О полноте систем собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов порядка 2-ε и 1-ε

В пространстве вектор-функций рассматривается краевая задача для дифференциальных операторов дробного порядка (2 − ε) и (1 − ε) и доказывается полнота системы собственных и присоединенных функций этой задачи в пространстве L₁([0, 1], Cp)....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
1. Verfasser:	Агибалова, А.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Schriftenreihe:	Український математичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124383
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О полноте систем собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов порядка 2-ε и 1-ε / А.В. Агибалова // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 139-153. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124383
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1243832017-09-25T03:03:18Z О полноте систем собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов порядка 2-ε и 1-ε Агибалова, А.В. В пространстве вектор-функций рассматривается краевая задача для дифференциальных операторов дробного порядка (2 − ε) и (1 − ε) и доказывается полнота системы собственных и присоединенных функций этой задачи в пространстве L₁([0, 1], Cp). 2010 Article О полноте систем собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов порядка 2-ε и 1-ε / А.В. Агибалова // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 139-153. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 34L10. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124383 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В пространстве вектор-функций рассматривается краевая задача для дифференциальных операторов дробного порядка (2 − ε) и (1 − ε) и доказывается полнота системы собственных и присоединенных функций этой задачи в пространстве L₁([0, 1], Cp).
format	Article
author	Агибалова, А.В.
spellingShingle	Агибалова, А.В. О полноте систем собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов порядка 2-ε и 1-ε Український математичний вісник
author_facet	Агибалова, А.В.
author_sort	Агибалова, А.В.
title	О полноте систем собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов порядка 2-ε и 1-ε
title_short	О полноте систем собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов порядка 2-ε и 1-ε
title_full	О полноте систем собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов порядка 2-ε и 1-ε
title_fullStr	О полноте систем собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов порядка 2-ε и 1-ε
title_full_unstemmed	О полноте систем собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов порядка 2-ε и 1-ε
title_sort	о полноте систем собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов порядка 2-ε и 1-ε
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124383
citation_txt	О полноте систем собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов порядка 2-ε и 1-ε / А.В. Агибалова // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 139-153. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT agibalovaav opolnotesistemsobstvennyhiprisoedinënnyhfunkcijdifferencialʹnyhoperatorovporâdka2ei1e
first_indexed	2025-07-09T01:21:00Z
