Точнi моделi для операторiв Шредінґера з δ'-подiбними потенцiалами

У статтi розглядається вiдома проблема трактування одновимiрного оператора Шредiнґера iз псевдопотенцiалом αδ'(x), де δ(x) - функцiя Дiрака. Доведено, що в класичному формулюваннi ця проблема мiстить прихованi параметри, а тому не має однозначного розв’язку....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Головатий, Ю.Д., Манько, С.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Schriftenreihe:	Український математичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124357
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Точнi моделi для операторiв Шредінґера з δ'-подiбними потенцiалами / Ю.Д. Головатий, С.С. Манько // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 173-207. — Бібліогр.: 59 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124357
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1243572017-09-25T03:02:50Z Точнi моделi для операторiв Шредінґера з δ'-подiбними потенцiалами Головатий, Ю.Д. Манько, С.С. У статтi розглядається вiдома проблема трактування одновимiрного оператора Шредiнґера iз псевдопотенцiалом αδ'(x), де δ(x) - функцiя Дiрака. Доведено, що в класичному формулюваннi ця проблема мiстить прихованi параметри, а тому не має однозначного розв’язку. 2009 Article Точнi моделi для операторiв Шредінґера з δ'-подiбними потенцiалами / Ю.Д. Головатий, С.С. Манько // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 173-207. — Бібліогр.: 59 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 34L40, 34B09, 81Q10. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124357 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У статтi розглядається вiдома проблема трактування одновимiрного оператора Шредiнґера iз псевдопотенцiалом αδ'(x), де δ(x) - функцiя Дiрака. Доведено, що в класичному формулюваннi ця проблема мiстить прихованi параметри, а тому не має однозначного розв’язку.
format	Article
author	Головатий, Ю.Д. Манько, С.С.
spellingShingle	Головатий, Ю.Д. Манько, С.С. Точнi моделi для операторiв Шредінґера з δ'-подiбними потенцiалами Український математичний вісник
author_facet	Головатий, Ю.Д. Манько, С.С.
author_sort	Головатий, Ю.Д.
title	Точнi моделi для операторiв Шредінґера з δ'-подiбними потенцiалами
title_short	Точнi моделi для операторiв Шредінґера з δ'-подiбними потенцiалами
title_full	Точнi моделi для операторiв Шредінґера з δ'-подiбними потенцiалами
title_fullStr	Точнi моделi для операторiв Шредінґера з δ'-подiбними потенцiалами
title_full_unstemmed	Точнi моделi для операторiв Шредінґера з δ'-подiбними потенцiалами
title_sort	точнi моделi для операторiв шредінґера з δ'-подiбними потенцiалами
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124357
citation_txt	Точнi моделi для операторiв Шредінґера з δ'-подiбними потенцiалами / Ю.Д. Головатий, С.С. Манько // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 173-207. — Бібліогр.: 59 назв. — укр.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT golovatijûd točnimodelidlâoperatorivšredíngerazdpodibnimipotencialami AT manʹkoss točnimodelidlâoperatorivšredíngerazdpodibnimipotencialami
first_indexed	2025-07-09T01:18:47Z
last_indexed	2025-07-09T01:18:47Z
_version_	1837130244550557696
fulltext	Український математичний вiсник Том 6 (2009), № 2, 173 – 207 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера з δ′-подiбними потенцiалами Юрiй Д. Головатий, Степан С. Манько (Представлена М. М. Маламудом) Анотацiя. У статтi розглядається вiдома проблема трактування одновимiрного оператора Шредiнґера iз псевдопотенцiалом αδ ′(x), де δ(x) — функцiя Дiрака. Доведено, що в класичному формулюван- нi ця проблема мiстить прихованi параметри, а тому не має однозна- чного розв’язку. Для широкого класу гамiльтонiанiв iз локальним збуренням потенцiалу вигляду αε −2Ψ(ε−1 x) побудовано адекватнi точнi моделi та доведено апроксимацiйнi теореми. Введено понят- тя резонансної множини ΣΨ та функцiї зв’язку θΨ : ΣΨ → R, якi є спектральними характеристиками профiлю збурення Ψ i через якi визначаються самоспряженi оператори точних моделей. 2000 MSC. 34L40, 34B09, 81Q10. Ключовi слова та фрази. Оператор Шредiнґера, точковi взає- модiї, псевдопотенцiал, δ ′-потенцiал, точнi моделi, простiр Крейна, самоспряжене розширення, асимптотика. Вступ Стаття присвячена моделям квантової механiки, атомної фiзики, акустики, де виникають одновимiрнi оператори Шредiнґера з син- гулярними потенцiалами, а саме, потенцiалами, зосередженими на дискретнiй множинi точок. Такi моделi часто називають точними, бо резольвенти вiдповiдних операторiв будуються явно, що дозволяє обчислити спектри та коефiцiєнти розсiяння. Основною проблемою є надання диференцiальним операторам iз узагальненими функцiя- ми в коефiцiєнтах строгого математичного змiсту. Простiр розподiлiв D′(Rn) не є алгеброю, тому знаходження самоспряженого оператора, який адекватно описує фiзичну модель, є досить непростою задачею. Iсторiю дослiдження одновимiрних операторiв Шредiнґера з точко- вими взаємодiями можна знайти в додатку до книги [1], написаному Стаття надiйшла в редакцiю 4.02.2009 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 174 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера P. Exner’ом, та додатку A (Historical remarks) в [3]. Цi монографiї також мiстять достатньо повну бiблiографiю. Всi фiзичнi величини, якi можна спостерiгати в квантово-механiч- них системах, описують самоспряженими операторами в гiльберто- вому просторi. Тому точнi моделi, починаючи з пiонерської роботи Ф. Березiна та Л. Фадєєва [8], вивчали в рамках теорiї самоспряже- них розширень симетричних операторiв. Зазвичай, симетричнi опе- ратори в фiзичних моделях пов’язанi з диференцiальними виразами. При цьому виникає проблема конструктивного опису самоспряжених розширень у термiнах крайових умов. Для звичайних диференцiаль- них операторiв цю проблему розв’язав М. Г. Крейн [7, 15]. Для рiвнянь з частинними похiдними чи диференцiально-опера- торних рiвнянь проблема ускладнюється через нескiнченнi iндекси дефекту симетричних операторiв. У цiй ситуацiї ефективнiшим є ме- тод абстрактних граничних умов [23, 24]. Поняття абстрактних гра- ничних трiйок, як узагальнення другої формули Ґрiна, безпосередньо пов’язане з узагальненням функцiї Вейля на випадок довiльного си- метричного оператора з нескiнченними iндексами дефекту [16, 17]. За допомогою функцiй Вейля можна описати спектри i резольвен- тнi множини самоспряжених розширень, а також матрицi розсiюва- ння [9]. Технiка граничних трiйок ефективно працює i в задачах з точковими взаємодiями [22,36–38]. Дослiдженню сингулярних збурень скiнченного рангу присвяченi роботи [2,39,40,46] та книга [41]. Оператори Шредiнґера та Штурма– Лiувiлля iз сингулярними потенцiалами рiзного вигляду вивчалися в [31,45,47,53–55]. Методами теорiї самоспряжених розширень зазвичай можна отри- мати достатньо багату сiм’ю операторiв, формально пов’язану з ди- ференцiальним оператором iз сингулярним потенцiалом. Проте лише один з цих операторiв має фiзичне пiдґрунтя i адекватно описує мо- дель. Дослiдники часто вибирають його, послуговуючись деякими ев- ристичними мiркуваннями та фiзичною iнтуїцiєю, що породжує довгi науковi дискусiї. Для деяких фiзичних моделей не вдається знайти “правильний” оператор, не вийшовши за межi теорiї самоспряжених розширень. Причиною є прихованi параметри моделi. Якщо сингу- лярний потенцiал замiнити послiдовнiстю гладких функцiй, яка збiга- ється до нього в топологiї розподiлiв, то отриманий асимптотичними методами граничний оператор залежатиме вiд характеру регуляриза- цiї — профiлю апроксимуючої послiдовностi. Цей профiль i вiдiграє роль прихованого параметру. Вибiр самоспряженого розширення у точнiй моделi теж залежатиме вiд форми потенцiалу локальної дiї в реальнiй фiзичнiй моделi. Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 175 Задачi для диференцiальних операторiв iз сингулярними коефi- цiєнтами, якi є чутливими до способу їхньої регуляризацiї, можна дослiджувати в рамках нових теорiй узагальнених функцiй [12, 28]. Там не лише коректно визначене множення, але й iснує достатнiй за- пас “δ-функцiй з фiксованим профiлем” як рiзних елементiв алгебри. Такий пiдхiд до вивчення точних моделей використовували в [5,6]. Цi теорiї є зручною мовою для формулювання результатiв та опису до- ведень, проте в основi дослiджень лежить класичний асимптотичний аналiз. 