Обмежені розв'язки рівняння четвертого порядку з модельною бістійкою нелінійністю
Дослiджуються обмеженi розв’язки рiвняння четвертого порядку з кусково-лiнiйною бiстiйкою нелiнiйнiстю. Наводиться конструктивний метод побудови розв’язкiв через їх нулi. Показано, що вiдстань мiж нулями таких розв’язкiв можна характеризувати непарними числами. При цьому для довiльної послiдовностi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124366 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Обмежені розв'язки рівняння четвертого порядку з модельною бістійкою нелінійністю / А.М. Самойленко, І.Л. Нижник // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 3. — С. 400-424. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124366 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243662017-09-25T03:03:00Z Обмежені розв'язки рівняння четвертого порядку з модельною бістійкою нелінійністю Самойленко, А.М. Нижник, І.Л. Дослiджуються обмеженi розв’язки рiвняння четвертого порядку з кусково-лiнiйною бiстiйкою нелiнiйнiстю. Наводиться конструктивний метод побудови розв’язкiв через їх нулi. Показано, що вiдстань мiж нулями таких розв’язкiв можна характеризувати непарними числами. При цьому для довiльної послiдовностi непарних чисел iснує та єдиний з точнiстю до знаку i зсуву обмежений розв’язок. Явно описанi перiодичнi розв’язки. Показано наявнiсть просторового хаосу. Знайдено точне значення просторової ентропiї вiдносно перiодичних розв’язкiв. 2009 Article Обмежені розв'язки рівняння четвертого порядку з модельною бістійкою нелінійністю / А.М. Самойленко, І.Л. Нижник // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 3. — С. 400-424. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 34A34, 34C25. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124366 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Дослiджуються обмеженi розв’язки рiвняння четвертого порядку з кусково-лiнiйною бiстiйкою нелiнiйнiстю. Наводиться конструктивний метод побудови розв’язкiв через їх нулi. Показано, що вiдстань мiж нулями таких розв’язкiв можна характеризувати непарними числами. При цьому для довiльної послiдовностi непарних чисел iснує та єдиний з точнiстю до знаку i зсуву обмежений розв’язок. Явно описанi перiодичнi розв’язки. Показано наявнiсть просторового хаосу. Знайдено точне значення просторової ентропiї вiдносно перiодичних розв’язкiв. |
| format |
Article |
| author |
Самойленко, А.М. Нижник, І.Л. |
| spellingShingle |
Самойленко, А.М. Нижник, І.Л. Обмежені розв'язки рівняння четвертого порядку з модельною бістійкою нелінійністю Український математичний вісник |
| author_facet |
Самойленко, А.М. Нижник, І.Л. |
| author_sort |
Самойленко, А.М. |
| title |
Обмежені розв'язки рівняння четвертого порядку з модельною бістійкою нелінійністю |
| title_short |
Обмежені розв'язки рівняння четвертого порядку з модельною бістійкою нелінійністю |
| title_full |
Обмежені розв'язки рівняння четвертого порядку з модельною бістійкою нелінійністю |
| title_fullStr |
Обмежені розв'язки рівняння четвертого порядку з модельною бістійкою нелінійністю |
| title_full_unstemmed |
Обмежені розв'язки рівняння четвертого порядку з модельною бістійкою нелінійністю |
| title_sort |
обмежені розв'язки рівняння четвертого порядку з модельною бістійкою нелінійністю |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124366 |
| citation_txt |
Обмежені розв'язки рівняння четвертого порядку з модельною бістійкою нелінійністю / А.М. Самойленко, І.Л. Нижник // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 3. — С. 400-424. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT samojlenkoam obmeženírozvâzkirívnânnâčetvertogoporâdkuzmodelʹnoûbístíjkoûnelíníjnístû AT nižnikíl obmeženírozvâzkirívnânnâčetvertogoporâdkuzmodelʹnoûbístíjkoûnelíníjnístû |
| first_indexed |
2025-07-09T01:19:43Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:19:43Z |
| _version_ |
1837130302420418560 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 6 (2009), № 3, 400 – 424
Обмеженi розв’язки рiвняння
четвертого порядку з модельною
бiстiйкою нелiнiйнiстю
Анатолiй М. Самойленко, Iрина Л. Нижник
Анотацiя. Дослiджуються обмеженi розв’язки рiвняння четверто-
го порядку з кусково-лiнiйною бiстiйкою нелiнiйнiстю. Наводиться
конструктивний метод побудови розв’язкiв через їх нулi. Показано,
що вiдстань мiж нулями таких розв’язкiв можна характеризувати
непарними числами. При цьому для довiльної послiдовностi непар-
них чисел iснує та єдиний з точнiстю до знаку i зсуву обмежений
розв’язок. Явно описанi перiодичнi розв’язки. Показано наявнiсть
просторового хаосу. Знайдено точне значення просторової ентропiї
вiдносно перiодичних розв’язкiв.
2000 MSC. 34A34, 34C25.
Ключовi слова та фрази. Нелiнiйнi рiвняння, бiстiйка нелiнiй-
нiсть, перiодичнi розв’язки, хаос, ентропiя.
1. Вступ
Нелiнiйнi параболiчнi рiвняння вiдiграють важливу роль у рiзних
роздiлах фiзики, хiмiї, бiологiї [1–8]. Зокрема, до них належить рiв-
няння Фiшера–Колмогорова [2] ∂u
∂t = ∂2u
∂x2 − f(u), його узагальнення
∂u
∂t = −γ ∂4u
∂x4 + ∂2u
∂x2 −f(u) — розширене рiвняння Фiшера–Колмогорова
[3, 4], рiвняння Свiфт–Гогенберга [7] ∂u
∂t = −(1 + ∂2
∂x2 )2u − f(u) та їх
рiзницевi аналоги [9–11]. При цьому в першу чергу розглядаються
бiстiйкi нелiнiйностi, коли рiвняння du
dt = −f(u) має два стiйкi ста-
цiонарнi розв’язки. При вивченнi таких параболiчних рiвнянь важли-
ву роль вiдiграють стацiонарнi розв’язки, обмеженi на всiй осi, тобто
обмеженi розв’язки для звичайних нелiнiйних рiвнянь другого i че-
твертого порядкiв [9–17].
Стаття надiйшла в редакцiю 3.08.2009
Частково пiдтримано Державним фондом фундаментальних дослiджень Укра-
їни проект Ф29.1/010 (другий автор).
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
А. М. Самойленко, I. Л. Нижник 401
Для нелiнiйних рiвнянь вигляду
y(4) + qy
′′
+ f(y) = 0
з кубiчною бiстiйкою нелiнiйнiстю f(y) = ky(y2 − 1) [11–15] та з її
кусково-лiнiйною апроксимацiєю [16, 17] досить детально дослiдженi
перiодичнi розв’язки, а також кiнки за допомогою варiацiйних мето-
дiв [12,14,15] та топологiчного методу пристрiлки [13].
Слiд зауважити, що дослiдження перiодичних розв’язкiв для нелi-
нiйних диференцiальних рiвнянь є актуальною тематикою, якiй при-
свячено велику кiлькiсть робiт: див. посилання в [18–21].
