Діагоналізація матриць над областю головних ідеалів з мінімальним многочленом m(λ)=(λ-α)(λ-β), α ≠ β
Отримано необхiднi та достатнi умови дiагоналiзацiї матриць над областю головних iдеалiв з мiнiмальним многочленом m(λ)=(λ-α)(λ-β), α ≠ β. На пiдставi отриманих результатiв вказано умови, за яких матрицi мають спiльнi власнi вектори....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124387 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Діагоналізація матриць над областю головних ідеалів з мінімальним многочленом m(λ)=(λ-α)(λ-β), α ≠ β / В.М. Прокіп // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 212-219. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124387 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243872017-09-25T03:02:54Z Діагоналізація матриць над областю головних ідеалів з мінімальним многочленом m(λ)=(λ-α)(λ-β), α ≠ β Прокіп, В.М. Отримано необхiднi та достатнi умови дiагоналiзацiї матриць над областю головних iдеалiв з мiнiмальним многочленом m(λ)=(λ-α)(λ-β), α ≠ β. На пiдставi отриманих результатiв вказано умови, за яких матрицi мають спiльнi власнi вектори. 2010 Article Діагоналізація матриць над областю головних ідеалів з мінімальним многочленом m(λ)=(λ-α)(λ-β), α ≠ β / В.М. Прокіп // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 212-219. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 15A18, 15A21, 15A36. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124387 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Отримано необхiднi та достатнi умови дiагоналiзацiї матриць над областю головних iдеалiв з мiнiмальним многочленом m(λ)=(λ-α)(λ-β), α ≠ β. На пiдставi отриманих результатiв вказано умови, за яких матрицi мають спiльнi власнi вектори. |
| format |
Article |
| author |
Прокіп, В.М. |
| spellingShingle |
Прокіп, В.М. Діагоналізація матриць над областю головних ідеалів з мінімальним многочленом m(λ)=(λ-α)(λ-β), α ≠ β Український математичний вісник |
| author_facet |
Прокіп, В.М. |
| author_sort |
Прокіп, В.М. |
| title |
Діагоналізація матриць над областю головних ідеалів з мінімальним многочленом m(λ)=(λ-α)(λ-β), α ≠ β |
| title_short |
Діагоналізація матриць над областю головних ідеалів з мінімальним многочленом m(λ)=(λ-α)(λ-β), α ≠ β |
| title_full |
Діагоналізація матриць над областю головних ідеалів з мінімальним многочленом m(λ)=(λ-α)(λ-β), α ≠ β |
| title_fullStr |
Діагоналізація матриць над областю головних ідеалів з мінімальним многочленом m(λ)=(λ-α)(λ-β), α ≠ β |
| title_full_unstemmed |
Діагоналізація матриць над областю головних ідеалів з мінімальним многочленом m(λ)=(λ-α)(λ-β), α ≠ β |
| title_sort |
діагоналізація матриць над областю головних ідеалів з мінімальним многочленом m(λ)=(λ-α)(λ-β), α ≠ β |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124387 |
| citation_txt |
Діагоналізація матриць над областю головних ідеалів з мінімальним многочленом m(λ)=(λ-α)(λ-β), α ≠ β / В.М. Прокіп // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 212-219. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT prokípvm díagonalízacíâmatricʹnadoblastûgolovnihídealívzmínímalʹnimmnogočlenommllalbab |
| first_indexed |
2025-07-09T01:21:26Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:21:26Z |
| _version_ |
1837130413869367296 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 7 (2010), № 2, 212 – 219
Дiагоналiзацiя матриць над областю головних
iдеалiв з мiнiмальним многочленом
m(λ) = (λ − α)(λ − β), α 6= β
Володимир М. Прокiп
(Представлена I. В. Протасовим)
Анотацiя. Отримано необхiднi та достатнi умови дiагоналiзацiї
матриць над областю головних iдеалiв з мiнiмальним многочленом
m(λ) = (λ − α)(λ − β), α 6= β. На пiдставi отриманих результатiв
вказано умови, за яких матрицi мають спiльнi власнi вектори.
2010 MSC. 15A18, 15A21, 15A36.
Ключовi слова та фрази. Область головних iдеалiв, дiагоналiза-
цiя матрицi, власний вектор.
