Регулярность степени дифференциального оператора

Доказана одновременная регулярность дифференциального оператора L и его степеней Ld, d ∊ N. Аналогичный результат доказан для усиленно регулярных операторов четного порядка....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автор:	Лунёв, А.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124369
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Регулярность степени дифференциального оператора / А.А. Лунёв // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 4. — С. 475-491. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124369
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1243692017-09-25T03:02:58Z Регулярность степени дифференциального оператора Лунёв, А.А. Доказана одновременная регулярность дифференциального оператора L и его степеней Ld, d ∊ N. Аналогичный результат доказан для усиленно регулярных операторов четного порядка. 2009 Article Регулярность степени дифференциального оператора / А.А. Лунёв // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 4. — С. 475-491. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 47E05. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124369 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Доказана одновременная регулярность дифференциального оператора L и его степеней Ld, d ∊ N. Аналогичный результат доказан для усиленно регулярных операторов четного порядка.
format	Article
author	Лунёв, А.А.
spellingShingle	Лунёв, А.А. Регулярность степени дифференциального оператора Український математичний вісник
author_facet	Лунёв, А.А.
author_sort	Лунёв, А.А.
title	Регулярность степени дифференциального оператора
title_short	Регулярность степени дифференциального оператора
title_full	Регулярность степени дифференциального оператора
title_fullStr	Регулярность степени дифференциального оператора
title_full_unstemmed	Регулярность степени дифференциального оператора
title_sort	регулярность степени дифференциального оператора
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124369
citation_txt	Регулярность степени дифференциального оператора / А.А. Лунёв // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 4. — С. 475-491. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT lunëvaa regulârnostʹstepenidifferencialʹnogooperatora
first_indexed	2025-07-09T01:20:01Z
last_indexed	2025-07-09T01:20:01Z
_version_	1837130321077731328
fulltext	Український математичний вiсник Том 6 (2009), № 4, 475 – 491 Регулярность степени дифференциального оператора Антон А. Лунёв (Представлена М. М. Маламудом) Аннотация. Доказана одновременная регулярность дифференци- ального оператора L и его степеней Ld, d ∈ N. Аналогичный резуль- тат доказан для усиленно регулярных операторов четного порядка. 2000 MSC. 47E05. Ключевые слова и фразы. Дифференциальный оператор, крае- вая задача, регулярные и усиленно регулярные краевые условия. 