О существовании обобщенного решения нелинейной эволюционной системы уравнений в неограниченной по времени области
Рассмотрена смешанная задача с однородными краевыми условиями Дирихле и ненулевыми начальными условиями для одной нелинейной связной эволюционной системы уравнений в неограниченной по времени области. Получены условия существования обобщенного решения. Показано несуществование решения задачи при отр...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124380 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О существовании обобщенного решения нелинейной эволюционной системы уравнений в неограниченной по времени области / М. Нечепуренко, Г. Торган // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 1. — С. 49-72. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124380 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243802017-09-25T03:02:46Z О существовании обобщенного решения нелинейной эволюционной системы уравнений в неограниченной по времени области Нечепуренко, М. Торган, Г. Рассмотрена смешанная задача с однородными краевыми условиями Дирихле и ненулевыми начальными условиями для одной нелинейной связной эволюционной системы уравнений в неограниченной по времени области. Получены условия существования обобщенного решения. Показано несуществование решения задачи при отрицательном начальном значении интеграла энергии. 2010 Article О существовании обобщенного решения нелинейной эволюционной системы уравнений в неограниченной по времени области / М. Нечепуренко, Г. Торган // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 1. — С. 49-72. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 35G30. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124380 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена смешанная задача с однородными краевыми условиями Дирихле и ненулевыми начальными условиями для одной нелинейной связной эволюционной системы уравнений в неограниченной по времени области. Получены условия существования обобщенного решения. Показано несуществование решения задачи при отрицательном начальном значении интеграла энергии. |
| format |
Article |
| author |
Нечепуренко, М. Торган, Г. |
| spellingShingle |
Нечепуренко, М. Торган, Г. О существовании обобщенного решения нелинейной эволюционной системы уравнений в неограниченной по времени области Український математичний вісник |
| author_facet |
Нечепуренко, М. Торган, Г. |
| author_sort |
Нечепуренко, М. |
| title |
О существовании обобщенного решения нелинейной эволюционной системы уравнений в неограниченной по времени области |
| title_short |
О существовании обобщенного решения нелинейной эволюционной системы уравнений в неограниченной по времени области |
| title_full |
О существовании обобщенного решения нелинейной эволюционной системы уравнений в неограниченной по времени области |
| title_fullStr |
О существовании обобщенного решения нелинейной эволюционной системы уравнений в неограниченной по времени области |
| title_full_unstemmed |
О существовании обобщенного решения нелинейной эволюционной системы уравнений в неограниченной по времени области |
| title_sort |
о существовании обобщенного решения нелинейной эволюционной системы уравнений в неограниченной по времени области |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124380 |
| citation_txt |
О существовании обобщенного решения нелинейной эволюционной системы уравнений в неограниченной по времени области / М. Нечепуренко, Г. Торган // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 1. — С. 49-72. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT nečepurenkom osuŝestvovaniiobobŝennogorešeniânelinejnojévolûcionnojsistemyuravnenijvneograničennojpovremenioblasti AT torgang osuŝestvovaniiobobŝennogorešeniânelinejnojévolûcionnojsistemyuravnenijvneograničennojpovremenioblasti |
| first_indexed |
2025-07-09T01:20:40Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:20:40Z |
| _version_ |
1837130363108851712 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 7 (2010), № 1, 49 – 72
О существовании обобщенного решения
нелинейной эволюционной системы уравнений
в неограниченной по времени области
Максим Нечепуренко, Галина Торган
(Представлена А. Е. Шишковым)
Аннотация. Рассмотрена смешанная задача с однородными крае-
выми условиями Дирихле и ненулевыми начальными условиями для
одной нелинейной связной эволюционной системы уравнений в нео-
граниченной по времени области. Получены условия существования
обобщенного решения. Показано несуществование решения задачи
при отрицательном начальном значении интеграла энергии.
2000 MSC. 35G30.
Ключевые слова и фразы. Смешанная задача, нелинейная систе-
ма, неограниченная область.
1. Введение
В предлагаемой статье получены достаточные условия существо-
вания локального решения для одной нелинейной эволюционной си-
стемы второго порядка. Существование решения почти всюду указан-
ной задачи получено в [10]. Подобные задачи в ограниченных обла-
стях рассматриваются в работах [1–3]. Так в [1] получены достато-
чные условия существования и единственности решения нелинейного
волнового уравнения с термоупругой связностью. В [2] изучена сме-
шанная задача для линейной связной системы с переменными коэф-
фициентами, установлено показательное поведение решения задачи.
Отдельный результат для эволюционной системы уравнений с инте-
гральной нелинейностью получен в [3]. Асимптотическое поведение
слабых решений полулинейной системы термоупругости изучено в [9]
и показано несуществование решения при отрицательной начальной
энергии.
Статья поступила в редакцию 22.06.2009
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
50 О существовании обобщенного решения...
В работе [8], посвященной волновым уравнения с переменными ко-
эффициентами, с помощью метода из [6] показана экспоненциальная
устойчивость интеграла энергии, связанного со слабым решением.
Для доказательства существования и единственности обобщенного
решения рассматриваемой задачи мы используем методы Галеркина
и компактности, а также идеи из [7].
Нелинейность вида |v|ρv обычно возникает в релятивистской кван-
товой механике [11,13] и рассматривалась многими авторами для ги-
перболических, параболических и эллиптических уравнений.
2. Постановка задачи
Пусть Ω — ограниченная область в R
n с границей ∂Ω ∈ C1, QT =
Ω × (0, T ), где T < ∞, Ωτ = QT ∩ {t = τ}, τ ∈ [0, T ], Q = Ω × (0,∞).
Рассмотрим в области Q смешанную задачу для системы уравнений
с вещественнозначными коэффициентами
utt −
n
∑
i,j=1
(aij(x, t)uxi(x, t))xj
+
n
∑
i=1
bi(x, t)θxi(x, t) + d(x, t)ut(x, t) + a(x, t)u(x, t)
= c(x, t)|u(x, t)|p−2u(x, t) + f1(x, t), (2.1)
θt −
n
∑
i,j=1
(dij(x, t)θxi(x, t))xj +
n
∑
i=1
(bi(x, t)ut(x, t))xi
+ b(x, t)θ(x, t) + g(x, t)|θ(x, t)|q−2θ(x, t) = f2(x, t) (2.2)
с начальными
u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), θ(x, 0) = θ0(x), x ∈ Ω, (2.3)
и краевыми условиями
u
∣
∣
∂Ω×(0,∞)
= 0, θ
∣
∣
∂Ω×(0,∞)
= 0. (2.4)
Введем пространства:
Lp(Ω) =
{
u :
∫
Ω
|u|p dx < ∞, p ∈ (1,∞)
}
,
М. Нечепуренко, Г. Торган 51
H1
0 (Ω) =
{
u : u, uxi ∈ L2(Ω), u
∣
∣
∂Ω
= 0, i ∈ {1, . . . , n}
}
,
с соответствующими нормами
‖u‖p =
(
∫
Ω
|u|p dx
)1/p
, ‖u‖H1
0 (Ω) = ‖∇u‖2 =
(
∫
Ω
n
∑
i=1
|uxi |
2 dx
)1/2
.
