Нелокальні формули розмноження розв'язків та умовна симетрія рівняння синус-Гордон
Одержано ланцюжок розв’язкiв солiтонного типу рiвняння синус-Гордон методами нелокальної та умовної симетрiї.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124371 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нелокальні формули розмноження розв'язків та умовна симетрія рівняння синус-Гордон / М.І. Сєров, Л.М. Блажко // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 4. — С. 531-552. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124371 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243712018-07-17T22:17:43Z Нелокальні формули розмноження розв'язків та умовна симетрія рівняння синус-Гордон Сєров, М.І. Блажко, Л.М. Одержано ланцюжок розв’язкiв солiтонного типу рiвняння синус-Гордон методами нелокальної та умовної симетрiї. 2009 Article Нелокальні формули розмноження розв'язків та умовна симетрія рівняння синус-Гордон / М.І. Сєров, Л.М. Блажко // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 4. — С. 531-552. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 37K35, 76M60. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124371 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Одержано ланцюжок розв’язкiв солiтонного типу рiвняння синус-Гордон методами нелокальної та умовної симетрiї. |
| format |
Article |
| author |
Сєров, М.І. Блажко, Л.М. |
| spellingShingle |
Сєров, М.І. Блажко, Л.М. Нелокальні формули розмноження розв'язків та умовна симетрія рівняння синус-Гордон Український математичний вісник |
| author_facet |
Сєров, М.І. Блажко, Л.М. |
| author_sort |
Сєров, М.І. |
| title |
Нелокальні формули розмноження розв'язків та умовна симетрія рівняння синус-Гордон |
| title_short |
Нелокальні формули розмноження розв'язків та умовна симетрія рівняння синус-Гордон |
| title_full |
Нелокальні формули розмноження розв'язків та умовна симетрія рівняння синус-Гордон |
| title_fullStr |
Нелокальні формули розмноження розв'язків та умовна симетрія рівняння синус-Гордон |
| title_full_unstemmed |
Нелокальні формули розмноження розв'язків та умовна симетрія рівняння синус-Гордон |
| title_sort |
нелокальні формули розмноження розв'язків та умовна симетрія рівняння синус-гордон |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124371 |
| citation_txt |
Нелокальні формули розмноження розв'язків та умовна симетрія рівняння синус-Гордон / М.І. Сєров, Л.М. Блажко // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 4. — С. 531-552. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT sêrovmí nelokalʹníformulirozmnožennârozvâzkívtaumovnasimetríârívnânnâsinusgordon AT blažkolm nelokalʹníformulirozmnožennârozvâzkívtaumovnasimetríârívnânnâsinusgordon |
| first_indexed |
2025-07-09T01:20:14Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:20:14Z |
| _version_ |
1837130336687882240 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 6 (2009), № 4, 531 – 552
Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв
та умовна симетрiя рiвняння синус-Гордон
Микола I. Сєров, Людмила М. Блажко
(Представлена А. М. Самойленко)
Анотацiя. Одержано ланцюжок розв’язкiв солiтонного типу рiвня-
ння синус-Гордон методами нелокальної та умовної симетрiї.
2000 MSC. 37K35, 76M60.
Ключовi слова та фрази. Квазiлiнiйнi хвильовi рiвняння, кон-
формна алгебра, умовна симетрiя, рiвняння синус-Гордон.
1. Вступ
Розглянемо нелiнiйне хвильове рiвняння
u00 − u11 + sinu = 0, (1.1)
де u = u(x0, x1), яке в лiтературi вiдоме як рiвняння синус-Гордон
(СГ). З геометричної точки зору рiвняння синус-Гордон виникло в
диференцiальнiй геометрiї наприкiнцi ХIХ столiття i пов’язане iз за-
дачею побудови чебишевських сiток на поверхнях вiд’ємної кривиз-
ни [7]. В 1936 роцi вивченням розв’язкiв рiвняння (1.1) займався нiме-
цький вчений Р. Штойрвальд, але результати його дослiджень були
вiдомi в той час лише небагатьом спецiалiстам з геометрiї [4, 19]. У
фiзицi рiвняння СГ було застосоване в теорiї дислокацiй Я. Френ-
келем та Т. Канторовою [9]. Воно описує розповсюдження обертань,
умовних або дiйсних, у рiзних фiзичних системах [8, 9].
Рiвняння СГ є одним з найбiльш вiдомих рiвнянь теорiї солi-
тонiв [4], розвиток якої бере початок iз спостереження фiзичного
явища “solitary ware” (вiдокремленої хвилi) британським iнженером
Д. С. Расселом у 1834 роцi [1]. Однак його роботи на деякий час були
забутi. Пiзнiше, в 1965 роцi в роботi Н. Забуського i М. Крускала [20]
ця хвиля була названа солiтоном.
Стаття надiйшла в редакцiю 2.03.2009
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
532 Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв...
Сплеск iнтересу до солiтонiв почався в другiй половинi ХХ столi-
ття одночасно в декiлькох галузях науки — нелiнiйнiй електродина-
мiцi, фiзицi твердого тiла, гiдродинамiцi, бiофiзицi та iн. Дослiджен-
ня солiтонiв iще раз продемонструвало єднiсть нелiнiйних коливних
(хвильових) процесiв рiзної природи.