У данiй роботi ми будемо вивчати обмеженi розв’язки на всiй осi
−∞ < x < +∞ для модельного диференцiального рiвняння четвер-
того порядку з розривною нелiнiйнiстю
y(4)(x) + 4y(x) = 4 sign y(x). (1.1)
2. Лiнiйне рiвняння
Спочатку розглянемо лiнiйне рiвняння
y(4)(x) + 4y(x) = h(x) (2.1)
з вiдомою правою частиною h(x) ∈ L∞(R1), де h(x) є вимiрною сут-
тєво обмеженою функцiєю. Якщо h(x) — неперервна функцiя, то
класичним розв’язком рiвняння (2.1) називається 4 рази неперервно-
диференцiйовна функцiя, яка задовольняє рiвняння (2.1) для всiх x.
У випадку довiльних функцiй h ∈ L∞ пiд розв’язком рiвнян-
ня (2.1) будемо розумiти тричi неперервно-диференцiйовну функцiю
y(x), у якої y
′′′
(x) є абсолютно неперервною функцiєю, i отже, майже
всюди по x iснує y(4)(x), i функцiя задовольняє рiвняння (2.1) майже
всюди по x.
Легко бачити, що однорiдне рiвняння
y(4)(x) + 4y(x) = 0 (2.2)
має фундаментальну систему розв’язкiв
e−x cos x, e−x sinx, ex cos x, ex sinx. (2.3)
Лема 2.1. В однорiдного рiвняння (2.2) не iснує нетривiальних роз-
в’язкiв, обмежених на всiй осi.
402 Обмеженi розв’язки рiвняння...
Доведення. Нехай y(x) — обмежений розв’язок рiвняння (2.2). Тодi
iснують сталi Ck, k = 1, . . . , 4, такi, що
y(x) = C1e
−x cos x + C2e
−x sinx + C3e
x cos x + C4e
x sinx.
Вирази C1 cos x + C2 sinx i C3 cos x + C4 sin x можна представити у
виглядi A cos(x−α) i B cos(x−β), де A =
√
C2
1 + C2
2 , B =
√
C2
3 + C2
4 .
Тому y(x) = Ae−x cos(x − α) + Bex cos(x − β). Виберемо послiдов-
нiсть аргументiв xk = 2kπ + β → ∞, коли k → ∞. Тодi y(xk) =
Ae−xk cos(xk − α) + Bexk .
Числа y(xk) будуть обмеженими тiльки при умовi B = 0. Виби-
раючи x̃k = −2kπ + α → −∞ приходимо до висновку A = 0. Таким
чином, обмежений розв’язок рiвняння (2.2) y(x) ≡ 0.
Лема 2.2. У рiвняння (2.1) iснує i єдина обмежена на всiй осi функ-
цiя Грiна G(x), яка має вигляд
G(x) =
1
8
e−|x|(cos x + sin |x|). (2.4)
Доведення. Функцiя G(x) вигляду (2.4) при x > 0 i при x < 0 є обме-
женим розв’язком однорiдного рiвняння (2.2). Безпосередньо видно,
що
G(+0) = G(−0) =
1
8
,
G′(+0) = G′(−0) = 0,
G′′(+0) = G′′(−0) = −1
4
,
G′′′(+0) =
1
2
, G′′′(−0) = −1
2
.
Таким чином, G(x) — функцiя Грiна. Якщо б у рiвняння (2.1) iснувала
iнша обмежена функцiя Грiна G1(x), то їх рiзниця була б обмеженим
розв’язком на всiй осi однорiдного рiвняння (2.2), i G(x) − G1(x) ≡ 0
в силу леми 2.1.
Лема 2.3. Нехай у рiвняння (2.1) h(x) ∈ L∞(R1). Тодi у цього рiв-
няння iснує та єдиний обмежений на всiй осi розв’язок i
y(x) =
+∞∫
−∞
G(x − s)h(s) ds. (2.5)
А. М. Самойленко, I. Л. Нижник 403
Доведення. Покажемо, що права частина в (2.5) iснує. Дiйсно, в силу
(2.4) i h ∈ L∞(R1) iнтеграл iснує i допускає оцiнку
|y(x)| ≤
∞∫
−∞
|G(s)| ds‖h‖L∞
= K0‖h‖L∞
.
В силу явного вигляду (2.4) функцiї Грiна iнтеграл у (2.5) допускає
диференцiювання по x пiд знаком iнтеграла до третього порядку i
|y(i)(x)| ≤ Ki‖h‖L∞
, де Ki =
∫ ∞
−∞ |G(i)(s)| ds, i = 0, 1, 2, 3. Наведемо
явнi значення констант Ki
K0 =
1
4
∞∫
0
e−s| cos s + sin s| ds =
1
4
+
√
2
4
e−
3π
4
1 − e−π
≈ 0.2852,
K1 =
1
2
∞∫
0
e−s| sin s| ds =
1 + e−π
4(1 − e−π)
≈ 0.273,
K2 =
1
2
∞∫
0
e−s| cos s − sin s| ds =
√
2e−
π
4
2(1 − e−π)
≈ 0.337,
K3 =
∞∫
0
e−s| cos s| ds =
1
2
+
e−
π
2
1 − e−π
≈ 0.717.
(2.6)
Легко бачити, що
y′′′(x) =
+∞∫
−∞
G′′′
x (x − s)h(s) ds
=
1
2
x∫
−∞
es−x cos(x − s)h(s) ds − 1
2
∞∫
x
ex−s cos(x − s)h(s) ds
є абсолютно неперервною функцiєю, а y(4)(x) iснує майже всюди по
x i y(4)(x) = h(x) − 4y(x).
Таким чином, y(x), що дається формулою (2.5), є обмеженим роз-
в’язком рiвняння (2.1) з h ∈ L∞(R1). Єдинiсть обмеженого розв’язку
випливає iз леми 2.1.
3. Розв’язки нелiнiйного рiвняння
Перейдемо тепер до рiвняння (1.1). Якщо y(x) — неперервна фун-
кцiя, множина нулiв якої має лебегову мiру нуль, то функцiя sign y(x)
404 Обмеженi розв’язки рiвняння...
визначена майже всюди i належить простору L∞(R1). Тому можна в
цьому випадку визначити розв’язки (1.1) як розв’язки (2.1) з h(x) =
4 sign y(x).
Надалi будемо користуватись таким означенням розв’язку рiвня-
ння (1.1).
Означення 3.1. Тричi неперервно-диференцiйовна функцiя y(x)
називається розв’язком рiвняння (1.1), якщо зовнi своїх нулiв y(x) —
класичний розв’язок (1.1).
Зауважимо, що для розв’язкiв y(x) з iзольованою множиною нулiв
означення 3.1 спiвпадає з означенням розв’язкiв (1.1) через розв’язки
рiвняння (2.1) з h(x) = 4 sign y(x).
Рiвняння (1.1) має тривiальнi розв’язки y = ±1, 0. При цьому
ми вважаємо, що sign 0 = 0. Зауважимо, що якщо y(x) — розв’язок
рiвняння (1.1), тодi i ±y(x + a), де a — стала, є розв’язками рiвнян-
ня (1.1). Цi розв’язки називатимемо еквiвалентними. Вiдносно (1.1)
справедливе таке просте твердження.
Якщо на деякому iнтервалi a < x < b розв’язок рiвняння (1.1)
приймає додатнє значення, тобто sign y(x) = 1, то
y+(x) = 1+C+
1 e−x cos x+C+
2 e−x sinx+C+
3 ex cos x+C+
4 ex sinx, (3.1)
де C+
k = const, k = 1, . . . , 4.
I навпаки, якщо функцiя виду (3.1) приймає на деякому iнтервалi
додатнє значення, то (3.1) є розв’язком рiвняння (1.1).
