Аналог теоремы Биркгофа и полнота систем корневых векторов дифференциального оператора дробного порядка с матричными коэффициентами
Устанавлен аналог теоремы Биркгофа об асимптотике решений матричного дифференциального уравнения дробного порядка n−ε, а также в пространстве L₁([0, 1],Cp) доказана полнота системы собственных и присоединенных функций граничной задачи для дифференциального оператора дробного порядка n − ε с распадаю...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124361 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Аналог теоремы Биркгофа и полнота систем корневых векторов дифференциального оператора дробного порядка с матричными коэффициентами / А.В. Агибалова // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 3. — С. 283-310. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124361 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243612017-09-25T03:02:50Z Аналог теоремы Биркгофа и полнота систем корневых векторов дифференциального оператора дробного порядка с матричными коэффициентами Агибалова, А.В. Устанавлен аналог теоремы Биркгофа об асимптотике решений матричного дифференциального уравнения дробного порядка n−ε, а также в пространстве L₁([0, 1],Cp) доказана полнота системы собственных и присоединенных функций граничной задачи для дифференциального оператора дробного порядка n − ε с распадающимися нормированными краевыми условиями. 2009 Article Аналог теоремы Биркгофа и полнота систем корневых векторов дифференциального оператора дробного порядка с матричными коэффициентами / А.В. Агибалова // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 3. — С. 283-310. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 34L10. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124361 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Устанавлен аналог теоремы Биркгофа об асимптотике решений матричного дифференциального уравнения дробного порядка n−ε, а также в пространстве L₁([0, 1],Cp) доказана полнота системы собственных и присоединенных функций граничной задачи для дифференциального оператора дробного порядка n − ε с распадающимися нормированными краевыми условиями. |
| format |
Article |
| author |
Агибалова, А.В. |
| spellingShingle |
Агибалова, А.В. Аналог теоремы Биркгофа и полнота систем корневых векторов дифференциального оператора дробного порядка с матричными коэффициентами Український математичний вісник |
| author_facet |
Агибалова, А.В. |
| author_sort |
Агибалова, А.В. |
| title |
Аналог теоремы Биркгофа и полнота систем корневых векторов дифференциального оператора дробного порядка с матричными коэффициентами |
| title_short |
Аналог теоремы Биркгофа и полнота систем корневых векторов дифференциального оператора дробного порядка с матричными коэффициентами |
| title_full |
Аналог теоремы Биркгофа и полнота систем корневых векторов дифференциального оператора дробного порядка с матричными коэффициентами |
| title_fullStr |
Аналог теоремы Биркгофа и полнота систем корневых векторов дифференциального оператора дробного порядка с матричными коэффициентами |
| title_full_unstemmed |
Аналог теоремы Биркгофа и полнота систем корневых векторов дифференциального оператора дробного порядка с матричными коэффициентами |
| title_sort |
аналог теоремы биркгофа и полнота систем корневых векторов дифференциального оператора дробного порядка с матричными коэффициентами |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124361 |
| citation_txt |
Аналог теоремы Биркгофа и полнота систем корневых векторов дифференциального оператора дробного порядка с матричными коэффициентами / А.В. Агибалова // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 3. — С. 283-310. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT agibalovaav analogteoremybirkgofaipolnotasistemkornevyhvektorovdifferencialʹnogooperatoradrobnogoporâdkasmatričnymikoéfficientami |
| first_indexed |
2025-07-09T01:19:12Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:19:12Z |
| _version_ |
1837130271679315968 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 6 (2009), № 3, 283 – 310
Аналог теоремы Биркгофа и
полнота систем корневых векторов
дифференциального оператора дробного
порядка с матричными коэффициентами
Анна В. Агибалова
(Представлена М. М. Маламудом)
Аннотация. Устанавлен аналог теоремы Биркгофа об асимпто-
тике решений матричного дифференциального уравнения дробного
порядка n−ε, а также в пространстве L1([0, 1], Cp) доказана полнота
системы собственных и присоединенных функций граничной задачи
для дифференциального оператора дробного порядка n − ε с распа-
дающимися нормированными краевыми условиями.
2000 MSC. 34L10.
Ключевые слова и фразы. Дифференциальный оператор, крае-
вая задача, собственные и присоединенные функции, полнота.
1. Введение
Известно (см. [7]), что система собственных и присоединенных
функций (ССПФ) оператора Штурма–Лиувилля
−y′′ + q(x)y = λy
с разделяющимися граничными условиями
y′(0) − h0y(0) = y′(1) − h1y(1) = 0
полна в пространстве L2[0, 1] при любом комплекснозначном потен-
циале q ∈ L1[0, 1] и любых h0, h1 ∈ C. Подобный результат также
имеет место для произвольных невырожденных граничных условий
(см. [7]).
Статья поступила в редакцию 15.07.2009
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
284 Аналог теоремы Биркгофа...
Для обыкновенных дифференциальных уравнений
y(n) +
n−1∑
k=0
pk(x)y(k) = λy (1.1)
произвольного целого порядка n > 2 исследование вопросов полноты
и базисности ССПФ краевых задач восходит к классическим рабо-
там Биркгофа (см. [15]) и Тамаркина (см. [12]). Ими детально изу-
чены краевые задачи для уравнения (1.1) с регулярными краевыми
условиями (см. [8, §8]).
С другой стороны, задача с разделяющимися краевыми услови-
ями для уравнения (1.1) в L2[0, 1] является регулярной лишь тогда,
когда число краевых условий в нуле равно числу краевых условий
в единице и, в частности, порядок уравнения четен. Для уравнений
(1.1) полнота ССПФ задачи с нерегулярными распадающимися гра-
ничными условиями впервые анонсирована М. В. Келдышем в [3], а
доказана А. А. Шкаликовым (см. [14]) (для случая аналитических
коэффициентов pk(·) — несколько ранее А. П. Хромовым [13]). Во-
просам полноты ССПФ краевых задач для уравнений (1.1) с нере-
гулярными (не обязательно распадающимися) краевыми условиями
посвящены также работы В. С. Рыхлова (см., например, [9] и цити-
руемую там литературу).
В работе автора (см. [1]) результат А. А. Шкаликова был распро-
странен на векторное уравнение вида
y(n) +
n−1∑
k=0
Pk(x)y(k) = λy, y = col(y1, . . . , yp), (1.2)
с матричными коэффициентами Pk(x). Отметим также, что уравне-
нию (1.2) с матричными коэффициентами посвящены работы Лужи-
ной (см. [4, 5]).
Далее, в работе М. М. Маламуда и Л. Л. Оридороги (см. [16])
результат о полноте из [14] был распространен на случай уравнений
дробного порядка α = n − ε вида
lα(D)y := Dn−ε
x y +
n∑
k=2
pn−k(x)Dn−k−ε
x y = λy. (1.3)
Здесь n ∈ Z+, n > 2, 0 ≤ ε < 1 и Dk−ε
x обозначает оператор дробного
дифференцирования
Dk−ε
x y =
dk
dxk
Jεy = y(k−ε)(x), Jεy =
1
Γ(ε)
x∫
0
(x − t)ε−1y(t) dt,
А. В. Агибалова 285
J0 = s − limε↓0 Jε = I, k ∈ Z+.
В настоящей работе результаты М. М. Маламуда и Л. Л. Оридо-
роги [16] обобщены на случай векторного уравнения (1.3) с аналити-
ческими матричными коэффициентами Pk(x).
Именно, для векторного уравнения (1.3) установлен аналог тео-
ремы Биркгофа (см. [8, 15]) об асимптотике решений ( для скаляр-
ного дифференциального уравнения дробного порядка такой аналог
теоремы Биркгофа получен в [16]). Кроме того, доказаны полнота
в пространствах L1([0, 1], Cp) и L2([0, 1], Cp) ССПФ для векторного
уравнения (1.3) с распадающимися нормированными краевыми усло-
виями вида
Uj(y) =
n−1∑
k=0
Ajky
(k−ε)(0) = Ipy
(kj−ε)(0) +
kj−1∑
k=0
Ajky
(k−ε)(0) = 0,
j ∈ {1, . . . , l},
Uj(y) =
n−1∑
k=0
Bjky
(k−ε)(1) = Ipy
(kj−ε)(1) +
kj−1∑
k=0
Bjky
(k−ε)(1) = 0,
j ∈ {l + 1, . . . , n}.
Здесь y = col(y1, . . . , yp), n − 1 > k1 > k2 > · · · > kl > 0, n − 1 >
kl+1 > kl+2 > · · · > kn > 0, Pk(x) — (p × p) матрицы-функции,
Ajk и Bjk ∈ C
p×p, k ∈ {0, . . . , n − 1}, j ∈ {1, . . . , n}, Ip — единичная
матрица порядка p.