1. Формулювання задачi та основнi результати 1.1. Формулювання задачi У цiй роботi ми повертаємося до старої проблеми трактування одновимiрного оператора Шредiнґера з δ′-потенцiалом. Робимо ще одну спробу як фiзично, так i математично вмотивовано iдентифiку- вати самоспряженi оператори, якi “в першому наближеннi” найкраще описують цей фiзичний феномен. Розглянемо формальний гамiльтонiан Hα = − d2 dx2 + U(x) + αδ′(x), x ∈ R, де U — дiйснозначна гладка функцiя, δ′ — похiдна функцiї Дiрака, α — дiйсна стала. Якщо добуток δ′(x)y(x) розумiти як y(0)δ′(x) − y′(0)δ(x), то при α 6= 0 рiвняння Hαy = λy не має жодного розв’яз- ку в D′(R), окрiм нульового. Щоб надати сенс оператору Hα, треба спершу побудувати самоспряженi розширення в L2(R) симетричного оператора L = − d2 dx2 + U(x), D(L) = {f ∈ C∞ 0 (R) : f(0) = f ′(0) = 0}, а далi одне з них оголосити оператором Шредiнґера з потенцiалом U(x) +αδ′(x). Єдиної думки щодо правильного вибору такого опера- тора в науковiй лiтературi немає, тому що L має достатньо багато самоспряжених розширень. У роздiлi 4 ми детально опишемо iсторiю проблеми, проаналiзуємо i порiвняємо результати попередникiв. Природно спершу розглянути реалiстичнiшу фiзичну модель, а саме, сiм’ю гамiльтонiанiв з гладкими потенцiалами, якi апроксиму- ють сингулярний потенцiал αδ′(x). А далi вивчити асимптотичну по- ведiнку цiєї сiм’ї. Нехай оператори Hε(α,Ψ) є замиканням в L2(R) 176 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера iстотно самоспряжених операторiв [10, c. 50] Hε(α,Ψ) = − d2 dx2 + U(x) + α ε2 Ψ(ε−1x), D(Hε(α,Ψ)) = C∞ 0 (R). Тут ε — малий додатний параметр. Функцiю Ψ ∈ C∞ 0 (R) називатиме- мо профiлем локального збурення, а число α — сталою зв’язку. Зро- зумiло, що для деяких профiлiв послiдовнiсть ε−2Ψ(ε−1x) збiгається до δ′(x) в D′(R). Позначимо через E(L) множину всiх самоспряжених розширень оператора L i через P множину таких дiйсних функцiй Ψ ∈ C∞ 0 (R), що supp Ψ = [−1, 1]. Припустимо, що потенцiал U(x) росте при \|x\| → ∞. Мета статтi — побудова вiдображення R×P −→ E(L), яке кожнiй парi (α,Ψ) ставить у вiдповiднiсть самоспряжене розширення H(α,Ψ) оператора L. Вибiр оператора ґрунтується на близькостi енергети- чних рiвнiв та чистих станiв гамiльтонiанiв iз гладким та сингуляр- ним потенцiалами. Поведiнка потенцiалу U на нескiнченностi забез- печує дискретнiсть спектру операторiв Hε(α,Ψ), тому ми шукаємо асимптотику їхнiх власних значень та власних функцiй при ε→ 0, а граничний оператор оголошуємо оператором H(α,Ψ). 1.2. Структура статтi У роздiлi 2 вивчається якiсна поведiнка дискретного спектру збу- рених операторiв Hε(α,Ψ). Доведено, що всi власнi значення є не- перервними, обмеженими зверху функцiями малого параметрами ε. Проте спектр цiєї сiм’ї операторiв, взагалi кажучи, є необмеженим знизу. Для багатьох профiлiв Ψ та α 6= 0 може iснувати скiнченна кiлькiсть власних значень, якi прямують до −∞ при ε → 0. Множи- ну власних значень операторiв Hε(α,Ψ), якi при ε→ 0 залишаються обмеженими знизу, ми називатимемо скiнченним спектром. У роздiлi 3 побудованi головнi члени асимптотичних розвинень власних значень скiнченного спектру та вiдповiдних власних фун- кцiй. На формальному рiвнi отриманi граничнi оператори H(α,Ψ), якi належать множинi E(L) при всiх (α,Ψ) ∈ R × P. Введено двi спектральнi характеристики профiлю Ψ, а саме, резонансну множи- ну ΣΨ, яка є спектром задачi Штурма–Лiувiлля −w′′ + αΨw = 0, w′(−1) = 0, w′(1) = 0 на iнтервалi (−1, 1) стосовно спектрального па- раметра α, а також функцiю зв’язку θΨ : ΣΨ → R. Значення цiєї фун- кцiї обчислюються за формулою θΨ(α) = wα(1) ( wα(−1) )−1, де wα — власна функцiя, що вiдповiдає власному значенню α ∈ ΣΨ. Якщо ста- ла зв’язка не належить резонанснiй множинi, то H(α,Ψ) є прямою Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 177 сумою операторiв Шредiнґера на пiвосях з потенцiалом U та умова- ми Дiрiхле в нулi. Коли ж α ∈ ΣΨ, то H(α,Ψ) є замиканням iстотно самоспряженого оператора H(α,Ψ) = − d2 dx2 + U з областю визначе- ння D(H(α,Ψ)) = {f ∈ C∞ 0 (R) : f(+0) = θΨ(α)f(−0), θΨ(α)f ′(+0) = f ′(−0)}. У п’ятому роздiлi ми порiвнюємо отриманий результат з резуль- татами попередникiв, якi дослiджували точнi моделi з δ′-взаємодiєю та δ′-потенцiалом. Тут також наводимо приклади двох моделей з ку- сково сталим δ′-подiбним потенцiалом, в яких явно будуються резо- нансна множина та функцiя зв’язку. В задачi проходження крiзь δ′- подiбний бар’єр отримана формула граничного значення коефiцiєнта проходження через θΨ, а також показано, що резонансна множина суттєво впливає i на граничну поведiнку спектру задачi Штурма– Лiувiлля з δ′-подiбним потенцiалом. У роздiлi 5 побудованi коректори асимптотичних розвинень вла- сних значень та власних функцiй операторiв Hε(α,Ψ), бо головних членiв, отриманих в роздiлi 3, недостатньо, щоб довести апроксима- цiйнi теореми. Основний результат статтi мiститься в роздiлi 6, де доведена збi- жнiсть власних значень скiнченного спектру операторiв Hε(α,Ψ) до власних значень оператора H(α,Ψ), а також збiжнiсть в L2(R) вiд- повiдних власних функцiй. 2. Спектр операторiв Hε(α, Ψ) та деякi допомiжнi факти Спершу опишемо множину E(L) всiх самоспряжених розширень мiнiмального оператора L, в якiй ми шукатимемо оператори H(α,Ψ). Оператор L∗ = − d2 dx2 + U(x), D(L∗) = {v ∈ W 2 2 (R \ 0) : − v′′ + Uv ∈ L2(R)}, є спряженим в L2(R) до оператора L∗. Лема 2.1. Кожен елемент множини E(L) є звуження оператора L∗ на клас функцiй, якi у початку координат задовольняють один з двох типiв крайових умов: h−1 v ′(−0) = h−2 v(−0), h+ 1 v ′(+0) = h+ 2 v(+0), (2.1) де (h±1 , h ± 2 ) трактуємо як точки проективної прямої P 1; або ж ( v(+0) v′(+0) ) = C ( v(−0) v′(−0) ) , C = eiϕ ( c11 c12 c21 c22 ) , (2.2) де ϕ ∈ [−π 2 , π 2 ], ckl ∈ R та c11c22 − c12c21 = 1. 178 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера У випадку нульового потенцiалу U лема доведена в [11, 50]. Зро- зумiло, що гладкий потенцiал не впливає на вигляд крайових умов у точцi x = 0. Розширення, що вiдповiдають крайовим умовам (2.1), на- зиваються незв’язаними (separated extensions). Вони є прямою сумою двох самоспряжених операторiв на пiвосях. Умовам спряження (2.2) вiдповiдають, так званi, зв’язанi розширення (connected extensions). Нехай Ψε(x) = ε−2Ψ(ε−1x), а mk(f) = ∫ R ξkf(ξ) dξ — моменти функцiї f . Лема 2.2. Нехай Ψ ∈ P, а c – ненульова стала. Послiдовнiсть Ψε збiгається при ε → 0 до cδ′(x) в сенсi узагальнених функцiй тодi i лише тодi, коли m0(Ψ) = 0, m1(Ψ) 6= 0. (2.3) Крiм того, c = −m1(Ψ). Доведення. Оскiльки для ϕ ∈ C∞ 0 (R) при ε→ 0 маємо 〈Ψε, ϕ〉 = ε−2 ε ∫ −ε Ψ(ε−1x)ϕ(x) dx = ε−1 1 ∫ −1 Ψ(ξ)ϕ(εξ) dξ = ε−1 1 ∫ −1 Ψ(ξ) ( ϕ(0) + εϕ′(0)ξ +O(ε2) ) dξ = ε−1m0(Ψ)ϕ(0) +m1(Ψ)ϕ′(0) +O(ε), то послiдовнiсть 〈Ψε, ϕ〉 має скiнченну границю для всiх ϕ ∈ C∞ 0 (R) лише тодi, коли m0(Ψ) = 0. Якщо m1(Ψ) 6= 0, то граничний функцiо- нал 〈Ψ0, ϕ〉 = m1(Ψ)ϕ′(0) є нетривiальним i Ψ0 = −m1(Ψ)δ′(x). Рис. 1: δ′-подiбнi профiлi Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 179 Перша з умов (2.3) вимагає знакозмiнностi потенцiалу Ψ, а дру- га — його “асиметричностi”. Зокрема, якщо Ψ(ξ) задовольняє (2.3), то функцiя Ψ(ξ − a) не може бути парною для жодного a. Введемо позначення для множини δ′-подiбних профiлiв P0 = {Ψ ∈ P : m0(Ψ) = 0, m1(Ψ) = −1}. Нагадаємо, що U(x) → +∞ при \|x\| → +∞. Тодi для кожного ε > 0 спектр оператора Hε(α,Ψ) є дiйсним, дискретним i простим. Нехай {λε k(α,Ψ)}∞k=1 — власнi значення Hε(α,Ψ), пронумерованi за зроста- нням, а {yε k(x;α,Ψ)}∞k=1 — ортонормована в L2(R) система власних функцiй. Теорема 2.1. Для кожної пари (α,Ψ) ∈ R × P власнi значення λε k(α,Ψ) є неперервними функцiями змiнної ε ∈ (0, 1) i залишаються обмеженими зверху при ε → 0. У випадку δ′-подiбного потенцiалу спектр операторiв Hε(α,Ψ) є необмежений знизу при ε → 0: якщо α 6= 0 i Ψ ∈ P0, то λε 1(α,Ψ) ≤ −γε−2 для деякої додатної сталої γ. Iснує лише скiнченна кiлькiсть N(α,Ψ) власних значень, якi збiга- ються до −∞ при ε→ 0. Доведення. Зафiксуємо α та Ψ. Квадратична форма aε[v] = ∫ R ( \|v′\|2 + (U + αΨε)\|v\|2 ) dx, v ∈ C∞ 0 (R) неперервно залежить вiд ε на (0, 1). Тодi неперервна залежнiсть вла- сних значень вiд малого параметру випливає з принципу мiнiмаксу λε k(α,Ψ) = inf Ek sup v∈Ek, ‖v‖=1 aε[v]. Тут Ek — лiнiйний пiдпростiр C∞ 0 (R) вимiрностi k, а ‖ · ‖ — норма в L2(R). Виберемо такий пiдпростiр E∗ k , що носiї всiх його елементiв не мiстять точки x = 0. Тодi λε k(α,Ψ) ≤ sup v∈E∗ k , ‖v‖=1 aε[v]. (2.4) При достатньо малих ε звуження aε на скiнченновимiрний простiр E∗ k не залежать вiд ε, що доводить обмеженiсть власних значень зверху. 