Якщо на деякому iнтервалi a < x < b розв’язок рiвняння (1.1) при-
ймає вiд’ємне значення, тобто sign y(x) = −1, то
y−(x) = −1+C−
1 e−x cos x+C−
2 e−x sinx+C−
3 ex cos x+C−
4 ex sinx. (3.2)
Доведення очевидне, оскiльки функцiї (2.3) e−x cos x, e−x sinx,
ex cos x, ex sin x є фундаментальною системою розв’язкiв однорiдного
рiвняння, а y = ±1 є частинним розв’язком рiвняння (1.1).
Приклад 3.1. Знайдемо обмежений на всiй осi розв’язок рiвняння
(1.1), який на додатнiй пiвосi приймає додатнє значення, а на вiд’єм-
нiй — вiд’ємне. Згiдно з (3.1) i (3.2)
y(x) =
{
1 + C1e
−x cos x + C2e
−x sin x, x > 0,
−1 + C3e
x cos x + C4e
x sin x, x < 0.
(3.3)
Умова неперервностi функцiї y(x) i її похiдних до третього порядку
в точцi x = 0 дає явнi значення констант Ck i явний вигляд розв’язку
y(x) = signx − Φ(x), (3.4)
А. М. Самойленко, I. Л. Нижник 405
де
Φ(x) = signx · e−|x| cos x. (3.5)
Функцiя Φ(x) буде потрiбна в подальшому.
Розв’язок (3.4) — це обмежений розв’язок рiвняння (1.1), що має
нуль у точцi x = 0. Цей розв’язок називається кiнком. На мал. 1
зображений графiк кiнка.
Мал. 1 Кiнк y(x) = signx(1 − e−|x| cos x).
4. Найпростiшi симетричнi перiодичнi розв’язки
Побудуємо в явному виглядi перiодичний симетричний розв’язок
рiвняння (1.1).
Нехай L = 2ℓ > 0 — перiод розв’язку. Нехай на iнтервалi 0 < x < ℓ
розв’язок додатнiй, а на iнтервалi ℓ < x < 2ℓ = L розв’язок вiд’ємний.
Тодi згiдно з формулою (3.1)
y(x) = 1+C1e
−x cos x+C2e
−x sinx+C3e
x cos x+C4e
x sinx, 0 < x < ℓ.
(4.1)
На iнтервалi ℓ < x < 2ℓ будемо вважати, що
y(x) = −y(x − ℓ). (4.2)
Умови, що розв’язок y(x) i його похiднi до третього порядку непе-
рервнi в точцi x = ℓ, дають граничнi умови
y(i)(ℓ) = −y(i)(0), i = 0, 1, 2, 3. (4.3)
Використавши граничнi умови (4.3) для розв’язку (4.1), знаходимо
явний вигляд констант Ck, тодi розв’язок має вигляд
406 Обмеженi розв’язки рiвняння...
y(x) = 1 − cosh(ℓ − x) cos x + cosh x cos(ℓ − x)
cosh ℓ + cos ℓ
, 0 < x < ℓ. (4.4)
На iнтервалi ℓ < x < 2ℓ вiрне спiввiдношення (4.2), розв’язок
отримується зсувом i вiддзеркаленням.
Безпосередньо можна перевiрити, що функцiя y(x), визначена на
iнтервалi [0, ℓ] (4.4) i перiодично продовжена на всю вiсь з умовою
(4.2) є 2ℓ-перiодичний розв’язок рiвняння (1.1). Така функцiя має нулi
в точках x = kℓ, де k ∈ Z. Зовнi цих нулiв функцiя y(x) виражається
через функцiю (4.4) за допомогою зсувiв або зсувiв i вiддзеркалювань.
Тому на цих iнтервалах вона є класичним розв’язком рiвняння (1.1).
Такi перiодичнi розв’язки називатимемо найпростiшими перiо-
дичними розв’язками рiвняння (1.1).
На мал. 2, 3 представленi перiодичнi розв’язки для рiзних перiодiв
2ℓ = 10, 2ℓ = 40 вiдповiдно.
Мал. 2 Найпростiший перiодичний розв’язок з ℓ = 5.
5. Iнтегральне рiвняння для обмежених розв’язкiв
Нехай y(x) — обмежений на всiй осi розв’язок рiвняння (1.1) з
iзольованою множиною нулiв. Тодi y(x) задовольняє рiвняння (2.1) з
h(x) = 4 sign y(x). А згiдно з лемою 2.3 задовольняє рiвняння:
y(x) = 4
+∞∫
−∞
G(x − s) sign y(s) ds. (5.1)
А. М. Самойленко, I. Л. Нижник 407
Мал. 3 Найпростiший перiодичний розв’язок з ℓ = 20.
Навпаки, якщо y(x) — неперервний обмежений на всiй осi розв’язок
рiвняння (5.1), а множина його нулiв — iзольована, то y(x) — розв’я-
зок рiвняння (1.1).
Лема 5.1. Обмежений розв’язок рiвняння (1.1) згiдно означення 3.1
є обмеженим неперервним розв’язком рiвняння (5.1), в якому покла-
дено sign 0 = 0. Навпаки, обмежений неперервний розв’язок iнте-
грального рiвняння (5.1), в якому sign 0 = 0 є обмеженим розв’язком
рiвняння (1.1) згiдно означення 3.1.
Доведення. Нехай y(x) — обмежений розв’язок рiвняння (1.1) згiдно
означення 3.1. Поскiльки функцiя y(x) — неперервна, то X0 — мно-
жина нулiв цiєї функцiї є множина замкнена. Нехай X1 — множина
точок скупчення множини X0. Множина X1 також замкнена i її до-
повнення X = R \X1 є множиною вiдкритою i отже може бути пред-
ставлена як об’єднення вiдкритих iнтервалiв X =
⋃
k Ok. Розглянемо
функцiї yk(x), якi спiвпадають з розв’язком y(x) на Ok i рiвнi тото-
жньо нулю зовнi Ok. Покажемо, що функцiї yk(x) також є розв’яз-
ками рiвняння (1.1) згiдно означення 3.1. Для цього вiдзначимо, що
поскiльки y(x) тричi неперервно-диференцiйовна функцiя, то на X1
вона разом з похiдними до третього порядку включно перетворюєть-
ся в нуль. Тому функцiї yk(x) — тричi неперервно-диференцiйовнi на
всiй осi, а зовнi своїх нулiв вони спiвпадають з y(x) i є класичним
розв’язком рiвняння (1.1). Покажемо, що функцiя yk(x) є розв’язком
рiвняння (5.1), в якому покладемо sign 0 = 0. Дiйсно, yk(x) є розв’яз-
ком рiвняння (2.1) з правою частиною h(x) = 4 sign yk(x) при x ∈ Ok
i h(x) ≡ 0 при x /∈ Ok. Тобто h(x) = 4 sign yk(x) для всiх x, якщо
вважати sign 0 = 0. Тому в силу леми 2.3 yk(x) є розв’язком рiвня-
408 Обмеженi розв’язки рiвняння...
ння (5.1). Покажемо, що, коли y(x) є розв’язком рiвняння (5.1), в
якому sign 0 = 0, то y(x) є розв’язком рiвняння (1.1) згiдно означе-
ння 3.1. Дiйсно, згiдно леми 2.3 y(x) є розв’язком рiвняння (2.1) з
h(x) = 4 sign y(x). Тому зовнi нулiв функцiї y(x) є класичним розв’яз-
ком рiвняння (2.1), а отже i рiвняння (1.1).