1. Введение. Формулировка основных результатов В данной работе изучается важный аспект в спектральной те- ории дифференциальных операторов: регулярные краевые условия. Главным объектом исследования является обыкновенный дифферен- циальный оператор L в пространстве L2(0, 1), порожденный диффе- ренциальным выражением l(y) = y(n) + pn−1(x)y (n−1) + · · · + p0(x)y, (1.1) где функции ps(x) бесконечно дифференциируемы на [0, 1], и норми- рованными краевыми условиями Uν(y) ≡ Uν0(y) + Uν1(y) = 0, ν = 1, . . . , n, где (1.2) Uν0(y) = ανy (kν) 0 + kν−1∑ s=0 αν,sy (s) 0 , (1.3) Uν1(y) = βνy (kν) 1 + kν−1∑ s=0 βν,sy (s) 1 , (1.4) Статья поступила в редакцию 20.07.2009 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 476 Регулярность степени... \|αν \| + \|βν \| 6= 0, 0 6 k1 6 k2 6 · · · 6 kn 6 n− 1, kν < kν+2, y (s) 0 = dsy(x)/dxs\|x=0, y (s) 1 = dsy(x)/dxs\|x=1. В работе [1] Дж. Д. Биркгоф развил асимптотические методы ис- следования оператора L. В частности, он выделил важный класс кра- евых условий, которые назвал регулярными. Оператор порожденный выражением (1.1) и регулярными краевыми условиями (1.2), мы та- кже условимся называть регулярным. Отметим, что в определении регулярности участвуют только коэффициенты αν и βν , ν = 1, . . . , n, при старших производных в условиях (1.3), (1.4), и не участвуют коэффициенты ps(x) дифференциального выражения (1.1). Важный результат, установленный Биркгофом, состоял в оценке резольвенты регулярного дифференциального оператора. В дальнейшем регулярными краевыми условиями занимались многие авторы. Был выделен важный подкласс регулярных краевых условий, так называемые усиленно регулярные краевые условия. Как и ранее, оператор порожденный выражением (1.1) и усиленно регу- лярными краевыми условиями (1.2), мы также условимся называть усиленно регулярным. В частности, Г. М. Кесельман [5], В. П. Михай- лов [6] независимо доказали, что в предположении усиленной регу- лярности краевых условий (1.2), система корневых векторов операто- ра L образует безусловный базис в пространстве L2(0, 1). Одной толь- ко регулярности для этого не достаточно, как показывают примеры Г. М. Кесельмана [5], П. Уокера [4] и Дж. Локера [2]. Для регулярных же краевых условий А. А. Шкаликов [8] доказал безусловную бази- сность со скобками. Не так давно А. М. Минкин [3] доказал обратное утверждение, а именно, что безусловная базисность системы корне- вых векторов влечет регулярность оператора. Отметим также, что Г. М. Кесельман [5] и В. П. Михайлов [6] доказали, что операторы L и L∗ регулярны (усиленно регулярны) одновременно. В данной работе изучается зависимость между свойствами регу- лярности оператора L и его натуральных степеней Ld, d ∈ N. Анало- гичный вопрос рассматривается для свойства усиленной регулярно- сти тех же операторов. Напомним определение регулярности нормированных краевых условий, следуя [7, гл. 2, §4]. Для этого введем несколько обозна- чений, которые понадобятся нам в дальнейшем. Для n ∈ N и k ∈ {0, 1, 2, . . . , 2n − 1} обозначим через Sn,k сектор комплексной ρ-плоскости, задаваемый неравенством kπ n 6 arg ρ 6 (k+1)π n . А. А. Лунёв 477 Пусть ωn,k,1, . . . , ωn,k,n — все различные корни n-ой степени из −1, занумерованные таким образом, что при ρ ∈ Sn,k ℜ(ρωn,k,1) 6 ℜ(ρωn,k,2) 6 · · · 6 ℜ(ρωn,k,n). (1.5) Введем также следующее обозначение. При нечетном n = 2µ − 1 обозначим aν = aν(h) = (αν , . . . , αν︸︷︷︸ µ−1 , αν + βνh, βν , . . . , βν︸︷︷︸ µ−1 ), а при четном n = 2µ aν = aν(h) = (αν , . . . , αν︸︷︷︸ µ−1 , αν + βνh, αν + βν/h, βν , . . . , βν︸︷︷︸ µ−1 ). p-тый элемент набора aν будем обозначать aν,p или aν,p(h), если хотим показать зависимость от h. Здесь ν = 1, . . . , n. Далее обозначим δL,k(h) = det ( aν,p(h)ω kν n,k,p )n ν,p=1 = det   a1,1ω k1 n,k,1 a1,2ω k1 n,k,2 · · · a1,nω k1 n,k,n a2,1ω k2 n,k,1 a2,2ω k2 n,k,2 · · · a2,nω k2 n,k,n ... ... . . . ... an,1ω kn n,k,1 an,2ω kn n,k,2 · · · an,nω kn n,k,n   . (1.6) Ясно, что при нечетном n определитель δL,k(h) = θL,0,k + θL,1,kh, где определители θL,0,k и θL,1,k не зависят от h, а зависят лишь от коэффициентов αν и βν , ν = 1, . . . , n, при старших произво- дных в условиях (1.3), (1.4), а при четном n определитель δL,k(h) = θL,−1,k/h+θL,0,k+θL,1,kh, где определители θL,−1,k, θL,0,k и θL,1,k опять- таки не зависят от h, а зависят лишь от коэффициентов αν и βν , ν = 1, . . . , n. Определение 1.1. Условия (1.2) называются регулярными, если (i) при нечетном n числа θL,0,k и θL,1,k отличны от нуля. (ii) при четном n числа θL,−1,k и θL,1,k отличны от нуля. Говорят, что условия (1.2) усиленно регулярны, если они регу- лярны и дополнительно при n четных θ2 L,0,k 6= 4θL,1,kθL,−1,k. 478 Регулярность степени... Данное определение регулярности совпадает с классическим (см. [7, гл. 2, §4, п. 8]), но записано более компактно. Как известно (см. [7, гл. 2, §4, п. 8, стр. 67]), определение регулярности не зависит от k. Основным результатом работы является следующая Теорема 1.1. Пусть оператор L порожден дифференциальным выражением (1.1) и краевыми условиями (1.2), и d ∈ N. Тогда опера- торы L и Ld регулярны одновременно. Если n — четное, то опера- торы L и Ld усиленно регулярны одновременно. Если n — нечетное, d — четное, а оператор L регулярен, то оператор Ld, вообще говоря, не является усиленно регулярным. 2. Доказательство теоремы 1.1 Ясно, что оператор Ld задается дифференциальным выражением ld(y) := l(l(. . . l(︸︷︷︸ d y) . . . )) и краевыми условиями Uν(lj(y)) = 0, ν = 1, . . . , n, j = 0, . . . , d− 1. (2.1) Так как коэффициенты p0, p1, . . . , pn−1 бесконечно дифференцируе- мые на отрезке [0, 1], то lj(y) = y(nj) + nj−1∑ s=0 pj,sy (s), j = 0, 1, . . . , d− 1, где pj,s ∈ C∞[0, 1]. Поэтому Uν0(lj(y)) = αν dkν dxkν ( y(nj) + nj−1∑ s=0 pj,sy (s) )∣∣∣∣ x=0 + kν−1∑ s=0 αν,s dslj(y) dxs ∣∣∣∣ x=0 = ανy (nj+kν) 0 + nj+kν−1∑ s=0 α̃ν,sy (s) 0 , ν = 1, . . . , n, j = 0, . . . , d− 1 для некоторых коэффициентов α̃ν,s. Аналогично Uν1(lj(y)) = βνy (nj+kν) 1 + nj+kν−1∑ s=0 β̃ν,sy (s) 1 , ν = 1, . . . , n, j = 0, . . . , d−1 А. А. Лунёв 479 для некоторых коэффициентов β̃ν,s. Полученные равенства пока- зывают, что краевые условия Uν(lj(y)), занумерованные в поряд- ке возрастания j, а при фиксированном j в порядке возрастания ν, ν = 1, . . . , n, j = 0, 1, . . . , d− 1, являются нормированными. Обозначим N = nd. Введем, как и ранее, следующее обозначение. При нечетном N = 2µ̃− 1 обозначим ãν = ãν(h) = (αν , . . . , αν︸︷︷︸ µ̃−1 , αν + βνh, βν , . . . , βν︸︷︷︸ µ̃−1 ), а при четном N = 2µ̃ ãν = ãν(h) = (αν , . . . , αν︸︷︷︸ µ̃−1 , αν + βνh, αν + βν/h, βν , . . . , βν︸︷︷︸ µ̃−1 ). p-тый элемент набора ãν будем обозначать ãν,p или ãν,p(h), если хо- тим показать зависимость от h. Здесь ν = 