У данiй роботi ми розглянемо деякi аспекти дослiдження рiвняння
(1.1), а саме побудову розв’язкiв типу солiтонних за допомогою iте-
ративної процедури нелокального розмноження розв’язкiв та зв’язок
вiдомих i одержаних розв’язкiв з умовною симетрiєю даного рiвнян-
ня.
Максимальною алгеброю iнварiантностi рiвняння синус-Гордoн є
алгебра Пуанкаре AP (1, 1), базиснi елементи якої мають вигляд:
∂0 =
∂
∂x0
, ∂1 =
∂
∂x1
, J01 = x1∂0 + x0∂1. (1.2)
Зауваження 1.1. Оператори алгебри (1.2) породжують скiнченнi
перетворення
x′0 = αx+ θ0, x′1 = βx+ θ1, u′ = u, (1.3)
де αx = α0x0 −α1x1, βx = β0x0 − β1x1;αµ, βµ, θµ — довiльнi сталi, якi
задовольняють наступним умовам:
α2 = −β2 = 1, αβ = 0, α2 = α2
0−α
2
1, αβ = α0β0−α1β1, µ = 0, 1.
Piвняння СГ (1.1) iнварiантне також вiдносно так званих СРТ пере-
творень
C : x0 → x0, x1 → x1, u→ −u,
P : x0 → x0, x1 → −x1, u→ u,
T : x0 → −x0, x1 → x1, u→ u
(1.4)
та перетворень
x0 → x0, x1 → x1, u→ u+ 2πn, n ∈ Z. (1.5)
Тому всi викладки в цiй роботi будемо проводити з точнiстю до пе-
ретворень (1.3), (1.4), (1.5).
2. Нелокальнi формули розмноження
розв’язкiв
Наприкiнцi ХIХ столiття Беклунд [7,14] запропонував нелокальнi
перетворення вигляду:
( 2
u +
1
u
2
)
y
=
1
λ
sin
2
u −
1
u
2
,
( 2
u −
1
u
2
)
z
= λ sin
2
u +
1
u
2
(2.1)
М. I. Сєров, Л. М. Блажко 533
для рiвняння СГ (1.1), записаного в конусних змiнних
uyz = sinu, (2.2)
де
y =
x1 + x0
2
, z =
x1 − x0
2
, (2.3)
1
u,
2
u — два рiзнi розв’язки рiвняння (2.2), λ — довiльна стала. Пе-
ретворення (2.1) зв’язують мiж собою два рiзнi розв’язки рiвняння
СГ, вони є автоперетвореннями Беклунда (АПБ). Враховуючи те, що
перетворення (2.1) задають неявний зв’язок мiж двома розв’язками
1
u,
2
u рiвняння (2.2), то їх важко використовувати для побудови точних
розв’язкiв цього рiвняння.
За допомогою АПБ (2.1) у лiтературi побудовано деякi точнi роз-
в’язки рiвняння (2.2), якi одержали назву солiтонних розв’язкiв. Од-
носолiтоннi
u = 4 arctan eθ1 (2.4)
та двосолiтоннi
u = 4 arctan
(λ2 + λ1
λ2 − λ1
·
eθ1 − eθ2
1 + eθ1+θ2
)
, (2.5)
де θi = λiz + 1
λi
y + ci, λi, ci — сталi, i = 1, 2, розв’язки даного рiвня-
ння [4, 5].
У роботi [15] побудована формула знаходження N -солiтонних роз-
в’язкiв рiвняння СГ:
cosu(x0, x1) = 1 − 2
( ∂2
∂x0
2
−
∂2
∂x1
2
)
lnF,
F = det(Mij),
Mij = 2(ai + aj)
−1 cosh
[1
2
(θi + θj)
]
,
θj = γj(x0 − Vjx1 − tj),
a2
j = (1 − Vj)(1 + Vj)
−1,
γ2
j = (1 − V 2
j )−1,
(2.6)
де aj , tj — довiльнi параметри.
Для побудови солiтонних розв’язкiв рiвняння СГ може також ви-
користовуватись теорема Б’янкi про перестановочнiсть [4].
534 Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв...
Мал. 1: Графiки функцiї u = 4 arctan eθ1 при фiксованих значеннях
змiнної x0.
М. I. Сєров, Л. М. Блажко 535
Теорема Б’янкi. Нехай
0
u є розв’язком рiвняння СГ,
1
u — розв’я-
зок, одержаний у результатi застосування перетворення Беклунда
з використанням
0
u та параметра λ1,
2
u — розв’язок, одержаний у
результатi застосування перетворення Беклунда з використанням
0
u та параметра λ2. Тодi новий розв’язок
3
u може бути одержаний
iiз спiввiдношення
tan
3
u −
0
u
4
=
λ1 + λ2
λ1 − λ2
tan
1
u −
2
u
4
.
Ми пропонуємо дещо iнший пiдхiд до знаходження розв’язкiв рiв-
няння СГ за допомогою АПБ (2.1).
Нехай для простоти λ = 1. Введемо функцiональний параметр
τ = τ(y, z) за формулою:
τ = tan
2
u −
1
u
4
. (2.7)
Це дає можливiсть записати зв’язок мiж розв’язками
1
u,
2
u рiвняння
СГ в параметричному виглядi. Сформулюємо даний результат у ви-
глядi наступної теореми.
