Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решетках
Рассматривается система дифференциальных уравнений, описывающая динамику бесконечной системы линейно связанных нелинейных осцилляторов на двумерной решетке. Получены результаты о существовании периодических и уединенных бегущих волн и экспоненциальная оценка решения....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124384 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решетках / С.Н. Бак, А.А. Панков // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 154-175. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124384 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243842017-09-25T03:03:13Z Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решетках Бак, С.Н. Панков, А.А. Рассматривается система дифференциальных уравнений, описывающая динамику бесконечной системы линейно связанных нелинейных осцилляторов на двумерной решетке. Получены результаты о существовании периодических и уединенных бегущих волн и экспоненциальная оценка решения. 2010 Article Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решетках / С.Н. Бак, А.А. Панков // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 154-175. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 39A12, 39A70, 58E50. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124384 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается система дифференциальных уравнений, описывающая динамику бесконечной системы линейно связанных нелинейных осцилляторов на двумерной решетке. Получены результаты о существовании периодических и уединенных бегущих волн и экспоненциальная оценка решения. |
| format |
Article |
| author |
Бак, С.Н. Панков, А.А. |
| spellingShingle |
Бак, С.Н. Панков, А.А. Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решетках Український математичний вісник |
| author_facet |
Бак, С.Н. Панков, А.А. |
| author_sort |
Бак, С.Н. |
| title |
Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решетках |
| title_short |
Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решетках |
| title_full |
Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решетках |
| title_fullStr |
Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решетках |
| title_full_unstemmed |
Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решетках |
| title_sort |
бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решетках |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124384 |
| citation_txt |
Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решетках / С.Н. Бак, А.А. Панков // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 154-175. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT baksn beguŝievolnyvsistemahoscillâtorovnadvumernyhrešetkah AT pankovaa beguŝievolnyvsistemahoscillâtorovnadvumernyhrešetkah |
| first_indexed |
2025-07-09T01:21:04Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:21:04Z |
| _version_ |
1837130390991536128 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 7 (2010), № 2, 154 – 175
Бегущие волны в системах осцилляторов
на двумерных решетках
Сергей Н. Бак, Александр А. Панков
(Представлена А. Е. Шишковым)
Аннотация. Рассматривается система дифференциальных урав-
нений, описывающая динамику бесконечной системы линейно свя-
занных нелинейных осцилляторов на двумерной решетке. Получены
результаты о существовании периодических и уединенных бегущих
волн и экспоненциальная оценка решения.
2010 MSC. 39A12, 39A70, 58E50.
Ключевые слова и фразы. Осцилляторы, бегущие волны, крити-
ческие точки, теорема о горном перевале.
1. Введение
В настоящей статье изучаются уравнения, описывающие дина-
мику бесконечной системы линейно связанных нелинейных осцил-
ляторов, расположенных на плоской целочисленной решетке. Пусть
qn,m(t) — обобщенная координата (n, m)-го осциллятора в момент
времени t. Предполагается, что каждый осциллятор линейно взаи-
модействует с четырьмя своими ближайшими соседями. Уравнения
движения рассматриваемой системы имеют вид:
q̈n,m = −U ′(qn,m) + c2
1(qn+1,m + qn−1,m − 2qn,m)
+ c2
2(qn,m+1 + qn,m−1 − 2qn,m), (n, m) ∈ Z
2. (1.1)
Уравнение (1.1) представляет собой бесконечную систему обыкновен-
ных дифференциальных уравнений.
Подобные системы представляют интерес в связи с многочислен-
ными физическими приложениями [5, 7, 8]. В статьях [1, 6, 11] изу-
чались бегущие волны в цепочках осцилляторов. Обзор известных
результатов о таких системах сделан в [13].
Статья поступила в редакцию 9.09.2009
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
С. Н. Бак, А. А. Панков 155
В статье [15] изучались периодические решения для системы ос-
цилляторов на двумерных решетках, а в статьях [9] и [10] — бегу-
щие волны в подобных системах несколько иного типа и другими
методами. В частности, в [9] рассматривалась система с нечетной 2π-
периодической нелинейностью.
В данной работе с помощью метода критических точек исследо-
ван вопрос о существовании периодических и уединенных бегущих
волн, а также установлена экспоненциальная оценка профиля бегу-
щей волны.
2. Постановка задачи
Рассмотрим систему осцилляторов с потенциалом:
U(r) = −a
2
r2 + V (r).
Тогда уравнение примет вид
q̈n,m = c2
1△(1)qn,m + c2
2△(2)qn,m + aqn,m − V ′(qn,m), (2.1)
где
(△(1)q)n,m = qn+1,m + qn−1,m − 2qn,m
и
(△(2)q)n,m = qn,m+1 + qn,m−1 − 2qn,m
— дискретные операторы Лапласа соответственно по переменным n и
m, и c2
1 > 0, c2
2 > 0. Если c2
1 = c2
2 = 1, то линейный оператор в правой
части (2.1) является двумерным дискретным оператором Лапласа
(△q)n,m = qn+1,m + qn−1,m + qn,m+1 + qn,m−1 − 4qn,m.
Бегущая волна имеет вид
qn,m(t) = u(n cos ϕ + m sin ϕ − ct)
и для ее профиля u(s), где s = n cos ϕ + m sin ϕ − ct, справедливо
уравнение
c2u′′(s) = c2
1(u(s + cos ϕ) + u(s − cos ϕ) − 2u(s))
+ c2
2(u(s + sinϕ) + u(s − sinϕ) − 2u(s)) + au(s) − V ′(u(s)). (2.2)
Отметим, что функция непрерывного аргумента u(s), s ∈ R, на-
зывается профилем волны. Константа c 6= 0 представляет собой ско-
рость волны. Если c > 0, то волна смещается вправо, а если c < 0,
156 Бегущие волны в системах осцилляторов...