Будем предполагать, что для коэффициентов системы (2.1)–(2.2)
выполняются следующие условия:
(H1) aij , aijt, aijtt, a, at ∈ L∞(Q), D1aij(·, 0) ∈ L∞(Ω), i, j∈{1, . . . , n},
где Dαu =
∂|α|u
∂xα1
1 · · · ∂xαn
n
, α1 + · · · + αn = |α|, αi > 0;
n
∑
i,j=1
aij(x, t)ξiξj > A1
n
∑
i=1
|ξi|
2, A1 > 0,
для всех ξi ∈ R и почти всех (x, t) ∈ Q,
a(x, t) > A0 > 0
почти для всех (x, t) ∈ Q,
aij(x, t) = aji(x, t)
почти для всех (x, t) ∈ Q и всех i, j ∈ {1, . . . , n};
(H2) bi, bit, b, bt ∈ L∞(Q), D1bi(·, 0) ∈ L∞(Ω), i ∈ {1, . . . , n},
b(x, t) > B0 > 0
почти для всех (x, t) ∈ Q;
(H3) c, ct ∈ L∞(Q), c(x, t) 6 C0, ct(x, t) 6 C0 почти для всех (x, t) ∈
Q, C0 > 0, C0 > 0;
(H4) dij , dijt, d, dt ∈ L∞(Q), D1dij(·, 0) ∈ L∞(Ω), i, j ∈ {1, . . . , n},
n
∑
i,j=1
dij(x, t)ξiξj > D1
n
∑
i=1
|ξi|
2, D1 > 0,
для всех ξi ∈ R и почти всех (x, t) ∈ Q,
d(x, t) > D0 > 0
почти для всех (x, t) ∈ Q,
dij(x, t) = dji(x, t)
почти для всех (x, t) ∈ Q и всех i, j ∈ {1, . . . , n};
52 О существовании обобщенного решения...
(H5) g, gt ∈ L∞(Q), g(x, t) > g0 > 0 почти для всех (x, t) ∈ Q.
Определение 2.1. Пару функций u ∈ L2((0, T0), H
1
0 (Ω))∩Lp((0, T0);
Lp(Ω)), θ ∈ L2((0, T0), H
1
0 (Ω)) ∩ Lp((0, T0); L
p(Ω)) таких, что ut ∈
L2((0, T0); H
1
0 (Ω)), utt ∈ L∞((0, T0); L
2(Ω)), θt ∈ L∞((0, T0); L
2(Ω)) ∩
L2((0, T0); H
1
0 (Ω)), |θ|q−2|θt|
2 ∈ L1(QT0) и (u, θ) удовлетворяют на-
чальным условиям (2.3) и системе уравнений
∫
Ωt
[
uttw +
n
∑
i,j=1
aij(x, t)uxiwxj +
n
∑
i=1
bi(x, t)θxiw + d(x, t)utw
+ a(x, t)uw − c(x, t)|u|p−2uw − f1(x, t)w
]
dx = 0, (2.5)
∫
Ωt
[
θtv +
n
∑
i,j=1
dij(x, t)θxivxj −
n
∑
i=1
bi(x, t)utvxi + b(x, t)θv
+ g(x, t)|θ|q−2θv − f2(x, t)v
]
dx = 0, t ∈ (0, T0], (2.6)
для всех T0 ∈ (0, T ) и всех w ∈ H1
0 (Ω)∩Lp(Ω), v ∈ H1
0 (Ω)∩Lq(Ω), бу-
дем называть локальным обобщенным решением задачи (2.1)–(2.4).
Если T = ∞, то решение задачи будем называть глобальным.
3. Существование решения задачи
Теорема 3.1. Пусть для коэффициентов системы (2.1)–(2.2) выпол-
няются условия (H1)–(H5) и, кроме того, f1, f1t, f2, f2t ∈ L2(Q),
u0 ∈ H1
0 (Ω) ∩ H2(Ω) ∩ L2(p−1)(Ω), u1 ∈ L2(Ω), v ∈ H1
0 (Ω) ∩ H2(Ω) ∩
L2(q−1)(Ω), 2 < p 6
2n
n−2 при n > 2 и p > 2 при n ∈ {1, 2}, q > 2.
Тогда существует обобщенное решение задачи (2.1)–(2.4) в области
QT (0 < T < ∞), зависящее от начальных данных и коэффициентов
системы.
Доказательство. Для доказательства существования решения ис-
пользуем метод Галеркина. Поскольку пространство H1
0 (Ω)∩H2(Ω)∩
L2(p−1)(Ω)∩L2(q−1)(Ω) — сепарабельное банахово, то в нем существует
такое счетное множество {ωk}, что любое конечное количество эле-
ментов данного множества линейно независимо и замыкание его ли-
нейной оболочки в H1
0 (Ω)∩H2(Ω)∩L2(p−1)(Ω)∩L2(q−1)(Ω) совпадает с
этим пространством. Без потери общности, можем считать, что {ωk}
М. Нечепуренко, Г. Торган 53
ортонормирована в L2(Ω). Рассмотрим последовательности функций
uN (x, t)=
N
∑
k=1
cN
k (t)ωk(x), θN (x, t)=
N
∑
k=1
dN
k (t)ωk(x), N ∈ N,
где cN
1 , cN
2 , . . . , cN
N , dN
1 , dN
2 , . . . , dN
N — решения следующей задачи Ко-
ши:
∫
Ω
[
uN
tt ω
k +
n
∑
i,j=1
aij(x, t)uN
xi
ωk
xj
+
n
∑
i=1
bi(x, t)θN
xi
ωk + d(x, t)uN
t ωk
+ a(x, t)uNωk − c(x, t)|uN |p−2uNωk − f1(x, t)ωk
]
dx = 0, (3.1)
∫
Ω
[
θN
t ωk +
n
∑
i,j=1
dij(x, t)θN
xi
ωk
xj
−
n
∑
i=1
bi(x, t)uN
t ωk
xi
+ b(x, t)θNωk
+ g(x, t)|θ|q−2θωk − f2(x, t)ωk
]
dx = 0, t ∈ [0, T ], (3.2)
cN
k (0) = uN
0,k, cN
kt(0) = uN
1,k, dN
k (0) = θN
0,k, k ∈ {1, . . . , N},
uN
0 (x) =
N
∑
k=1
uN
0,kω
k(x), ‖uN
0 − u0‖H1
0 (Ω)∩H2(Ω)∩L2(p−1)(Ω) → 0,
uN
1 (x) =
N
∑
k=1
uN
1,kω
k(x), ‖uN
1 − u1‖H1
0 (Ω) → 0,
θN
0 (x) =
N
∑
k=1
θN
0,kω
k(x), ‖θN
0 − θ0‖H1
0 (Ω)∩H2(Ω)∩L2(q−1)(Ω) → 0
при N → ∞.
(3.3)
На основании теоремы Каратеодори ([15, с. 54]) существует абсо-
лютно непрерывное решение задачи (3.1)–(3.3), определенное на про-
межутке [0, tN ) и такое, что cN
1t, c
N
2t, . . . , c
N
Nt абсолютно непрерывны
на (0, tN ). Из оценок, полученных ниже, вытекает, что tN = T , где
положительное число T зависит от начальных данных задачи и ко-
эффициентов системы.