Tеорема 2.1. Якщо
1
u — розв’язок рiвняння (2.2), то його iнший
розв’язок
2
u знаходиться за формулою
2
u=
1
u +4 arctan τ, (2.8)
де τ = τ(y, z) — розв’язок системи диференцiальних рiвнянь
τy = −1
2(τ2 + 1)
1
uy + τ,
τz = −1
2(τ2 − 1) sin
1
u +τ cos
1
u .
(2.9)
Теорема (2.1) доводиться безпосередньою пiдстановкою формул
(2.8), (2.9) у рiвняння (2.2).
Таким чином, згiдно даної теореми, побудову розв’язкiв рiвняння
СГ пропонується здiйснювати в два етапи. Спочатку по вiдомому
розв’язку
1
u потрiбно знайти функцiональний параметр τ = τ(y, z),
як розв’язок системи диференцiальних рiвнянь (2.9), а потiм за до-
помогою розв’язку
1
u i знайденому по ньому параметру τ за формулою
(2.8) знаходимо
2
u — новий розв’язок рiвняння СГ.
536 Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв...
На перший погляд формули (2.8), (2.9) спрощують знаходження
розв’язку
2
u, але, в той же час, для знаходження параметра τ по-
трiбно проiнтегрувати систему диференцiальних рiвнянь (2.9), яка
є системою рiвнянь Рiккатi. Добре вiдомо, що немає загального ме-
тоду розв’язування рiвнянь Рiккатi. Тому щодо складностi формули
(2.8), (2.9), напевно, не поступаються формулам (2.1). Але нам вдало-
ся помiтити одну закономiрнiсть, яка дозволяє знаходити частинний
розв’язок рiвнянь Рiккатi (2.9) (див. лему нижче). Як вiдомо, наяв-
нiсть частинного розв’язку рiвняння Рiккатi дозволяє звести його до
рiвняння Бернуллi, яке iнтегрується в квадратурах.
Якщо для побудови розв’язкiв рiвняння СГ формули (2.8), (2.9)
використовувати послiдовно декiлька разiв, то, в результатi, отриму-
ємо рекурентнi формули вигляду
n+1
u =
n
u +4 arctan
n+1
τ , (2.10)
n+1
τ y = −
1
2
(( n+1
τ
)2
+ 1
)n
uy+
n+1
τ ,
n+1
τ z = −
1
2
(( n+1
τ
)2
− 1
)
sin
n
u +
n+1
τ cos
n
u,
(2.11)
де
n
u — розв’язок рiвняння СГ на n-му кроцi,
n+1
u ,
n+1
τ — функцiї, якi
знайденi на (n + 1)-му кроцi. Ми помiтили зв’язок мiж розв’язками
системи рiвнянь Рiккатi (2.11) на рiзних кроках. Сформулюємо цей
зв’язок у виглядi наступного твердження.
Лема 2.1. Якщо початковий розв’язок у формулах (2.10), (2.11)
вибрати тривiальний розв’язок рiвняня синус-Гордон
0
u= 0, то для
системи (2.11) справедлива формула
n+1
τ 0(y, z) =
n
τ3(−y,−z), (2.12)
де
n
τ3(y, z) — загальний розв’язок системи (2.11) на n-му кроцi при
спецiальному виборi сталої iнтегрування,
n+1
τ 0(y, z) — частинний
розв’язок системи (2.11) на (n+ 1)-му кроцi, n = 1, 2, 3, 4, 5.
Опишемо знаходження точних розв’язкiв рiвняння (1.1).
1-крок. n = 1:
0
u= 0, (2.13)
тодi
1
u= 4 arctan
1
τ , (2.14)
М. I. Сєров, Л. М. Блажко 537
де функцiональний параметр
1
τ є розв’язком наступної системи ди-
ференцiальних рiвнянь iз вiдокремлюваними змiнними
1
τy=
1
τ ,
1
τ z=
1
τ .
(2.15)
Розв’язавши (2.15), з точнiстю до перетворень (1.3), одержимо
1
τ= ey+z, (2.16)
1
u= 4 arctan ey+z. (2.17)
Цей розв’язок у лiтературi вiдомий як односолiтонний розв’язок рiв-
няння СГ [4].
2-крок. n = 2:
1
u= 4 arctan ey+z, (2.18)
2
u=
1
u +4 arctan
2
τ , (2.19)
де параметр
2
τ є розв’язком системи рiвнянь Рiккатi наступного ви-
гляду:
2
τy= M((
2
τ)2 + 1)+
2
τ ,
2
τ z= N((
2
τ)2 − 1) + L
2
τ ,
(2.20)
де M = − 1
cosh(y+z) , N = sinh(y+z)
cosh2(y+z)
, L = 2 tanh2(y+ z)− 1. Використав-
ши лему, маємо
2
τ0(y, z) =
1
τ3(−y,−z) = e−(y+z). (2.21)
Зробивши замiну:
2
τ= w + e−(y+z), (2.22)
де w = w(y, z) — нова невiдома функцiя, систему (2.20) зводимо до
системи рiвнянь Бернуллi
cosh(y + z)wy = (sin(y + z) − 1)w − w2,
cosh2(y + z)wz = (sin2(y + z) − 1)w + sinh(y + z)w2.