то — влево. Интерес представляют нетривиальные волны с профилем
не равным нулю тождественно.
Важную роль играет величина c0(ϕ), определенная равенством
c2
0(ϕ) = c2
1 cos2 ϕ + c2
2 sin2 ϕ. (2.3)
В случае периодических бегущих волн для нахождения профиля
волны достаточно найти решение уравнения (2.2) с условием перио-
дичности
u(s + 2k) = u(s), s ∈ R. (2.4)
Профиль уединенной волны является решением уравнения (2.2) с
краевым условием на бесконечности
lim
s→±∞
u(s) = u(±∞) = 0. (2.5)
Отметим, что в случае, когда ϕ ≡ 0, π/2 mod π, волна распро-
страняется вдоль соответствующей координатной оси. Такие волны
сводятся к волнам на одномерной решетке, изученным в [1,6]. Таким
образом, результаты настоящей работы содержат результаты [1, 6] в
качестве частных случаев.
Всюду далее под решением уравнения (2.2) понимается функция
u(s) класса C2(R), удовлетворяющая уравнению (2.2) для всех s ∈ R.
3. Вариационная формулировка задачи
Всюду далее предполагается, что потенциал V (r) удовлетворяет
условию:
(h) функция V (r) непрерывно дифференцируема, V (0) = 0, V ′(r) =
o(r) при r → 0 и существует такое µ > 2, что
0 < µV (r) ≤ V ′(r)r, r 6= 0.
Отметим, что в уравнении (2.2) скорость c входит только в ква-
драте. Отсюда вытекает, что если функция u(s) удовлетворяет урав-
нению (2.2), то существуют две бегущие волны с данным профилем
и скоростями ±c. Одна из них двигается вправо, другая — влево.
С уравнением (2.2) и условием (2.4) связывается функционал Jk,
определенный на пространстве
Ek = {u ∈ H1
loc(R) : u(s + 2k) = u(s)}
С. Н. Бак, А. А. Панков 157
с нормой
‖u‖k = (‖u‖2
L2(−k,k) + ‖u′‖2
L2(−k,k))
1/2 =
( k∫
−k
(u(s)2 + u′(s)2) ds
)1/2
.
Таким образом, Ek — соболевское пространство 2k-периодических
функций. Функционал определяется равенством
Jk(u) =
k∫
−k
{c2
2
(u′(s))2 − c2
1
2
(u(s + cos ϕ) − u(s))2
− c2
2
2
(u(s + sinϕ) − u(s))2 +
a
2
u2(s) − V (u(s))
}
ds. (3.1)
С задачей (2.2), (2.5) связан функционал
J(u) =
∞∫
−∞
{c2
2
(u′(s))2 − c2
1
2
(u(s + cos ϕ) − u(s))2
− c2
2
2
(u(s + sinϕ) − u(s))2 +
a
2
u2(s) − V (u(s))
}
ds, (3.2)
определенный на пространстве E = H1(R) со стандартной соболев-
ской нормой.
Напомним, что по теореме вложения Ek ⊂ C([−k, k]) и E ⊂ Cb(R),
где C([−k, k]) и Cb(R) — пространство непрерывных функций на
[−k, k] и пространство ограниченных непрерывных функций на R,
соответственно. Более того, функции из E имеют нулевой предел на
бесконечности.
Далее нам понадобится
Лемма 3.1. Имеют место неравенства
‖u(· + α) − u(·)‖L2(−k,k) ≤ |α|‖u′‖L2(−k,k), u ∈ Ek, (3.3)
для любого α ∈ (−k, k), и
‖u(· + α) − u(·)‖L2(R) ≤ |α|‖u′‖L2(R), u ∈ E, (3.4)
для любого α ∈ R.
Доказательство. Пусть vα = u(s + α) − u(s) и
û(ξ) =
1√
2π
+∞∫
−∞
e−iξtu(t) dt
158 Бегущие волны в системах осцилляторов...
— преобразование Фурье функции u. Тогда
v̂α(ξ) = (eiαξ − 1)û(ξ).
Имеем
|v̂α(ξ)|2 = 2(1 − cos(αξ))|û(ξ)|2 = 4 sin2 αξ
2
|û(ξ)|2 ≤ α2ξ2|û(ξ)|2.
Теперь неравенство (3.4) следует из равенства Парсеваля.
Неравенство (3.3) доказывается аналогично с помощью рядов Фу-
рье.
Замечание 3.1. Из доказательства следует, что константа |α| в не-
равенстве (3.4) неуменьшаема. Для каждого фиксированного k, кон-
станта |α| в (3.3) может быть уменьшена. Однако, это наименьшая
константа, при которой неравенство (3.3) справедливо для всех k.
Лемма 3.2. В сделанных выше предположениях, Jk и J — функци-
оналы класса C1 на Ek и E, соответственно. Их производные выра-
жаются формулами
〈J ′
k(u), h〉 =
k∫
−k
{c2u′(s)h′(s) + c2
1(u(s + cos ϕ)
+ u(s − cos ϕ) − 2u(s))h(s) + c2
2(u(s + sinϕ) + u(s − sinϕ)
− 2u(s))h(s) + au(s)h(s) − V ′(u(s))h(s)} ds (3.5)
и
〈J ′(u), h〉 =
∞∫
−∞
{c2u′(s)h′(s) + c2
1(u(s + cos ϕ)
+ u(s − cos ϕ) − 2u(s))h(s) + c2
2(u(s + sinϕ) + u(s − sinϕ)
− 2u(s))h(s) + au(s)h(s) − V ′(u(s))h(s)} ds (3.6)
для u, h ∈ Ek и u, h ∈ E, соответственно.
