Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости

В настоящей работе предложено реологическое соотношение, приводящее к симметричной модели идеальной релаксирующей жидкости в ограниченной области. Для построенной модели исследована эволюционная задача о малых движениях гидросистемы. Приведена теорема об однозначной сильной разрешимости соответствую...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Закора, Д.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124389
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости / Д.А. Закора // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 258-288. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124389
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1243892017-09-25T03:02:55Z Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости Закора, Д.А. В настоящей работе предложено реологическое соотношение, приводящее к симметричной модели идеальной релаксирующей жидкости в ограниченной области. Для построенной модели исследована эволюционная задача о малых движениях гидросистемы. Приведена теорема об однозначной сильной разрешимости соответствующей начально-краевой задачи. В работе изучена также спектральная задача, ассоциированная с исследуемой моделью. Доказаны утверждения о локализации спектра, изучен существенный спектр задачи, найдены асимптотические формулы для ветвей изолированных собственных значений, исследованы вопросы полноты и базисности корневых элементов задачи. 2010 Article Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости / Д.А. Закора // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 258-288. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 45K05, 58C40, 76R99. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124389 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В настоящей работе предложено реологическое соотношение, приводящее к симметричной модели идеальной релаксирующей жидкости в ограниченной области. Для построенной модели исследована эволюционная задача о малых движениях гидросистемы. Приведена теорема об однозначной сильной разрешимости соответствующей начально-краевой задачи. В работе изучена также спектральная задача, ассоциированная с исследуемой моделью. Доказаны утверждения о локализации спектра, изучен существенный спектр задачи, найдены асимптотические формулы для ветвей изолированных собственных значений, исследованы вопросы полноты и базисности корневых элементов задачи.
format	Article
author	Закора, Д.А.
spellingShingle	Закора, Д.А. Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости Український математичний вісник
author_facet	Закора, Д.А.
author_sort	Закора, Д.А.
title	Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости
title_short	Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости
title_full	Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости
title_fullStr	Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости
title_full_unstemmed	Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости
title_sort	симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124389
citation_txt	Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости / Д.А. Закора // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 258-288. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT zakorada simmetričnaâmodelʹidealʹnojvraŝaûŝejsârelaksiruûŝejžidkosti
first_indexed	2025-07-09T01:21:39Z
last_indexed	2025-07-09T01:21:39Z
_version_	1837130429695524864
fulltext	Український математичний вiсник Том 7 (2010), № 2, 258 – 288 Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости Дмитрий Закора (Представлена Н. Д. Копачевским) Аннотация. В настоящей работе предложено реологическое соот- ношение, приводящее к симметричной модели идеальной релаксиру- ющей жидкости в ограниченной области. Для построенной модели исследована эволюционная задача о малых движениях гидросисте- мы. Приведена теорема об однозначной сильной разрешимости со- ответствующей начально-краевой задачи. В работе изучена также спектральная задача, ассоциированная с исследуемой моделью. До- казаны утверждения о локализации спектра, изучен существенный спектр задачи, найдены асимптотические формулы для ветвей изо- лированных собственных значений, исследованы вопросы полноты и базисности корневых элементов задачи. 