Умножим каждое из равенств системы (3.1)–(3.2) соответственно
на cN
kt и dN
k . Полученные равенства просуммируем по k от 1 до N ,
проинтегрируем по промежутку [0, τ ], где τ ∈ (0, T ), и сложим. После
выполнения этих операций получим равенство
54 О существовании обобщенного решения...
∫
Qτ
[
uN
tt u
N
t +
n
∑
i,j=1
aij(x, t)uN
xi
uN
txj
+
n
∑
i=1
bi(x, t)θN
xi
uN
t + d(x, t)|uN
t |2
+ a(x, t)uNuN
t − c(x, t)|uN |p−2uNuN
t − f1(x, t)uN
t + θN
t θN
+
n
∑
i,j=1
dij(x, t)θN
xi
θN
xj
−
n
∑
i=1
bi(x, t)uN
t θN
xi
+ b(x, t)|θN |2
+ g(x, t)|θN |q − f2(x, t)θN
]
dx dt = 0. (3.4)
Преобразуем и оценим каждый член равенства (3.4) отдельно. Не-
трудно видеть, что
J1 :=
∫
Qτ
uN
tt u
N
t dx dt =
1
2
∫
Ωτ
|uN
t |2 dx −
1
2
∫
Ω0
|uN
1 |2 dx,
J2 :=
∫
Qτ
θN
t θN dx dt =
1
2
∫
Ωτ
|θN |2 dx −
1
2
∫
Ω0
|θN
0 |2 dx.
Используя условия теоремы и начальные условия (2.3), будем
иметь оценки
J3 :=
∫
Qτ
n
∑
i,j=1
aij(x, t)uN
xi
uN
txj
dx dt =
1
2
∫
Ωτ
n
∑
i,j=1
aij(x, t)uN
xi
uN
xj
dx
−
1
2
∫
Ω0
n
∑
i,j=1
aij(x, t)uN
xi
uN
xj
dx −
1
2
∫
Qτ
n
∑
i,j=1
aijt(x, t)uN
xi
uN
xj
dx dt >
>
A1
2
∫
Ωτ
n
∑
i=1
|uN
xi
|2 dx −
A2 + 1
4
∫
Ω0
n
∑
i=1
|uN
xi
|2 dx
−
A3 + 1
4
∫
Qτ
n
∑
i=1
|uN
xi
|2 dx dt,
где A2 = ess supQ
∑n
i,j=1 |aij(x, t)|2, A3 = ess supQ
∑n
i,j=1 |aijt(x, t)|2;
J4 :=
∫
Qτ
n
∑
i,j=1
dij(x, t)θN
xi
θN
xj
dx dt > D1
∫
Qτ
n
∑
i=1
|θN
xi
|2 dx dt;
J5 :=
∫
Qτ
d(x, t)|uN
t |2 dx dt > D0
∫
Qτ
|uN
t |2 dx dt;
М. Нечепуренко, Г. Торган 55
J6 :=
∫
Qτ
b(x, t)|θN |2 dx dt > B0
∫
Qτ
|θN |2 dx dt;
J7 :=
∫
Qτ
a(x, t)uNuN
t dx dt > −
A0
2
∫
Qτ
|uN |2 dx dt −
A0
2
∫
Qτ
|uN
t |2 dx dt;
J8 :=
∫
Qτ
g(x, t)|θN |q dx dt > g0
∫
Qτ
|θN |q dx dt;
J9 :=
∫
Qτ
c(x, t)|uN |p−2uNuN
t dx dt
6
C0
2
∫
Qτ
|uN
t |2 dx dt +
C0
2
∫
Qτ
|uN |2(p−1) dx dt;
J10 :=
∫
Qτ
f1(x, t)uN
t dx dt 6
1
2
∫
Qτ
|f1(x, t)|2 dx dt +
1
2
∫
Qτ
|uN
t |2 dx dt;
J11 :=
∫
Qτ
f2(x, t)θN dx dt 6
1
2
∫
Qτ
|f2(x, t)|2 dx dt +
1
2
∫
Qτ
|θN |2 dx dt.
На основании теоремы вложения ([4, с. 47]) почти для всех t ∈
(0, τ)
∫
Ωt
|uN |2(p−1) dx 6 µ1
(
∫
Ωt
n
∑
i=1
|uN
xi
|2 dx
)p−1
,
причем p 6
2(n−1)
n−2 для n > 2 и p > 2 для n ∈ {1, 2}, где µ1 — некоторая
положительная константа, которая не зависит от функций uN . Также
справедливо неравенство
∫
Qτ
|uN |2 dx dt 6 2τ
∫
Ω0
|uN
0 |2 dx + τ2
∫
Qτ
|uN
t |2 dx dt, τ ∈ (0, T ].
Учитывая полученные оценки интегралов J1 − J11, от равенства
(3.4) придем к неравенству
∫
Ωτ
[
1
2
|uN
t |2 +
1
2
|θN |2 +
A1
2
n
∑
i=1
|uN
xi
|2
]
dx
56 О существовании обобщенного решения...
+
∫
Qτ
[
D1
n
∑
i=1
|θN
xi
|2 +
(
D0 −
A0
2
−
C0
2
−
A0τ
2
2
−
1
2
)
|uN
t |2
+
(
B0 −
1
2
)
|θN |2 + g0|θ
N |q
]
dx dt 6
∫
Qτ
A3 + 1
4
n
∑
i=1
|uN
xi
|2 dx dt
+
∫
Ω0
[
1
2
|uN
t |2 + A0τ |u
N |2 +
1
2
|θN |2 +
A2 + 1
4
n
∑
i=1
|uN
xi
|2
]
dx
+
1
2
∫
Qτ
[
|f1(x, t)|2 + |f2(x, t)|2
]
dx dt
+
C0µ1
2
τ
∫
0
(
∫
Ωτ
n
∑
i=1
|uN
xi
|2 dx
)p−1
dt.
Используя в последнем неравенстве лемму Гронуолла–Беллмана,
легко получить оценку
∫
Ωτ
[
|uN
t |2 + |θN |2 +
n
∑
i=1
|uN
xi
|2
]
dx
+
∫
Qτ
[ n
∑
i=1
|θN
xi
|2 + |uN
t |2 + |θN |2 + |θN |q
]
dx dt
6 µ2(τ)
τ
∫
0
(
∫
Ωτ
n
∑
i=1
|uN
xi
|2 dx
)p−1
dt + µ3(τ), (3.5)
где µ2(τ), µ3(τ) — положительные константы, которые зависят от
коэффициентов системы, начальных данных, свободных членов и τ .
Кроме того, limτ→0 µ2(τ) = µ0
2 < ∞, limτ→0 µ3(τ) = µ0
3 < ∞ и µ2, µ3
монотонно растут.
Используя лемму Бихари ([5, c. 110]), из (3.5) получим оценку
∫
Ωτ
[
|uN
t |2 + |θN |2 +
n
∑
i=1
|uN
xi
|2
]
dx
+
∫
Qτ
[ n
∑
i=1
|θN
xi
|2 + |uN
t |2 + |θN |2 + |θN |q
]
dx dt
6
µ4(τ)
[1 − (p − 2)µp−2
2 µ3τ ]1/(p−2)
,
М. Нечепуренко, Г. Торган 57
где µ4(τ) > 0 для τ ∈ (0, T ].