180 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера Нехай тепер Ψ — δ′-подiбний профiль. Вiдомо [51, с. 338], що коли Ψ — потенцiал з нульовим середнiм, то оператор Шредiнґера − d2 dξ2 + αΨ(ξ) на прямiй при всiх α 6= 0 має вiд’ємне власне значення µ. Отже, iснує така нормована в L2(R) функцiя u, що µ = ∫ R ( u′2 + αΨ(ξ)u2 ) dξ < 0. Введемо невiд’ємну функцiю-зрiзку ζ ∈ C∞ 0 (R), supp ζ = [−2, 2] та ζ(x) = 1 при x ∈ [−1, 1]. Далi використовуватимемо позначення ζε(ξ) = ζ(εξ), ζ ′ε(ξ) = ζ ′(εξ). Розглянемо послiдовнiсть uε(x) = ε−1/2ζ(x)u(ε−1x). Тодi ‖uε‖2 = 1 ε ∫ R ζ2(x)u2(x ε ) dx = ∫ R ζ2 ε (ξ)u2(ξ) dξ → ∫ R u2(ξ) dξ = 1 при ε→ 0. А з iншого боку, згiдно варiацiйного принципу λ1(ε, α) = inf v∈C∞ 0 , ‖v‖=1 aε[v] ≤ aε[uε] ‖uε‖ , а тому ε2‖uε‖λ1(ε, α) ≤ ε2aε[uε] = ε ∫ R ( (ζ(x)u(ε−1x))′2 + (U + αΨε)(ζ(x)u(ε −1x))2 ) dx = ∫ R ζ2 ε ( u′2 + αΨu2 ) dξ + 2ε ∫ R ζεζ ′ εuu ′ dξ + ε2 ∫ R ζ ′2ε u 2 dξ + ε 2 ∫ −2 U(x)ζ2(x)u2(ε−1x) dx. Перший iнтеграл при ε → 0 збiгається до вiд’ємного власного значе- ння µ, а решта прямують до нуля, в чому легко переконатися. Отже, для достатньо малих ε справедлива оцiнка ε2‖uε‖λ1(ε, α) ≤ µ/2, тоб- то λ1(ε, α) ≤ −γε−2 для деякого γ > 0. Нехай N− ε (α,Ψ) — число вiд’ємних власних значень оператора Hε(α,Ψ). Очевидно, що N(α,Ψ) ≤ N− ε (α,Ψ) при достатньо малих ε. У випадку неперервного потенцiалу виконується нерiвнiсть [10, с. 97] N− ε (α,Ψ) ≤ 1 + ∫ R \|x\| \|U−(x)\| dx+ \|α\| ∫ R \|x\| \|Ψ− ε (x)\| dx, (2.5) Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 181 де f−(x) = min{f(x), 0} — вiд’ємна частина функцiї f . Потенцiал U росте при x → ∞, тому U− є функцiєю з компактним носiєм, а пер- ший з iнтегралiв в (2.5) є скiнченним. Носiй Ψ− ε мiститься в iнтервалi [−ε, ε], тому ∫ R \|x\| \|Ψ− ε (x)\| dx = ε−2 ε ∫ −ε \|x\| \|Ψ−( x ε )\| dx = 1 ∫ −1 \|ξ\| \|Ψ−(ξ)\| dξ. Отже, число N(α,Ψ) рiвномiрно обмежене стосовно малого параме- тра ε: N(α,Ψ) ≤ N− ε (α,Ψ) ≤ c1(U) + c2(Ψ)\|α\|, де c1(U), c2(Ψ) — додатнi сталi. Отже, спектр оператора Hε(α,Ψ), взагалi кажучи, розпадається на двi частини: {λε k(α,Ψ)}N k=1 — множина власних значень, якi пряму- ють до −∞ при ε→ 0, i {λε k(α,Ψ)}∞k=N+1 — множина обмежених при ε→ 0 власних значень, яку називатимемо скiнченним спектром опе- ратора Hε(α,Ψ). Можна показати, що власнi функцiї yε 1(x;α,Ψ), . . . , yε N (x;α,Ψ) локалiзуються в околi точки x = 0, експоненцiально малi поза ним i слабко в L2(R) збiгаються до нуля при ε→ 0. 3. Асимптотика скiнченного спектру оператора Hε(α, Ψ): головнi члени Розглянемо спектральну задачу −y′′ε + ( U(x) + αε−2Ψ(ε−1x) ) yε = λεyε, yε ∈ L2(R) (3.1) i деяке її власне значення λε k(α,Ψ) з номером k > N(α,Ψ) позначи- мо через λε, а вiдповiдну власну функцiю — через yε. Асимптотичнi розвинення λε та yε будуватимемо у виглядi λε ∼ λ+ ελ1 + ε2λ2 + · · · , (3.2) yε(x) ∼ v(x) + ε v1(x) + ε2v2(x) + · · · , коли \|x\| > ε, (3.3) yε(x) ∼ w(ε−1x) + εw1(ε −1x) + ε2w2(ε −1x) + · · · , коли \|x\| ≤ ε, (3.4) де функцiї v, vi визначенi на R \ {0} i належать L2(R), а w, wi ви- значенi на [−1, 1]. Природним є також припущення про вiдмiннiсть вiд нуля функцiї v. В точках x = ±ε ряди (3.3), (3.4) задовольняють умови спряження 182 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера [yε]x=±ε = 0, [ y′ε ] x=±ε = 0, (3.5) де [f ]x=a = f(a + 0) − f(a − 0) — стрибок функцiї в точцi a. Таку комбiновану асимптотику застосовували, зокрема, в [18–20]. Введемо “швидку” змiнну ξ = ε−1x. Пiдставляючи ряди (3.2)–(3.4) у рiвняння (3.1), зокрема отримаємо − v′′ + U(x)v = λv, x ∈ R \ {0}, (3.6) − v′′1 + U(x)v1 = λv1 + λ1v, x ∈ R \ {0}, (3.7) а також − w′′ + αΨ(ξ)w = 0, ξ ∈ (−1, 1), (3.8) − w′′ 1 + αΨ(ξ)w1 = 0, ξ ∈ (−1, 1), (3.9) − w′′ 2 + αΨ(ξ)w2 = λw − U(0)w, ξ ∈ (−1, 1). (3.10) Умови спряження (3.5) в точках x = ±ε набувають вигляду v(±ε) + ε v1(±ε) + · · · ∼ w(±1) + εw1(±1) + · · · , v′(±ε) + ε v′1(±ε) + · · · ∼ ε−1w′(±1) + w′ 1(±1) + εw′ 2(±1) + · · · . Розвиваючи величини вигляду v(±ε), v′(±ε) в асимптотичнi ряди Маклорена, зокрема отримаємо v(−0) = w(−1), v(+0) = w(+1), (3.11) w′(−1) = 0, w′(1) = 0, (3.12) v′(−0) = w′ 1(−1), v′(+0) = w′ 1(1), (3.13) v1(−0) − v′(−0) = w1(−1), v1(+0) + v′(+0) = w1(1), (3.14) v′1(−0) − v′′(−0) = w′ 2(−1), v′1(+0) + v′′(+0) = w′ 2(1). (3.15) Отже, функцiя v на кожнiй з пiвосей є розв’язком рiвняння (3.6), а w — розв’язком крайової задачi −w′′ + αΨw = 0, ξ ∈ (−1, 1), w′(−1) = 0, w′(1) = 0, (3.16) i обидвi вони пов’язанi умовами спряження (3.11). Задача (3.16) є визначальною у наших мiркуваннях, тому що мiстить iнформацiю про характер локального збурення потенцiалу — профiль Ψ та сталу зв’язку α. Алгоритм побудови асимптотики залежатиме вiд того, чи має ця задача нетривiальнi розв’язки. Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 183 3.1. Резонансна множина та функцiя зв’язку потенцiалу Ψ Трактуватимемо (3.16) як задачу на власнi значення зi спектраль- ним параметром α. Функцiя Ψ є знакозмiнною, тому природно вве- сти простiр з iндефiнiтною метрикою. Нехай K — простiр квадрати- чно iнтегровних з вагою \|Ψ\| функцiй на (−1, 1) зi скалярним добу- тком (f, g) = ∫ 1 −1 \|Ψ\| fg dξ. Введемо в K iндефiнiтну метрику [f, g] = ∫ 1 −1 Ψfg dξ, перетворивши його в простiр Крейна. Теорiя просторiв Крейна описана в [4]. В K iснує канонiчна симетрiя Jf = sgnΨ · f , така що (Jf, g) = [f, g] для всiх f, g ∈ K. Розглянемо в K оператор T iз щiльною областю визначення D(T ). Оператор називається J-невiд’ємним, якщо [Tx, x] ≥ 0 для всiх x ∈ D(T ). Оператор T c, визначений на лiнеалi D(T c) = {y ∈ K : ∃z ∈ K, ∀x ∈ D(T ) [Tx, y] = [x, z]} формулою T cy = z, називається J- спряженим до T . Якщо T = T c, то T називається J-самоспряженим. Лема 3.1 ([4, с. 138]). Нехай T — J-самоспряжений та J-невiд’єм- ний оператор з непорожньою резольвентною множиною. Тодi його спектр σ(T ) є дiйсним, причому, залишковий спектр є порожнiм. Якщо λ є ненульовим власним значенням оператора T , то його ал- гебраїчна i геометрична кратностi збiгаються. Нульовому власному значенню можуть вiдповiдати ланцюги з власного та лише одного приєднаного вектора. Введемо в K оператор TΨ = − 1 Ψ(ξ) d2 dξ2 з областю визначення D(TΨ) = {f ∈ K ∣ ∣ f ∈W 2 2 (−1, 1), Ψ−1f ′′ ∈ K, f ′(−1) = 0, f ′(1) = 0}. Тодi задачi (3.16) вiдповiдає спектральне рiвняння TΨw = −αw. Хоча диференцiальнi рiвняння зi знакозмiнними ваговими функцiями до- слiджувалися багатьма авторами [14, 32, 33, 49], ми доведемо основнi властивостi оператора TΨ. Теорема 3.1. Для кожної функцiї Ψ ∈ P оператор TΨ є J-самоспря- женим та J-невiд’ємним. Доведення. Справдi, для кожного f ∈ D(TΨ) маємо [TΨf, g] = − 1 ∫ −1 f ′′g dξ = f(1) g′(1) − f(−1) g′(−1) − 1 ∫ −1 f g′′ dξ. Тому рiвнiсть [TΨf, g] = [f, T c Ψg] виконується, лише коли g ∈ D(TΨ) 184 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера i T c Ψg = −Ψ−1g′′. Отже, TΨ – J-самоспряжений. Далi, для всiх f ∈ D(TΨ) маємо [TΨf, f ] = − 1 ∫ −1 f ′′f dξ = 1 ∫ −1 ∣ ∣f ′ ∣ ∣ 2 dξ ≥ 0, тобто TΨ є J-невiд’ємним. Теорема 3.2. (i) Якщо Ψ ∈ P, то спектр оператора TΨ є дiйсним i дискретним. Всi ненульовi власнi значення є простими. Нуль завжди є власним значенням, хоча загалом ker TΨ 6= ker T 2 Ψ. Нуль є простим власним значенням, коли m0(Ψ) 6= 0. (ii) Якщо Ψ ∈ P0, то спектр оператора TΨ має двi точки скупче- ння −∞ i +∞. Окрiм того, ker TΨ 6= ker T 2 Ψ, тобто нульовому власному значенню вiдповiдає приєднаний вектор. Доведення. Покажемо, що резольвентна множина оператора TΨ є не- порожньою. Однорiдна задача g′′ + iΨg = 0, ξ ∈ (−1, 1), g′(−1) = 0, g′(1) = 0 (3.17) має лише тривiальний розв’язок. Справдi, кожен її розв’язок задо- вольняє рiвнiсть 1 ∫ −1 ∣ ∣g′ ∣ ∣ 2 dξ − i 1 ∫ −1 Ψ \|g\|2 dξ = 0. Оскiльки Ψ — дiйсна функцiя, то функцiя g є сталою. Але з усiх ста- лих лише нульова є розв’язком задачi (3.17). Тодi неоднорiдна задача g′′ + iΨg = f , g′(−1) = 0, g′(1) = 0 має єдиний розв’язок для кожної f ∈ K, тобто i ∈ ρ(TΨ) та g = R(i, TΨ)f , де R(λ, TΨ) — резольвента оператора TΨ. З леми 3.1 та теореми 3.1 дiстаємо дiйснiсть спектру σ(TΨ). Оператор R(i, TΨ) є компактним, що випливає з ланцюжка вкла- день D(TΨ) ⊂W 2 2 (−1, 1) →֒ L2(−1, 1) ⊂ K, середнє з яких компактне. Отже, σ(TΨ) = σp(TΨ). Всi власнi значення оператора TΨ є простими. Справдi, нехай iсну- ють двi лiнiйно незалежнi власнi функцiї ϕ та ψ, якi вiдповiдають власному значенню α. Числа ϕ(1), ψ(1) є ненульовими. Тодi лiнiйна Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 185 комбiнацiя w(ξ) = ψ(1)ϕ(ξ)−ϕ(1)ψ(ξ) була б тривiальною як єдиний розв’язок задачi Кошi w′′ + αΨw = 0, w(1) = 0, w′(1) = 0. Якщо Ψ ∈ P0, то необмеженiсть спектру в обох напрямках є на- слiдком знакозмiнностi вагової функцiї Ψ [14] (див. зауваження 3.1). Нульовому власному значенню оператора TΨ, окрiм власної функцiї w = 1, вiдповiдає приєднаний вектор w∗(ξ) = ξ ∫ −1 (t− ξ)Ψ(t) dt. Вiн є розв’язком задачi w′′ ∗ = −Ψ(ξ), w′ ∗(−1) = 0, w′ ∗(1) = 0, i iснує тодi i лише тодi, коли m0(Ψ) = 0. Бiльше приєднаних векторiв немає, згiдно леми 3.1. Зауваження 3.1. Якщо функцiя Ψ — непарна, то спектр оператора TΨ є симетричним стосовно початку координат: якщо α — власне зна- чення з власною функцiя w(ξ), то −α є власним значенням з власною функцiєю w(−ξ). Введемо множину ΣΨ = {α ∈ R : −α ∈ σ(TΨ)}, яку називатимемо резонансною множиною потенцiалу Ψ. Лише для сталих зв’язку α iз ΣΨ задача (3.16) має нетривiальнi розв’язки. Нехай Wα — власна функцiя задачi (3.16) з власним значенням α ∈ ΣΨ. Числа Wα(−1) i Wα(1) є завжди ненульовими, тому вiдношення θΨ(α) = Wα(1) Wα(−1) є коректно визначеним. Зауважимо, що величина θΨ(α) є дiйсною, не залежить вiд вибору власної функцiї i її можна трактувати як фун- кцiю θΨ : ΣΨ → R, задану на резонанснiй множинi. Називатимемо її фун- кцiєю зв’язку потенцiалу Ψ. Отже, кожен профiль Ψ породжує резо- нансну множину та функцiю зв’язку. 3.2. Граничний оператор H(α,Ψ) Алгоритм побудови асимптотики, розпочатий вище, має два рiзнi продовження. Нехай спершу α не належить резонанснiй множинi ΣΨ. Тодi задача (3.16) має лише тривiальний розв’язок w = 0, а з умов спряження (3.11) отримуємо v(−0) = v(+0) = 0. Згадуючи (3.6), маємо −v′′ + Uv = λv, x ∈ R \ {0}, v(0) = 0, v ∈ L2(R). (3.18) 186 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера За припущенням функцiя v є ненульовою, тому λ повинно бути вла- сним значенням задачi (3.18). Отже, граничний оператор H(α,Ψ) є прямою сумою S− ⊕ S+ операторiв Шредiнґера на пiвосях, породже- них задачами { −v′′ + Uv = λv, x ∈ R−, v(0) = 0, v ∈ L2(R−), { −v′′ + Uv = λv, x ∈ R+, v(0) = 0, v ∈ L2(R+) (3.19) вiдповiдно. Тут R− i R+ — вiд’ємна та додатна дiйснi пiвосi. Операто- ри S−, S+ мають дiйснi, дискретнi i простi спектри, об’єднання яких є спектром оператора H(α,Ψ). Нехай тепер α належить резонанснiй множинi ΣΨ, а w = Wα — власна функцiя задачi (3.16). Тодi умови (3.11) набувають вигляду v(−0) = Wα(−1), v(+0) = Wα(1), звiдки, як наслiдок, отримуємо v(+0) = θΨ(α)v(−0). (3.20) Згiдно (3.9), (3.13) задача на наступний член ряду (3.4) має вигляд −w′′ 1+αΨw1 = 0, ξ ∈ (−1, 1), w′ 1(−1) = v′(−0), w′ 1(1) = v′(+0). (3.21) Вона має розв’язок лише тодi, коли Wα(1)v′(+0) = Wα(−1)v′(−0), бо α є власним значенням однорiдної задачi (3.16). Умову можна запи- сати i так θΨ(α)v′(+0) = v′(−0). (3.22) Отже, v повинна бути власною функцiєю задачi { −v′′ + Uv = λv, x ∈ R \ {0}, v(+0) − θΨ(α)v(−0) = 0, θΨ(α)v′(+0) − v′(−0) = 0. (3.23) Задачi (3.23) вiдповiдає зв’язане самоспряжене розширення H(α,Ψ) = − d2 dx2 + U(x), D(H(α,Ψ)) = {f ∈ D(L∗) : f(+0) = θΨ(α)f(−0), θΨ(α)f ′(+0) = f ′(−0)} (3.24) оператора L. Зауваження 3.2. У випадку α ∈ ΣΨ теж можна припустити, що w = 0 i v(0) = 0, тобто v є власною функцiєю оператора S−⊕S+. Про- те, шукаючи w1, все ж доведеться задовольнити умову (3.22). Якщо v вiдповiдає простому власному значенню оператора S−⊕S+, то одне Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 187 iз чисел v′(−0), v′(+0) є нулем, оскiльки v тотожно дорiвнює нулю на однiй з пiвосей. Тодi з (3.22) матимемо v′(0) = 0, що неможливо. Коли ж λ — двократне власне значення, то iснує єдина з точнiстю до множника комбiнацiя власних функцiй оператора S− ⊕S+, яка задо- вольняє умову (3.22). I ця комбiнацiя є водночас власною функцiєю задачi (3.23), бо умова (3.20) виконується тривiальним чином. Отже, при α ∈ ΣΨ головний член w ряду (3.4) буде нульовим, лише коли λ ∈ σ(H(α,Ψ)) ∩ σ(S− ⊕ S+). Цей перетин складається з двократних власних значень оператора S−⊕S+, якi для H(α,Ψ) вже є простими. Зауваження 3.3. При α = 0 оператор Hε(0,Ψ) не залежить вiд ε i є оператором Шредiнґера з гладким потенцiалом U . З iншого боку, нуль завжди належить резонанснiй множинi, тому оператор H(0,Ψ) визначається формулою (3.24). Проте нульовому власному значенню оператора TΨ вiдповiдає стала власна функцiя, тобто θΨ(0) = 1. Тому Hε(0,Ψ) = H(0,Ψ) для всiх ε > 0. Отже, для кожного профiлю Ψ ми побудували сiм’ю самоспряже- них операторiв {H(α,Ψ)}α∈R. Коли стала зв’язку α не належить ре- зонанснiй множинi ΣΨ оператор H(α,Ψ) є прямою сумою операторiв Шредiнґера на пiвосях, а його власнi функцiї описують стани, коли квантово-механiчна частинка з ймовiрнiстю 1 знаходиться на однiй iз пiвосей. Цю ситуацiю умовно називатимемо випадком закритого δ′-бар’єру. Коли ж α ∈ ΣΨ, то оператор H(α,Ψ) задається формулою (3.24) i є зв’язаним самоспряженим розширенням з матрицею зв’язку Cα = ( θΨ(α) 0 0 θΨ(α)−1 ) (3.25) в умовах спряження (2.2). Для резонансних α частинка може про- никати через бар’єр i з ненульовими ймовiрностями знаходитися на кожнiй з пiвосей (випадок вiдкритого δ′-бар’єру). 4. Як розумiти δ′-потенцiал? 4.1. Iсторiя питання Формальнi гамiльтонiани з похiдною функцiї Дiрака вивчаються в науковiй лiтературi з 80-х рокiв минулого столiття. Першими публi- кацiями, як нам вiдомо, були книга [1] (видання 1988 року) та стат- тi [26,27,52]. Причому, в точних моделях квантової механiки функцiя δ′ з’являється вiдразу в двох iпостасях. Розрiзняють два фiзичнi фе- номени: δ′-взаємодiя та точкова дипольна взаємодiя (δ′-потенцiал). 188 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Høegh-Krohn та H. Holden в [1] моде- люють явище δ′-взаємодiї сiм’єю самоспряжених операторiв Aβ = − d2 dx2 , D(Aβ) = { f ∈W 2 2 (R \ {0}) : f ′(−0) = f ′(+0), f(+0) − f(−0) = βf ′(0) } . (4.1) P. Šeba [52] показав, що цей гамiльтонiан можна трактувати як реа- лiзацiю евристичного оператора − d2 dx2 + β\|δ′(x) 〉〈 δ′(x)\|, де \|f 〉〈 f \| є позначенням оператора рангу 1 (\|f 〉〈 f \|ϕ 〉)(x) = f(x) ∫ R f(y)ϕ(y) dy. У цiй же працi P. Šeba дослiджує питання про правильне тракту- вання формального гамiльтонiана − d2 dx2 + αδ′(x). Розумiючи δ′(x) як границю лiнiйної комбiнацiї 1 2ε ( δ(x+ ε) − δ(x− ε) ) двох δ-функцiй в топологiї D′(R), автор називає граничний оператор гамiльтонiаном дипольної δ-взаємодiї. Вiн доводить, що цей гамiль- тонiан є прямою сумою S− ⊕ S+ з нульовим потенцiалом U (див. (3.19)). У теоремi 4, зокрема, доводиться, що сiм’я операторiв Шре- дiнґера з гладкими потенцiалами Sε(V ) = − d2 dx2 + 1 ε2 V (x ε ) , x ∈ R (4.2) збiгається до S− ⊕ S+ в сенсi рiвномiрної резольвентної збiжностi, за умови, що потенцiал V з класу C∞ 0 (R) має нульове середнє, тобто m0(V ) = 0. З погляду теорiї розсiяння це означає, що δ′-бар’єр є абсолютно непроникним. Однак, цей результат не цiлком узгоджується з дослiдженнями, проведеними в [13, 56, 58, 59]. У цих працях вивчали одновимiрну за- дачу розсiяння на кусково сталих δ′-подiбних потенцiалах, коли фор- мули для коефiцiєнта проходження отримуються в явному виглядi, як це зроблено нижче в параграфi 4.3. В [13] вперше, як нам вiдомо, Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 189 описали ефект резонансу для ймовiрностi проникнення через такi бар’єри. А саме, доведено, що iснує дискретна множина резонансних значень αn сталої зв’язку, для яких δ′-бар’єр є частково проникним. Числа αn є коренями трансцендентного рiвняння, вигляд якого зале- жить вiд профiлю кусково сталого потенцiалу. З погляду наших дослiджень, цiкавою є робота [42]. P. Kurasov та N. Elander запропонували трактувати гамiльтонiан з δ′-потенцiалом як оператор другої похiдної в L2(R), визначений на W 2 2 (R \ 0), з умо- вами спряження f(+0) − f(−0) = α 2 (f(+0) + f(−0)), f ′(+0) − f ′(−0) = −α 2 (f ′(+0) + f ′(−0)). (4.3) Їх означення опиралося на узагальнення функцiї Дiрака та її по- хiдних на випадок розривних у нулi тестових функцiй [43]: 〈δ(n)(x), ϕ(x)〉 = (−1)n 2 (ϕ(n)(+0) + ϕ(n)(−0)). Таке ж означення запропонова- но Л. П. Нижником в [48], де оператор Шредiнґера з δ′-потенцiалом вивчали в просторi Соболєва W 3 2 (R \ 0). Iншi шляхи для означення δ′-потенцiалу застосовували в [25, 30, 35]. У монографiї [3, с. 339] читаємо, що при всiх спробах описати таку взаємодiю використовували додатковi припущення, наприклад, певну симетрiю взаємодiї. Без таких припущень феномен δ′-потенцiалу не можна коректно визначити. Це пiдтверджує нашу тезу про прихованi параметри. 4.2. Точна модель для гамiльтонiана iз потенцiалом αε−2Ψ(ε−1x) Формальний асимптотичний результат з попереднього параграфу, який обґрунтуємо нижче, вказує на неоднозначнiсть вiдповiдi на за- питання, що таке оператор − d2 dx2 + αδ′(x). Причиною є прихований параметр моделi — профiль Ψ потенцiалу локальної дiї. Проте однозначно можна вiдповiсти на запитання, яка саме з точних моделей адекватно описує рух квантово-механiчної ча- стинки в потенцiалi α ε2 Ψ(ε−1x). Цiєю моделлю є сiм’я операторiв A(α,Ψ) = − d2 dx2 з областю визначення D(A(α,Ψ)) = {f ∈W 2 2 (R \ 0) : f(−0) = f(+0) = 0} при α 6∈ ΣΨ, D(A(α,Ψ)) = {f ∈W 2 2 (R \ 0) : f(+0) = θΨ(α)f(−0), θΨ(α)f ′(+0) = f ′(−0)} при α ∈ ΣΨ, 190 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера де ΣΨ i θΨ — резонансна множина i функцiя зв’язку потенцiалу Ψ. Така точна модель узгоджується з результатами [13,56,58,59]. На- справдi, ми отримали ефект резонансу для ймовiрностi проникнення у випадку довiльного профiлю Ψ i описали резонансну множину як спектральну характеристику цього профiлю. Варто зауважити, що в означеннi (4.3) є спiльне з нашим те, що матриця зв’язку Cα = (2+α 2−α 0 0 2−α 2+α ) є теж дiагональною, коли \|α\| 6= 2. Крiм того, у двох випадках модель описується незв’язаними самоспряженими розширеннями: f ′(−0) = 0 i f(+0) = 0 для α = −2, а також f(−0) = 0 i f ′(+0) = 0 для α = 2. З погляду фiзики є очевидним, що гладкий потенцiал U не впли- ває на характер умов спряження в початку координат. Не залежать вiд U також резонансна множина та функцiя зв’язку. Однак, у мiр- куваннях попереднiх параграфiв не можна покласти U = 0, бо втра- чається дискретнiсть спектру. Нижче наведенi два приклади простих моделей з кусково-сталим δ′-подiбним потенцiалом, якi є додатковим аргументом щодо вмотивованостi нашого означення. 