Доказательство. В силу леммы 3.1, квадратичная часть функцио-
нала Jk является непрерывным квадратичным функционалом на Ek
и, следовательно, принадлежит классу C1.
Рассмотрим неквадратичную часть
Ψk(u) =
k∫
−k
V (u(s)) ds.
С. Н. Бак, А. А. Панков 159
Достаточно показать, что Ψk принадлежит классу C1 на каждом
открытом шаре пространства Ek с центром в нуле. Пусть Br0
— та-
кой шар радиуса r0 > 0. По теореме вложения, Br0
⊂ B̃r1
, где B̃r1
—
открытый шар некоторого радиуса r1 в пространстве C([−k, k]). Фик-
сируем произвольно такую непрерывно дифференцируемую функ-
цию Ṽ (r), что Ṽ (r) = r при |r| ≥ r2, где r2 > r1 достаточно велико.
Рассмотрим функционал
Ψ̃k(u) =
k∫
−k
Ṽ (u(s)) ds.
По построению, Ψ̃k совпадает с Ψk на шаре Br0
. В силу классиче-
ских результатов [2, 3], Ψ̃k является C1 функционалом на L2(−k, k)
и, следовательно, на непрерывно вложенном в него пространстве Ek.
Отсюда вытекает, что Ψ̃k принадлежит классу C1 на Br0
и, в силу
произвольности r0, на всем Ek.
Аналогично доказывается, что функционал J принадлежит клас-
су C1.
Формулы (3.5) и (3.6) для производных получаются прямым вы-
числением.
Лемма 3.3. Критические точки функционалов Jk и J являются
C2-решениями уравнения (2.2), удовлетворяющими условия (2.4) и
(2.5), соответственно.
Доказательство. Рассмотрим случай функционала J (второй слу-
чай аналогичен). Поскольку, по теореме вложения, каждый элемент
u ∈ E удовлетворяет условию (2.5), то достаточно только проверить,
что критические точки J являются C2-решениями (2.2).
Пусть u ∈ E — критическая точка функционала J. Тогда
〈J(u), h〉 = 0 для любого h ∈ E. Выберем h = ϕ ∈ C∞
0 (R) прои-
звольно и используем формулу (3.6). Имеем
∞∫
−∞
{c2u′(s)h′(s) + c2
1(u(s + cos ϕ)
+ u(s − cos ϕ) − 2u(s))h(s) + c2
2(u(s + sin ϕ) + u(s − sin ϕ)
− 2u(s))h(s) + au(s)h(s) − V ′(u(s))h(s)} ds = 0.
Это значит, что u удовлетворяет уравнению (2.2) в смысле обобщен-
ных функций. По теореме вложения, u ∈ Cb(R). Следовательно, пра-
вая часть (2.2) — непрерывная функция. Отсюда делаем вывод, что
160 Бегущие волны в системах осцилляторов...
u′′ — непрерывная функция и, следовательно, u ∈ C2 — решение
уравнения (2.2) в обычном смысле.
4. Основные результаты
Нам понадобится
Лемма 4.1. Пусть выполнено условие (h), a > 0 и c2 > c2
0(ϕ). Тогда
существуют такие ε0 > 0 и γ > 0, независящие от k ≥ 1, что
для нетривиальных критических точек функционалов Jk и J имеют
место неравенства
ε0 ≤ ‖u‖2
k ≤ γJk(u), (4.1)
ε0 ≤ ‖u‖2 ≤ γJ(u). (4.2)
Доказательство. Пусть u ∈ Ek — критическая точка функционала
Jk. Тогда J ′
k(u) = 0 и
Jk(u) = Jk(u) − 1
µ
〈J ′
k(u), u〉
=
(1
2
− 1
µ
) k∫
−k
{c2|u′(s)|2 − c2
1|u(s + cos ϕ) − u(s)|2
− c2
2|u(s + sinϕ) − u(s)|2 + a|u(s)|2} ds
−
k∫
−k
{
V (u(s)) − 1
µ
V ′(u(s))u(s)
}
ds
≥ µ − 2
2µ
{
c2
k∫
−k
|u′(s)|2 ds − c2
1
k∫
−k
|u(s + cos ϕ) − u(s)|2 ds
− c2
2
k∫
−k
|u(s + sinϕ) − u(s)|2 ds + a
k∫
−k
|u(s)|2 ds
}
.
Используя лемму 3.1, получаем, что
Jk(u) ≥ µ − 2
2µ
{
α0
k∫
−k
|u′(s)|2 ds + a
k∫
−k
|u(s)|2 ds
}
,
где α0 = c2 − c2
0(ϕ). Тогда
Jk(u) ≥ µ − 2
2µ
α1
{ k∫
−k
|u′(s)|2 ds +
k∫
−k
|u(s)|2 ds
}
=
µ − 2
2µ
α1‖u‖2
k,
С. Н. Бак, А. А. Панков 161
где α1 = min{α0, a}. Отсюда вытекает второе неравенство (4.1).
Докажем первое из неравенств (4.1). Для критической точки u ∈
Ek имеем 〈J ′
k(u), u〉 = 0, т.е.
k∫
−k
{c2|u′(s)|2 − c2
1|u(s + cos ϕ) − u(s)|2 − c2
2|u(s + sinϕ) − u(s)|2
+ a|u(s)|2} ds =
k∫
−k
V ′(u(s)) ds.
