор y = K+x+ + K−K+x+ принадлежит L−. Имеем Jν(λx +
µy) = Jν(λx) + Jν(µy) при всех λ и µ. Поскольку л.о. {x, y} = л.о.
(x+, K+x+}, то в силу леммы 3.1 получаем: x ∈ L+, т.е. K+x1 = 0,
что противоречит предположению λ0 6= 0.
Пусть λ0 = 0. Если KerK+K− 6= KerK− или Ker K−K+ 6= KerK+,
то поступим следующим образом. (Для определенности будем счи-
тать, что KerK−K+ 6= KerK+.) Возьмем x+ ∈ Ker K−K+\KerK+
и рассмотрим л.о. {x+, K+x+}. Поскольку x = x+ + K+x+ ∈ L+, а
y = K+x+ + K−K+x+ ∈ L−, то, опять применив лемму 3.1, получим
K+x+ = 0, что противоречит предположению.
Остается одна возможность: KerK+K− = KerK− и KerK−K+ =
KerK+. Рассмотрим подпространства K−K+L1 и K+K−L2. Если
K−K+L1 = {0}, K+K−L2 = {0}, то K+ = K− = 0, и теорема дока-
зана. Пусть dimK−K+L1 ≥ 1. Так как у конечномерного оператора
K−K+
∣
∣
K
−
K+L1
нет собственных значений λ 6= 0, то существует y+ 6= 0
такой, что при некотором x+ имеем y+ = K−K+x+ и K−K+y+ = 0.
Отсюда K+y+ = 0, т.е. K+(K−K+x+) = K+K−(K+x+) = 0. Следова-
тельно, 0 = K−K+x+ = y+. Противоречие. Теорема доказана.
С помощью теоремы 3.1 доказывается следующее утверждение.
Предложение 3.1. Пусть L−Jν-пространство, ν 6= 2. Тогда авто-
морфное д.л.о. FA шара K порождается Jν-унитарным оператором
V , хотя бы один из элементов матрицы (Vij)
2
i,j=1 которого конечно-
мерен, в точности если FA(K) = A22KA−1
11 .
146 Описание автоморфизмов...
Теорема 3.1 позволяет полностью описать структуру Jν-унитар-
ных операторов, где ν 6= 2, в конечномерных пространствах.
Предложение 3.2. В конечномерном нормированном пространстве
любой унитарный оператор диагонализуем.
Доказательство. Предположим противное. Тогда существует нетри-
виальная жорданова цепочка a, b, . . .. Рассмотрим матрицу суже-
ния оператора на л.о. первых двух ее векторов: ( α 1
0 α ). Поскольку
( α 1
0 α )
n
=
(
αn nαn−1
0 αn
)
, то V nb = nαn−1a + αnb. Поскольку |α| = 1,
то вследствие неравенства треугольника получаем: ‖V nb‖ → ∞ при
n → ∞. Противоречие с унитарностью V .
Предложение 3.2 можно также получить с помощью теоремы о
подобии устойчивых операторов в гильбертовом пространстве уни-
тарным [8,9].
Замечание 3.1. В сепарабельном бесконечномерном гильбертовом
пространстве существует унитарный оператор, не имеющий собствен-
ных векторов. Этим свойством обладает, как известно, т.н. оператор
двустороннего сдвига.
Из теоремы 3.1 и предложения 3.2 следует
Теорема 3.2. В конечномерном нормированном пространстве лю-
бой Jν-унитарный оператор, где ν 6= 2, диагонализуем.
С другой стороны, нетрудно показать, что в любом гильбертовом
пространстве существуют недиагонализуемые J2-унитарные операто-
ры. В самом деле, уже в двумерном случае J2-унитарный оператор,
заданный в естественном базисе матрицей
(
1+i 1
1 1−i
)
, не является ди-
агонализуемым.
Заметим, что в случае вещественного гильбертова пространства L
недиагонализуемые J2-унитарные операторы существуют в точности
при dimL > 2.
Покажем это. При dim L > 2 достаточно выбрать в L1 или в L2
двумерное пространство L и рассмотреть J2-унитарный оператор V :
V L = L, сужение которого на L — оператор поворота на угол, не
кратный π.