2010 MSC. 45K05, 58C40, 76R99. Ключевые слова и фразы. сжимаемая жидкость, существова- ние, единственность, спектральная задача, операторный пучок, су- щественный спектр, асимптотика. Введение Задача о малых движениях идеальной релаксирующей жидкости в ограниченной области без учета вращения, а также при отсутствии силы тяжести и при некоторых модельных ограничениях на грани- чные условия для динамической плотности, изучалась в [1, с. 390–410] (см. также [2]). В указанной монографии доказана теорема о сильной разрешимости соответствующей начально-краевой задачи, а также исследована спектральная задача о нормальных колебаниях. В рабо- тах [3, 4] изучена задача о малых движениях идеальной релаксиру- ющей жидкости, заполняющей ограниченную область и находящей- ся под действием гравитационного поля. При этом предполагалось, Статья поступила в редакцию 17.03.2010 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України Д. А. Закора 259 что в состоянии относительного равновесия плотность жидкости по- стоянна. Оказывается, что пренебрежение изменением стационарной плотности приводит к нарушению симметрии в задаче, а также к некомпактным возмущениям в операторном пучке, отвечающем спе- ктральной задаче (даже в случае баротропной модели). В настоящей работе предлагается реологическое соотношение, ко- торое, вместе с учетом точного стационарного состояния жидкости, приводит к симметричной модели идеальной релаксирующей жид- кости. Для этой модели исследуются эволюционная и спектральная задачи. 1. Малые движения вращающейся идеальной релаксирующей жидкости 1.1. Постановка задачи Рассмотрим контейнер, равномерно вращающийся вокруг оси, со- направленной с действием силы тяжести, и полностью заполненный идеальной неоднородной жидкостью. Будем считать, что жидкость занимает ограниченную область Ω ⊂ R 3. Обозначим через ~n едини- чный вектор, нормальный к границе S := ∂Ω и направленный вне области Ω. Введем систему координат Ox1x2x3, жестко связанную с контейнером, таким образом, что ось Ox3 совпадает с осью вращения и направлена против действия силы тяжести, а начало координат на- ходится в области Ω. В этом случае равномерная скорость вращения контейнера запишется в виде ~ω0 := ω0~e3, где ~e3 — орт оси вращения Ox3, а ω0 > 0, для определенности. Будем считать, что внешнее ста- ционарное поле сил ~F0 является гравитационным и действует вдоль оси вращения, то есть ~F0 = −g~e3, g > 0. Рассмотрим состояние относительного равновесия жидкости. Из уравнения Эйлера движения идеальной жидкости, записанного в по- движной системе координат, найдем формулу для градиента стацио- нарного давления: ∇P0 = ρ0(−~ω0 × (~ω0 × ~r) − g~e3) = ρ0∇(2−1\|~ω0 × ~r\|2 − gx3), (1.1) где ~r — радиус-вектор текущей точки области Ω, а ρ0 — стационарная плотность жидкости. В состоянии относительного равновесия динамические составля- ющие давления и плотности, отвечающие за эффекты релаксации в жидкости, отсутствуют. Поэтому будем считать, что в состоянии относительного равновесия жидкость баротропна и удовлетворяет следующему уравнению состояния: ∇P0 = a2 ∞∇ρ0, где a∞ — скорость 260 Симметричная модель... звука в жидкости. Из этого уравнения и соотношения (1.1) заключа- ем, что ρ0 и a2 ∞ могут быть в общем случае функциями параметра z := 2−1ω2 0(x 2 1 + x2 2) − gx3. Таким образом, будем считать далее, что для жидкости определена функция скорости звука a2 ∞ = a2 ∞(z) (это может быть и константа), тогда стационарная плотность может быть найдена как функция параметра z. При этом стационарная плотность ρ0 будет постоянной, только если в системе отсутствует вращение и гравитационное поле. Представим теперь полное давление и плотность жидкости в виде: P̂ (t, x) = P0(z) + p(t, x), ρ̂(t, x) = ρ0(z) + ρ(t, x), где p(t, x) и ρ(t, x) — это динамическое давление и плотность соответственно, возникаю- щие при малых движениях жидкости относительно стационарного состояния. Предположим, что динамические составляющие удовле- творяют следующему реологическому соотношению: Pm ( ∂ ∂t ) ∇p(t, x) = a2 ∞(z) ( Pm ( ∂ ∂t ) + ρ0(z)Qm−1 ( ∂ ∂t )) ∇ρ(t, x), (1.2) где Pm(x), Qm−1(x) — полиномы степеней m и m−1, соответственно. При этом, очевидно, можно считать, что коэффициент при старшей степени в многочлене Pm(x) — единичный. Следуя рассуждениям и идеям из монографии [5], будем предполагать, что все корни поли- нома Pm(x) вещественны, различны и отрицательны; обозначим их через −bl (l = 1, m), а корни полинома Qm−1(x) вещественны, отрица- тельны и чередуются с корнями Pm(x). В этом случае из (1.2) можно вывести следующее уравнение состояния: ∇p(t, x) = a2 ∞(z) ( ∇ρ(t, x) − ρ0(z) t∫ 0 ∇K(t − s)ρ(s, x) ds ) , (1.3) где K(t) = ∑m l=1 kl exp(−blt). Числа b−1 l имеют смысл времен рела- ксации в системе, а kl > 0 (l = 1, m) — некоторые структурные постоянные. В качестве математического обобщения описанных по- строений будем считать в эволюционной задаче, что K = K(t, x) — достаточно гладкое положительное ядро, а в спектральной задаче, что kl = kl(x) — достаточно гладкие положительные функции (если это не вызовет принципиальных изменений в структуре спектра). Осуществим линеаризацию уравнения Эйлера, записанного в по- движной системе координат, относительно состояния