Позначаючи праву частину рiвняння (5.1) як дiю оператора A на
функцiю y, отримуємо
Наслiдок 5.1. Обмеженi на всiй осi розв’язки рiвняння (1.1) є не-
рухомими точками оператора A, i навпаки, кожна нерухома точка
оператора A, розглядуваного в просторi C(R) (неперервних обмеже-
них на всiй осi функцiй), є обмеженим розв’язком рiвняння (1.1).
Наслiдок 5.2. Кожний обмежений на всiй осi розв’язок рiвняння
(1.1) допускає оцiнку
|y(x)| ≤ 1.14. (5.2)
Доведення. Iз iнтегрального рiвняння (5.1) та явного вигляду функцiї
Грiна (2.4) i оцiнок (2.6) отримуємо
|y(x)| ≤ 8
∞∫
0
|G(t)| dt = 4K0 ≈ 1.14.
Лема 5.2. Нехай обмежений на всiй осi розв’язок y(x) рiвняння
(1.1) зберiгає знак на iнтервалi (x0 − l, x0 + l), l > 0. Тодi
|y(x0) − sign y(x0)| ≤
2
√
2
l
. (5.3)
Доведення. Оскiльки y(x) задовoльняє рiвняння (5.1), а 4
∫ ∞
−∞ G(x−
s) ds = 1, тодi
|y(x0) − sign y(x0)|
= 4|
∞∫
−∞
G(x0 − s)[sign y(s) − sign y(x0)] ds|
≤ 8
∫
|s−x0|>l
|G(x0 − s)| ds ≤ 2
√
2
l
,
де використана оцiнка |G(x)| ≤
√
2
8 e−|x|, що випливає з (2.4).
А. М. Самойленко, I. Л. Нижник 409
6. Представлення обмеженого розв’язку
через його нулi
Для представлення обмежених на всiй осi розв’язкiв рiвняння
(1.1) через його нулi важливо показати, що всi iзольованi нулi простi.
Для цього потрiбна наступна лема.
Лема 6.1. Нехай x0 — iзольований нуль розв’язку y(x) рiвняння
(1.1) i y′(x0) = 0. Тодi iснує точка x1, в якiй |y(x1)| ≥ 1+cosh π > 12.
Доведення. Нехай точка x0 = 0 — iзольований нуль розв’язку y(x).
Тодi iснує ε > 0 таке, що на iнтервалах I1 = (0, ε) i I2 = (−ε, 0)
розв’язок приймає значення одного знаку. Можливi два випадки:
а) коли розв’язок на iнтервалах I1 i I2 одного знаку;
б) коли розв’язок на iнтервалах I1 i I2 приймає значення рiзних
знакiв.
У випадку а) будемо вважати, що y(x) > 0 при x ∈ I1 i x ∈ I2. Якщо
y(x) < 0, то розглядуємо розв’язок −y(x).
Оскiльки y(0) = 0 i y
′
(0) = 0, то у випадку а) розв’язок y(x) має
вигляд
y(x) = 1 − cosh x cos x + A(cosh x sinx − sinhx cos x) + B sinhx sinx,
(6.1)
де A i B — сталi. При x → 0 iз (6.1) отримуємо
y(x) =
x4
6
+
2
3
Ax3 + Bx2 + O(x4),
а по умовi а) y(x) ≥ 0, тому стала B ≥ 0. Функцiя ϕ1(x) =
1 − cosh x cos x парна i зростаюча при 0 ≤ x ≤ π. Дiйсно, ϕ′
1(x) =
− sinhx cos x + coshx sinx, ϕ′′
1(x) = 2 sinhx sinx ≥ 0 при 0 ≤ x ≤ π.
Поскiльки ϕ′
1(0) = 0, тому ϕ′
1(x) приймає невiд’ємнi значення. Фун-
кцiя ϕ1(0) = 0, тому ϕ1(x) зростаюча вiд ϕ1(0) до ϕ1(π) = 1 + cosh π.
Функцiя ϕ2 = cosh x sinx − sinhx cos x непарна i зростаюча на
iнтервалi (−π, π). Дiйсно, ϕ′
2 = 2 sinhx sinx ≥ 0. В представленнi (6.1)
стала B ≥ 0. Якщо стала A ≥ 0, то розв’язок y(x) ≥ 1−cosh x cos x > 0
при 0 < x ≤ π. Тому y(π) ≥ 1 + cosh π. Якщо A ≤ 0, то розв’язок
(6.1) на iнтервалi (−π, 0) має оцiнку y(x) ≥ 1 − cosh x cos x > 0 i
y(−π) ≥ 1 + cosh π.
Таким чином, у випадку а) показано, шо розв’язок y(x) має пред-
ставлення (6.1) на iнтервалах (−ε, π), коли A ≥ 0, або (−π, ε), коли
A < 0, i в деякiй точцi x1 = π, коли A ≥ 0 або x1 = −π, коли A < 0
410 Обмеженi розв’язки рiвняння...
приймає значення y(x1) ≥ 1+cosh π. Тобто лема доведена для випад-
ку а).
Розглянемо тепер випадок б). Коли розв’язок на iнтервалах I1 i
I2 приймає значення рiзних знакiв. Будемо вважати y(x) > 0, x ∈ I1
i y(x) < 0, x ∈ I2. У противному разi досить розглянути функцiю
−y(x).
У цьому випадку розв’язок з умовами y(0) = 0, y′(0) = 0 має
вигляд
y(x) =
{
1 − cosh x cos x + A(cosh x sinx − sinhx cos x), x ∈ I1,
−1 + cosh x cos x + A(cosh x sinx − sinhx cos x), x ∈ I2,
(6.2)
де стала A ≥ 0. Умови неперервностi другої i третьої похiдних y(x) у
точцi x = 0 призводять до вiдсутностi функцiї sinhx sinx у представ-
леннi (6.2) i дають однакову сталу A на iнтервалах I1 i I2. Оскiльки
iз (6.2) випливає y(x) ≥ 1 − cosh x > 0 при 0 < x ≤ π, то представле-
ння (6.2) вiрне на iнтервалi (−ε, π). Але y(π) ≥ 1 + cosh π при x = π.
Тим самим лема доведена i для випадку б).
Теорема 6.1. Нехай y(x) — нетривiальний обмежений на всiй
осi розв’язок рiвняння (1.1), всi нулi якого утворюють iзольовану
множину {xk}, k ∈ K, (K — множина iндексiв, причому K =
{0, 1, . . . , m}, якщо кiлькiсть нулiв m + 1, K = {0, 1, 2, . . . }, якщо
нулiв нескiнченна кiлькiсть, обмежена злiва, K = {· · · − 2,−1, 0},
якщо нулiв нескiнченна кiлькiсть, обмежена справа i вiдповiдно
K = {· · · − 2,−1, 0, 1, 2, . . . }, якщо нулiв нескiнченна кiлькiсть, не-
обмежена з двох сторiн). Тодi всi нулi цього розв’язку є простими
(тобто y′(xk) 6= 0, якщо y(xk) = 0, k ∈ K). Розв’язок y(x) з точнi-
стю до знака визначається своїми нулями. При цьому, якщо y > 0
при x2k ≤ x ≤ x2k+1, то
y(x) = sign y(x) +
∑
k∈K
(−1)k+1Φ(x − xk), (6.3)
де Φ(x) = signxe−|x| cos x.