(2.23)
Загальний розв’язок системи (2.23) має вигляд
w =
2 cosh2(y + z)
ey+z(y − z + c2) − cosh(y + z))
. (2.24)
538 Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв...
Отже, використавши (2.24), одержуємо, що
2
τ=
(y − z + c2)e
−(y+z) + cosh(y + z)
y − z + c2 − e−(y+z) cosh(y + z)
, (2.25)
де c2 — стала iнтегрування. Пiдставивши
2
τ ,
1
u, що заданi формулами
(2.25), (2.18) вiдповiдно, у формулу (2.19), одержуємо
2
u= 4 arctan
−(y − z + c2)
cosh(y + z)
. (2.26)
З точнiстю до перетворень (1.3) можна вважати c2 = 0. Отже,
2
τ=
(y − z)e−(y+z) + cosh(y + z)
y − z − e−(y+z) cosh(y + z)
, (2.27)
2
u= 4 arctan
−(y − z)
cosh(y + z)
. (2.28)
Зауважимо, що розв’язок (2.28) одержано в [3] iз двосолiтонного роз-
в’язку (2.5), якщо в ньому перейти до границi при λ2 −→ λ1.
3-крок. n = 3:
2
u= 4 arctan
−(y − z)
cosh(y + z)
, (2.29)
3
u=
2
u +4 arctan
3
τ . (2.30)
Система рiвнянь Рiккатi для знаходження
3
τ має вигляд
3
τy= −
2((y − z) sinh(y + z) − cosh(y + z))
B
((
3
τ)2 + 1)+
3
τ ,
3
τ z=
2(y − z) cosh(y + z)A
B2
((
3
τ)2 − 1) +
A2 − 4(y − z)2 cosh2(y + z)
B2
3
τ ,
(2.31)
де A = cosh2(y + z) − (y − z)2, B = cosh2(y + z) + (y − z)2.
Використавши лему, маємо
3
τ0 (y, z) =
2
τ3 (−y,−z) =
(y − z)ey+z − cosh(y + z)
y − z + ey+z cosh(y + z)
. (2.32)
Зробивши замiну
3
τ= w +
(y − z)ey+z − cosh(y + z)
y − z + ey+z cosh(y + z)
, (2.33)
М. I. Сєров, Л. М. Блажко 539
де w = w(y, z) — нова невiдома функцiя, систему (2.31) зводимо до
системи рiвнянь Бернуллi
wy =
βB − 4αC
βB
w −
2C
B
w2,
wz =
4(y − z)αA cosh(y + z) + β(A2 − 4(y − z)2) cosh2(y + z)
βB2
w
+
2(y − z)A cosh(y + z)
B2
w2,
(2.34)
де α = (y − z)ey+z − cosh(y + z), β = y − z + ey+z cosh(y + z),
C = (y − z) sinh(y + z) − cosh(y + z). Розв’язавши (2.34), одержуємо
3
τ=
−2B2 + αK
βK
, (2.35)
3
u= 4 arctan e−y−zP +B
P −B
, (2.36)
де
K = (y − z + ey+z cosh(y + z))((y − z)2e−(y+z)
− 2(y − z) cosh(y + z) + f) − 4ey+z cosh4(y + z),
f = cosh(y + z)(e2(y+z) + 2) + (y + z + c)e−(y+z),
P = c+ y + z + cosh(y + z) sinh(y + z).
Випишемо ланцюжок розв’язкiв рiвняння синус-Гордон (2.2), одер-
жаного в результатi застосування рекурентних формул (2.10), (2.11):
0 → 4 arctan ey+z → 4 arctan
−(y − z)
cosh(y + z)
→
4 arctan
(
e−(y+z)(c+ y + z + cosh(y + z) sinh(y + z)
c+ y + z + cosh(y + z) sinh(y + z) − cosh2(y + z) − (y − z)2
+
cosh2(y + z) + (y − z)2)
c+ y + z + cosh(y + z) sinh(y + z) − cosh2(y + z) − (y − z)2
)
.
Таким чином, враховуючи зв’язок (2.3) мiж змiнними y, z i x0, x1,
одержаний нами ланцюжок розв’язкiв для рiвняння СГ (1.1) має ви-
гляд
540 Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв...
0 → 4 arctan ex1 → 4 arctan
−x0
coshx1
→ 4 arctan e−x1
c+ x1 + coshx1 sinhx1 + cosh2 x1 + x2
0
c+ x1 + coshx1 sinhx1 − cosh2 x1 − x2
0
.
Побудуємо графiки розв’язкiв
2
u i
3
u при фiксованих значеннях
змiнної x0.
Мал. 2: Графiки функцiї
2
u при фiксованих значеннях змiнної x0.
Оскiльки побудованi графiки одержаних розв’язкiв
2
u,
3
u зберiга-
ють форму єдиної хвилi з ростом часової змiнної x0, то можна при-
пустити, що цi розв’язки є розв’язками солiтонного типу рiвняння
синус-Гордон.