относительного равновесия. С использованием уравнения состояния (1.3) получим задачу о малых движениях идеальной релаксирующей жидкости, за- Д. А. Закора 261 полняющей равномерно вращающееся твердое тело: ∂2 ~w(t, x) ∂t2 − 2ω0 ∂ ∂t ( ~w(t, x) × ~e3 ) = −a2 ∞(z)∇ ( ρ−1 0 (z)ρ(t, x) ) + a2 ∞(z) t∫ 0 ∇ ( K(t − s, x)ρ(s, x) ) ds + ~f(t, x) (в Ω), (1.4) ρ(t, x) + div ( ρ0(z)~w(t, x) ) = 0 (в Ω), ~w(t, x) · ~n = 0 (на S), (1.5) где ~w(t, x) — поле смещений в жидкости, p(t, x), ρ(t, x) — динамиче- ское давление и плотность жидкости, ~f(t, x) — малое поле внешних сил, наложенное на гравитационное поле. Выразим из уравнения неразрывности в (1.5) динамическую пло- тность ρ(t, x) и подставим ее в (1.4). Осуществим в полученном урав- нении замену a−2 ∞ (z)~w = ~u, в результате получим основную задачу: ∂2~u(t, x) ∂t2 − 2ω0 ∂ ∂t ( ~u(t, x) × ~e3 ) = ∇ ( ρ−1 0 (z) div ( δ(z)~u(t, x) )) − t∫ 0 ∇ ( K(t − s, x) div ( δ(z)~u(s, x) )) ds + a−2 ∞ (z)~f(t, x) (в Ω), (1.6) δ(z) := ρ0(z)a2 ∞(z), ~u(t, x) · ~n = 0 (на S), (1.7) ~u(0, x) = ~u0(x), ∂ ∂t ~u(0, x) = ~u1(x). (1.8) 1.2. Проектирование уравнений движения Для перехода к операторному уравнению в изучаемой задаче при- меним метод ортогонального проектирования уравнений движения на специальные подпространства [6]. Введем векторное пространство ~L2(Ω, δ) со скалярным произведением и нормой следующего вида: (~v1, ~v2)~L2(Ω,δ) := ∫ Ω δ(z)~v1 · ~v2 dΩ, ‖~v‖2 ~L2(Ω,δ) = ∫ Ω δ(z)\|~v\|2 dΩ. (1.9) Очевидно, в силу свойств функции δ(z), что нормы в пространс- твах ~L2(Ω, δ) и ~L2(Ω) эквивалентны, а значит ~L2(Ω, δ) — гильбертово. Можно проверить, что имеет место разложение (аналог разложения Г. Вейля пространства векторных полей ~L2(Ω) (см. [6, с. 103])): ~L2(Ω, δ) = ~J0(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ), (1.10) 262 Симметричная модель... ~J0(Ω, δ) := {~v ∈ ~L2(Ω, δ) ∣∣ div(δ(z)~v) = 0 (в Ω), vn := ~v · ~n = 0 (на S)}, ~G(Ω, δ) := { ~v ∈ ~L2(Ω, δ) ∣∣ ~v = ∇Φ, ∫ Ω Φ dΩ = 0 } . Здесь операции div~v и vn понимаются в смысле теории обобщенных функций (распределений), см. [6, с. 100–102]. Введем ортопроекторы P0 и PG пространства ~L2(Ω, δ) на ~J0(Ω, δ) и ~G(Ω, δ), соответственно. Будем разыскивать поле ~u в виде: ~u = ~v + ∇Φ, где ~v ∈ ~J0(Ω, δ), ∇Φ ∈ ~G(Ω, δ). (1.11) Подставим представление (1.11) в уравнение (1.6) и применим к его правой и левой частям ортопроекторы P0 и PG, отвечающие ра- зложению (1.10). Преобразуем также граничное условие (1.7) и на- чальные условия (1.8). В результате получим следующую задачу: ∂2~v ∂t2 − 2ω0 ∂ ∂t [ P0(~v × ~e3) + P0(∇Φ × ~e3) ] = P0a −2 ∞ ~f (в Ω), (1.12) ∂2 ∂t2 ∇Φ − 2ω0 ∂ ∂t [ PG(~v × ~e3) + PG(∇Φ × ~e3) ] = ∇ ( ρ−1 0 div(δ∇Φ) ) − t∫ 0 ∇ ( K(t − s) div(δ∇Φ(s)) ) ds + PGa−2 ∞ ~f, ∂Φ ∂n = 0 (на S), (1.13) ~v(0, x) = P0~u 0(x) =: ~v0(x), ∂ ∂t ~v(0, x) = P0~u 1(x) =: ~v1(x), ∇Φ(0, x) = PG~u0(x) =: ∇Φ0(x), ∂ ∂t ∇Φ(0, x) = PG~u1(x) =: ∇Φ1(x). (1.14) 1.3. Вспомогательные операторы и их свойства Для перехода к операторной формулировке задачи (1.12)–(1.14) введем ряд операторов и изучим их свойства. Введем гильбертово пространство H := ~J0(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ), состоящее из пар ξ := (~v;∇Φ)t (здесь символ t обозначает операцию транспонирования), где ~v ∈ ~J0(Ω, δ), ∇Φ ∈ ~G(Ω, δ). Скалярное произведение и норма в H опре- деляются следующим образом: (ξ1, ξ2)H := (~v1, ~v2)~L(Ω,δ) + (∇Φ1,∇Φ2)~L(Ω,δ), ‖ξ‖2 H := (ξ, ξ)H. Д. А. Закора 263 Введем операторы S1,1, S1,2, S2,1, S2,2 и операторный блок S: Sξ := ( S1,1 S1,2 S2,1 S2,2 )( ~v ∇Φ ) := ( iP0(~v × ~e3) iP0(∇Φ × ~e3) iPG(~v × ~e3) iPG(∇Φ × ~e3) ) . (1.15) Имеет место лемма, доказательство которой подобно доказате- льству аналогичной леммы о свойствах кориолисова оператора из [6]. Лемма 1.1. Оператор S является самосопряженным и ограничен- ным в H: S = S∗, S ∈ L(H); более того, ‖S‖ = 1. Спектр оператора S1,1 существенный (см. [7]) и заполняет отрезок [−1, 1]: σ(S1,1) = = σess(S1,1) = [−1, 1] (здесь через σess(S1,1) обозначен существенный (предельный) спектр оператора S1,1). Будем считать далее, что функции K(t, x) и a2 ∞(z) (напомним, что z := 2−1ω2 0(x 2 1 + x2 2) − gx3) непрерывно дифференцируемы по прост- ранственным переменным, а граница S области Ω — класса C2. Лемма 1.2. Введем пространство HA := { ∇Φ ∈ ~W 1 2 (Ω) ∣∣∣ ∂Φ ∂n = 0 (на S), ∫ Ω Φ dΩ = 0 } с нормой, порожденной скалярным произведением следующего вида: (∇Φ1,∇Φ2)A := ∫ Ω ρ−1 0 div(δ∇Φ1)div(δ∇Φ2) dΩ. Пространство HA является гильбертовым; оно компактно вло- жено в пространство ~G(Ω, δ): HA ⊂→⊂→ ~G(Ω, δ). Порождающий опе- ратор A гильбертовой пары (HA; ~G(Ω, δ)), являющийся самосопря- женным и положительно определенным в ~G(Ω, δ), обладает дис- кретным спектром. Для каждого поля ∇q ∈ ~G(Ω, δ) существует и единственно обобщенное решение задачи −∇(ρ−1 0 (z) div(δ(z)∇Φ)) = ∇q (в Ω), ∂Φ ∂n = 0 (на S), ∫ Ω Φ dΩ = 0, выражаемое формулой ∇Φ = A−1∇q. Более того, A−1 ∈ Sp(~G(Ω, δ)) при p > 3/2 и справедлива следующая асимптотическая формула: λk(A) = ( 1 6π2 ∫ Ω ρ −3/2 0 (z)a−6 ∞ (z) dΩ )−2/3 k2/3(1 + o(1)) (k → ∞). 