2. Асимптотика решений матричного
дифференциального уравнения
дробного порядка
2.1 Рассмотрим сначала простейшее матричное дифференциальное
уравнение
Z(α)(x, λ) = λZ(x, λ) (2.1)
порядка α = n−ε, n ∈ N, 0 ≤ ε < 1. Для него поставим задачу Коши
Dα
xZk(x, λ) = λZk(x, λ), k ∈ {1, 2, . . . , n}, (2.2)
Dα−j
x Zk(0, λ) = δjkIp, j, k ∈ {1, 2, . . . , n}, (2.3)
где δjk — символ Кронекера. Решения этой задачи имеют вид
286 Аналог теоремы Биркгофа...
Zk(x, λ) = xα−kE1/α(λxα; α − k + 1)Ip, (2.4)
где
Eρ(z; µ) =
∞∑
j=0
zj
Γ(µ + jρ−1)
, ρ > 0, µ ∈ C,
функция типа Миттаг–Леффлера. Известно (см. [2, 10]), что
Eρ(z; µ) — целая функция порядка ρ и типа 1.
Пусть
n1 := [(1 − n + ε)/2], n2 := [(n − ε)/2]
и
ωj = exp(2πij/α), j ∈ {n1, n1 + 1, . . . , n2},
β = 2π min
{{n − ε
4
}
, 1 −
{n − ε
4
}}
,
где {x} обозначает дробную часть x ∈ R.
В комплексной плоскости рассмотрим следующие секторы:
S̃−
β = {λ ∈ C : −π < arg λ < −β};
S−
β = {λ ∈ C : −β < arg λ < 0};
S+
β = {λ ∈ C : 0 < arg λ < β};
S̃+
β = {λ ∈ C : β < arg λ < π}.
(2.5)
В каждом из этих секторов занумеруем числа {ωj}
n2
n1
, так чтобы
ℜ(ωj1λ
1/α) > ℜ(ωj2λ
1/α) > · · · > ℜ(ωjqλ
1/α) > 0
> ℜ(ωjq+1λ
1/α) > · · · > ℜ(ωjnλ1/α). (2.6)
Здесь λ1/α — ветвь многозначной в λ ∈ C \ R функции, выделяемой
начальным условием 11/α := 1.
Лемма 2.1. Пусть n ≥ 3, m = [n/2] и ε ∈ [0, 1). Тогда уравне-
ние (2.1) имеет фундаментальную систему матричных решений
{Ej(x; λ)}n
1 , голоморфную по λ ∈ C \ R и удовлетворяющую асим-
птотике
Ejs(x; λ) = exp(ωjsxλ
1
n−ε )Ip + O(x−1|λ|−
1
n−ε )Ip, s ≤ q,
Ejs(x; λ) = O(min{x−ε|λ|−
ε
n−ε , x−1|λ|−
1
n−ε })Ip, s > q,
(2.7)
А. В. Агибалова 287
и
Dν−ε
x (Ejs(x; λ)) = ων−ε
js
λ
ν−ε
α exp(ωjsxλ
1
α )Ip + O(x−ν−n+ε|λ|−
1
α )Ip,
s ≤ q,
Dν−ε
x (Ejs(x; λ)) = O(min{|λ|
ν−ε
α , x−ν−n+ε|λ|−
1
α })Ip, s > q.
(2.8)
Доказательство. i) Решения Ek(x, λ) уравнения (2.1) определим как
решения системы матричных уравнений
xα−kE1/α(λxα; α − k + 1)Ip =
1
α
λ
k−α
α
m∑
j=−m
ωk
j Ej+m+1(x, λ)
k ∈ {1, . . . , n}, (2.9)
при n = 2m + 1 и
xα−kE1/α(λxα; α − k + 1)Ip =
1
α
λ
k−α
α
m−1∑
j=−m
ωk
j Ej+m+1(x, λ)
k ∈ {1, . . . , n} (2.10)
при n = 2m.
С учетом равенства m = [n
2 ] и равенства (2.5), системы (2.8) и
(2.9) можно переписать в виде
n2∑
j=n1
ωn
j Ej+m+1(x, λ) = (n − ε)λ
−ε
n−ε Zn(x; λ),
n2∑
j=n1
ωn−1
j Ej+m+1(x, λ) = (n − ε)λ
1−ε
n−ε Zn−1(x; λ),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n2∑
j=n1
ωjEj+m+1(x, λ) = (n − ε)λ
n−1−ε
n−ε Z1(x; λ).
(2.11)
Обозначим через Ω0 блочную матрицу из коэффициентов системы
(2.10):
Ω0 :=
ωn
n1
Ip ωn
n1+1Ip . . . ωn
n2
Ip
ωn−1
n1
Ip ωn−1
n1+1Ip . . . ωn−1
n2
Ip
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ω1
n1
Ip ω1
n1+1Ip . . . ω1
n2
Ip
, (2.12)
а через Ω−1
0 =: (akjIp)
n
k,j=1 матрицу, обратную к ней. Тогда решение
288 Аналог теоремы Биркгофа...
системы (2.10) будет иметь вид
En1+m+1(x; λ)
En1+1+m+1(x; λ)
...
En2+m+1(x; λ)
=
n∑
j=1
(n − ε)a1jλ
j−1−ε
n−ε Zn−j+1(x; λ)
n∑
j=1
(n − ε)a2jλ
j−1−ε
n−ε Zn−j+1(x; λ)
...
n∑
j=1
(n − ε)anjλ
j−1−ε
n−ε Zn−j+1(x; λ)
. (2.13)
Поскольку n1 = −m, то решения {Ej+m+1(x; λ)}n2
j=n1
можно предста-
вить равенствами
Ek(x; λ) =
n∑
j=1
(n − ε)akjλ
j−1−ε
n−ε Zn−j+1(x; λ), k ∈ {1, . . . , n}. (2.14)
Покажем, что полученная система решений обладает желаемыми
свойствами (2.6)–(2.7). Система {Ej(x; λ)}n
j=1 является фундамен-
тальной системой решений уравнения (2.1) при λ ∈ C\R−, поскольку
такова система {(n − ε)λ
k−ε
n−ε Zn−k(x; λ)}n−1
k=0 и detΩ0 6= 0.
ii) Для доказательства соотношений (2.6) и (2.7) достаточно по-
лучить асимптотическое поведение решений (n − ε)λ
k−ε
n−ε Zj(x; λ), j ∈
{1, . . . , n}, уравнения (2.1).
Известно (см. [2] и [10]), что функция Eρ(z; µ) допускает представ-
ление
Eρ(z; µ) = ρ
∑
| arg z+2πj|6 π
2ρ
(ωjz
ρ)1−µ exp(ωjz
ρ)
−
p∑
k=1
z−k
Γ(µ − kρ−1)
+ O(|z|−1−p), z → ∞. (2.15)
Здесь первая сумма берется по значениям j ∈ Z, для которых
|(arg z + 2πj)/α| ≤
π
2
.
Поскольку
(ωjz
ρ)1−µ exp(ωjz
ρ) = O(|z|−1) при ℜ(ωjz
ρ) < 0,
то равенство (2.15) можно переписать в виде
Eρ(z; µ) = ρ
n2∑
j=n1
(ωjz
ρ)1−µ exp(ωjz
ρ) + O(|z|−1), (2.16)
А. В. Агибалова 289
где предполагается, что zρ лежит в угле {z ∈ C : | arg zρ| < πρ}.
Подставляя (2.16) в (2.5) и учитывая, что ωn−ε
j = 1, имеем
Zn−k(x; λ) =
λ− k−ε
n−ε
n − ε
n2∑
j=n1
ωn−k
j exp(ωjxλ
1
n−ε )Ip + O(xk−n|λ|−1)Ip.