Пусть τ ∈ (0, T1], где T1 — решение неравенства 1 − (p − 2) ×
µp−2
2 (τ)µ3(τ) > 0, тогда
‖uN
t ‖L∞((0,T1);L2(Ω)) 6 µ5, ‖uN‖L∞((0,T1);H1
0 (Ω)) 6 µ5, µ5 > 0,
‖θN‖L∞((0,T1);L2(Ω))∩L2((0,T1);H1
0 (Ω))∩Lq((0,T1);Lq(Ω)) 6 µ5.
(3.6)
Продифференцируем равенства системы (3.1)–(3.2) по t, потом
умножим каждое из полученных равенств на cN
ktt и dN
kt соответствен-
но, просуммируем их по k от 1 до N , проинтегрируем по промежутку
[0, τ ], где τ ∈ (0, T1), и сложим. В результате получим
∫
Qτ
[
uN
tttu
N
tt +
n
∑
i,j=1
(aijt(x, t)uN
xi
+ aij(x, t)uN
txi
)uN
txj
+
n
∑
i=1
(bit(x, t)θN
xi
uN
tt − bij(x, t)θN
txi
uN
tt )
+ dt(x, t)uN
t uN
tt + d(x, t)|uN
tt |
2 + (at(x, t)uN + a(x, t)uN
t )uN
tt
− ct(x, t)|uN |p−2uNuN
tt − c(x, t)(p − 1)|uN |p−2uN
t uN
tt + θN
tt θN
t
+
n
∑
i,j=1
(dijt(x, t)θN
xi
+ dij(x, t)θN
txi
)θN
txj
+ b(x, t)|θN
t |2
+ bt(x, t)θNθN
t −
n
∑
i=1
(bit(x, t)uN
t + bi(x, t)uN
tt )θ
N
txi
+ (q − 1)g(x, t)|θN |q−2|θN
t |2 + gt(x, t)|θN |q−2θNθN
t
− f1t(x, t)uN
tt − f2t(x, t)θN
t
]
dx dt = 0. (3.7)
Снова преобразуем и оценим слагаемые равенства (3.7). Учитывая
условия теоремы, будем иметь
J12 :=
∫
Qτ
[
uN
tttu
N
tt + θN
tt θN
t +
n
∑
i,j=1
aij(x, t)uN
txi
uN
ttxj
+
n
∑
i,j=1
dij(x, t)θN
txi
θN
txj
+ d(x, t)|uN
tt |
2 + a(x, t)uN
t uN
tt
+ b(x, t)|θN
t |2 − f1t(x, t)uN
tt − f2t(x, t)θN
t
]
dx dt
58 О существовании обобщенного решения...
>
∫
Ωτ
[
1
2
|uN
tt |
2 +
1
2
|θN
t |2 +
A1
2
n
∑
i=1
|uN
txi
|2
]
dx
+
∫
Qτ
[
|uN
tt |
2
(
D0 −
A0
2
−
1
2
)
−
A0
2
|uN
t |2 −
A3 + 1
4
n
∑
i=1
|uN
txi
|2
+ D1
n
∑
i=1
|θN
txi
|2 +
(
B0 −
1
2
)
|θN
t |2 −
1
2
(
|f1t(x, t)|2 + |f2t(x, t)|2
)
]
dx dt
−
∫
Ω0
[
1
2
|uN
tt |
2 +
1
2
|θN
t |2 +
A2 + 1
4
n
∑
i=1
|uN
txi
|2
]
dx;
J13 :=
∫
Qτ
n
∑
i,j=1
aijt(x, t)uN
xi
uN
ttxj
dx dt =
∫
Ωτ
n
∑
i,j=1
aijt(x, t)uN
xi
uN
txj
dx
−
∫
Ω0
n
∑
i,j=1
aijt(x, t)uN
xi
uN
txj
dx dt −
∫
Qτ
n
∑
i,j=1
aijt(x, t)uN
txi
uN
txj
dx dt
−
∫
Qτ
n
∑
i,j=1
aijtt(x, t)uN
xi
uN
txj
dx dt > −
A3
2δ3
∫
Ωτ
n
∑
i=1
|uN
xi
|2 dx
−
δ3
2
∫
Ωτ
n
∑
i=1
uN
txi
dx −
A3
2
∫
Ω0
n
∑
i=1
|uN
xi
|2 dx −
1
2
∫
Ω0
n
∑
i=1
|uN
txi
|2 dx dt
−
(A3
2
+
1
2
)
∫
Qτ
n
∑
i=1
|uN
txi
|2 dx dt −
A4
2
∫
Qτ
n
∑
i=1
|uN
xi
|2 dx dt,
где A3 = ess supQ
∑n
i,j=1 |aijtt(x, t)|2, δ3 > 0;
J14 :=
∫
Qτ
at(x, t)uNuN
tt dx dt
> −
A5
2
∫
Qτ
|uN |2 dx dt −
1
2
∫
Qτ
|uN
tt |
2 dx dt
> −A5τ
∫
Ω0
|uN |2dx −
A5τ
2
2
∫
Qτ
|uN
t |2 dx dt −
1
2
∫
Qτ
|uN
tt |
2 dx dt,
где A5 = ess supQ |at(x, t)|2;
М. Нечепуренко, Г. Торган 59
J15 :=
∫
Qτ
n
∑
i=1
bitθ
N
txi
uN
t dx dt
> −
δ1
2
∫
Qτ
n
∑
i=1
|θN
txi
|2 dx dt −
B1
2δ1
∫
Qτ
|uN
t |2 dx dt;
J16 :=
∫
Qτ
n
∑
i=1
bitθ
N
xi
uN
tt dx dt > −
B1
2
∫
Qτ
n
∑
i=1
|θN
xi
|2 dx dt −
1
2
∫
Qτ
|uN
tt |
2 dx dt,
где B1 = ess supQ
∑n
i=1 |bit(x, t)|2, δ1 > 0;
J17 :=
∫
Qτ
bt(x, t)θNθN
t dx dt > −
B2
2
∫
Qτ
|θN |2 dx dt −
B2
2
∫
Qτ
|θN
t |2 dx dt,
где B2 = ess supQ |bt(x, t)|2;
J18 :=
∫
Qτ
n
∑
i,j=1
dijt(x, t)θN
xi
θN
txj
dx dt
> −
D1
2δ2
∫
Qτ
n
∑
i=1
|θN
xi
|2 dx dt −
δ2
2
∫
Qτ
n
∑
i=1
|θN
txi
|2 dx dt,
где D1 = ess supQ
∑n
i,j=1 |dijt(x, t)|2, δ2 > 0;
J19 :=
∫
Qτ
dt(x, t)uN
t uN
tt dx dt > −
D2
2
∫
Qτ
|uN
t |2 dx dt −
1
2
∫
Qτ
|uN
tt |
2 dx dt,
где D2 = ess supQ |dt(x, t)|2;
J20 :=
∫
Qτ
(p − 1)c(x, t)|uN |p−2uN
t uN
tt dx dt
6
C0(p − 1)
2
∫
Qτ
|uN
tt |
2 dx dt +
C0(p − 1)
p
∫
Qτ
|uN
t |p dx dt
+
C0(p − 1)(p − 2)
2p
∫
Qτ
|uN |2p dx dt;
60 О существовании обобщенного решения...