264 Симметричная модель... Доказательство. Покажем, что HA гильбертово пространство. Для каждого поля ∇Φ из HA можно вывести следующее неравенство: ‖∇Φ‖2 A ≤ 2 max x∈Ω ρ−1 0 (z) · max { ‖∇δ‖2 ~L2(Ω) , 2 max x∈Ω δ(z) } ‖∇Φ‖2 ~W 1 2 (Ω) . (1.16) Выведем противоположное неравенство, которое вместе с (1.16) обеспечит эквивалентность указанных норм. Рассмотрим задачу LΦ := −div(δ∇Φ) = f (в Ω), BΦ := ∂Φ ∂n = ϕ (на S). (1.17) Можно проверить, что дифференциальное выражение L правильно эллиптично, а граничное условие B накрывает его (см. [8, с. 222]). Таким образом, задача (1.17) эллиптична, а ее ядро (т.е. решение задачи (1.17) при f ≡ 0, ϕ ≡ 0), как несложно проверить, состоит из констант. Из леммы 6.3 из [8, c. 226] следует, что ∃ c > 0 : ‖LΦ‖2 L2(Ω) ≥ c‖Φ‖2 W 2 2 (Ω) ∀Φ ∈ W 2 2 (Ω, B), где W 2 2 (Ω, B) := { Φ ∈ W 2 2 (Ω) ∣∣∣ ∂Φ ∂n = 0 (на S), (Φ, 1)L2(Ω) = 0 } . (1.18) Из (1.18) для каждого поля ∇Φ из HA выведем следующее неравен- ство: ‖∇Φ‖2 A ≥ c min x∈Ω ρ−1 0 (z)‖Φ‖2 W 2 2 (Ω) ≥ c min x∈Ω ρ−1 0 (z)‖∇Φ‖2 ~W 1 2 (Ω) . (1.19) Из (1.16), (1.19) получаем, что HA — гильбертово пространство. Пространство HA является плотным множеством в ~G(Ω, δ). Из неравенства (1.19), с учетом того, что ‖∇Φ‖ ~G(Ω,δ) ≤ ‖∇Φ‖ ~W 1 2 (Ω) для каждого ∇Φ ∈ ~W 1 2 (Ω) ∩ ~G(Ω, δ), следует, что HA и ~G(Ω, δ) образуют гильбертову пару (HA; ~G(Ω, δ)). Найдем порождающий оператор A указанной гильбертовой пары; он определяется из тождества (см. [6, с. 33]) (A∇Φ1,∇Φ2) ~G(Ω,δ) = (∇Φ1,∇Φ2)A, ∇Φ1 ∈ D(A), ∇Φ2 ∈ HA. (1.20) Для дважды дифференцируемого поля ∇Φ1, с использованием формулы Грина для оператора Лапласа, тождество (1.20) можно пре- Д. А. Закора 265 образовать следующим образом: (A∇Φ1,∇Φ2) ~G(Ω,δ) = ∫ Ω ρ−1 0 div(δ∇Φ1) div(δ∇Φ2) dΩ = − ∫ Ω ∇(ρ−1 0 div(δ∇Φ1)) · δ∇Φ2 dΩ + ∫ S a2 ∞ div(δ∇Φ1) ∂Φ2 ∂n dS = (−∇(ρ−1 0 div(δ∇Φ1),∇Φ2) ~G(Ω,δ). (1.21) Отсюда следует, что дважды дифференцируемое решение уравнения A∇Φ1 = ∇q является решением задачи −∇(ρ−1 0 (z) div(δ(z)∇Φ1)) = ∇q (в Ω), ∂Φ1 ∂n = 0 (на S), ∫ Ω Φ1 dΩ = 0. Эта задача имеет единственное обобщенное решение ∇Φ1 = A−1∇q для каждого поля ∇q ∈ ~G(Ω, δ). Из неравенства (1.16) и компактности вложения пространства ~W 1 2 (Ω) в ~L2(Ω, δ) следует, что HA ⊂→⊂→ ~G(Ω, δ). Это влечет ком- пактность оператора A−1, а значит оператор A обладает дискретным спектром. Асимптотическая формула для собственных значений опе- ратора A следует из общих формул из работы [9]. Аналогично оператору A, заменяя ρ−1 0 (z) на K(t, x), введем опе- ратор-функцию K(t), при этом D(A) = D(K(t)) для каждого t ≥ 0. 1.4. Переход к операторному уравнению. Исследование интегродифференциального уравнения второго порядка. Разрешимость исходной начально-краевой задачи С использованием введенных операторов задачу (1.12)–(1.14) за- пишем в виде задачи Коши для интегродифференциального уравне- ния второго порядка в гильбертовом пространстве H = ~J0(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ): d2ξ dt2 + 2ω0iS dξ dt = −PGAξ + t∫ 0 K(t − s)ξ(s) ds + F(t), ξ(0) = ξ0, ξ′(0) = ξ1, (1.22) где PG := diag(0, IG), A := diag(I0, A), K(t) := diag(0, K(t)), 266 Симметричная модель... F(t) := (P0a −2 ∞ ~f(t); PGa−2 ∞ ~f(t))t, ξ0 := (~v0;∇Φ0)t, ξ1 := (~v1;∇Φ1)t. Таким образом, если поле ~u — такое решение задачи (1.6)–(1.8) о малых движениях вращающейся идеальной релаксирующей жидко- сти в ограниченной области, что все проведенные до сих пор рассу- ждения законны, тогда функция ξ является решением задачи Коши для интегродифференциального уравнения второго порядка (1.22). Дадим следующее определение. Определение 1.1. Назовем сильным решением исходной начально- краевой задачи (1.6)–(1.8) такое поле ~u, для которого функция ξ яв- ляется сильным решением задачи Коши (1.22). В свою очередь силь- ным решением задачи Коши (1.22) (см. [10, с. 291]) назовем функцию ξ(t) такую, что ξ(t) ∈ D(A), ξ′(t) ∈ D(A1/2) для любого t из R+, Aξ(t), A1/2ξ′(t) ∈ C(R+;H), ξ(t) ∈ C2(R+;H), выполнены начальные условия и уравнение из (1.22) для любого t ∈ R+ := [0, +∞). Осуществим в задаче (1.22) замену A1/2ξ(t) = η′(t), η(0) = 0 и преобразуем ее к системе двух уравнений с начальными условиями: d2ξ dt2 = −2ω0iS dξ dt − PGA1/2 dη dt + t∫ 0 K(t − s)A−1/2 dη(s) ds ds + F(t), d2η dt2 = A1/2 dξ dt , ξ′(0) = ξ1, η′(0) = A1/2ξ0. (1.23) Очевидно, что PGA1/2 = A1/2 − P0, K(t)A−1/2 = Kb(t)A1/2, где P0 ∈ L(H) и Kb(t) ∈ L(H) при каждом t ∈ R+. С использованием проведенных преобразований запишем систему (1.23) в виде одного интегродифференциального уравнения