1. Вступ
Нехай R область головних iдеалiв з одиницею e 6= 0. Введемо
позначення: In — одинична n × n-матриця; O — нульова матриця,
вимiрнiсть якої визначатиметься з контексту; Mm,n(R) — множина
(m × n)-матриць над областю головних iдеалiв R. Якщо m = n, то
кiльце (n × n)-матриць над R позначатимемо через Mn(R).
Кажуть, що матриця A ∈ Mn(R) є дiагоналiзованою, якщо вона
перетворенням подiбностi зводиться до дiагонального вигляду, тобто
для A iснує матриця U ∈ GL(n, R) така, що
UAU−1 = diag(α1, α2, . . . , αn) ∈ Mn(R)
— дiагональна матриця. З цiєї рiвностi випливає, якщо матриця A ∈
Mn(R) дiагоналiзована, то її характеристичний многочлен a(λ) допу-
скає зображення у виглядi добутку
a(λ) = det(Inλ − A) = (λ − α1)
k1(λ − α2)
k2 · · · (λ − αr)
kr ,
Стаття надiйшла в редакцiю 20.03.2009
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
В. М. Прокiп 213
де αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , r; i αi 6= αj при i 6= j. Очевидно, якщо
A ∈ Mn(R) — дiагоналiзована матриця, то її мiнiмальний многочлен
m(λ) не має кратних коренiв, тобто m(λ) = (λ−α1)(λ−α2) · · · (λ−αr).
Якщо ж R = F — поле, то остання умова є необхiдною та достатньою
для дiагоналiзацiї матрицi A над полем F. Легко переконатися в тому,
що ця умова не є достатньою для дiагоналiзацiї матриць над кому-
тативними кiльцями з одиницею (i над областю головних iдеалiв R,
зокрема).
По аналогiї з умовами дiагоналiзованостi матриць над полем в [1]
доведено, що матриця A ∈ Mn(R) дiагоналiзована тодi i тiльки тодi,
коли для неї iснує n рiзних власних векторiв ū1, ū2, . . . , ūn ∈ M1,n(R),
якi вiдповiдають власним значенням α1, α2, . . . , αn, таких, що вони
є базою R-модуля M1,n(R). З практичної точки зору це є трудомiс-
ткою задачею i на даний час не встановлено умов такого iснування. В
роботi [2] вказано необхiднi та достатнi умови дiагоналiзацiї матрицi
A ∈ Mn(R) у випадку, коли її характеристичний многочлен a(λ) має
n рiзних власних значень α1, α2, . . . , αn.
У данiй роботi розглядається задача про дiагоналiзованiсть ма-
триць iз Mn(R) з мiнiмальним многочленом m(λ) = (λ − α)(λ − β),
де α, β ∈ R i α 6= β. На пiдставi здобутих результатiв вказано умови,
за яких для матриць A, B ∈ Mn(R) iснують спiльнi власнi векто-
ри. Зауважимо, що здобутi результати справедливi для матриць над
областями елементарних дiльникiв. Крiм цього, деякi з них можуть
бути поширенi для матриць над ID-кiльцями [3], тобто над комута-
тивними кiльцями з одиницею, над якими iдемпотентна матриця дi-
агоналiзується. Разом з тим залишається вiдкритою задача про кла-
сифiкацiю не дiагоналiзованих матриць над областю головних iдеа-
лiв з мiнiмальним квадратичним многочленом вiдносно перетворень
подiбностi. Вiдзначимо, що для матриць над полем така задача до-
слiджувалася в роботi [5].
2. Дiагоналiзованiсть матриць з мiнiмальним
квадратичним многочленом
Нехай A ∈ Mn(R) — iдемпотентна матриця рангу k, тобто A2 = A
i rankA = k. Очевидно, що m(λ) = λ(λ − e) — мiнiмальний много-
член iдемпотентної матрицi. В [3] доведено (див. також [4]), що iдем-
потентна матриця A ∈ Mn(R) дiагоналiзується, тобто для A iснує
матриця U ∈ GL(n, R) така, що UAU−1 = diag(Ik, O). Нижче опи-
шемо структуру дiагоналiзованих матриць iз Mn(R) з мiнiмальним
многочленом m(λ) = (λ − α)(λ − β), де α 6= β.
214 Дiагоналiзацiя матриць...
Теорема 2.1. Нехай A ∈ Mn(R) — матриця з характеристичним
многочленом
det(Inλ − A) = (λ − α)k(λ − β)n−k, α, β ∈ R, α 6= β; 1 ≤ k < n.