4.3. Задача про проходження через δ′-подiбний бар’єр Розглянемо рiвняння −y′′ + αε−2Ψ(ε−1x)y = k2y, x ∈ R (4.4) iз δ′-подiбним профiлем Ψ, таким що Ψ(ξ) = 1 при ξ ∈ (−1, 0) i Ψ(ξ) = −1 при ξ ∈ (0, 1), k > 0. Зрозумiло, що результати попереднiх роздiлiв справедливi i для кусково гладких потенцiалiв. Припустимо також, що α = κ 2 > 0. Задача розсiяння частинки на потенцiалi κ 2 ε2 Ψ(ε−1x) полягає у знаходженнi такого розв’язку yε(x; κ, k) рiвняння (4.4), що yε(x; κ, k) = eikx + Rε(κ, k)e −ikx при x < −ε та yε(x; κ, k) = Tε(κ, k)e ikx при x > ε. Величини \|Rε(κ, k)\|2, \|Tε(κ, k)\|2 називаються коефiцiєнтом вiдбиття та коефiцiєнтом проникнення вiдповiдно i мають сенс ймовiрностей, оскiльки \|Rε(κ, k)\|2 + \|Tε(κ, k)\|2 = 1. Саме цей приклад δ′-подiбного потенцiалу розглядали в [13]. Ми наводи- мо його, щоб показати взаємозв’язок мiж коефiцiєнтами розсiяння та введеними нами вище поняттями резонансної множини та функцiї зв’язку. Для такого профiлю Ψ резонансна множина ΣΨ є симетричною стосовно початку координат, а її невiд’ємна частина складається з Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 191 коренiв трансцендентного рiвняння h( √ α) = 0, де h(κ) = κ(th κ − tg κ). Функцiя зв’язку має вигляд θΨ(α) = ch √ α cos √ α при α ≥ 0, θΨ(α) = cos √−α ch √−α при α < 0. (4.5) Нехай u1(ξ; κ, τ), u2(ξ; κ, τ) — фундаментальна система розв’язкiв рiвняння −u′′ + (κ2Ψ(ξ) − τ2)u = 0, ξ ∈ (−1, 1), елементи якої є гладкими функцiями параметрiв κ i τ . Такi розв’яз- ки будуються явно за допомогою тригонометричних та гiперболiчних функцiй. Тодi розв’язок yε(x; κ, k) можна знайти у виглядi yε(x; κ, k) =      eikx +Rε e −ikx при x < −ε, Cε,1 u1( x ε ,κ, εk) + Cε,2 u2( x ε ,κ, εk) при \|x\| < ε, Tε e ikx при x > ε. Задовольнивши умови неперервної диференцiйовностi розв’язку в то- чках x = ±ε, безпосереднiми обчисленнями отримаємо, що Tε(κ, k) = 2iεke−2iεk (2iεk − h(κ)) cos κ ch κ +O(ε2k2) (4.6) при εk → 0. Асимптотична поведiнка коефiцiєнта проникнення при ε → 0 залежить вiд того, чи α = κ 2 належить резонанснiй множинi. А саме, \|Tε(κ, k)\|2 = 4ε2k2 h2(κ) cos2 κ ch2 κ · ( 1 +O (εk) ) , коли κ 2 6∈ ΣΨ, (4.7) \|Tε(κ, k)\|2 = 1 cos2 κ ch2 κ · ( 1 +O(εk) ) , коли κ 2 ∈ ΣΨ. (4.8) Отже, коефiцiєнт проникнення прямує до нуля поза резонансною множиною, а ненульову границю має, лише коли α ∈ ΣΨ, i вона не залежить вiд k. Цю границю \|T (α)\|2 можна записати через функцiю зв’язку \|T (α)\|2 = 4θ2 Ψ(α) (1 + θ2 Ψ(α))2 , α ∈ ΣΨ. Формула залишається справедливою i при вiд’ємних сталих зв’язку α. Згiдно (4.5) коефiцiєнт проникнення \|T (α)\|2 прямує до нуля при \|α\| → +∞. 192 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера Отже, природно, що оператори A(α,Ψ), визначенi в 4.2, є зв’язни- ми самоспряженими розширеннями оператора L0 = − d2 dx2 , D(L0) = {f ∈ C∞ 0 (R) : f(0) = f ′(0) = 0} лише у випадку, коли α ∈ ΣΨ. 4.4. Оператор Штурма–Лiувiлля з δ′-подiбним потенцiалом Розглянемо на скiнченному iнтервалi (a, b), що мiстить точку x = 0, задачу на власнi значення −y′′ +αε−2Ψ(ε−1x)y = λy, x ∈ (a, b), y(a) = 0, y(b) = 0, (4.9) де Ψ — кусково-сталий профiль з попереднього прикладу. Фундамен- тальну систему розв’язкiв рiвняння (4.9) отримуємо в явному виглядi через тригонометричнi та гiперболiчнi функцiї. Наведемо результати обчислень лише для α > 0. Введемо позначе- ння ω = √ λ, κ = √ α, h1(κ) = th κ tg κ−1 та g(κ) = (1+th κ tg κ)(1− th κ tg κ)−1. Характеристичний визначник ∆(ε,κ;ω) задачi (4.9), ко- ренями якого є власнi частоти ωε, має таку асимптотику при εω → 0: ∆(ε,κ;ω) = h(κ) { tg aω tg bω + εω ( tg bω − tg aω )} + εω h1(κ) ( tg bω − g(κ) tg aω ) +O(ε2ω2), (4.10) де функцiя h = h(κ) — характеристичний визначник задачi (3.16), визначений в 4.3. Нехай α 6∈ ΣΨ. Тодi величина h(κ) не дорiвнює нулю, а обмеженi при ε→ 0 власнi частоти ωε задачi (4.9) збiгаються до коренiв рiвнян- ня tg aω tg bω = 0. Вiдповiднi власнi функцiї yε є збiжними в просторi C(a, b), а множина їхнiх усяк можливих границь складається з двох серiй функцiй yk,1(x) = { sin πk a (x− a), x ∈ (a, 0) 0, x ∈ (0, b) , yk,2(x) = { 0 x ∈ (a, 0) sin πk b (x− b), x ∈ (0, b) , де k ∈ N. Легко переконатися, що граничнi частоти i власнi фун- кцiї вiдповiдають прямiй сумi операторiв другого диференцiювання на iнтервалах (a, 0) та (0, b) з умовами Дiрiхле. Ця сума є аналогом на скiнченному вiдрiзку оператора A(α,Ψ) при α 6∈ ΣΨ, визначеного в 4.2. Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 193 Нехай α ∈ ΣΨ, тобто h(κ) = 0, але одночасно h1(κ) = th2 κ−1 < 0. В цьому випадку частоти ωε збiгаються до коренiв рiвняння tg bω = g(κ) tg aω, причому g(κ) = 1 + tg2 κ 1 − th2 κ = ch2 κ cos2 κ = θ2 Ψ(α) для α ∈ ΣΨ ∩ R+. Власнi функцiї yε збiгаються в L2(a, b), а також рiвномiрно на кожно- му з iнтервалiв (a, 0) та (0, b), до функцiй вигляду yk(x) = { r(ωk) sinωk(x− a), x ∈ (a, 0) θ(α) sinωk(x− b), x ∈ (0, b) , де ωk — коренi рiвняння tg bω = θ2 Ψ(α) tg aω, а r(ω) = sin bω sin aω , коли sin aω 6= 0, та r(ω) = b cos bω a cos aω , коли sin aω = 0. Числа ω2 k та функцiї yk є власними значеннями та власними векторами задачi Штурма- Лiувiлля { −y′′ = λy, x ∈ (a, 0) ∪ (0, b), y(a) = y(b) = 0, y(+0) = θΨ(α)y(−0), θΨ(α)y′(+0) = y′(−0), яка породжує на (a, b) оператор, аналогiчний до A(α,Ψ) при α ∈ ΣΨ. 4.5. Вiдкрита проблема В роздiлi 3 ми отримали асимптотику для довiльного профiлю з класу P. Випадок δ′-подiбного потенцiалу Ψ ∈ P0 характеризується спецiальною структурою резонансної множини ΣΨ, яка описана в те- оремi 3.2(ii), а також поведiнкою функцiї зв’язку θΨ. Наведенi вище приклади i комп’ютерне моделювання задач зi складнiшими потенцi- алами дозволяють нам зробити припущення. Гiпотеза. Нехай потенцiал Ψ задовольняє умови m0(Ψ) = 0, m1(Ψ) = −1. Тодi його функцiя зв’язку θΨ має такi властивостi: ⋄ \|θΨ(α)\| > 1 для α ∈ ΣΨ ∩ R+ та \|θΨ(α)\| → +∞ при α→ +∞, ⋄ \|θΨ(α)\| < 1 для α ∈ ΣΨ ∩ R− та \|θΨ(α)\| → 0 при α→ −∞. Цi властивостi пов’язанi зi структурою власних функцiй J-само- спряженого та J-невiд’ємного оператора TΨ, тому їхнє доведення ма- ло б отримуватися методами просторiв Крейна. Зауважимо, що класи 194 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера потенцiалiв, для яких m0(Ψ) 6= 0 чи m0(Ψ) = m1(Ψ) = 0, мiстять пар- нi функцiї. Для парного потенцiалу Ψ гiпотеза не пiдтверджується, оскiльки \|θΨ(α)\| = 1 для всiх α ∈ ΣΨ. Функцiя зв’язку має прозоре фiзичне трактування. Нехай v — нормована в L2(R) власна функцiя задачi (3.23), а Pv(a, b) = ∫ b a \|v(x)\|2 dx — ймовiрнiсть знаходження частинки в iнтервалi (a, b), коли система перебуває в чистому станi v. Тодi θ2 Ψ(α) = lim r→+0 Pv(0, r) Pv(−r, 0) , тобто θ2 Ψ(α) є границею вiдношення ймовiрностей, з якими частин- ку можна локалiзувати в iнтервалах (0, r) та (−r, 0) вiдповiдно. Для потенцiалу α ε2 Ψ(ε−1x), профiль якого зображений злiва на рис. 1, є очевидним, що при α > 0 ймовiрнiсть локалiзувати частинку в iнтер- валi (0, ε) над потенцiальною ямою є значно бiльшою, анiж знайти її в (−ε, 0) над високим бар’єром. Отже, величина \|θΨ(α)\| повинна бути бiльшою за одиницю. При α < 0 потенцiальнi яма та бар’єр мiняються мiсцями, тому \|θΨ(α)\| < 1. 5. Асимптотика скiнченного спектру оператора Hε(α, Ψ): поправки Щоб обґрунтувати близькiсть енергетичних рiвнiв гамiльтонiанiв Hε(α,Ψ) та H(α,Ψ), нам потрiбно знайти ще декiлька коефiцiєнтiв рядiв (3.2)–(3.4). 