Асимптотические разложения некоторых рядов и их применение
Найдены асимптотические разложения по степеням некоторых рядов. Эти разложения применяются к получению точных неравенств для рядов Матье.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124372 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотические разложения некоторых рядов и их применение / В.П. Заставный // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 4. — С. 553-573. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124372 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243722017-09-25T03:02:52Z Асимптотические разложения некоторых рядов и их применение Заставный, В.П. Найдены асимптотические разложения по степеням некоторых рядов. Эти разложения применяются к получению точных неравенств для рядов Матье. 2009 Article Асимптотические разложения некоторых рядов и их применение / В.П. Заставный // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 4. — С. 553-573. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 41A60, 26D15, 33E20. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124372 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Найдены асимптотические разложения по степеням некоторых рядов. Эти разложения применяются к получению точных неравенств для рядов Матье. |
| format |
Article |
| author |
Заставный, В.П. |
| spellingShingle |
Заставный, В.П. Асимптотические разложения некоторых рядов и их применение Український математичний вісник |
| author_facet |
Заставный, В.П. |
| author_sort |
Заставный, В.П. |
| title |
Асимптотические разложения некоторых рядов и их применение |
| title_short |
Асимптотические разложения некоторых рядов и их применение |
| title_full |
Асимптотические разложения некоторых рядов и их применение |
| title_fullStr |
Асимптотические разложения некоторых рядов и их применение |
| title_full_unstemmed |
Асимптотические разложения некоторых рядов и их применение |
| title_sort |
асимптотические разложения некоторых рядов и их применение |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124372 |
| citation_txt |
Асимптотические разложения некоторых рядов и их применение / В.П. Заставный // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 4. — С. 553-573. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT zastavnyjvp asimptotičeskierazloženiânekotoryhrâdoviihprimenenie |
| first_indexed |
2025-07-09T01:20:20Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:20:20Z |
| _version_ |
1837130343776256000 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 6 (2009), № 4, 553 – 573
Асимптотические разложения некоторых
рядов и их применение
Виктор П. Заставный
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. Найдены асимптотические разложения по степеням
x при x → +0 рядов
∑∞
k=0 εk(k + a)γe−(k+a)αx и
∑∞
k=0
εk(k+a)γ
(x(k+a)α+1)µ ,
где ε = 1 или ε = −1. Эти разложения применяются к получению
точных неравенств для рядов Матье.
2000 MSC. 41A60, 26D15, 33E20.
Ключевые слова и фразы. Асимптотическое разложение, выче-
ты, обобщенные ряды Матье, неравенства.
1. Введение и формулировка основных результатов
Одним из объектов исследования данной работы являются следу-
ющие функциональные ряды с параметрами a > 0, γ ∈ R и α > 0
f(x, a, γ, α) :=
∞∑
k=0
(k + a)γe−(k+a)αx, x > 0. (1.1)
f̃(x, a, γ, α) :=
∞∑
k=0
(−1)k(k + a)γe−(k+a)αx, x > 0. (1.2)
Ряды (1.1) и (1.2) возникают во многих задачах анализа. В ча-
стности, ряды (1.1) и (1.2) при x = ln 1
ρ
в случае a = 1
2 , α = 1,
γ = −r − 1, r ∈ N, возникли в 1950 г. в работе А. Ф. Тимана [1].
Он доказал, что этими рядами выражается точное значение остатка
при приближении периодических дифференцируемых функций инте-
гралами Пуассона. Поиску полного асимптотического представления
были посвящены работы Л. В. Малей [2], Э. Л. Штарк [3], В. А. Ба-
скакова [4], К. М. Жигалла и Ю. И. Харкевича [5]. Полное решение
Статья поступила в редакцию 17.08.2009
Работа была поддержана ДФФД Украины, грант Ф 25.1/055
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
554 Асимптотические разложения...
этой задачи было получено в работе автора [6], в которой для фун-
кций (1.1) и (1.2) при a > 0, α = 1, γ = −r − 1, r ∈ Z+, найдены
в явном виде разложения в ряд по степеням x, соответственно: при
0 < x < 2π и 0 < x < π.
В 1966 г. Гельфонд [7, §4.3], с помощью теории вычетов, нашел
асимптотическое разложение при x → +0 по степеням xk, k ∈ Z+,
функции (1.1) для случая a = 1, −γ+1
α
6∈ Z+. Здесь Z+ := N
⋃
{0} —
множество всех неотрицательных целых чисел. В случае a = 1,
−γ+1
α
∈ Z+ он лишь указал, что сумма в асимптотическом разложе-
нии должна быть изменена соответствующим образом. В [7, §4.3]
также отмечено, что в случае a = 1 аналогично можно получить
асимптотическое разложение функции (1.2) при x → +0 по степе-
ням xk, k ∈ Z+. В 2008 г. автором [8], с помощью формулы Эйлера-
Маклорена, найдены асимптотические разложения при x→ +0 фун-
кций (1.1) и (1.2) для любых a > 0 и γ ∈ Z+, α ∈ N (в примерах
на с. 56–57 из [8] в правых частях асимптотических разложений под
знаком суммы пропущен множитель (−1)αk+γ).
В теоремах 1.1 и 1.2 данной работы для всех допустимых па-
раметров найдены асимптотические разложения при x → +0 фун-
кций (1.1) и (1.2). Коэффициенты этих разложений выражаются со-
ответственно через функцию Гурвица ζ(s, a) и функцию ζ̃(s, a), ко-
торые при фиксированном a > 0 определяются по формулам
ζ(s, a) :=
∞∑
k=0
1
(k + a)s
, Re s > 1;
ζ̃(s, a) :=
∞∑
k=0
(−1)k
(k + a)s
, Re s > 0.
(1.3)
С помощью формулы Эрмита функция Гурвица аналитически
продолжается в C \ {1}, а точка s = 1 является для неё полюсом
первого порядка и при a > 0 справедливы равенства (см. [9, 10])
lim
s→1
(
ζ(s, a) − 1
s− 1
)
= −Γ′(a)
Γ(a)
,
lim
s→1
(
ζ(s, a) − 21−sζ
(
s,
a+ 1
2
))
= −Γ′(a)
Γ(a)
+
Γ′
(
a+1
2
)
Γ
(
a+1
2
) + ln 2.
(1.4)
Здесь Γ(s) =
∫ +∞
0 e−t ts−1 dt, Re s > 0, гамма-функция Эйлера. Из
равенства
ζ̃(s, a) = ζ(s, a) − 21−sζ
(
s,
a+ 1
2
)
, Re s > 1, (1.5)
В. П. Заставный 555
вытекает, что функция ζ̃(s, a) аналитически продолжается в C и
ζ̃(1, a) = −Γ′(a)
Γ(a)
+
Γ′
(
a+1
2
)
Γ
(
a+1
2
) + ln 2, a > 0. (1.6)
Теорема 1.1. Пусть a > 0, γ ∈ R, α > 0. Тогда асимптотические
разложения
f(x, a, γ, α) ∼
x→+0
1
α
Γ
(
γ + 1
α
)
x−
γ+1
α +
∞∑
k=0
(−1)k
k!