last_indexed	2025-07-09T01:21:00Z
_version_	1837130383889530880
fulltext	Український математичний вiсник Том 7 (2010), № 2, 139 – 153 О полноте систем собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов порядка 2 − ε и 1 − ε Анна В. Агибалова (Представлена М. М. Маламудом) Аннотация. В пространстве вектор-функций рассматривается краевая задача для дифференциальных операторов дробного поряд- ка (2 − ε) и (1 − ε) и доказывается полнота системы собственных и присоединенных функций этой задачи в пространстве L1([0, 1], C p). 2010 MSC. 34L10. Ключевые слова и фразы. Дифференциальный оператор дроб- ного порядка, краевая задача, собственные и присоединенные фун- кции, полнота. 1. Введение Хорошо известно (см. [9]), что система собственных и присоеди- нённых функций (ССПФ) оператора Штурма–Лиувилля −y′′ + q(x)y = λ2y c разделёнными граничными условиями y′(0) − h0y(0) = y′(1) − h1y(1) = 0 полна в L2[0, 1] при любом комплекснозначном потенциале q ∈ L1[0, 1] и любых h0, h1 ∈ C. Подобный результат имеет место также для прои- звольных невырожденных граничных условий (см. [9]). Для обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного целого порядка n > 2 полнота ССПФ задачи с нерегулярными распа- дающимися граничными условиями впервые анонсирована М. В. Кел- дышем в [6], а доказана в работе А. А. Шкаликова (см. [11]). В ра- боте [8] М. М. Маламуда и Л. Л. Оридороги этот результат был ра- спространен на случай уравнений нецелого порядка n − ε, ε ∈ (0, 1), Статья поступила в редакцию 12.02.2010 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 140 О полноте систем... n > 3, вида y(n−ε) + n ∑ k=2 pn−k(x)y(n−k−ε) = λy. Здесь y(k−ε) := Dk−ε x y := dk dxk Jεy, k ∈ N, а Jε — оператор дробного интегрирования: Jεy(x) = 1 Γ(ε) x ∫ 0 (x − t)ε−1y(t) dt. Полнота ССПФ дифференциального оператора порядка (2 − ε) с разделяющимися граничными условиями доказана в [2]. Теорема о полноте ССПФ граничной задачи для оператора порядка (2 − ε) с граничными условиями более общего (но не произвольного) вида получена в [1]. В данной работе результат работы [1] распространяется на случай дифференциальных операторов порядков (2 − ε) и (1 − ε) с матри- чными коэффициентами. Отметим в этой связи недавние работы [3,4] Т. С. Алероева. Имен- но, им рассмотрены несколько иные дифференциальные операторы дробного порядка не выше второго. Так, пусть задана последователь- ность {γ0, γ1, γ2}, 0 < γj 6 1, и σk := ∑k j=0 γj − 1, k = 0, 1, 2. Предпо- ложим, что 1 ρ = ∑2 j=0 γj − 1 = σ2 > 0, и введем дифференциальные операторы D(σ0)f(x) ≡ d−(1−γ0) dx−(1−γ0) f(x), D(σ1)f(x) ≡ d−(1−γ1) dx−(1−γ1) f(x), D(σ2)f(x) ≡ d−(1−γ2) dx−(1−γ2) dγ1 dxγ1 dγ0 dxγ0 f(x), d−α dx−α f(x) ≡ 1 Γ(α) x ∫ 0 (x − t)α−1f(t) dt. Следуя [3], рассмотрим краевую задачу D(σ2)y − (λ + q(x))y = 0, x ∈ (0, 1], D(σ0)y \|x=0= 0, D(σ0)y \|x=1= 0. (1.1) В [3] доказана следующая Теорема 1.1. Пусть γ0 = γ2 = 1, q(x) ≡ 0. Тогда ССПФ задачи (1.1) полна в L2(0, 1). Близкий результат (для полуограниченного потенциала q(x)) по- лучен в работе [4]. А. В. Агибалова 141 2. Полнота ССПФ в случае дифференциального оператора порядка (2 − ε) В пространстве вектор-функций L1([0, 1], Cp) рассмотрим грани- чную задачу, порожденную