Матриця A дiагоналiзується, тобто для A iснує матриця T ∈
GL(n, R) така, що
TAT−1 =
[
αIk O
O βIn−k
]
,
тодi i тiльки тодi, коли виконуються наступнi двi умови:
a) m(λ) = (λ − α)(λ − β) — мiнiмальний многочлен матрицi A;
б) (A − αIn) = O(mod (β − α)).
Доведення. Необхiднiсть. Нехай A ∈ Mn(R) — матриця з характе-
ристичним многочленом det(Inλ−A) = (λ−α)k(λ−β)n−k, де α, β ∈ R,
α 6= β i 1 ≤ k < n, дiагоналiзується, тобто
TAT−1 =
[
αIk O
O βIn−k
]
,
де T ∈ GL(n, R). Очевидно, що m(λ) = (λ−α)(λ− β) — мiнiмальний
многочлен матрицi A. Тодi
A − αIn = T−1
[
O O
O (β − α)In−k
]
T
= T−1
[
O O
O In−k
]
T (β − α) = O(mod (β − α)).
Необхiднiсть доведено.
Достатнiсть. Нехай A ∈ Mn(R) — матриця з характеристичним
многочленом det(Inλ − A) = (λ − α)k(λ − β)n−k, де α, β ∈ R, α 6= β i
1 ≤ k < n. Так як A−αIn = O( mod (β−α)), то A− Inα = (β−α)P ,
де P ∈ Mn(R).
Оскiльки m(λ) = (λ−α)(λ−β) — мiнiмальний многочлен матрицi
A, то
m(A) = (αIn − A)(βIn − A) = (β − α)2(P 2 − P ) = O.
Iз цiєї рiвностi отримуємо, що P — iдемпотентна матриця. Оскiль-
ки матриця A допускає зображення у виглядi A = Inα + (β − α)P ,
де P — дiагоналiзована матриця, то очевидно, що A перетворенням
подiбностi зводиться до виду
[
αIk 0
0 βIn−k
]
. Теорему доведено.
В. М. Прокiп 215
Наслiдок 2.1. Нехай A ∈ Mn(R) — матриця з мiнiмальним много-
членом m(λ) = (λ − α)(λ − β), де α, β ∈ R i α 6= β. Якщо (α − β) —
дiльник одиницi в R, то матриця A дiагоналiзується.
Наслiдок 2.2. Нехай A ∈ Mn(R) — дiагоналiзована матриця з мiнi-
мальним многочленом m(λ) = (λ−α)(λ−β), де α, β ∈ R i α 6= β. Тодi
для матрицi A iснує єдина пара iдемпотентних матриць Pα, Pβ ∈
Mn(R) таких, що
a) A = Inα + (β − α)Pβ;
б) A = Inβ + (α − β)Pα;
в) Pα + Pβ = In;
г) A = αPα + βPβ.
Доведення. Нехай A ∈ Mn(R) — дiагоналiзована матриця з мiнiмаль-
ним многочленом m(λ) = (λ − α)(λ − β), α 6= β. Iз доведення доста-
тностi теореми 2.1 випливає, що матриця A допускає зображення у
виглядi
A = Inα + (β − α)Pβ , (2.1)
де Pβ ∈ Mn(R) — iдемпотентна матриця. Очевидно, що Pα = In −
Pβ — iдемпотентна матриця. Так як Pβ = In − Pα, то рiвнiсть (2.1)
перепишемо так
A = Inα + (β − α)(In − Pβ) = Inβ + (α − β)Pα.
Враховуючи те, що Pα + Pβ = In, тепер рiвнiсть (2.1) запишемо у
виглядi
A = (Pα + Pβ)α + (β − α)Pβ = αPα + βPβ .
Припустимо, що для матрицi A iснує ще одна пара iдемпотентних
матриць {Qα, Qβ} ∈ Mn(R), яка вiдмiнна вiд пари {Pα, Pβ}, для якої
виконуються умови: Qα + Qβ = In i A = αQα + βQβ . Отже,
A = Inα + (β − α)Pβ = Inα + (β − α)Qβ .
Так як α 6= β, то з останньої рiвностi випливає Pβ = Qβ . Аналогiчно
доводиться, що Pα = Qα. Наслiдок доведено.
216 Дiагоналiзацiя матриць...