ζ(−αk − γ, a)xk,
(1.7)
f(x, a, γ, α) ∼
x→+0
(−1)rxr
Γ(r + 1)
(
− lnx
α
+
Γ′(r + 1)
Γ(r + 1)
1
α
− Γ′(a)
Γ(a)
)
+
∞∑
k=0,
k 6=r
(−1)k
k!
ζ(−αk − γ, a)xk (1.8)
справедливы соответственно в случаях, когда −γ+1
α
6∈ Z+ и −γ+1
α
=
r ∈ Z+. Если 0 < α < 1, то в (1.7) и (1.8) имеет место знак равен-
ства при всех x > 0. Если α = 1, то в (1.7) и (1.8) имеет место
знак равенства при всех x ∈ (0, 2π).
То, что при a = 1, 0 < α < 1, в (1.7) имеет место знак равенства
при всех x > 0 было отмечено без доказательства в [7].
Теорема 1.2. Пусть a > 0, γ ∈ R, α > 0. Тогда имеет место
следующее асимптотическое разложение
f̃(x, a, γ, α) ∼
x→+0
∞∑
k=0
(−1)k
k!
ζ̃(−αk − γ, a)xk. (1.9)
Если 0 < α < 1, то в (1.9) имеет место знак равенства при всех
x > 0. Если α = 1, то в (1.9) имеет место знак равенства при всех
x ∈ (0, π).
Далее мы рассматриваем следующие функциональные ряды с па-
раметрами a > 0, γ ∈ R, α > 0 и µ > 0
g(x, a, γ, α, µ) :=
∞∑
k=0
(k + a)γ
(x(k + a)α + 1)µ
, µ > max
{
γ + 1
α
; 0
}
, x > 0,
(1.10)
g̃(x, a, γ, α, µ) :=
∞∑
k=0
(−1)k(k + a)γ
(x(k + a)α + 1)µ
, µ > max
{γ
α
; 0
}
, x > 0.
(1.11)
556 Асимптотические разложения...
Теорема 1.3. Пусть a > 0, γ ∈ R, α > 0 и µ > max
{
γ+1
α
; 0
}
. Тогда
асимптотические разложения
g(x, a, γ, α, µ) ∼
x→+0
Γ
(
γ+1
α
)
Γ
(
µ− γ+1
α
)
αΓ(µ)
x−
γ+1
α
+
∞∑
k=0
(−1)k
k!
Γ(µ+ k)
Γ(µ)
ζ(−αk − γ, a)xk, (1.12)
g(x, a, γ, α, µ) ∼
x→+0
Γ(µ+ r)(−1)rxr
Γ(µ)Γ(r + 1)
(
− lnx
α
+
Γ′(r + 1)
αΓ(r + 1)
− Γ′(a)
Γ(a)
− Γ′(µ+ r)
αΓ(µ+ r)
)
+
∞∑
k=0,k 6=r
(−1)k
k!
Γ(µ+ k)
Γ(µ)
ζ(−αk − γ, a)xk (1.13)
справедливы соответственно в случаях, когда −γ+1
α
6∈ Z+ и −γ+1
α
=
r ∈ Z+.
Теорема 1.4. Пусть a > 0, γ ∈ R, α > 0 и µ > max
{
γ
α
; 0
}
. Тогда
имеет место следующее асимптотическое разложение
g̃(x, a, γ, α, µ) ∼
x→+0
∞∑
k=0
(−1)k
k!
Γ(µ+ k)
Γ(µ)
ζ̃(−αk − γ, a)xk. (1.14)
Отметим, что теоремы 1.1, 1.2, 1.3 и 1.4 доказаны методом, изло-
женным в [7]. В § 2 эти теоремы применяются к доказательству то-
чных неравенств для рядов Матье.
2. Точные неравенства для рядов Матье
Рассмотрим следующие функциональные ряды с параметрами
a > 0, γ ∈ R, α > 0 и µ > 0
S(x, a, γ, α, µ) :=
∞∑
k=0
(k + a)γ
((k + a)α + x)µ
, µ > max
{
γ + 1
α
; 0
}
, x ≥ 0,
(2.1)
S̃(x, a, γ, α, µ) :=
∞∑
k=0
(−1)k(k + a)γ
((k + a)α + x)µ
, µ > max
{γ
α
; 0
}
, x ≥ 0,
(2.2)
В. П. Заставный 557
Ряды (2.1) и (2.2), как это принято в последние годы, мы будем
называть, соответственно, обобщенными и обобщенными знакопере-
менными рядами Матье. В 1890 г. Émile Leonard Mathieu [13] выдви-
нул гипотезу о справедливости следующего неравенства
S(x, 1, 1, 2, 2) =
∞∑
k=0
k + 1
((k + 1)2 + x)2
<
1
2x
, x > 0. (2.3)
Различные доказательства неравенства (2.3) были опубликованы в
1952–1957 годах в работах Berg [14], van der Corput, Heflinger [15] и
Makai [16]. В работе Makai [16] были доказаны неравенства
1
2(q + x)
<
∞∑
k=0
k + 1
((k + 1)2 + x)2
<
1
2(p+ x)
, x > 0, (2.4)
где q = 1
2 и p = 0. Возникает следующая естественная задача: найти
максимальное p и минимальное q, для которых справедливо неравен-
ство (2.4). В 1982 г. Elbert [17] высказал гипотезу, что в (2.4) можно
взять q = 1
2ζ(3) , где ζ(s) — дзета-функция Римана. В 1998 г. Alzer,
Brenner и Ruehr [18] доказали, что в неравенстве (2.4) можно взять
q = 1
2ζ(3) и p = 1
6 и эти константы точные.
В 2008 г. автором [19] доказано, что для любых µ > 1 и a ≥ 1
существуют положительные константы m(µ, a) и M(µ, a) такие, что
неравенство
1
2(µ− 1)(q + x)µ−1
≤
∞∑
k=0
(k + a)
((k + a)2 + x)µ
≤ 1
2(µ− 1)(p+ x)µ−1
(2.5)
имеет место при всех x > 0 тогда и только тогда, когда 0 ≤ p ≤
m(µ, a) и q ≥ M(µ, a). При этом для любого фиксированного зна-
чения a ≥ 1 функции m(µ, a) и M(µ, a), соответственно, убывают и
возрастают по µ ∈ (1,+∞) и для всех a ≥ 1, µ > 1 справедливы
неравенства
a2 − a < m(∞, a) ≤ m(µ, a) ≤ a2 − a+
1
6
a2 − a+
1
4
< M(µ, a) < M(∞, a) = a2.
Доказано также, что m(µ, 1) = 1
6 , µ ∈ (1, 3]. Таким образом, если
a ≥ 1, то неравенство (2.5) выполняется для всех µ > 1 ⇐⇒
0 ≤ p ≤ m(∞, a) и q ≥M(∞, a) = a2. Правое неравенство в (2.5) при
a = 1, p = 0, µ > 1 доказал в 1980 г. Diananda [20]. Большой список
работ по данной теме содержится в работе [21].
558 Асимптотические разложения...
