Корректность общих краевых задач в полупространстве для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в классах функций степенного роста и убывания

Приведены необходимые и достаточные условия корректности общих краевых задач в полупространстве для однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в пространствах функций, имеющих экспоненциальное поведение на бесконечности по выделенной переменной и быстро убывающих по остальным...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
1. Verfasser:	Павлов, А.Л.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Schriftenreihe:	Український математичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124382
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Корректность общих краевых задач в полупространстве для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в классах функций степенного роста и убывания / А.Л. Павлов // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 1. — С. 88-134. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124382
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1243822017-09-25T03:03:17Z Корректность общих краевых задач в полупространстве для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в классах функций степенного роста и убывания Павлов, А.Л. Приведены необходимые и достаточные условия корректности общих краевых задач в полупространстве для однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в пространствах функций, имеющих экспоненциальное поведение на бесконечности по выделенной переменной и быстро убывающих по остальным переменным. На их основе получены достаточные условия разрешимости указанных задач в пространствах обобщенных функций медленного роста. 2010 Article Корректность общих краевых задач в полупространстве для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в классах функций степенного роста и убывания / А.Л. Павлов // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 1. — С. 88-134. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 35G15. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124382 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Приведены необходимые и достаточные условия корректности общих краевых задач в полупространстве для однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в пространствах функций, имеющих экспоненциальное поведение на бесконечности по выделенной переменной и быстро убывающих по остальным переменным. На их основе получены достаточные условия разрешимости указанных задач в пространствах обобщенных функций медленного роста.
format	Article
author	Павлов, А.Л.
spellingShingle	Павлов, А.Л. Корректность общих краевых задач в полупространстве для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в классах функций степенного роста и убывания Український математичний вісник
author_facet	Павлов, А.Л.
author_sort	Павлов, А.Л.
title	Корректность общих краевых задач в полупространстве для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в классах функций степенного роста и убывания
title_short	Корректность общих краевых задач в полупространстве для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в классах функций степенного роста и убывания
title_full	Корректность общих краевых задач в полупространстве для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в классах функций степенного роста и убывания
title_fullStr	Корректность общих краевых задач в полупространстве для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в классах функций степенного роста и убывания
title_full_unstemmed	Корректность общих краевых задач в полупространстве для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в классах функций степенного роста и убывания
title_sort	корректность общих краевых задач в полупространстве для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в классах функций степенного роста и убывания
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124382
citation_txt	Корректность общих краевых задач в полупространстве для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в классах функций степенного роста и убывания / А.Л. Павлов // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 1. — С. 88-134. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT pavloval korrektnostʹobŝihkraevyhzadačvpoluprostranstvedlâdifferencialʹnyhuravnenijspostoânnymikoéfficientamivklassahfunkcijstepennogorostaiubyvaniâ
first_indexed	2025-07-09T01:20:54Z
last_indexed	2025-07-09T01:20:54Z
_version_	1837130376749776896
fulltext	Український математичний вiсник Том 7 (2010), № 1, 88 – 134 Корректность общих краевых задач в полупространстве для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в классах функций степенного роста и убывания Александр Л. Павлов (Представлена С. Д. Ивасишеным) Аннотация. Приведены необходимые и достаточные условия кор- ректности общих краевых задач в полупространстве для однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в пространствах функций, имеющих экспоненциальное поведение на бесконечности по выделенной переменной и быстро убывающих по остальным переменным. На их основе получены достаточные усло- вия разрешимости указанных задач в пространствах обобщенных функций медленного роста. 2000 MSC. 35G15. Ключевые слова и фразы. Краевая задача, мультипликатор, обобщенные функции, преобразование Фурье. 1. Введение Общая краевая задача для дифференциальных уравнений с по- стоянными коэффициентами в полупространстве имеет вид P (∂x, Dy)u(x, y) ≡ m∑ k=0 Pk(Dy)∂ k xu(x, y) = f(x, y), x ≥ 0, y ∈ R n, (1.1) Bj(∂x, Dy)u(x, y)\|x=0 ≡ mj∑ k=0 Bjk(Dy)∂ k xu(x, y) ∣ ∣ ∣ ∣ x=0 = gj(y), j = 1, . . . , r, (1.2) Статья поступила в редакцию 22.09.2009 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України А. Л. Павлов 89 где (x, y) = (x, y1, . . . , yn), Dyk = i∂yk , Dy = (Dy1 , . . . , Dyn), Pk(σ), Bjk(σ) — многочлены. Исследованию задачи (1.1), (1.2) посвящены многочисленные ра- боты. В случае, когда условия (1.2) являются условиями Коши, зада- ча (1.1), (1.2) исследована в самом общем виде в различных классах функций. Основы общей теории задачи Коши для уравнения (1.1) за- ложены в работах И. Г. Петровского [1], И. М. Гельфанда и Е. Г. Ши- лова [2]. Эта теория получила развитие во многих работах, в частно- сти, в работе Л. Р. Волевича и С. Г. Гиндикин [3], в которой приведе- ны необходимые и достаточные условия корректности задачи Коши в пространствах функций, которые по переменной y имеют степенной рост или убывание. Этими условиями являются: 1) отсутствие вещественных нулей у многочлена Pm(σ): Pm(σ) 6= 0, σ ∈ R n; (1.3) 2) корректность уравнения (1.1) по Петровскому: ∃ c : Re λ(σ) < c, σ ∈ R n, (1.4) где λ(σ) — корни уравнения P (λ, σ) ≡ m∑ k=0 Pk(σ)λk = 0. (1.5) Будем в дальнейшем предполагать, что выполнено условие 1). Результаты по задаче (1.1), (1.2), отличной от задачи Коши, не имеют такой общности. Имеется множество работ, посвященных за- даче (1.1), (1.2) для определенных типов уравнений. В достаточной общности эта задача была рассмотрена Г. Е. Шиловым и Г. В. Ди- кополовым [4,5], В. П. Паламодовым [6], Г. В. Дикополовым [7]. Ими выделен класс регулярных уравнений, для которых рассмотрены не- которые краевые задачи в классе обобщенных функций, зависящих от параметра x, состоящего из квадратично интегрируемых функций и их обобщенных производных любого порядка и имеющих в этом пространстве определенное поведение при x → ∞, а также в неко- торых более широких классах. Описание классов единственности в пространствах степенного роста и убывания приведены в работах ав- тора [8]. Изучению краевой задачи (1.1), (1.2) в рассматриваемом слу- чае посвящены работы Н. Е. Товмасяна и его учеников [9, 10]. В настоящей работе приведены необходимые и достаточные усло- вия корректности задачи (1.1), (1.2) для однородного уравнения в 90 Корректность общих краевых задач... пространствах функций быстро убывающих по касательным пере- менным и имеющих экспоненциальное поведение на бесконечности по выделенной переменной. Этими условиями являются регулярность уравнения, гладкая факторизация многочлена P (λ, σ), соответствую- щая разбиению λ-корней уравнения (1.5) на группы в соответствии с условием регулярности, а также выполнение условия Лопатинского. На основе этих результатов получены достаточные условия разреши- мости задачи (1.1), (1.2) в пространствах обобщенных функций ме- дленного роста по касательным переменным, как для однородного, так и неоднородного уравнения. Доказательство указанных результатов основано на преобразова- нии задачи (1.1), (1.2) с помощью касательного преобразования Фу- рье по переменной y в задачу P ( d dx , σ ) v(x) = g(x), x ≥ 0, (1.6) Bj ( d dx , σ ) v(x) ∣ ∣ ∣ x=0 = hj , j = 1, . . . , r. (1.7) Доказательство достаточности указанных условий для разрешимости задачи (1.6), (1.7) в указанных пространствах сводится к констру- ктивному построению решения этой задачи с помощью умножения граничных данных на функции, которые являются аналогом пре- образования Фурье ядер Пуассона для эллиптических краевых за- дач [11]. В рассматриваемом случае они являются мультипликатора- ми в пространствах S и S′, зависящими от параметра и имеющими по этому параметру соответствующее поведение на бесконечности. Доказательство необходимости указанных условий для корре- ктности задачи (1.1), (1.2) в указанных пространствах основано на представлении решения однородного уравнения (1.6) в виде сум- мы двух решений, соответствующих множителям при факторизации многочлена P (λ, σ) по λ-корням уравнения (1.5). Описанные выше результаты могут быть использованы в изуче- нии смешанных задач в четверти пространства, в частности, для уравнений, неразрешенных относительно старшей производной по времени. 2. Регулярные уравнения Аналогом условия Петровского (1.4) в случае краевой задачи (1.1), (1.2) является условие регулярности. Для его введения λ-корни уравнения (1.5) располагаются по возрастанию вещественной части Re λ1(σ) ≤ Re λ2(σ) ≤ · · · ≤ Re λi(σ) ≤ · · · ≤ Re λm(σ). А. Л. Павлов 91 Для произвольного α ∈ R обозначим через να(σ) количество всех корней λi(σ), для которых Re λi(σ) ≤ α. Уравнение (1.1) называется регулярным, если существует такое α, что να(σ) не зависит от σ при почти всех σ ∈ R n. Обозначим через Gα k множество точек σ ∈ R n, для которых Re λk(σ) ≤ α или να(σ) ≥ k. Справедливы следующие вложения R n ⊃ Gα 1 ⊃ Gα 2 ⊃ · · · ⊃ Gα m. Лемма 2.1. Для любого α ∈ R множества Gα k , k = 1, . . . , m, — замкнутые полуалгебраические множества. Доказательство леммы основано на применении теоремы Зайден- берга–Тарского и приведено в [8]. Уравнение (1.1) является регулярным, если существуют такие α ∈ R и r ∈ N, что Gα r = R n, а mes Gα r+1=0. Число r естественно называть порядком регулярности уравнения (1.1), а уравнение — α-регулярным порядка r. Очевидно, что уравнение (1.1) может быть α-регулярным порядка r и β-регулярным порядка p, где r 6= p при α 6= β. Это позволяет для одного уравнения рассматривать граничные задачи с различным числом граничных условий. В случае, когда наибольший порядок регулярности уравнения (1.1) равен числу корней m уравнения (1.5), уравнение является кор- ректным по Петровскому, а задача (1.1), (1.2) является обобщением задачи Коши для уравнения (1.1). Обозначим через αk = sup σ∈Rn Re λk(σ), αk = inf σ∈Rn Re λk(σ). Если уравнение (1.1) является α-регулярным порядка r, то αr ≤ α ≤ αr+1. Примерами регулярных уравнений, кроме уравнений корректных по Петровскому, являются уравнения 1) − ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0; 2) ∆u = qu, q > 0; 3) ∂4u ∂x4 − ∂4u ∂y4 = 0; 4) ∂4u ∂x4 + ∂4u ∂y4 = 0; 5) ∂2u ∂x2 + 2 ∂3u ∂x∂y2 = 0. Примеры регулярных уравнений с заданными параметрами α и r легко построить, используя устойчивые и антиустойчивые λ-много- члены с полиномиальными коэффициентами. С помощью критериев устойчивости могут быть получены достаточные условия регулярно- сти уравнения в некоторых частных случаях. 