1, . . . , n. Используя эти обозначения, определитель δLd,0(h) примет вид δLd,0(h) = det ( ãν,p(h)ω nj+kν N,0,p )N q,p=1 , (2.2) где числа j и ν однозначно находятся по q из условий q = nj + ν, j = 0, 1, . . . , d− 1, ν = 1, . . . , n. Или в матричном виде δLd,0(h) = det   ã1,1 ω k1 N,0,1 ã1,2 ω k1 N,0,2 . . . ã1,N ωk1 N,0,N ã2,1 ω k2 N,0,1 ã2,2 ω k2 N,0,2 . . . ã2,N ωk2 N,0,N ... ... . . . ... ãn,1 ω kn N,0,1 ãn,2 ω kn N,0,2 . . . ãn,N ωkn N,0,N ã1,1 ω n+k1 N,0,1 ã1,2 ω n+k1 N,0,2 . . . ã1,N ωn+k1 N,0,N ... ... . . . ... ãn,1 ω n+kn N,0,1 ãn,2 ω n+kn N,0,2 . . . ãn,N ωn+kn N,0,N ... ... ... ... ã1,1 ω (d−1)n+k1 N,0,1 ã1,2 ω (d−1)n+k1 N,0,2 . . . ã1,N ω (d−1)n+k1 N,0,N ... ... . . . ... ãn,1 ω (d−1)n+kn N,0,1 ãn,2 ω (d−1)n+kn N,0,2 . . . ãn,N ω (d−1)n+kn N,0,N   . 480 Регулярность степени... Из неравенства (1.5) следует, что ωN,0,p = e iπ(2τ̃p−1) N , p = 1, . . . , N, где (τ̃1, τ̃2, τ̃3, τ̃4, τ̃5, . . . , τ̃N−1, τ̃N ) = (µ̃, µ̃− 1, µ̃+ 1, µ̃− 2, µ̃+ 2, . . . , 1, N) (2.3) при нечетном N , и (τ̃1, τ̃2, τ̃3, τ̃4, τ̃5, . . . , τ̃N−1, τ̃N ) = (µ̃, µ̃+ 1, µ̃− 1, µ̃+ 2, µ̃− 2, . . . , 1, N) (2.4) при четном N . Формулы (2.3) и (2.4) можно записать независимо от четности N следующим образом τ̃N−2p = N − p, 0 6 p 6 N − 1 2 . τ̃N−2p−1 = p+ 1, 0 6 p 6 N 2 − 1. (2.5) Из формул (2.3) и (2.4) видно, что независимо от четности N числа τ̃p при p ∈ {1, . . . , N} пробегают все натуральные числа от 1 до N включительно. Заметим, что любое натуральное число p от 1 до N = nd можно единственным образом представить в виде p = nl + s и в виде p = d(s − 1) + l + 1, где l ∈ {0, 1, . . . , d − 1}, s ∈ {1, . . . , n}. Поэтому существует такая перестановка σ чисел от 1 до N , что τ̃σp = τ̃σnl+s = d(s− 1) + l + 1, l = 0, 1, . . . , d− 1, s = 1, . . . , n. (2.6) Заметим, что тогда ωnj N,0,σp = ωnj N,0,σnl+s = ( e πi(2τ̃σnl+s −1) N )nj = ( e πi(2d(s−1)+2l+1) d )j = ( e πi(2l+1) d )j . (2.7) Переставляя столбцы определителя δLd,0(h) с помощью перестановки σ и учитывая (2.7), получим δLd,0(h) = sign(σ) · det ( ãν,σp ω nj+kν N,0,σp )N q,p=1 = sign(σ) · det ( ( e πi(2l+1) d )j ãν,σp ω kν N,0,σp )N q,p=1︸︷︷︸ A = sign(σ) · detA, где p = nl + s, l = 0, 1, . . . , d − 1, s = 1, . . . , n и как и ранее q = nj + ν, j = 0, 1, . . . , d− 1, ν = 1, . . . , n. А. А. Лунёв 481 Пусть Al = ( ãν,σnl+s ωkν N,0,σnl+s )n ν,s=1 =   ã1,σnl+1 ωk1 N,0,σnl+1 ã1,σnl+2 ωk1 N,0,σnl+2 . . . ã1,σnl+n ωk1 N,0,σnl+n ã2,σnl+1 ωk2 N,0,σnl+1 ã2,σnl+2 ωk2 N,0,σnl+2 . . . ã2,σnl+n ωk2 N,0,σnl+n ... ... . . . ... ãn,σnl+1 ωkn N,0,σnl+1 ãn,σnl+2 ωkn N,0,σnl+2 . . . ãn,σnl+n ωkn N,0,σnl+n   . Тогда матрицу A можно представить в блочном виде A = ( ( e πi(2l+1) d )j Al )d−1 j,l=0 =   A0 A1 . . . Ad−1 e πi d A0 e 3πi d A1 . . . e (2d−1)πi d Ad−1( e πi d )2 A0 ( e 3πi d )2 A1 . . . ( e (2d−1)πi d )2 Ad−1 ... ... . . . ...( e πi d )d−1 A0 ( e 3πi d )d−1 A1 . . . ( e (2d−1)πi d )d−1 Ad−1   =   In In . . . In e πi d In e 3πi d In . . . e (2d−1)πi d In( e πi d )2 In ( e 3πi d )2 In . . . ( e (2d−1)πi d )2 In ... ... . . . ...( e πi d )d−1 In ( e 3πi d )d−1 In . . . ( e (2d−1)πi d )d−1 In   ×   A0 0 0 . . . 0 0 A1 0 . . . 0 0 0 A2 . . . 0 ... ... ... . . . ... 