Если a > 0, γ ∈ R, α > 0 и µ > max
{
γ+1
α
; 0
}
, то из теоремы 1.3
вытекает, что
S(x, a, γ, α, µ) ∼
x→+∞
Γ( γ+1
α )
α
· Γ(µ− γ+1
α )
Γ(µ) · x γ+1
α
−µ, γ + 1 > 0,
1
α
· x−µ lnx, γ + 1 = 0,
ζ(−γ, a)x−µ, γ + 1 < 0.
(2.6)
Поэтому естественной является следующая задача. Пусть a > 0, γ +
1 > 0, α > 0, µ0 ≥ γ+1
α
. При каких значениях q ≥ 0, p ≥ 0, A ∈ R и
B > 0 неравенство
B · Γ
(
µ− γ+1
α
)
Γ(µ)(q + x)µ−
γ+1
α
≤ S(x, a, γ, α, µ) ≤
A · Γ
(
µ− γ+1
α
)
Γ(µ)(p+ x)µ−
γ+1
α
(2.7)
выполняется для всех µ > µ0 и x > 0? В теореме 2.1 эта задача
полностью решена, а в теореме 2.2 решена аналогичная задача для
случая γ + 1 < 0.
Теорема 2.1. Пусть a > 0, γ + 1 > 0, α > 0, µ0 ≥ γ+1
α
, q ≥ 0, p ≥ 0,
A ∈ R и B > 0. Тогда неравенство (2.7) выполняется для всех µ > µ0
и x > 0 ⇐⇒ 0 ≤ p < aα ≤ q, A ≥ Ap(a, γ, α), 0 < B ≤ Bq(a, γ, α), где
Ap(a, γ, α) := sup
x>0
ep xx
γ+1
α f(x, a, γ, α),
Bq(a, γ, α) := inf
x>0
eq xx
γ+1
α f(x, a, γ, α),
(2.8)
и в этом случае неравенство (2.7) строгое для всех x > 0, а если
p > 0, то и для x = 0. Кроме того, Ap(a, γ, α) < +∞ ⇐⇒ p < aα и
Bq(a, γ, α) > 0 ⇐⇒ q ≥ aα. Если a ≥ 1, то Ap(a, 1, 2) = Bq(a, 1, 2) =
1
2 при всех q ≥ a2 и 0 ≤ p ≤ m(∞, a), в частности, при всех p ∈
[0, a2 − a].
Теорема 2.2. Пусть a > 0, γ + 1 < 0, α > 0, µ0 ≥ 0, q ≥ 0, p ≥ 0,
D ∈ R и E > 0. Тогда неравенство
E
(q + x)µ
≤ S(x, a, γ, α, µ) ≤ D
(p+ x)µ
(2.9)
выполняется для всех µ > µ0 и x > 0 ⇐⇒ 0 ≤ p ≤ aα ≤ q,
D ≥ Dp(a, γ, α), 0 < E ≤ Eq(a, γ, α), где
В. П. Заставный 559
Dp(a, γ, α) := sup
x>0
ep xf(x, a, γ, α),
Eq(a, γ, α) := inf
x>0
eq xf(x, a, γ, α),
(2.10)
и в этом случае неравенство (2.9) строгое для всех x > 0, а если
p > 0, то и для x = 0. Кроме того, Dp(a, γ, α) < +∞ ⇐⇒ p ≤ aα и
Eq(a, γ, α) > 0 ⇐⇒ q ≥ aα, а также Dp(a, γ, α) = ζ(−γ, a) при всех
p ≤ aα и Eq(a, γ, α) = aγ при q = aα.
Если a > 0, γ ∈ R, α > 0 и µ > max
{
γ
α
; 0
}
, то из теоремы 1.4
вытекает, что
S̃(x, a, γ, α, µ) = x−µ
(
ζ̃(−γ, a) + o(1)
)
, x→ +∞. (2.11)
Поэтому для рядов (2.2) естественной является следующая задача.
Пусть a > 0, γ ∈ R, α > 0 и µ0 ≥ max{ γ
α
; 0}. При каких q ≥ 0, p ≥ 0
и C,F ∈ R неравенство
F
(q + x)µ
≤ S̃(x, a, γ, α, µ) ≤ C
(p+ x)µ
(2.12)
выполняется для всех µ > µ0 и x > 0? В работе Tomovski и Hilfer [22]
утверждается, что в этой задаче для a = 1, γ > 0 в правом неравен-
стве в (2.12) можно взять p = C = 1 и µ0 = γ+1
α
. В работе автора [23]
указана ошибка в доказательстве этого утверждения Tomovski и Hi-
lfer. В этой же работе [23] доказано, что, если m,α ∈ N , γ = 4m+ 5,
αµ − γ > 0, то правое неравенство в (2.12) для a = p = C = 1 не
возможно при больших x > 0. В теореме 2.3 найдены все решения
этой задачи.
Теорема 2.3. Пусть a > 0, γ ∈ R, α > 0, µ0 ≥ max{ γ
α
; 0}, q ≥ 0,
p ≥ 0 и C,F ∈ R. Тогда неравенство (2.12) выполняется для всех
µ > µ0 и x > 0 ⇐⇒ 0 ≤ p ≤ aα, C ≥ Cp(a, γ, α), F ≤ Fq(a, γ, α), где
Cp(a, γ, α) := sup
x>0
ep xf̃(x, a, γ, α),
Fq(a, γ, α) := inf
x>0
eq xf̃(x, a, γ, α)
(2.13)
и в этом случае неравенство (2.12) строгое при x > 0, а если q, p > 0,
то и для x = 0. Кроме того, 0 < Cp(a, γ, α) < +∞ при p ≤ aα и
Cp(a, γ, α) = +∞ при p > aα.
560 Асимптотические разложения...
3. Вспомогательные факты
3.1. Гамма-функция Эйлера
Функция Γ(s) аналитически продолжается во всю плоскость C,
кроме точек s = −k, k ∈ Z+, в которых она имеет простые полюса и
для всех допустимых s ∈ C справедливы равенства
Γ(s+ 1) = sΓ(s), Γ(s)Γ(1 − s) =
π
sinπs
. (3.1)
Если s = σ + it = |s|eiϕ, где σ, t ∈ R и ϕ = ϕ(s) = arg s ∈ (−π, π),
то [11, §1.5.1]
Γ(s+ 1) =
√
2πss+
1
2 e−seR(s) , |R(s)| ≤ 1
12|s| cos2 ϕ
2
,
|ss+ 1
2 | = |s|σ+ 1
2 e−ϕ(s)t = |s|σ+ 1
2 e−|ϕ(s)| |t|,
|Γ(s+ 1)| =
√
2π|s|σ+ 1
2 e−σe−|ϕ(s)| |t| |eR(s)|.
(3.2)
Если дополнительно Re s = σ > 0, то |ϕ(s)| = arctg |t|
σ
, и, значит,
|Γ(s+ 1)| =
√
2π|s|σ+ 1
2 e−σe−|t| arctg
|t|
σ |eR(s)|, |R(s)| ≤ 1
6|s| ,
|Γ(s+ 1)| ≤
√
2π|s|σ+ 1
2 e−
π
2
|t| e
1
6|s| ,
1
|Γ(s+ 1)| ≤ (2π)−
1
2 |s|−σ− 1
2 eσe|t| arctg
|t|
σ e
1
6|s| .