5.1. Асимптотика у випадку закритого δ′-бар’єру Якщо α 6∈ ΣΨ, то w = 0. Нехай λ — просте власне значення опе- ратора H(α,Ψ) = S− ⊕ S+ з нормованою в L2(R) власною функцiєю v. Не обмежуючи загальностi, припустимо, що λ ∈ σ(S+). Зрозумiло, що v дорiвнює нулю на R−. Тодi отримана з (3.9), (3.13) задача −w′′ 1 + αΨw1 = 0, ξ ∈ (−1, 1), w′ 1(−1) = 0, w′ 1(1) = v′(+0) має єдиний розв’язок, оскiльки α не є власним значенням (3.16). Згi- дно (3.7), (3.14) функцiя v1 ∈ L2(R) на кожнiй з пiвосей повинна бути розв’язком задач − v′′1 + Uv1 = λv1, x ∈ R−, v1(−0) = w1(−1), (5.1) − v′′1 + Uv1 = λv1 + λ1v, x ∈ R+, v1(+0) = w1(1) − v′(+0). (5.2) Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 195 Перша з них має єдиний розв’язок в L2(R−), бо λ 6∈ σ(S−). Друга є неоднорiдною задачею на спектрi, розв’язок якої iснуватиме при правильному виборi параметра λ1. Згiдно альтернативи Фредголь- ма задача (5.2) має розв’язок в L2(R+) тодi i лише тодi, коли λ1 = v′(+0)(v′(+0)−w1(1)). Щоб отримати цю рiвнiсть, треба домножити рiвняння (5.2) на v та двiчi зiнтегрувати частинами. Оскiльки розв’я- зок визначений з точнiстю до ядра однорiдної задачi, пiдпорядкуємо його додатковiй умовi ∫ R− vv1 dx = 0. Пам’ятаючи, що w = 0, з рiв- ностей (3.10), (3.15) отримуємо задачу −w′′ 2 + αΨw2 = 0, ξ ∈ (−1, 1), w′ 2(−1) = v′1(−0), w′ 2(1) = v′1(+0) + v′′(+0) (5.3) для знаходження функцiї w2. Введемо позначення Λε = λ+ ελ1, Yε(x) = { v(x) + εv1(x), \|x\| > ε, εw1(ε −1x) + ε2w2(ε −1x), \|x\| < ε (5.4) для побудованих наближень власного значення та власної функцiї збуреної задачi. Такi ж поправки можна знайти i у випадках, коли λ ∈ σ(S−) \ σ(S+) та λ ∈ σ(S−) ∩ σ(S+). 5.2. Асимптотика у випадку вiдкритого δ′-бар’єру Нехай тепер α належить резонанснiй множинi ΣΨ, а w = aWα, де Wα — власна функцiя задачi (3.16), a — довiльна стала. Число λ тепер є одним iз власних значень задачi (3.23), а v — вiдповiдною нормованою в L2(R) власною функцiєю. Зауважимо, що всi власнi значення цiєї задачi є простими. Беручи до уваги першу з умов (3.11), матимемо a = v(−0) Wα(−1) . Тодi друга з умов теж буде виконуватися, бо v(+0) = θΨ(α)v(−0) = v(−0) Wα(−1)Wα(1) = aWα(1). Згiдно зауваження 3.2 стала a є нульовою, коли λ ∈ σ(S−) ∩ σ(S+). За побудовою умова (3.22) гарантує iснування розв’язку w1 задачi (3.21). Вiн має зображення w1 = w∗ 1 + a1Wα, де w∗ 1 — деякий частко- вий розв’язок задачi, а a1 — довiльна стала. Цю сталу ми знайдемо пiзнiше, отримавши спершу задачу для v1. Функцiя v1 задовольняє рiвняння (3.7) поза нулем, а в нулi має розрив, причому v1(+0) − θΨ(α)v1(−0) = g1, де g1 = w1(1)−θΨ(α)w1(−1)−v′(+0)−θΨ(α)v′(−0). Ця умова отримана 196 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера з рiвностей (3.14). Зауважимо, що стала g1 не залежить вiд вибору невiдомого досi числа a1. Справдi, w1(1) − θΨ(α)w1(−1) = w∗ 1(1) − θΨ(α)w∗ 1(−1) + a1 ( Wα(1) − θΨ(α)Wα(−1) ) = w∗ 1(1) − θΨ(α)w∗ 1(−1). Далi, з (3.10), (3.15) знаходимо задачу для w2 { −w′′ 2 + αΨ(ξ)w2 = (λ− U(0))w, ξ ∈ (−1, 1), w′ 2(−1) = v′1(−0) − v′′(−0), w′ 2(1) = v′1(+0) + v′′(+0). (5.5) Умову iснування розв’язку цiєї задачi можна записати у виглядi θΨ(α)v′1(+0) − v′1(−0) = h1, (5.6) де h1 = (w(−1))−1(λ−U(0)) ∫ 1 −1w 2 dξ − θΨ(α)v′′(+0)− v′′(−0). Отже, функцiя v1 є розв’язком задачi { −v′′1 + Uv1 = λv1 + λ1v, x ∈ R \ {0}, v1(+0) − θΨ(α)v1(−0) = g1, θΨ(α)v′1(+0) − v′1(−0) = h1. (5.7) Перша поправка λ1 в асимптотицi власного значення знаходиться з умови iснування розв’язку задачi (5.7), яка є неоднорiдною зада- чею на спектрi. Згiдно альтернативи Фредгольма матимемо λ1 = g1v ′(−0) − h1v(−0). Розв’язок v1 пiдпорядкуємо додатковiй умовi ∫ R vv1 dx = 0. Тепер, побудувавши поправку v1, можна знайти сталу a1. З першої умови (3.14) матимемо a1 = (Wα(−1))−1 ( v1(−0) − v′(−0) − w∗ 1(−1) ) . Безпосередньо переконуємося, що друга з умов (3.14) теж виконує- ться. Отже, у випадку вiдкритого δ′-бар’єру маємо таке наближення власного значення та власної функцiї збуреної задачi Λε = λ+ ελ1, Yε(x) = { v(x) + εv1(x), \|x\| > ε, v(−0) Wα(−1)Wα(ε−1x) + εw1(ε −1x) + ε2w2(ε −1x), \|x\| < ε. (5.8) Тут w2 — довiльний розв’язок задачi (5.5). Вибiр сталої a2 у зобра- женнi w2 = w∗ 2 + a2Wα не є принциповим, оскiльки ми не шукаємо поправку v2. Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 197 6. Обґрунтування асимптотичних розвинень Як доведено в теоремi 2.1, для кожного сингулярного потенцiалу αΨε(x) iснує скiнченне число N(α,Ψ) власних значень λε k(α,Ψ), якi збiгаються до −∞ при ε→ 0. Решта власних значень є неперервними i обмеженими функцiями малого параметра ε. Покажемо, що всi вони при ε→ 0 збiгаються до точок спектру оператора H(α,Ψ). 6.1. Теорема збiжностi Нехай {λε}ε∈I — деяка послiдовнiсть власних значень операто- ра Hε(α,Ψ), {yε}ε∈I — послiдовнiсть вiдповiдних власних функцiй, нормованих в L2(R). Тут I — довiльна нескiнченна пiдмножина iн- тервалу (0, 1) з точкою скупчення в нулi. Теорема 6.1. Якщо λε → λ та yε → v слабко в L2(R) при I ∋ ε → 0, то λ є власним значенням оператора H(α,Ψ), а v – вiдповiдна власна функцiя цього оператора. Крiм того, yε збiгається до v в нормi L2(R). Розiб’ємо доведення цiєї теореми на кiлька лем. Лема 6.1. Нехай виконуються умови теореми 6.1. Тодi для кожного γ > 0 послiдовнiсть yε збiгається до v слабко в W 2 2 (R \ (−γ, γ)) та в нормi простору C1(R \ (−γ, γ)). Крiм того, v є розв’язком рiвняння Шредiнґера −v′′ + Uv = λv (6.1) на кожнiй з пiвосей R− i R+. Доведення. Нехай Mγ — множина пробних функцiй ϕ ∈ C∞ 0 (R) та- ких, що ϕ(x) = 0 при x ∈ (−γ, γ). Тодi з рiвняння (3.1) для всiх ϕ ∈ Mγ та ε < γ отримуємо ∫ R y′′εϕdx = ∫ R (U − λε)yεϕdx, (6.2) бо supp Ψε ⊂ (−γ, γ). Права частина (6.2) має границю при ε → 0, тому iнтеграл злiва теж збiгається для всiх ϕ ∈ Mγ . Отже, yε → v слабко в W 2 2 (R \ (−γ, γ)) i ∫ R v′′ϕdx = ∫ R (U − λ)vϕ dx, ϕ ∈ Mγ . 198 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера З цiєї тотожностi випливає, що v є розв’язком рiвняння (6.1) на мно- жинi R \ (−γ, γ), а в силу довiльностi γ — на кожнiй з пiвосей. Збi- жнiсть yε в просторi неперервно диференцiйовних функцiй є наслiд- ком теорем вкладення. Лема 6.2. Нехай λε → λ та yε → v слабко в L2(R) при I ∋ ε → 0. Тодi yε(ε) → v(+0), y′ε(ε) → v′(+0), yε(−ε) → v(−0) та y′ε(−ε) → v′(−0) при I ∋ ε→ 0. Доведення. Нехай ζ ∈ C∞(R \ {0}) така пробна функцiя, що ζ(x) = 0 при x < 0 i x ≥ 2, а також ζ(x) = 1 при x ∈ (0, 1). Тут i надалi χK — характеристична функцiя множини K. Введемо послiдовнiсть ζε(x) = χ(ε,∞)(x)ζ(x). Домноживши кожне з рiвнянь (3.1), (6.1) на функцiю ζε i зiнтегрувавши, отримаємо y′ε(ε) = − ∞ ∫ 1 y′εζ ′ dx+ ∞ ∫ ε (λε − U)yεζ dx, v′(ε) = − ∞ ∫ 1 v′ζ ′ dx+ ∞ ∫ ε (λ− U)vζ dx. Тут враховано, що ζε(ε + 0) = 1 i ζ ′ε(x) = 0 при x ∈ (ε, 1). В силу леми 6.1 правi частини рiвностей мають одну i ту ж границю при ε→ 0, тобто y′ε(ε) → v′(+0). Скориставшись функцiєю ζε(−x), можна довести, що y′ε(−ε) → v′(−0). Тепер вiзьмемо пробну функцiю η ∈ C∞(R\{0}) таку, що η(x) = 0 при x < 0 i x ≥ 2, а також η(x) = x при x ∈ (0, 1). Нехай ηε(x) = χ(ε,∞)(x)η(x). Врахувавши, що ηε(ε+ 0) = ε i ζ ′′ε (x) = 0 при x ∈ (ε, 1), з (3.1), (6.1) матимемо yε(ε) = εy′ε(ε) − ∞ ∫ 1 yεη ′′ dx+ ∞ ∫ ε (U − λε)yεη dx, v(ε) = εv′(ε) − ∞ ∫ 1 vη′′ dx+ ∞ ∫ ε (U − λ)vη dx. Згiдно з доведеним вище правi частини збiгаються до однiєї границi, тобто yε(ε) → v(+0). Аналогiчно доводимо, що yε(−ε) → v(−0). Тепер проаналiзуємо поведiнку власних функцiй yε в околi по- чатку координат. Нехай w та z — розв’язки задач Кошi на вiдрiз- ку [−1, 1] − w′′ + αΨ(ξ)w = 0, w(−1) = 1, w′(−1) = 0; (6.3) Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 199 − z′′ + αΨ(ξ)z = 0, z(−1) = 0, z′(−1) = v′(−0). (6.4) Лема 6.3. Якщо λε → λ та yε → v слабко в L2(R) при ε→ 0, то ∥ ∥ε−1yε(εξ) − ε−1yε(−ε)w(ξ) − z(ξ) ∥ ∥ C1([−1,1]) → 0. (6.5) Доведення. Введемо позначення wε(ξ) = ε−1yε(εξ)− ε−1yε(−ε)w(ξ)− z(ξ). Рiвняння (3.1) у змiнних ξ = ε−1x можна записати у виглядi −d 2yε dξ2 + αΨ(ξ)yε = ε2(λε − U(εξ))yε. Тодi з (6.3), (6.4) слiдує, що функцiя wε на вiдрiзку [−1, 1] є розв’яз- ком задачi Кошi { −w′′ ε + αΨ(ξ)wε = fε(ξ), ξ ∈ [−1, 1], wε(−1) = 0, w′ ε(−1) = y′ε(−ε) − v′(−0), (6.6) де fε(ξ) = ε(λε−U(εξ))yε(εξ). Для кожної функцiї fε ∈ L2(−1, 1) iснує єдиний розв’язок wε з класу W 2 2 (−1, 1) i виконується оцiнка ‖wε‖W 2 2 (−1,1) ≤ C ( ‖fε‖L2(−1,1) + \|y′ε(−ε) − v′(−0)\| ) (6.7) з незалежною вiд ε сталою C. Зважаючи на те, що 1 ∫ −1 y2 ε(εξ) dξ = 1 ε ε ∫ −ε y2 ε(x) dx ≤ 1 ε ‖yε‖L2(R) = 1 ε , отримуємо ε−1/2‖yε(εξ)‖L2(−1,1) ≤ c. Тодi ‖fε‖L2(−1,1) ≤ cε1/2, бо по- слiдовнiсть λε є збiжною. Отже, згiдно з лемою 6.2 права частина нерiвностi (6.7) прямує до нуля. Для завершення доведення треба скористатися теоремою вкладення W 2 2 (−1, 1) ⊂ C1([−1, 1]). Лема 6.4. Якщо λε → λ, то вiдповiдна слабко збiжна в L2(R) по- слiдовность власних функцiй yε збiгається сильно: ‖yε − v‖L2(R) → 0 при ε→ 0. Доведення. Спершу покажемо, що послiдовнiсть yε рiвномiрно обме- жена на R. Згiдно з (6.5) та лемою 6.2 послiдовнiсть yε(x) рiвномiрно обмежена на [−ε, ε]. Справдi, max x∈[−ε,ε] \|yε(x)\| ≤ cε+ \|z(ε−1x)\|ε+ \|yε(−ε)\| \|w(ε−1x)\| ≤ c1. (6.8) 200 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера Нехай Ωε = R \ (−ε, ε). Домножимо рiвняння (3.1) на функцiю χΩε(x)yε(x) i