дифференциальным уравнением порядка (2 − ε), где ε ∈ (0, 1), y(2−ε) + Q(x)y(−ε) = λy, y = col(y1, . . . , yp), (2.1) и граничными условиями U1(y) := Ipy (1−ε)(0, λ) + A11y (−ε)(0, λ) = −→ 0 , (2.2) U2(y) := A21y (−ε)(0, λ) + A22y (1−ε)(0, λ) + A23y (−ε)(1, λ) + Ipy (1−ε)(1, λ) = −→ 0 . (2.3) Здесь Ip — единичная матрица порядка p, A11, A21 A22, A23 — прои- звольные числовые (p × p)-матрицы, −→ 0 — нулевой вектор-столбец высоты p, Q(x) — аналитическая (p × p)-матрица-функция. Обозначим через σ(L) спектр задачи (2.1)–(2.3). Рассмотрим вна- чале простейшее уравнение c Q(x) = 0p (0p обозначает нулевую (p × p)-матрицу) y(2−ε) = λy, y = col(y1, . . . , yp), (2.4) и аналогичное ему матричное уравнение Y (2−ε) = λY (2.5) (Y = Y (λ, x) — (p × p)-матрица-функция). Уравнение (2.5) имеет фундаментальную систему решений C(x, λ) = x−εE 1 2−ε (λx2−ε, 1 − ε)Ip, (2.6) S(x, λ) = x1−εE 1 2−ε (λx2−ε, 2 − ε)Ip, (2.7) удовлетворяющую начальным условиям C(−ε)(0, λ) = S(1−ε)(0, λ) = Ip, C(1−ε)(0, λ) = S(−ε)(0, λ) = 0p. Здесь Eρ(z; µ) = ∞ ∑ k=0 zk Γ(µ + kρ−1) , 142 О полноте систем... где ρ > 0, µ — произвольный комплексный параметр, функция типа Миттаг-Леффлера. Известно (см. [5]), что Eρ(z; µ) — целая функция порядка роста ρ и типа 1. Так как общее решение уравнения (2.4) имеет вид y(x, λ) = C(x, λ)c1 + S(x, λ)c2, c1, c2 ∈ C p, то все рассуждения достаточно проводить для соответствующей ма- тричной граничной задачи: Y (2−ε) + Q(x)Y (−ε) = λY, (2.8) U1(Y ) := IpY (1−ε)(0, λ) + A11Y (−ε)(0, λ) = 0p, (2.9) U2(Y ) := A21Y (−ε)(0, λ) + A22Y (1−ε)(0, λ) + A23Y (−ε)(1, λ) + IpY (1−ε)(1, λ) = 0p. (2.10) где матрицы A11, A21, A22, A23 те же, что и в граничных условиях (2.2) и (2.3). С помощью асимптотических оценок для функций типа Миттаг- Леффлера (см. [5, гл.III §2]) получаем асимптотическое поведение матриц-функций C(x, λ) и S(x, λ) в секторе S = {λ : \| arg λ\| 6 α}, где α — любое вещественное число, удовлетворяющее условию π(2−ε) 2 < α < π: C(x, λ) = ( 1 2 − ε λ ε 2−ε exλ 1 2−ε + O ( xε−4 \|λ\|2 )) Ip, (2.11) S(x, λ) = ( 1 2 − ε λ ε−1 2−ε exλ 1 2−ε + O ( xε−3 \|λ\|2 )) Ip. (2.12) Оценки (2.11) и (2.12), а также доказанное в [7] существование треугольного оператора преобразования для уравнений порядка n − ε (n > 1) с аналитическими коэффициентами, существенно использу- ются при доказательстве теоремы о полноте ССПФ задачи (2.1)–(2.3). Теорема 2.1. ССПФ граничной задачи (2.1)–(2.3) полна в прост- ранстве L1([0, 1], Cp). Доказательство. Доказательство теоремы разобьем на несколько шагов. (i) Вначале найдем асимптотику характеристического определи- теля χ(λ) задачи (2.1)–(2.3). Пусть Ω(x, λ) — решение следующей за- дачи Коши для уравнения (2.8) { Ω(−ε)(0, λ) = −Ip, Ω(1−ε)(0, λ) = A11. (2.13) А. В. Агибалова 143 Так как Ω(x, λ) при всех λ удовлетворяет граничному условию (2.9), то λ0 будет собственным значением задачи (2.8)–(2.10) тогда и только тогда, когда λ0 — корень характеристического определителя χ(λ) := ∣ ∣ ∣ ∣ U1(C(x, λ)) U1(S(x, λ)) U2(C(x, λ)) U2(S(x, λ)) ∣ ∣ ∣ ∣ . (2.14) Элементы матриц A11, A21, A22, A23 будем обозначать через alm kj , где k, j ∈ {1, . . . p}, lm ∈ {11, 21, 22, 23}, и для удобства записи, следуя [10, гл. III §1], введем обозначение [A] := A(1 + O(λ− 1 2−ε )). Запишем асимптотические оценки для дробных производных (см. [5, гл. III §1]) матриц-функций C(x, λ) и S(x, λ) в точке x = 1, λ ∈ S: C(−ε)(1, λ) = ( 1 2 − ε eλ 1 2−ε − 1 Γ(ε − 1) 1 λ + O ( 1 \|λ\|2 )) Ip, C(1−ε)(1, λ) = ( 1 2 − ε λ 1 2−ε eλ 1 2−ε − 1 Γ(ε − 2) 1 λ + O ( 1 \|λ\|2 )) Ip, S(−ε)(1, λ) = ( 1 2 − ε λ − 1 2−ε eλ 1 2−ε − 1 Γ(ε) 1 λ + O ( 1 \|λ\|2 )) Ip, S(1−ε)(1, λ) = ( 1 2 − ε eλ 1 2−ε − 1 Γ(ε − 1) 1 λ + O ( 1 \|λ\|2 )) Ip. Тогда с учетом этих оценок характеристический определитель (2.14) можно записать в виде χ(λ) = ∣ ∣ ∣ ∣ A11 Ip C(1−ε)(1,λ)+A23C(−ε)(1,λ)+A21 S(1−ε)(1,λ)+A23S(−ε)(1,λ)+A22 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 (2 − ε)p ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a11 11 . . . a11 1p 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a11 p1 . . . a11 pp 0 . . . 1 [ λ 1 2−ε eλ 1 2−ε ] . . . [0] [ eλ 1 2−ε ] . . . [0] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [0] . . . [ λ 1 2−ε eλ 1 2−ε ] [0] . . . [ eλ 1 2−ε ] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ . Вынося из первых p столбцов множитель λ 1 2−ε , а из последних p строк eλ 1 2−ε , приходим к определителю 144 О полноте систем... χ(λ) = 1 (2 − ε)p λ p 2−ε epλ 1 2−ε ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a11 11λ − 1 2−ε . . . a11 1pλ − 1 2−ε 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a11 p1λ − 1 2−ε . . . a11 ppλ − 1 2−ε 0 . . . 1 [1] . . . [0] [1] . . . [0] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [0] . . . [1] [0] . . . [1] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 (2 − ε)p λ p 2−ε epλ 1 2−ε [1] (1 + O(λ− 1 2−ε )) = [ 1 (2 − ε)p λ p 2−ε epλ 1 2−ε ] , λ ∈ S. (2.15) Из равенства (2.15) следует, что χ(λ) ∼ 1 (2 − ε)p λ p 2−ε epλ 1 2−ε , \|λ\| → +∞, λ ∈ S. (2.16) (ii) На этом шаге получим асимптотические формулы для соб- ственных функций задачи (2.1)–(2.3). Пусть Ω0(x, λ) = −C(x, λ) + A11S(x, λ) (2.17) решение задачи Коши для уравнения (2.5) с теми же начальными условиями (2.13): { Ω (−ε) 0 (0, λ) = −Ip, Ω (1−ε) 0 (0, λ) = A11. Известно (см. [7]), что решение Ω(x, λ) выражается через решение Ω0(x, λ) при помощи треугольного оператора преобразования Ω(x; λ) = (I + K)Ω0(x; λ) = Ω0(x; λ) + x ∫ 0 K(x, t)Ω0(t; λ) dt, (2.18) в котором K — вольтерров интегральный оператор, K(x, t) ∈ C(Ω, C 2×2), Ω = {0 6 t 6 x 6 1}. Из (2.18) получим оценку для Ω(x, λ), аналогичную оценке для Ω0(x, λ). Согласно (2.11) и (2.12) элементы главной диагонали матрицы Ω0(x, λ) имеют вид − 1 2 − ε λ ε 2−ε exλ 1 2−ε ( 1 − a11 jj λ − 1 2−ε + ( O ( xε−4 \|λ\|2 ) + O ( xε−3 \|λ\|2 )) λ − ε 2−ε e−xλ 1 2−ε ) = = − 1 2 − ε λ ε 2−ε exλ 1 2−ε (1 + o(1)) А. В. Агибалова 145 = − 1 2 − ε λ ε 2−ε exλ 1 2−ε + o ( λ ε 2−ε exλ 1 2−ε ) , j ∈ {1, . . . , p}, а остальные элементы — вид λ ε 2−ε exλ 1 2−ε ( a11 kj 2 − ε λ − 1 2−ε + O ( xε−4 \|λ\|2 ) λ − ε 2−ε e−xλ 1 2−ε ) = o ( λ ε 2−ε exλ 1 2−ε ) , k, j ∈ {1, . . . , p}, k 6= j. Обозначим через klj(x, t) элементы матрицы Klj(x, t), l, j∈{1, . . . , p}. Заметим, что эти функции ограничены в Ω. Тогда в равенстве (2.18) под интегралом стоит матрица   − 1 2−ε ζ(t)k11(x, t) + o(ζ(t)) . . . − 1 2−ε ζ(t)k1p(x, t) + o(ζ(t)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − 1 2−ε ζ(t)kp1(x, t) + o(ζ(t)) . . . − 1 2−ε ζ(t)kpp(x, t) + o(ζ(t))   , где ζ(t) := λ ε 2−ε etλ 1 2−ε . При интегрировании по t в каждом элемен- те этой матрицы возникнет множитель λ − 1 2−ε , поэтому все элементы проинтегрированной матрицы будут функциями o(λ ε 2−ε exλ 1 2−ε ). Та- ким образом, асимптотически Ω(x, λ) = Ω0(x, λ) при \|λ\| → +∞. От матричных решений Ω(x, λ) и Ω0(x, λ) перейдем к векторным ω(x, λ) и ω0(x, λ), применив соответственно Ω(x, λ) и Ω0(x, λ) к прои- звольному постоянному вектору c = col(c1, . . . , cp) ∈ C p. Тогда с уче- том (2.18), (2.17), (2.11) и (2.12) при λ ∈ S ω(x, λ) = Ω(x, λ)c =:    ω1(x, λ) ... ωp(x, λ)    =        − c1 2−ε λ ε 2−ε exλ 1 2−ε + o ( λ ε 2−ε exλ 1 2−ε ) ... − cp 2−ε λ ε 2−ε exλ 1 2−ε + o ( λ ε 2−ε exλ 1 2−ε )        , \|λ\| → +∞. (2.19) (iii) На этом шаге докажем полноту ССПФ задачи (2.1)–(2.3). Допустим, что ССПФ задачи (2.1)–(2.3) не полна в пространстве L1([0, 1], Cp). Тогда найдется вектор-функция f(x) = col(f1(x), . . . , fp(x)) (6= −→ 0 ), fj(x) ∈ L∞(0, 1), j ∈ {1, . . . , p}, для которой 146 О полноте систем... 〈Dj λω(x, λn), f(x)〉 = 0, D j λω(x, λn) = [ ∂j ∂λj ω(x, λ) ]∣ ∣ ∣ λ=λn , j ∈ {0, 1, . . . , pn − 1}, где λn ∈ σ(L), pn — кратность корня λn как нуля характеристической функции χ(λ) вида (2.15). Введём функцию F̃ (λ) = 1 ∫ 0 〈ω(x, λ), f(x)〉 dx. Очевидно, что F̃ (λ) — целая функция. Кроме того, каждое соб- ственное значение λ0 задачи (2.1)–(2.3) кратности p является нулём функции F̃ (λ) порядка не ниже p. Следовательно, функция F (λ) := F̃ (λ) χ(λ) является целой. Так как в числителе и знаменателе стоят целые фун- кции порядка 1 2−ε , то F (λ) будет целой функцией порядка не выше 1 2−ε < 1. Чтобы доказать, что F (λ) ≡ 0, оценим её рост на мнимой оси, лежащей в секторе S. Для этого оценим отдельно рост функций F̃ (λ) и χ(λ). Имеем ∣ ∣F̃ (λ) ∣ ∣6 1 ∫ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ p ∑ k=1 ωk(x, λ)fk(x) ∣ ∣ ∣ ∣ dx 6 ‖f‖L∞([0,1],Cp) 1 ∫ 0 p ∑ k=1 ∣ ∣ωk(x, λ) ∣ ∣ dx = [см. (2.19)] = ‖f‖L∞([0,1],Cp) p ∑ k=1 1 ∫ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ − ck 2 − ε λ ε 2−ε exλ 1 2−ε + o ( λ ε 2−ε exλ 1 2−ε ) ∣ ∣ ∣ ∣ dx 6 ‖f‖L∞([0,1],Cp) p ∑ k=1 1 ∫ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ − ck 2 − ε + βk ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣λ ε 2−ε exλ 1 2−ε ∣ ∣ dx 6 β\|λ\| ε 2−ε 1 ∫ 0 ex Re λ 1 2−ε dx = [λ = it, t ∈ R] = β\|t\| ε 2−ε 1 ∫ 0 e x cos π 4−2ε \|t\| 1 2−ε dx = β cos π 4−2ε \|t\| ε−1 2−ε ( e \|t\| 1 2−ε cos π 4−2ε − 1 ) , (2.20) А. В. Агибалова 147 где βk — некоторые постоянные, k ∈ {1, . . . , p}, β = p‖f‖L∞([0,1],Cp) × supk \| − ck 2−ε + βk\|. Из (2.16) следует, что \|χ(it)\| ∼ 1 (2 − ε)p \|t\| p 2−ε ept 1 2−ε , t → ∞. (2.21) Комбинируя (2.20) и (2.21), получаем ∣ ∣F (it) ∣ ∣6 β(2 − ε)p\|t\| ε−1 2−ε ( e \|t\| 1 2−ε cos π 4−2ε − 1 ) cos π 4−2ε \|t\| p 2−ε ept 1 2−ε = γ \|t\| p+1−ε 2−ε e(p−cos π 4−2ε)\|t\| 1 2−ε − γ \|t\| p+1−ε 2−ε ep\|t\| 1 2−ε → 0, \|t\| → +∞, (2.22) (здесь γ = β(2−ε)p cos π 4−2ε ). Мнимая ось образует два угла раствора π. Функция F (λ) голо- морфна внутри каждого из них, ограничена на сторонах этих углов (согласно (2.22)) и, как отмечалось выше, порядок роста F (λ) внутри углов меньше 1. Применяя теорему Фрагмена-Линделёфа к левой и правой полуплоскости, получаем, что F (λ) ограничена во всей ком- плексной плоскости. Далее, из теоремы Лиувилля и (2.22) следует, что F (λ) ≡ 0. Следовательно, F̃ (λ) ≡ 0. Но это означает, что f(x) “ортогональна” ω(x, λ) при всех λ, т.