Отсюда, как и выше, имеем
α1‖u‖2
k ≤
k∫
−k
V ′(u(s))u(s) ds. (4.3)
Из условия (h) вытекает, что
V ′(r)r ≤ σ(|r|)r2,
где σ(r) — монотонно возрастающая непрерывная функция r ≥ 0 и
σ(0) = 0. Тогда из (4.3) следует, что
α1‖u‖2
k ≤ σ(‖u‖C([−k,k]))
k∫
−k
|u(s)|2 ds.
По теореме вложения
‖u‖C([−k,k]) ≤ C · ‖u‖k
с константой C, не зависящей от k. Следовательно,
α1‖u‖2
k ≤ σ(C · ‖u‖k)‖u‖2
k.
Поскольку u 6= 0, то
σ(C · ‖u‖k) ≥ α1,
откуда вытекает первое неравенство (4.1) с
ε
1/2
0 = C−1 · σ−1(α1).
Неравенство (4.2) доказывается аналогично, с теми же констан-
тами ε0 и γ.
162 Бегущие волны в системах осцилляторов...
4.1. Существование периодических бегущих волн
С помощью теоремы о горном перевале получим существование
нетривиальных бегущих волн с периодическим профилем. Для этого,
в силу леммы 3.3, достаточно установить существование нетривиаль-
ных критических точек функционала Jk. Отметим, что u = 0 всегда
является тривиальной критической точкой и дает тривиальную бегу-
щую волну, равную нулю.
Теорема 4.1. Пусть выполнено условие (h) и a > 0. Тогда для любых
k ≥ 1 и c2 > c2
0(ϕ) уравнение (2.2) имеет решение u, удовлетворяю-
щее условию (2.4). Этим самим, существуют две бегущие волны с
профилем u и скоростями ±c. Более того, существуют такие кон-
станты ε > 0 и C > 0, которые не зависят от k, что
ε0 ≤ ‖u‖2
k ≤ C, (4.4)
ε0 ≤ Jk ≤ C. (4.5)
Сформулируем теорему о горном перевале в нужном виде и про-
верим ее условия для функционала Jk ([14, 16]).
Теорема 4.2 (о горном перевале). Пусть I — функционал клас-
са C1 на гильбертовом пространстве H, удовлетворяющий условию
Пале–Смейла:
(PS) если последовательность un ∈ H такова, что I ′(un) → 0 и
I(un) ограничена, то она содержит сходящуюся подпоследова-
тельность.
Предположим, что существуют такие e ∈ H и r > 0, что ‖e‖ > r
и
β := inf
‖v‖=r
I(v) > 0 = I(0) ≥ I(e) .
Тогда существует такая критическая точка u ∈ H функционала I,
что I(u) ≥ β. При этом
I(u) ≤ sup
τ≥0
I(τe) .
Начнем с условия Пале–Смейла.
С. Н. Бак, А. А. Панков 163
Лемма 4.2. В условиях теоремы 4.1 функционал Jk удовлетворяет
условию Пале–Смейла.
Доказательство. Пусть um ∈ Ek такая последовательность, что
J ′
k(um) → 0 и Jk(um) ≤ C. Тогда, как и в начале доказательства
леммы 4.1,
Jk(um) − 1
µ
〈J ′
k(um), um〉
=
(1
2
− 1
µ
) k∫
−k
{c2u′
m(s)2 − c2
1|u(s + cos ϕ) − u(s)|2
− c2
2|u(s + sinϕ) − u(s)|2 + aum(s)2} ds
−
k∫
−k
{
V (um(s)) − 1
µ
V ′(um(s))um(s)
}
ds
≥ µ − 2
2µ
{
c2
k∫
−k
u′
m(s)2 ds − c2
1
k∫
−k
|u(s + cos ϕ) − u(s)|2 ds
− c2
2
k∫
−k
|u(s + sin ϕ) − u(s)|2 ds + a
k∫
−k
um(s)2 ds
}
.
Как и в доказательстве леммы 4.1, правая часть этого неравенства
оценивается снизу величиной
µ − 2
2µ
α1‖um‖2
k.
С другой стороны, ее левая часть не превышает
C +
1
µ
C1‖um‖k.
Отсюда
µ − 2
2µ
α1‖um‖2
k ≤ C +
1
µ
C1‖um‖k,
что показывает ограниченность последовательности um в пространс-
тве Ek.
Так как пространство Ek гильбертово, то можно считать, что
um → u слабо в Ek. Согласно компактности вложения Ek ⊂ C([−k, k])
последняя сходимость является сильной в C([−k, k]).
164 Бегущие волны в системах осцилляторов...
Положим для краткости um,l = um − ul. Имеем, согласно лем-
мы 3.2,
〈J ′
k(um) − J ′
k(ul), um,l〉
=
k∫
−k
{c2(um,l(s))
2 − c2
1(um,l(s + cos ϕ) − um,l(s))
2
− c2
2(um,l(s + sinϕ) − um,l(s))
2 + a(um,l(s))
2} ds
−
k∫
−k
{V ′(um(s)) − V ′(ul(s))}um,l(s) ds.
Отсюда, с помощью того же приёма, что и в доказательстве лем-
мы 4.1, получаем
〈J ′
k(um)− J ′
k(ul), um,l〉 ≥ α1‖um,l‖2
k −
k∫
−k
{V ′(um(s))− V ′(ul(s))}um,l ds,
или
α1‖um,l‖2
k ≤ 〈J ′
k(um)− J ′
k(ul), um,l〉+
k∫
−k
{V ′(um(s))− V ′(ul(s))}um,l ds.