Доведення. Нехай x0 = 0 — iзольований нуль обмеженого на всiй осi
розв’язку y(x). Якщо б y′(0) = 0, то згiдно з лемою 5.2 в околi цiєї
точки функцiя приймала б значення по модулю бiльше 12, але це
протирiчить наслiдку 5.2, згiдно з яким |y(x)| ≤ 1.14. Тобто всi нулi
розв’язку y є простими, а отже розв’язок при переходi через кожен
нуль мiняє знак. Таким чином, sign y(x) однозначно (з точнiстю до
А. М. Самойленко, I. Л. Нижник 411
знаку) визначається нулями розв’язку y :
sign y(x) =
∑
k∈K,
|k|≤2j
(−1)k sign(x − xk), x−2j < x < x2j , (6.4)
якщо y > 0 при x2k ≤ x ≤ x2k+1. Легко бачити, що
4
+∞∫
−∞
G(x − s) sign(s − a) ds = sign(x − a) − Φ(x − a),
тобто є кiнком в точцi x = a. Пiдставляючи (6.4) в праву частину
iнтегрального рiвняння (5.1), отримуємо (6.3).
Теорема 6.2. Нехай y(x; {xk}) — обмежений розв’язок рiвняння
(1.1) iз скiнченним числом нулiв x0 < x1 < · · · < xn i з вiдстаня-
ми ak = xk − xk−1 мiж сусiднiми нулями i y > 0 при x0 ≤ x ≤ x1.
Тодi
y(x; {xk}) = sign y(x; {xk}) +
n∑
k=0
(−1)k+1Φ(x − xk), (6.5)
де Φ(x) = sign xe−|x| cos x.
Для того, щоб функцiя виду (6.5) була обмеженим розв’язком рiв-
няння (1.1), необхiдно i достатньо, щоб числа ak > 0 задовольняли
системi трансцендентних рiвнянь
Φ(ak) =
∑
0≤i<j,
i≤k≤j≤n
(−1)i+j+1Φ(ai + · · · + aj), k = 1, . . . , n. (6.6)
Доведення. Обмежений розв’язок з нулями x0 < x1 < · · · < xn має
вигляд (6.3). Умова y(xk) = 0 дає систему рiвнянь (6.6) для вiдстаней
ak = xk−xk−1 мiж сусiднiми нулями. Нехай {ak} — розв’язок системи
(6.6). Тодi, покладаючи x0 = 0, xk = a1 + · · · + ak, k = 1, . . . , n,
отримуємо, що функцiя (6.5) з такими {xk} буде мати представлення
y(x) = 4
+∞∫
−∞
G(x − s)h(s) ds, де h(x) =
−1, x < x0,
(−1)k, x ∈ [xk, xk+1],
(−1)n, x > xn.
Оскiльки {ak} — розв’язки системи (6.6), то функцiя y(x) має
нулi в точках {xk}. Iнших нулiв у функцiї y(x) немає, тому h(x) =
sign y(x). Таким чином, y(x) є розв’язком рiвняння (5.1), а отже, обме-
женим розв’язком рiвняння (1.1) з нулями в точках {xk}.
412 Обмеженi розв’язки рiвняння...
7. Солiтони
Солiтоном називається обмежений розв’язок рiвняння (1.1), який
має два нулi. Поскiльки розв’язки рiвняння (1.1) допускають зсуви
по x, тодi достатньо знайти солiтоннi розв’язки ys(x), у яких нулi
розташованi в точках x0 = −a/2 та x1 = a/2 > 0. В цьому випадку
sign ys(x) — скелет розв’язку має вигляд
sign ys(x) =
−1, x < −a/2,
1, −a/2 < x < a/2,
−1, a/2 < x.
(7.1)
Iз виразу (6.3) маємо
ys(x) = sign ys(x) − Φ(x + a/2) + Φ(x − a/2), (7.2)
де явне значення функцiї Φ дається виразом (3.5). Умови ys(−a/2) =
0 та ys(a/2) = 0 дають рiвняння Φ(a) = 0 або
cos a = 0. (7.3)
Таким чином, величина a, що характеризує ширину солiтонiв i вiд-
стань мiж його нулями, може приймати тiльки значення
a = (2m − 1)
π
2
, m = 1, 2, . . . , (7.4)
занумерованi непарними числами 2m − 1. Графiк солiтонiв, що вiд-
повiдає рiзним ширинам (7.4), представлений на мал. 4.
Мал. 4 Солiтоннi розв’язки з m = 1; 5; 10.
А. М. Самойленко, I. Л. Нижник 413
8. Розв’язки з трьома нулями
Нехай обмежений розв’язок y(x) рiвняння (1.1) має три нулi x0 <
x1 < x2. Позначимо вiдстанi мiж нулями a1 = x1 −x0 та a2 = x2 −x1.
Iз формули (6.3) отримуємо явний вигляд розв’язку, якщо вiдомi його
нулi. Умови, що функцiя y(x) iз (6.3) рiвна нулю при x = x0, x1, x2,
дають систему рiвнянь (6.6) вiдносно a1, a2
Φ(a1) = Φ(a2) = Φ(a1 + a2). (8.1)
Теорема 8.1. Нехай y(x) — обмежений розв’язок рiвняння (1.1) з
трьома нулями x0 < x1 < x2. Тодi вiдстань мiж нулями a1 = x1−x0
та a2 = x2 − x1 перевищує величину 1.56:
ak ≥ amin = 1.56, k = 1, 2. (8.2)
Справедливi оцiнки
∣∣∣ak − (2mk − 1)
π
2
∣∣∣ < d = 0.212, (8.3)
де непарнi числа 2mk − 1 можна виразити через ak за допомогою
рiвностi
2mk − 1 =
[2ak
π
]
, (8.4)
тут [α] — цiла частина числа α.
Для будь-яких непарних чисел 2m1 − 1 i 2m2 − 1 iснує та єди-
ний з точнiстю до еквiвалентностi (тобто з точнiстю до знака i
зсуву по x) обмежений розв’язок рiвняння (1.1) з трьома нулями,
вiдстань мiж якими задовoльняє нерiвнiсть (8.3).
Доведення. Функцiя y(x), що має вигляд (6.3), тодi i лише тодi буде
обмеженим розв’язком з трьома нулями x0 < x1 < x2, коли вiдстанi
a1 = x1 − x0 та a2 = x2 − x1 задовoльняють системi рiвнянь (8.1). В
силу їх симетрiї вiдносно a1 та a2 можна вважати, що a1 ≤ a2. Якщо в
(8.1) всi значення функцiй вiд’ємнi, тодi ak ≥ π
2 i нерiвнiсть (8.2) вико-
нується. Якщо в (8.1) всi значення додатнi, тодi мiнiмальнi значення
a1 досягаються лише у випадку, зображеному на мал. 5, де абсциси
точок перетину прямої лiнiї з графiком функцiї Φ вiдповiдають зна-
ченням a1, a2, a1 + a2. В цьому випадку a1 = π
2 − x, a2 = 3π
2 + y, де
x i y задовoльняють системi рiвнянь, яку можна отримати iз (8.1):
sinx = e−( 3π
2
+y) cos(y − x), sin y = e−(π
2
−x) cos(y − x), (8.5)
414 Обмеженi розв’язки рiвняння...
Мал. 5 Графiк функцiї Φ(x) = e−x cos x.
де 0 < y < π
4 , 0 < x < y. Чисельнi розв’язки системи (8.5) зводяться
до значень x = 0.0072, y = 0.2067. Таким чином, amin = π
2 − x = 1.56.