М. I. Сєров, Л. М. Блажко 541
Мал. 3: Графiки функцiї
3
u при фiксованих значеннях змiнної x0.
Зауваження 2.1. З кожним наступним кроком процедури розмно-
ження розв’язкiв рiвняння СГ, запропонованої в теоремi (2.1), рiзко
зростає громiздкiсть перетворень даного алгоритму. Тому було при-
родньо наступнi кроки доручити ЕОM.
За допомогою програми Maple нам вдалося проробити ще два кро-
ки вказаного алгоритму. B результатi одержали наступнi розв’язки
4
u= 4 arctan
(2
3x
3
0 + 2x0 + c4) coshx1 − 2x0x1 sinhx1
1
3x
4
0 − c4x0 + x2
1 + cosh2 x1
, (2.37)
5
u= 4 arctan ex1
(cosh2 x1 +A−B)e2x1 + C +D
cosh2 x1 +A+B + (C −D)e2x1
, (2.38)
де
A =
1
9
x6
0 +
1
6
x4
0 +
3
2
x2
0 + x2
0x
2
1 −
1
2
x2
1 + 2c5x1,
542 Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв...
B =
1
3
x4
0x1 + 2x2
0(x1 + c5) − x1(x
2
1 + 1) + c5,
C =
1
6
x4
0 +
3
2
x2
0 +
1
2
x2
1, D = (x2
0 + 1)x1 − c5.
Побудуємо графiки розв’язкiв
4
u i
5
u при фiксованих значеннях
змiнної x0.
Мал. 4: Графiки функцiї
4
u при фiксованих значеннях змiнної x0.
Проаналiзувавши графiки одержаних розв’язкiв та їх проекцiй,
ми бачимо, що всi вони мають вигляд хвилi, що не змiнює свою форму
зi змiною часу. У зв’язку з цим можна зробити висновок, що знайденi
нами розв’язки
2
u —
5
u, як i
1
u, є розв’язками солiтонного типу рiвняння
синус-Гордон.
М. I. Сєров, Л. М. Блажко 543
Мал. 5: Графiки функцiї
5
u при фiксованих значеннях змiнної x0.
3. Умовна iнварiантнiсть одновимiрного
рiвняння синус-Гордон
Проаналiзуємо, чи можна знайденi в попередньому пунктi розв’яз-
ки отримати за допомогою лiєвської симетрiї рiвняння СГ. Розв’язок
1
u= 4 arctan ex1 (3.1)
є iнварiантним вiдносно алгебри (1.2). Умова iнварiантностi розв’язку
Φ(x0, x1, u) = u− 4 arctan ex1 = 0 (3.2)
544 Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв...
вiдносно оператора
X = c0∂0 + c1∂1 + k(x1∂0 + x0∂1)
має вигляд
XΦ|Φ=0 = 0, (3.3)
тобто
XΦ = −4(c1 + kx0)
ex1
1 + e2x1
= 0,
звiдки c1 = k = 0, X = ∂0. Отже, розв’язок
1
u, що має вигляд (3.1)
можна отримати за допомогою лiєвської симетрiї. Розв’язки
2
u= 4 arctan
−x0
coshx1
(3.4)
i
3
u= 4 arctan e−x1
x1 + coshx1 sinhx1 + cosh2 x1 + x2
0
x1 + coshx1 sinhx1 − cosh2 x1 − x2
0
(3.5)
не можна отримати з лiєвської симетрiї, оскiльки умова (3.3) для них
виконується лише при c0 = c1 = k = 0. Дослiдимо, чи можна отри-
мати данi pозв’язки iз умовної симетрiї (поняття умовної симетрiї
введено в [11]). Узагальнимо розв’язок
2
u наступним чином
u = 4 arctan
ϕ(x0)
coshx1
, (3.6)
де ϕ(x0) — довiльна гладка функцiя. Формулу (3.6) можна розгля-
дати як анзац, побудований за деяким диференцiальним оператором
першого порядку, який ми запишемо у виглядi
Q = A∂0 +B∂1 + C∂u, (3.7)
де A = A(x0, x1, u), B = B(x0, x1, u), C = C(x0, x1, u) — довiльнi
гладкi функцiї. З умови (3.3) iнварiантностi розв’язку (3.6) вiдносно
оператора Q одержимо Φ(I0, I1) = 0, aбо I1 = ϕ(I0), де
I0 = x0, I1 = coshx1 tan
u
4
. (3.8)
Внаслiдок того, що I0, I1 є iнварiантами оператора Q, то
QI0 = 0,
QI1 = 0.
(3.9)
М. I. Сєров, Л. М. Блажко 545
Розв’язком системи (3.9) є функцiї
A = 0, C = −2B tanhx1 sin
u
2
. (3.10)
Отже, Q = B(∂1 − 2 tanhx1 sin u
2∂u). Нехай B = 1, тодi один iз опера-
торiв, що породжує анзац (3.6), має вигляд
Q = ∂1 − 2 tanhx1 sin
u
2
∂u. (3.11)
Розв’язок (3.1) узагальнимо наступним чином
u = 4 arctan(ex1ϕ(x0)). (3.12)
Не важко переконатися, що анзац (3.12) породжується оператором
Q = ∂1 + 2 sin
u
2
∂u. (3.13)
Анзац
u = 4 arctan e−x1
c+ x1 + coshx1 sinhx1 + cosh2 x1 + ϕ2(x0)
c+ x1 + coshx1 sinhx1 − cosh2 x1 − ϕ2(x0)
, (3.14)
який узагальнює розв’язок
3
u, породжується оператором
Q = ∂1 + η∂u, (3.15)
де
η = −2
(
sin
u
2
− 2 coshx1
cos u
2 + sinhx1 sin u
2
c+ x1 + coshx1 sinhx1
)
. (3.16)
Оператори (3.11), (3.13), (3.15) є операторами умовної симетрiї рiв-
няння СГ. Це випливає iз наступної теореми.