J21 :=
∫
Qτ
ct|u
N |p−2uNuN
tt dx dt
6
1
2
∫
Qτ
|uN
tt |
2 dx dt +
C1
2
∫
Qτ
|uN |2(p−1) dx dt;
J22 :=
∫
Qτ
(q − 1)g|θN |q−2|θN
t |2 dx dt > g0(q − 1)
∫
Qτ
|θN |q−2|θN
t |2 dx dt;
J23 :=
∫
Qτ
gt(x, t)|θN |q−2θNθN
t dx dt
> −
δ4
2
∫
Qτ
|θN |q−2|θN
t |2 dx dt −
g1
2δ4
∫
Qτ
|θN |q dx dt,
где δ4 > 0, g1 = ess supQ |gt(x, t)|2.
Согласно теореме вложения ([4, c. 47])
∫
Qτ
|uN
t |p dx dt 6 µ6
τ
∫
0
(
∫
Ωτ
n
∑
i=1
|uN
txi
|2 dx
)p/2
dt,
если p 6
2n
n−2 и n > 2 (p > 2 при n ∈ {1, 2}), и
∫
Qτ
|uN |2p dx dt 6 µ7
τ
∫
0
(
∫
Ωτ
n
∑
i=1
|uN
xi
|2 dx
)p
dt
при τ ∈ [0, T1] и n−2
2n 6
1
p , если n > 2; µ6 > 0, µ7 > 0. Учитывая
оценки интегралов J12 − J23, из равенства (3.7) получим неравенство
∫
Ωτ
[
1
2
|uN
tt |
2 +
1
2
|θN
t |2 +
(A1
2
−
δ3
2
)
n
∑
i=1
|uN
txi
|2
]
dx
+
∫
Qτ
[
(
g0(q − 1) −
δ4
2
)
|θN |q−2|θN
t |2 +
n
∑
i=1
|θN
txi
|2
(
D1 −
δ1
2
−
δ2
2
)
]
dx dt
6
∫
Ωτ
n
∑
i=1
|uN
xi
|2
A3
2δ3
dx +
∫
Qτ
[ n
∑
i=1
|uN
txi
|2
(A3 + 1
4
+
1
2
+
A3 + 1
2
)
М. Нечепуренко, Г. Торган 61
+ |uN
tt |
2
(
− D0 +
A0
2
+
C0(p − 1)
2
+
5
2
)
+ |uN
t |2
(A0 + A5τ
2 + D2
2
+
B1
2δ1
)
+
A0
2
|uN |2 + |θN
t |2
(B2 + 1
2
− B0
)
+
B2
2
|θN |2 +
n
∑
i=1
|uN
xi
|2
A4
2
+
(B1
2
+
D1
2δ2
)
n
∑
i=1
|θN
xi
|2
+
g1
2δ4
|θN |q +
1
2
(
|f1t(x, t)|2 + |f2t(x, t)|2
)
]
dx dt
+
∫
Ω0
[
1
2
|uN
tt |
2 +
1
2
|θN
t |2 +
A3
2
n
∑
i=1
|uN
xi
|2
+
(1
2
+
A2 + 1
4
)
n
∑
i=1
|uN
txi
|2 + A5τ |u
N |2
]
dx
+
C0(p − 1)µ6
p
τ
∫
0
(
∫
Ωτ
n
∑
i=1
|uN
txi
|2 dx
)p/2
dt
+
µ7C0(p − 1)(p − 2)
2p
τ
∫
0
(
∫
Ωτ
n
∑
i=1
|uN
xi
|2 dx
)p
dt
+
C0µ1
2
τ
∫
0
(
∫
Ωτ
n
∑
i=1
|uN
xi
|2 dx
)p−1
dt, (3.8)
где τ ∈ [0, T1].
Выберем A1 > δ3, 2D1 > δ1 + δ2, 2g0(q − 1) > δ4, тогда подын-
тегральное выражение левой части последнего неравенства будет по-
ложительным.
Оценим
∫
Ω0
|uN
tt |
2 dx,
∫
Ω0
|θN
t |2 dx. Умножим первые уравнения
(3.1) на cN
ktt(0), а уравнения (3.2) на dN
kt(0), полученные равенства
просуммируем по k от 1 до N и сложим. После выполнения этих
действий, получим
∫
Ω0
[
|uN
tt |
2 + |θN
t |2 −
n
∑
i,j=1
(aij(x, 0)uN
0xi
)xju
N
tt
−
n
∑
i,j=1
(dij(x, 0)θN
0xi
)xjθ
N
t −
n
∑
i=1
(bi(x, 0)uN
1 )xiθ
N
t +
n
∑
i=1
bi(x, 0)vN
xi
uN
tt
+ d(x, 0)uN
t uN
tt + a(x, t)uNuN
tt − c(x, 0)|uN
0 |p−2uN
0 uN
tt + b(x, 0)θNθN
t
62 О существовании обобщенного решения...
+ g(x, 0)|θN
0 |q−2θN
0 θN
t − f1(x, 0)uN
tt − f2(x, 0)θN
t
]
dx = 0.
Оценив слагаемые последнего равенства, имеем
∫
Ω0
[
(
1 − 3δ
)
|uN
tt |
2 +
(
1 −
5δ
2
)
|θN
t |2
]
dx
6
1
2δ
∫
Ω0
( n
∑
i,j=1
[
(aij(x, 0)uN
0xi
)xj
]2
+ [f1(x, 0)]2 + [f1(x, 0)]2
+
n
∑
i,j=1
[
(dij(x, 0)vN
0xi
)xj
]2
+
n
∑
i=1
[
(bi(x, 0)uN
1 )xi
]2
+
n
∑
i=1
[
bi(x, 0)vN
0xi
]2[
g(x, 0)|vN
0 |q−2vN
0
]2
+
[
c(x, 0)|uN
0 |p−2uN
0
]2
+
[
a(x, 0)uN
0
]2
+
[
d(x, 0)uN
1
]2
+
[
b(x, 0)vN
0
]2
)
dx,
где 0 < δ < 1
3 .
Принимая во внимание условия на u0, u1 и коэффициенты систе-
мы (2.1)–(2.2), будем иметь оценку
∫
Ω0
[
|uN
tt |
2 + |θN
t |2
]
dx 6 µ8,
причем µ8 — некоторая положительная константа, которая не зависит
от N .
Применяя лемму Гронуолла–Беллмана к неравенству (3.8), полу-
чим
∫
Ωτ
[
|uN
tt |
2 + |θN
t |2 +
n
∑
i=1
|uN
txi
|2
]
dx
+
∫
Qτ
[ n
∑
i=1
|θN
txi
|2 + |θN |q−2|θN
t |2
]
dx dt
6 µ9(τ) + µ10(τ)
τ
∫
0
(
∫
Ωt
n
∑
i=1
|uN
txi
|2 dx
)p/2
dt,
для τ ∈ [0, T1].