92 Корректность общих краевых задач... Каждому разделению λ-корней уравнения (1.5) на две группы M− k (σ) = {λ1(σ), . . . , λk(σ)} и M+ k (σ) = {λk+1(σ), . . . , λm(σ)} соответ- ствует факторизация многочлена P (λ, σ), т.е. представление его в ви- де P (λ, σ) = P− k (λ, σ)P+ k (λ, σ), (2.1) где P− k (λ, σ) ≡ k∏ j=1 (λ − λj(σ)) = k∑ j=0 a−kj(σ)λj , P+ k (λ, σ) ≡ Pm(σ) m∏ j=k+1 (λ − λj(σ)) = Pm(σ) m−k∑ j=0 a+ kj(σ)λj . Функции a−kj(σ) являются симметрическими функциями первой груп- пы корней M− k (σ), а a+ kj(σ) — второй группы M+ k (σ). При этом a−kk(σ) = a+ km−k(σ) ≡ 1. Лемма 2.2. Если уравнение (1.1) является α-регулярным порядка r, то функции a−rj(σ), j = 0, . . . , r − 1, a+ rj(σ), j = 0, . . . , m − r − 1 обладают следующими свойствами: 1) являются аналитическими в области R n \ Gα r+1; 2) имеют рост не выше степенного, т.е. существуют такие чи- сла cj , νj, что \|a±rj(σ)\| ≤ cj(1 + \|σ\|)νj , σ ∈ R n \ Gα r+1. Доказательство. Справедливость 1) следует из того, что в R n \ Gα r+1 группы корней M− r (σ) и M+ r (σ) разделены, т.е. для всякой точки σ ∈ R n \ Gα r+1 существует замкнутый контур в λ- плоскости, охватывающий корни λ1(s), . . . , λr(s) и не содержащий корней λr+1(s), . . . , λm(s) внутри себя для всех s из достаточно ма- лой комплексной окрестности точки σ. Здесь λi(s) для s с ненулевой вещественной частью определены как непрерывные продолжения со- ответствующих корней λi(s). По классической лемме Гурса [12] сим- метрические функции корней λ1(s), . . . , λr(s) голоморфны в точках множества R n \ Gα r+1. Справедливость 2) следует из аналогичных оценок для кор- ней λi(σ), которые доказываются с помощью теоремы Зайденберга– Тарского [8]. А. Л. Павлов 93 Лемма 2.3. Если коэффициенты многочлена P− r (λ, σ) гладкие в окрестности некоторой точки, то гладкими являются и коэффи- циенты многочлена P+ r (λ, σ). Доказательство. Рассмотрим функции, являющиеся степенными суммами корней Φ− rk(σ) = λk 1(σ) + · · · + λk r (σ), Φ+ rk(σ) = λk r+1(σ) + · · · + λk m(σ), Φk(σ) = Φ− rk(σ) + Φ+ rk(σ). Из основной теоремы о симметрических многочленах [13] и условий леммы следует, что функции Φ− rk(σ) являются гладкими в рассматри- ваемой окрестности. Но тогда в этой окрестности гладкими являются и функции Φ+ rk(σ) = Φk(σ) − Φ− rk(σ), так так по той же теореме фун- кции Φk(σ) являются многочленами от коэффициентов λ-многочлена P (λ, σ). Из формул Ньютона [13], устанавливающих связь между степен- ными суммами корней и элементарными симметрическими функци- ями этих корней Φ+ rk(σ) − Φ+ rk−1(σ)a+ rm−r−1(σ) + Φ+ rk−2(σ)a+ rm−r−2(σ) + · · · + (−1)k−1Φ+ r1(σ)a+ rm−r−k−1(σ) + (−1)kka+ rm−r−k, (2.2) следует, что гладкими являются функции a+ rk(σ), k = 0, . . . , m − r. Приведенный в доказательстве леммы 2.3 прием установления связи между функциями a−rk(σ) и a+ rj(σ) будет в дальнейшем суще- ственно использован. Исследование условий корректности задачи (1.1), (1.2) в классах функций степенного убывания и роста основано на изучении условий, обеспечивающих заданное поведение на полуоси решения обыкновен- ного дифференциального уравнения с коэффициентами, зависящими от параметра. В частности, важное значение имеет следующее утвер- ждение. Лемма 2.4. Если для любых h1(σ), . . . , hr(σ) существует решение задачи P ( d dx , σ ) v(x, σ) = 0, x ≥ 0, σ ∈ R n, (2.3) dj−1v(x, σ) dxj−1 ∣ ∣ ∣ x=0 = hj(σ), j = 1, . . . , r, (2.4) 94 Корректность общих краевых задач... удовлетворяющее неравенству \|v(x, σ)\| ≤ C(σ)(1 + x)peαx, σ ∈ R n, (2.5) где α и p — некоторые числа, а C(σ) > 0 — функция от σ, то уравнение (1.5) имеет не менее r корней, удовлетворяющих условию Re λ(σ) ≤ α, т.е. Gα r = R n. Доказательство. Пусть {zi(x, σ)} — система фундаментальных ре- шений уравнения (2.3), где zi(x, σ) = xkieλix. Тогда каждое реше- ние уравнения (2.3) можно представить в виде линейной комбинации функций zi(x, σ) v(x, σ) = m∑ i=1 Ci(σ)zi(x, σ), (2.6) где Ci(σ) — некоторые функции от σ. Обозначим через v−(x, σ) сла- гаемые в (2.6), в которых Re λi(σ) ≤ α, а через να(σ) — число этих слагаемых. Покажем, что функция v+(x, σ) = v(x, σ)−v−(x, σ) равна тождественно нулю. Действительно, из неравенства (2.5) и построе- ния функции v−(x, σ) следует неравенство \|v+(x, σ)\| ≤ \|v(x, σ)\| + \|v−(x, σ)\| ≤ C1(σ)(1 + x)p1eαx, σ ∈ R n, x ≥ 0, где p1 ≥ p — некоторое число. По определению v+(x, σ) = m∑ i=να(σ)+1 Ci(σ)zi(x, σ), где zi(x, σ) = xkieλi(σ)x, Re λi(σ) > α. Из этого представления следу- ет, что функция (1 + x)−p1e−αxv+(x, σ) не может быть ограниченной на полуоси x ≥ 0 при каждом фиксированном σ, если хотя бы один коэффициент Ci(σ), i ≥ να(σ) + 1, отличен от нуля. Следовательно, v+(x, σ) ≡ 0. По условию при каждом σ ∈ R n система линейных уравнений    C1(σ)z1(0, σ) + · · · + Cνα(σ)(σ)zνα(σ)(0, σ) = h1(σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C1(σ)z (r−1) 1 (0, σ) + · · · + Cνα(σ)(σ)z (r−1) να(σ)(0, σ) = hr(σ) имеет решение для любых h1(σ), . . . , hr(σ). Так как функции z1(x, σ), . . . , zνα(σ)(x, σ) образуют систему фундаментальных решений А. Л. Павлов 95 уравнения P− να(σ)( d dx , σ)v(x, σ) = 0, то справедливо равенство rang    z1(x, σ) · · · zνα(σ)(x, σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z (r−1) 1 (x, σ) · · · z (r−1) να(σ)(x, σ)    = min{r, να(σ)}. Учитывая это равенство и разрешимость приведенной системы для любых h1(σ), . . . , hr(σ), имеем неравенство να(σ) ≥ r, т.е. Gα r = R n. 3. Функциональные пространства и мультипликаторы в них Под решением задачи (1.1), (1.2) будем понимать функцию, зави- сящую гладко от параметра x и удовлетворяющую (1.1), (1.2), как функцию этого параметра. Для уточнения понятия решения зада- чи (1.1), (1.2) рассмотрим функциональные пространства адекватно отражающие свойства искомых решений по переменным x и y. Будем использовать общепринятые обозначения пространства быстро убывающих функций S и пространства медленно растущих обобщенных функций S′. Рассмотрим семейство подпространств S′, зависящих от двух па- раметров s и l Hs l = { f ∈ S′ : ‖f‖s l ≡ [ ∫ (1+\|σ\|2)s\|Fy((1+\|y\|2)l/2f)\|2dσ ]1/2 < +∞ } , (3.1) где Fyg — преобразование Фурье обобщенной функции g ∈ S′. Это двупараметрическое семейство пространств обладает следующими свойствами [3]: 1) Hs l — гильбертово пространство, в котором ‖ · ‖s l является нор- мой; 2) сопряженное к пространству Hs l изоморфно пространству H−s −l ; 3) вложение Hs l в Hs′ l′ при s ≥ s′, l ≥ l′ непрерывно; 4) вложения S в Hs l и Hs l в S′ непрерывны; 5) пространства Hs l и H l s двойственны относительно преобразова- ния Фурье F ; 6) S′ является индуктивным пределом семейства пространств Hs l ; 96 Корректность общих краевых задач... 7) S является проективным пределом семейства пространств Hs l . Через Cs l , где s ≥ 0 — целое, а l — произвольное число, обозна- чим пространство s раз непрерывно дифференцируемых функций с конечной нормой \|ϕ\|sl = sup y∈R n, \|α\|≤s \|(1 + \|y\|2)l/2Dα y ϕ(y)\|. (3.2) Пространства Cs l являются банаховыми, для них имеют место аналогичные вложения и пространство S является проективным пре- делом этого семейства. Из теорем вложения следует эквивалентность семейств {Cs l } и {Hs l } в задании проективной топологии в S. Так как результаты будут сначала формулироваться для задачи (1.6)–(1.7), полученной преобразованием Фурье по y исходной задачи, то в этом случае будем использовать обозначение H l s, сохраняя тем самым в записи первоначальный смысл параметров: s — показатель гладкость, l — показатель роста граничных данных и решения. Через Ck αp(R+, Hs l ), где k ≥ 0 — целое, α и p — действительные числа, обозначим пространство k раз непрерывно дифференцируе- мых отображение v(x) замкнутой полуоси R+ = {x ∈ R : x ≥ 0} в гильбертово пространство Hs l , удовлетворяющее условию (1 + x)−pe−αx ∥ ∥ ∥ dνv(x) dxν ∥ ∥ ∥ s l < c, x ≥ 0, 0 ≤ ν ≤ k. (3.3) Пространство Ck αp(R+, Hs l ) является банаховым. Норму функции v(x) в этом пространстве будем обозначать \|\|\|v(x)\|\|\|Ck αp(R+,Hs l ): \|\|\|v(x)\|\|\|Ck αp(R+,Hs l ) ≡ sup x∈R+, 0≤ν≤k [ (1 + x)−pe−αx ∥ ∥ ∥ dνv(x) dxν ∥ ∥ ∥ s l ] . (3.4) Преобразование Фурье по касательным переменным отображает изоморфно пространство Ck αp(R+, Hs l ) на Ck αp(R+, H l s). Имеют место непрерывные вложения Ck αp(R+, Hs l ) ⊂ Ck′ α′p′(R+, Hs l ), k ≥ k′, α ≤ α′, p ≤ p′; Ck αp(R+, Hs l ) ⊂ Ck αp(R+, Hs′ l′ ), s ≥ s′, l ≥ l′. Учитывая эти вложения можно с помощью операции объединения по- строить пространства Ck α∞(R+, Hs l ). В топологии индуктивного пре- дела эти пространства являются полными локально выпуклыми [13]. А. Л. Павлов 97 Для этих пространств имеют место вложения, аналогичные приве- денным. Пользуясь свойствами семейства пространств Hs l , можно опре- делить пространство Ck α∞(R+, S) как проективный предел про- странств Ck α∞(R+, Hs l ), а пространство Ck α∞(R+, S′) — как индуктив- ный предел этих пространств. В указанных топологиях пространс- тва Ck α∞(R+, S) и Ck α∞(R+, S′) являются полными локально выпу- клыми пространствами, инвариантными относительно касательного преобразования Фурье. Функция u(x) принадлежит пространству Ck α∞(R+, S), если для любых s и l существует такое p, что u(x) ∈ Ck αp(R+, Hs l ). Соответ- ственно u(x) ∈ Ck α∞(R+, S′), если существуют такие s, l и p, что u(x) ∈ Ck αp(R+, Hs l ). Решение задачи (1.1), (1.2) будут рассматриваться в пространс- твах Ck α∞(R+, S), Ck α∞(R+, S′), Ck α∞(R+, Hs l ) при k ≥ m̄ = max{m, m1, . . . , mr}, где m — порядок дифференцирования по x в уравнении (1.1), а mj — в j-ом граничном условии в (1.2). Граничные данные в (1.2) принадлежат соответственно пространствам S, S′, Hs l . Задача (1.1), (1.2) в случае однородного уравнения называ- ется корректной в паре пространств (S, Ck α∞(R+, S)), если для любых граничных данных gj ∈ S, j = 1, . . . , r, существу- ет единственное решение задачи (1.1), (1.2), принадлежащее про- странству Ck α∞(R+, S), k ≥ m̄, линейно и непрерывно завися- щее в нем от граничных данных gj ∈ S. Аналогично опре- деляется корректность задачи (1.1), (1.2) в парах