Отримаємо тепер оцiнки (8.3). Для цього зручно представити си-
стему (8.1) в явному виглядi
cos a1 = e−a2 cos(a1 + a2), cos a2 = e−a1 cos(a1 + a2). (8.6)
В силу оцiнки (8.2), iз (8.6) маємо
| cos ak| ≤ e−amin = 0.2094. (8.7)
Тому справедливi оцiнки (8.3), (8.4).
Покажемо тепер, що для будь-яких непарних чисел 2m1−1 i 2m2−
1 iснує та єдиний розв’язок системи (8.6), що задовольняє оцiнку (8.3).
Дiйсно, покладаючи
ak = (2mk − 1)
π
2
+ εk, (8.8)
систему (8.6) можна представити в еквiвалентнiй формi:
ε1 = arcsin[(−1)m2−1e
π
2
−m2π−ε2 cos(ε1 + ε2)],
ε2 = arcsin[(−1)m1−1e
π
2
−m1π−ε1 cos(ε1 + ε2)].
(8.9)
Систему (8.9) можна представити в операторному виглядi ε = A(ε)
у просторi двовимiрних векторiв з нормою ‖ε‖ = max{|ε1|, |ε2|}. Опе-
ратор A переводить замкнену множину B = {(ε1, ε2) : −0.01 ≤ εk ≤
0.212, k = 1, 2} в себе i є оператором стискання на B :
‖A(η) − A(ς)‖ ≤ q‖η − ς‖, q < 0.5. (8.10)
А. М. Самойленко, I. Л. Нижник 415
Тому iснує та єдиний розв’язок рiвняння ε = A(ε) в B, який можна
отримати за допомогою методу послiдовних наближень, починаючи
зi значення ε = 0. Для вiдстаней ak = (2mk − 1)π
2 + εk справедлива
оцiнка (8.3).
На мал. 6 зображений обмежений розв’язок з трьома нулями, вiд-
станi мiж якими характеризуються за допомогою непарних чисел
(2m1 − 1, 2m2 − 1) = (5, 7).
Мал. 6 Графiк розв’язку з трьома нулями 2m1 − 1 = 5, 2m2 − 1 = 7.
9. Розв’язок iз скiнченним числом нулiв
Теорема 9.1. Нехай y(x; {xk}) — обмежений розв’язок рiвняння
(1.1) iз скiнченним числом нулiв x0 < x1 < · · · < xn. Нехай вiдстанi
ak = xk − xk−1 мiж сусiднiми нулями задовольняють умовi ak ≥ π.
Тодi розв’язок y(x) однозначно (з точнiстю до знака та зсуву по
x) визначається множиною непарних чисел 2mk − 1 =
[
2ak
π
]
, k =
1, . . . , n. Довiльна скiнченна послiдовнiсть непарних чисел 2mk −1 ≥
3, k = 1, . . . , n, однозначно (з точнiстю до еквiвалентностi) визна-
чає обмежений розв’язок рiвняння (1.1), вiдстанi мiж нулями якого
задовольняють спiввiдношенню (8.8) з |εk| < 0.1.
Доведення. Обмежений розв’язок з нулями x0 < x1 < · · · < xn має
вигляд (6.3). Умова y(xk) = 0 дає систему рiвнянь (6.6) для вiдстаней
ak = xk−xk−1 мiж сусiднiми нулями. Використовуючи формулу (3.5),
що дає явний вигляд функцiї Φ i оцiнку an ≥ π, що виконується за
416 Обмеженi розв’язки рiвняння...
умовою теореми, iз системи (6.6) отримуємо, що
| cos ak| ≤
∑
0≤i<j,
i≤k≤j≤n
eπ(i−j) <
∞∑
n=1
(n + 1)pn = p(2 − p)(1 − p)−2,
де p = e−π. З цього випливає представлення (8.8) для розв’язкiв си-
стеми (6.6), з непарними числами 2mk − 1 ≥ 3 та |εk| < 0.1 (k =
1, . . . , n).
Покажемо, що для довiльних непарних чисел 2mk−1 ≥ 3, система
(6.6) має розв’язок, що допускає представлення (8.8) при |εk| < 0.1
i цей розв’язок єдиний. Користуючись (8.8) та (6.3), систему (6.6)
можна трансформувати аналогiчно (8.9) в еквiвалентну ε = A(ε) для
вектора ε = (ε1, . . . , εn). Рiвняння має єдиний розв’язок, поскiльки
оператор A неперервний, вiдображає n-вимiрний куб {ε : |εk| ≤ 0.1}
в себе, а також є вiдображенням стискання. Нерiвнiсть
‖A(ε(2)) − A(ε(1))‖ ≤ q‖ε(2) − ε(1)‖,
виконується при ‖ε‖ = max1≤k≤n |εk| для значень констант q, що є
добутком константи Лiпшiця функцiї arcsinx, |x| ≤ 0.1, та суми аб-
солютних значень частинних похiдних правих частин системи (6.6)
вiдносно змiнних ε1, . . . , εn. Таким чином, маємо оцiнки:
q ≤ 1.01
∞∑
n=1
(2n+1)(n+1)pn = 1.01p(6−3p+p2)(1−p)−3 ≈ 0.2926 < 1,
поскiльки p = e−π.
10. Хаотичнi розв’язки
Непарнi числа {2m1−1, . . . , 2mn−1}, що характеризують вiдстанi
мiж нулями обмежених розв’язкiв рiвняння (1.1), можуть приймати
будь-якi значення, в тому числi можуть бути набором випадкових не-
парних чисел. Це призводить до розв’язкiв з “хаотичною” поведiнкою.
На мал. 7 представлено обмежений розв’язок рiвняння (1.1), вiдстань
мiж нулями у якого характеризує наступна випадкова вибiрка непар-
них чисел (1, 3, 1, 1, 11, 1, 9, 13, 7, 1, 11, 5, 7, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 11, 1, 13,
1, 7, 7, 13, 3, 7, 5, 3, 9, 3, 13, 1, 11, 9, 3, 11, 3, 5, 9, 1).
Означення 10.1. Будемо говорити, що рiвняння y(4) + f(y) = 0 з
бiстiйкою нелiнiйнiстю f(±1) = 0, f
′
(±1) > 0 допускає хаотичнi
розв’язки, якщо для будь-якого ε > 0 iснує d(ε) > 0 таке, що для
А. М. Самойленко, I. Л. Нижник 417
Мал. 7 Хаотичний розв’язок.
будь-якої послiдовностi точок {Ak(xk, σk)}n
k=1 з xk+1 − xk > d(ε) та
σk, що приймає одне з двох стiйких значень для будь-якого k, (σk =
±1), iснує обмежений розв’язок y, графiк якого проходить через ε-
околи всiх точок Ak, тобто
|y(xk) − σk| < ε, k = 1, . . . , n. (10.1)
Теорема 10.1. Рiвняння (1.1) допускає хаотичнi розв’язки в сенсi
означення 10.1.