М. Нечепуренко, Г. Торган 63
Если к последнему неравенству применим лемму Бихари ([5,
c. 110]), то:
∫
Ωτ
[
|uN
tt |
2 + |θN
t |2 +
n
∑
i=1
|uN
txi
|2
]
dx
+
∫
Qτ
[ n
∑
i=1
|θN
txi
|2 + |θN |q−2|θN
t |2
]
dx dt
6
µ11(τ)
[
1 − (p/2 − 1)µ9(τ)p/2−1µ10(τ)τ
]
1
p/2−1
,
где µ9(τ), µ10(τ), µ11(τ) > 0, для τ ∈ [0, T2], T2 — решение неравенства
1 − (p/2 − 1)µ
p/2−1
9 (τ)µ10(τ)τ > 0. Отсюда,
‖uN
t ‖L∞((0,T2);H1
0 (Ω)) 6 µ12, ‖uN
tt ‖L∞((0,T2);L2(Ω)) 6 µ12,
‖θN
t ‖L2((0,T2);H1
0 (Ω)) 6 µ12, ‖|θN |q−2|θN
t |2‖L1(QT2
) 6 µ12,
(3.9)
причем положительная константа µ12 не зависит от N .
Выберем T = min{T1, T2}, тогда на основании (3.6), (3.9) суще-
ствуют подпоследовательности {uNk} ⊂ {uN}, {θNk} ⊂ {θN} такие,
что
uNk → u ∗-слабо в L∞((0, T0); H
1
0 (Ω)),
uNk
t → ut ∗-слабо в L∞((0, T0); H
1
0 (Ω)),
uNk
tt → utt ∗-слабо в L∞((0, T0); L
2(Ω)),
θNk → θ ∗-слабо в L∞((0, T0); L
2(Ω)),
θNk → θ слабо в L2((0, T0); L
2(Ω)) ∩ Lq((0, T0); L
q(Ω)),
θNk
t → θt ∗-слабо в L∞((0, T0); L
2(Ω)),
θNk
t → θt слабо в L2((0, T0); H
1
0 (Ω)) при Nk → ∞; T0 ∈ (0, T ).
Кроме того,
∫
QT1
∣
∣|uN |p−2uN
∣
∣
p′
dx dt 6 µ13, µ13 > 0.
Следовательно,
|uNk |p−2uNk → χ0 слабо в Lp′(QT0).
64 О существовании обобщенного решения...
Отметим, что последовательность {uN} ограничена в L2((0, T0);
H1
0 (Ω)), а последовательность {uN
t } ограничена в L2((0, T0); L
2(Ω)).
Поскольку H2
0 (Ω) ⊂ Lp(Ω) компактно при p ∈ [2, 2n
n−2), n > 2, то на
основании теоремы 5.1 из [7, с. 70] можем считать, что
uNk → u сильно в Lp((0, T0); L
p(Ω))
и почти всюду в QT0 . Соответственно χ0 = |u|p−2u почти всюду в QT0 .
Введем оператор
A : Lq((0, T0); L
q(Ω)) → Lq′((0, T0); L
q′(Ω)),
определенный для любых w, θ ∈ Lq((0, T0); L
q(Ω)) формулой
〈A(θ), w〉(0,T0) =
∫
QT0
g(x, t)|θ|q−2θw dx dt,
где 〈·, ·〉(0,T0) — скалярное произведение между элементами про-
странства Lq′((0, T0); L
q′(Ω)) и Lq((0, T0); L
q(Ω)).
Кроме того,
∫
QT0
∣
∣|θN |q−2θN
∣
∣
q′
dx dt 6 µ14, µ14 > 0.
Поэтому
‖A(θNk)‖Lq′ ((0,T0);Lq′ (Ω)) 6 µ14
и без ограничения общности можем считать, что
A(θNk) → χ1 слабо в Lq′(QT0) при Nk → ∞.
Нетрудно получить равенства
∫
QT0
[
uttη̃ +
n
∑
i,j=1
aij(x, t)uxi η̃xj +
n
∑
i=1
bi(x, t)θxi η̃ + d(x, t)utη̃
+ a(x, t)uη̃ − c(x, t)|u|p−2uη̃ − f1(x, t)η̃
]
dx dt = 0, (3.10)
∫
QT0
[
θtη +
n
∑
i,j=1
dij(x, t)θxiηxj −
n
∑
i=1
bi(x, t)utηxi
М. Нечепуренко, Г. Торган 65
+ b(x, t)θη − f1(x, t)η
]
dx dt + 〈χ1, η〉(0,T0) = 0, (3.11)
которые выполняются для произвольных η̃ ∈ L2((0, T0); H
1
0 (Ω)) ∩
Lp(QT0), η ∈ L2((0, T0); H
1
0 (Ω)) ∩ Lq(QT0), τ ∈ (0, T0], T0 ∈ (0, T ).
Используя метод монотонности, докажем, что χ1 = A(θ). Рассмот-
рим
0 6 yk = 〈A(θNk) − A(w), θNk − w〉(0,T0)
= 〈A(θNk), θNk〉(0,T0) − 〈A(w), θNk − w〉(0,T0) − 〈A(θNk), w〉(0,T0)
=
∫
QT0
[
−
n
∑
i,j=1
dij(x, t)θNk
xi
θNk
xj
+
n
∑
i=1
bi(x, t)uNk
t θNk
xi
− b(x, t)|θNk |2 − f2(x, t)θNk
]
dx dt
− 〈A(θNk), w〉(0,T0) − 〈A(w), θNk − w〉(0,T0).
Перейдем в этом неравенстве к верхнему пределу при Nk → ∞.
Используя лемму 5.3 из [4, c. 20], получим
0 6
∫
QT0
[
−
n
∑
i,j=1
dij(x, t)θxiθxj
+
n
∑
i=1
bi(x, t)utθxi − b(x, t)|θ|2 − f2(x, t)θ
]
dx dt
− 〈χ1, w〉(0,T0) − 〈A(w), θ − w〉(0,T0). (3.12)
В (3.11), приняв η = θ, получим равенство
∫
QT0
[
θtθ +
n
∑
i,j=1
dij(x, t)θxiθxj + b(x, t)θ2
−
n
∑
i=1
bi(x, t)utθxi − f2(x, t)θ
]
dx dt + 〈χ1, θ〉(0,T0) = 0. (3.13)
Складывая (3.12) и (3.13), будем иметь неравенство
〈χ1 − A(w), θ − w〉(0,T0) > 0.
Приняв θ − w = λω, ∀λ ∈ R, λ > 0, ω ∈ Lq((0, T0); L
q(Ω)), получим
〈χ1 − A(θ − λω), λω〉(0,T0) > 0.
66 О существовании обобщенного решения...
Так как λ > 0, то разделим полученное неравенство на λ. Соответ-
ственно при λ → 0 , принимая во внимание полунепрерывность опе-
ратора A, получим
〈χ1 − A(θ), ω〉(0,T0) > 0.
Поскольку ω произвольное, можем выбрать ω, как положитель-
ным, так и отрицательным. Соответственно
χ1 = A(θ) в QT0 .
Принимая во внимание произвольность T0 в (0, T ), утверждение
верно и в QT .