пространств (S′, Ck α∞(R+, S′)), (Hs l , Ck α∞(R+, Hs′ l′ )). Непрерывная зависимость решения u(x) ∈ Ck α∞(R+, S) от грани- чных данных gj ∈ S означает, что для любых s, l существуют такие s′, l′ и p, для которых выполняется неравенство \|\|\|u(x)\|\|\|Ck αp(R+,Hs l ) ≤ c r∑ j=1 ‖gj‖ s′ l′ . (3.5) Если же для любых s′, l′ найдутся такие s, l и p, что из принадле- жности gj ∈ Hs′ l′ , следует принадлежность решения u(x) пространс- тву Ck αp(R+, Hs l ) и выполняется неравенство (3.5), то имеет место не- прерывная зависимость решения u(x) ∈ Ck α∞(R+, S′) от граничных данных gj ∈ S′. Аналогично пространству Ck α∞(R+, Hs l ) определяется пространс- тво Ck α∞(R+, Cs l ). В силу эквивалентности семейств {Cs l } и {Hs l } в задании проективной топологии в S неравенство (3.5) равносильно 98 Корректность общих краевых задач... неравенству \|\|\|u(x)\|\|\|Ck αp(R+,Cs l ) ≤ c r∑ j=1 \|gj \| s l (3.5′) при тех же предположениях о параметрах. Принадлежность функции u(x) пространству Ck α∞(R+, S) означа- ет, что для любых целого s ≥ 0 и вещественного l существует такое p, для которых u(x) ∈ Ck αp(R+, Cs l ). Следовательно, справедливы не- равенства (1 + x)−pe−αx ∣ ∣ ∣ dνu(x) dxν ∣ ∣ ∣ s l < +∞, x ≥ 0, 0 ≤ ν ≤ k. (3.6) Пользуясь этими неравенствами можно установить соответствие ме- жду функциями из пространства Ck α∞(R+, S) и функциями, задан- ными на R+ × R n, обладающими определенной гладкостью по пере- менным x, y и имеющими определенное поведение на бесконечности. Лемма 3.1. Формула u(x, y) = u(x)(y), x ∈ R+, y ∈ R n уста- навливает взаимно однозначное соответствие между функциями u(x) ∈ Ck α∞(R+, S) и функциями, определенными в R+×R n, k раз не- прерывно дифференцируемыми по x, бесконечно дифференцируемыми по y и удовлетворяющими неравенствам (1 + x)−pe−αx(1 + \|y\|2)l/2\|∂ν xDβ y u(x, y)\| < cνβl, x ≥ 0, y ∈ R n, 0 ≤ ν ≤ k, (3.6′) где β — произвольный мультииндекс, l — произвольное веществен- ное число, а p зависит от выбора β и l. При этом справедливы ра- венства dνu(x) dxν (y) = ∂ν xu(x, y), 0 ≤ ν ≤ k. (3.7) Доказательство. Из непрерывности функции u(x) по x и неравенств (3.6) следует непрерывность по x производной функции u(x, y) по y любого порядка. Действительно, \|∂β y u(x + ∆x, y) − ∂β y u(x, y)\| ≤ \|u(x + ∆x) − u(x)\| \|β\| 0 , а правая часть этого неравенства стремится к нулю при ∆x → 0. Неравенства (3.6′) при ν = 0 совпадают с неравенствами (3.6). Если производные по y функции u(x, y) любого порядка непре- рывны по x и удовлетворяют неравенствам (3.6′), то для любых x, s, l и ε > 0 существует такое δ > 0, что \|u(x + ∆x) − u(x)\|sl < ε, если А. Л. Павлов 99 \|∆x\| ≤ δ, т.е. функция u(x) принадлежит пространству C(R+, S). Действительно, имеем неравенство \|u(x + ∆x) − u(x)\|sl = sup y∈R n, \|β\|≤s [ (1 + \|y\|2)l/2\|∂β y u(x + ∆x, y) − ∂β y u(x, y)\| ] ≤ sup \|y\|≤R, \|β\|≤s [ (1 + \|y\|2)l/2\|∂β y u(x + ∆x, y) − ∂β y u(x, y)\| ] + sup \|y\|≥R, \|β\|≤s [ (1 + \|y\|2)l/2\|∂β y u(x + ∆x, y) − ∂β y u(x, y)\| ] . Выберем R так, чтобы второе слагаемое в правой части неравенства было меньше ε 2 . Это можно сделать, пользуясь неравенствами (3.6′) sup \|y\|≥R, \|β\|≤s [ (1 + \|y\|2)l/2\|∂β y u(x + ∆x, y) − ∂β y u(x, y)\| ] ≤ sup \|β\|≤s C0βl+1(1 + R2)−1/2. Выберем теперь δ так, чтобы первое слагаемое в правой части не- равенства было меньше ε 2 . Это так же можно сделать в силу равно- мерной непрерывности функции (1 + \|y\|2)l/2∂ β y u(x, y) на компактном множестве. Если функции D β y u(x, y) имеют непрерывные производные по x и удовлетворяют неравенствам (3.6′), то функция u(x) ∈ C1 α∞(R+, S) и справедливо равенство (3.7) при ν = 1. Докажем сначала, что фун- кция u(x) непрерывно дифференцируема. Для любых s и l справе- дливы равенства ∣ ∣ ∣ u(x + ∆x) − u(x) ∆x − ∂xu(x, ·) ∣ ∣ ∣ s l = sup y∈R n, \|β\|≤s [ (1 + \|y\|2)l/2 ∣ ∣ ∣ 1 ∆x (∂β y u(x + ∆x, y) − ∂β y u(x, y)) − ∂x∂β y u(x, y)) ∣ ∣ ∣ ] = sup y∈R n, \|β\|≤s (1 + \|y\|2)l/2 ∣ ∣∂x∂β y u(x + s∆x, y) − ∂x∂β y u(x, y) ∣ ∣, где s = s(y) — функция от y, принимающая значение из промежу- тка [0, 1] по теореме Лагранжа о конечных приращениях. Пользуясь непрерывностью функции ∂x∂ β y u(x, y) и приведенным выше приемом 100 Корректность общих краевых задач... оценки нормы приращения функции u(x), можно показать, что левая часть полученного равенства стремится к нулю при ∆x → 0, т.е. du(x) dx (y) = ∂xu(x, y). Из этого равенства и неравенств (3.6′) следуют неравенства (3.6) при ν = 1. Аналогично устанавливается принадлежность функции u(x) пространству Cν α∞(R+, S) для всех ν ≤ k. Пусть теперь u(x) ∈ C1 α∞(R+, S). Имеем неравенство ∣ ∣ ∣ ∂ β y u(x + ∆x, y) − ∂ β y u(x, y) ∆x − ∂β y du(x) dx (y) ∣ ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ ∣ u(x + ∆x) − u(x) ∆x − du(x) dx ∣ ∣ ∣ \|β\| 0 . Из него следует существование непрерывной производной по x фун- кции ∂ β y u(x, y), равной ∂ β y du(x) dx (y). Неравенства (3.6′) при ν = 1 совпа- дают с неравенствами (3.6) в силу равенства ∂x∂ β y u(x, y) = ∂ β y du(x) dx (y). Аналогично устанавливается непрерывность производных функций ∂ β y u(x, y) по x до порядка ν и справедливость равенства (3.7) при ν > 1. Из леммы 3.1 следует, что всякому решению u(x) ∈ Ck α∞(R+, S) задачи (1.1), (1.2) соответствует классическое решение этой задачи, удовлетворяющее неравенствам (3.6′) и наоборот, каждому “поточе- чному” решению задачи (1.1), (1.2), удовлетворяющему неравенствам (3.6′), соответствует “параметрическое” решение этой задачи из про- странства Ck α∞(R+, S). В дальнейшем через Ck α∞(R+) будем обозначать пространство функций на R+, удовлетворяющее таким же оценкам по x, как и Ck α∞(R+, S). Следовательно, если u(x) ∈ Ck α∞(R+, S), то для любого y ∈ R n u(x)(y) ∈ Ck α∞(R+). Пользуясь теоремами вложения и о следах, можно интерпретиро- вать “параметрические” решения задачи (1.1), (1.2) из пространства Ck α∞(R+, S′) как обобщенные решения задачи из весовых функцио- нальных пространств в R n+1. Построение решений задачи (1.6), (1.7) в классах функций Ck α∞(R+, S), Ck α∞(R+, S′) основано на построении мультипликаторов в пространствах S и S′, соответствующим образом зависящих от па- раметра. Обозначим через M(E) множество мультипликаторов пространс- тва основных или обобщенных функций E. Известно, что M(S) = А. Л. Павлов 101 M(S′) и состоит из функций a(σ) ∈ C∞(Rn), удовлетворяющих нера- венствам \|∂β σa(σ)\| ≤ cβ(1 + \|σ\|)qβ , σ ∈ R n, (3.8) где β — произвольный мультииндекс, а qβ , cβ > 0 — числа, зависящие от производной функции a(σ) порядка β [3]. Лемма 3.2. Умножение на функцию a(σ) ∈ M(S) является непре- рывным отображением из H l s в H l s−q(l), где q = q(l) — некоторая функция от l, зависящая от функции a(σ). Доказательство леммы основано на одном из методов построения интерполяционных пространств и сводится к доказательству нера- венства ‖a(σ)h‖l s−q(l) ≤ C ( max \|β\|≤[\|l\|]+1 cβ ) ‖h‖l s, (3.9) где C — константа, зависящая от l, s и не зависящая от функции a(σ) [8]. Рассмотрим семейство мультипликаторов a(x, σ) в пространстве S, гладко зависящих от параметра x ≥ 0, для которых выполняется неравенство \|∂ν x∂β σa(x, σ)\| ≤ cβν(1 + x)pβνeαx(1 + \|σ\|)qβν , x ≥ 0, σ ∈ R n, (3.10) где cβν > 0, pβν , qβν — числа, зависящие от производных функции a(x, σ) соответствующих порядков. Лемма 3.3. Умножение на функцию a(x, σ), удовлетворяющую неравенствам (3.10), является непрерывным отображением про- странства H l s в пространство Ck αp̄(l)(R+, H l s−q̄(l)), где k — фикси- рованное целое, s, l — произвольные числа, p̄(l) и q̄(l) — некоторые функции, зависящие от l при данном k и определяемые функцией a(x, σ). Доказательство. Воспользовавшись леммой 3.2 и неравенствами (3.10), при каждом x ≥ 0 и ν ≥ 0 имеем неравенство ‖∂ν xa(x, σ)h‖l s−q(l,ν) ≤ cν max \|β\|≤[\|l\|]+1 (cβν(1 + x)pβνeαx)‖h‖l s ≤ c′ν(1 + x)p(l,ν)eαx‖h‖l s, (3.11) где p(l, ν) = max\|β\|≤[\|l\|]+1 pβν , c′ν = cν max\|β\|≤[\|l\|]+1 cβν . 102 Корректность общих краевых задач... Пусть q̄(l) = max 0≤ν≤k+1 q(l, ν), p̄(l) = max 0≤ν≤k+1 p(l, ν), C = max 0≤ν≤k+1 c′ν . Тогда для всех x ≥ 0 и ν ≤ k + 1 имеем неравенство (1 + x)−p̄(l)e−αx‖∂ν xa(x, σ)h‖l s−q̄(l) ≤ C‖h‖l s. (3.12) Покажем, что производная по x функции ∂ν xa(x, σ)h в пространстве H l s−q̄(l) совпадает с функцией ∂ν+1 x a(x, σ)h, т.е. дифференцирование по x оператора умножения на функцию, зависящую от x, в этом пространстве сводится к дифференцированию мультипликатора по параметру x. Воспользовавшись формулой Тейлора с интегральным остаточным членом, рассмотрим функцию bν(x,∆x, σ) = ∂ν xa(x + ∆x, σ) − ∂ν xa(x, σ) ∆x − ∂ν+1 x a(x, σ) = 1 ∆x x+∆x∫ x ∂ν+2 t a(t, σ)(x + ∆x − t) dt. При фиксированном ∆x функция bν(x,∆x, σ) имеет такие же свой- ства, как и функция ∂ν+2 x a(x, σ). Действительно, \|∂β σ bν(x,∆x, σ)\| ≤ 1 \|∆x\| x+∆x∫ x \|x + ∆x − t\| dt max t∈[x,x+∆x] \|∂ν+2 t ∂β σa(t, σ)\| ≤ \|∆x\| 2 max t∈[x,x+∆x] \|∂ν+2 t Dβ σa(t, σ)\| ≤ cβν+2 \|∆x\| 2 max t∈[x,x+∆x] [(1 + t)pβν+2eαt](1 + \|σ\|)qβν+2 . Из этого неравенства следует неравенство, аналогичное (3.11) ‖bν(x,∆x, σ)‖l s−q̄(l) ≤ c′′ν \|∆x\| max \|β\|≤[\|l\|]+1 t∈[x,x+∆x] [cβν+2(1 + t)pβν+2eαt]‖h‖l s. (3.11′) Правая часть полученного неравенства стремится к нулю при ∆x → 0 и фиксированном x. Следовательно, в пространстве H l s−q̄(l) имеет место равенство d dx (∂ν xa(x, σ)h) = ∂ν+1 x a(x, σ)h, 0 ≤ ν ≤ k − 1. (3.13) А. Л. Павлов 103 Из этого равенства и неравенства (3.12) следует, что функция a(x, σ)h принадлежит пространству Ck αp̄(l)(R+, H l s−q̄(l)), и справедливо нера- венство \|\|\|a(x, σ)h\|\|\|Ck αp̄(l) (R+,Hl s−q̄(l) ) ≤ C‖h‖l s, (3.12′) где константа C не зависит от h. Следовательно, умножение на фун- кцию a(x, σ), удовлетворяющую неравенствам (3.10) является непре- рывным отображением из H l s в Ck αp̄(l)(R+, H l s−q̄(l)). Из леммы 3.3 следует, что умножение на указанную функцию яв- ляется непрерывным отображением из S в Ck α∞(R+, S). Действитель- но, если h ∈ S, то из неравенства (3.12′) следует, что для любых l и s функция a(x, σ)h(σ) ∈ Ck αp̄(l)(R+, H l s) и справедливо неравенство \|\|\|a(x, σ)h(σ)\|\|\|Ck αp̄(l) (R+,Hl s) ≤ C‖h‖l s+q̄(l). А это, как уже отмечалось, означает непрерывность указанного ото- бражения. Умножение на функцию, удовлетворяющую неравенствам (3.10), является непрерывным отображением из S′ в Ck α∞(R+, S′). Это сле- дует также из леммы 3.3, так как каждый элемент пространства S′ принадлежит некоторому пространству H l s и сходимость в S′ своди- тся к сходимости в этих пространствах. В дальнейшем будем неоднократно пользоваться переходом от уравнения вида (1.6) к матричной его записи. Поэтому естествен- но возникают семейства матричных мильтипликаторов вида exP(σ), где P(σ) — матрица, элементы которой мультипликаторы в S, веще- ственные части собственных значений которой ограничены. Для та- ких матричных мультипликаторов справедливы оценки вида (3.10), которые получаются из известных оценок матричной экспоненты. Лемма 3.4. Если элементы aij(σ) матрицы P(σ) размера r×r явля- ются мультипликаторами в S и собственные ее