Пусть dimL = 2. Тогда в естественном базисе матрица оператора
V имеет вид
(
α β
±β ±α
)
, где α2 − β2 = 1. Отсюда либо β = 0, ли-
бо матрица имеет два различных вещественных характеристических
числа. В обоих случаях оператор диагонализуем.
Т. Азизов, В. Хацкевич, В. Сендеров 147
4. Приложение к проблеме Кёнигса
Проблема вложения Кенигса (КЕ-проблема), возникшая в рабо-
тах Г. Кенигса, П. Леви, Ж. Адамара в связи с решением разли-
чных прикладных задач, имеет более чем вековую историю. Общая
формулировка этой проблемы такова. Пусть D — область компле-
ксного банахова пространства, f ∈ Hol(D). Существует ли семейство
{F (t)}t≥0 ⊂ Hol(D), непрерывно (в топологии локально равномерной
сходимости над D) зависящее от t и такое, что F (0) = I, F (1) = f ,
F (s + t) = F (s) ◦ F (t) при всех s, t ≥ 0?
Если семейство {F (t)}t≥0 существует, то говорят, что f обладает
КЕ-свойством.
В последние годы появились новые работы, относящиеся к КЕ-
проблеме и к ее приложениям. Так, в [10–12] рассматривался случай,
когда D — единичный открытый шар пространства L(H1, H2), где H1
и H2 — гильбертовы пространства, а f = FT — преобразование D,
порождаемое (плюс-) оператором T по формуле (1.1).
В некоторых статьях (см., например, [14]) подобные результаты
обобщены на случай банаховых пространств.
В настоящей статье мы применяем полученные в предыдущих ра-
зделах результаты к проблеме Кёнигса для случая автоморфизмов
FT , порождаемых Jν-унитарными операторами.
Теорема 4.1. Пусть L — гильбертово Jν-пространство, где ν 6= 2;
T — Jν-унитарный оператор. Тогда д.л.о. FT обладает КЕ-свойст-
вом. При этом существует объемлющая полугруппа, состоящая из
порожденных Jν-унитарными операторами д.л.о. шара K.
Доказательство теоремы нетрудно вывести из предложения 2.2 с
помощью теоремы о спектральном разложении унитарного операто-
ра.
Покажем, что в случае банахова пространства L теорема 4.1 те-
ряет силу.
Пример 4.1. Пусть dimL1 = 2, dimL2 = 1; L1 = lp, где 1 ≤ p ≤ ∞,
p 6= 2; в естественном базисе пространства L1 оператор A11 имеет вид
( 0 1
1 0 ). Пусть, далее, A12 = 0, A21 = 0, A22 = I. Докажем, что для FA
заключение теоремы 4.1 не имеет места. Предположим противное и
рассмотрим FA(1), где A(1) = A. Имеем
FA(1) = F
A( 1
2)
◦ F
A( 1
2)
= F
A2( 1
2)
.
Значит, A2
(
1
2
)
= αA, где α 6= 0, B = A
(
1
2
)
— Jν-унитарный оператор.
Таким образом, B2
11 = αA11, где B11 — унитарный оператор. Однако
148 Описание автоморфизмов...
такого оператора B11 не существует. Это сразу следует из того, что
в естественном базисе пространства L1 любой унитарный оператор
имеет вид
(
α 0
0 β
)
либо
(
0 α
β 0
)
(где |α| = |β| = 1). Последнее нетру-
дно показать с помощью леммы 3.1 и дробно-линейных операторных
преобразований, введенных и изученных в [15,16].
Таким образом, в случае банахова пространства L для положи-
тельного решения проблемы Кёнигса необходимы дополнительные
условия. Так, КЕ-свойство имеет место в случае существования и
унитарности всех неотрицательных степеней операторов T11 и T22.
Замечание 4.1. Некоторые предложения настоящей статьи были
сформулированы (как правило, в иной форме и без доказательств)
двумя из трех ее авторов в [17].
Литература
[1] В. С. Шульман, В. А. Хацкевич, В. А. Сендеров, Об операторных матри-
цах, порождающих дробно-линейные отображения операторных шаров //
Функциональный анализ, Ульяновск (2003), вып. 38, 88–92.