Tеорема 3.1. Рiвняння (1.1) iнварiантне вiдносно оператора
Q = ∂1 + η(x1, u)∂u (3.17)
при додаткових умовах
u2
0 − u2
1 + Φ(x1, u) = 0, (3.18)
Qu = u1 − η = 0, (3.19)
де
Φ =
1
ηuu
T, ηuu 6= 0, (3.20)
T = η cosu− ηu sinu− 2ηη1u − η11, (3.21)
Φ1 + ηΦu − 2ηuΦ − 2ηη1 = 0. (3.22)
546 Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв...
Доведення. Для доведення теореми використаємо означення умовної
iнварiантностi [11], згiдно якого необхiдно довести, що
Q̃S = f1S + f2S1 + f3S2, Q̃S1 = f4S + f5S1 + f6S2, (3.23)
де f i — деякi неперервно-диференцiйованi функцiї, i = 1, 6, Q̃ — про-
довження оператора Q. В нашому випадку
S = �u+ sinu,
S1 = u2
0 − u2
1 + Φ,
S2 = Qu = u1 − η.
Подiявши оператором Q̃ на S та S1, одержимо
Q̃S = ηuS + ηuuS1 + 2η1uS2
−(ηuuΦ − η cosu+ ηu sinu+ 2ηη1u + η11),
Q̃S1 = −2ηuS1 − 2η1S2 + (Φ1 + ηΦu − 2ηuΦ − 2ηη1).
(3.24)
Звiдки
ηuuΦ − η cosu+ ηu sinu+ 2ηη1u + η11 = 0,
Φ1 + ηΦu − 2ηuΦ − 2ηη1 = 0.
Будемо вважати, що ηuu 6= 0, так як у протилежному випадку опе-
ратор (3.17) буде оператором лiєвської симетрiї рiвняння (1.1). В ре-
зультатi отримаємо формули (3.20)–(3.22).
Теорему (3.1) доведено.
Зауваження 3.1. Неважко переконатися, що оператори (3.11),
(3.13), (3.15) задовольняють умовам теореми (3.1), i тому є опера-
торами умовної iнварiантностi рiвняння (1.1).
Знайденi оператори Q задовольняють умовi
ηuu = −
1
4
η, (3.25)
тобто
η = C1(x1) cos
u
2
+ C2(x1) sin
u
2
, (3.26)
звiдки, враховуючи (3.20)–(3.22), одержимо:
C̈1 =
( ~C2
2
+ k
)
C1,
C̈2 =
( ~C2
2
+ k − 1
)
C2
(3.27)
М. I. Сєров, Л. М. Блажко 547
при умовi C1 6= 0, C2 6= 0.
Нехай
C2 = C1 sinhx1 − 2. (3.28)
Тодi (3.27) зводиться до рiвняння Рiккатi
Ċ1 = −
1
2
C2
1 coshx1 + C1 tanhx1 −
k + 1
coshx1
. (3.29)
Якщо k = −1, то (3.29) — рiвняння Бернуллi. Його загальний
розв’язок приводить до операторiв (3.15), (3.16).
Якщо k 6= −1. Частинний розв’язок (3.29) шукаємо у виглядi
C1 =
a
sinhx1
, a = const. (3.30)
Пiсля пiдстановки (3.30) в (3.29) одержимо
−
a coshx1
sinh2 x1
= −
a2 coshx1
2 sinh2 x1
+
a
coshx1
−
k + 1
coshx1
. (3.31)
Рiвнiсть (3.31) можлива лише при a = 2, k = 1. У цьому випадку
загальний розв’язок рiвняння (3.29) має вигляд
C1 =
2(x1 + C)
(x1 + C) sinhx1 − coshx1
, c = const. (3.32)
Тодi з (3.28) при умовi (3.32) знаходимо
C2 =
2 coshx1
(x1 + C) sinhx1 − coshx1
. (3.33)
Отже, ми одержали новий оператор:
Q = ∂1 + 2
(x1 + C) cos u
2 + coshx1 sin u
2
(x1 + C) sinhx1 − coshx1
∂u. (3.34)
Щоб побудувати анзац за оператором (3.34) необхiдно розв’язати рiв-
няння
d(u
2 )
dx1
=
(x1 + C) cos u
2 + coshx1 sin u
2
(x1 + C) sinhx1 − coshx1
, (3.35)
яке замiною
w = tan
u
4
(3.36)
зводиться до рiвняння Рiккатi
w′ =
1
2
(x1 + C)(1 − w2) + 2w coshx1
(x1 + C) sinhx1 − coshx1
. (3.37)
548 Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв...