е. 0 = 〈ω(x, λ), f(x)〉 = 1 ∫ 0 ω(x, λ)f(x) dx = 1 ∫ 0 ((I + K)ω0(x, λ)) f(x) dx = 1 ∫ 0 ( ω0(x, λ) + x ∫ 0 K(x, t)ω0(t, λ) dt ) f(x) dx = 1 ∫ 0 ω0(x, λ)f(x) dx + 1 ∫ 0 f(x) dx x ∫ 0 K(x, t)ω0(t, λ) dt = 1 ∫ 0 ω0(x, λ) ( f(x) + 1 ∫ x K(t, x)f(t) dt ) dx 148 О полноте систем... = 1 ∫ 0 ω0(x, λ)((I + K∗)f(x)) dx. (2.23) Так как система {ω0(x, λ)}λ∈C полна в L1[0, 1] (см. [5]), то из (2.23) следует равенство (I + K∗)f(x) = 0. Так как оператор K — вольтер- ров, то K∗ — тоже вольтерров и I + K∗ обратим. Следовательно, f(x) = 0 для п.в. x ∈ [0, 1]. Полученное противоречие доказывает полноту ССПФ задачи (2.1)–(2.3). 3. Полнота ССПФ в случае дифференциального оператора порядка (1 − ε) Рассмотрим теперь в L1([0, 1], Cp) дифференциальное уравнение порядка (1 − ε), ε ∈ (0, 1), y(1−ε) + Q(x)y(−ε) = λy, y = col(y1, . . . , yp), (3.1) где Q(x) — аналитическая (p × p)-матрица-функция, и граничное условие вида Ipy (−ε)(0, λ) + Ay(−ε)(1, λ) = −→ 0 , (3.2) где A = {akj} p k,j=1 (∈ C p×p), detA 6= 0. Теорема 3.1. ССПФ граничной задачи (3.1)–(3.2) полна в прост- ранстве L1([0, 1], Cp). Доказательство. (i) Найдем асимптотику характеристического оп- ределителя χ(λ) задачи (3.1)–(3.2). Обозначив через σ(L) спектр за- дачи (3.1)–(3.2), рассмотрим простейшее уравнение y(1−ε) = λy, y = col(y1, . . . , yp), (3.3) и соответствующее ему матричное уравнение Y (1−ε) 0 = λY0, (3.4) (Y0 = Y0(λ, x) — (p × p)-матрица-функция). Уравнение (3.4) имеет решение Y0(x, λ) = x−εE 1 1−ε (λx1−ε, 1 − ε)Ip, удовлетворяющее условию Y (−ε) 0 (0, λ) = Ip. (3.5) А. В. Агибалова 149 Все рассуждения достаточно привести для соответствующей матрич- ной граничной задачи: Y (1−ε) + Q(x)Y (−ε) = λY, (3.6) Y (−ε)(0, λ) + AY (−ε)(1, λ) = 0p. (3.7) Рассмотрим секторы S̃1 := {λ : \| arg λ\| 6 π(1−ε) 2 } и S1 := {λ : \| arg λ\| 6 π(1−ε) 2 −δ}, где δ — некоторое достаточно малое положительное число. С помощью асимптотических оценок (см. [5, гл. III §2]) получаем, что в секторе S1 справедливы равенства Y0(x, λ) = ( 1 1 − ε λ ε 1−ε exλ 1 1−ε + O ( xε−2 \|λ\|2 )) Ip, Y (−ε) 0 (1, λ) = ( 1 1 − ε eλ 1 1−ε − 1 Γ(ε) 1 λ + O ( 1 \|λ\|2 )) Ip = ( 1 1 − ε eλ 1 1−ε + O ( eλ 1 1−ε )) Ip = ( 1 1 − ε eλ 1 1−ε ( 1 + O(1) ) ) Ip. (3.8) Тогда характеристический определитель χ(λ) примет вид χ(λ) := det(Ip + AY (−ε) 0 (1, λ)) = epλ 1 1−ε (1 − ε)p × ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a11(1+o(1))+e−λ 1 1−ε a12(1+o(1)) . . . a1p(1+o(1)) a21(1+o(1)) a22(1+o(1))+e−λ 1 1−ε . . . a2p(1+o(1)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ap1(1+o(1)) ap2(1+o(1)) . . . app(1+o(1))+e−λ 1 1−ε ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = det A + o(1) (1 − ε)p epλ 1 1−ε , λ ∈ S1. (3.9) (ii) Получим асимптотические формулы для собственных фун- кций задачи (3.1)–(3.2). Рассуждая как и в случае уравнения по- рядка (2 − ε), получим, что для решения Y (x, λ) уравнения (3.6) с начальным условием (3.5) справедливо асимптотическое равенство