[2] V. Khatskevich, V. Senderov, and V. Shulman, On operator matrices generati-
ng linear fractional maps of operator balls // Complex analysis and dynamical
systems, Contemp. Math., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 364 (2004), 93–102.
[3] M. G. Krein and Yu. L. Shmulyan, On Plus-Operators in a Space with an Indefi-
nite Metric // Matem. Issledovaniya, Kishinev, Akad. Nauk Mold. SSR, (1966),
N 1, 131–161 (in Russ.).
[4] V. A. Senderov and V. A. Khatskevich, On Normed Jν-Spaces and Some Classes
of Linear Operators in These Spaces // Matem. Issledovaniya, Kishinev, Akad.
Nauk Mold. SSR, 8 (1973), N 3, 56–75 (in Russ.).
[5] M. G. Krein, A new application of the fix-point principle in the theory of linear
operators in a space with an indefinite metric // Doklady Akad. Nauk USSR, 154
(5) (1964), 1026–1029 (Russ.); English transl.: Soviet Math. Doklady, 59 (1964),
224–227.
[6] V. Khatskevich and V. Senderov, Basic properties of linear fractional mappings
of operator balls: Schroeder’s equation // in: Fields Institute Communications, 25
(2000), 331–344.
[7] T. Ya. Azizov and I. S. Iokhvidov, Foundations of the theory of linear operators
in spaces with indefinite metric, Moscow, Nauka, 1986 (Russ.); English transl.:
Linear operators in spaces with an indefinite metric, John Wiley & Sons. London,
1989.
[8] Ф. Рисс и Б. Секефальви-Надь, Лекции по функциональному анализу, М.:
ИЛ, 1954. [Riesz F., Sz.-Nagy B., 1952.]
[9] Б. Секельфальви-Надь и Ч. Фояш, Гармонический анализ операторов в гиль-
бертовом пространстве, М.: Мир, 1970.
[10] V. Khatskevich, S. Reich, D. Shoikhet, Schroeder’s functional equation and the
Koenigs embedding property // Nonlin. Anal. 47 (2001), 3977–3988.
Т. Азизов, В. Хацкевич, В. Сендеров 149
[11] V. Khatskevich, S. Reich, D. Shoikhet, Abel–Schroeder equations for linear fracti-
onal mappings and the Koenigs embedding problem // Acta sci.math. (Szeged).
69 (2003), 67–98.
[12] В. Хацкевич, В. Сендеров, Проблема Кенигса для дробно-линейных отобра-
жений // ДАН. 403 (2005), N 5, 607–609.
[13] M. Elin and V. Khatskevich, The Koenigs Embedding Problem for Operator Affine
Mappings // Contemporary Math., 382 (2005), 113–120.
[14] M. Elin and V. Khatskevich, Triangular plus-operators in Banach spaces: appli-
cations to the Koenigs embedding problem // Journal of Nonlinear and Convex
Analysis, 6 (2005), N 1, 173–185.
[15] И. С. Иохвидов, Об одном классе дробно-линейных операторных преобразо-
ваний // Тр. матем. ф-та ВГУ, Воронеж, 18–44 (1970).
[16] Е. И. Иохвидов и В. А. Сендеров, Дробно-линейные операторные преобразова-
ния и некоторые их приложения, Тр. НИИМ ВГУ, Воронеж, (1972), вып. 5,
52–58.
[17] Т. Я. Азизов и В. А. Сендеров, О структуре и спектре Jν-унитарных опе-
раторов некоторых классов // Тр. НИИМ ВГУ, Воронеж, (1973), вып. 11,
3–9.
Сведения об авторах
Томас Яковлевич
Азизов
Математический факультет
Воронежский государственный
университет
Университетская пл., 1
Воронеж, 394006
Россия
E-Mail: azizov@math.vsu.ru
Виктор А.
Хацкевич
Department of Mathematics
ORT Braude Academic College
College Campus, P.O.Box 78
Karmiel 21982
Israel
E-Mail: victor_kh@hotmail.com
|