(2.17)
Поскольку {Zk(x; λ)}n
1 — решения задачи Коши (2.3)–(2.4), то при
x → 0 они ограничены. Отсюда можно заключить, что
(n − ε)λ
k−ε
n−ε Zn−k(x; λ)
=
n2∑
j=n1
ωn−k
j exp(ωjxλ
1
n−ε )Ip + O(min{1, xk−n|λ|−
n−k
n−ε })Ip,
k ∈ {1, . . . , n − 1} (2.18)
и
(n − ε)λ− ε
n−ε Zn(x; λ) =
n2∑
j=n1
ωn
j exp(ωjxλ
1
n−ε )Ip
+ O(min{x−ε|λ|−
ε
n−ε , x−n|λ|−
n
n−ε })Ip. (2.19)
Кроме того, из соотношений (см. [2])
Dν−ε
x Zn−k(x; λ) = xk−νE 1
n−ε
(xn−ελ; k + 1 − ν)Ip (2.20)
следуют оценки
Dν−ε
x Zn−k(x; λ) =
λ− k−ν
n−ε
n − ε
n2∑
j=n1
ων−k
j exp(ωjxλ
1
n−ε )Ip
+ O(min{|λ|−
k−ν
n−ε Ip, xk−ν−n+ε|λ|−1})Ip, ν ∈ {0, 1, . . . n − 1}.
(2.21)
Здесь использовано, что Γ(k − ν + 1) = ∞ при ν > k.
Из равенств (2.21) следует, что
Dν−ε
x ((n − ε)λ
k−ε
n−ε Zn−k)(x; λ) = λ
ν−ε
n−ε
n2∑
j=n1
ων−k
j exp(ωjxλ
1
n−ε )Ip
+ O(min{|λ|−
ν−ε
n−ε Ip, xk−ν−n+ε|λ|−
n−k
n−ε })Ip, ν ∈ {0, 1, . . . n − 1}.
(2.22)
290 Аналог теоремы Биркгофа...
Подставляя (2.18) и (2.19) в (2.11) и учитывая, что al,k+1 — эле-
менты обратной к Ω матрице, приходим к оценкам
Ej(x; λ) = exp(ωjxλ
1
n−ε )Ip + O(min{x−ε|λ|−
ε
n−ε , x−1|λ|−
1
n−ε })Ip,
j ∈ {1, . . . , n}. (2.23)
А из (2.22) и (2.11) получаем, что
Dν−ε
x (Ej(x; λ)) = λ
ν−ε
n−ε exp(ωjxλ
1
n−ε )Ip
+ O(min{|λ|
ν−ε
n−ε , x−ν−n+ε|λ|−
1
n−ε })Ip. (2.24)
Требуемые соотношения (2.6) и (2.7) теперь следуют из равенств
(2.23) и (2.24).
2.2 В этом пункте представлен аналог теоремы Биркгофа об асим-
птотике решений уравнения (1.1) (см. [15], a также [8]). Для этого
понадобится обобщение леммы о системе интегральных уравнений
(см. [8]).
Лемма 2.2. Пусть S — неограниченная область в C. Рассмотрим
систему матричных интегральных уравнений вида
Zk(x; λ) = Fk(x; λ) +
r∑
j=1
1∫
0
Akj(x, ξ; λ)Zk(ξ; λ) dξ, k ∈ {1, 2, . . . , r}.
(2.25)
Предположим, что выполнены следующие условия
1) матрицы-функции Fk(x, λ) непрерывны по x, x ∈ [a, b], для всех
k ∈ {1, 2, . . . , r} и λ ∈ S;
2) при любом λ блочно-матричная функция (Aij(x, ξ; λ))r
i,j=1 не-
прерывна в интервалах a ≤ x < ξ и ξ < x ≤ b;
3) при любых (x, ξ) ∈ [a, b] × [a, b] блочно-матричная функция
(Aij(x, ξ; λ))r
i,j=1 аналитична по λ ∈ S;
4) равномерно по (x, ξ) ∈ (a, b) × (a, b) при λ → ∞ (λ ∈ S) выпол-
няются оценки
Akj(x, ξ; λ) = O(|λ|−ρ), k, j ∈ {1, 2, . . . , r},
где O(|λ|−ρ) обозначает матрицу с элементами вида O(|λ|−ρ).
А. В. Агибалова 291
Тогда существует R0, такое что система (2.25) имеет единствен-
ное решение {Zk(x; λ)}r
1 при λ ∈ SR0 := {λ ∈ S : |λ| > R0}, функции
Zk(x; λ) аналитические по λ и при любом k ∈ {1, 2, . . . , r} имеют
следующую асимптотику
Zk(x; λ) = Fk(x; λ)[1 + O(|λ|−ρ)], λ → ∞.
Следующая теорема распространяет известную теорему Биркго-
фа (см. [15], a также [8]) на случай матричного дифференциального
уравнения дробного порядка
lα(D)Y = Dn−ε
x Y +
n∑
k=2
Pn−k(x)Dn−k−ε
x Y. (2.26)
Теорема 2.1. Пусть Pj(x) ∈ C[0, 1] × C
p×p, j ∈ {2, . . . , n}, и пусть
S — один из секторов S+
β , S−
β , S̃+
β или S̃−
β . Тогда существует фун-
даментальная система матричных решений {Yk(x, λ)}n
1 уравнения
(2.26), голоморфная по λ ∈ Sβ(R0) := {λ ∈ S : |λ| > R0} и при доста-
точно большом R0 допускающая асимптотическое представление
Yk(x; λ) = (Ip + O(|λ|−
1
α ))Ek(x; λ), k ∈ {1, . . . , n}, (2.27)
Dν−ε
x (Yk(x; λ)) = (Ip + O(|λ|−
1
α ))Dν−ε
x Ek(x; λ), ν ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
(2.28)
Доказательство. Обозначим
m(Y ) :=
n−2∑
ν=0
Pν(x)Dν−ε
x Y (x).
Тогда уравнение (2.26) можно переписать в виде
Dn−ε
x Y − λY = m(Y ).
Согласно лемме 2.1, {Ej(x, λ)}n
1 — фундаментальная система решений
соответствующего однородного уравнения Dn−ε
x Y −λY = 0p, где 0p —
нулевая (p × p)-матрица. Применяя метод вариации произвольных
постоянных, перепишем уравнение (2.26) в эквивалентной форме
Y (x; λ) =
n2∑
j=n1
Ej(x; λ)Cj(λ) +
1∫
0
K(x, ξ; λ)mξ(Y ) dξ, (2.29)
где
K(x, ξ; λ) =
{
0p, x ≤ ξ,
Z1(x − ξ; λ), x > ξ,
(2.30)
292 Аналог теоремы Биркгофа...
a mξ(Y ) обозначает значение m(Y ) в точке ξ.
Очевидно, что для произвольной непрерывной матрицы-функции
Φ(ξ; λ)
1∫
0
(Φ(ξ; λ)Ej(x; λ))mξ(Y ) dξ =
( 1∫
0
ϕ(ξ; λ)mξ(Y ) dξ
)
Ej(x; λ).
Следовательно, для произвольного вырожденного ядра K̃(x, ξ; λ) ви-
да
K̃(x, ξ; λ) =
n2∑
j=n1
Φj(ξ; λ)Ej(x; λ)
любое решение интегрального уравнения
Y (x; λ) =
n2∑
j=n1
Ej(x; λ)Cj(λ) +
1∫
0
(K̃(x, ξ; λ) + K(x, ξ; λ))mξ(Y ) dξ
является решением уравнения (2.29) и, следовательно, уравнения
(2.26).
ii) Пусть вначале s ≤ q.
Рассмотрим вырожденные ядра
K̃s(x, ξ; λ) := −
λ−α−1
α
α
s−1∑
r=1
ωjr exp(−ωjrξλ
1
α )Ejr(x; λ), s ≤ q,
(2.31)
и положим
Ks(x, ξ; λ) := K(x, ξ; λ) + K̃s(x, ξ; λ), s ≤ q. (2.32)
Покажем, что при каждом s ≤ q и достаточно большом λ уравнение
Ys(x; λ) = Es(x; λ) +
1∫
0
Ks(x, ξ; λ)mξ(Ys) dξ, s ≤ q, (2.33)
имеет единственное решение, обладающее нужными свойствами
(2.27), (2.28).
Применяя к уравнению (2.33) операторы Dν−ε
x , ν ∈ {0, . . . , n− 1},
получаем, что любое его решение удовлетворяет системе матричных
А. В. Агибалова 293
интегро-дифференциальных уравнений
D0−ε
x Ys(x; λ) = D0−ε
x Es(x; λ) +
∫ 1
0 (D0−ε
x Ks(x, ξ; λ))mξ(Ys) dξ,
D1−ε
x Ys(x; λ) = D1−ε
x Es(x; λ) +
∫ 1
0 (D1−ε
x Ks(x, ξ; λ))mξ(Ys) dξ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dn−1−ε
x Ys(x; λ)
= Dn−1−ε
x Es(x; λ) +
1∫
0
(Dn−1−ε
x Ks(x, ξ; λ))mξ(Ys) dξ.