0 0 0 . . . Ad−1   , где In — единичная матрица порядка n. Поэтому δLd,0(h) = sign(σ)·detA = sign(σ)·Wn·detA0·detA1·. . .detAd−1, (2.8) где W = det ( ( e πi(2l+1) d )j )d−1 j,l=0 482 Регулярность степени... = det   1 1 1 . . . 1 e πi d e 3πi d e 5πi d . . . e (2d−1)πi d ( e πi d )2 ( e 3πi d )2 ( e 5πi d )2 . . . ( e (2d−1)πi d )2 ... ... ... . . . ...( e πi d )d−1 ( e 3πi d )d−1 ( e 5πi d )d−1 . . . ( e (2d−1)πi d )d−1   — определитель Вандермонда. Так как все числа e πi(2l+1) d , l = 0, 1, . . . , d− 1, различны, то W 6= 0. Так как ωN,0,σnl+s = e πi(2d(s−1)+2l+1) N = e πi(2l+1−d) N e πi(2s−1) n , то detAl = n∏ ν=1 ( e πi(2l+1−d) N )kν · det ( ãν,σnl+s ( e πi(2s−1) n )kν )n ν,s=1 . (2.9) Обозначим через Bl определитель в правой части равенства (2.9), то есть Bl = det   ã1,σnl+1 ( e πi n )k1 . . . ã1,σnl+n ( e (2n−1)πi n )k1 ã2,σnl+1 ( e πi n )k2 . . . ã2,σnl+n ( e (2n−1)πi n )k2 ... . . . ... ãn,σnl+1 ( e πi n )kn . . . ãn,σnl+n ( e (2n−1)πi n )kn   n ν,s=1 . (2.10) Аналогично формуле (2.5) имеем ωn,0,s = e iπ(2τs−1) n , где τn−2s = n− s, 0 6 s 6 n− 1 2 , τn−2s−1 = s+ 1, 0 6 s 6 n 2 − 1. (2.11) С другой стороны, ωn,2n−1,s = e iπ(2ts−1) n , где tn−2s = s+ 1, 0 6 s 6 n− 1 2 , tn−2s−1 = n− s, 0 6 s 6 n 2 − 1. (2.12) При 0 6 l 6 d 2−1 переставим столбцы определителя Bl с помощью перестановки t, а при d−1 2 6 l 6 d − 1 — с помощью перестановки τ . Учитывая формулы для ωn,2n−1,s и ωn,0,s, получим Bl = sign(t) det ( ãν,σnl+ts ωkν n,2n−1,s )n ν,s=1 , 0 6 l 6 d 2 − 1, Bl = sign(τ) det ( ãν,σnl+τs ωkν n,0,s )n ν,s=1 , d− 1 2 6 l 6 d− 1. (2.13) А. А. Лунёв 483 Обозначим ϕl,s = σnl+ts , 0 6 l 6 d 2 − 1, ϕl,s = σnl+τs , d− 1 2 6 l 6 d− 1. (2.14) ul = 2n− 1, 0 6 l 6 d 2 − 1, ul = 0, d− 1 2 6 l 6 d− 1. (2.15) Cl = det ( ãν,ϕl,s ωkν n,ul,s )n ν,s=1 , 0 6 l 6 d− 1. (2.16) Подставляя формулы (2.9) в равенство (2.8), с учетом определе- ния определителей Bl, формулы (2.13) и обозначений (2.14), (2.15) и (2.16), получим δLd,0(h) = Ω · C0C1 . . . Cd−1, (2.17) где Ω = ∏d−1 l=0 ∏n ν=0 ( e πi(2l+1−d) N )kν · sign(σ) · sign(t)⌊ d 2 ⌋ · sign(τ)⌈ d 2 ⌉ ·Wn — ненулевая константа, зависящая лишь от n и d. Чтобы установить связь между определителями Cl и определите- лем δL,k(h) нам понадобится следующая Лемма 2.1. Для чисел ϕl,s выполнены следующие равенства ϕl,s = d(s− 1) + d− 2l − 1, s = n− 2p, 0 6 p 6 n− 1 2 , 0 6 l 6 d 2 − 1. ϕl,s = d(s− 1) + 2l + 2, s = n− 2p− 1, 0 6 p 6 n 2 − 1, 0 6 l 6 d 2 − 1. ϕl,s = d(s− 1) + 2l + 2 − d, s = n− 2p, 0 6 p 6 n− 1 2 , d− 1 2 6 l 6 d− 1. ϕl,s = d(s− 1) + 2d− 2l + 1, s = n− 2p− 1, 0 6 p 6 n 2 − 1, d− 1 2 6 l 6 d− 1. (2.18) 484 Регулярность степени... Доказательство. Пусть ψ — перестановка, обратная к перестановке τ̃ . Тогда из формулы (2.5) вытекает, что ψN−p = N − 2p, 0 6 p 6 N − 1 2 , ψp+1 = N − 2p− 1, 0 6 p 6 N 2 − 1. или ψq = 2q −N, N + 1 2 6 q 6 N, ψq = N − 2q + 1, 1 6 q 6 N 2 . (2.19) Из (2.6) следует, что σnl+s = ψd(s−1)+l+1, l = 0, 1, . . . , d− 1, s = 1, . . . , n. (2.20) Теперь докажем (2.18). Пусть вначале 0 6 l 6 d 2 − 1. Тогда по (2.14) и (2.20) φl,s = σnl+ts = ψd(ts−1)+l+1. (2.21) Если s = n− 2p, где 0 6 p 6 n−1 2 , то по (2.12) ts = tn−2p = p+ 1. Поэтому d(ts − 1) + l + 1 = d · p+ l + 1 6 d · n− 1 2 + d 2 = N 2 . Отсюда по (2.21) и второму равенству