первого порядка в гильберто- вом пространстве H(2) := H⊕H: dy dt = Ây + R̂y + t∫ 0 K̂(t − s)Ĉy(s) ds + F̂(t), y(0) = y0, (1.24) где y := (ξ′; η′)t, y0 := (ξ1;A1/2ξ0)t, Ĉ := diag(0,A1/2), F̂(t) := (F(t); 0)t, Â := ( −2ω0iS −A1/2 A1/2 0 ) , R̂ := ( 0 P0 0 0 ) , K̂(t) := ( 0 Kb(t) 0 0 ) ; при этом R̂ ∈ L(H(2)) и K̂(t) ∈ L(H(2)) при каждом t ∈ R+, а обла- сти определения операторов Â и Ĉ, очевидно, связаны включением D(Â) ⊂ D(Ĉ). Д. А. Закора 267 Определение 1.2 ([10, с. 38]). Сильным решением задачи Коши (1.24) назовем функцию y(t) такую, что y(t) ∈ D(Â) для любого t из R+, Ây(t) ∈ C(R+;H(2)), y(t) ∈ C1(R+;H(2)), y(0) = y0 и выполнено уравнение из (1.24) для любого t ∈ R+. Имеют место следующие теоремы. Теорема 1.1. Пусть K̂(t) ∈ C1(R+;L(H(2))), F̂(t) ∈ C1(R+;H(2)), тогда для любого y0 ∈ D(Â) существует и единственно сильное ре- шение задачи Коши (1.24). Теорема 1.2. Пусть ядро K(t, x) интегрального оператора Воль- терра и поле ~f(t, x) непрерывно дифференцируемы по переменной t ∈ R+ со значениями в C1(Ω) и ~L2(Ω, δ), соответственно, тогда для любых ~u0(x) и ~u1(x) таких, что P0~u 0, P0~u 1 ∈ ~J0(Ω, δ), PG~u0 ∈ D(A), PG~u1 ∈ D(A1/2), существует и единственно сильное (в смысле опре- деления 1.1) решение начально-краевой задачи (1.6)–(1.8). Подобные теоремы доказаны в [1,3, 4]. 2. Нормальные колебания вращающейся идеальной релаксирующей жидкости 2.1. Вывод основного операторного пучка Задача (1.6)–(1.8) о малых движениях идеальной релаксирующей жидкости, заполняющей вращающееся твердое тело, приводится к задаче Коши (1.22). Будем считать далее, что ядро K(t, x) определя- ется по следующей формуле K(t, x) = ∑m l=1 kl(x) exp(−blt), где kl(x) (l = 1, m) — некоторые положительные и непрерывно дифференци- руемые в Ω функции (см. после (1.3)). Тогда однородное уравнение из (1.22), записанное в виде системы, примет вид:    d2~v dt2 + 2ω0i ( S1,1 d~v dt + S1,2 d∇Φ dt ) = 0, d2∇Φ dt2 + 2ω0i ( S2,1 d~v dt + S2,2 d∇Φ dt ) = −A∇Φ + m∑ l=1 t∫ 0 exp (−bl(t − s))Kl∇Φ(s) ds, (2.1) где Kl (l = 1, m) — операторы, которые строятся аналогично опера- тору A (заменой ρ−1 0 (z) на kl(x) в лемме 1.2). 268 Симметричная модель... Систему интегродифференциальных операторных уравнений (2.1) можно свести к системе дифференциально-операторных уравнений второго порядка. А именно, осуществим в системе (2.1) замены: ∇Φl := t∫ 0 exp (−bl(t − s))Kl∇Φ(s) ds (l = 1, m). (2.2) Рассматривая продифференцированные соотношения (2.2) как систему дифференциальных уравнений, присоединенных к системе (2.1), получим следующую задачу:    d2~v dt2 + 2ω0i ( S1,1 d~v dt + S1,2 d∇Φ dt ) = 0, d2∇Φ dt2 + 2ω0i ( S2,1 d~v dt + S2,2 d∇Φ dt ) = −A∇Φ + m∑ l=1 ∇Φl, d∇Φl dt = Kl∇Φ − bl∇Φl (l = 1, m). (2.3) Разыскивая решения системы (2.3) в виде: (~v(t);∇Φ(t);∇Φ1(t); . . . ;∇Φm(t))t = exp(−λt)(~v;∇Φ;∇Φ1; . . . ;∇Φm)t, получим следующую спектральную задачу:    λ2~v − 2ω0iλ(S1,1~v + S1,2∇Φ) = 0, λ2∇Φ − 2ω0iλ(S2,1~v + S2,2∇Φ) = −A∇Φ + m∑ l=1 ∇Φl, (bl − λ)∇Φl = Kl∇Φ (l = 1, m), (2.4) где ~v ∈ ~J0(Ω, δ), ∇Φ ∈ D(A) = D(Kl), ∇Φl ∈ ~G(Ω, δ) (l = 1, m). Всюду далее будем считать, что b1 < · · · < bm. Покажем, что чи- сла λ = bl (l = 1, m) не являются собственными значениями зада- чи (2.4). В самом деле, положим λ = bk в системе (2.4). Тогда, в силу положительной определенности оператора Kk, получим, что ∇Φ = 0. Отсюда следует, что ∇Φl = 0 (l 6= k). При этих условиях из первого уравнения системы (2.4) следует, что ~v = 0. Тогда из второго урав- нения системы (2.4) получим, что ∇Φk = 0. Полученные равенства противоречат тому, что λ = bk собственное значение задачи (2.4). Учитывая это обстоятельство, преобразуем систему (2.4) следующим образом: Д. А. Закора 269    λ2~v − 2ω0iλ(S1,1~v + S1,2∇Φ) = 0, λ2∇Φ − 2ω0iλ(S2,1~v + S2,2∇Φ) = −A∇Φ + m∑ l=1 (bl − λ)−1Kl∇Φ. Осуществим здесь замену A1/2∇Φ = ϕ (здесь и далее для кра- ткости опущен знак градиента). В результате придем к следующей системе операторных уравнений:    λ2I0~v − 2ω0iλ(S1,1~v + Ŝ1,2ϕ) = 0, λ2A−1ϕ − 2ω0iλ(Ŝ2,1~v + Ŝ2,2ϕ) + ( IG − m∑ l−1 (bl − λ)−1K̂l ) ϕ = 0, (2.5) где Ŝ1,2 := S1,2A −1/2, Ŝ2,1 := A−1/2S2,1, Ŝ2,2 := A−1/2S2,2A −1/2, K̂l := A−1/2KlA −1/2 (l = 1, m). Операторы Ŝ1,2, Ŝ2,1 и Ŝ2,2 компактны, а I0, IG — единичные операторы в ~J0(Ω, δ) и ~G(Ω, δ). Для вывода окончательной системы операторных уравнений по- лучим удобное для дальнейшего представление для операторов K̂l (l = 1, m). С этой целью рассмотрим гильбертово пространство L2(Ω) функций, суммируемых со своими квадратами по области Ω, а также его подпространство L2,ρ0 (Ω) := {f ∈ L2(Ω)\| (f, ρ 1/2 0 )L2(Ω) = 0}. Опре- делим операторы Πf := f − ∫ Ω ρ 1/2 0 (z)f(x) dΩ (∫ Ω ρ 1/2 0 (z) dΩ )−1 , Π⊥ := I − Π, где I — единичный оператор в L2(Ω). Несложно проверить, что вве- денные операторы Π и Π⊥ являются ортопроекторами