Доведення. Нехай вибрано достатньо мале ε > 0, (ε < 1/2). По-
кладемо d(ε) = 8
ε + 2π. Нехай {Ak(xk, σk)}n
k=1 послiдовнiсть з озна-
чення 10.1. Розглянемо середини yk = 1
2(xk + xk+1) всiх iнтервалiв
(xk, xk+1), таких що σk 6= σk+1. Розглянемо на осi 0X новi iнтервали
Ij довжиною 2π, середини яких лежать у точках yj , а отже вiддале-
них вiд точок Ak на вiдстанi не меншiй, нiж 4
ε . Згiдно з твердженням
теореми 9.1, iснує обмежений розв’язок такий, що має скiнченне чи-
сло нулiв, i тiльки один з них лежить у кожному Ij . Такий розв’язок
задовольняє умовi (10.1). Дiйсно, в силу того, що розв’язок y не змi-
нює знак мiж двома нулями, а абсциси точок Ak вiддаленi вiд нулiв
бiльше, нiж на 4
ε , то згiдно з лемою 5.1 виконується (10.1).
11. Представлення перiодичних розв’язкiв
через їх нулi
Теорема 11.1. Нехай y(x) — L-перiодичний розв’язок рiвняння
(1.1), нулями якого є x0 < x1 < · · · < x2n = x0 + L, (не порушую-
418 Обмеженi розв’язки рiвняння...
чи загальностi, покладемо x0 = 0), числа ak = xk − xk−1 — вiдстанi
мiж сусiднiми нулями.
Тодi при 0 < x < a1 розв’язок має вигляд
y(x) = 1 − 1
M
[e−x cos(x + θ) − e−(L−x) cos(L − x + θ)]+
eθ
M
2n−1∑
k=1
(−1)k[Φ(xk − x + θ) − Φ(L − x2n−k + x + θ)], (11.1)
де tan θ = e−L sin L
1−e−L cos L
, M = (1 − 2e−L cos L + e−2L)1/2.
Для того, щоб функцiя виду (11.1) була перiодичним розв’язком
рiвняння (1.1), необхiдно i достатньо, щоб числа ak задовольняли
трансцендентне рiвняння
Φ(a1 + θ) − Φ(a1 + a2 + θ) + · · · + Φ(a1 + · · · + a2n−1 + θ) =
Φ(a2n + θ) − Φ(a2n + a2n−1 + θ) + · · · + Φ(a2n + · · · + a2 + θ) (11.2)
i всi рiвняння, якi отримуються iз (11.2) шляхом циклiчної пере-
становки чисел a1, a2, . . . , a2n.
Коментарi. Фактично, теорема 11.1 дає явний вигляд всiх перiо-
дичних розв’язкiв рiвняння (1.1), якщо вiдомi вiдстанi мiж нулями
цих розв’язкiв, а для вiдстаней наводиться система трансцендентних
рiвнянь. Будемо називати цю систему рiвнянь характеристичною си-
стемою для вiдстаней мiж нулями.
Таким чином, нелiнiйна проблема опису всiх перiодичних розв’яз-
кiв рiвняння (1.1) еквiвалентна проблемi опису всiх розв’язкiв харак-
теристичної системи для вiдстаней. Тобто нескiнченновимiрна нелi-
нiйна проблема опису всiх перiодичних розв’язкiв рiвняння (1.1) iз
скiнченним числом нулiв зводиться до скiнченновимiрної нелiнiйної
проблеми — характеристичної системи для вiдстаней. Як буде пока-
зано далi, всi розв’язки характеристичної системи можна повнiстю
описати.
Доведення. Нехай y(x) — L-перiодичний розв’язок рiвняння (1.1), ну-
лями якого є 0 = x0 < x1 < · · · < x2n = L, що лежать на iнтервалi
[0, L]. Всi iншi нулi отримуються iз вказаних шляхом послiдовного
додавання або вiднiмання величини L. Тобто всi нулi на додатнiй осi
мають вигляд
x2jn+k = xk + jL, k = 1, . . . , 2n, j = 0, 1, . . .
Нулi на вiд’ємнiй осi мають вигляд
x−2jn+k = x2n−k − jL.
А. М. Самойленко, I. Л. Нижник 419
Пiдставляючи цi значення нулiв у формулу (6.3) i враховуючи, що
Φ(a) + Φ(a + L) + · · · + Φ(a + jL) + . . .
= Re[e(i−1)a + e(i−1)(a+L) + . . . ]
= Re
[
e(i−1)a 1
1 − e(i−1)L
]
=
e−a
M
cos(a + θ),
де cos θ = 1−e−L cos L
M , sin θ = e−L sin L
M , M = [1−2e−L cos L+e−2L]1/2 =
|1 − e(i−1)L|, iз (6.3) отримуємо (11.1).
Умова y(0) = 0 дає рiвнiсть (11.2). Функцiя y(x−xk) також є перi-
одичним розв’язком рiвняння (1.1). Цiй функцiї вiдповiдають вiдстанi
мiж нулями ak+1, ak+2, . . . a2n, a1, . . . , ak, що є циклiчною перестанов-
кою вихiдних вiдстаней a1, . . . , a2n. Тому рiвнiсть (11.2) виконується
i при циклiчнiй перестановцi a1, . . . , a2n.
Розв’язнiсть характеристичної системи (11.2) є необхiдною i до-
статньою умовою, щоб точки x0 = 0, x1 = a1, . . . , xk = a1 + a2 + · · ·+
ak, . . . були нулями перiодичного розв’язку (11.1) рiвняння (1.1).
12. Перiодичнi розв’язки з двома нулями на перiодi
У цьому випадку є лише a1, a2, i характеристична система для
вiдстаней зводиться до
e−a1 cos(a1 + θ) = e−a2 cos(a2 + θ), (12.1)
де tan θ = e−L sin L
1−e−L cos L
.
Рiвняння (12.1) завжди виконується, коли a1 = a2. Це призводить
до розглядуваних ранiше найпростiших перiодичних розв’язкiв.
Нехай L = Nπ, де N — натуральне число. Тодi при a1 6= a2 рiв-
няння (12.1) виконується лише у випадку cos a1 = cos a2 = 0. Тобто у
випадку, коли
a1 = m1
π
2
, a2 = m2
π
2
, m1 + m2 = 2N,
де числа m1 i m2 непарнi i в сумi дають 2N.
У цьому випадку отримуємо нову серiю точних перiодичних роз-
в’язкiв рiвняння (1.1), занумерованих непарними числами m1, m2 :
y(x; m1, m2) = 1 − 1
M
[(e−x + (−1)N+1e−(L−x)) cos x
+ (e−(a1−x) + (−1)N+1e−(a2+x))(−1)
(m1−1)
2 sinx], (12.2)
420 Обмеженi розв’язки рiвняння...
Мал. 8 Перiодичний розв’язок y(x; m1, m2) з двома нулями на перiодi
L = 8π з m1 = 5, m2 = 11.
де N = 1
2(m1 + m2), L = Nπ, M = 1 + (−1)N+1e−L. На мал. 8
представлений розв’язок (12.2) з перiодом L = 8π.
Характеристичне рiвняння (12.1) можна також записати у виглядi
Φ(a1 + θ) = Φ(a2 + θ).
Iз вигляду функцiї Φ (мал. 5) випливає, що розв’язки a1 6= a2 є лише
при ak ≥ 1.56 i L ≥ Lmin = 4.73.
Таким чином, при L < Lmin iснують лише найпростiшi перiоди-
чнi розв’язки. При зростаннi L кiлькiсть нееквiвалентних розв’язкiв
зростає, що видно iз вигляду серiї точних розв’язкiв (12.2).
Покладаючи a1 = m1
π
2 + ε1, де m1 — непарне, характеристичне
рiвняння (12.1),
e−a1 cos(a1 + θ) = e−a2 cos(a2 + θ)
можна звести до рiвняння
ε1 = −θ + arcsin[(−1)
m1+1
2 e−(L−m1π−2ε1) cos(L − m1
π
2
+ θ − ε1)].