числа λ(σ) удовле- творяют условию Re λ(σ) ≤ α, то элементы матрицы exP(σ) явля- ются мультипликаторами в S, гладко зависящими от параметра x и справедливо неравенство, аналогичное неравенству (3.10) ‖∂ν x∂β σexP(σ)‖ ≤ cβν(1 + x)pβν (1 + \|σ\|)qβνeαx, x ≥ 0. (3.14) Доказательство. Пользуясь оценкой матричной экспоненты [14], не- равенствами Re λ(σ) ≤ α для собственных чисел матрицы P(σ) и не- равенствами вида (3.8) для элементов матрицы P(σ) имеем при x ≥ 0 неравенство 104 Корректность общих краевых задач... ‖exP(σ)‖ ≤ 1 + 2‖P(σ)‖x + (2‖P(σ)‖)2 x2 2! + · · · + (2‖P(σ)‖)r−1 xr−1 (r − 1)! eαx ≤ c0(1 + x)r−1(1 + \|σ\|)q0eαx, где c0 > 0, q0 — некоторые числа, зависящие от элементов матрицы P(σ). Пользуясь свойствами элементов матрицы P(σ) с помощью фор- мулы Лейбница и оценки для матричной экспоненты, можно полу- чить неравенство (3.14) для производных матричной функции exP(σ) по x и σ любого порядка. Из неравенства (3.14) и леммы 3.3 следует, что умножение на эле- менты матрицы exP(σ) является непрерывным отображением из про- странства H l s в пространство Ck αp̄(l)(R+, H l s−q̄(l)), а, следовательно, из S в Ck α∞(R+, S) и из S′ в Ck α∞(R+, S′). Рассмотрим вектор-функцию V (x) = exP(σ)H(σ), (3.15) где H(σ) = (h1(σ), . . . , hr(σ))T , V (x) = (v1(x), . . . , vr(x))T , а матрица P(σ) удовлетворяет условиям леммы 3.4. Пользуясь обобщением равенства (3.13) на матричные функции, легко убедиться, что вектор-функция V (x) является решением зада- чи Коши dV (x) dx = P(σ)V, x ≥ 0, (3.16) V (0) = H(σ). (3.17) Сформулируем более точно приведенные выше утверждения в виде леммы, которой будем неоднократно пользоваться. Лемма 3.5. Если hi(σ) ∈ S, i = 1, . . . , r, то элементы vi(x) вектор-функции V (x), заданной равенством (3.15) принадлежат пространству Ck α∞(R+, S) для любого k ≥ 0, вектор-функция V (x) является решением задачи Коши (3.16)–(3.17) и справедливы нера- венства \|\|\|vi(x)\|\|\|Ck αp̄(l) (R+,Hl s−q̄(l) ) ≤ C r∑ j=1 ‖hi‖ l s, i = 1, . . . , r. (3.18) Если через ‖H(σ)‖l s обозначить норму вектор-функции H(σ) в пространстве [H l s] r, а через \|\|\|V (x)\|\|\|Ck αp̄(l) (R+,Hl s−q̄(l) ) — норму вектор- функции V (x) в пространстве Ck αp̄(l)(R+, [H l s−q̄(s)] r), то неравенства А. Л. Павлов 105 (3.18) можно записать одним неравенством \|\|\|V (x)\|\|\|Ck αp̄(l) (R+,Hl s−q̄(l) ) ≤ C‖H(σ)‖l s. (3.18′) При построении решений неоднородных уравнений будут исполь- зованы интегралы по параметру от функций со значениями в про- странствах Ck γ∞(R+, S) и им подобных. Ниже приводятся необходи- мые для этих целей конструкции и утверждения. Пусть вектор-функция G(x) ∈ Ck γ∞(R+, Sr), а матрица P(σ) удов- летворяет условиям леммы 3.4. Тогда вектор-функция e(x−t)P(σ)G(t) определена при всех x ≥ 0 и t ≤ x, бесконечно дифференцируема по параметру как функция со значениями в пространстве S. Справедли- ва также формула dν dxν (e(x−t)P(σ)G(t)) = ∂ν xe(x−t)P(σ)G(t). (3.13′) Она доказывается аналогично равенству (3.13). Так как вектор- функция e(x−t)P(σ)G(t) непрерывна по параметру t как функция со значениями в S, то естественным образом определяется вектор- функция W (x) = x∫ 0 e(x−t)P(σ)G(t) dt. (3.19) Лемма 3.6. Если G(t) ∈ Ck(R+, Sr), то вектор-функция W (x), определенная равенством (3.19), где матрица P(σ) удовлетворяет условиям леммы 3.4, k + 1 раз непрерывно дифференцируемая по x и удовлетворяет уравнению dW (x) dx = P(σ)W (x) + G(x), x ≥ 0. (3.20) Доказательство. Покажем, что имеет место равенство (3.20). Для любых l и s имеем неравенство ∥ ∥ ∥ W (x + ∆x) − W (x) ∆x − P(σ)W (x) − G(x) ∥ ∥ ∥ l s ≡ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ 1 ∆x ( x+∆x∫ 0 e(x+∆x−t)P(σ)G(t) dt − x∫ 0 e(x−t)P(σ)G(t) dt ) − P(σ) x∫ 0 e(x−t)P(σ)G(t) dt − G(x) ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ l s 106 Корректность общих краевых задач... ≤ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ x∫ 0 ( 1 ∆x ( e(x+∆x−t)P(σ) − e(x−t)P(σ) ) − P(σ)e(x−t)P(σ) ) G(t) dt ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ l s + ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ 1 ∆x x+∆x∫ x e(x+∆x−t)P(σ)G(t) dt − G(x) ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ l s . (3.21) Оценим сначала второе слагаемое в правой части неравенства ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ 1 ∆x x+∆x∫ x e(x+∆x−t)P(σ)G(t) dt − G(x) ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ l s = ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ 1 ∆x x+∆x∫ x ( e(x+∆x−t)P(σ)G(t) − G(x) ) dt ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ l s ≤ max t∈[x,x+∆x] ‖e(x+∆x−t)P(σ)G(t) − G(x)‖l s ≤ max t∈[x,x+∆x] ‖(e(x+∆x−t)P(σ) − J)G(t)‖l s + max t∈[x,x+∆x] ‖G(t) − G(x)‖l s, где J — единичная матрица. Оба слагаемых в правой части неравенства стремятся к нулю при ∆x → 0. Второе — в силу непрерывности функции G(x), а первое в силу непрерывной зависимости мультипликатора exP(σ) от парамет- ра x lim x→x0 exP(σ)G(x) = ex0P(σ)G(x0). Для оценки первого слагаемого в правой части неравенства (3.21) рассмотрим вектор-функцию A(x, t,∆x, σ) = [ 1 ∆x (e∆xP(σ) − J) − P(σ) ] e(x−t)P(σ). При каждом x и t в пространстве H l s справедливо равенство lim ∆x→0 A(x, t,∆x, σ)G(t) = 0, которое следует из равенства (3.13′). Следовательно, ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ x∫ 0 A(x, t,∆x, σ)G(t) dt ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ l s ≤ x∫ 0 ‖A(x, t,∆x, σ)G(t)‖l s ds −→ ∆x→0 0. А. Л. Павлов 107 4. Краевые задачи для однородных уравнений Рассмотрим сначала одну из простейших краевых задач — задачу Дирихле. Ее касательное преобразование Фурье имеет вид P ( d dx , σ ) v(x) = 0, x ≥ 0, (4.1) dj−1v(x) dxj−1 ∣ ∣ ∣ x=0 = hj , j = 1, . . . , r. (4.2) Необходимые и достаточные условия корректности этой задачи в про- странстве быстро убывающих функций по переменной σ содержатся в следующей теореме. Теорема 4.1. Задача (4.1), (4.2) корректна в паре пространств (S, Ck α∞(R+, S)), k ≥ m, тогда и только тогда, когда выполнены усло- вия: 1) уравнение (4.1) является α-регулярным порядка r; 2) коэффициенты λ-многочлена P− r (λ, σ) являются мультипли- каторами в пространстве S. Доказательство. Покажем прежде всего достаточность условий 1) и 2) для корректности задачи (4.1), (4.2) в паре пространств (S, Ck α∞(R+, S)). Для этого рассмотрим задачу Коши P− r ( d dx , σ ) v(x) = 0, x ≥ 0, (4.3) dj−1v(x) dxj−1 ∣ ∣ ∣ x=0 = hj , j = 1, . . . , r. (4.4) Решение этой задачи можно получить, воспользовавшись ее матри- чным представлением dV (x) dx = P− r (σ)V (x), x ≥ 0, (4.3′) V (0) = H(σ), (4.4′) где V (x) = ( v(x), dv(x) dx , . . . , dr−1v(x) dxr−1 )T , H(σ) = (h1(σ), . . . , hr(σ))T , 108 Корректность общих краевых задач... P− r (σ) =          0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ... 1 −a−r0(σ) −a−r1(σ) −a−r2(σ) ... −a−rr−1(σ)          . Из условий 1), 2) и леммы 3.4 следует, что элементы матрицы exP− r (σ) являются мультипликаторами в S при каждом x ≥ 0, гладко завися- щими от x и для них справедливы оценки вида (3.14). Рассмотрим вектор-функцию V (x) = exP− r (σ)H(σ), x ≥ 0. Так как по условию hi(σ) ∈ S, i = 1, . . . , r, то по лемме 3.5 элементы vi(x) вектор-функции V (x) принадлежат пространству Ck α∞(R+, S), для них справедливы оценки вида (3.18), а вектор-функция V (x) яв- ляется решением задачи (4.3′), (4.4′). Первый элемент вектор-функции V (x) является решением задачи (4.3), (4.4), следовательно, и — решением задачи (4.1), (4.2). Таким образом, при выполнении условий 1) и 2) для любых граничных дан- ных hj ∈ S, j = 1, . . . , r, существует решение v(x) задачи (4.1), (4.2), принадлежащее пространству Ck α∞(R+, S), k ≥ m, и для него спра- ведлива оценка \|\|\|v(x)\|\|\|Ck αp̄(l) (R+,Hl s) ≤ C r∑ j=1 ‖hj‖ l s+q̄(l). (4.5) Следовательно, это решение линейно и непрерывно зависит от грани- чных данных hj , j = 1, . . . , r. Единственность решения задачи (4.1), (4.2) в рассматриваемых пространствах следует из того, что по усло- вию mes Gr+1 = 0 [7]. Решение задачи (4.1), (4.2) можно представить как сумму прои- зведений граничных данных и решений этой задачи при следую- щих данных Дирихле: hj = δij , i, j = 1, . . . , r, где δij — фун- кция Кронекера. Построение таких решений аналогично приведен- ному. Обозначим соответствующее решение задачи (4.1), (4.2) через qj(x, σ), j = 1, . . . , r. Для этих функций имеют место неравенства ви- да (3.10), т.е. они являются при каждом x ≥ 0 мультипликаторами в S, гладко зависящими от x и имеющими определенное поведение по x. А. Л. Павлов 109 Функция v(x) = ∑r j=1 qj(x, σ)hj(σ), x ≥ 0, является решением за- дачи (4.1), (4.2), удовлетворяющая требованиям теоремы 4.1. Поль- зуясь этим представлением, можно описать свойства решения v(x) в зависимости от свойств функций qj(x, σ), которые являются ка- сательными преобразованиями Фурье аналогов ядер Пуассона зада- чи Дирихле для эллиптических уравнений [11]. Поэтому функции kj(x, y) = F−1 σ qj(x, σ), j = 1, . . . , r, естественно называть ядрами Пу- ассона задачи Дирихле для уравнения (1.1). Решение u(x) задачи Дирихле для этого уравнения можно представить в виде u(x) = r∑ j=1 kj(x, y) ∗ gj , (4.6) где gj — данные Дирихле. В рассматриваемом случае ядра Пуассо- на являются свертывателями в пространстве S, гладко зависящими от параметра x и имеющими определенное поведение по этому па- раметру на бесконечности. Построение и исследование свойств каса- тельных преобразований Фурье ядер Пуассона для общей граничной задачи (1.1), (1.2) будет основным инструментом исследования ее кор- ректности. Докажем теперь необходимость условий 1) и 2) в теореме 4.1. Предположим, что задача (4.1), (4.2) корректна в паре пространств (S, Ck α∞(R+, S)), k ≥ m и v(x) — ее решение. Рассмотрим функцию v(x) как функцию переменных (x, σ): v(x, σ) = v(x)(σ). Из леммы 3.1 следует, что функция v(x, σ) при каждом σ ∈ R n принадлежит пространству Ck α∞(R+) и является решением задачи P ( d dx , σ ) v(x, σ) = 0, x ≥ 0, σ ∈ R n, (4.1′) dj−1v(x, σ) dxj−1 ∣ ∣ ∣ x=0 = hj(σ), j = 1, . . . , r. (4.2′) Из равенства (4.1′) следует, что для любого σ ∈ R n v(x, σ) ∈ C∞(R+). В (4.2′) вектор (h1(σ), . . . , hr(σ)) в данной точке σ ∈ R n может прини- мать любые значения из R r при соответствующем выборе hi(σ) ∈ S. Поэтому из предположения о корректности задачи (4.1), (4.2) в па- ре пространств (S, Ck α∞(R+, S)) следует разрешимость задачи (4.1′), (4.2′) в классе функций Ck α∞(R+) при каждом σ ∈ R n. На основа- нии леммы 2.4 для каждого σ ∈ R n существует не менее r корней уравнения (1.5), вещественная часть которых не превосходит α, т.е. Gα r = R n. Уравнение (4.1) является на самом деле α-регулярным порядка r. Предположим, что это не так, т.