(4.6)
Поскольку um,l → 0 слабо в Ek, а J ′
k(um) → 0 сильно в сопряженном
пространстве E∗
k , то первый член в правой части (4.6) сходится к ну-
лю при m, l → ∞. Кроме того, um → u в C([−k, k]). Отсюда следует,
что подынтегральное выражение в (4.6) сходится к нулю равномерно
на [−k, k] при m, l → ∞. Следовательно, интегральный член в (4.6)
также сходится к нулю. Отсюда вытекает, что um — последователь-
ность Коши в Ek и, следовательно, um → u сильно в Ek.
Лемма 4.3. В условиях теоремы 4.1 существуют такие r0 > 0 и
α0 > 0, не зависящие от k, что
inf
‖u‖k=r0
Jk(u) > α0.
Доказательство. Согласно условию (h)
V (r) ≤ µ−1σ(|r|))r2.
Отсюда имеем
С. Н. Бак, А. А. Панков 165
Jk(u) =
1
2
k∫
−k
{c2u′(s)2 − c2
1|u(s + cosϕ) − u(s)|2
− c2
2|u(s + sinϕ) − u(s)|2 + au(s)2} ds −
k∫
−k
V (u(s)) ds
≥ α1
2
‖u‖2
k − 1
µ
k∫
−k
σ(u(s))u(s)2 ds
≥ α1
2
‖u‖2
k − 1
µ
σ(‖u‖C([−k,k]))‖u‖2
L2(−k,k)
≥ α1
2
‖u‖2
k − 1
µ
σ(‖u‖C([−k,k]))‖u‖2
k.
По теореме вложения,
‖u‖C([−k,k]) ≤ C‖u‖k.
Поэтому
Jk(u) ≥
{α1
2
− 1
µ
σ(C‖u‖k)
}
‖u‖2
k.
Выберем r0 > 0 так, что
1
µ
σ(Cr0) =
α1
4
.
Это, очевидно, возможно в силу свойств функции σ(r). Тогда при
‖u‖k = r0 имеем
Jk(u) ≥ α1r
2
0
4
,
что и доказывает лемму.
Зафиксируем произвольную бесконечно дифференцируемую фун-
кцию g 6= 0 на R с носителем на отрезке [0, 1]. Пусть теперь vk —
такая 2k-периодическая функция, что vk|[−k,k] = g|[−k,k]. Очевидно,
что vk ∈ Ek.
Лемма 4.4. В условиях теоремы 4.1 существует такое τ0 > 0, не
зависящее от k, что
Jk(τvk) = J1(τv1) ≤ 0
для всех τ ≥ τ0.
166 Бегущие волны в системах осцилляторов...
Доказательство. По определению vk имеем при k ≥ 1
Jk(τvk) =
1
2
k∫
−k
{c2τ2(g′(s))2 − τ2c2
1|g(s + cos ϕ) − g(s)|2
− τ2c2
2|g(s + sinϕ) − g(s)|2 + aτ2(g(s))2} ds −
k∫
−k
V (τg(s)) ds
=
τ2
2
1∫
−1
{c2(g′(s))2 − c2
1|g(s + cos ϕ) − g(s)|2 − c2
2|g(s + sin ϕ) − g(s)|2
+ a(g(s))2} ds −
1∫
0
V (τg(s)) ds.
Из условия (h) вытекает, что
V (τg(s)) ≥ dτµ|g(s)|µ − d0.
Поэтому
Jk(τvk) = J1(τv1) ≤ γ1τ
2 − dγ2τ
µ − d0,
где
γ1 =
1
2
1∫
−1
{c2(g′(s))2 − c2
1|g(s + cos ϕ) − g(s)|2
− c2
2|g(s + sinϕ) − g(s)|2 + a(g(s))2} ds > 0,
γ2 =
1∫
−1
|g(s)|µ ds > 0.
Поскольку µ > 2, отсюда следует утверждение леммы.
Доказательство теоремы 4.1. Леммы 4.2–4.4 показывают, что для
функционала Jk выполнены все условия теоремы о горном перевале.
Следовательно, Jk имеет ненулевую критическую точку u ∈ Ek. По
лемме 3.3, u — C2-решение задачи (2.2), (2.4). Оценки снизу для ‖u‖k
и Jk(u) вытекают из леммы 4.1. В силу леммы 4.4,
Jk(u) ≤ sup
τ≥0
Jk(τvk) = sup
τ≥0
J1(τv1) = C,
и верхняя оценка сверху для ‖u‖k вытекает из леммы 4.1. Теорема
доказана.
С. Н. Бак, А. А. Панков 167
4.2. Существование уединенных бегущих волн
Докажем существование уединенных бегущих волн. Бегущие вол-
ны в данном случае находятся как критические точки функционала
J. Для последнего выполнены утверждения, аналогичные леммам 4.3
и 4.4. Таким образом, функционал J удовлетворяет части условий те-
оремы о горном перевале. Однако, условие Пале–Смейла для этого
функционала не выполнено. Поэтому критические точки в данном
случае строятся другим способом — с помощью перехода к пределу
в критических точках функционала Jk при k → ∞.
Теорема 4.3. Пусть выполнено условие (h) и a > 0. Тогда для любо-
го c2 > c2
0(ϕ) уравнение (2.2) имеет решение u ∈ E, следовательно,
удовлетворяющее условию (2.5). Таким образом, существуют две уе-
диненные бегущие волны с профилем u и скоростями ±c.