(3.3)
Здесь мы учли неравенства |ew| ≤ e|w|, w ∈ C, и 0 < π
2 − arctg u < 1
u
,
u > 0.
Пусть 0 < δ ≤ π
2 , | arg s| ≤ π−δ и Re s = σ. Рассматривая отдельно
случаи σ > 0 и σ ≤ 0 (в этом случае | arg s| ≥ π
2 ), из (3.2) получаем
неравенство
|Γ(s+ 1)| ≤
√
2π|s|σ+ 1
2 e
|σ|−σ
2 e−
π
2
|t| e
1
12|s| sin2 δ
2 , | arg s| ≤ π − δ. (3.4)
В. П. Заставный 561
3.2. Функция Гурвица
Если a = p+ a0, где p ∈ N, 0 < a0 ≤ 1, то
ζ(s, a) = ζ(s, a0) −
p−1∑
k=0
1
(k + a0)s
, s 6= 1. (3.5)
Равенство (3.5) при Re s > 1 очевидно, а при остальных s 6= 1 оно
вытекает из теоремы единственности для аналитических функций.
Следующая формула принадлежит Гурвицу:
ζ(s, a) =
2Γ(1 − s)
(2π)1−s
∞∑
k=1
sin
(
2πak + π
2 s
)
k1−s
, Re s < 0, 0 < a ≤ 1.
(3.6)
Если 0 < a ≤ 1, то из [9, §13.51] вытекает существование положитель-
ных констант c(a) > 0 и t(a) > 1 таких, что при σ, t ∈ R выполняется
неравенство
|ζ(σ + it, a)| ≤ c(a)|t|τ(σ) ln |t|, |t| ≥ t(a), где
τ(σ) :=
1
2 − σ, σ ≤ 0,
1
2 , 0 ≤ σ ≤ 1
2 ,
1 − σ, 1
2 ≤ σ ≤ 1,
0, σ ≥ 1.
(3.7)
3.3. Преобразование Мелина
Если xσ−1f(x) ∈ L(0,+∞) при некотором σ ∈ R, то преобразова-
ние Мелина функции f определяется по формуле
g(s) =
+∞∫
0
xs−1f(x) dx, s = σ + it, t ∈ R.
Если дополнительно функция f имеет ограниченную вариацию в
окрестности точки x > 0, то справедлива формула обращения (см.,
например, [12, §1.29])
f(x+ 0) + f(x− 0)
2
=
1
2πi
σ+i∞∫
σ−i∞
g(s)x−s ds,
где интеграл вычисляется в смысле главного значения по Коши. Если
взять f(x) = e−x и f(x) = (x+1)−µ, µ > 0, то соответственно получим
562 Асимптотические разложения...
g(s) = Γ(s), Re s > 0, и g(s) = Γ(µ−s)Γ(s)
Γ(µ) , 0 < Re s < µ. Поэтому при
любых x > 0 справедливы два равенства
e−x =
1
2πi
σ+i∞∫
σ−i∞
Γ(s)x−s ds, σ > 0, (3.8)
1
(x+ 1)µ
=
1
2πi
σ+i∞∫
σ−i∞
Γ(µ− s)Γ(s)
Γ(µ)
x−s ds, 0 < σ < µ. (3.9)
4. Доказательство теорем 1.1, 1.2, 1.3 и 1.4
Доказательство асимптотических
разложений в теореме 1.1
В (3.8) берем σ = β > max
{
0, γ+1
α
}
и x заменяем на (k + a)αx,
a > 0, k ∈ Z+, α > 0, x > 0. Полученные равенства
(k + a)γe−(k+a)αx =
1
2πi
β+i∞∫
β−i∞
Γ(s)x−s(k + a)−αs+γ ds
суммируем по k ∈ Z+. В левой части получим f(x, a, γ, α). В правой
части меняем местами знак суммы и интеграла (это можно сделать
в силу (3.2) и (3.3), если учесть, что αβ − γ > 1). Получаем, что при
всех a > 0, γ ∈ R, α > 0, x > 0 и β > max
{
0, γ+1
α
}
справедливо
равенство
f(x, a, γ, α) =
1
2πi
β+i∞∫
β−i∞
F (s) ds, F (s) = Γ(s)x−sζ(αs− γ, a). (4.1)
Функция F (s) является аналитической во всей плоскости, кроме по-
люсов s = −k, k ∈ Z+, и s = γ+1
α
. Если −γ+1
α
6∈ Z+, то эти полюса
различные и простые. Берем σn = n+ 1
2 , n ∈ Z+, и прямоугольник
Kn,m := {s ∈ C : | Im s| ≤ m, −σn ≤ Re s ≤ β} , m ∈ N, n ∈ Z+.
Если σn 6= −γ+1
α
, то по теореме о вычетах
1
2πi
∮
∂Kn,m
F (s) ds = Σn, (4.2)
В. П. Заставный 563
где Σn — сумма вычетов функции F в тех полюсах, которые попали в
интервал (−σn, β). Если n > −1
2−
γ+1
α
, n ∈ Z+, то в интервале (−σn, β)
будут находиться только полюса s = −k, k = 0, . . . , n, и s = γ+1
α
. Из
оценок (3.4), (3.7) и равенства (3.5) (если a > 1) вытекает, что в
левой части равенства (4.2) интегралы по горизонтальным отрезкам
s = σ ± im, −σn ≤ σ ≤ β, стремятся к нулю при m → +∞. Поэтому
из (4.1) и (4.2) вытекает равенство
f(x, a, γ, α) = Σn + In, In =
1
2πi
−σn+i∞∫
−σn−i∞
F (s) ds, σn 6= −γ + 1
α
.
(4.3)
Сначала найдем Σn. Из равенства (1.4) вытекает, что разложение в
ряд Лорана функции ζ(αs−γ, a) в окрестности полюса s = γ+1
α
имеет
вид
ζ(αs− γ, a) =
c−1
s− γ+1
α
+ c0 + c1
(
s− γ + 1
α
)
+ . . . ,
c−1 =
1
α
, c0 = −Γ′(a)
Γ(a)
.
(4.4)
Из формулы дополнения (3.1) вытекает, что разложение в ряд Лорана
Γ-функции в окрестности полюса s = −k, k ∈ Z+, имеет вид
Γ(s) =
a−1
s+ k
+ a0 + a1 (s+ k) + . . . ,
a−1 =
(−1)k
Γ(k + 1)
, a0 =
(−1)kΓ′(k + 1)
Γ2(k + 1)
.
(4.5)
Таким образом, если −γ+1
α
6∈ Z+, то при n > −1
2 − γ+1
α
, n ∈ Z+,
справедливо равенство
Σn =
1
α
Γ
(
γ + 1
α
)
x−
γ+1
α +
n∑
k=0
(−1)k
k!
ζ(−αk − γ, a)xk. (4.6)
Если −γ+1
α
= r ∈ Z+, то при n > −1
2 − γ+1
α
, n ∈ Z+, справедливо
равенство
Σn = res
s=−r
F (s) +
n∑
k=0,
k 6=r
res
s=−k
F (s), (4.7)
где вычеты в точках s = −k, k ∈ Z+, k 6= r, вычисляются как и выше.