(2.34)
Комбинируя равенства (2.7) и (2.21) (при k = n− 1), из (2.30), (2.31)
и (2.32) заключаем, что при ν ∈ {0, 1, . . . , n − 1}
Dν−ε
x Ks(x, ξ; λ)
=
∑
r≥s
(
λ−n−1−ν
n−ε
n − ε
ω
ν−(n−1)
jr
exp(ωjr(x − ξ)λ
1
n−ε )
)
Ip+
+ O
(
|λ|−
n−1−ν
n−ε
)
Ip при x > ξ;
Dν−ε
x Ks(x, ξ; λ)
=
∑
r<s
(
−
λ−n−1−ν
n−ε
n − ε
ω
ν−(n−1)
jr
exp(ωjr(x − ξ)λ
1
n−ε )
)
Ip+
+ exp(−ωjs−1ξλ
− 1
n−ε )O
(
|λ|−
n−1−ν
n−ε
)
Ip при x < ξ.
(2.35)
Пусть
Zs,ν(x; λ) := λ− ν−ε
n−ε exp(−ωjsxλ
1
n−ε )Dν−ε
x Ys(x; λ),
s ∈ {1, . . . , q}, ν ∈ {0, . . . , n − 1}. (2.36)
Тогда систему (2.34) можно переписать в виде
λ
ν−ε
n−ε exp(ωjsxλ
1
n−ε )Zs,ν(x; λ)
= Dν−ε
x Es(x; λ) +
n−2∑
η=0
1∫
0
(Dν−ε
x Ks(x, ξ; λ))Pη(ξ)
(
Y (η−ε)
s (ξ; λ)
)
dξ
= Dν−ε
x Es(x; λ) +
n−2∑
η=0
1∫
0
(Dν−ε
x Ks(x, ξ; λ))Pη(ξ)λ
η−ε
n−ε
× exp(ωjsξλ
1
n−ε )Zs,η(ξ; λ) dξ,
s ∈ {1, . . . , q}, ν ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. (2.37)
294 Аналог теоремы Биркгофа...
Пусть
Ls;ν(x, ξ; λ) := exp(ωjs(ξ − x)λ
1
n−ε )Dν−ε
x Ks(x, ξ; λ). (2.38)
Тогда система (2.37) примет вид
Zs;ν(x; λ) = λ− ν−ε
n−ε exp(−ωjsxλ
1
n−ε )Dν−ε
x Ejs(x; λ)
+
n−2∑
η=0
( 1∫
0
Pη(x)Ls;ν(x, ξ; λ)λ
η−ν
n−ε Zs;η(ξ; λ) dξ
)
,
s ∈ {1, . . . , q}, ν ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. (2.39)
Из (2.35) следует, что
Ls;ν(x, ξ; λ) = O
(
λ−n−1−ν
n−ε
)
Ip.
Так как коэффициенты Pj(x) — ограниченные матрицы-функции, то
матрицы-функции
L̃s;η,ν(x, ξ; λ) := λ
n−1−ν
n−ε Pη(ξ)Ls;ν(x, ξ; λ) (2.40)
также являются ограниченными, т.е. для их элементов выполняются
неравенства
|(L̃s;η,ν(x, ξ; λ))kj | ≤ Bkj ,
k, j ∈ {1, . . . , p}, ν ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, s ∈ {1, . . . , q}, (2.41)
с некоторыми константами Bkj , не зависящими от x, ξ и λ.
Значит, систему (2.39) можно переписать в виде
Zs;ν(x; λ) = λ− ν−ε
n−ε exp(−ωjsxλ
1
n−ε )Dν−ε
x Ejs(x; λ)
+
n−2∑
η=0
(
λ−n−1−η
n−ε
1∫
0
L̃s;η,ν(x, ξ; λ)Zs;η(ξ; λ) dξ
)
,
s ∈ {1, . . . , q}, ν ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. (2.42)
Пусть теперь
As;η,ν(x, ξ; λ) := λ−n−1−η
n−ε L̃s;η,ν(x, ξ; λ)
Fs,ν(x, λ) := λ− ν−ε
n−ε exp(−ωjsxλ
1
n−ε )Dν−ε
x Ejs(x; λ).
(2.43)
А. В. Агибалова 295
Тогда система (2.42) перепишется в виде
Zs;ν(x; λ) = Fs;ν(x; λ) +
n−2∑
η=0
1∫
0
As;η,ν(x, ξ; λ)Zs;η(ξ; λ) dξ,
s ∈ {1, . . . , q}, ν ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. (2.44)
При каждом фиксированном s ≤ q получили систему матричных
интегральных уравнений вида (2.25). Проверим условия леммы 2.2.
Если S = Sβ , то очевидно, что условия 1) и 3) выполнены. Условие
2) обеспечивается равенствами (2.35) и определениями (2.38), (2.40)
и (2.43). Наконец, так как n − 1 − η ≥ 1, то из (2.43) следует, что
As;η,ν(x, ξ; λ) = O
(
λ−n−1−η
n−ε
)
= O
(
λ− 1
n−ε
)
. (2.45)
Следовательно, по лемме 2.2 система (2.44) имеет единственное реше-
ние {Zs;ν}
n−1
ν=0 , голоморфное по λ ∈ S и допускающее асимптотическое
разложение вида
Zs;ν(x; λ) = λ− ν−ε
n−ε exp(−ωjsxλ
1
n−ε )Dν−ε
x Ejs(x; λ)
(
Ip + O
(
λ− 1
n−ε
))
= λ− ν−ε
n−ε exp(−ωjsxλ
1
n−ε )Dν−ε
x Ejs(x; λ) + O
(
λ− 1
n−ε
)
,
λ ∈ S, s ∈ {1, . . . , q}, ν ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. (2.46)
Из (2.36) следует, что {Dν−ε
x Ys(x; λ)}n−1
ν=0 – единственное решение
системы (2.34) при λ ∈ S(R0). Кроме того, система {Dν−ε
x Ys(x; λ)}n−1
ν=0
удовлетворяет следующим соотношениям
Dν−ε
x Ys(x; λ) = Dν−ε
x Ejs(x; λ) + O
(
|λ|
ν−1−ε
n−ε exp(ωjsxλ
1
n−ε )
)
,
s ∈ {1, . . . .q}, ν ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. (2.47)
C учетом (2.7) имеем
Dν−ε
x Ys(x; λ) = Dν−ε
x Ejs(x; λ)
(
Ip + O
(
|λ|−
1
n−ε
))
,
s ∈ {1, . . . .q}, ν ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
Докажем равенство (2.27). Поскольку коэффициенты Pν(s) —
ограниченные матрицы-функции, легко видеть, что для элементов
(mξ(Ys))ij матрицы |mξ(Ys)| выполнены неравенства
|(mξ(Ys))ij | ≤ cij
n−2∑
ν=0
|(Dν−ε
x Ys(ξ; λ))ij | = O
(
|λ|
n−2−ε
n−ε
)
exp(−ωjsξλ
1
n−ε ).
(2.48)
296 Аналог теоремы Биркгофа...
Далее, комбинируя оценку (2.6) для Ejs(x; λ) с оценкой (2.17) для
Z1(x; λ), из (2.31) и (2.32) получаем
Ks(x, ξ; λ) = λ
n−2−ε
n−ε O
(
exp(−ωjs(x − ξ)λ
1
n−ε )
)
Ip
+ exp(−ωjs−1ξλ
1
n−ε )O
(
x−ε|λ|−
n−1
n−ε
)
Ip. (2.49)
Из соотношений (2.48) и (2.49) следует, что
Ks(x, ξ; λ)mξ(Ys) = O
(
|λ|−
1
n−ε exp(−ωjsxλ
1
n−ε )
)
+ O
(
x−ε|λ|−
1+ε
n−ε
)
.
(2.50)
Комбинируя (2.33), (2.50) и (2.6), получаем требуемые оценки
Ys(x; λ) = exp(ωjsxλ
1
n−ε )
(
Ip + O
(
|λ|−
1
n−ε
))
+O
(
x−ε|λ|−
ε
n−ε
)
s > q.
(2.51)
Таким образом, при s ≤ q система {Ys(x; λ)}q
1 решений уравнения
(2.26) удовлетворяет оценкам (2.27) и (2.28).
iii) Рассмотрим убывающие решения, т. е. случай s > q.
Положим (сравн. c (2.35))
K̃s(x, ξ; λ) := −
λ−n−1−ε
n−ε
n − ε
q∑
r=1
ωjr exp(−ωjrξλ
1
n−ε )Ejr(x; λ) (2.52)
и
Ks(x, ξ; λ) := K(x, ξ; λ) + K̃s(x, ξ; λ), (2.53)
где K(x, ξ; λ) определяется (2.30).