пространства L2(Ω) на L2,ρ0 (Ω) и L⊥ 2,ρ0 (Ω), соответственно. Имеет место следующая лемма. Лемма 2.1. Для операторов K̂l (l = 1, m) справедливо следующее представление: K̂l = U∗MΠ(pl)U , pl(x) := kl(x)ρ0(z) (l = 1, m), где U : ~G(Ω, δ) → L2,ρ0 (Ω) — унитарный оператор, а MΠ(pl) — суже- ние на подпространство L2,ρ0 (Ω) оператора умножения на функцию pl(x) в пространстве L2(Ω). Операторы K̂l (l = 1, m) являются огра- ниченными, самосопряженными в ~G(Ω, δ) и max x∈Ω pl(x)‖∇Φ‖2 ~G(Ω,δ) ≥ (K̂l∇Φ,∇Φ) ~G(Ω,δ) ≥ min x∈Ω pl(x)‖∇Φ‖2 ~G(Ω,δ) . (2.6) 270 Симметричная модель... Доказательство. Определим оператор T∇Φ := ρ −1/2 0 div(δ∇Φ), D(T ) = D(A1/2) = HA (см. лемму 1.2). Оператор T замкнут из ~G(Ω, δ) в L2,ρ0 (Ω). Сопряженный к T оператор T ∗ϕ = −∇(ρ −1/2 0 ϕ) задан на плотном множестве D(T ∗) ⊂ L2,ρ0 (Ω) и имеет нулевое ядро. Отсюда следует, что замыкание образа оператора T совпадает со всем пространством L2,ρ0 (Ω). Из этих рассуждений и равенства A = T ∗T на D(A) следует, что имеет место полярное представление T = UA1/2 (см. [11, с. 420]), где U : ~G(Ω, δ) → L2,ρ0 (Ω) — унитарный оператор. Теперь операторы Kl (l = 1, m) с помощью введенных операторов T и U могут быть представлены в следующей форме: Kl = T ∗ΠM(pl)ΠT = A1/2U∗ΠM(pl)ΠUA1/2. Следовательно, K̂l = A−1/2KlA −1/2 = U∗ΠM(pl)ΠU = U∗MΠ(pl)U , где MΠ(pl) := ΠM(pl)Π — сужение на подпространство L2,ρ0 (Ω) опе- ратора умножения на функцию pl(x) в пространстве L2(Ω). Ограниченность и самосопряженность операторов K̂l (l = 1, m) очевидна. Докажем оценки (2.6). Пусть ∇Φ ∈ ~G(Ω, δ), тогда max x∈Ω pl(x)‖∇Φ‖2 ~G(Ω,δ) = max x∈Ω pl(x)‖U∇Φ‖2 L2,ρ0 (Ω) ≥ (M(pl)U∇Φ, U∇Φ)L2,ρ0 (Ω) = (M(pl)ΠU∇Φ, ΠU∇Φ)L2,ρ0 (Ω) = (K̂l∇Φ,∇Φ) ~G(Ω,δ) ≥ · · · ≥ min x∈Ω pl(x)‖∇Φ‖2 ~G(Ω,δ) . Здесь была использована унитарность оператора U , свойство ортого- нальности проектора Π, а также равенство U = ΠU . С помощью полученного представления для операторов K̂l пре- образуем систему (2.5) и придем к следующей основной спектраль- ной задаче, записанной в векторно-матричной форме в гильбертовом пространстве H = ~J0(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ): L(λ)ξ := λ2Aξ − 2ω0iλSξ + Q(λ)ξ = 0, (2.7) где ξ := (~v; ϕ)t ∈ H, A := diag(I0, A −1), S1,1 := S1,1, S1,2 := Ŝ1,2, S2,1 := Ŝ2,1, S2,2 := Ŝ2,2, Q(λ) := diag(0, IG − m∑ l=1 (bl − λ)−1U∗MΠ(pl)U). Задача (2.7), которую мы назовем спектральной задачей, ассоции- рованной с задачей о нормальных колебаниях идеальной релаксиру- ющей жидкости, заполняющей вращающееся твердое тело, и будет предметом дальнейших исследований. Д. А. Закора 271 2.2. Предельный спектр задачи и локализация спектра Определим вспомогательную оператор-функцию M(λ) и фун- кцию pλ(x) (x ∈ Ω) по формулам: M(λ) := IG − m∑ l=1 U∗MΠ(pl)U bl − λ , pλ(x) := 1 − m∑ l=1 pl(x) bl − λ (x ∈ Ω). (2.8) Введем следующие условия на физические параметры системы: (a) : p0(x) = 1 − m∑ l=1 kl(x)ρ0(z) bl > 0 ∀x ∈ Ω; (2.9) (b) : ∃ al > 0 (l = 1, m) : m∑ l=1 al = 1, al − kl(x)ρ0(z) bl > 0 ∀x ∈ Ω. (2.10) Очевидно, что из условия (2.10) следует (2.9), а значит условие (b) более жесткое. Эти ограничения предполагают, что времена рела- ксации b−1 l в системе и корректирующие функции kl(x) достаточно малы в сравнении со стационарной плотностью ρ0(z). Отметим здесь также, что функции kl(x) > 0 (l = 1, m) предполагаются непрерывно дифференцируемыми в Ω. Пусть выполнено условие (2.9). Рассмотрим уравнение pλ(x) = 0. При каждом фиксированном x ∈ Ω, как несложно проверить, это уравнение имеет ровно m действительных положительных кор- ней, которые разделены числами bl (l = 1, m) (напомним, что 0 < b1 < · · · < bm). В силу непрерывности функции pλ(x) по про- странственным переменным при изменении x ∈ Ω корни уравнения будут меняться непрерывно и в совокупности образовывать ровно m отрезков ∆l ⊂ (bl−1, bl) (b0 := 0, l = 1, m). Лемма 2.2. Весь спектр оператор-функции M(λ) существенный (предельный) и состоит из объединения m отрезков ∆l (l = 1, m): σ(M(λ)) = σess(M(λ)) = ∪m l=1∆l. Доказательство. Рассмотрим спектральную задачу M(λ)ϕ = 0. Осуществляя замену Uϕ =: f ∈ L2,ρ0 (Ω), преобразуем ее к эквива- лентной спектральной задаче MΠ(pλ)f = ΠM(pλ)Πf = 0. Дальней- шее доказательство основано на построении некомпактной последо- вательности Вейля для последней задачи. 