е. mes Gα r+1 6= 0. По лемме 2.1 110 Корректность общих краевых задач... множества Gα k являются полуалгебраическими. Следовательно, су- ществует точка σ0 множества Gα r+1, в некоторой окрестности Ω(σ0) которой ровно r + k, k > 0, корней λi(σ) уравнения (1.5) удовлетво- ряют условию Re λi(σ) ≤ α. Действительно, множество Gα r+1 можно представить в виде Gα r+1 = (Gα r+1 \ Gα r+2) ∪ (Gα r+2 \ Gα r+3) ∪ · · · ∪ Gα m, где все слагаемые полуалгебраические непересекающиеся множе- ства. Отсюда следует, что для некоторого k > 0, mes(Gα r+k \ Gα r+k+1) 6= 0. Возьмем произвольную внутреннюю точку σ0 множе- ства Gα r+k \ Gα r+k+1 и некоторую ее окрестность Ω(σ0), принадле- жащую этому множеству. Тогда в окрестности Ω(σ0) группы кор- ней {λ1(σ), . . . , λr+k(σ)} и {λr+k+1(σ), . . . , λm(σ)} разделены. Следо- вательно, коэффициенты оператора P− r+k ( d dx , σ ) = ( d dx − λ1(σ) ) . . . ( d dx − λr+k(σ) ) являются бесконечно дифференцируемыми функциями в рассматри- ваемой окрестности. Пусть функция µ(σ) ∈ C∞ 0 (Ω(σ0)). Рассмотрим задачу Коши P− r+k ( d dx , σ ) v(x, σ) = 0, x ≥ 0, (4.7) dj−1v(x, σ) dxj−1 ∣ ∣ ∣ x=0 = µhj(σ), j = 1, . . . , r + k, (4.8) где h1(σ) = h2(σ) = · · · = hr(σ) = 0, а остальные начальные данные принадлежат пространству S и не равны нулю. Так как вне Ω(σ0) начальные данные этой задачи равны нулю, то уравнение (4.7) можно заменить уравнением ϕ(σ)P− r+k ( d dx , σ ) v(x, σ) = 0, x ≥ 0, (4.7′) где ϕ ∈ C∞ 0 (Ω(σ0)) и ϕ = 1 на suppµ. Коэффициенты этого уравнения являются мультипликаторами в S. Для любых hj ∈ S, j = r+1, . . . , r+k, существует решение задачи (4.7), (4.8) в пространстве Ck α∞(R+, S), k ≥ m. Оно строится анало- гично тому, как это было сделано выше для задачи (4.3), (4.4). Это решение является ненулевым решением задачи (4.1), (4.2) с нулевыми данными Дирихле. Это противоречит предположению о корректно- сти задачи (4.1), (4.2). Противоречие возникло из-за предположения, А. Л. Павлов 111 что mes Gα r+1 6= 0. Следовательно, mes Gα r+1 = 0, т.е. уравнение (4.1) является α-регулярным порядка r. Докажем теперь, что выполнено условие 2). Рассмотрим мно- гочлены P− r (λ, σ), P+ r (λ, σ) и соответствующие им дифференциаль- ные операторы P− r ( d dx , σ), P+ r ( d dx , σ). Любое решение v(x, σ) уравне- ния (4.1) можно представить в виде v(x, σ) = v−(x, σ) + v+(x, σ), σ ∈ R n \ Gα r+1, где слагаемые v−(x, σ) и v+(x, σ) удовлетворяют условиям P− r ( d dx , σ ) v−(x, σ) = 0, P+ r ( d dx , σ ) v+(x, σ) = 0, σ ∈ R n \ Gα r+1. Указанное представление следует из равенства P− r (λ, σ)R− r (λ, σ) + P+ r (λ, σ)R+ r (λ, σ) ≡ 1, σ ∈ R n \ Gα r+1, (4.9) где R− r (λ, σ) и R+ r (λ, σ) — λ-многочлены. Равенство (4.9) следует из того, что для σ ∈ R n \ Gα r+1 λ-многочлены P− r (λ, σ) и P+ r (λ, σ) взаимно просты в силу α- регулярности уравнения (4.1) порядка r. Оно может быть получено при помощи алгоритма Евклида для нахождения наибольшего обще- го делителя этих многочленов [15]. Заменив в равенстве (4.9) λ на d dx и применив левую и правую его части к функции v(x, σ), которая бесконечно дифференцируема по x, получим равенство v(x, σ) = P− r ( d dx , σ ) R− r ( d dx , σ ) v(x, σ) + P+ r ( d dx , σ ) R+ r ( d dx , σ ) v(x, σ), σ ∈ R n \ Gα r+1. Обозначив слагаемые правой части этого равенства соответственно через v+(x, σ) и v−(x, σ), получим искомое представление функции v(x, σ). Действительно, для σ ∈ R n \ Gα r+1 имеем равенства P+ r ( d dx , σ ) v+(x, σ) = P+ r ( d dx , σ ) P− r ( d dx , σ ) R− r ( d dx , σ ) v(x, σ) = R− r ( d dx , σ ) P ( d dx , σ ) v(x, σ) = 0, P− r ( d dx , σ ) v−(x, σ) = P− r ( d dx , σ ) P+ r ( d dx , σ ) R+ r ( d dx , σ ) v(x, σ) 112 Корректность общих краевых задач... = R+ r ( d dx , σ ) P ( d dx , σ ) v(x, σ) = 0. Докажем, что v+(x, σ) = 0, σ ∈ R n \ Gr+1. Это следует из равен- ства P+ r ( d dx , σ ) v+(x, σ) = 0, x ≥ 0, σ ∈ R n \ Gr+1. (4.10) Так как корни λi(σ), i = r + 1, . . . , m, уравнения (1.5) вне множе- ства Gα r+1 удовлетворяют условию Re λi(σ) > α, то для любой точки σ0 ∈ R n \ Gr+1 существует такая ее окрестность Ω(σ0), что в этой окрестности Re λk(σ) > α + ε, где ε — некоторое положительное чи- сло. Для удобства перейдем к матричной записи равенства (4.10) d dx V +(x, σ) = P+ r (σ)V +(x, σ), σ ∈ R n \ Gα r+1, (4.10′) где V +(x, σ) = ( v+(x, σ), . . . , dm−r−1v+(x, σ) dxm−r−1 )T , P+ r (σ) =     0 1 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −a+ r0(σ) −a+ r1(σ) . . . −a+ r m−r−1(σ)     . Следовательно, имеет место равенство V +(0, σ) = e−xP+ r (σ)V +(x, σ), x ≥ 0, σ ∈ R n \ Gα r+1. Пользуясь оценками матричной экспоненты вида (3.14) в указанной окрестности точки σ0, имеем неравенство ‖V +(0, σ)‖ ≤ ‖e−xP+ r (σ)‖‖V +(x, σ)‖ ≤ C1(1 + x)m−r−1e−(α+ε)x‖V +(x, σ)‖, x ≥ 0. Оценив норму вектор-функции V +(x, σ) в этом неравенстве с помо- щью равенства v+(x, σ) = P− r ( d dx , σ ) R− R ( d dx , σ ) v(x, σ), получим неравенство ‖V +(0, σ)‖ ≤ C2(1 + x)m−r−1e−(α+ε)x ( \|v(x, σ)\| + · · · + ∣ ∣ ∣ dsv(x, σ) dxs ∣ ∣ ∣ ) , А. Л. Павлов 113 x ≥ 0, σ ∈ Ω(σ0), (4.11) где s — некоторое натуральное число. По условию v(x) ∈ Ck α∞(R+, S), k ≥ m. Из неравенства (3.7) следует, что в ограниченной окрестности Ω(σ0) произвольной точки σ0 ∈ R n справедливы неравенства ∣ ∣ ∣ djv(x, σ) dxj ∣ ∣ ∣ ≤ C(σ)(1 + x)peαx, j ≤ k, где функция C(σ) является ограниченной в этой окрестности. Из уравнения (4.1) следует, что такие же неравенства имеют место и для производных по x функции v(x, σ) любого порядка. Используя эти неравенства в (4.11), получим неравенство ‖V +(0, σ)‖ ≤ C3(1 + x)p′e−εx, x ≥ 0, σ ∈ Ω(σ0), где p′ — некоторое число. Так как limx→∞[(1 + x)p′e−εx] = 0, то из полученного неравенства следует, что норма вектор-функции V +(0, σ) может быть сколь уго- дно малой при достаточно большом x в каждой точке окрестности Ω(σ0). Следовательно, V +(0, σ) = 0 в рассматриваемой окрестности. В силу произвольности выбора точки σ0 ∈ R n \Gα r+1 отсюда следует, что v+(x, σ) = 0, σ ∈ R n \ Gα r+1. Таким образом, v(x, σ) = v−(x, σ), σ ∈ R n\Gα r+1 и, следовательно, является решением задачи P− r ( d dx , σ ) v(x, σ) = 0, x ≥ 0, σ ∈ R n \ Gα r+1, (4.12) dj−1v(x, σ) dxj−1 ∣ ∣ ∣ x=0 = hj(σ), σ ∈ R n. (4.13) Перейдя к матричной записи задачи (4.12), (4.13), ее решение V (x, σ) = (v(x, σ), dv(x,σ) dx , . . . , dr−1v(x,σ) dxr−1 )T можно представить в виде V (x, σ) = exP− r (σ)H(σ), x ≥ 0, σ ∈ R n \ Gα r+1, где H(σ) = (h1(σ), . . . , hr(σ))T . Из равенств (4.12), (4.13) следует равенство dV (x, σ) dx ∣ ∣ ∣ x=0 = P− r (σ)H(σ), σ ∈ R n \ Gα r+1. 114 Корректность общих краевых задач... Так как левая часть полученного равенства по предположению при- надлежит пространству Sr, то для каждой вектор-функции H(σ) ∈ Sr вектор-функция P− r (σ)H(σ) совпадает в R n \ Gα r+1 с вектор- функцией из Sr. Пусть H1(σ) = (h(σ), 0, . . . , 0), h(σ) ∈ S. Тогда V1(0, σ) = P− r (σ)H1(σ) = (−a−r (σ)h(σ), 0, . . . , 0)T . Следовательно, для любой функции h(σ) из S функция a−r0(σ)h(σ) совпадает в R n \Gα r+1 с фун- кцией из S. Так как множество R n \ Gα r+1 всюду плотно в R n, то отсюда следует, что функция a−r0(σ) может быть доопределена в R n до бесконечно дифференцируемой функции. При этом отображение, ставящее функцию h(σ) ∈ S в соответствие функцию a−r0(σ)h(σ) ∈ S, является непрерывным в S в силу предположения корректности за- дачи (4.1), (4.2) в паре пространств (S, Ck α∞(R+, S)). Действительно, непрерывная зависимость решения v(x) ∈ Ck α∞(R+, S) от граничных данных hj ∈ S, j = 1, . . . , r означает, что для любых l, s существуют такие s′, l′ и p, для которых справедливы неравенства \|\|\|v(x)\|\|\|Ck αp(R+,Hl s) ≤ C r∑ j=1 ‖hj‖ l′ s′ . Если v(x) — первый элемент вектор-функции V1(x, σ), то с учетом приведенного неравенства имеем неравенство ‖a−r0(σ)h(σ)‖l s = ∥ ∥ ∥ dV1(0, σ) dx ∥ ∥ ∥ l s ≤ \|\|\|v1(x)\|\|\|Ck αp(R+,Hl s) ≤ C‖h(σ)‖l′ s′ . Следовательно, умножение на функцию a−r0(σ) является непрерыв- ным отображением в S, т.е. функция a−r0(σ) является мультиплика- тором в S. Рассматривая начальные данные вида Hi(σ) = (0, . . . , 0, h, 0, . . . , 0), где все координатные функции, кроме i-й, равны нулю, ана- логичными рассуждениями можно показать, что все коэффициенты λ-многочлена P− r (λ, σ) являются мультипликаторами в S, т.е. необ- ходимость условия 2) теоремы 4.1 доказана. Рассмотрим теперь общую граничную задачу (1.1), (1.2) для одно- родного уравнения в классах быстро убывающих функций. После применения касательного преобразования Фурье по переменной y имеем задачу P ( d dx , σ ) v(x) = 0, x ≥ 0, (4.14) Bj ( d dx , σ ) v(x) ∣ ∣ ∣ x=0 = hj , j = 1, . . . , r. (4.15) А. Л. Павлов 115 В многочисленных работах, в которых рассматривалась эта за- дача, предполагалась α-регулярность уравнения (4.14) порядка r и выполнение условия Лопатинского, которое в данном случае может быть представлено в таком виде det(B′ jk(σ)) 6= 0, σ ∈ Ω, (4.16) где B′ j(λ, σ) ≡ ∑r k=1 B′ jk(σ)λk−1 = Bj(λ, σ) (mod P− r (λ, σ)), а множе- ство Ω зависит от классов рассматриваемых функций. О существен- ности этих условий для корректности задачи (4.14), (4.15) в паре про- странств (S, Ck α∞(R+, S)), k ≥ m̄ = max{m, m1, . . . , mr}, где mj — по- рядок дифференцирования по x оператора Bj( d dx , σ), свидетельствует следующая теорема. Теорема 4.2. Задача (4.14), (4.15) корректна в паре пространств (S, Ck α∞(R+, S)), k ≥ m̄, тогда и только тогда, когда выполнены условия: 1) уравнение (4.14) является α-регулярным порядка r; 2) коэффициенты λ-многочлена P− r (λ, σ) являются мультипли- каторами в S; 3) условие Лопатинского (4.16) выполняется для всех σ ∈ R n. Доказательство. Покажем прежде всего достаточность условий 1)–3) для корректности задачи (4.14), (4.15) в паре пространств (S, Ck α∞(R+, S)). Из условий 2) и 3) следует, что существует матрица, обратная к матрице B′(σ) = (B′ jk(σ)), и ее элементы, как и элемен- ты матрицы B′(σ) являются мультипликаторами в S. Доказательство этого факта основано на оценке \|detB′(σ)\| > c(1 + \|σ\|)ω, где c > 0, ω — некоторые числа, и которая устанавливается с помо- щью теоремы Зайденберга–Тарского [8]. Тогда матричное уравнение B′(σ)V (σ) = H(σ), где V (σ) = (v0(σ), . . . , vr−1(σ))T , H(σ) = (h1(σ), . . . , hr(σ))T име- ет единственное решение в пространстве Sr, если hj(σ) ∈ S, j = 1, . . . , r. Из теоремы 4.1 следует существование единственного реше- ния уравнения (4.14) в пространстве Ck α∞(R+, S) с данными Дирихле 116 Корректность общих краевых задач... v0(σ), . . . , vr−1(σ). Это решение по построению будет решением зада- чи (4.14), (4.15), непрерывно зависящее от граничных данных hj(σ), т.е. задача (4.14), (4.15) корректна в указанной паре пространств. Условие Лопатинского 3) обеспечивает эквивалентность общей гра- ничной задачи и задачи Дирихле. Более полную информацию о решении задачи (4.14), (4.15) мо- жно получить с помощью касательного преобразования Фурье ядер Пуассона этой задачи. Рассмотрим функции qi(x, σ), i = 1, . . . , r, яв- ляющиеся решениями задачи P− r ( d dx , σ ) q(x, σ) = 0, x ≥ 0, σ ∈ R n, (4.17) Bj ( d dx , σ ) q(x, σ) ∣ ∣ ∣ x=0 = δji, i, j = 1, . . . , r, σ ∈ R n. (4.18) Для всякого решения уравнения (4.17) граничные условия (4.18) равносильны условиям B′ j ( d dx , σ ) q(x, σ) ∣ ∣ ∣ x=0 = δji, i, j = 1, . . . , r, σ ∈ R n. (4.18′) Пусть qi(x, σ) — решение задачи (4.17), (4.18) и Qi(x, σ) = (qi(x, σ), . . . , dr−1qi(x,σ) dxr−1 )T . Тогда условие (4.18′) имеет вид B′(σ)Qi(0, σ) = Ωi, i = 1, . . . , r, (4.18′′) где Ωi = (0, . . . , 0 ︸︷︷︸ i−1 , 1, 0, . . . , 0)T . Так как элементы матрицы B′(σ)−1 являются мультипликаторами в S, то такими же свойствами обладают элементы вектор-функции Qi(0, σ) = B′(σ)−1Ωi, т.