Y (x, λ) ∼ Y0(x, λ), \|λ\| → +∞. От матричного решения Y (x, λ) пере- йдем к векторному y(x, λ), λ ∈ S1, y(x, λ) = Y (x, λ)c =:    ω1(x, λ) ... ωp(x, λ)    =      − c1 1−ε λ ε 1−ε exλ 1 1−ε (1 + o(1)) ... − cp 1−ε λ ε 1−ε exλ 1 1−ε (1 + o(1))      , 150 О полноте систем... \|λ\| → +∞, c = col(c1, . . . , cp) ∈ C p. (iii) Докажем полноту ССПФ задачи (3.1)–(3.2). Аналогично шагу (iii) теоремы (2.1), допустим, что ССПФ задачи (3.1)–(3.2) не явля- ется полной в L1([0, 1], Cp). Тогда найдется вектор-функция f(x) := col(f1(x), . . . , fp(x)) (6= −→ 0 ), fj(x) ∈ L∞(0, 1), j ∈ {1, . . . , p}, для кото- рой 〈Dj λy(x, λn), f(x)〉 = 0, D j λy(x, λn) = [ ∂j ∂λj y(x, λ) ]∣ ∣ ∣ λ=λn , j ∈ {0, 1, . . . , pn − 1}, где λn ∈ σ(L), pn — кратность корня λn как нуля характеристической функции χ(λ) вида (2.15). Введём функцию F̃ (λ) := 1 ∫ 0 〈y(x, λ), f(x)〉 dx. Тогда функция F (λ) := F̃ (λ) χ(λ) является целой функцией порядка не выше 1 1−ε , который, в отличие от предыдущего случая, может быть сколь угодно большим. Оценим \|F (λ)\| на произвольном фиксированном луче, не совпадающим с гра- ницей секторов S̃1 и S2, ∣ ∣F̃ (λ) ∣ ∣6 ‖f‖L∞([0,1],Cp) p ∑ k=1 1 ∫ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ − ck 1 − ε λ ε 1−ε exλ 1 1−ε + o ( λ ε 1−ε exλ 1 1−ε ) ∣ ∣ ∣ ∣ dx 6 δ\|λ\| ε 1−ε 1 ∫ 0 ex Re(λ 1 1−ε ) dx = δ\|λ\| ε 1−ε Re(λ ε 1−ε ) ( eRe(λ ε 1−ε ) − 1 ) , где δ — некоторая постоянная. Тогда с учетом (3.9) \|F (λ)\| 6 δ\|λ\| ε 1−ε ( eRe(λ 1 1−ε ) − 1 ) (1 − ε)p Re(λ 1 1−ε ) ∣ ∣det A + o(1) ∣ ∣ep Re(λ 1 1−ε ) = η\|λ\| ε 1−ε ( 1 − e−Re(λ 1 1−ε ) ) Re(λ 1 1−ε ) e(1−p) Re(λ 1 1−ε ), λ ∈ S1, \|λ\| > R0, (3.10) А. В. Агибалова 151 где η = δ(1−ε)p \|det A+o(1)\| . Поскольку Re ( λ 1 1−ε ) > 0, λ ∈ S1, то очевидно, что при p > 1 lim \|λ\|→+∞ \|F (λ)\| = 0. В случае p = 1 \|F (λ)\| 6 η\|λ\| ε 1−ε ( 1 − e−Re(λ 1 1−ε ) ) Re(λ 1 1−ε ) . (3.11) Заметим, что Re(λ 1 1−ε ) = cos α′\|λ\| ε 1−ε , где α′ = arg(λ 1 1−ε ), причем в силу выбора сектора S1 cos α′ 6= 0. Значит, неравенство (3.11) можно переписать в виде \|F (λ)\| 6 η cos α′ ( 1 − e−Re(λ 1 1−ε ) ) 1 \|λ\| → 0, λ ∈ S1, \|λ\| → +∞, т.е. lim \|λ\|→+∞ \|F (λ)\| = 0, λ ∈ S1. (3.12) Рассмотрим теперь сектор S2 = {λ : α 6 \| arg λ\| 6 π}. Аналоги- чно предыдущим рассуждениям для S1, в секторе S2 для элементов (Y0(x, λ))kj матрицы Y0(x, λ) справедлива (см. [5, гл. III §2]) оценка \| (Y0(x, λ))kj \| = x−ε ∣ ∣E 1 1−ε (λx1−ε, 1 − ε) ∣ ∣δjk 6 Mx−ε 1 + \|λ\|x1−ε δjk, k, j ∈ {1, . . . , p}. (3.13) где M — постоянная, не зависящая от x и λ. Получим теперь выра- жение для χ(λ). Согласно асимптотическим оценкам [5, гл. III §2], при λ ∈ S2 Y (−ε) 0 (x, λ) = E 1 1−ε (λx1−ε, 1)Ip, Y (−ε) 0 (1, λ) = ( − 1 Γ(ε) 1 λ + O ( 1 \|λ\|2 )) Ip, \|λ\| → +∞. Тогда χ(λ) = det(Ip+AY (−ε) 0 (1, λ)) = 1+O( 1 λ ), \|λ\| → +∞. Аналогично рассуждениям выше, справедливо асимптотическое равенство Y (x, λ) = Y0(x, λ), \|λ\| → +∞, и векторное решение имеет вид y(x, λ) = x−εE 1 1−ε (λx1−ε, 1 − ε)(c1, . . . , cp), cj ∈ C, j ∈ {1, . . . , p}. 