Для доказательства теоремы понадобится следующий частный
случай леммы 4.1 из [12].
Лемма 4.5. Пусть un ∈ Ekn
, где kn → ∞, и ‖un‖kn
ограничена. Если
для некоторого r > 0
sup
y∈R
y+r∫
y−r
|un(s)|2 ds → 0, (4.7)
то ‖un‖Lp(−kn,kn) → 0 для любого p > 2.
Доказательство теоремы 4.3. Выберем произвольно последователь-
ность kn → ∞ и обозначим через un ∈ Ekn
решение уравнения (2.2)
с условием (2.4), построенное в теореме 4.1 при k = kn.
Переходя к подпоследовательности, можно считать, что сущест-
вуют такие δ > 0, r > 0 и последовательность yn ∈ R, что
yn+r∫
yn−r
|un(s)|2 ds ≥ δ. (4.8)
Действительно, пусть это не так. Тогда для любого r > 0
lim
n→∞
sup
y∈R
y+r∫
y−r
|un(s)|2 ds = 0.
Кроме того, в силу неравенства (4.4), последовательность ‖un‖kn
ог-
раничена. Отсюда, согласно лемме 4.5, следует, что
‖un‖Lp(−kn,kn) → 0. (4.9)
168 Бегущие волны в системах осцилляторов...
Далее, J ′
k(un) = 0 и, следовательно, 〈J ′
k(un), un〉 = 0, т.е.
kn∫
−kn
{c2(u′
n(s))2 − c2
1|un(s + cos ϕ) − un(s)|2
− c2
2|un(s + sinϕ) − un(s)|2 + a(un(s))2} ds
=
kn∫
−kn
V ′(un(s))un(s) ds.
Отсюда
α1‖un‖2
kn
≤
kn∫
−kn
V ′(un(s))un(s) ds. (4.10)
В силу теоремы вложения, функции un(s) непрерывны и равномерно
по n ограничены, т.е. существует такое R > 0, что |un(s)| ≤ R. Фи-
ксируем произвольное p > 2. Согласно условию (h), для любого ε > 0
существует такое C = Cε, что при |r| ≤ R
|V ′(r)| ≤ ε|r| + C|r|p−1.
Тогда неравенство (4.10) дает
α1‖un‖2
kn
≤ ε
kn∫
−kn
|un(s)|2 ds + C
kn∫
−kn
|un(s)|p ds
= ε‖un‖2
L2(−kn,kn) + C‖un‖p
Lp(−kn,kn)
≤ ε‖un‖2
kn
+ C‖un‖p
(−kn,kn).
Выбирая ε = α1/2, получаем
α1
2
‖un‖2
kn
≤ C‖un‖p
Lp(−kn,kn).
Тогда, согласно (4.9), ‖un‖kn
→ 0, что противоречит первому нера-
венству в (4.4). Таким образом, (4.8) доказано.
Уравнение (2.2) инвариантно относительно сдвигов. Поэтому, если
u(s) — его решение, то u(s + y) тоже решение для любого y ∈ R.
Следовательно, заменяя un(s) на un(s+yn), можно считать, что (4.8)
выполнено с yn = 0.
С. Н. Бак, А. А. Панков 169
Поскольку ‖un‖kn
ограничена, то, переходя к подпоследователь-
ности, можно считать, что un → u слабо в H1
loc(R), т.е. слабо в H1(a, b)
для любого конечного интервала (a, b). Согласно теореме вложения,
un → u равномерно на любом конечном интервале. Поэтому в нера-
венстве (4.8) (с yn = 0) можно перейти к пределу и получить, что
r∫
−r
|u(s)|2 ds ≥ δ.
Это показывает, что u 6= 0.
Покажем, что u ∈ E. Выберем произвольно b > 0. При достаточно
больших n имеем
b∫
−b
{|u′
n(s)|2 + |un(s)|2} ds ≤
kn∫
−kn
{|u′
n(s)|2 + |un(s)|2} ds ≤ C,
в силу ограниченности ‖un‖kn
. Поскольку un → u слабо в H1(−b, b),
то
b∫
−b
{|u′(s)|2 + |u(s)|2} ds ≤ lim
n→∞
inf
b∫
−b
{|u′
n(s)|2 + |un(s)|2} ds ≤ C.
Поскольку b произвольно, то отсюда следует, что
‖u‖2 =
∞∫
−∞
{|u′(s)|2 + |u(s)|2} ds ≤ C < ∞,
т.е. u ∈ E.
Остается проверить, что u — решение уравнения (2.2). Пусть
g(s) — произвольная бесконечно дифференцируемая функция с ком-
пактным носителем supp g(s) ⊂ [−b, b]. При достаточно большом n ин-
тервал (−kn + 1, kn − 1) содержит [−b, b] и, следовательно, корректно
определена функция gn ∈ Ekn
, которая совпадает с g на (−kn, kn).
Поскольку un — критическая точка функционала Jk, то
0 = 〈J ′
kn
(un), gn〉
=
kn∫
−kn
{c2u′
n(s)g′n(s) − c2
1(un(s + cos ϕ) + un(s − cos ϕ)
170 Бегущие волны в системах осцилляторов...
− 2un(s))gn(s) − c2
2(un(s + sinϕ) + un(s − sinϕ) − 2un(s))gn(s)
+ aun(s)gn(s)} ds −
kn∫
−kn
V ′(un(s))gn(s) ds
=
b∫
−b
{c2u′
n(s)g′(s) − c2
1(un(s + cos ϕ) + un(s − cos ϕ)
− 2un(s))g(s) − c2
2(un(s + sinϕ) + un(s − sinϕ) − 2un(s))g(s)
+ aun(s)g(s)} ds −
b∫
−b
V ′(un(s))g(s) ds.