е. для любого мультииндекса β существуют такие числа cβi и νβi, что выполняются неравенства ‖Dβ σQi(0, σ)‖ ≤ cβi (1 + \|σ\|)νβi , i = 1, . . . , r. В матричной форме уравнение (4.17) имеет вид dQ(x, σ) dx = P− r (σ)Q(x, σ), x ≥ 0, σ ∈ R n. (4.17′) Решение Qi(x, σ) задачи (4.17′), (4.18′′) можно представить в виде Qi(x, σ) = exP− r (σ)Qi(0, σ). А. Л. Павлов 117 Рассуждая как и при доказательстве леммы 3.4, получим оценки для производных вектор-функций Qi(x, σ) по x и σ любого порядка ∥ ∥ ∥ dν dxν ∂β σQi(x, σ) ∥ ∥ ∥ ≤ cβνi(1 + x)rβνieαx(1 + \|σ\|)µβνi , x ≥ 0, σ ∈ R n, i = 1, . . . , r. (4.19) Из неравенств (4.19) и леммы 3.3 следует, что умножение на эле- менты вектор-функции Qi(x, σ), i = 1, . . . , r, является непрерывным отображением пространства S в пространство Ck α∞(R+, S). Свойства построенных функций qi(x, σ) позволяют представить решение задачи (4.14), (4.15) для hi(σ) ∈ S, i = 1, . . . , r, в следующем виде v(x, σ) = r∑ i=1 qi(x, σ)hi(σ). (4.20) Пользуясь леммой 3.3 и неравенствами (4.19), можно показать, что для любых l и s существуют такие C, p̄(l), q̄(l), при которых справе- дливы неравенства \|\|\|v(x)\|\|\|Ck αp̄(l) (R+,Hl s) ≤ C r∑ i=1 ‖hi‖ l s+q̄(l). Эти неравенства означают, что решение v(x) в пространстве Ck α∞(R+, S) непрерывно зависит от граничных данных hi(σ), i = 1, . . . , r, принадлежащих пространству S. Пусть ki(x, y) — обратное касательное преобразование Фурье фун- кции qi(x, y), т.е. ядра Пуассона задачи (1.1), (1.2). По построению они являются свертывателями в пространстве S, гладко зависящими от параметра x. Решение u(x) задачи (1.1), (1.2) в случае однородного уравнения можно представить в виде u(x) = r∑ i=1 ki(x, y) ∗ gi. (4.21) Представления (4.20) и (4.21) позволяют уточнять свойства решений в зависимости от конкретных особенностей задачи. Докажем необходимость условий 1)–3) в теореме 4.2. Как и при доказательстве теоремы 4.1 воспользуемся переходом от па- раметрических решений к точечным. Пусть v(x) решение задачи (4.14), (4.15), принадлежащее пространству Ck α∞(R+, S), k ≥ m̄ = max{m, m1, . . . , mr}. Тогда функция v(x, σ) = v(x)(σ) по переменной 118 Корректность общих краевых задач... σ принадлежит пространству S(Rn), а по переменной x пространству Ck α∞(R+) и при каждом σ ∈ R n является решением задачи P ( d dx , σ ) v(x, σ) = 0, x ≥ 0, σ ∈ R n, (4.14′) Bj ( d dx , σ ) v(x, σ) ∣ ∣ ∣ x=0 = hj(σ), j = 1, . . . , r. (4.15′) Из предположения о корректности задачи (4.14), (4.15) в паре про- странств (S, Ck α∞(R+, S)) следует разрешимость задачи (4.14′), (4.15′) при каждом σ ∈ R n в пространстве Ck α∞(R+). Действительно, для любой точки σ0 ∈ R n и вектора (a1, . . . , ar) ∈ R r существуют такие функции h1(σ), . . . , hr(σ) из S(Rn), что h1(σ0) = a1, . . . , hr(σ0) = ar. Тогда решение задачи (4.14), (4.15), соответствующее граничным дан- ным, будет решением задачи (4.14′), (4.15′) из пространства Ck α∞(R+), соответствующее граничным данным a1, . . . , ar в точке σ0. Из корректности задачи (4.14), (4.15) в паре пространств (S, Ck α∞(R+, S)) следует непрерывная зависимость решения v(x, σ0) от граничных данных. Из разрешимости задачи (4.14′), (4.15′) следует, что при каждом σ ∈ R n уравнение (1.5) имеет не менее r α-регулярных корней. Дей- ствительно, пусть ν(σ) — количество α-регулярных корней в точке σ, а z1(x, σ), . . . , zν(σ)(x, σ) — соответствующие им элементы фундамен- тальной системы решений уравнения (4.14′) вида zi(x, σ) = xkiexλi(σ), где ki зависит от кратности корня λi(σ). Тогда для любых hj(σ), j = 1, . . . , r, существуют такие ci(σ), что функция v(x, σ) = ν(σ) ∑ i=1 ci(σ)zi(x, σ) является решением задачи (4.14′), (4.15′). Так как Bj ( d dx , σ ) v(x, σ) ∣ ∣ ∣ x=0 = ν(σ) ∑ i=1 fij(σ)ci(σ), j = 1, . . . , r, то система линейных уравнений ν(σ) ∑ i=1 fij(σ)ci(σ) = hj(σ), j = 1, . . . , r, при каждом σ ∈ R n имеет решение для любых hj(σ), j = 1, . . . , r. Отсюда следует, что количество неизвестных в этой системе не менее r, т.е. ν(σ) ≥ r. А. Л. Павлов 119 Обоснование того, что уравнение (4.14) является α-регулярным порядка r, аналогично приведенному в доказательстве теоремы 4.1. Если mes Gα r+1 6= 0, то существует σ0 ∈ Gα r+1 и ее окрестность Ω0 ⊂ Gα r+1, в которой коэффициенты λ-многочлена P− r+k(λ, σ), k > 0, построенного по α-регулярным корням, бесконечно дифференцируе- мые функции. Тогда граничные операторы Bj( d dx , σ) можно предста- вить в виде Bj ( d dx , σ ) = P− r+k ( d dx , σ ) Rj ( d dx , σ ) + B′′ j ( d dx , σ ) , (4.22) где degλ B′′ j (λ, σ) ≤ r + k − 1 и коэффициенты B′′ ji(σ) операторов B′′ j ( d dx , σ) бесконечно дифференцируемые функции в рассматривае- мой окрестности. Система линейных уравнений B′′ 1r+k−1(σ)vr+k(σ) + · · · + B′′ 10(σ)v1(σ) = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brr+k−1(σ)vr+k(σ) + · · · + Br0(σ)v1(σ) = 0 (4.23) имеет ненулевое решение (v1(σ), . . . , vr+k(σ)), vi(σ) ∈ C∞ 0 (Ω0). Пусть существует точка σ1 ∈ Ω0, в которой rang(B′′ ji(σ1)) = r. Тогда су- ществуют такие r столбцов матрицы (B′′ ji(σ1)) размера r × k, что определитель матрицы, составленной из этих столбцов, отличен от нуля в некоторой окрестности Ω1 ⊂ Ω0 точки σ1. Выбрав функции vi(σ) с номерами, отличными от номеров этих столбцов, произволь- но из пространства C∞ 0 (Ω1), остальные найдем как решение системы r линейных уравнений с r неизвестными, определитель которой бе- сконечно дифференцируемая функция, не имеющая нулей в Ω1. Они будут принадлежать пространству C∞ 0 (Ω1). Построим решение задачи Дирихле для уравнения P− r+k ( d dx , σ ) v(x, σ) = 0 с данными Дирихле v1(σ), . . . , vr+k(σ) как в доказательстве теоре- мы 4.1. Оно принадлежит пространству Ck α∞(R+, S) и является ну- левым решением задачи (4.14), (4.15) в силу (4.22) и (4.23). Это про- тиворечит предположению о корректности этой задачи в рассматри- ваемом пространстве. Если же rang(B′′ ji(σ)) < r для всех σ ∈ Ω0, то это означает, что в матрице есть строка, которая является линейной комбинаци- ей остальных с коэффициентами, гладкими в некотором множестве Ω′ 0 ⊂ Ω0. Если все такие строки отбросить, то найдется точка и ее 120 Корректность общих краевых задач... окрестность, в которой ранг новой системы будет равен количеству строк. А тогда можно повторить предыдущие рассуждения. Таким образом, из предположения о том, что mes Gα r+1 6= 0, следу- ет существование нетривиального решения задачи (4.14), (4.15) с ну- левыми граничными данными. А это противоречит предположению о корректности этой задачи в рассматриваемых пространствах. Следо- вательно, mes Gα r+1 = 0, т.е. уравнение (4.14) является α-регулярным порядка r. Всякое решение v(x) задачи (4.14), (4.15) из пространства Ck α∞(R+, S) является решением задачи P− r ( d dx , σ ) v(x, σ) = 0, σ ∈ R n \ Gα r+1, x ≥ 0, (4.24) Bj ( d dx , σ ) v(x, σ) ∣ ∣ ∣ x=0 = hj(σ), σ ∈ R n, j = 1, . . . , r. (4.25) Это доказывается аналогично тому, как это сделано в доказатель- стве теоремы 4.1 для задачи Дирихле. Если мы покажем, что данные Коши для решений задачи (4.24), (4.25) из пространства Ck α∞(R+, S) совпадают с пространством Sr, то отсюда будет следовать разреши- мость задачи Коши для уравнения (4.24) в пространстве Ck α∞(R+, S) для любых начальных данных из S. Тогда рассуждения, приведенные в доказательстве теоремы 4.1, позволят сделать вывод о выполнении условия 2) в теореме 4.2. Каждому решению v(x, σ) ∈ Ck α∞(R+, S) задачи (4.14), (4.15) по- ставим в соответствие вектор-функцию V0 = (v(0, σ), . . . , dr−1v(0,σ) dxr−1 )T . Для этой вектор-функции справедливо равенство B′(σ)V0(σ) = H(σ), σ ∈ R n \ Gα r+1, (4.26) где H(σ) = (h1(σ), . . . , hr(σ))T . Для любой функции ϕ ∈ C∞ 0 (Rn) су- ществуют решения q ϕ i (x, σ) ∈ Ck α∞(R+, S), i = 1, . . . , r, задачи (4.14), (4.15), а, следовательно, и (4.24), (4.25), соответствующие граничным данным ϕδij ∈ S. Это следует из предположения о корректности исхо- дной задачи в рассматриваемых пространствах. В силу единственно- сти решения этой задачи имеет место следующее представление фун- кции ϕ(σ)v(x, σ) ϕ(σ)v(x, σ) = r∑ i=1 q ϕ i (x, σ)hi(σ), x ≥ 0, σ ∈ R n. Из этого представления следует равенство ϕ(σ)V0(σ) = Qϕ(0, σ)H(σ), σ ∈ R n, (4.27) А. Л. Павлов 121 где матрица Qϕ(x, σ) составлена из производных по x функций q ϕ i (x, σ) до порядка r − 1 Qϕ(x, σ) = ( dj−1 dxj−1 q ϕ i (x, σ) ) , i, j = 1, . . . , r. Умножив равенство (4.26) на ϕ и подставив в него (4.27), получим равенство ϕ(σ)B′(σ)V0(σ) = B′(σ)Qϕ(0, σ)H(σ) = ϕ(σ)H(σ), σ ∈ R n \ Gr+1. В силу произвольности выбора функции ϕ ∈ C∞ 0 (Rn) отсюда следует, что detB′(σ) 6= 0, σ ∈ R n \ Gα r+1, (4.28) т.е. условие Лопатинского выполнено в R n \ Gα r+1. Кроме того, спра- ведливо равенство B′(σ)−1 = Qϕ(0, σ), σ ∈ {σ : ϕ(σ) = 1, σ ∈ R n \ Gα r+1}. Из равенства (4.26) следует равенство V0(σ) = B′(σ)−1H(σ), σ ∈ R n \ Gα r+1. (4.29) Так как для любого H(σ) ∈ Sr по построению V0(σ) ∈ Sr, то из равенства (4.29) следует, что элементы матрицы B′(σ)−1 являются мультипликаторами в S. Действительно, для H1(σ) = (h(σ), 0, . . . , 0)T , где h(σ) ∈ S, вектор-функция V01(σ) = (b̃11(σ)h(σ), . . . , b̃r1(σ)h(σ))T ∈ Sr, где b̃ij(σ) — элементы матри- цы B′(σ)−1. Следовательно, для любой функции h(σ) ∈ S фун- кции b̃i1(σ)h(σ), i = 1, . . . , r, принадлежат пространству S. В си- лу корректности задачи (4.14), (4.15) они непрерывно зависят от h(σ). Поэтому b̃i1(σ) ∈ M(S). Рассматривая функции Hj(σ) = (0, . . . , 0 ︸︷︷︸ j−1 , h, 0, . . . , 0), j = 1, . . . , r, приходим к выводу, что все эле- менты матрицы B′(σ)−1 являются мультипликаторами в S. Из равенства detB′(σ) · detB′(σ)−1 = 1, σ ∈ R n \ Gα r+1 и дифференцируемости функции detB′(σ)−1 в R n, следует, что detB′(σ) имеет естественное продолжение на R n и detB′(σ) 6= 0, σ ∈ R n, 122 Корректность общих краевых задач... т.е. условие Лопатинского 3) теоремы 4.2 выполнено в предпо- ложении корректности задачи (4.14), (4.15) в паре пространств (S, Ck α∞(R+, S)). Пользуясь свойствами элементов матрицы B′(σ)−1 и оценкой \|detB′(σ)\| ≤ c(1 + \|σ\|)µ, σ ∈ R n, которая следует из построения матрицы B′(σ) и неравенств для λ- корней уравнения (1.5) [8] \|λj(σ)\| ≤ C(1 + \|σ\|)q, σ ∈ R n, можно доказать, что элементы матрицы B′(σ) являются мультипли- каторами в S. А тогда для любой вектор-функции V0(σ) ∈ Sr суще- ствует такая вектор-функция H(σ) ∈ Sr, что H(σ) = B′(σ)V0(σ). Данные Дирихле решения v(x, σ) задачи (4.14), (4.15), соответству- ющие выбранным граничным данным h1(σ), . . . , hr(σ), совпадают с V0(σ) в силу единственности решения уравнения (4.26). Таким образом, из корректности задачи (4.14), (4.15) в паре про- странств (S, Ck α∞(R+, S)) следует корректность задачи Дирихле для уравнения (4.14) в этой паре пространств. Из теоремы 4.1 следует, что коэффициенты многочлена P− r (λ, σ) являются мультипликаторами в S, т.