Из равенств (3.11), (3.10), в частности, вытекает, что функции u, θ
удовлетворяют уравнения (2.1), (2.2) в смысле распределений. Тогда
из уравнений (2.1), (2.2) нетрудно получить интегральные равенства
(2.5), (2.6).
Осталось показать выполнение начальных условий. Из получен-
ных оценок вытекает, что u : [0, T0] → H1
0 (Ω) непрерывная функция
и uNk(·, 0) → u(·, 0) слабо в H1
0 (Ω), и поскольку uNk(·, 0) = uNk
0 (·) →
u0(·) в H1
0 (Ω), то u(x, 0) = u0(x). Принимая во внимание факт, что
utt ∈ L∞((0, T0); L
2(Ω)), ut ∈ L2((0, T0); H
1
0 (Ω)), тогда ut : [0, T0] →
L2(Ω) — непрерывная функция. Имеем, что uNk
t (·, 0) → ut(·, 0) слабо в
L2(Ω), и поскольку uNk
t (·, 0) = uNk
1 (·) → u1(·) в L2(Ω), следовательно
ut(x, 0) = u1(x). Аналогично показываем, что θ(x, 0) = θ0(x). Значит,
выполняются начальные условия,что и завершает доказательство те-
оремы.
4. Частный случай
Предположим теперь, что коэффициенты системы (2.1)–(2.2) не
зависят от t, а f1(x, t) = f2(x, t) ≡ 0 почти для всех (x, t) ∈ Q. Рас-
смотрим функционал
E(t) =
1
2
∫
Ωτ
[
u2
t +
n
∑
i,j=1
aij(x)uxiuxj + a(x)u2 + θ2
]
dx−
1
p
∫
Ωτ
c(x)|u|p dx.
(4.1)
Нам понадобится следующая
Лемма 4.1. Пусть для коэффициентов системы (2.1)–(2.2) выпол-
няются условия (H1)–(H5), и, кроме того, E(t) = −λ < 0 для всех
t > 0, где λ > 0. Тогда E′(t) 6 0.
М. Нечепуренко, Г. Торган 67
Доказательство. Продифференцируем (4.1) по t
E′(t) =
∫
Ωt
[
uttut +
n
∑
i,j=1
aij(x)uxiutxj +a(x)uut +θθt− c(x)|u|p−2uut
]
dx.
Принимая во внимание (2.5)–(2.6), будем иметь
E′(t) = −
∫
Ωτ
[ n
∑
i=1
bi(x)θxiut + d(x)u2
t + b(x)θ2
+
n
∑
i,j=1
dij(x)θxiθxj −
n
∑
i=1
bi(x)θxiut + g(x)|θ|q
]
dx
= −
∫
Ωτ
[
d(x)u2
t +
n
∑
i,j=1
dij(x)θxiθxj + b(x)θ2 + g(x)|θ|q
]
dx 6 0.
Соответственно, E(t) 6 E(0) < 0. Заметим, что лемма верна и
при E(0) 6 0.
Теорема 4.1. Пусть для коэффициентов системы (2.1)–(2.2) выпол-
няются условия (H1)–(H5), и, кроме того, u0 ∈ H1
0 (Ω) ∩ H2(Ω) ∩
L2(p−1)(Ω), u1 ∈ L2(Ω), θ ∈ H1
0 (Ω)∩H2(Ω)∩L2(q−1)(Ω), E(0) = −λ <
0, 2 < p 6
n
n − 2
при n > 2 и p > 2 при n ∈ {1, 2}, q > 2. Тогда не
существует глобального обобщенного решения задачи (2.1)–(2.4).
Доказательство. Предположим, что существует глобальное обоб-
щенное решение (u, θ) задачи (2.1)–(2.4).
Введем функции
H(t) = −E(t), L(t) = [H(t)]1−α + ε
∫
Ωt
uut dx +
ε
2
∫
Ωt
d(x)|u|2 dx,
где ε > 0, 0 < α < 1.
Рассмотрим
L′(t) = (1 − α)H−α(t)H ′(t) + ε
∫
Ωt
[
u2
t + uutt + d(x)uut
]
dx.
На основании равенства (2.5) при w = u, имеем
68 О существовании обобщенного решения...
∫
Ωt
[
uttu +
n
∑
i,j=1
aij(x)uxiuxj +
n
∑
i=1
bi(x)θxiu + d(x)uut
+ a(x)u2 − c(x)|u|p
]
dx = 0.
Поэтому
L′(t) = (1 − α)H−α(t)H ′(t) + mεH(t)
+ ε
∫
Ωt
[
u2
t −
n
∑
i,j=1
aij(x)uxiuxj −
n
∑
i=1
bi(x)θxiu − a(x)u2 + c(x)|u|p
]
dx
−
mε
p
∫
Ωt
c(x)|u|p dx +
mε
2
∫
Ωt
[
u2
t +
n
∑
i,j=1
aij(x)uxiuxj + a(x)u2 + θ2
]
dx
= (1 − α)H−α(t)H ′(t) +
(
1 +
m
2
)
ε
∫
Ωt
u2
t dx
+
(m
2
− 1
)
ε
∫
Ωt
[ n
∑
i,j=1
aij(x)uxiuxj + a(x)u2
]
dx
+
mε
2
∫
Ωt
|θ|2 dx − ε
∫
Ωτ
n
∑
i=1
bi(x)θxiu dx
+ ε
(
1 −
m
p
)
∫
Ωt
c(x)|u|p dx + mεH(t)
при 2 < m < p.
Преобразуем и оценим слагаемые последнего равенства:
J24 := −
∫
Ωt
n
∑
i=1
bi(x)θxiudx > −
B3
2δ5
∫
Ωt
n
∑
i=1
|θxi |
2 dx −
δ5
2
∫
Ωt
u2 dx,
где δ5 > 0, B3 = ess supQ
∑n
i=1 |bi(x)|2;
J25 := (1 − α)H−α(t)H ′(t)
> (1 − α)H−α(t)ν0
∫
Ωt
[ n
∑
i=1
|θxi |
2 + |ut|
2 + |θ|q
]
dx.
Выберем δ5 = δ6H
α(t), δ6 > 0 и оценим
М. Нечепуренко, Г. Торган 69
J26 := Hα(t)
∫
Ωt
|u|2 dx 6 µ15
(
∫
Ωt
|u|p dx
)α
∫
Ωt
|u|2 dx
6 µ16
∫
Ωt
|u|p dx + µ17
(
∫
Ωt
|u|2 dx
)
1
1−α
6 µ18
∫
Ωt
|u|p dx + µ19
(
∫
Ωt
|u|p dx
)
2
p(1−α)
.
Если
∫
Ωt
|u|p dx > 1, тогда
(
∫
Ωt
|u|p dx
)
2
p(1−α)
6
∫
Ωt
|u|p dx
при α 6
p−2
p . Если
∫
Ωt
|u|p dx < 1, тогда на основании теоремы вло-
жения Соболева имеем
(
∫
Ωt
|u|p dx
)
2
p(1−α)
6
(
∫
Ωt
|u|p dx
)
2
p
6 µ17
∫
Ωt
n
∑
i=1
|uxi |
2 dx
при p 6
2n
n−2 , если n > 2, и p > 2 при n ∈ {1, 2}. Отсюда,
J26 6 µ18
∫
Ωτ
[ n
∑
i=1
|uxi |
2 + |u|p
]
dx.