Для вычисления вычета функции F в точке s = −r надо учесть
564 Асимптотические разложения...
следующее разложение в ряд Тейлора функции x−s в окрестности
точки s = −r
x−s = b0 + b1(s+ r) + · · · , b0 = xr, b1 = −xr lnx.
Учитывая равенства (4.4) и (4.5), соответственно, при γ+1
α
= −r и
k = r, получаем следующее разложение в ряд Лорана функции F в
окрестности полюса s = −r
F (s) =
B−2
(s+ r)2
+
B−1
(s+ r)
+B0 +B1(s+ r) + · · · ,
B−2 =c−1a−1b0 =
1
α
· (−1)r
Γ(r + 1)
xr,
B−1 =c−1a−1b1 + c−1a0b0 + c0a−1b0.
(4.8)
Поэтому
res
s=−r
F (s) = B−1 =
(−1)rxr
Γ(r + 1)
(
− lnx
α
+
Γ′(r + 1)
Γ(r + 1)
1
α
− Γ′(a)
Γ(a)
)
. (4.9)
Оценим теперь интеграл In в (4.3). Если σn 6= −γ+1
α
, то
|In| ≤
xσn
2π
+∞∫
−∞
|Γ(−σn + it)| |ζ(−ασn− γ + iαt, a)| dt, n ∈ Z+, x > 0.
(4.10)
Сходимость интеграла в (4.10) вытекает из равенства
|Γ(−σn + it)| =
π
ch(πt) |Γ(1 + σn − it)|
и оценок (3.3) и (3.7) (в случае a > 1 надо ещё учесть равенство (3.5)).
Таким образом, асимптотические разложения (1.7) и (1.8) доказаны.
Случай 0 < α ≤ 1 в теореме 1.1
Для фиксированных 0 < α ≤ 1, γ ∈ R и произвольного ε > 0
берем
n(ε, γ, α) := max
{
1 − γ
α
− 1
2
;
|γ|
ε
− 1
2
; 1
}
.
Тогда при всех натуральных n ≥ n(ε, γ, α) выполняются неравенства
ασn + γ ≥ 1; |γ| ≤ εσn ≤ ε|σn − it|, t ∈ R; σn > 1.
В. П. Заставный 565
Если 0 < a ≤ 1, то из (3.6) и (3.3) вытекает, что при всех натуральных
n ≥ n(ε, γ, α) и t ∈ R выполняются неравенства (надо еще учесть, что
| sinw| ≤ e| Imw|, w ∈ C)
|ζ(−ασn − γ + iαt, a)|
≤ 2|Γ(1 + ασn + γ − iαt)|
(2π)1+ασn+γ
e
π
2
α|t|ζ(1 + ασn + γ)
≤ C(γ)
(2π)ασn
e
π
2
α|t| |ασn + γ − iαt|ασn+γ+ 1
2 e−ασne
−α|t| arctg
α|t|
ασn+γ
≤ C(γ)
(2π)ασn
e
π
2
α|t|−α|t| arctg
α|t|
ασn+γ e−ασn(α+ ε)ασn+γ+ 1
2
× |σn − it|ασn+γ+ 1
2 ,
где C(γ) = 2ζ(2)e
1
6−γ
(2π)γ+1/2 , а ζ(s) := ζ(s, 1) — дзета-функция Римана. Здесь
мы воспользовались неравенствами
ζ(1 + ασn + γ) ≤ ζ(2),
|ασn + γ − iαt| ≤ α|σn − it| + |γ| ≤ (α+ ε)|σn − it|.
Так как при всех n ≥ n(ε, γ, α) и t ∈ R выполняется неравенство
|σn − it| ≥ σn ≥ 1, то при этих же n и t
|σn − it|γ ≤ |σn − it||γ| ≤ σ|γ|n
(
1 +
|t|
σn
)|γ|
≤ σ|γ|n (1 + |t|)|γ| .
Окончательно получаем, что при всех n ≥ n(ε, γ, α) и t ∈ R выпол-
няется неравенство
|ζ(−ασn − γ + iαt, a)|
≤ C(γ)
(2π)ασn
e
π
2
α|t|−α|t| arctg
α|t|
ασn+γ e−ασn(α+ ε)ασn+γ+ 1
2
× |σn − it|ασn+ 1
2σ|γ|n (1 + |t|)|γ| . (4.11)
Из (3.3) вытекает, что при всех n ≥ n(ε, γ, α) и t ∈ R выполняется
неравенство
|Γ(−σn + it)| =
π
ch(πt) |Γ(1 + σn − it)|
≤ (2π)
1
2 e
1
6 e−π|t||σn − it|−σn−
1
2 eσne
|t| arctg
|t|
σn .
566 Асимптотические разложения...
Из (4.11) и последнего неравенства вытекает, что при n ≥ n(ε, γ, α),
t ∈ R и 0 < a ≤ 1 выполняется неравенство
|ζ(−ασn − γ + iαt, a) Γ(−σn + it)|
≤ C1(γ)
(2π)ασn
eψ(t)+(1−α)σn(α+ ε)ασn+γ+ 1
2 |σn − it|(α−1)σnσ|γ|n (1 + |t|)|γ| ,
(4.12)
где C1(γ) = (2π)
1
2 e
1
6C(γ) и
ψ(t) = −π|t| + |t| arctg
|t|
σn
+
π
2
α|t| − α|t| arctg
α|t|
ασn + γ
= −π
2
|t| − (1 − α)|t|
(
π
2
− arctg
|t|
σn
)
+ α|t|
(
arctg
|t|
σn
− arctg
α|t|
ασn + γ
)
≤ −π
2
|t| + |γ|.
Здесь мы учли, что 0 < α ≤ 1, и воспользовались неравенством
| arctg v − arctg u| =
∣∣∣∣∣
v∫
u
dx
x2 + 1
∣∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣∣
v∫
u
dx
x2
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣
1
u
− 1
v
∣∣∣∣ , u, v > 0.
Учитывая в (4.12) неравенство |σn − it|(α−1)σn ≤ σ
(α−1)σn
n и оценку
для ψ(t), получаем, что при всех n ≥ n(ε, γ, α), t ∈ R и 0 < a ≤ 1
выполняется неравенство
|ζ(−ασn − γ + iαt, a) Γ(−σn + it)|
≤ C1(γ)e
|γ|
(2π)ασn
e−
π
2
|t|e(1−α)σn(α+ ε)ασn+γ+ 1
2σ(α−1)σn
n σ|γ|n (1 + |t|)|γ| .
Это неравенство применяем в (4.10) и получаем при n ≥ n(ε, γ, α)
следующую оценку для In из (4.3)
|In| ≤
xσne(1−α)σn(α+ ε)ασn+γ+ 1
2σ
(α−1)σn+|γ|
n
(2π)ασn+1
I(γ),
I(γ) = C1(γ)e
|γ|
+∞∫
−∞
e−
π
2
|t| (1 + |t|)|γ| dt.