в (2.19) φl,s = ψd(ts−1)+l+1 = ψd·p+l+1 = N − 2(d · p+ l + 1) + 1 = d(n− 2p− 1) + d− 2l − 1 = d(s− 1) + d− 2l − 1. Если же s = n− 2p− 1, где 0 6 p 6 n 2 − 1, то по (2.12) ts = tn−2p−1 = n− p. Поэтому d(ts − 1) + l + 1 = d(n− p− 1) + l + 1 > d ( n− n 2 ) + 1 = N 2 + 1. Отсюда по (2.21) и первому равенству в (2.19) А. А. Лунёв 485 φl,s = ψd(ts−1)+l+1 = ψd(n−p−1)+l+1 = 2(d(n− p− 1) + l + 1) −N = d(n− 2p− 2) + 2l + 2 = d(s− 1) + 2l + 2. Таким образом, случай 0 6 l 6 d 2 − 1 разобран. Случай d−1 2 6 l 6 d − 1 разбирается аналогично с заменой пере- становки t на τ . Из (2.18) видно, что при фиксированном s ∈ {1, . . . , n} последо- вательность ϕl,s пробегает все числа от d(s − 1) + 1 до ds, когда l пробегает числа от 0 до d− 1, то есть {ϕ0,s, ϕ1,s, . . . , ϕd−1,s} = {d(s− 1) + 1, d(s− 1) + 2, . . . , d(s− 1) + d}. (2.22) Рассмотрим отдельно случаи четности чисел n и d. 1) n, d — нечетные. Напомним, что в этом случае n = 2µ − 1 и N = nd = 2µ̃ − 1. Обозначим также d = 2η − 1. Отсюда, в частности, следует, что µ̃ = d(µ− 1) + η. (2.23) Пусть ν ∈ {1, . . . , n} — фиксированное число. Так как N нечетно, то по определению набора ãν ãν,p = αν , 1 6 p 6 µ̃− 1, ãν,p = αν + βνh, p = µ̃, ãν,p = βν , µ̃+ 1 6 p 6 N. (2.24) В силу (2.22) и (2.23) при l ∈ {0, 1, . . . , d− 1} выполнены неравен- ства ϕl,s 6 d s 6 d(µ− 1) < µ̃, 1 6 s 6 µ− 1, ϕl,s 6 d(s− 1) + 1 > dµ+ 1 > µ̃, µ+ 1 6 s 6 n. Поэтому ãν,ϕl,s = αν , 1 6 s 6 µ− 1, ãν,ϕl,s = βν , µ+ 1 6 s 6 n, 486 Регулярность степени... Таким образом, (ãν,ϕ0,1 , ãν,ϕ0,2 , . . . , ãν,ϕ0,n ) = (αν , . . . , αν︸︷︷︸ µ−1 , ãν,ϕ0,µ , βν , . . . , βν︸︷︷︸ µ−1 ), (ãν,ϕ1,1 , ãν,ϕ1,2 , . . . , ãν,ϕ1,n ) = (αν , . . . , αν︸︷︷︸ µ−1 , ãν,ϕ1,µ , βν , . . . , βν︸︷︷︸ µ−1 ), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ãν,ϕd−1,1 , ãν,ϕd−1,2 , . . . , ãν,ϕd−1,n ) = (αν , . . . , αν︸︷︷︸ µ−1 , ãν,ϕd−1,µ , βν , . . . , βν︸︷︷︸ µ−1 ). (2.25) В силу (2.22) существует такая перестановка γ чисел от 0 до d − 1, что (ϕγ1,µ, ϕγ2,µ, . . . , ϕγd,µ) = (d(µ− 1) + 1, d(µ− 1) + 2, . . . , d(µ− 1) + d). (2.26) Переставляя строки в (2.25), с помощью перестановки γ и учи- тывая (2.26), получим (ãν,ϕγ1,1 , ãν,ϕγ1,2 , . . . , ãν,ϕγ1,n) = (αν , . . . , αν︸︷︷︸ µ−1 , ãν,d(µ−1)+1, βν , . . . , βν︸︷︷︸ µ−1 ), (ãν,ϕγ2,1 , ãν,ϕγ2,2 , . . . , ãν,ϕγ2,n) = (αν , . . . , αν︸︷︷︸ µ−1 , ãν,d(µ−1)+2, βν , . . . , βν︸︷︷︸ µ−1 ), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ãν,ϕγd,1 , ãν,ϕγd,2 , . . . , ãν,ϕγd,n) = (αν , . . . , αν︸︷︷︸ µ−1 , ãν,d(µ−1)+d, βν , . . . , βν︸︷︷︸ µ−1 ). (2.27) В силу равенства (2.24) и формулы (2.23), имеем ãν,d(µ−1)+1 = αν , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ãν,d(µ−1)+η−1 = αν , ãν,d(µ−1)+η = αν + βνh, ãν,d(µ−1)+η+1 = βν , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ãν,d(µ−1)+d = βν . (2.28) А. А. Лунёв 487 Обозначим a[0] ν = (αν , . . . , αν︸︷︷︸ µ−1 , αν , βν , . . . , βν︸︷︷︸ µ−1 ), a[1] ν = (αν , . . . , αν︸︷︷︸ µ−1 , βν , βν , . . . , βν︸︷︷︸ µ−1 ), p-тые элементы наборов a [0] ν и a [1] ν будем обозначать соответсвенно a [0] ν,p и a [1] ν,p. Будем также обозначать через ãν,ϕl набор (ãν,ϕl,1 , ãν,ϕl,2 , . . . , ãν,ϕl,n ). Равенства (2.27) с учетом новых обозначений и формулы (2.28) примут