зiнтегруємо частинами: ∫ Ωε y′2ε dx = λε ∫ Ωε y2 ε dx− ∫ Ωε Uy2 ε dx+ y′ε(−ε)yε(−ε) − y′ε(ε)yε(ε). Всi доданки в правiй частинi є рiвномiрно обмеженi стосовно ε. Для доданку з потенцiалом U це легко отримується iз ВКБ-асимптотик власних функцiй yε при великих x [29, с. 55] i обмеженостi власних значень λε. Отже, послiдовнiсть yε є обмежена в W 1 2 (Ωε), тодi i в C(Ωε). Звiдси та з (6.8) маємо, що maxx∈R \|yε(x)\| ≤ c, де c не залежить вiд ε. Зафiксуємо γ > 0. Згiдно з лемою 6.1 для достатньо малих ε норма рiзницi yε − v в просторi L2(Ωγ) не перевищуватиме γ. Тодi ‖yε − v‖L2(R) ≤ ‖yε − v‖L2(Ωγ) + ‖yε − v‖L2(−γ,γ) ≤ (1 + 2 max x∈R \|yε(x) − v(x)\|)γ ≤ Cγ зi сталою C, незалежною вiд ε. Залишилося зауважити, що число γ можна взяти як завгодно малим. Доведення теореми 6.1. Як випливає з лем 6.1 та 6.4 гранична фун- кцiя v є нетривiальним розв’язком рiвняння −v′′ + Uv = λv, x ∈ R \ {0} i має одиничну норму в L2(R). Залишилось показати, що в початку координат v задовольняє потрiбнi умови спряження. З леми 6.3 ви- пливає, що ε−1 ( yε(ε)−yε(−ε)w(1) ) → z(1), y′ε(ε)−ε−1yε(−ε)w′(1) → z′(1) (6.9) при ε→ 0. Беручи до уваги лему 6.2, матимемо yε(ε)− yε(−ε)w(1) → 0, yε(−ε)w′(1) → 0, тобто v(+0) − v(−0)w(1) = 0, (6.10) v(−0)w′(1) = 0. (6.11) Спершу припустимо, що v(−0) 6= 0, тобто w′(1) = 0. Тодi з (6.3) виходить, що w є нетривiальним розв’язком крайової задачi −w′′ + αΨw = 0, w′(−1) = 0, w′(1) = 0. Отже, в цьому випадку w є власною функцiєю оператора TΨ, а стала зв’язку α належить резонанснiй мно- жинi ΣΨ. Далi, θΨ(α) = w(1), бо за побудовою w(−1) = 1. Тому (6.10) Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 201 збiгається з умовою спряження (3.20). З другої умови (6.9) отримує- мо, що v′(+0) = z(1), тобто z є розв’язком крайової задачi −z′′ + αΨz = 0, z′(−1) = v′(−0), z(1) = v′(+0), (6.12) яка збiгається iз задачею (3.21). Необхiдною умовою iснування тако- го розв’язку є умова (3.22). Отже, v є власною функцiєю оператора H(α,Ψ), а границя λ послiдовностi λε є його власним значенням. Коли ж v(−0) = 0, то з (6.10) виходить, що v(+0) = 0. Якщо α 6∈ ΣΨ, то теорема теж доведена. Нехай α належить ΣΨ. Умова (3.20) для v вже виконується. Зрозумiло, що в цьому випадку розв’язок w задачi Кошi (6.3) є власною функцiєю оператора TΨ, зокрема, w′(1) = 0. Тодi, як ми показали вище, z є розв’язком задачi (6.12), а, отже, v задовольняє i другу умову спряження (3.22). Саме цей випадок описаний у зауваженнi 3.2. Теорема доведена. Наслiдок 6.1. Кожне власне значення λε k(α,Ψ) оператора Hε(α,Ψ), обмежене знизу при ε → 0, має границю, яка є точкою спектру оператора H(α,Ψ). Доведення. Проведемо доведення вiд супротивного. Нагадаємо, що λε k(α,Ψ) є неперервною функцiєю параметра ε ∈ (0, 1). Припустимо, що µ∗ = lim ε→0 λε k(α,Ψ) < lim ε→0 λε k(α,Ψ) = µ∗, причому числа µ∗, µ∗ є скiнченними, бо λε k(α,Ψ) — обмежена фун- кцiя. Тодi для кожного λ ∈ [µ∗, µ ∗] iснує збiжна до нього послiдовнiсть власних значень λε, ε ∈ I. Наприклад, множину I можна отримати як послiдовнiсть коренiв рiвняння λε k(α,Ψ) = λ стосовно ε. Послiдов- нiсть {yε}ε∈I нормованих власних функцiй мiстить слабко збiжнi пiд- послiдовностi. На пiдставi теореми число λ буде власним значенням оператора H(α,Ψ). В силу довiльностi λ вiдрiзок [µ∗, µ ∗] мiститься в σ(H(α,Ψ)), що можливо, лише коли µ∗ = µ∗. Наслiдок 6.2. До власного значення λ оператора H(α,Ψ) кратно- стi s може збiгатися не бiльше s власних значень λε k(α,Ψ) опера- тора Hε(α,Ψ). Доведення. Оператор H(α,Ψ) має лише простi й двократнi власнi значення. Нехай s = 1 i припустимо, що λε k(α,Ψ) → λ та λε k+1(α,Ψ) → λ. Тодi iснують двi послiдовностi {yε k(x;α,Ψ)}ε∈I , {yε k+1(x;α,Ψ)}ε∈I власних функцiй, кожна з яких в L2(R) збiгається до одного з векто- рiв eiϕv. Це неможливо, бо елементи цих послiдовностей при кожно- му ε ∈ I є ортогональними в L2(R). Для s = 2 доведення аналогiчне (див. деталi в [21]). 202 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера 6.2. Квазiмоди оператора Hε(α,Ψ) та апроксимацiйна теорема Покажемо, що кожна точка спектру H(α,Ψ) є граничною точкою власних значень операторiв Hε(α,Ψ). Нехай B — самоспряжений оператор у гiльбертовому просторi H з областю визначення D(B). Пару (µ, u) ∈ R × D(B), де ‖u‖H = 1, називатимемо квазiмодою оператора B iз нев’язкою ρ > 0, якщо ‖Bu− µu‖H ≤ ρ. Лема 6.5 ( [44, 57]). Нехай спектр оператора B є дискретним i простим. Якщо (µ, u) — квазiмода оператора B iз нев’язкою ρ > 0, то iнтервал [µ− ρ, µ+ ρ] мiстить власне значення λ оператора B. Крiм того, якщо в iнтервалi [µ− τ, µ+ τ ] немає iнших власних зна- чень оператора B, окрiм λ, то ‖u−v‖H ≤ 2τ−1ρ, де v — нормований власний вектор, що вiдповiдає λ. Оскiльки в роздiлi 5 ми не будували асимптотик у випадку дво- кратного власного значення λ, тому припустимо, що σ(S−)∩σ(S+) = ∅. Ця умова гарантує простоту спектру операторiв H(α,Ψ). Побудуємо квазiмоди операторiв Hε(α,Ψ). Нехай λ — власне зна- чення оператора H(α,Ψ) з власною функцiєю v, ‖v‖ = 1. Тут i далi ‖ · ‖ — норма в L2(R). Для кожного λ та v ми отримали формальнi асимптотики Λε, Yε, якi задаються формулами (5.4) чи (5.8) в зале- жностi вiд α та Ψ. При обґрунтуваннi два рiзнi випадки асимптотик не розрiзнятимуться. За побудовою −Y ′′ ε + (U(x) − Λε)Yε = ε2R1(ε, x), \|x\| > ε, −Y ′′ ε + (U(x) + αε−2Ψ(ε−1x) − Λε)Yε = εR2(ε, x), \|x\| < ε, [Yε]x=±ε = ε2r±1 (ε), [Y ′ ε ]x=±ε = ε2r±2 (ε), (6.13) де всi залишки Rj , r ± j є рiвномiрно обмеженими за своїми аргумен- тами. Функцiя Yε не належить областi визначення оператора Hε(α,Ψ), бо має розриви в точках x = ±ε. Однак, конструктивно будується функцiя-коректор ζε з такими властивостями: • ζε — гладка поза точками x = ±ε та вiдмiнна вiд нуля лише при ε < \|x\| < 1; • [ζε]x=±ε = −r±1 (ε) та [ζ ′ε]x=±ε = −r±2 (ε); • iснує стала c, яка не залежить вiд ε, що maxε<\|x\|<1(\|ζε(x)\| + \|ζ ′ε(x)\| + \|ζ ′′ε (x)\|) ≤ c. Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 203 Тодi функцiя Yε + ε2ζε є вже неперервно диференцiйовною в точках x = ±ε i належить до D(Hε(α,Ψ)). Нехай Υε = ‖Yε + ε2ζε‖−1(Yε + ε2ζε). Якщо в формулах (6.13) замiнити Yε на Υε, то порядок малостi залишкiв у правих частинах не змiниться, бо ‖Yε‖ → 1 при ε → 0. Звiдки слiдує, що пара (Λε,Υε) є квазiмодою оператора Hε(α,Ψ) з нев’язкою порядку ε. Лема 6.6. Для кожного λ ∈ σ(H(α,Ψ)) iснує таке власне значення λε j(α,Ψ) оператора Hε(α,Ψ), що λε j(α,Ψ) → λ. Крiм того, ∣ ∣λε j(α,Ψ) − λ ∣ ∣ ≤ c1ε, ∥ ∥yε j (x;α,Ψ) − v(x) ∥ ∥ L2(R) ≤ c2ε, (6.14) де yε j , v — вiдповiднi нормованi власнi функцiї. Доведення. Нехай (Λε,Υε) — квазiмода оператора Hε(α,Ψ), побудо- вана для λ i v. Згiдно з лемою 6.5 iснує номер j, що \|λε j(α,Ψ)−Λε\| ≤ c1ε, звiдки випливає перша з нерiвностей (6.14). Iндекс j не залежить вiд ε за наслiдками 6.1, 6.2. Якщо τ менше, нiж вiдстань вiд λ до решти спектру оператора H(α,Ψ), то вiдрiзок [λ − τ, λ + τ ] при до- статньо малих ε мiстить лише одне власне значення λε j(α,Ψ). Тодi ∥ ∥yε j (x;α,Ψ) − Υε(x) ∥ ∥ L2(R) ≤ 2τ−1c1ε, звiдки отримуємо другу нерiв- нiсть (6.14). Сформулюємо основний результат. Нехай {λk(α,Ψ)}∞k=1 — влас- нi значення операторiв H(α,Ψ), пронумерованi за зростання, а {vk(x;α,Ψ)}∞k=1 — ортонормована в L2(R) система власних функцiй. Нагадаємо, що N = N(α,Ψ) — число власних значень операторiв Hε(α,Ψ), якi збiгаються до −∞ при ε→ 0. Теорема 6.2. Нехай (α,Ψ) ∈ R × P i σ(S−) ∩ σ(S+) = ∅. Тодi для всiх натуральних k ∣ ∣λε k+N (α,Ψ) − λk(α,Ψ) ∣ ∣ ≤ c1ε, (6.15) ∥ ∥yε k+N (x;α,Ψ) − vk(x;α,Ψ) ∥ ∥ L2(R) ≤ c2ε, (6.16) де сталi c1, c2 не залежать вiд ε. Доведення. З теореми 6.1, наслiдку 6.2 та леми 6.6 випливає, що вла- сне значення λε k+N (α,Ψ) збiгається до λk(α,Ψ) при ε → 0. Отже, оцiнки (6.15), (6.16) є уточненням нерiвностей (6.14). Ми вдячнi Бранко Чургусу, Iллi Камоцькому та Ростиславу Гри- нiву за цiннi поради при написаннi цiєї працi. Також ми висловлюємо щиру подяку Олексiю Костенку, Марку Маламуду та рецензентовi. 204 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера Їхнi зауваження та коментарi, а також вказiвки щодо нових публiка- цiй в цiй тематицi, допомогли значно вдосконалити текст статтi. Лiтература [1] S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Høegh-Krohn, H. Holden, Solvable models in quantum mechanics. With an appendix by Pavel Exner. 