(4.13)
Если 0 < α < 1, то из (4.13) вытекает, что limn→∞ In = 0 для всех
x > 0. Если α = 1, то limn→∞ In = 0 для всех x ∈ (0, 2π
1+ε) и, значит,
В. П. Заставный 567
для всех x ∈ (0, 2π). Таким образом, в случае 0 < a ≤ 1 вторая часть
теоремы 1.1 доказана.
Если a > 1, то a = p+ a0, где p ∈ N, 0 < a0 ≤ 1, и (см. (3.5))
|ζ(−ασn − γ + iαt, a)| ≤ |ζ(−ασn − γ + iαt, a0)| + a(a− 1)ασn+γ .
В этом случае в правой части неравенства (4.13) будет еще одно сла-
гаемое:
xσn
√
2π
+∞∫
−∞
e−π|t||σn − it|−σn−
1
2 eσn+ 1
6 e
|t| arctg
|t|
σn a(a− 1)ασn+γ dt
≤ xσn
√
2π
σ
−σn−
1
2
n eσn+ 1
6a(a− 1)ασn+γ
+∞∫
−∞
e−
π
2
|t| dt, n ≥ n(ε, γ, α).
(4.14)
Здесь мы воспользовались неравенством |σn − it|−σn−
1
2 ≤ σ
−σn−
1
2
n .
Правая часть неравенства (4.14) стремится к 0 при n → ∞ при всех
x > 0. Теорема 1.1 доказана.
Доказательство теоремы 1.2
Доказательство вытекает из теоремы 1.1 и очевидного равенства
f̃(x, a, γ, α) = f(x, a, γ, α) − 2γ+1f
(
2αx,
a+ 1
2
, γ, α
)
, x > 0.
Доказательство теоремы 1.3
В (3.9) берем σ = β ∈
(
max
{
0, γ+1
α
}
, µ
)
и x заменяем на (k+a)αx,
a > 0, k ∈ Z+, α > 0, x > 0. Полученные равенства
(k + a)γ
(x(k + a)α + 1)µ
=
1
2πi
β+i∞∫
β−i∞
Γ(µ− s)Γ(s)
Γ(µ)
x−s(k + a)−αs+γ ds
суммируем по k ∈ Z+. В левой части получим g(x, a, γ, α, µ). В правой
части меняем местами знак суммы и интеграла (это можно сделать в
силу (3.2) и (3.3), если учесть, что αβ−γ > 1). Получаем, что при всех
a > 0, γ ∈ R, α > 0, µ > max
{
0, γ+1
α
}
, x > 0 и max
{
0, γ+1
α
}
< β < µ
справедливо равенство
g(x, a, γ, α, µ) =
1
2πi
β+i∞∫
β−i∞
G(s) ds,
568 Асимптотические разложения...
где G(s) = Γ(µ−s)Γ(s)
Γ(µ) x−sζ(αs − γ, a) = Γ(µ−s)
Γ(µ) F (s), а функция F
из (4.1). В полуплоскости Re s < µ особые точки функций G и F
совпадают. Берем σn = n + 1
2 , n ∈ Z+. Как и при доказательстве
теоремы 1.1, учитывая (3.4), (3.7) и равенство (3.5) (если a > 1), по-
лучаем при σn 6= −γ+1
α
следующее равенство
g(x, a, γ, α, µ) = Σn + In, In =
1
2πi
−σn+i∞∫
−σn−i∞
G(s) ds, (4.15)
где Σn — сумма вычетов функции G в тех полюсах, которые попали
в интервал (−σn, β). Если n > −1
2 − γ+1
α
, n ∈ Z+, то в интервале
(−σn, β) будут находиться только полюса s = −k, k = 0, . . . , n, и
s = γ+1
α
. Если −γ+1
α
6∈ Z+, то эти полюса простые и
res
s= γ+1
α
G(s) =
Γ
(
µ− γ+1
α
)
Γ(µ)
res
s= γ+1
α
F (s) =
Γ
(
µ− γ+1
α
)
Γ
(
γ+1
α
)
Γ(µ)α
x−
γ+1
α ,
res
s=−k
G(s) =
Γ(µ+ k)
Γ(µ)
(−1)k
k!
ζ(−αk − γ, a)xk, k ∈ Z+.
Если −γ+1
α
= r ∈ Z+, то вычеты в точках s = −k, k ∈ Z+, k 6= r,
вычисляются как и выше. Для вычисления вычета функцииG в точке
s = −r надо учесть (4.8), (4.9) и следующее разложение в ряд Тейлора
функции Γ(µ−s)
Γ(µ) в окрестности точки s = −r
Γ(µ− s)
Γ(µ)
= A0 +A1(s+ r) + . . . , A0 =
Γ(µ+ r)
Γ(µ)
, A1 = −Γ′(µ+ r)
Γ(µ)
.
res
s=−r
G(s) = B−1A0 +B−2A1
=
Γ(µ+ r)(−1)rxr
Γ(µ)Γ(r + 1)
(
− lnx
α
+
Γ′(r + 1)
αΓ(r + 1)
− Γ′(a)
Γ(a)
− Γ′(µ+ r)
αΓ(µ+ r)
)
.
Оценим интеграл In в (4.15). Если n ∈ Z+, σn 6= −γ+1
α
и x > 0, то
|In| ≤
xσn
2πΓ(µ)
+∞∫
−∞
|Γ(µ+ σn− it)| |Γ(−σn + it)| |ζ(−ασn− γ + iαt, a)| dt.
(4.16)
Сходимость интеграла в (4.16) доказывается точно так же, как и схо-
димость интеграла в (4.10). Теорема 1.3 доказана.
В. П. Заставный 569
Доказательство теоремы 1.4
Если µ > max
{
0, γ+1
α
}
, то доказательство вытекает из теоре-
мы 1.3 и равенства
g̃(x, a, γ, α, µ) = g(x, a, γ, α, µ) − 2γ+1g
(
2αx,
a+ 1
2
, γ, α, µ
)
, x > 0.
Если µ > max
{
0, γ
α
}
, то доказательство такое же, как и доказатель-
ство теоремы 1.3. Следует учесть, что в этом случае при всех a > 0,
γ ∈ R, α > 0, µ > max
{
0, γ
α
}
, x > 0 и max
{
0, γ
α
}
< β < µ справедливо
равенство
g̃(x, a, γ, α, µ) =
1
2πi
β+i∞∫
β−i∞
G̃(s) ds,
где G̃(s) = Γ(µ−s)Γ(s)
Γ(µ) x−sζ̃(αs− γ, a).
5. Доказательство теорем 2.1, 2.2 и 2.3
Лемма 5.1. Пусть a > 0, γ ∈ R и α > 0. Тогда не существуют
такие постоянные p, β, c ∈ R, для которых при x > 0 выполнялось
бы одно из тождеств xβep xf(x, a, γ, α) ≡ c или xβep xf̃(x, a, γ, α) ≡ c.
Доказательство. Предположим, что xβep xf(x, a, γ, α) ≡ c, x > 0.