вид ãν,ϕγ1 = a[0] ν , . . . . . . . . . . . . . . . . . . ãν,ϕγη−1 = a[0] ν , ãν,ϕγη = aν(h), ãν,ϕγη+1 = a[1] ν , . . . . . . . . . . . . . . . . . . ãν,ϕγd = a[1] ν . (2.29) Заметим, что из формулы (1.6) и равенства δL,k = θL,0,k + θL,1,kh следует, что θL,0,k = det ( a[0] ν,p ω kν n,k,p )n ν,p=1 , θL,1,k = det ( a[1] ν,p ω kν n,k,p )n ν,p=1 . (2.30) Теперь с учетом формул (2.16), (2.29) и (2.30) имеем Cγ1 = det ( ãν,ϕγ1,s ω kν n,uγ1 ,s )n ν,s=1 = det ( a[0] ν,s ω kν n,uγ1 ,s )n ν,s=1 = θL,0,uγ1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cγη−1 = det ( ãν,ϕγη−1,s ω kν n,uγη−1 ,s )n ν,s=1 = det ( a[0] ν,s ω kν n,uγη−1 ,s )n ν,s=1 = θL,0,uγη−1 , 488 Регулярность степени... Cγη = det ( ãν,ϕγη,s ω kν n,uγη ,s )n ν,s=1 = det ( aν,s(h)ω kν n,uγη ,s )n ν,s=1 = δL,uγη (h), Cγη+1 = det ( ãν,ϕγη+1,s ω kν n,uγη+1 ,s )n ν,s=1 = det ( a[1] ν,s ω kν n,uγη+1 ,s )n ν,s=1 = θL,1,uγη+1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cγd = det ( ãν,ϕγd,s ω kν n,uγd ,s )n ν,s=1 = det ( a[1] ν,s ω kν n,uγd ,s )n ν,s=1 = θL,1,uγd . (2.31) Обозначим для краткости vl = uγl , l ∈ {1, . . . , d}. Подставляя формулы (2.31) в равенство (2.17), получим δLd,0(h) = Ω · θL,0,v1 · · · θL,0,vη−1 · δL,vη(h) · θL,1,vη+1 · · · θL,1,vd . (2.32) Откуда θLd,0,0 = Ω · θL,0,v1 · · · θL,0,vη−1 · θL,0,vη · θL,1,vη+1 · · · θL,1,vd , θLd,1,0 = Ω · θL,0,v1 · · · θL,0,vη−1 · θL,1,vη · θL,1,vη+1 · · · θL,1,vd . (2.33) Из формул (2.33) непосредственно видно, что операторы L и Ld ре- гулярны одновременно. 2) n — нечетное, d — четное. В этом случае n = 2µ−1 и N = nd = 2µ̃. Обозначим также d = 2η. Отсюда, в частности, следует, что µ̃ = d(µ− 1) + η. Пусть ν ∈ {1, . . . , n} — фиксированное число. Так как N чётно, то по определению набора ãν ãν,p = αν , 1 6 p 6 µ̃− 1, ãν,p = αν + βνh, p = µ̃, ãν,p = αν + βν/h, p = µ̃+ 1, ãν,p = βν , µ̃+ 2 6 p 6 N. (2.34) Поэтому, аналогично предыдущему случаю, для некоторой переста- А. А. Лунёв 489 новки γ чисел от 0 до d− 1 выполнены равенства Cγ1 = θL,0,uγ1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cγη−1 = θL,0,uγη−1 , Cγη = δL,uγη (h), Cγη+1 = δL,uγη+1 (1 h ) , Cγη+2 = θL,1,uγη+2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cγd = θL,1,uγd . (2.35) Обозначим, как и ранее, vl = uγl , l ∈ {1, . . . , d}. Подставляя форму- лы (2.35) в равенство (2.17), получим δLd,0(h) = Ω ·θL,0,v1 · · · θL,0,vη−1 · δL,vη(h) · δL,vη+1 (1 h ) ·θL,1,vη+2 · · · θL,1,vd . (2.36) Откуда θLd,−1,0 = Ω · θL,0,v1 · · · θL,0,vη−1 · θL,0,vη · θL,1,vη+1 · θL,1,vη+2 · · · θL,1,vd , θLd,1,0 = Ω · θL,0,v1 · · · θL,0,vη−1 · θL,1,vη · θL,0,vη+1 · θL,1,vη+2 · · · θL,1,vd . (2.37) Из формул (2.37) непосредственно видно, что операторы L и Ld ре- гулярны одновременно. Пример регулярных краевых условий нечетного порядка, которые в некоторой четной степени не являются усиленно регулярными, да- ют условия первого порядка y(0) = y(1). Краевые условия для ква- драта соответствующего оператора имеют вид y(0) = y(1), y′(0) = y′(1). Это так называемые периодические краевые условия. Они, как известно, регулярны, но не усиленно регулярны. 