Комбинируя соотношение (2.7) с (2.21) (при k = n− 1) и с учетом
обозначений (2.30), (2.52) и (2.53), приходим к следующим оценкам
Dν−ε
x Ks(x, ξ; λ)
=
∑
r>q
(
λ−n−1−ν
n−ε
n − ε
ω
ν−(n−1)
jr
exp(ωjr(x − ξ)λ
1
n−ε )
)
Ip
+ O
(
|λ|−
n−1−ν
n−ε
)
Ip = O
(
|λ|−
n−1−ν
n−ε
)
Ip, при x > ξ,
Dν−ε
x Ks(x, ξ; λ)
=
∑
r≤q
(
−
λ−n−1−ν
n−ε
n − ε
ω
ν−(n−1)
jr
exp(ωjr(x − ξ)λ
1
n−ε )
)
Ip
+ ωjaξλ
− 1
n−ε O
(
|λ|−
n−1−ν
n−ε
)
Ip = O
(
|λ|−
n−1−ν
n−ε
)
Ip, при x < ξ,
А. В. Агибалова 297
где ν ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Таким образом,
Dν−ε
x Ks(x, ξ; λ) = O
(
|λ|−
n−1−ν
n−ε
)
Ip при x 6= ξ, s ∈ {q + 1, . . . , n}.
(2.54)
Как и в предыдущем случае, уравнение (2.33) эквивалентно системе
(2.34). Положим
Zs,ν(x; λ) = λ− ν−ε
n−ε Dν−ε
x Ys(x; λ). (2.55)
Тогда система (2.34) примет вид
λ
ν−ε
n−ε Zs;ν(x; λ) = Dν−ε
x Ejs(x; λ)
+
n−2∑
η=0
1∫
0
(Dν−ε
x Ks(x, ξ; λ))Pη(ξ)λ
η−ε
n−ε Zs;η(ξ; λ) dξ,
ν ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. (2.56)
Положим
L̃s;η,ν(x, ξ; λ) := λ
n−1−ν
n−ε Pη(ξ)D
ν−ε
x Ks(x, ξ; λ).
Тогда систему (2.56) можно переписать в виде
Zs;ν(x; λ) = λ− ν−ε
n−ε Dν−ε
x Ejs(x; λ)
+
n−2∑
η=0
(
λ−n−1−η
n−ε
1∫
0
L̃s;η,ν(x, ξ; λ)Zs;η(ξ; λ) dξ
)
,
s ∈ {1, . . . , n}, ν ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. (2.57)
Так как Pν(x) — ограниченные матрицы-функции при всех ν ∈ {0,
1, . . . , n − 2}, из равенств (2.54) следует, что функции L̃s;η,ν(x, ξ; λ)
равномерно ограничены, т. е. выполняется неравенство (2.41) для не-
которой постоянной C > 0. Используя это, очевидное неравенство
η ≤ n − 2, и повторяя рассуждения предыдущего этапа, приходим к
выводу, что система (2.57) удовлетворяет условиям леммы 2.1.
Следовательно,
Zs;ν(x; λ) = λ− ν−ε
n−ε Dν−ε
x Ejs(x; λ) + O
(
λ− 1
n−ε
)
. (2.58)
Из (2.58) и (2.55) следует, что
Dν−ε
x Ys(x; λ) = Dν−ε
x Ejs(x; λ) + O
(
|λ|
ν−1−ε
n−ε
)
. (2.59)
298 Аналог теоремы Биркгофа...
Комбинируя (2.7) и (2.59), имеем
Dν−ε
x Ys(x; λ) = O
(
|λ|
ν−ε
n−ε
)
. (2.60)
Оценки (2.28) также следуют из (2.7) и (2.59).
Из формулы (2.60) с очевидностью вытекает
mξ(Ys(x; λ)) = O
(
|λ|
n−2−ε
n−ε
)
. (2.61)
Доказательство оценок (2.27) (основанное на (2.61) и (2.54)) анало-
гично доказательству на предыдущем шаге.
iv) Покажем, что система {Yj(x, λ)}n
1 образует фундаментальную
систему решений уравнения (2.26).
Пусть K̃s(x, ξ; λ) — ядро вида (2.31) или (2.52). Тогда для каждого
s ∈ {1, . . . , n} оно допускает представление
K̃s(x, ξ; λ) =
s−1∑
r=1
ϕsr(ξ; λ)Ejr(x; λ),
где
ϕsr(ξ; λ) =
{
−α−1λ−α−1
α ωjr exp(ωjrξλ
1
α ), r ≤ q,
0, r > q.
Значит, для каждого s ∈ {1, . . . , n} уравнение (2.33) можно перепи-
сать в виде
Ys(x; λ) = Es(x; λ) +
1∫
0
( s−1∑
r=1
ϕsr(ξ; λ)Ejr(x; λ) + K(x, ξ; λ)
)
mξ(Ys) dξ
= Es(x; λ) +
s−1∑
r=1
Csr(λ)Ejr(x; λ) +
1∫
0
K(x, ξ; λ)mξ(Ys) dξ, (2.62)
где
Csr(λ) =
1∫
0
Φsr(ξ; λ)mξ(Ys) dξ.
Вместе с равенствами (2.62) рассмотрим матричные уравнения
Ỹs(x; λ) = Es(x; λ) +
1∫
0
Ks(x, ξ; λ)mξ(Ỹs) dξ, s ∈ {1, 2, . . . , n}.
(2.63)
А. В. Агибалова 299
Согласно лемме 2.1, функции {Es(x, λ)}n
1 образуют фундаменталь-
ную систему решений простейшего уравнения (2.1) и, следовательно,
линейно независимы. Из (2.63) следует, что функции Ỹs(x, λ) также
линейно независимы. Таким образом, система {Ỹs(x, λ)}n
1 – фунда-
ментальная система решений уравнения (2.26).
Из (2.62) и (2.63) следует, что функция Vs(x; λ) := Ỹs(x; λ) +∑s−1
r=1 Csr(λ)Ỹr(x; λ) удовлетворяет уравнению (2.62). Поскольку
уравнение (2.62) имеет единственное решение при любом выбранном
наборе {Csr(λ)}s−1
r=1, то Ys = Vs при каждом s ∈ {1, . . . , n}, т. е.
Ys(x; λ) = Ỹs(x; λ) +
s−1∑
r=1
Csr(λ)Ỹr(x; λ), s ∈ {1, . . . , n}. (2.64)
Систему (2.64) можно представить в блочно-матричном виде
Y1
Y2
. . .
Yn
=
Ip 0 . . . 0 0
C21 Ip . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cn1 Cn2 . . . Cn,n−1 Ip
Ỹ1
Ỹ2
. . .
Ỹn
с невырожденной блочной нижнетреугольной матрицей T :=
(Ckj)
n
k,j=1 (где Ckj = 0p при j > k).
Следовательно, {Yj(x; λ)}n
1 — фундаментальная система решений
уравнения (2.26) в Sβ(R0), поскольку таковой является {Ỹj(x; λ)}n
1 .
Это завершает доказательство теоремы.
3. Полнота корневых подпространств
В пространстве L2([0, 1], Cp) рассмотрим уравнение
lα(D)y := Dn−ε
x y +
n∑
k=2
Pn−k(x)Dn−k−ε
x y = λy (3.1)
с распадающимися нормированными граничными условиями
Uj(y) =
n−1∑
k=0
Ajky
(k−ε)(0) = Ipy
(kj−ε)(0) +
kj−1∑
k=0
Ajky
(k−ε)(0) =
−→
0 ,
j ∈ {1, . . . , l}, (3.2)
Uj(y) =
n−1∑
k=0
Bjky
(k−ε)(1) = Ipy
(kj−ε)(1) +
kj−1∑
k=0
Bjky
(k−ε)(1) =
−→
0 ,
j ∈ {l + 1, . . . , n}. (3.3)
300 Аналог теоремы Биркгофа...
Здесь
−→
0 — нулевой вектор-столбец высоты p, y = col(y1, . . . , yp), n−
1 > k1 > k2 > · · · > kl > 0, n−1 > kl+1 > kl+2 > · · · > kn > 0, Pk(x) —
(p × p) матрицы-функции, Ajk и Bjk ∈ C
p×p, k ∈ {0, . . . , n − 1}, j ∈
{1, . . . , n}.
Обозначим через L оператор, порожденный дифференциальным
выражением lα(D) и граничными условиями (3.2)–(3.3).