В первом интеграле правой части этого равенства можно перейти к
пределу при n → ∞, поскольку un → u слабо в H1(−b, b). Согласно
теореме вложения, un → u равномерно на [−b, b]. Поэтому и во втором
интеграле можно перейти к пределу. Таким образом,
0 =
b∫
−b
{c2u′(s)g′(s) − c2
1(un(s + cos ϕ) + un(s − cos ϕ)
− 2un(s))g(s) − c2
2(un(s + sinϕ) + un(s − sinϕ) − 2un(s))g(s)
+ au(s)g(s)} ds −
b∫
−b
V ′(u(s))g(s) ds
=
∞∫
−∞
{c2u′(s)g′(s) − c2
1(un(s + cos ϕ) + un(s − cos ϕ)
− 2un(s))g(s) − c2
2(un(s + sinϕ) + un(s − sinϕ) − 2un(s))g(s)
+ au(s)g(s) − V ′(u(s))g(s)} ds = 〈J ′(u), g〉.
Поскольку g — произвольная бесконечно дифференцируемая фун-
кция с компактным носителем и множество таких функций плотно в
E, то J ′(u) = 0. А это значит, что u — критическая точка функцио-
нала J и, следовательно, решение рассматриваемой задачи. Теорема
доказана.
С. Н. Бак, А. А. Панков 171
4.3. Экспоненциальное убывание профиля
уединенной волны
Уравнение (2.2) запишем в виде
Lu = f(u), (4.11)
где
Lu(t) = −c2u′′(t) + c2
1(u(t + cos ϕ) + u(t − cos ϕ) − 2u(t))
+ c2
2(u(t + sinϕ) + u(t − sinϕ) − 2u(t)) + au(t) (4.12)
и f(r) = V ′(r). Относительно функции f(r) сделаем следующее, более
слабое, чем (h), предположение.
(h′) f(r) непрерывна на R, f(0) = 0, f(r) = o(r) при r → 0 и f(r) = 0
при r 6= 0.
Рассматриваются решения, лежащие в пространстве E = H1(R).
Пусть u ∈ E — такое решение. Положим
g(t) =
f(u(t))
u(t)
(если u(t) = 0, то g(t) = 0 по определению). Из условия (h′) следует,
что
lim
t→±∞
g(t) = 0.
Уравнение (4.11) примет вид
Lu(t) = g(t) · u(t). (4.13)
К уравнению (3.1) применим преобразование Фурье. Получим
σ(ξ)û(ξ) = ĝ · u(ξ), (4.14)
где
σ(ξ) = c2ξ2 − 4c2
1 sin2
(ξ
2
cos ϕ
)
− 4c2
2 sin2
(ξ
2
sinϕ
)
+ a. (4.15)
Отметим, что функция σ(ξ), ξ ∈ R, продолжается до целой функции
σ(ζ) = c2ζ2 − 4c2
1 sin2
(ζ
2
cos ϕ
)
− 4c2
2 sin2
(ζ
2
sinϕ
)
+ a, ζ ∈ C.
172 Бегущие волны в системах осцилляторов...
Лемма 4.6. Пусть c2 > c2
0(ϕ) и a > 0. Тогда существует такое
β0 > 0, что функция σ(ζ) не имеет нулей в полосе | Im ζ| < β0.
Доказательство. Прежде всего отметим, что σ(ξ) > 0 при всех ξ ∈ R
и, следовательно, σ не обращается в нуль на действительной оси.
Действительно, воспользовавшись неравенством
| sinx| ≤ |x|,
имеем
σ(ξ) = c2 − 4c2
1 sin2
(ξ
2
cos ϕ
)
− 4c2
2 sin2
(ξ
2
sinϕ
)
+ a
≥ c2ξ2 − ξ2(c2
1 cos2 ϕ + c2
2 sin2 ϕ) + a
≥ (c2 − c2
0(ϕ))ξ2 + a ≥ a > 0.
Пусть теперь A > 0 — произвольно и | Im ζ| < A. Записав ζ в виде
ζ = ζ + iτ, имеем |τ | < A и
∣∣∣ sin
(ζ
2
cos ϕ
)∣∣∣ = 1
2
|eiζ cos ϕ/2 − e−iζ cos ϕ/2|
=
1
2
|eiξ cos ϕ/2e−τ cos ϕ/2 − e−iξ cos ϕ/2eτ cos ϕ/2|
≤ 1
2
(|eiξ cos ϕ/2e−τ cos ϕ/2| + |e−iξ cos ϕ/2eτ cos ϕ/2|)
=
1
2
(e−τ cos ϕ/2 + eτ cos ϕ/2) ≤ eA| cos ϕ|/2.
Таким образом, ∣∣∣ sin2
(ζ
2
cos ϕ
)∣∣∣ ≤ eA| cos ϕ|.
Аналогично ∣∣∣ sin2
(ζ
2
sin ϕ
)∣∣∣ ≤ eA| sin ϕ|.
Тогда
|σ(ξ + iτ)| ≥ c2|ξ + iτ |2 − 4c2
1e
A| cos ϕ| − 4c2
2e
A| sin ϕ| + a.