Тогда c > 0 и из асимптотики f(x, a, γ, α) ∼ aγe−a
αx, x→ +∞, выте-
кает, что p = aα (если p > aα или p < aα, то, соответственно, c = +∞
или c = 0, что невозможно). Тогда β = 0 (если β > 0 или β < 0,
то, соответственно, c = +∞ или c = 0, что невозможно) и c = aγ .
Поэтому f(x, a, γ, α) ≡ aγe−a
α x, x > 0, но f(x, a, γ, α) > aγe−a
α x при
всех x > 0.
Предположим, что xβep xf̃(x, a, γ, α) ≡ c, x > 0. Из асимптотики
f̃(x, a, γ, α) ∼ aγe−a
αx, x→ +∞, вытекает, что c > 0. Аналогично, как
и выше, получаем, что f̃(x, a, γ, α) ≡ aγe−a
α x, x > 0. Тогда f̃(x, a +
1, γ, α) ≡ aγe−a
α x − f̃(x, a, γ, α) ≡ 0, x > 0, но f̃(x, a+ 1, γ, α) > 0 при
больших x > 0. Лемма 5.1 доказана.
Доказательство теоремы 2.1
Для a > 0, γ + 1 > 0, α > 0, µ > γ+1
α
, p ≥ 0, c ∈ R определим
следующую функцию переменной x > 0
ϕ(x, a, γ, α, µ, c, p) :=
c
(p+ x)µ−
γ+1
α
·
Γ
(
µ− γ+1
α
)
Γ(µ)
− S(x, a, γ, α, µ).
570 Асимптотические разложения...
Легко проверить, что при всех x > 0 и k ∈ Z+ справедливы равенства
(−1)k
d k
dxk
{ϕ(x, a, γ, α, µ, c, p)}
=
Γ(µ+ k)
Γ(µ)
ϕ(x, a, γ, α, µ+ k, c, p),
ϕ(x, a, γ, α, µ, c, p)
=
1
Γ(µ)
+∞∫
0
e−xttµ−
γ+1
α
−1
(
c e−pt − t
γ+1
α f(t, a, γ, α)
)
dt.
(5.1)
Интегральное представление в (5.1) вытекает из неравенств µ > γ+1
α
,
p ≥ 0 и асимптотик: f(t, a, γ, α) ∼ aγe−a
αt, t → +∞, и f(t, a, γ, α) ∼
1
α
Γ
(
γ+1
α
)
t−
γ+1
α , t → +0 (см. теорему 1.1). Из этих асимптотик выте-
кает также, что Ap(a, γ, α) < +∞ ⇐⇒ p < aα и Bq(a, γ, α) > 0 ⇐⇒
q ≥ aα. Далее воспользуемся следующей теоремой [24–26].
Теорема 5.1 (Бернштейн–Хаусдорф–Уиддер). Следующие два
условия эквивалентны:
1. Функция f ∈ C∞(0,+∞) и неравенство (−1)kf (k)(x) ≥ 0 выпол-
няется для всех k ∈ Z+, x > 0.
2. f(x) =
∫ +∞
0 e−xt dµ(t), x > 0, где µ неотрицательная борелев-
ская мера на [0,+∞) такая, что интеграл сходится для всех
x > 0. При этом мера µ конечна на [0,+∞) тогда и только
тогда, когда f(+0) < +∞.
Из теоремы Бернштейна–Хаусдорфа–Уиддера и равенств (5.1)
вытекает, что выполнение неравенств (2.7) для всех µ > µ0 и x >
0 эквивалентно выполнению при всех t > 0 неравенств Ae−pt −
t
γ+1
α f(t, a, γ, α) ≥ 0 и Be−qt− t
γ+1
α f(t, a, γ, α) ≤ 0. Последние неравен-
ства эквивалентны неравенствам A ≥ Ap(a, γ, α) и B ≤ Bq(a, γ, α).
Из (1.7) вытекает, что Bq(a, γ, α) ≤ Γ( γ+1
α )
α
≤ Ap(a, γ, α) при 0 ≤
p < a2 ≤ q. Если a ≥ 1, то (см. неравенство (2.5) и текст ниже этого
неравенства) 1
2 ≤ Bq(a, 1, 2), Ap(a, 1, 2) ≤ 1
2 при 0 ≤ p ≤ m(∞, a), q ≥
a2 и, значит, Bq(a, 1, 2) = Ap(a, 1, 2) = 1
2 при всех a ≥ 1 и указанных
p и q, в частности, при p ∈ [0, a2 − a] (т.к. a2 − a < m(∞, a)).
Пусть 0 ≤ p < aα, A ≥ Ap(a, γ, α) и q ≥ aα, B ≤ Bq(a, γ, α).
Если при некотором x ≥ 0 (x > 0, если p = 0) правое или ле-
вое неравенство в (2.7) обращается в равенство, то из интеграль-
ного представления (5.1) вытекает, что A ≡ eptt
γ+1
α f(t, a, γ, α) или
B ≡ eqtt
γ+1
α f(t, a, γ, α) при t > 0, что противоречит лемме 5.1. Теоре-
ма 2.1 доказана.
В. П. Заставный 571
Доказательство теоремы 2.2
Для a > 0, γ + 1 < 0, α > 0, µ > 0, p ≥ 0, c ∈ R определим
функцию
ψ(x, a, γ, α, µ, c, p) :=
c
(p+ x)µ
− S(x, a, γ, α, µ), x > 0.
Легко проверить, что при всех x > 0 и k ∈ Z+ справедливы равенства
(−1)k
d k
dxk
{ψ(x, a, γ, α, µ, c, p)} =
Γ(µ+ k)
Γ(µ)
ψ(x, a, γ, α, µ+ k, c, p),
ψ(x, a, γ, α, µ, c, p) =
1
Γ(µ)
+∞∫
0
e−xttµ−1
(
c e−pt − f(t, a, γ, α)
)
dt.
(5.2)
Интегральное представление в (5.2) вытекает из неравенств µ > 0,
p ≥ 0, асимптотики f(t, a, γ, α) ∼ aγe−a
αt, t → +∞, и равенства
f(+0, a, γ, α) = ζ(−γ, a) > 0 (см. теорему 1.1). Из этих соотношений
вытекает также, что Dp(a, γ, α) < +∞ ⇐⇒ p ≤ aα и Eq(a, γ, α) > 0
⇐⇒ q ≥ aα. Если p ≤ aα, то функция eptf(t, a, γ, α) строго убыва-
ет по t > 0. Поэтому Dp(a, γ, α) = ζ(−γ, a) при всех p ≤ aα и
Eaα(a, γ, α) = aγ .
Из теоремы Бернштейна–Хаусдорфа–Уиддера и равенств (5.2)
вытекает, что выполнение неравенств (2.9) для всех µ > µ0 и x >
0 эквивалентно выполнению при всех t > 0 неравенств De−pt −
f(t, a, γ, α) ≥ 0 и Ee−qt − f(t, a, γ, α) ≤ 0. Последние два неравенства
эквивалентны неравенствам D ≥ Dp(a, γ, α) и E ≤ Eq(a, γ, α).