Определение 3.1. Пусть λ0− собственное значение оператора L
и Z0− соответствующий собственный вектор (т.е. (L − λ0)Z0 =
0). Говорят, что система функций {Zj(x, λ)}k
j=1 образует цепочку
собственной Z0(x, λ) и присоединенных функций, соответствующих
собственному значению λ0, если
a)
[ r∑
j=0
1
j!
Dj
λl(D)(Zr−j(x, λ))
]∣∣∣∣
λ=λ0
= 0, r ∈ {1, . . . , k},
b) каждая функция Zj(x, λ), j ∈ {1, . . . , k}, удовлетворяет грани-
чным условиям (3.2)–(3.3).
Наряду с (3.1) рассмотрим уравнение
Dn−ε
x Y +
n∑
k=2
Pn−k(x)Dn−k−ε
x Y = λY (3.4)
относительно неизвестной матрицы-функции Y (x). При этом матри-
цы-функции Pn−k(x) предполагаются такими же, как и выше. Если
Y1, . . . , Yn — фундаментальная система решений уравнения (3.4), то
всякое решение уравнения (3.1) имеет вид
y = Y1c1 + · · · + Yncn,
где cj — произвольные постоянные векторы из C
p, j ∈ {1, . . . n}.
Определение 3.2. Корневым подпространством оператора L, со-
ответствующим собственному значению λ0, называется совоку-
пность собственных и присоединенных функций оператора L, соо-
тветствующих собственному значению λ0.
Лемма 3.1. Пусть {Φj(x, λ)}n
1 — фундаментальная система p× p-
матричных решений уравнения (3.4), удовлетворяющая начальным
условиям
Dν−1−ε
x Φj(0, λ) = δνjIp, j, ν ∈ {1, . . . , n}. (3.5)
В этом случае множество собственных значений σ(L) оператора L
совпадает с множеством {λm}∞1 нулей целой функции
А. В. Агибалова 301
∆(λ) = ∆(λ; Φ)
= det
U1(Φ1(x, λ)) U1(Φ2(x, λ)) . . . U1(Φn(x, λ))
U2(Φ1(x, λ)) U2(Φ2(x, λ)) . . . U2(Φn(x, λ))
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un(Φ1(x, λ)) Un(Φ2(x, λ)) . . . Un(Φn(x, λ))
. (3.6)
Кроме того, размерность корневого подпространства, соответст-
вующего λ0 ∈ σ(L), равна кратности корня λ0 как нуля целой функ-
ции ∆(λ).
Эта лемма доказывается так же, как для дифференциальных
уравнений целого порядка. Как и в случае α = n ∈ N, целую функцию
∆(λ) вида (3.4) будем называть характеристическим определителем
задачи (3.1)–(3.3).
Лемма 3.2. Пусть σ(L) = {λm}∞1 — множество нулей целой фун-
кции ∆(λ) и пусть νm — кратность нуля λm. Обозначим через
∆j(x, λ; Φ), j ∈ {1, . . . , pn}, определитель, полученный заменой j-ой
строки характеристического определителя ∆(λ; Φ) столбцами ма-
триц Φk, k ∈ {1, . . . , n}. Тогда для каждого j ∈ {1, . . . , pn} система
функций
∆j(x, λm; Φ), Dλ∆j(x, λ; Φ)|λ=λm
, . . . ,
1
(νm − 1)!
Dνm−1
λ ∆j(x, λ; Φ)|λ=λm
образует ССПФ, соответствующую λm ∈ σ(L).
Лемма 3.3. Пусть α := n − ε, Ω0 — матрица, определенная (2.12).
Пусть S — один из секторов (2.5) и ωj упорядочены как и в (2.6)
Тогда определители
∆ω(ε) = det
ω
κp+1
m1 Ip ω
κp+1
m2 Ip . . . ω
κp+1
mn−pIp
ω
κp+2
m1 Ip ω
κp+2
m2 Ip . . . ω
κp+2
mn−pIp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ωκn
m1
Ip ωκn
m2
Ip . . . ωκn
mn−p
Ip
,
∆a(ε) = det
an−p+1,κ1Ip an−p+2,κ1Ip . . . an,κ1Ip
an−p+1,κ2Ip an−p+2,κ2Ip . . . an,κ2Ip
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an−p+1,κpIp an−p+2,κpIp . . . an,κpIp
(3.7)
отличны от нуля при ε ∈ [0, 1).
Доказательства лемм 3.2 и 3.3 аналогичны доказательствам в [16].
Следующая теорема является основным результатом работы.
302 Аналог теоремы Биркгофа...
Теорема 3.1. Пусть Pj(x), j ∈ {2, . . . , n} — аналитические матри-
цы-функции, x ∈ R, и 2l ≥ n. Тогда система собственных и присо-
единенных функций граничной задачи (3.1), (3.2), (3.3) полна в про-
странстве L1([0, 1], Cp).
Доказательство. i) На этом шаге установим связь между характе-
ристическими определителями, построенными по фундаментальным
системам {Φj(x, λ)}n
1 и {Yk(x, λ)}n
1 , определенным соответственно в
лемме 3.1 и теореме 2.1.
По теореме 2.1 функции {Yk(x, λ)}n
1 образуют фундаментальную
систему решений уравнения (3.1) в секторе Sβ(R0) := {λ ∈ Sβ : |λ| >
R0}. Следовательно, при λ ∈ Sβ(R0) система Φk(x, λ) допускает пред-
ставление
Φk(x, λ) =
n∑
j=1
Yj(x, λ)Ckj(λ), λ ∈ Sβ(R0), k ∈ {1, . . . , n}, (3.8)
где Ckj(λ) — (p × p)-матрицы.
Следуя [8], введем обозначение [A] = A+O
(
λ−1/α
)
. Комбинируя
соотношения (2.4), (2.28) и (3.4), получаем
Dν−ε
x Yk(0, λ) =
[
Dν−ε
x Ek(0, λ)
]
, (3.9)
Dν−ε
x Φk(0, λ) = Dν−ε
x Zn−k+1(0, λ), (3.10)
k, ν + 1 ∈ {1, . . . , n}. Обозначим через
C(λ) :=
C11(λ) C12(λ) . . . C1n(λ)
C21(λ) C22(λ) . . . C2n(λ)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cn1(λ) Cn2(λ) . . . Cnn(λ)
(3.11)
блочную (pn×pn)-матрицу из коэффициентов системы (3.7). Из (2.11)
и (2.4) следует, что
E
(−ε)
1 (0, λ) E
(1−ε)
1 (0, λ) . . . E
(n−1−ε)
1 (0, λ)
E
(−ε)
2 (0, λ) E
(1−ε)
2 (0, λ) . . . E
(n−1−ε)
2 (0, λ)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
(−ε)
n (0, λ) E
(1−ε)
n (0, λ) . . . E
(n−1−ε)
n (0, λ)
= (n − ε)Ω−1
0 diag
(
λ
−ε
n−ε Ip, λ
1−ε
n−ε Ip, . . . , λ
n−1−ε
n−ε Ip
)
. (3.12)
Из (3.12) следует равенство
E
(ν−ε)
k (0, λ) = Dν−ε
x Ek(0, λ) = (n − ε)ak,ν+1λ
ν−ε
n−ε Ip. (3.13)
А. В. Агибалова 303
Комбинируя (3.8) и (3.13), получаем
Dj−1−ε
x Yk(0, λ) = [Dν−ε
x Ek(0, λ)] = (n − ε)[akj ]Ipλ
j−1−ε
n−ε ,
k, j ∈ {1, . . . , n}. (3.14)
Найдем матрицы Ckj(λ). Из системы (2.10) имеем
Zn−k+1(x, λ) =
1
n − ε
n2∑
j=n1
ωn−k+1
j λ− k−1−ε
n−ε Ej+m+1(x, λ)
=
1
n − ε
n∑
j=1
ωn−k+1
−m+j−1λ
− k−1−ε
n−ε Ej(x, λ).
С учетом равенства (3.13)
Dν−ε
x Zn−k+1(0, λ) =
n∑
j=1
ωn−k+1
−m+j−1ak,ν+1λ
ν−ε
n−ε λ− k−1−ε
n−ε Ip. (3.15)
Из (3.7) получаем
Dν−ε
x Φk(0, λ) =
n∑
j=1
Dν−ε
x Yj(0, λ)Ckj(λ)
= [см. (3.8)] =
n∑
j=1
[Dν−ε
x Yj(0, λ)]Ckj =
= [см. (3.13)] =
n∑
j=1
(n − ε)λ
ν−ε
n−ε [ak,ν+1]IpCkj(λ). (3.16)
Из условия (3.10) и равенств (3.15) и (3.16) получаем
Ckj(λ) =
1
n − ε
λ
−k+1+ε
n−ε
[
ωn+1−k
j−m−1
]
Ip. (3.17)
Обозначим
A(λ; Φ) :=
U1(Φ1) . . . U1(Φn)
U2(Φ1) . . . U2(Φn)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un(Φ1) . . . Un(Φn)
,
A(λ; Y ) :=
U1(Y1) . . . U1(Yn)
U2(Y1) . . . U2(Yn)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un(Y1) . . . Un(Yn)
.