Поэтому, если |ξ| достаточно большое и |τ | < A, то |σ(ξ + iτ)| > 0 и,
следовательно, σ(ζ) 6= 0 для таких ζ = ξ + iτ. Таким образом, суще-
ствует такое B > 0, что при |τ | < A, |ξ| ≥ B функция σ(ζ) не обра-
щается в нуль. Кроме того, в прямоугольнике |ξ| < B, |τ | < A ана-
литическая функция σ(ζ) может иметь не более, чем конечное число
нулей. Отсюда немедленно вытекает существование такого β0 > 0,
что в полосе |τ | < β0 функция σ(ζ) не имеет нулей.
С. Н. Бак, А. А. Панков 173
Далее понадобится следующее утверждение ([13, лемма 4.8]).
Лемма 4.7. Пусть f(t) и g(t) — ограниченные неотрицательные
функции на R, причем limt→±∞ g(t) = 0. Пусть также
f(t) ≤
+∞∫
−∞
e−β|t−s|g(s)f(s) ds,
с β > 0. Тогда для любого α ∈ (0, β) существует такая константа
C = C(α), что
f(t) ≤ Ce−α|t|.
Имеет место теорема
Теорема 4.4. Пусть выполнено условие (h′), c2 > c2
0(ϕ) и a > 0.
Если u ∈ E — решение уравнения (2.2), то для любого β ∈ (0, β0),
где β0 определено в лемме 4.6, существует такое Cβ > 0, что
|u(t)| ≤ Cβe−β|t|. (4.16)
Доказательство. Из уравнения (3.2) получаем
û(ξ) =
1
σ(ξ)
ĝ · u(ξ).
Пусть
K(t) =
1√
2π
+∞∫
−∞
eitξ · 1
σ(ξ)
dξ.
Тогда
u(t) = [K ∗ (g · u)](t) =
+∞∫
−∞
K(t − s)g(s)u(s) ds. (4.17)
Поскольку, согласно лемме 4.6, функция 1/σ(ζ) аналитична в по-
лосе | Im ζ| < β0, то, по теореме Пэли–Винера (см. [4, теорема IХ.14]),
для K(t) имеет место оценка
|K(t)| ≤ Cβe−β|t|
для любого β ∈ (0, β0). Из (4.17) получаем
|u(t)| ≤ Cβ
+∞∫
−∞
e−β|t−s||g(s)||u(s)| ds.
Теперь, в силу леммы 4.7, получаем требуемое.
174 Бегущие волны в системах осцилляторов...
Поскольку условие (h) сильнее, чем условие (h′), то из теоремы 4.4
вытекает
Следствие 1. В условиях теоремы 4.4 для решения u имеет место
экспоненциальная оценка (4.16) для любого β ∈ (0, β0).
Литература
[1] С. М. Бак, Бiжучi хвилi в ланцюгах осциляторiв // Математичнi студiї, 26
(2006), N 2, 140–153.
[2] М. М. Вайнберг, Вариационный метод и метод монотонных операторов, М.:
Наука, 1972, 415 с.
[3] М. А. Красносельский, Топологические методы в теории нелинейных инте-
гральных уравнений, М.: Гостехиздат, 1956, 392 с.
[4] М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики: В 4-х
томах, М.: Мир, 1978, Т. 2, 395 с.
[5] S. Aubry, Breathers in nonlinear lattices: Existence, linear stability and quanti-
zation // Physica D, 103 (1997), 201–250.
[6] S. M. Bak, Peridoc traveling waves in chains of oscillators // Communications
in Mathematical Analysis, 3 (2007), N 1, 19–26.
[7] O. M. Braun, Y. S. Kivshar, Nonlinear dynamics of the Frenkel–Kontorova
model // Physics Repts., 306 (1998), 1–108.
[8] O. M. Braun, Y. S. Kivshar, The Frenkel–Kontorova model, Berlin: Springer,
2004, 427 p.
[9] M. Feckan, V. Rothos, Traveling waves in Hamiltonian systems on 2D lattices
with nearest neighbour interactions // Nonlinearity, 20 (2007), 319–341.
[10] G. Friesecke, K. Matthies, Geometric solitary waves in a 2D math-spring lattice //
Discrete and continuous dynamical systems, 3 (2003), N 1, 105–114.
[11] G. Iooss, K. Kirchgässner, Traveling waves in a chain of coupled nonlinear osci-
llators // Commun. Math. Phys., 211 (2000), 439–464.
[12] A. Pankov, Periodic Nonlinear Schrödinger Equation with an Application to
Photonic Crystals // Milan J. Math., 73 (2005), 259–287.
[13] A. Pankov, Traveling Waves and Periodic Oscillations in Fermi–Pasta–Ulam
Lattices, London–Singapore: Imperial College Press, 2005, 196 p.
[14] P. Rabinowitz, Minimax methods in critical point theory with applications to di-
fferential equations, Providence, R. I.: American Math. Soc., 1986, 100 p.
[15] P. Srikanth, On periodic motions of two-dimentional lattices // Functional
analysis with current applications in science, technology and industry, 377 (1998),
118–122.
[16] M. Willem, Minimax theorems, Boston, Birkhäuser, 1996, 162 p.
С. Н. Бак, А. А. Панков 175
Сведения об авторах
Сергей
Николаевич Бак
Винницкий государственный
педагогический университет
им. М. Коцюбинского,
ул. Острожского, 32
Винница 21001
Украина
E-Mail: Sergiy.Bak@gmail.com
Александр
Андреевич Панков
Department of Mathematics,
Morgan State University,
1700 East Cold Spring Lane,
Baltimore, MD 21251,
USA
E-Mail: Alexander.Pankov@morgan.edu
|