Пусть 0 ≤ p ≤ aα, D ≥ Dp(a, γ, α) и q ≥ aα, E ≤ Eq(a, γ, α). Если
при некотором x ≥ 0 (x > 0, если p = 0) правое или левое неравен-
ство в (2.9) обращается в равенство, то из интегрального представле-
ния (5.2) вытекает, что D ≡ eptf(t, a, γ, α) или E ≡ eqtf(t, a, γ, α) при
t > 0, чего не может быть (см. лемму 5.1). Теорема 2.2 доказана.
Доказательство теоремы 2.3
Для a > 0, γ ∈ R, α > 0, µ > max{ γ
α
; 0}, p ≥ 0, c ∈ R определим
функцию
ψ̃(x, a, γ, α, µ, c, p) :=
c
(p+ x)µ
− S̃(x, a, γ, α, µ), x > 0.
572 Асимптотические разложения...
Легко проверить, что при всех x > 0 и k ∈ Z+ справедливы равенства
(−1)k
d k
dxk
{
ψ̃(x, a, γ, α, µ, c, p)
}
=
Γ(µ+ k)
Γ(µ)
ψ̃(x, a, γ, α, µ+ k, c, p),
ψ̃(x, a, γ, α, µ, c, p) =
1
Γ(µ)
+∞∫
0
e−xttµ−1
(
c e−pt − f̃(t, a, γ, α)
)
dt.
(5.3)
Интегральное представление в (5.3) вытекает из неравенств µ >
max{ γ
α
; 0}, p ≥ 0, асимптотики f̃(t, a, γ, α) ∼ aγe−a
αt, t → +∞, и
равенства f̃(+0, a, γ, α) = ζ̃(−γ, a) (см. теорему 1.2). Из этих соо-
тношений вытекает также, что 0 < Cp(a, γ, α) < +∞ при p ≤ aα и
Cp(a, γ, α) = +∞ при p > aα, а также Fq(a, γ, α) > −∞.
Из теоремы Бернштейна–Хаусдорфа–Уиддера и равенств (5.3)
вытекает, что выполнение неравенств (2.12) для всех µ > µ0 и
x > 0 эквивалентно выполнению при всех t > 0 неравенств Ce−pt −
f̃(t, a, γ, α) ≥ 0 и Fe−qt − f̃(t, a, γ, α) ≤ 0. Последние два неравенства
эквивалентны неравенствам C ≥ Cp(a, γ, α) и F ≤ Fq(a, γ, α).
Пусть 0 ≤ p ≤ aα, C ≥ Cp(a, γ, α) и q ≥ 0, F ≤ Fq(a, γ, α). Если
при некотором x ≥ 0 (x > 0, если p = 0 или q = 0) правое или
левое неравенство в (2.12) обращается в равенство, то из представле-
ния (5.3) вытекает, что C ≡ eptf̃(t, a, γ, α) или F ≡ eqtf̃(t, a, γ, α) при
t > 0, что невозможно в силу леммы 5.1. Теорема 2.3 доказана.
Литература
[1] А. Ф. Тиман, Точная оценка остатка при приближении периодических диф-
ференцируемых функций интегралами Пуассона // Докл. АН СССР, 74
(1950), N 1, 17–20.
[2] Л. В. Малей, Точная оценка приближения квазигладких функций интегра-
лами Пуассона // Докл. АН БССР. Сер. физ.-техн., 3 (1961), 25–32.
[3] Э. Л. Штарк, Полное асимптотическое разложение для верхней грани укло-
нения функций из Lip 1 от сингулярного интеграла Абеля-Пуассона // Ма-
тем. заметки, 13 (1973), N 1, 21–28.
[4] В. А. Баскаков, О некоторых свойствах операторов типа операторов Абеля-
Пуассона // Матем. заметки, 17 (1975), N 2, 169–180.
[5] К. М. Жигалло, Ю. И. Харкевич, Повна асимптотика вiдхилення вiд класу
диференцiйовних функцiй множини їх гармонiйних iнтегралiв Пуассона //
Укр. мат. журн., 54 (2002), N 1, 43–52.
[6] В. П. Заставный, О рядах, возникающих при приближении периодических
дифференцируемых функций интегралами Пуассона // Матем. заметки, 86
(2009), N 4, 497–511.
[7] А. О. Гельфонд, Вычеты и их приложения, М., Наука, 1966.
[8] В. П. Заставный, Обобщённая формула Эйлера-Маклорена и её применение //
Труды ИПММ НАН Украины, 17 (2008), 51–60.
В. П. Заставный 573
[9] E. T. Whittaker, G. N. Watson, A course of modern analysis, Cambridge, Cambri-
dge University Press, 1927.
[10] Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, том 1, М., На-
ука, 1973.
[11] Э. Я. Риекстыньш, Оценки остатков в асимптотических разложениях, Ри-
га, Зинатне, 1986.
[12] Е. Титчмарш, Введение в теорию интегралов Фурье, Москва, ОГИЗ, 1948.
[13] É. L. Mathieu, Traité de Physique Mathématique. VI-VII: Théory de l’Élasticité
des Corps Solides (Part 2), Paris, Gauthier-Villars, 1890.
[14] L. Berg, Über eine Abschätzung von Mathieu // Math. Nachr., 7 (1952), 257–259.
[15] J. G. van der Corput, L. O. Heflinger, On the inequality of Mathieu // Indagati-
ones Mathematicae, 18 (1956), 15–20.
[16] E. Makai, On the inequality of Mathieu // Publ. Math. Debrecen, 5 (1957), 204–
205.
[17] A. Elbert, Asymptotic expansion and continued fraction for Mathieu’s series //
Period. Math. Hungar., 13 (1982), 1–8.
[18] H. Alzer, J. L. Brenner, O. G. Ruehr, On Mathieu’s inequality // J. Math. Anal.
Appl., 218 (1998), 607–610.
[19] V. P. Zastavnyi, Mathieu’s series: inequalities, asymptotics and positive defini-
teness, http://arxiv.org/abs/0901.1104v1 (2009).
[20] P. H. Diananda, Some Inequalities Related to an Inequality of Mathieu // Math.
Ann., 250 (1980), 95–98.
[21] A. Hoorfar, F. Qi, Some new bounds for Mathieu’s series // Abstract and Applied
Analysis, 2007 (2007), Article ID 94854, 10 pages.
[22] Ž. Tomovski, R. Hilfer, Some bounds for alternating Mathieu type series //
Journal of Mathematical Inequalities, 2 (2008), N 1, 17–26.
[23] V. P. Zastavnyi, On a paper of Ž. Tomovski and R. Hilfer,
http://arxiv.org/abs/0901.4766v1 (2009).
[24] S. N. Bernstein, Sur les fonctions absolument monotones // Acta Math., 52
(1929), N 1, 1–66.
[25] F. Hausdorff, Summationsmethoden und Momentfolgen. II // Math. Zeitschrift,
9 (1921), 280–299.
[26] D. V. Widder, Necessary and sufficient conditions for the representation of a
function as a Laplace integral // Trans. Amer. Math. Soc., 33 (1931), N 4, 851—
892.
Сведения об авторах
Виктор П.
Заставный
Донецкий национальный университет,
Университетская 24,
Донецк, 34001,
Украина
E-Mail: zastavn@rambler.ru
|