(3.18)
304 Аналог теоремы Биркгофа...
Из (3.7) и (3.18) вытекает равенство
A(λ; ϕ) = A(λ; Y )C⊤(λ), (3.19)
откуда получаем
∆(λ; Φ) = ∆(λ; Y ) det C(λ).
С учетом (3.17)
∆(λ) := ∆(λ; Φ) = [M ]λ
p(n+2nε−n2)
2(n−ε) ∆(λ; Y ), M 6= 0. (3.20)
ii) На этом шаге с помощью равенства (3.20) мы получим оценку
на характеристический определитель ∆(λ).
Пусть Λ = {λ ∈ S+
β : λ = λ0t, t ∈ R+, arg λ0 > 0} — луч в секторе
S+
β . Занумеруем числа {ωj}
n−m−1
−m , так чтобы
Re(λ
1
α ωm1) > · · · > Re(λ
1
α ωmq) > 0
> Re(λ
1
α ωms+1) > · · · > Re(λ
1
α ωmn) при λ ∈ Λ. (3.21)
Заметим, что q = 2[α/4] + 1. Предположим еще, что луч Λ(⊂ S+
β )
выбран таким образом, чтобы
Re(λ
1
α ωmi
) 6= Re(λ
1
α ωmj
) 6= 0 при i 6= j. (3.22)
Из предположений (3.8) и (3.21) следует
Uj(Yk) = Y
(kj−ε)
k (0) +
kj−1∑
r=0
AjrY
(r−ε)
k (0) =
[
D
kj−ε
x Ek(0, λ)
]
= [см. (3.13)] = (n − ε)
[
ak,kj+1
]
λ
kj−ε
n−ε Ip, j ∈ {1, . . . , l}. (3.23)
Аналогично,
Uj(Yk) = Y
(kj−ε)
k (1) +
kj−1∑
r=0
BjrY
(r−ε)
k (1)
= [см. (2.27)] =
[
D
kj−ε
x Ek(1, λ)
]
=
[
ω
kj−n
−m+k−1
]
λ
kj−ε
n−ε eω
−m+k−1λ
1
n−ε
,
j ∈ {l + 1, . . . , n}, (3.24)
если k −m− 1 ∈ {m1, m2, . . . , mq}, т.e. Re ωk−m−1λ
1
α > 0. Для других
значений k (то есть при Re λ1/αωk−m−1 < 0) имеем
Uj(Yk) = O(1), j ∈ {l + 1, . . . , n}. (3.25)
А. В. Агибалова 305
Рассмотрим определитель
∆(λ; Y ) := det
U1(Y1(x, λ)) U1(Y2(x, λ)) . . . U1(Yn(x, λ))
U2(Y1(x, λ)) U2(Y2(x, λ)) . . . U2(Yn(x, λ))
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un(Y1(x, λ)) Un(Y2(x, λ)) . . . Un(Yn(x, λ))
.
(3.26)
По предположению теоремы l ≥ n/2 ≥ q, поэтому последние n− l (≤
q) строк и первые q столбцов этого определителя состоят из экспонен-
циально растущих по λ функций. Подставляем соотношения (3.23),
(3.24) и (3.25) в ∆(λ; Y ), из каждой строки определителя выносим λ в
соответствующей степени и раскладывая полученный определитель
по последним n − l строкам, получаем
∆(λ; Y ) = [1]λk̃ exp
(
λ
1
α ω̃
)
· ∆ω · ∆a, λ ∈ Λ, (3.27)
где ∆ω и ∆a определены равенствами (3.7) при p = l, k̃ := p(n −
ε)−1(k1 + · · · + kn − nε) и ω̃ := p(ωm1 + · · · + ωmn−l
).
Согласно лемме 3.3, ∆ω∆a 6= 0. Комбинируя (3.20) и (3.27), полу-
чаем следующую оценку для характеристического определителя:
∆(λ) = ∆(λ; Φ) = ∆(λ; Y ) det C(λ)
= [1][M ]λk̃ exp
(
λ
1
α ω̃
)
∆ω · ∆aλ
p(n+2nε−n2)
2(n−ε)
= [M1]λ
κ exp
(
λ
1
α ω̃
)
, λ ∈ Λ, (3.28)
где κ = 2−1pα−1(2(κ1 · · · + κn) − n(n − 1)) и M1 := M∆ω∆a 6= 0.
iii) Обозначим через Aj(x, λ; Y ) матрицу, полученную заменой
j-ой строки блочной матрицы A(λ; Y ) столбцами матриц Yk, k ∈
{1, . . . , n}, j ∈ {pl+1, . . . , pn}. Тогда матрицы Aj(x, λ; Φ) и Aj(x, λ; Y )
связаны тем же соотношением (3.19), что и матрицы A(λ; Φ) и A(λ; Y ).
Отсюда их определители ∆j(x, λ; Φ) и ∆j(x, λ; Y ) связаны (подобно
(3.20)) равенством
∆j(x, λ; Φ) = [M ]λ
p(n+2nε−n2)
2(n−ε) ∆j(x, λ; Y ), j ∈ {pl + 1, . . . , pn},
откуда
∆j(x, λ; Φ)
∆(λ; Φ)
=
∆j(x, λ; Y )
∆(λ; Y )
. (3.29)
Асимптотические оценки
306 Аналог теоремы Биркгофа...
∆j(x, λ; Y ) = λk̃−
kj−ε
n−ε e
(
λ
1
α ω̃
)
eλ
1
α ωmn−l
(x−1)
B1
(
1 + O
(
1
λ
))
...
Bp
(
1 + O
(
1
λ
))
,
j ∈ {pl + 1, . . . , pn},
(B1, . . . , Bp — константы, не зависящие от λ и x) получаются как и
оценка для ∆(λ; Y ).
iv) Пусть вектор-функция g(x) = (g1(x), . . . , gp(x)), gk(x) ∈
L∞[0, 1], k ∈ {1, . . . , p}, ортогональна ССПФ задачи (3.1)–(3.3). Рас-
смотрим целые функции
Υj(λ) :=
1∫
0
g(x)∆j(x, λ; Φ) dx, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}.
Покажем, что Υj(λ) ≡ 0, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}. Поскольку
Dr
λΥj(λ)|λ=λm
= 0, λm ∈ σ(L), r ∈ {0, 1, . . . , νm − 1}, то функция
Gj(λ) :=
Υj(λ)
∆(λ; Φ)
, j ∈ {pl + 1, . . . , pn},
является целой. Поэтому чтобы показать, что Υj(λ) ≡ 0 для j ∈ {pl+
1, . . . , pn}, достаточно доказать, что Gj(λ) ≡ 0, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}.
С учетом (3.29) имеем
∆j(x, λ; Φ)
∆(λ; Φ)
= [M2]λ
−
kj−ε
n−ε eλωl+1(x−1)
B1
(
1 + O
(
1
λ
))
...
Bp
(
1 + O
(
1
λ
))
,
j ∈ {pl + 1, . . . , pn}. (3.30)
Учитывая (3.30) и неравенство Re(λωl+1) > 0, x ∈ (0, 1), получаем
|Gj(λ)| =
∣∣∣∣∣
1∫
0
g(x)
∆j(x, λ; Φ)
∆(λ; Φ)
dx
∣∣∣∣∣
6 |[M2]| · |λ|
−
kj−ε
n−ε
1∫
0
∣∣eλωl+1(x−1)
∣∣
∣∣∣∣
p∑
k=1
gk(x)[Bk]
∣∣∣∣ dx
6 [M3]|λ|
−
kj−ε
n−ε
1∫
0
e(x−1) Re(λωl+1) dx
А. В. Агибалова 307
=
[M3]|λ|
−
kj−ε
n−ε
Re(λωl+1)
(
1 − e−Re(λωl+1)
)
.