е. выполнено условие 2) теоремы 4.2. Доказательство теоремы завершено. Корректность задачи (4.14), (4.15) в пространстве основных фун- кций S влечет ее разрешимость в пространстве медленно растущих обобщенных функций S′, т.е. существование решения этой задачи для любых hk ∈ S′, k = 1, . . . , r, непрерывно зависящего от hk. Теорема 4.3. Если задача (4.14), (4.15) корректна в паре про- странств (S, Ck α∞(R+, S)), k ≥ m̄, то она разрешима в паре про- странств (S′, Ck α∞(R+, S′)). Доказательство. Из условия теоремы следует выполнение условий 1)–3) теоремы 4.2. С их помощью, как показано в доказательстве те- оремы 4.2, можно построить решения qi(x, σ), i = 1, . . . , r, задачи (4.14), (4.15), соответствующие граничным данным hij = δij , i, j = 1, . . . , r, и удовлетворяющие неравенствам (4.19). Тогда решением задачи (4.14), (4.15) будет обобщенная функция v(x) = r∑ i=1 qi(x, σ)hi, hi ∈ S′, x ≥ 0, А. Л. Павлов 123 которая, как следует из леммы 3.3, принадлежит пространству Ck α∞(R+, S′) и непрерывно зависит от граничных данных. Неравенства (4.19) позволяют получить оценки для указанного решения. Для любых hi ∈ S′, i = 1, . . . , r, существуют такие l и s, что hi ∈ H l s. По лемме 3.3 функция v(x) принадлежит пространству Ck αp̄(l)(R+, H l s−q̄(l)), где функции p̄(l) и q̄(l) определяются параметра- ми, входящими в неравенство (4.19), и справедливо неравенство \|\|\|v(x)\|\|\|Ck αp̄(l) (R+,Hl s−q̄(l) ) ≤ C r∑ i=1 ‖hi‖ l s. (4.30) Таким образом, теорему 4.3 можно уточнить. Теорема 4.4. Если задача (4.14), (4.15) корректна в паре про- странств (S, Ck α∞(R+, S)), k ≥ m̄, то она разрешима в шкале про- странств (H l s, C k αp̄(l)(R+, H l s−q̄(l))), где p̄(l), q̄(l) — некоторые фун- кции от l и k, определяемые параметрами, входящими в оценки ка- сательных преобразований Фурье ядер Пуассона задачи (4.14), (4.15), и ее решения удовлетворяют неравенству (4.30). Нулевое решение v(x) задачи (4.14), (4.15) из пространства Ck α∞(R+, S′), т.е. решение удовлетворяющее нулевым граничным дан- ным, сосредоточено при каждом x ≥ 0 на множестве Gα r+1 ∪ N , где N — множество, на котором не выполняется условие Лопатинского. При этом существуют нулевые решения любого порядка сингуляр- ности s > 1 2 codim(Gα r+1 ∪ N) [8]. Поэтому условие Gα r+1 ∪ N = ∅ является необходимым условием корректности задачи (4.14), (4.15) в паре пространств (S′, Ck α∞(R+, S′)). Теорема 4.5. Если задача (4.14), (4.15) корректна в паре про- странств (S′, Ck α∞(R+, S′)), то она корректна и в паре пространств (S, Ck α∞(R+, S)). Доказательство. Действительно, из условия теоремы следует, что Gα r+1 ∪ N = ∅. А отсюда следует выполнение условий теоремы 4.2. Выполнение условия 3) очевидно. Условие 2) следует из разделимости групп корней {λ1(σ), . . . , λr(σ)} и {λr+1(σ), . . . , λm(σ)}. Из условия Gα r+1∪N = ∅ следует, что граничная задача (4.14), (4.15) равносильна задаче Дирихле (4.1), (4.2). Из корректности задачи Дирихле (4.1), (4.2) в паре пространств (S′, Ck α∞(R+, S′)) следует ее “поточечная” разрешимость, т.е. для произвольной точки σ0 и произвольных чисел 124 Корректность общих краевых задач... a1, . . . , ar существует решение v(x, σ0) ∈ Ck α∞(R+) уравнения (4.14), удовлетворяющее условиям Дирихле dj−1v(x, σ0) dxj−1 ∣ ∣ ∣ x=0 = aj , j = 1, . . . , r. (4.31) Для доказательства этого утверждения рассмотрим задачу Дирихле (4.1), (4.2) для hj = ajδ(σ − σ0), где δ(σ − σ0) — дельта-функция, сосредоточенная в точке σ0. По предположению существует решение этой задачи v(x) ∈ Ck α∞(R+, S′). Тогда решением уравнения (4.1) бу- дет и функция (σ − σ0)v(x) ∈ Ck α∞(R+, S′). Но это функция имеет нулевые данные Дирихле, так как (σ − σ0)δ(σ − σ0) = 0. Следова- тельно, (σ−σ0)v(x) ≡ 0, отсюда следует, что v(x) = v(x, σ0)δ(σ−σ0). Так как v(x) ∈ Ck α∞(R+, S′), то v(x, σ0) ∈ Ck α∞(R+). Действитель- но, для любой функции ϕ ∈ S функция (v(x), ϕ) ∈ Ck α∞(R+). Но (v(x), ϕ) = (v(x, σ0)δ(σ − σ0), ϕ) = v(x, σ0)ϕ(σ0). Функция v(x, σ0) является решением уравнения (4.1) при σ = σ0 и удовлетворяет условиям (4.31) ( P ( d dx , σ ) v(x), ϕ ) = ( δ(σ − σ0), P ( d dx , σ ) v(x, σ0)ϕ ) = P ( d dx , σ0 ) v(x, σ0)ϕ(σ0) = 0. Таким образом, для любого σ0 ∈ R n и любых a1, . . . , ar существует решение уравнения (4.1) в пространстве Ck α∞(R+), удовлетворяющее условиям Дирихле (4.31). Из леммы 2.4 следует, что уравнение (1.5) имеет не менее r корней λ(σ), удовлетворяющих условию Re λ(σ) ≤ 0, т.е. Gα r = R n. А так как Gα r+1 = ∅, то уравнение (4.14) является α- регулярным порядка r. В построении решений задачи (4.14), (4.15) важную роль играли касательные преобразования Фурье ядер Пуассона этой задачи. Их свойства определяют свойства решений краевой задачи. Теорема 4.6. Решения qi(x, σ), i = 1, . . . , r, задачи (4.17), (4.18) для регулярного уравнения (4.14) порядка r являются семействами мультипликаторов в S, гладко зависящими от параметра x ≥ 0 и удовлетворяющими неравенствам вида (4.19) тогда и только тогда, когда выполнены условия 1) коэффициенты многочлена P− r (λ, σ) являются мультиплика- торами в S; 2) условие Лопатинского (4.16) выполнено для всех σ ∈ R n. А. Л. Павлов 125 Доказательство. Если условия 1), 2) выполнены, то решения qi(x, σ), i = 1, . . . , r, задачи (4.17), (4.18) обладают указанными в теореме свойствами. Это доказано в теореме 4.2. Пусть теперь известно, что решения qi(x, σ), i = 1, . . . , r, задачи (4.17), (4.18) обладают указанными в теореме 4.6 свойствами. Тогда для любых граничных данных hj ∈ S, j = 1, . . . , r, можно построить решение задачи (4.14), (4.15) v(x) = r∑ j=1 qj(x, σ)hj , которое принадлежит пространству Ck α∞(R+, S) и непрерывно зави- сит в нем от hj . Единственность решения в этом пространстве следу- ет из условия регулярности уравнения. Таким образом, задача (4.14), (4.15) корректна в паре пространств (S, Ck α∞(R+, S)), k ≥ m,. Из это- го следует, как показано в доказательстве теоремы 4.2, справедли- вость условий 1) и 2). 5. Краевые задачи для неоднородных уравнений Рассмотрим задачу (1.1), (1.2) в случае, когда уравнение (1.1) яв- ляется неоднородным. Исследование корректности этой задачи сво- дится к изучению корректности краевой задачи для однородного уравнения, рассмотренной в предыдущем пункте, и построению в указанных там пространствах решения неоднородного уравнения, ка- сательное преобразование Фурье которого имеет вид P ( d dx , σ ) v(x) = g(x), x ≥ 0. (5.1) Учитывая необходимые условия корректности краевой задачи для однородного уравнения в рассматриваемых пространствах, будем предполагать, что уравнение (5.1) является α-регулярным порядка r, и коэффициенты операторов P− r ( d dx , σ) и P+ r ( d dx , σ) являются муль- типликаторами в пространстве S. Рассмотрим систему уравнений P+ r ( d dx , σ ) v(x) = w(x), x ≥ 0, (5.2) P− r ( d dx , σ ) w(x) = g(x), x ≥ 0. (5.3) 126 Корректность общих краевых задач... Функция v(x), удовлетворяющая системе (5.2), (5.3), является ре- шением уравнения (5.1). Следовательно, построение решения этого уравнения сводится к построению решения системы (5.2), (5.3). Лемма 5.1. Для любой функции g(x) ∈ Ck β∞(R+, S) существу- ет решение w(x) уравнения (5.3), принадлежащее пространству Cr+k γ∞ (R+, S), где γ = max{α, β}, и непрерывно зависящее от g(x). Доказательство. Запишем уравнение (5.3) в матричном виде dW (x) dx = P− r (σ)W (x) + G(x), x ≥ 0, (5.3′) где W (x) = (w(x), . . . , dr−1w(x) dxr−1 )T , G(x) = (0, . . . , g(x))T . Его решени- ем является вектор-функция W (x) = x∫ 0 e(x−t)P− r (σ)G(t) dt, x ≥ 0. Из предположений об уравнении (5.1) и леммы 3.4 следует, что матричная функция exP− r (σ) при каждом x ≥ 0 является мульти- пликатором в пространстве S, гладко зависящем от x. По лемме 3.6 вектор-функция W (x) дифференцируема как функция со значени- ями в пространстве Sr и удовлетворяет уравнению (5.3′). Первый элемент вектор-функции W (x) (функция w(x)) является решением уравнения (5.3). По условию функция g(x) принадлежит пространству Ck β∞(R+, S), т.е. для любых l и s существует такое число ρ, что справедливы неравенства (1 + x)−ρe−βx ∥ ∥ ∥ dνg(x) dxν ∥ ∥ ∥ l s < c, x ≥ 0, 0 ≤ ν ≤ k, (5.4) где константа c зависит от l и s. Оценим норму вектор-функции W (x) в пространстве [H l s] r при x ≥ 0, пользуясь оценкой матричной экспоненты (3.14) и леммой 3.3: ‖W (x)‖l s ≤ x∫ 0 ‖e(x−t)P− r (σ)G(t)‖l s dt ≤ C1 x∫ 0 (1 + x − t)p(l)eα(x−t)‖G(t)‖l s+q(l) dt, А. Л. Павлов 127 где C1 > 0, p(l) > 0, q(l) — числа, зависящие от l, матрицы P− r (σ) и не зависящие от вектор-функции G(t). Используя неравенства (5.4) при ν = 0 из полученной оценки имеем при x ≥ 0 неравенство ‖W (x)‖l s ≤ C1e αx x∫ 0 (1 + x − t)p(l)(1 + t)ρe(β−α)t(1 + t)−ρe−βt‖G(t)‖l s+q(l) dt ≤ C2(1 + x)p(l)eαx x∫ 0 (1 + t)p(l)+ρe(β−α)t dt\|\|\|g(x)\|\|\|C0 βρ (R+,Hl s+q(l) ). Интеграл в правой части полученного неравенства можно оценить следующим образом x∫ 0 (1 + t)p(l)+ρe(β−α)t dt ≤ C3 { (1 + x)p(l)+ρ+1e(β−α)x, если β > α, (1 + x)p(l)+ρ+1, если β ≤ α. Окончательная оценка нормы вектор-функции W (x) в пространстве [H l s] r имеет вид ‖W (x)‖l s ≤ C4(1 + x)d(l)emax{α,β}x\|\|\|g(x)\|\|\|C0 βρ (R+,Hl s+q(l) ), (5.5) где d(l) = 2p(l) + ρ + 1. Пользуясь неравенством (5.5), оценим норму функции w(x) в про- странстве Cr−1 γp′ (R+, H l s). При 0 ≤ ν ≤ r − 1 имеем неравенство (1 + x)−p′e−γx ∥ ∥ ∥ dνw(x) dxν ∥ ∥ ∥ l s ≤ (1 + x)−p′e−γx‖W (x)‖l s ≤ C4(1 + x)d(l)−p′e(max{α,β}−γ)x\|\|\|g(x)\|\|\|C0 βρ (R+,Hl s+q(l) ). Функция от x в правой чисти полученного неравенства ограниче- на на R+ при любом p′ тогда и только тогда, когда max{α, β} < γ, т.