3) n — четное. В этом случае n = 2µ и N = nd = 2µ̃. Докажем, что тогда ϕl,µ + ϕl,µ+1 = N + 1, 0 6 l 6 d− 1. (2.38) Пусть вначале 0 6 l 6 d 2 − 1. Так как числа µ и µ + 1 разной четности, то в силу (2.18) независимо от четности µ имеем ϕl,µ +ϕl,µ+1 = d(µ− 1) + dµ+ (d− 2l− 1) + (2l+ 2) = 2dµ+ 1 = N + 1. Пусть теперь d−1 2 6 l 6 d− 1. Как и выше получим ϕl,µ+ϕl,µ+1 = d(µ−1)+dµ+(2l+2−d)+(2d−2l+1) = 2dµ+1 = N+1. 490 Регулярность степени... Таким образом, равенство (2.38) доказано. Заметим, что µ̃ = dµ = d(µ− 1) + µ ∈ {d(µ− 1) + 1, d(µ− 1) + 2, . . . , d(µ− 1) + d}. Поэтому в силу (2.22) при s = µ найдется такое l̃ ∈ {0, 1, . . . , d − 1}, что ϕ l̃,µ = µ̃ = N/2. Но тогда в силу (2.38) имеем ϕ l̃,µ+1 = N/2 + 1 = µ̃+ 1. Пусть ν ∈ {1, . . . , n} — фиксированное число. Так как N чётно, то по определению вектора ãν выполнены равенства (2.34). Поэто- му в силу (2.22) и равенств ϕ l̃,µ = µ̃ и ϕ l̃,µ+1 = µ̃ + 1, аналогично рассмотрениям предыдущих случаев, имеем (ãν,ϕl,1 , ãν,ϕl,2 , . . . , ãν,ϕl,n ) = (αν , . . . , αν︸︷︷︸ µ−1 , αν , βν , βν , . . . , βν︸︷︷︸ µ−1 ), l 6= l̃, (ãν,ϕl,1 , ãν,ϕl,2 , . . . , ãν,ϕl,n ) = (αν , . . . , αν︸︷︷︸ µ−1 , αν + βνh, αν + βν/h, βν , . . . , βν︸︷︷︸ µ−1 ), l = l̃. (2.39) Учитывая определение определителей Cl, θL,−1,k и δL,k(h) и форму- лу (2.39), получим Cl = θL,−1,ul , l 6= l̃, Cl = δL,ul (h), l = l̃. (2.40) Подставляя формулу (2.40) в (2.17), получим δLd,0(h) = Ω · d−1∏ l=0 l6=l̃ θL,−1,ul · δL,u l̃ (h). (2.41) Из формулы (2.41) непосредственно видно, что операторы L и Ld регулярны одновременно и усиленно регулярны одновременно. Таким образом, доказано, что во всех трех случаях операторы L и Ld регулярны одновременно. Относительно усиленной регулярности выполняются все сформулированные в теореме утверждения. Значит, теорема доказана. Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность М. М. Маламуду за постановку задачи и внимание к работе. Автор также признателен М. М. Маламуду и Л. Л. Оридороге за ряд ценных замечаний и полезное обсуждение. Литература [1] G. D. Birkhoff, H. S. Vandiver, Boundary value and expansion problems of ordi- nary linear differential equations // Trans. Amer. Math. Soc., 9 (1908), 373–395. [2] J. Locker, Spectral Theory of Non-Self-Adjoint Two-Point Differential Operators, Math. Surveys and Monogr., 73, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000. А. А. Лунёв 491 [3] A. M. Minkin, Resolvent growth and Birkhoff-regularity // Journal of Mathemati- cal Analysis and Applications, 323 (2005), N 1, 387–402. [4] P. W. Walker, A nonspectral Birkhoff-regular differential operator // Proc. Amer. Math. Soc., 66 (1977), N 1, 187–188. [5] Г. М. Кесельман, О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов // Изв. вузов СССР, Математика, (1964), N 2 82–93. [6] В. П. Михайлов, О базисах Рисса в L2(0, 1) // ДАН СССР, 144 (5) (1962), 981–984. [7] М. А. Наймарк, Линейные дифференциальные операторы, Наука, М., 1969. [8] А. А. Шкаликов, О базисности собственных функций обыкновенного диффе- ренциального оператора // Успехи Мат. Наук, 34:5 (209) (1979), 235–236. Сведения об авторах Антон А. Лунёв Институт прикладной математики и механики НАН Украины ул. Розы Люксембург, 74 83114, Донецк Украина E-Mail: Anton_Lunyov@mail.ru

Регулярность степени дифференциального оператора

Репозитарії

Схожі ресурси