Здесь M3 = |[M2]| ·‖g‖L∞([0,1],Cp)
∑p
k=1 |[Bk]|. Очевидно, что |Gj(λ)| →
0 при |λ| → ∞, λ ∈ S, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}. Из теоремы Фрагмена–
Линделефа и теоремы Лиувилля следует, что Gj(λ) ≡ 0, j ∈ {pl +
1, . . . , pn}, откуда
1∫
0
g(x)∆j(x, λ; Φ) dx ≡ 0, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}. (3.31)
Пусть Φ1(x, λ), . . . ,Φn(x, λ) — фундаментальная система решений
матричного уравнения (3.4), удовлетворяющая условиям
Dα−k
x Φs(0, λ) = Tks, k, s ∈ {1, . . . , n}. (3.32)
При этом числовые матрицы Tks выбраны таким образом, что матри-
цы-функции Φ1(x, λ), . . . ,Φn−l(x, λ) удовлетворяют всем краевым ус-
ловиям (3.2), а матрицы-функции Φn−l+k(x, λ), k ∈ {1, . . . , n− l + 1},
удовлетворяют всем краевым условиям (3.2), кроме краевого усло-
вия при j = k, причем Uk(Φn−l+k) = Dn−l+k, где Dn−l+k — некото-
рые диагональные матрицы. Тогда ∆j(x, λ; Φ) можно представить в
виде линейной комбинации столбцов Φs
m(x, λ) матриц Φs(x, λ), s ∈
{1, . . . , n}, m ∈ {1, . . . , p}, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}:
∆j(x, λ; Φ) =
n∑
s=1
p∑
m=1
qj
sm(λ)Φs
m(x, λ) =
n−l∑
s=1
p∑
m=1
qj
sm(λ)Φs
m(x, λ),
(3.33)
так как qj
sm ≡ 0 при s > n− l, что следует из свойств выбранной фун-
даментальной системы и выполнения для функций ∆j(x, λ; Φ) всех
краевых условий в нуле, j ∈ {pl +1, . . . , pn}. Очевидно, определитель
∣∣∣∣∣∣∣
qpl+1
11 (λ) · · ·qpl+1
1p (λ) qpl+1
21 (λ) · · ·qpl+1
2p (λ) · · ·qpl+1
n−l,1(λ) · · ·qpl+1
n−l,p(λ)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
qpn
11 (λ) · · · qpn
1p (λ) qpn
21 (λ) · · · qpn
2p (λ) · · ·qpn
n−l,1(λ) · · ·qpn
n−l,p(λ)
∣∣∣∣∣∣∣
6=0.
Тогда принимая во внимание (3.31), получaeм
1∫
0
g(x)Φj
m(x, λ) dx ≡ 0, j ∈ {pl + 1, . . . , pn}, m ∈ {1, . . . , p}. (3.34)
308 Аналог теоремы Биркгофа...
С другой стороны, матричные решения Φ1(x, λ), . . . ,Φn(x, λ) с по-
мощью оператора преобразования (см. [11], а также [6]) допускают
представление
Φs(x, λ) = (I + K)Zs = Zs(x, λ) +
x∫
0
K(x, t)Zs(t, λ) dt, s ∈ {1, . . . , n},
(3.35)
где Zs(x, λ) — решения простейшего уравнения вида (3.4) (т.е. Pk(x) ≡
0, k ∈ {0, . . . , n− 1}) с теми же начальными условиями (3.32). Имеем
−→
0 =
1∫
0
Φj(x, λ)g(x)⊤ dx
=
1∫
0
((I + K)Zj(x, λ)) g(x)⊤ dx
=
1∫
0
Zj(x, λ)h(x) dx,
где
h(x) = (I + K∗)g⊤ = g⊤(x) +
1∫
x
K(t, x)g⊤(t) dt.
Поскольку система функций {Zs(x, λ)}λ∈S полна в L2([0, 1], C
p×p),
то h(x) =
−→
0 . Так как K∗ — вольтерров оператор, то g⊤(x) =
−→
0 .
Полнота матричной системы функций {Zs(x, λ)}λ∈S следует из пол-
ноты решений задачи Коши для простейшего уравнения в скалярном
случае.
Замечание 3.1. Заметим, что решения {Zj(x, λ)}n−1
1 задачи Коши
(2.3)–(2.4) непрерывны на отрезке [0, 1]. Из (3.35) следует, что тако-
выми являются и решения {Φj(x, λ)}n−1
1 задачи Коши (3.1), (3.4). С
другой стороны, из равенства (2.5) следует, что Zn(x, λ) можно пред-
ставить в виде
Zn(x, λ) =
x−ε
Γ(1 − ε)
Ip + z̃1(x, λ)Ip,
z̃1(x, λ) :=
∞∑
j=1
λjxα(j+1)−n
Γ(α − n + 1 + αj)
,
(3.36)
А. В. Агибалова 309
где z̃1(x, λ) ∈ C[0, 1] при всех λ ∈ C.
Комбинируя (4.1) с (3.35), получаем представление для Φn(x, λ) :
Φn(x, λ) =
x−ε
Γ(1 − ε)
Ip + ϕ̃n(x, λ)Ip, (3.37)
где ϕ̃n(x, λ) ∈ C[0, 1] при λ ∈ C. Теперь из (3.37) следует, что соб-
ственные функции задачи (3.1)–(3.3) принадлежат пространству
Lp([0, 1], Cp) при p < 1/ε. Следовательно, теорема 3.1 верна и для
пространств Lp([0, 1], Cp) с p < 1/ε.
Благодарности. В заключение автор выражает благодарность
М. М. Маламуду и Л. Л. Оридороге за постановку задачи и ценные
замечания в процессе ее выполнения.
Литература
[1] А. В. Агибалова, О краевых задачах для обыкновенного дифференциального
оператора с матричными коэффициентами // Український математичний
вiсник, 5 (2008), N 3, 293–304.
[2] M. M. Джрбашян, Интегральные преобразования и представления функций
в комплексной области, Наука, Москва, 1966, 671 с.
[3] М. В. Келдыш, О собственных значениях и собственных функциях неко-
торых классов несамосопряжённых уравнений // Доклады АН СССР, 77
(1951), N 1, 11–14.
[4] Л. М. Лужина, Регулярные спектральные задачи в пространстве вектор-
функций // Вестник Московского ун-та. Сер.I. Математика. Механика,
(1988), N 1, 31–35.
[5] Л. М. Лужина, О регулярности спектральных задач с дополнительными
условиями во внутренних точках // Матем. заметки, 49 (1991), вып. 3, 151–
153.
[6] М. М. Маламуд, Подобие вольтерровых операторов и смежные вопросы те-
ории дифференциальных уравнений дробного порядка // Труды Моск. Матем.
Общества, 55 (1994), 57–122.
[7] В. А. Марченко, Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения. Киев,
“Наукова думка”, 1977, 332 с.
[8] М. А. Наймарк, Линейные дифференциальные операторы, Москва, “Наука”,
1969, 526 с.
[9] В. С. Рыхлов, Полнота собственных функций некоторых классов нерегуляр-
ных дифференциальных операторов // Ученые записки ТНУ. Серия “Мате-
матика. Механика. Информатика и Кибернетика”, (2003), N 1, 176–181.
[10] С. Г. Самко, A. A. Килбас, O. И. Маричев, Интегралы и производные дробного
порядка и их приложения, Минск, “Наука и техника”, 1987, 688 с.
[11] Л. А. Сахнович, Обратная задача для дифференциальных операторов поряд-
ка n > 2 с аналитическими коэффициентами // Матем. сборник, 46 (1958),
61–76.
310 Аналог теоремы Биркгофа...
[12] Я. Д. Тамаркин, О некоторых задачах теории обыкновенных линейных диф-
ференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды,
Петроград, 1917.
[13] А. П. Хромов, Разложение по собственным функциям обыкновенных линей-
ных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися гра-
ничными условиями // Матем. сборник, 70 (1966), 310–329.
[14] A. A. Шкаликов, О полноте собственных и присоединенных функций
обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными распадающи-
мися краевыми условиями // Функциональный анализ и его приложения, 10
(1976), N 4, 69–80.
[15] G. D. Birkhoff, On the asymptotic character of the solutions of certain linear di-
fferential equations containing a papameter // Trans. Amer. Math. Soc., 9 (1908),
219–231.
[16] M. M. Malamud, L. L. Oridoroga, Analog of the Birkhoff theorem and the
completeness results for fractional order differential equations // Rus. Jour. of
Math. Physics, 8 (2001), N 3, 287–308.
Сведения об авторах
Анна
Владимировна
Агибалова
Донецкий национальный университет,
ул. Университетская, 24,
Донецк 83055,
Украина
E-Mail: AgAnnette@rambler.ru
|