Методом стиснених вiдображень можна довести iснування та єди-
нiсть розв’язкiв цього рiвняння i |ε1| < π
4 .
13. Перiодичнi розв’язки з перiодом Nπ
Теорема 13.1. Нехай L = Nπ, де N — натуральне число. Тодi всi
розв’язки характеристичної системи для вiдстаней мiж нулями L–
перiодичних розв’язкiв мають вигляд ak = mk
π
2 + εk, де числа mk —
непарнi, |εk| < π
4 i m1 + m2 + · · · + m2n = 2N.
А. М. Самойленко, I. Л. Нижник 421
Доведення. Детальне доведення для випадку двох нулiв на перiодi
дано вище. Загальний випадок доводиться застосуванням принципу
стиснених вiдображень для рiвнянь вiдносно {εk} вигляду ε = A(ε),
що отримуються iз характеристичної системи (11.2) для вiдстаней ak
вигляду (8.8) мiж нулями перiодичних розв’язкiв.
На мал. 9, 10 представленi перiодичнi розв’язки як iлюстрацiя
теореми 13.1.
Мал. 9 Перiодичний розв’язок з mk = {1, 1, 1, 9} i перiодом L = 6π.
Мал. 10 Перiодичний розв’язок з mk = {1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 5} i перi-
одом L = 9π.
422 Обмеженi розв’язки рiвняння...
14. Просторова ентропiя
Нехай S(L) число всiх нееквiвалентних перiодичних розв’язкiв
рiвняння (1.1) з найменшим перiодом L. Число S(L) завжди скiн-
ченне.
Означення 14.1. Число
η = lim
L→∞
1
L
lnS(L) (14.1)
називатимемо просторовою ентропiєю рiвняння (1.1) вiдносно перi-
одичних розв’язкiв.
Теорема 14.1. Просторова ентропiя рiвняння (1.1) вiдносно перiо-
дичних розв’язкiв визначається числом
η =
2
π
ln
1 +
√
5
2
. (14.2)
Доведення. Нехай L = Nπ, де N — цiле число. Позначимо через
F (N) кiлькiсть рiзних розбиттiв числа N на непарнi частини. На
основi теореми 13.1 отримуємо нерiвнiсть
S(Nπ) ≤ F (2N). (14.3)
З iншого боку, циклiчнi перестановки a1, . . . , a2n призводять до еквi-
валентного перiодичного розв’язку. Тому
S(Nπ) ≥ 1
2N
F (2N). (14.4)
Легко бачити, що F (N) є N — число Фiбоначчi. Цi числа визна-
чаються так: F (1) = 1, F (2) = 1, F (n) = F (n−1)+F (n−2). Вiдомо,
що
F (N) =
1√
5
(pN − (−p)−N ),
де
p =
1 +
√
5
2
.
Тому, iз (14.3), (14.4) отримуємо (14.2).
А. М. Самойленко, I. Л. Нижник 423
Лiтература
[1] D. G. Aronson, H. Weinberger, Multidimensional nonlinear diffusion arising in
population genetics // Adv. Math., 30, (1978), 33–76.
[2] A. Kolmogorov, I. Petrovskii, N. Piskunov, Etude de l’équation de la diffusion avec
croissance de la quantité de matière et son application à un problème biologique //
Bull. Univ. Moskou, Ser. Internat. Sec A, 1 (1937), 1–25.
[3] P. Coullet, C. Elphick, and D. Repaux, Nature of spatial chaos // Phys. Rev.
Lett., 58 (1987), 431–434.
[4] G. T. Dee and W. van Saarloos, Bistable systems with propagating fronts leading
to pattern formation // Phys. Rev. Lett. 60 (1988), 2641-–2644.
[5] J. A. Powell, A. Newell, C. K. R. T. Jones, Competition between generic and
nongeneric fronts in envelope equations // Phys. Rev. A, 44 (1991), 3636–3652.
[6] Y. Pomeau, P. Manneville, Wavelength selection in cellular flows // Phys. Lett.
75A (1980), 296–298.
[7] J. Swift, P. Hohenberg, Hydrodynamic fluctuations at the convective instability //
Phys. Rev. A, 15 (1977), 319-–328.
[8] W. Zimmermann, Propagating fronts near a Lifschitz point // Phys. Rev. Lett.,
66 (1991), 1546.
[9] L. Nizhnik, M. Hasler, I. Nizhnik, Stable stationary solutions in reaction-diffusion
systems consisting of a 1-d array of bistable cells // Int. J. Bifur. Chaos, 2 (2002),
261–279.
[10] I. Nizhnik, Stable stationary solutions for a reaction–diffusion equation with a
multi-stable nonlinearity // Phys. Lett. A, 357 (2006), 319-–322.
[11] L. A. Peletier, J. A. Rodŕiguez, The discrete Swift–Hohenberg equation // Report
Mathematical Institute, Leiden University, MI (2004), 2004-07, 34 pp.
[12] L. A. Peletier, W. C. Troy, R.C.A.M van der Vorst, Stationary solutions of a
fourth-order nonlinear diffusion equation // Differential Equations, 31 (1995),
301–314.
[13] L. A. Peletier, W. C. Troy, A topological shooting method and the existence of
kinks of the extended Fisher–Kolmogorov equation // Topol. Methods Nonlinear
Anal., 6 (1995), N 2, 331–355.
[14] W. D. Kalies, R. C. A. M. VanderVorst, Multitransition homoclinic and heterocli-
nic solutions of the extended Fisher–Kolmogorov equation // J. Differential
Equations, 131 (1996), 209–228.
[15] G. J. B. van den Berg, L. A. Peletier, W. C. Troy, Global branches of multi bump
periodic solutions of the Swift-Hohenberg equation // Arch. Rational Mech. Anal.,
158 (2001), 91–153.
[16] S. Albeverio, I. Nizhnik, Spatial chaos in a fourth-order nonlinear parabolic equati-
on // Phys. Lett. A, 288 (2001), 299–304.
[17] L. A. Peletier, J. A. Rodŕiguez, Homoclinic orbits to a saddle-center in a fourth-
order differential equation // J. Differential Equations, 203 (2004), 185–215.
[18] А. М. Самойленко, Элементы математической теории многочастотных
колебаний. Инвариантные торы, М.: Наука, 1987; (transl: Elements of the
Mathematical Theory of Multi-Frequency Oscillations, Mathematics and its Appli-
cations, V. 71, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1991).
424 Обмеженi розв’язки рiвняння...
[19] А. М. Самойленко, Н. Й. Ронто, Численно-аналитические методы исследова-
ния периодических решений, К.: Вища школа, 1976; (transl: Numerical-analytic
methods of investigating periodic solutions, Moscow: Mir Publishers, 1979).
[20] А. М. Самойленко, Р. I. Петришин, Multifrequency Oscillations of Nonlinear
Systems, Dordrecht–Boston–London: Kluwer Academic Publishers, 2004.
[21] А. М. Самойленко, Р. I. Петришин, Математичнi аспекти теорiї нелiнiйних
коливань, Київ: Наукова думка, 2004.
Вiдомостi про авторiв
Анатолiй
Михайлович
Самойленко,
Iрина Леонiдiвна
Нижник
Iнститут математики НАН України,
вул. Терещенкiвська, 3
01601 Київ-4,
Україна
E-Mail: sam@imath.kiev.ua,
irene@imath.kiev.ua
|