4. Умовна iнварiантнiсть багатовимiрного
рiвняння синус-Гордон
Розглянемо багатовимiрне рiвняння СГ
�u+ sinu = 0, (4.1)
де u = u(x), x = (x0, ~x), ~x ∈ R
n. Аналогiчно, як i для одновимiрного
рiвняння СГ, доводиться наступне твердження.
Tеорема 4.1. Рiвняння (4.1) iнварiантне вiдносно оператора
Q = ∂n + η(xn, u)∂u (4.2)
при додаткових умовах
uµu
µ + Φ(xn, u) = 0, (4.3)
Qu = un − η = 0, (4.4)
де
Φ =
1
ηuu
T, ηuu 6= 0, (4.5)
T = η cosu− ηu sinu− 2ηηnu − ηnn, (4.6)
1
η2
uu
(ηnuu + ηηuuu + 2ηuηuu)T −
1
ηuu
(Tn + ηTu) + 2ηηn = 0. (4.7)
Зауваження 4.1. За допомогою прямої перевiрки можна перекона-
тися, що оператори
Q = ∂n + 2 sin
u
2
∂u, (4.8)
Q = ∂n − 2 tanhxn sin
u
2
∂u, (4.9)
Q = ∂n + η∂u,
η = −2
(
sin
u
2
− 2 coshxn
cos u
2 + sinhxn sin u
2
c+ xn + coshxn sinhxn
) (4.10)
задовольняють умови теореми (4.1), тобто є операторами умовної си-
метрiї рiвняння (4.1).
Оператору (4.8) вiдповiдає анзац
u = 4 arctan(exnϕ(x0, . . . , xn−1)), (4.11)
який редукує рiвняння (4.1) до системи рiвнянь
�ϕ = 0,
ϕsϕ
s = 0, s = 0, n− 1.
(4.12)
М. I. Сєров, Л. М. Блажко 549
Оператору (4.9) вiдповiдає анзац
u = 4 arctan
ϕ(x0, . . . , xn−1)
coshxn
, (4.13)
який редукує рiвняння (4.1) до системи рiвнянь
�ϕ = 0,
ϕsϕ
s − 1 = 0, s = 0, n− 1.
(4.14)
Оператору (4.10) вiдповiдає анзац
u = 4 arctan e−xn
c+ xn + coshxn sinhxn + cosh2 xn + ϕ2
c+ xn + coshxn sinhxn − cosh2 xn − ϕ2
, (4.15)
де ϕ = ϕ(x0, x1, . . . , xn−1). Анзац (4.15) редукує рiвняння (4.1) також
до системи рiвнянь (4.14).
Узагальнимо анзаци (4.11), (4.13) наступним чином
u = 4 arctanϕψ, (4.16)
де ϕ = ϕ(x0, . . . , xn−1), ψ = ψ(xn) — невiдомi функцiї. Пiдставивши
(4.16) у рiвняння (4.1), одержимо
ϕ2
�ϕ− 2ϕϕsϕ
s −ϕ3 +
1
ψ2
(�ϕ+ϕ)−
ψ̈
ψ3
ϕ+ (2
ψ̇2
ψ2
−
ψ̈
ψ
)ϕ3 = 0, (4.17)
де s = 0, n− 1. Врахувавши, що функцiї φ, ψ залежать вiд рiзних
аргументiв, з рiвняння (4.17) отримуємо два суттєво рiзнi випадки:
ψ̈ − 2λ1ψ
3 = 0,
ψψ̈ − 2ψ̇2 + 2λ2 = 0,
S3 − 2λ1ϕ = 0,
S4 + 2λ2ϕ
3 = 0;
(4.18)
ψ̈ − 2λ1ψ = 0,
ψψ̈ − 2ψ̇2 + 2λ2ψ
2 = 0,
S3 + 2λ2ϕ
3 = 0,
S4 − 2λ1ϕ = 0,
(4.19)
де λ1, λ2 — довiльнi сталi, S3 = ϕ2
�ϕ − 2ϕϕsϕ
s − ϕ3, S4 = �ϕ + ϕ.
Розглянемо кожен iз отриманих випадкiв окремо. Iз (4.18) випливає,
що вигляд функцiї ψ визначаємо, як
∫
dψ
√
λ1ψ4 + λ2
= xn. (4.20)
550 Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв...
Зробивши замiну
w =
∫
dϕ
√
λ2ϕ4 + ϕ2 + λ1
(4.21)
з двох останнiх рiвнянь системи (4.18), одержимо
�w = 0,
wsw
s + 1 = 0, s = 0, n− 1.
(4.22)
Зауваження 4.2. Якщо у формулах (4.20), (4.21) λ1 = 1, λ2 = 0, то
одержимо розв’язок рiвняння СГ, який виражається через елемен-
тарнi функцiї та функцiю w за формулою
u = −4 arctan
sinhw
xn
. (4.23)
Якщо ж в формулах (4.20), (4.21) λ1 = 0, λ2 = 1, то одержимо розв’я-
зок вигляду
u = −4 arctan
xn
sinhw
, (4.24)
який за допомогою перетворень (1.4), (1.5) зводиться до (4.23). При
всiх iнших значеннях параметрiв λ1, λ2 розв’язки рiвняння СГ вигля-
ду (4.16) виражаються через елiптичнi функцiї (див., наприклад, [2]).