Учитывая полученные оценки интегралов J24–J25, будем иметь
L′(t) > (1 − α)H−α(t)
(
ν0 −
εB3
δ6
)
∫
Ωτ
n
∑
i=1
|θxi |
2 dx
+ mεH(t) + ε
(
1 +
m
2
)
∫
Ωτ
|ut|
2 dx
+ ε
(m
2
− 1 −
δ18δ6
A1
)
∫
Ωτ
n
∑
i,j=1
aijuxiuxj dx + ε
(m
2
− 1
)
∫
Ωτ
a(x)|u|2 dx
+ ε
(
1 −
m
p
−
δ6µ18
C0
)
∫
Ωτ
c(x)|u|p dx +
mε
2
∫
Ωτ
|θ|2 dx
70 О существовании обобщенного решения...
> µ19
[
H(t) +
∫
Ωt
[
u2
t + u2 + |θ|2 +
n
∑
i=1
|uxi |
2 + |u|p
]
dx
]
> µ19
[
H(t) + ‖ut‖
2 + ‖D1u‖2 + ‖u‖p
p + ‖u‖2 + ‖θ‖2
]
при ε < ν0δ6
B2
, δ6 < min
{A1(m−2)
2µ18
; C0(p−m)
pµ18
}
.
Рассмотрим
[L(t)]
1
1−α 6 µ20
(
H(t) + ε1
∣
∣
∣
∣
∣
∫
Ωt
uut dx
∣
∣
∣
∣
∣
1
1−α
+ ε1
∣
∣
∣
∣
∣
∫
Ωt
d(x)|u|2 dx
∣
∣
∣
∣
∣
1
1−α
)
, ε1 = ε
1
1−α .
Оценим слагаемые этого неравенства
I27 :=
∣
∣
∣
∣
∣
∫
Ωt
uut dx
∣
∣
∣
∣
1
1−α
6 µ21
(
∫
Ωt
|u|p dx
)
1
p(1−α)
(
∫
Ωt
|ut|
2 dx
)
1
2(1−α)
6 µ22
[
∫
Ωt
u2
t dx +
(
∫
Ωt
|u|p dx
)
2
(1−2α)p
]
= µ22(‖u(·, t)‖s
p + ‖ut(·, t)‖
2
2),
где s = 2
1−2α , 2 6 s 6 p, α 6
p−2
2p ;
I28 :=
∣
∣
∣
∣
∣
∫
Ωt
d(x)|u|2 dx
∣
∣
∣
∣
∣
1
1−α
6 µ23
(
∫
Ωt
|u|p dx
)
2
p(1−α)
= µ23‖u(·, t)‖s1
p ,
где s1 = 2
1−α , 2 6 s1 6 p, α 6
p−2
p . Если ‖u(·, t)‖p 6 1, то на основании
теоремы вложения Соболева ‖u(·, t)‖s
p 6 ‖u(·, t)‖2
p 6 µ24‖D
1u(·, t)‖2
2,
если p 6
2n
n−2 при n > 2 и p > 2 при n ∈ {1, 2}. Если ‖u(·, t)‖p > 1, то
‖u(·, t)‖s
p 6 ‖u(·, t)‖p
p.
Следовательно,
[L(t)]
1
1−α 6 µ24
[
H(t) + ε1µ25
(
‖ut(·, t)‖
2
2 + ‖D1u(·, t)‖2
2
+ ‖u(·, t)‖p
p + ‖u(·, t)‖2
2 + ‖θ(·, t)‖2
2
)]
.
Отсюда,
L′(t) > µ26[L(t)]
1
1−α . (4.2)
М. Нечепуренко, Г. Торган 71
Поскольку H(0) = λ > 0, H ′(t) > 0, можем выбрать ε таким, что
L(0) = H1−α(0) + ε
∫
Ωt
u0u1 dx +
ε
2
∫
Ωt
d(x)u2
0 dx >
λ
2
.
Обозначим γ = 1
1−α , γ > 1. Проинтегрируем обе части неравен-
ства (4.2) от 0 до t и получим
Lγ−1(t) >
1
L1−γ(0) − µ26(γ − 1)t
.
Соответственно, существует такое T0, что L(t) → +∞ при t →
T0 − 0, а limt→T0−0 H(t) = +∞. Но, поскольку,
H(t) 6
1
p
∫
Ωt
c(x)|u|p dx,
то
lim
t→T0−0
∫
Ωt
|u|p dx = +∞.
Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Литература
[1] R. F. Apolaya, H. R. Clark, A. J. Feitosa, On a nonlinear coupled system with
internal damping // Electronic Journal of Differential Equations, 2000 (2000),
N 64, 1–17.
[2] H. R. Clark, L. P. San Gil Jutuca, M. M. Miranda, On a mixed problem for a li-
near coupled system with variable coefficients // Electronic Journal of Differential
Equations, 1998 (1998), N 04, 1–20.
[3] M. R. Clark, O. A. Lima, On a mixed problem for a coupled nonlinear system //
Electronic Journal of Differential Equations, 1997 (1997), N 06, 1–11.
[4] Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас, Нелинейные операторные дифференци-
альные уравнения, М., 1978, 336 с.
[5] Б. П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости, М.,
1967, 472 с.
[6] V. Komornik, E. Zuazua, A direct method for boundary stabilization of the wave
equation // J. Math. Pure et Appl., 69 (1990), 33–54.
[7] Ж. Л. Лионс, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, М.,
1972.
[8] L. A. Medeiros, M. M. Miranda, On a boundary value problem for wave equations:
Existence, uniqueness-asymptotic behavior // Revista de Matematicas Aplicadas,
Univerdidade de Chile, 17 (1996), 47–73.
[9] S. A. Messaoudi, A blowup result in a multidimensional semilinear thermoelastic
system // Electronic Journal of Differential Equations, 2001 (2001), N 30, 1–9.
72 О существовании обобщенного решения...
[10] M. O. Nechepurenko, The mixed problem for a nonlinear coupled evolution system
in a bounded domain // Visnyk Lvivskogo Univ. Ser. Mech-Math., 67 (2007),
207–223.
[11] L. I. Schiff, Non-linear meson theory of nuclear forces // J. Physic. Rev., (1951),
N 84, 1–9.
[12] H. W. Scott, Exponential energy decay in linear thermoelastic rod // Journal of
Math. Analysis and Applications, 167 (1992), 429–442.
[13] I. E. Segal, The global Cauchy problem for a relativistic scalar field with power
interaction // Bull. Soc. Math. France, (1963), N 91, 129–135.
[14] С. Л. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в матема-
тической физике, М.: Наука, 1988, 336 с.
[15] Э. А. Коддингтон, Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений, М.: Наука, 1958, 474 с.
Сведения об авторах
Максим
Нечепуренко,
Галина Торган
кафедра математической экономики
и эконометрии,
механико-математический факультет,
Львовский национальный университет
им. Ивана Франко,
79000, Львов
Украина
E-Mail: m.nechepurenko@mfc.in.ua,
torgan_g@yahoo.com
|