е. когда и β < γ, и α < γ. Если же max{α, β} = γ, то ограниченность этой функции на R+ можно обеспечить за счет выбора параметра p′. Из полученного неравенства при выполнении указанных условий следует неравенство \|\|\|w(x)\|\|\|Cr−1 γp′ (R+,Hl s) ≤ C0\|\|\|g(x)\|\|\|C0 βρ (R+,Hl s+q(l) ). (5.6) Пользуясь равенством (5.3′) и неравенствами (5.4) и (5.5), получим оценку нормы вектор-функции dW (x) dx в пространстве [H l s] r: 128 Корректность общих краевых задач... ∥ ∥ ∥ dW (x) dx ∥ ∥ ∥ l s ≤ ‖P− r (σ)W (x)‖l s + ‖G(x)‖l s ≤ C ′‖W (x)‖l s+q′ + ‖G(x)‖l s ≤ C ′′(1 + x)d(l)emax{α,β}x\|\|\|g(x)\|\|\|C0 βρ (R+,Hl s+q′+q(l) ) + (1 + x)ρeβx\|\|\|g(x)\|\|\|C0 βρ (R+,Hl s) . Если q′ + q(l) ≤ 0, то вложение H l s ⊂ H l s+q′+q(l) непрерывно, и полу- ченное неравенство можно заменить неравенством ∥ ∥ ∥ dW (x) dx ∥ ∥ ∥ l s ≤ C ′′′(1 + x)d′emax{α,β}x\|\|\|g(x)\|\|\|C0 βρ (R+,Hl s) . (5.5′) При q +q′ > 0 в оценке (5.5′) показатель s нужно заменить на s+q′ + q(l). При условии β ≤ γ и α ≤ γ из неравенства (5.5′) следует неравен- ство \|\|\|w(x)\|\|\|Cr γp′′ (R+,Hl s) ≤ C1\|\|\|g(x)\|\|\|C0 βρ (R+,Hl s+q′′ ), (5.6′) где p′′ и q′′ — некоторые числа, зависящие от l и определяемые из приведенных выше неравенств. Последовательно дифференцируя равенство (5.3′) и пользуясь приведенными оценками, получим неравенства, обобщающие нера- венства (5.5′) и (5.6′) ∥ ∥ ∥ dν+rw(x) dxν+r ∥ ∥ ∥ l s ≤ cν(1 + x)dνemax{α,β}x\|\|\|g(x)\|\|\|Cν βρ (R+,Hl s+qν ), (5.7) \|\|\|w(x)\|\|\|Cν+r γpν (R+,Hl s) ≤ Cν \|\|\|g(x)\|\|\|Cν βρ (R+,Hl s+qν ). (5.8) На основании этих неравенств можно сделать вывод, что для лю- бой функции g(x) ∈ Ck βρ(R+, H l s) существует решение w(x) уравнения (5.3), принадлежащее пространству Cr+k γp̄ (R+, H l s−q̄), где γ ≥ α, γ ≥ β, p̄ и q̄ — некоторые числа, не зависящие от g(x). Из этих утвержде- ний следует справедливость леммы 5.1. Рассмотрим теперь первое уравнение системы (5.2), (5.3). Пусть w(x) — решение уравнения (5.3), принадлежащее пространству Cr+k γ∞ (R+, S) и удовлетворяющее неравенствам (5.7) и (5.8). Перейдем к матричной записи уравнения (5.2) dV (x) dx = P+ r (σ)V (x) + W̃ (x), x ≥ 0, (5.9) где V (x) = (v(x), . . . , dm−r−1v(x) dxm−r−1 )T , W̃ (x) = (0, . . . , 0, 1 Pm(x)w(x))T , ма- трица P+ r (σ) определена в (4.10′). А. Л. Павлов 129 Так как по предположению Pm(σ) 6= 0, σ ∈ R n, то функция 1 Pm(σ) является мультипликатором в S [8]. Следовательно, функция 1 Pm(σ)w(x) принадлежит пространству Cr+k γ∞ (R+, S) и для нее справе- дливы неравенства, аналогичные неравенствам (5.7) и (5.8). Одним из решений уравнения (5.9) будет вектор-функция V (x) = − ∞∫ x e(x−t)P+ r (σ)W̃ (t) dt, x ≥ 0. (5.10) Существование этой вектор-функции и ее дифференцируемость уста- навливается аналогично тому, как это было сделано для вектор- функции W (x). Для подынтегральной матричной экспоненты спра- ведлива оценка ‖e(x−t)P+ r (σ)‖ ≤ C(1 + t − x)τeαr+1(x−t)(1 + \|σ\|)µ, t ≥ x, (5.11) где C, τ, µ — некоторые числа, зависящие от матрицы P+ r (σ), а αr+1 = infσ∈Rn Re λr+1(σ). Неравенство (5.11) получается непосредственным применением использованной ранее оценки матричной экспоненты с учетом того, что при t ≥ x (x−t)P+ r (σ) = (t−x)(−P+ r (σ)), а собствен- ные числа матрицы −P+ r (σ) равны −λr+1(σ), . . . ,−λm(σ) и, следова- тельно, sup σ∈Rn (−Re λr+1(σ)) = − inf σ∈Rn (Re λr+1(σ)) = −αr+1. Как и в случае матричной экспоненты exP− r (σ) имеют место оценки, обобщающие неравенства (5.11) и аналогичные неравенствам (3.14) ‖∂ν xDβ σe(x−t)P+ r (σ)‖ ≤ cβν(1 + t − x)τβνeαr+1(x−t)(1 + \|σ\|)µβν , t ≥ x. (5.11′) Пользуясь леммой 3.3, неравенствами (5.5) и (5.11′), можно оценить норму подынтегрального выражения в (5.10) в пространстве H l s ‖e(x−t)P+ r (σ)W̃ (t)‖l s ≤ C1(1 + t − x)τ(l)eαr+1(x−t)‖W̃ (t)‖l s+q(l) ≤ C2(1 + t − x)τ(l)(1 + t)d(l)eαr+1(x−t)+max{α,β}t × \|\|\|g(x)\|\|\|C0 βρ (R+,Hl s+q̄(l) ). Из полученного неравенства следует, что интеграл в (5.10) существу- ет, если a = max{α, β} − αr+1 < 0. Из этого условия следует, что 130 Корректность общих краевых задач... должно выполняться неравенство α < αr+1. При этом параметр β может принимать любые значения из промежутка (−∞, αr+1). При указанном условии интеграл в (5.10) можно дифференциро- вать по параметру x под знаком интеграла, и вектор-функция V (x), определенная в (5.10), является решением уравнения (5.9) dV (x) dx = − ∞∫ x P+ r (σ)e(x−t)P+ r (σ)W̃ (t) dt + W̃ (x) = P+ r (σ)V (x) + W̃ (x). Оценим норму вектор-функции V (x) в пространстве H l s, пользуясь приведенной оценкой нормы подынтегрального выражения в (5.10) ‖V (x)‖l s ≤ (1 + x)τ(l)eαr+1x ∞∫ x (1 + t)τ(l)+d(l)eat dt\|\|\|g(x)\|\|\|C0 βρ (R+,Hl s+q̄(l) ). Интеграл в правой части полученного неравенства при условии a < 0 можно оценить при b = τ(l) + d(l) > 0, пользуясь неравенством N∫ x (1 + t)beat dt ≤ N∫ x (1 + t)[b]+1eat dt = eat ((1 + t)[b]+1 a − ([b] + 1)(1 + t)[b] a2 + · · · + (−1)[b]+1 ([b] + 1)! a[b]+1 )∣ ∣ ∣ N x . Из него следует неравенство ∞∫ x (1 + t)τ(l)+d(l)eat dt = lim N→∞ N∫ x (1 + t)τ(l)+d(l)eat dt ≤ Ceax(1 + x)τ(l)+d(l)+1. В случае, если τ(l)+d(l) ≤ 0, рассматриваемый интеграл оценивается функцией eax. Из приведенных неравенств следуют оценки нормы функции v(x) и ее производных до порядка ν ≤ m − r − 1 в пространстве H l s ∥ ∥ ∥ dνv(x) dxν ∥ ∥ ∥ ≤ C(1 + x)µ(l)emax{α,β}x\|\|\|g(x)\|\|\|C0 βρ (R+,Hl s+q̄(l) ), (5.12) где µ(l) = 2τ(l)+d(l)+1. Последовательно дифференцируя равенство (5.9), пользуясь приведенной оценкой и оценками (5.5) и (5.7) для А. Л. Павлов 131 производных функции w(x), получим неравенства (5.12) для прои- зводных функции v(x) порядка ν ≤ m. Из этих неравенств следует оценка нормы функции v(x) в пространстве Cm γµ(l)(R+, H l s) при усло- вии γ ≥ α и β ∈ (−∞, γ) \|\|\|v(x)\|\|\|Cm γµ(l) (R+,Hl s) ≤ C1\|\|\|g(x)\|\|\|C0 βρ (R+,Hl s+q̄(l) ). (5.13) Используя оценки (5.8), (5.13), дифференцированием равенства (5.9) может быть получено неравенство \|\|\|v(x)\|\|\|Cm+ν γµ(l) (R+,Hl s) ≤ Cν \|\|\|g(x)\|\|\|Cν βρ (R+,Hl s+q̄(l) ). Таким образом доказана следующая теорема. Теорема 5.1. Если уравнение (5.1) является α-регулярным порядка r и αr+1 = inf Reλr+1 > α, то для любой функции g(x) ∈ Ck β∞(R+, S) существует решение уравнения (5.1), принадлежащее пространс- тву Cm+k γ∞ (R+, S), где γ > max{α, β} и непрерывно зависящее в нем от g(x). Условие αr+1 > α означает, что Gα r+1 = ∅. Отсюда следует, что коэффициенты λ-многочленов P− r (λ, σ) и P+ r (λ, σ) являются муль- типликаторами в S. Корректность задачи (1.1), (1.2) в этом случае обеспечивается выполнением условия Лопатинского. Если же Gα r+1 6= ∅, то αr+1 = α. Анализируя построение реше- ния уравнения (5.3) в теореме 5.1, можно заметить, что в оценках параметр α можно заменить на αr = supσ∈Rn λr(σ). И тогда условие αr+1 > α в теореме 5.1 можно заменить на условие αr < αr+1. Теорема 5.2. Если уравнение (5.1) является α-регулярным поряд- ка r и αr < αr+1, то для любой функции g(x) ∈ Ck β∞(R+, S) су- ществует решение уравнения (5.1), принадлежащее пространству Cm+k γ∞ (R+, S), где γ > max{αr, β} и непрерывно зависящее в нем от g(x). В силу свойства инвариантности множества решений уравнения (5.1) относительно умножения на мультипликатор в пространстве S приведенные теоремы можно обобщить следующим образом. Для произвольного множества Ω рассмотрим числа αr(Ω) = sup σ∈Ω Re λr(σ), αr+1(Ω) = inf σ∈Ω Re λr+1(σ). Предположим, что αr(G α r+1) < αr+1(G α r+1). В силу замкнутости мно- жества Gα r+1 существует такая его окрестность Ω(Gα r+1), в которой это неравенство сохраняется: αr(Ω(Gα r+1)) < αr+1(Ω(Gα r+1)). (5.14) 132 Корректность общих краевых задач... Выберем функцию ϕ ∈ M(S) так, чтобы ϕ(σ) = 1, σ ∈ Gα r+1 и supp ϕ ⊂ Ω(Gα r+1). Тогда функцию g(x) ∈ Ck β∞(R+, S) можно пред- ставить в виде g(x) = ϕ(σ)g(x) + (1 − ϕ(σ))g(x). По построению функции g1(x) = ϕ(σ)g(x) и g2(x) = (1 − ϕ(σ))g(x) принадлежат пространству Ck β∞(R+, S). Для каждого x ≥ 0 в окре- стности носителя функции g1(x) выполнено условие (5.14). Пользу- ясь приведенными выше построениями и способами получения оце- нок можно доказать, что существует решение v1(x) уравнения (5.1), соответствующее g1(x). Так как вне Gα r+1 выполняется неравенство Re λr+1(σ) > α, то infσ∈Rn\Ω(Gα r+1) Re λr+1(σ) > α. Следовательно, для каждого x ≥ 0 в некоторой окрестности носителя функции g2(x) (одинаковой для всех x) αr(R n \ Ω(Gα r+1)) < αr+1(R n \ Ω(Gα r+1)). Точно также можно по- строить решение v2(x) уравнения (5.1), соответствующего функции g2(x). Тогда функция v(x) = v1(x)+v2(x) является решением уравне- ния (5.1), соответствующее функции g(x). Точный смысл приведен- ных рассуждений содержится в следующей теореме. Теорема 5.3. Если уравнение (5.1) является α-регулярным порядка r и αr(G α r+1) < αr+1(G α r+1), то для любой функции g(x) ∈ Ck β∞(R+, S) существует решение уравнения (5.1), принадлежащее пространс- тву Cm+k γ∞ (R+, S), где γ > max{α, β} и непрерывно зависящее в нем от g(x). Условие αr(G α r+1) < αr+1(G α r+1) равносильно условию Λ(σ) ≡ ∏ 1≤k≤r r<j≤m \|Re λk(σ) − Re λj(σ)\|2 6= 0, σ ∈ R n, (5.15) которое использовалось в работе [8] для доказательства корректно- сти задачи (1.1), (1.2) для однородного уравнения в рассматриваемых пространствах. Теорема 5.4. Если уравнение (1.1) является α-регулярным поряд- ка r, выполнено условие (5.15) и условие Лопатинского для всех σ ∈ R n, то задача (1.1), (1.2) корректна в тройке пространств (S, Ck β∞(R+, S), Cm+k γ∞ (R+, S)), где γ > max{α, β}, т.е. для любых граничных данных gi ∈ S, j = 1, . . . , r, и любой правой части f(x) ∈ Ck β∞(R+, S) существует и единственно решение задачи (1.1), (1.2), линейно и непрерывно зависящее от f(x), g1, . . . , gr. А. Л. Павлов 133 Доказательство теоремы состоит в последовательном применении теорем (5.3) и (4.2). Приведенное выше построение решения уравнения (5.1) в классах Ck γ∞(R+, S) сохраняется и для классов функций Ck γ∞(R+, S′), так как используется один и тот же класс мультипликаторов. Литература [1] И. Г. Петровский, Избранные труды. Системы уравнений с частными прои- зводными, М.: Наука, 1986. [2] И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений, М.: Физматгиз, 1958. [3] Л. Р. Волевич, С. Г. Гиндикин, Задача Коши и связанные с ней задачи для уравнений в свертках // Успехи мат. наук, 27 (1972), N 3, 65–143. [4] Г. В. Дикополов, Г. Е. Шилов, О корректных краевых задачах для уравнений в частных производных в полупространстве // Изв. АН СССР, серия матем., 24 (1960), 369–380. [5] Г. В. Дикополов, Г. Е. Шилов, О корректных краевых задачах в полупро- странстве для уравнений в частных производных с правой частью // Сиб. матем. ж., 1 (1960), N 1, 45–61. [6] В. П. Паламодов, О корректных краевых задачах для уравнений в частных производных в полупространстве // Изв. АН СССР, серия матем., 24 (1960), 381–386. [7] Г. В. Дикополов, О краевых задачах для дифференциальных уравнений с по- стоянными коэффициентами в полупространстве // Матем. сб., 59(101) (1962), 215–228. [8] А. Л. Павлов, Об общих краевых задачах для дифференциальных уравне- ний с постоянными коэффициентами в полупространстве // Матем. сб., 103(145) (1977), N 3(7), 367–391. [9] Н. Е. Товмасян, Общие краевые задачи для системы дифференциальных урав- нений с частными производными в полупространтсве в классе обобщенных функций // Диф. уравнения, 20 (1984), N 12. [10] Н. Е. Товмасян, Корректность граничных задач для уравнений в частных производных в полупространстве в классе обобщенных функций // Сиб. ма- тем. ж., 28 (1987), N 12. [11] С. Агмон, А. Дуглис, Л. Ниренберг, Оценки вблизи границы решений элли- птических уравнений в частных производных при общих граничных услови- ях, ч. 1, М.: ИЛ, 1962. [12] Э. Гурса, Курс математического анализа, т. II, М.–Л: Гостехиздат, 1933. [13] А. И. Кострикин, Введение в алгебру, М.: Наука, 1977. [14] Х. Шефер, Топологические векторные пространства, М.: Мир, 1971. [15] Г. Е. Шилов, Математический анализ. Второй специальный курс, М.: Физ- матгиз, 1965. 134 Корректность общих краевых задач... Сведения об авторах Александр Леонидович Павлов Донецкий национальный университет ул. Университетская 24, 83055, Донецк, Украина E-Mail: alex4909@gmail.com

Корректность общих краевых задач в полупространстве для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в классах функций степенного роста и убывания

Institution

Ähnliche Einträge