152 О полноте систем... Из последнего равенства и оценки (3.13) заключаем, что ∣ ∣F̃ (λ) ∣ ∣6 ‖f‖L∞([0,1],Cp) 1 ∫ 0 p ∑ k=1 ∣ ∣ ∣ − ckx −εE 1 1−ε (λx1−ε, 1 − ε) ∣ ∣ dx 6 M1 1 ∫ 0 x−ε dx 1 + \|λ\|x1−ε = M ln(1 + \|λ\|) \|λ\| → 0, \|λ\| → +∞, где M1 = M‖f‖L∞([0,1],Cp) p ∑ k=1 \|ck\|. Следовательно, lim \|λ\|→+∞ \|F (λ)\| = 0, λ ∈ S2. (3.14) Лучами, лежащими в S1 и S2, разобьем комплексную плоскость на сектора раствора 2δ < π(1 − ε) и рассмотрим произвольно один из полученных секторов. На его границе функция F (λ) ограничена в силу (3.12) и (3.14), а ее порядок роста внутри сектора не выше 1 1−ε . Применяя теорему Фрагмена-Линделефа, заключаем, что F (λ) ограничена в рассматриваемом секторе. Проведя такие же рассужде- ния в остальных секторах, приходим к выводу, что F (λ) ограничена во всей комплексной плоскости. Тогда в силу теоремы Лиувилля и равенств (3.12) и (3.14) F̃ (λ) ≡ 0. Далее, как и в случае уравнения порядка 2 − ε, получаем, что если вектор-функция “ортогональна” всем собственным и присоединенным функциям, то она тождествен- но равна нулю. Значит, ССПФ граничной задачи (3.1)–(3.2) полна в пространстве L1([0, 1], Cp). Благодарности. Автор выражает благодарность М. М. Мала- муду и Л. Л. Оридороге за постановку задачи и ценные замечания в процессе ее выполнения. Литература [1] А. В. Агибалова, О полноте систем корневых функций некоторых грани- чных задач для уравнения порядка 2−ε // Український математичний вiсник, 4 (2007), N 2, 157–162. [2] А. В. Агибалова, Л. Л. Оридорога, О полноте систем собственных и присо- единённых функций дифференциальных операторов порядка 2−ε // Доповiдi НАН України, (2004), N 9, 7–12. [3] Т. С. Алероев, О полноте системы собственных функций одного дифферен- циального оператора дробного порядка // Дифференциальные уравнения, 36 (2000), N 6, 829–830. А. В. Агибалова 153 [4] T. S. Aleroev, H. T. Aleroeva, A Problem on the Zeros of the Mittag-Leffler Function and the Spectrum of a Fractional-Order Differential Operator // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 25 (2009), N 6, 1–18, www.math.u-szeged.hu/ejqtde/ [5] М. М. Джарбашян, Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, Москва, Наука, 1966, 671 с. [6] М. В. Келдыш, О собственных значениях и собственных функциях неко- торых классов несамосопряжённых уравнений // Доклады АН СССР, 77 (1951), N 1, 11–14. [7] M. M. Maламуд, Подобие вольтерровых операторов и смежные вопросы те- ории дифференциальных уравнений дробных порядков // Труды Мос. Мат. общества, 55 (1994), 73–148. [8] M. M. Malamud, L. L. Oridoroga, Analog of the Birkhoff theorem and the completeness results for fractional order differential equations // Russian Jour. of Math. Physics, 8 (2001), N 3, 287–308. [9] В. А. Марченко, Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения, Киев, “Наукова думка”, 1977, 332 с. [10] М. А. Наймарк, Линейные дифференциальные операторы, Москва, “Наука”, 1969, 526 с. [11] А. А. Шкаликов, О полноте собственных и присоединённых функций обыкновенного дифференциального оператора с распадающимися краевыми условиями // Функциональный анализ и его приложения, 10 (1976), N 4, 69–80. Сведения об авторах Анна Владимировна Агибалова Донецкий национальный университет, ул. Университетская, 24, Донецк 83055, Украина E-Mail: AgAnnette@rambler.ru

О полноте систем собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов порядка 2-ε и 1-ε

Institution

Ähnliche Einträge