2nd revised ed. Provi- dence, RI: AMS Chelsea Publishing, 2005. [2] S. Albeverio and V. Koshmanenko, Singular rank one perturbations of self-adjoint operators and Krein theory of selfadjoint extensions // Potential Anal. 11 (1999), 279–287. [3] S. Albeverio, P. Kurasov, Singular perturbations of differential operators and solvable Schrödinger type operators. Cambridge: Univ. Press, 2000. [4] Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов, Основы теории линейных операторов в про- странствах с индефинитной метрикой. Москва: Наука, 1986. [5] A. Antonevich, The Schrödinger equation with point interaction in an algebra of new generalized functions. In: Nonlinear Theory of Generalized Functions. Chapman&Hall, Research notes in mathematics series, 401 (1999). [6] А. Б. Антоневич, Т. А. Романчук, Аппроксимации операторов с дельта- образными коэффициентами // Актуальные проблемы математики. Сб. на- уч. трудов. ГрГУ им. Я. Купалы. Гродно, (2008), 11–28. [7] Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Москва: Наука, 1966. [8] Ф. А. Березин, Л. Д. Фадеев, Замечание об операторе Шредингера с сингу- лярным потенциалом // Докл. АН СССР, 32 (1961), 372–375. [9] J. F. Brasche, M. M. Malamud, H. Neidhardt, Weyl function and spectral properti- es of self-adjoint extensions // Integral Equations Oper. Theory 43 (2002), N 3, 264-–289. [10] F. A. Berezin, M. A. Shubin, The Schrödinger equation. Kluwer Academic Publi- shers, 1991. [11] P. Chernoff, R. Hughes, A new class of point interactions in one dimension // J. Funct. Anal., 111 (1993), 97–117. [12] J.-F. Colombeau, New generalized functions and multiplication of distributions. North Holland,1989 [13] P. L. Christiansen, H. C. Arnbak, A. V. Zolotaryuk, V. N. Ermakov, Y. B. Gaidi- dei, On the existence of resonances in the transmission probability for interactions arising from derivatives of Dirac’s delta function // J. Phys. A 36 (2003), 7589– 7600. [14] B. Ćurgus, H. Langer, A Krein space approach to symmetric ordinary differential operators with an indefinite weigth function // J. Diff. Eq. 79 (1989), N 1, 31–61. [15] М. Г. Крейн Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрми- товых операторов и ее приложения. I // Мат. сборник. 20 (62) (1947), N 3, 431–495. [16] V. A. Derkach, M. M. Malamud, Generalized resolvents and the boundary value problems for Hermitian operators with gaps // J. Funct. Anal., 95 (1991), N 1, 1—95. Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 205 [17] V. A. Derkach, M. M. Malamud, The extension theory of Hermitian operators and the moment problem // J. Math. Sc. 73 (1995), N 2, 141–242. [18] Yu. D. Golovaty, D. Gomez, M. Lobo and E. Perez, Asymptotics for the ei- genelements of vibrating membranes with very heavy thin inclusions // C.R. Mecanique 330(2002), N 11, 777–782. [19] Yu. D. Golovaty, D. Gomez, M. Lobo, E. Perez, On vibrating membranes with very heavy thin inclusions // Math. Models Methods Appl. Sci. 14 (2004), N 7, 987—1034. [20] Ю. Д. Головатый, С. А. Назаров, О. А. Олейник, Т. С. Соболева, О соб- ственных колебаниях струны с присоединенной массой // Сиб. мат. журн. 29 (1988), N 5, 71–91. [21] Ю. Д. Головатый, Спектральные свойства колебательных систем с присо- единенными массами: эффект локальных колебаний // Труды Московского мат. о-ва 54 (1992), 29–72. [22] Н. И. Голощапова, Л. Л. Оридорога, Дифференциальный оператор четвер- того порядка с локальными точечными взаимодействиями // Укр. матем. вiсник 4 (2007), N 3, 355–369. [23] М. Л. Горбачук, В. И. Горбачук, Граничные задачи для дифференциально- операторных уравнений. Киев: Наук. думка, 1984. [24] В. И. Горбачук, М. Л. Горбачук, А. Н. Кочубей, Теория расширений сим- метрических операторов и граничные задачи для дифференциальных урав- нений // Укр. мат. журн. 41 (1989), N 10, 1299–1313. [25] D. J. Griffiths, Boundary conditions at the derivative of a delta function // J. Phys. A, 26 (1993), 2265—2267. [26] A. Grossmann, R. Høegh-Krohn, M. Mebkhout, A class of explicitly soluble, local, many-center Hamiltonians for one-particle quantum mechanics in two and three dimensions. I // J. Math. Phys. 21 (9) (1980), 2376–2385. [27] P. Exner, H. Neidhardt, V. Zagrebnov, Potential approximations to δ ′: an inverse Klauder phenomenon with norm-resolvent convergence // Commun. Math. Phys. 224 (2001), 593—612. [28] Ю. В. Егоров, К теории обобщенных функций // УМН 45 (1990), Вып. 5 (275), 3–40. [29] М. В. Федорюк, Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва: Наука, 1983. [30] F. Gesztesy, H. Holden, A new class of solvable models in quantum mechanics describing point interactions on the line // J. Phys. A 20 (1987), 5157–5177. [31] R. O. Hryniv, Ya. V. Mykytyuk, 1-D Schrödinger operators with periodic singular potentials // Methods Funct. Anal. Topol. 7 (2001), N 4, 31—42. [32] I. S. Iohvidov, M. G. Krein and H. Langer, Introduction to the spectral theory of operators in spaces with an indefinite metric. Mathematical Research 9, Akademie-Verlag, Berlin, 1982. [33] I. M. Karabash, A. S. Kostenko, M. M. Malamud, The similarity problem for J- nonnegative Sturm-Liouville operators // J. Differential Equations, 246 (2009), 964–997. [34] Т. Като, Теория возмущений линейных операторов. Москва: Мир, 1972. 206 Точнi моделi для операторiв Шредiнґера [35] A. Kiselev, Some examples in one-dimensional “geometric” scattering on mani- folds // J. Math. Anal. Appl. 212 (1997), 263—280. [36] А. Н. Кочубей, Одномерные точечные взаимодействия // Укр. мат. журн. 41 (1989), N 10, 1391–1395. [37] А. Н. Кочубей, Самосопряженные расширения оператора Шредингера с син- гулярным потенциалом // Сиб. мат. журн. 32 (1991), N 3, 60—69. [38] А. Н. Кочубей, Симметрические операторы и неклассические спектральные задачи // Матем. заметки 25 (1979), N 3, 425-–434. [39] S. Kuzhel, L. Nizhnik, Finite rank self-adjoint perturbations // Methods Funct. Anal. Topol. 12 (2006), N 3, 243—253. [40] V. D. Koshmanenko, Towards the rank one singular perturbations theory of selfadjoint operators // Ukrainian Math. J. 43 (1991), N 11, 1559–1566. [41] В. Д. Кошманенко, Сингулярные билинейные формы в теории возмущений самосопряженных операторов. Киев: Наук. думка, 1993. [42] P. Kurasov, N. Elander, On the δ ′-interactions in one dimension // Technical report, MSI, Stockholm, 1993. [43] P. Kurasov, Distribution Theory for Discontinuous Test Functions and Differenti- al Operators with Generalized Coefficients // J. Math. Anal. and Appl. 201 (1996), 297–323. [44] В. Ф. Лазуткин, Квазиклассическая асимптотика собственных функций. “Современные проблемы математики. Фундаментальные направления”. (Ито- ги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М., 34 (1988), 135–174. [45] V. Mikhailets, V. Molyboga, One-dimensional Schrödinger operators with si- ngular periodic potentials // Methods Funct. Anal. Topol. 14 (2008), N 2, 184— 200. [46] L. P. Nizhnik, On rank one singular perturbations of selfadjoint operators // Methods Funct. Anal. Topol. 7 (2001), N 3, 54—66. [47] Л. П. Нижник, Оператор Шрёдингера с δ ′-взаимодействием // Функц. ана- лиз и его прил. 37 (2003), N 1, 85—88. [48] Л. П. Нижник, Одномерный оператор Шрёдингера с точечными взаимодей- ствиями в пространствах Соболева // Функц. анализ и его прил. 40 (2006), N 2, 74—79. [49] С. Г. Пятков, Индефинитные эллиптические спектральные задачи // Сиб. мат. журн. 39 (1998), N 2, 409–426. [50] P. Šeba, The generalized point interaction in one dimension // Czech. J. Phys. B, 36 (1986), 667–673. [51] M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 4: Analysis of Operators. Academic Press, New York 1978. [52] P. Šeba, Some remarks on the δ ′-interaction in one dimension // Rep. Math. Phys. 24 (1986), N 1, 111—120. [53] А. М. Savchuk, А. А. Shkalikov, On the eigenvalues of the Sturm–Liouville operator with potentials from Sobolev spaces // Math. Notes 80 (2006), N 6, 814—884. [54] А. М. Савчук, А. А. Шкаликов, Операторы Штурма–Лиувилля с сингуляр- ными потенциалами // Матем. заметки 66 (1999), N 6, 897-–912. Ю. Д. Головатий, С. С. Манько 207 [55] А. М. Савчук, А. А. Шкаликов, Операторы Штурма–Лиувилля с потенциалами-распределениями // Труды Московского мат. о-ва 64 (2003), 159—212. [56] F. Toyama, Y. Nogami, Transmission-reflection problem with a potential of the form of the derivative of the delta function // J. Phys. A 40 (2007), F685–F690. [57] М. И. Вишик, А. А. Люстерник, Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук 12 (1957), N 5, 3–122. [58] A. V. Zolotaryuk, P. L. Christiansen, S. V. Iermakova, Scattering properties of point dipole interactions //J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006), 9329–9338. [59] A. V. Zolotaryuk, Two-parametric resonant tunneling across the δ ′(x) potential // Adv. Sci. Lett. 1 (2008), 187–191. Вiдомостi про авторiв Юрiй Данилович Головатий, Степан Степанович Манько Львiвський нацiональний унiверситет iменi I. Франка, вул. Унiверситетська 1, Львiв 79000 Україна E-Mail: yu_holovaty@franko.lviv.ua, s_manko@franko.lviv.ua

Точнi моделi для операторiв Шредінґера з δ'-подiбними потенцiалами

Institution

Ähnliche Einträge