272 Симметричная модель... Отметим, что совокупность тех значений λ, для которых функция pλ(x) имеет нули в Ω, является плотным множеством в ∪m l=1∆l. Пусть теперь λ0 из этого плотного в ∪m l=1∆l множества и x0 ∈ Ω — один из нулей функции pλ0 (x). Рассмотрим шар Sr := {x ∈ R 3\| \|x − x0\| ≤ r} и Sr,+ := {\|x − x0\| ≤ r, x3 > x0,3}, Sr,− := {\|x − x0\| ≤ r, x3 ≤ x0,3} — верхнюю и нижнюю его половины. Определим семейство функций fr(x) := ‖ρ−1/2 0 χSr ‖−1 L2(Ω)ρ −1/2 0 (z)(χSr,+ (x) − χSr,− (x)), r > 0, (2.11) где χS(x) — индикатор множества S. Пусть r таково, что Sr ⊂ Ω, тогда построенные функции обладают свойствами: (f, ρ 1/2 0 )L2(Ω) = ‖ρ−1/2 0 χSr ‖−1 L2(Ω) ∫ Ω (χSr,+ (x) − χSr,− (x)) dΩ = 0, ‖fr‖2 L2(Ω) = ‖ρ−1/2 0 χSr ‖−2 L2(Ω) ∫ Ω ρ−1 0 (z)χSr (x) dΩ = 1, а значит fr ∈ L2,ρ0 (Ω), ‖fr‖L2(Ω) = 1 (при достаточно малых r > 0). Из вида построенных функций следует, что множество {fr} не- компактно в L2,ρ0 (Ω). Осуществим следующие оценки ‖ΠM(pλ0 )Πfr‖2 L2(Ω) ≤ ‖M(pλ0 )Πfr‖2 L2(Ω) = ‖M(pλ0 )fr‖2 L2(Ω) = ∫ Ω \|pλ0 (x)fr(x)\|2 dΩ = ‖ρ−1/2 0 χSr ‖−2 L2(Ω) ∫ Ω ρ−1 0 (z)p2 λ0 (x)χSr (x) dΩ = ‖ρ−1/2 0 χSr ‖−2 L2(Ω) ∫ Sr ρ−1 0 (z) dSr · p2 λ0 (y) ∣∣ y∈Sr = p2 λ0 (y) ∣∣ y∈Sr → 0 (r → 0), где последнее соотношение следует из непрерывности функции pλ0 (x) и равенства pλ0 (x0) = 0. Таким образом, λ0 ∈ σess(M(λ)). Из свойства замкнутости спектра следует утверждение леммы. Для дальнейшего понадобится следующая лемма (см. [12]). Лемма 2.3 (Г. В. Радзиевский [12], см. также [13]). Пусть H — гильбертово пространство, 0 ≤ A = A∗, B ∈ S∞, 0 ≤ β < 1, тогда ‖(I − λA)−1Aβ‖ ≤ C(β, arg λ)\|λ\|−β , λ ∈ Λε := {λ ∈ C\| \| arg λ\| > ε}, Д. А. Закора 273 lim η→∞ sup \|λ\|>η, \| arg λ\|>ε \|λ\|β‖(I − λA)−1AβB‖ = 0. (2.12) Имеет место следующая теорема. Теорема 2.1. Для любого как угодно малого ε > 0 существует R = R(ε) > 2ω0 такое, что весь спектр пучка L(λ) принадлежит множеству σR := Λ+ R,ε ∪ Λ− R,ε ∪ CR, где Λ± R,ε := {λ ∈ C\| \|λ\| > R, \| arg λ ∓ π/2\| < ε}, −π < arg λ ≤ π, (2.13) CR — круг радиуса R с центром в начале координат. Спектр, лежа- щий вне множества Λ := [−2ω0i, 2ω0i] ∪ {∪m l=1∆l}, состоит из изо- лированных конечнократных собственных значений (дискретный). Возможными предельными точками спектра могут быть только точки указанного множества и бесконечно удаленная точка. Доказательство. Установим прежде, что точки λ = bl (l = 1, m), ко- торые не являются собственными значениями L(λ), не являются та- кже и предельными точками спектра пучка L(λ). Для этого до- статочно доказать, что пучок L(λ) непрерывно обратим в некото- рой окрестности этих точек. Рассмотрим уравнение L(λ)ξ1 = ξ2, где ξ2 := (~v2; ϕ2) t из H — заданный элемент, а ξ1 := (~v1; ϕ1) t — искомый. Если λ близко к bl0 то из первого соотношения системы, через кото- рую можно записать последнее уравнение, можно с помощью огра- ниченных оператор-функций выразить ~v1 через ϕ1 и ~v2: ~v1 = λ−1S(λ) ( 2ω0iλŜ1,2ϕ1+~v2 ) , где S(λ) := (λI0−2ω0iS1,1) −1. (2.14) Подставим это представление во второе уравнение системы: ( λ2A−1−2ω0iλŜ2,2 +M(λ) ) ϕ1−2ω0iŜ2,1S(λ) ( 2ω0iλŜ1,2ϕ1 +~v2 ) = ϕ2. (2.15) Учитывая вид оператор-функции M(λ), из последнего соотношения можно с помощью ограниченных оператор-функций выразить ϕ1 че- рез ϕ2 и ~v2, если только λ достаточно близко к bl0 . Это означает, что точка bl0 не является предельной для спектра пучка L(λ). Зафиксируем ε > 0 и покажем, что существует R > 2ω0 такое, что σ(L(λ)) ⊂ σR. Для этого достаточно показать, что пучок L(λ) не- прерывно обратим при λ ∈ C\σR. В связи с этим опять рассмотрим уравнение L(λ)ξ1 = ξ2. Будем считать, что \|λ\| > 2ω0 = ‖2ω0iS1,1‖, то- гда в последней задаче можно с помощью ограниченных оператор- функций исключить ~v1 и прийти к задаче (2.15), которую представим в форме: l(λ)ϕ1 = 2ω0iŜ2,1S(λ)~v2 + ϕ2, l(λ) := IG + λ2A−1 + G(λ), (2.16) 274 Симметричная модель... G(λ) := − m∑ l=1 (bl − λ)−1U∗MΠ(pl)U − 2ω0iλŜ2,2 + 4ω2 0λŜ2,1S(λ)Ŝ1,2. Нужно показать, что оператор-функция l(λ) непрерывно обрати- ма при λ ∈ C\σR (при достаточно большом R > 2ω0), тогда из (2.14)– (2.16) будет следовать, что пучок L(λ) непрерывно обратим при λ ∈ C\σR. В самом деле, представим оператор-функцию l(λ) в ви- де: l(λ) = (IG + iλA−1/2) ( IG + (IG + iλA−1/2)−1 × G(λ)(IG − iλA−1/2)−1 ) (IG − iλA−1/2). Здесь крайние скобки — непрерывно обратимые при λ ∈ C\σR опера- торы. Таким образом, для непрерывной обратимости l(λ) достаточно показать, что ‖(IG + iλA−1/2)−1G(λ)(IG − iλA−1/2)−1‖ → 0 (λ → ∞). (2.17) Несложно проверить, что ‖S(λ)‖ = O(\|λ\|−1) при λ → ∞. Отсюда и из оценки (2.12) (при β = 0) следует, что в (2.17) в оценке нуждается лишь следующее (наиболее сильное) выражение: ‖(IG + iλA−1/2)−1Ŝ2,2(IG − iλA−1/2)−1‖ = ‖(IG + iλA−1/2)−1A−1/2S2,2A −1/2(IG − iλA−1/2)−1‖ ≤ ‖(IG + iλA−1/2)−1A−1/4(A−1/4S2,2A −1/4)‖ × ‖(IG − iλA−1/2)−1A−1/4‖ = o(\|λ\|−1) (λ → ∞, λ ∈ C\σR). (2.18) Здесь использованы оценки из леммы 2.3. Из (2.18) и предыдущих рассуждений следует, что для каждого ε > 0 существует R = R(ε) > 2ω0 такое, что пучок L(λ) непрерывно обратим при λ ∈ C\σR, а зна- чит σ(L(λ)) ⊂ σR = Λ+ R,ε ∪ Λ− R,ε ∪ CR. Перейдем от задачи (2.7) к задаче для фредгольмовой оператор- функции: LF (λ)ξ := ( λ(λI0 − 2ω0iS1,1) 0 0 M(λ) )−1 L(λ)ξ =: (I + F(λ))ξ = 0, (2.19) где I — это единичный