З (4.19) при λ1 = λ2 = 1
2 одержимо наступний розв’язок
u = 4 arctan exnϕ(x0, . . . , xn−1), (4.25)
де функцiя ϕ виражається з (4.21), а функцiя w є розв’язком системи
�w = 0,
wsw
s = 0, s = 0, n− 1.
(4.26)
Повний аналiтичний опис множини гладких розв’язкiв систем
(4.12), (4.14), (4.22), (4.26) у випадку n = 4 зроблено в роботi [10],
а також проведено в роботах [13, 17, 18]. У результатi цього в данiй
роботi отримано цiлi класи точних розв’язкiв багатовимiрного рiвня-
ння синус-Гордон.
5. Висновки
У данiй роботi запропоновано процедуру нелiнiйної суперпозицiї
розв’язкiв, яка дозволяє будувати ланцюжки розв’язкiв типу одно-
солiтонних для рiвняння синус-Гордон. Дослiджено зв’язок деяких
М. I. Сєров, Л. М. Блажко 551
вiдомих та одержаних розв’язкiв з операторами умовної симетрiї рiв-
няння синус-Гордон, за допомогою яких побудовано класи точних
розв’язкiв даного рiвняння. Знайдено оператори умовної симетрiї та
вiдповiднi їм класи розв’язкiв для багатовимiрного хвильового рiвня-
ння синус-Гордон.
Подяки. Автори вдячнi Р. О. Поповичу за допомогу при знахо-
дженнi розв’язкiв (2.37) та (2.38).
Лiтература
[1] М. Абловиц, Х. Сигур, Солитоны и метод обратной задачи, М.: Мир, 1987,
480 с.
[2] Н. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, М.: Наука, 1970,
304 с.
[3] В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский, Теория
солитонов. Метод обратной задачи, М.: Наука, 1980, 324 с.
[4] С. П. Новиков, Cолитоны, М.: Мир, 1983, 408 с.
[5] В. Ю. Новокшенов, Математические модели в естествознании, Уфа: УГАТ
ун-т, 1999, 98 с.
[6] А. Ньюэлл, Солитоны в математике и физике, М.: Мир, 1989, 323 с.
[7] Э. Г. Позняк, А. Г. Попов, Уравнение синус-Гордона: геометрия и физика,
М.: Знание, 1991, 48 с.
[8] А. Т. Филиппов, Многоликий солитон, М.: Наука, 1990, 288 с.
[9] Я. Френкель, Т. Конторова, О теории пластической деформации и двойни-
кования // Физический журнал, (1939), N 1, 137–145.
[10] В. И. Фущич, Р. З. Жданов, И. В. Ревенко, Общие решения нелинейного
волнового уравнения и уравнения эйконала // УМЖ, 43 (1991, N 11, 1471–
1487.
[11] В. И. Фущич, В. М. Штелень, Н. И. Серов, Симметрийный анализ и точ-
ные решения уравнений нелинейной математической физики, Киев: Наукова
думка, 1989, 339 с.
[12] A. Barone, F. Eposito, C. Magee, A. Scott, Theory and applicationcs of the sine-
Gordon equatoin // Riv. Nuovo cimento, (1971), N 1, 227–267.
[13] A. F. Barannyk, I. I. Yurik, On a new method for constructing exact solitions of
the nonlinear differential equations of mathematical physics // J. Phys. A: Math.
Gen., 31 (1998), 4899–4907.
[14] A. V. Bäclund, Om Ytor med konstant negativ Krökning // Lund Universitets
Arsskrift, 19 (1883), 1–48.
[15] P. J. Caudrey, J. C. Eibeck, J. D. Gibbon, The sine-Gordon equations a model
field theory // Nuovo Cimento, 25 (1975), 497–512.
[16] T. H. R. Skyrme, A Non-Linear Theory of Strong Interactions // Proc. Roy. Soc.,
247 (1958), N 1249, 260–278.
[17] V. I. Smirnov, S. L. Sobolev, New method for solving a plane problem of elastic
oscillations // Proc. Of the Seismologicalinstitute of the Academi of Sciences
USSR, 20 (1932), 37–42.
552 Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв...
[18] V. I. Smirnov, S. L. Sobolev, On application of a new method to the study of
elastic oscillations in a space with the axial symmetry // Proc. of the Seismologi-
calinstitute of the Academi of Sciences USSR, 29 (1933), 43–51.
[19] R. Steurwald, Uber Ennepersche Flichen und bicklund’sche Transformation,
München.: Abh. Bayer Akad. Wiss., 40, 1936, 105 p.
[20] N. J. Zabusky, M. D. Kruskal, Interaction of solitons in a collisionless plasma
and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett., 15 (1965), 240–243.
Вiдомостi про авторiв
Микола Iванович
Сєров,
Людмила М.
Блажко
Полтавський нацiональний
технiчний унiверситет
iменi Юрiя Кондратюка
Першотравневий проспект, 24
36000, Полтава
Україна
E-Mail: k26@pntu.edu.ua,
LBlazhko@mail.ru
|