3. Спiльнi власнi вектори дiагоналiзованих
матриць з мiнiмальними квадратичними
многочленами
Кажуть, що матрицi A, B ∈ Mn(R) мають спiльний лiвий власний
вектор, якщо для них iснує вектор ū ∈ M1,n(R) такий, що ūA = ūα
i ūB = ūβ, де α, β ∈ R. Аналогiчно вводиться поняття спiльного
правого власного вектора матриць A i B. Очевидно, якщо матрицi
A i B мають спiльний лiвий власний вектор, то вони мають спiль-
ний правий власний вектор. Надалi пiд термiном “спiльний власний
вектор” матриць A i B будемо розумiти, що A i B мають спiльний
лiвий власний вектор. Зi сказаного вище випливає, що матрицi A i
B над областю R можуть мати спiльний власний вектор, лише у ви-
падку, коли їхнi характеристичнi многочлени a(λ) i b(λ) допускають
зображення у виглядi a(λ) = (λ − α)c(λ) i b(λ) = (λ − β)d(λ). Вiд-
значимо, якщо ж R = F — поле, то задача про наявнiсть у матриць
A, B ∈ Mn(F) спiльного власного вектора була розв’язана порiвняно
недавно [7] (див. також [8,9]).
Використовуючи результати попереднього роздiлу вкажемо умови
iснування спiльних власних векторiв для дiагоналiзованих матриць
над R з мiнiмальним квадратичним многочленом. Надалi через
[
A, B
]
будемо позначати комутатор матриць A, B ∈ Mn(R), тобто
[
A, B
]
=
AB − BA.
Теорема 3.1. Iдемпотентнi матрицi A, B ∈ Mn(R) мають спiль-
ний власний вектор тодi i тiльки тодi, коли комутатор
[
A, B
]
—
особлива матриця.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай ū ∈ M1,n(R) — спiльний власний
вектор матриць A, B ∈ Mn(R), тобто ūA = ūα i ūB = ūβ, де α, β ∈ R.
Тодi
ū
[
A, B
]
= ū(AB − BA)
= ūAB − ūBA = αūB − βūA
= ūIn(αβ − βα) = O.
Оскiльки ū — ненульовий вектор iз M1,n(R), то з останньої рiвностi
випливає, що комутатор
[
A, B
]
— особлива матриця. Необхiднiсть
доведено.
Достатнiсть. Якщо одна з матриць A або B є одиничною або
нульовою, то очевидно, що матрицi A i B мають спiльний власний
вектор.
В. М. Прокiп 217
Надалi вважатимемо, що 1 ≤ rankA = k < n i 1 ≤ rankB < n.
Оскiльки A — iдемпотентна матриця, то для A iснує матриця T ∈
GL(n, R) така, що
TAT−1 = D =
[
Ik O
O O
]
i TBT−1 = C =
[
C11 C12
C21 C22
]
,
де C11 ∈ Mk(R), C12 ∈ Mk,n−k(R), C21 ∈ Mn−k,k(R), C22 ∈ Mn−k(R).
Так як B2 = B, то C2 = C. З останньої рiвностi здобуваємо
C11C11 + C12C21 = C11, (3.1)
C11C12 + C12C22 = C12, (3.2)
C21C11 + C22C21 = C21, (3.3)
C21C12 + C22C22 = C22. (3.4)
Очевидно, що матрицi A i B мають спiльний власний вектор тодi
i тiльки тодi, коли матрицi D i C мають спiльний власний вектор.
Враховуючи сказане вище отримуємо rank
[
A, B
]
= rank
[
D, C
]
< n.
Крiм цього, легко бачити, що
[D, C] =
[
O C12
−C21 O
]
.
Так як rank
[
D, C
]
< n, то для матрицi [D, C] виконується принаймi
одна з умов: rankC12 < k або rankC21 < n − k.
А) Нехай rankC12 < k. Тодi виконується одна з умов:
rank
[
C11 C12
]
< k або rank
[
C11 C12
]
= k.
Якщо rank
[
C11 C12
]
< k, то iснує ненульовий вектор ū ∈ M1,k(R)
такий, що ū
[
C11 C12
]
= 0̄ — нульовий вектор. Отже, вектор
[
ū 0 . . . 0
]
∈ M1,n(R) є спiльним лiвим власним вектором мат-
риць D i C.
Нехай rank
[
C11 C12
]
= k. Оскiльки rankC12 < k, то iснує нену-
льовий вектор ū ∈ M1,k(R) такий, що ūC12 = 0̄ i ūC11 6= 0̄. Враховую-
чи рiвнiсть (3.1), здобуваємо, що (ūC11) C11 = ūC11. На пiдставi рiвно-
стi (3.2) отримуємо (ūC11) C12 = 0̄. Отже, вектор
[
ūC11 0 . . . 0
]
∈
M1,n(R) є спiльним лiвим власним вектором матриць D i C.
Б) Нехай rankC21 < n − k. Тодi виконується одна з умов:
rank
[
C21 C22
]
< n − k або rank
[
C21 C22
]
= n − k. Якщо
rank
[
C21 C22
]
< n − k, то для матрицi
[
C21 C22
]
iснує ненульо-
вий вектор ū ∈ M1,n−k(R) такий, що ū
[
C21 C22
]
= O. Отже, вектор
[
0 . . . 0 ū
]
∈ M1,n(R) є спiльним лiвим власним вектором мат-
риць D i C.
218 Дiагоналiзацiя матриць...
Нехай rank
[
C21 C22
]
= n − k. Тодi iснує ненульовий вектор ū ∈
M1,n−k(R) такий, що ūC21 = 0̄ i ūC22 6= O. На пiдставi рiвностi (3.4),
здобуваємо (ūC22) C22 = ūC22. Враховуючи рiвнiсть (3.3) отримуємо
(ūC22)C21 = 0̄. Отже, вектор
[
0 . . . 0 ūC22
]
∈ M1,n(R) є спiльним
лiвим власним вектором матриць D i C. Теорему доведено.
Наслiдок 3.1. Нехай A, B ∈ Mn(R) — дiагоналiзованi матрицi з
мiнiмальними многочленами mA(λ) = (λ − α1)(λ − α2) та mB(λ) =
(λ − β1)(λ − β2), вiдповiдно, де αi, βi ∈ R i α1 6= α2 та β1 6= β2.
Матрицi A i B мають спiльний власний вектор тодi i тiльки тодi,
коли комутатор
[
A, B
]
— особлива матриця.
Доведення. Оскiльки A, B ∈ Mn(R) — дiагоналiзованi матрицi з мi-
нiмальними многочленами mA(λ) = (λ − α1)(λ − α2) та mB(λ) =
(λ − β1)(λ − β2), вiдповiдно, то згiдно наслiдку 2.2 для матриць A i
B iснують iдемпотентнi матрицi P, Q ∈ Mn(R) такi, що
A = Inα1 + (α2 − α1)P i B = Inβ1 + (β2 − β1)Q.
Отже, матрицi A i B мають спiльний власний вектор тодi i тiль-
ки тодi, коли iдемпотентнi матрицi P i Q мають спiльний власний
вектор. Оскiльки (α2 − α1)(β2 − β1) 6= 0, то легко перевiрити, що
rank
[
A, B
]
= rank
[
P, Q
]
. Наслiдок доведено.
Лiтература
[1] R. B. Richter and W. P. Wardlaw, Diagonalization over commutative rings //
Amer. Math. Monthly, 97 (1990), N 3, 223–227.
[2] V. Prokip, On similarity of matrices over commutative rings // Linear Algebra
and Appl., 399 (2005), 225–233.
[3] A. Steger, Diagonability of idempotent matrices // Pacific Journal of Math., 19,
(1966), N 3, 535–542.
[4] П. Кон, Свободные кольца и их связи, М.: Мир, 1975, 422 с.
[5] В. М. Бондаренко, Классификация линейных операторов с минимальным
полиномом f(t) = (t − a)(t − b), a 6= b, действующих в фильтрованном ве-
кторном пространстве // Нелiнiйнi коливання, 3 (2000), N 1, 31–35.
[6] M. Newman, Integer Matrices, Acad. Press, New York, 1972, 226 р.
[7] D. Shemesh, Common eigenvectors of two matrices // Linear Algebra and Appl.,
62 (1984), 11–18.
[8] A. George and Kh. D. Ikramov, Common invariant subspaces of two matrices //
Linear Algebra and Appl., 287 (1999), 171–179.
[9] M. Tsatsomeros, A criterion for the existence of common invariant subspaces of
matrices // Linear Algebra and Appl., 322 (2001), 51–59.
В. М. Прокiп 219
Вiдомостi про авторiв
Володимир
М. Прокiп
Iнститут прикладних проблем механiки i
математики НАН України,
вул. Наукова 3б,
Львiв, 79060
Україна
E-Mail: vprokip@mail.ru
|