оператор в H, а оператор-функция F(λ), как несложно проверить, принимает компактные значения при λ ∈ C\Λ. Д. А. Закора 275 На множестве C\Λ спектры пучков LF (λ) и L(λ) совпадают. Посколь- ку точки, достаточно близкие к числам bl, являются регулярными точками для L(λ), то из (2.19) заключаем, что они же будут регу- лярными и для LF (λ), а значит пучок LF (λ) является регулярным в C\Λ. Отсюда следует (см. [14], а также [6, с. 74]), что все точки спе- ктра, не принадлежащие множеству Λ, являются изолированными собственными значениями оператор-функции задачи (2.19), а значит и L(λ). Собственные элементы, отвечающие этим собственным значе- ниям, имеют конечные кратности. Точками сгущения могут являться только особенности оператор-функции F(λ), то есть множество Λ и бесконечно удаленная точка. Основываясь на доказанном утверждении, установим теорему о дискретном и существенном спектре задачи (2.7). Теорема 2.2. Предельный (существенный) спектр пучка L(λ) сов- падает с множеством Λ: σess(L(λ)) = Λ. Доказательство. Пусть λ принимает значения из окрестности мно- жества ∪m l=1∆l, тогда в уравнении L(λ)ξ = 0 с помощью ограничен- ных оператор-функций можно исключить ~v и прийти к задаче ( M(λ) + F1(λ) ) ϕ := ( λ2A−1 − 2ω0iλŜ2,2 + M(λ) + 4ω2 0λŜ2,1(λI0 − 2ω0iS1,1) −1Ŝ1,2 ) ϕ = 0, (2.20) где F1(λ) ∈ S∞. Пусть λ0 ∈ ∪m l=1∆l, тогда {λ = 0} ⊂ σess(M(λ0)). Оператор M(λ0) самосопряжен, а F1(λ0) ∈ S∞. По теореме Г. Вейля {λ = 0} ⊂ σess(M(λ0) + F1(λ0)). Следовательно, существует неком- пактная последовательность Вейля {ϕn}∞n=1 такая, что ‖M(λ0)ϕn + F1(λ0)ϕn‖ ~G(Ω,δ) → 0 при n → ∞. Это означает, что λ0 ∈ σess(L(λ)), а значит ∪m l=1∆l ⊂ σess(L(λ)). Рассмотрим теперь пучок l1(λ) := λ2A−1 − 2ω0iλŜ2,2 + M(λ). Пу- чок M−1(λ)l1(λ) имеет вид фредгольмовой оператор-функции, ре- гулярной в C\ ∪m l=1 ∆l, а значит в некоторой окрестности отрезка [−2ω0i, 2ω0i] может иметь лишь конечное количество изолированных собственных значений конечной кратности. Это же утверждение вер- но и для пучка l1(λ). Пусть теперь λ принимает значения из некоторой окрестности отрезка [−2ω0i, 2ω0i] и не совпадает ни с одним собственным значени- ем пучка l1(λ). Тогда в уравнении L(λ)ξ = 0 с помощью ограниченных оператор-функций можно исключить ϕ и прийти к задаче 276 Симметричная модель... ( λI0−2ω0iS1,1+F2(λ) ) ~v := ( λI0−2ω0iS1,1+4ω2 0λŜ1,2l −1 1 (λ)Ŝ2,1 ) ~v = 0, где F2(λ) ∈ S∞. Осуществим в этой задаче замену спектрального па- раметра λ = iµ и умножим обе части уравнения на мнимую единицу: (2ω0S1,1 − µI0 + iF2(iµ))~v = 0. Применяя к этой задаче рассуждения из первой части теоремы и используя свойство замкнутости спектра, получим, что [−2ω0i, 2ω0i] ⊂ σess(L(λ)). Из проведенных рассуждений следует, что Λ ⊂ σess(L(λ)). В силу теоремы 2.1 вне множества Λ спектр пучка L(λ) — дискретен, следо- вательно, имеет место не включение, а равенство Λ = σess(L(λ)). Докажем, что спектр задачи (2.7) лежит в правой замкнутой по- луплоскости. Запишем задачу L(λ)ξ = 0, где ξ := (~v; ϕ)t ∈ H, в виде L(λ)ξ := ( λ2A− 2ω0iλS + P − m∑ l=1 (bl − λ)−1Kl ) ξ = 0, (2.21) где P := diag(0, IG), Kl := diag(0, U∗MΠ(pl)U) = diag(0, K̂l). Теорема 2.3. Пусть выполнено условие (b) (см. (2.10)), тогда весь спектр задачи (2.21) лежит в полосе {0 ≤ Re λ < bm}. Доказательство. Из теоремы 2.2 следует, что существенный спектр задачи (2.21) попадает в указанную полосу. Осталось доказать, что все изолированные собственные значения задачи попадают туда же. Пусть λ 6= 0 — собственное значение задачи (2.21), а ξ = (~v; ϕ)t — отвечающий ему собственный элемент, тогда λ(Aξ, ξ) − 2ω0i(Sξ, ξ) + 1 λ (Pξ, ξ) − m∑ l=1 1 λ(bl − λ) (Klξ, ξ) = 0. (2.22) Выделив действительную часть из (2.22) получим, что Re λ [ (Aξ, ξ) + (Pξ, ξ) \|λ\|2 + m∑ l=1 \|λ\|2 − \|bl − λ\|2 \|λ\|2\|bl − λ\|2 · (Klξ, ξ) bl ] = m∑ l=1 (Klξ, ξ) \|bl − λ\|2 . (2.23) Выберем теперь положительные числа al (l = 1, m), как в условии (b) (см. (2.10)), тогда из леммы 2.1 получим, что (Pξ, ξ)albl − (Klξ, ξ) = ‖ϕ‖2 ~G(Ω,δ) albl − (K̂lϕ, ϕ) ~G(Ω,δ) ≥ ‖ϕ‖2 ~G(Ω,δ) (albl − max x∈Ω pl(x)) ≥ 0 Д. А. Закора 277 и m∑ l=1 [ \|λ\|2 − \|bl − λ\|2 \|λ\|2\|bl − λ\|2 · (Klξ, ξ) bl + al(Pξ, ξ) \|λ\|2 ] = m∑ l=1 (Klξ, ξ)\|λ\|2 + \|bl − λ\|2((Pξ, ξ)albl − (Klξ, ξ)) bl\|λ\|2\|bl − λ\|2 ≥ 0. Отсюда и из (2.23) следует, что Re λ ≥ 0. Если Re λ > 0, то из после- днего неравенства и из (2.23) можно вывести, что Re λ < bm. 2.3. Об асимптотике собственных значений Из теоремы 2.1 следует, что бесконечно удаленная точка являе- тся возможной предельной точкой для некоторых ветвей собствен- ных значений пучка L(λ), локализованных у мнимой оси. Для дока- зательства существования этих ветвей и отыскания асимптотических формул понадобится следующий абстрактный результат (см. [13]), опирающийся на результаты работы [15]. Лемма 2.4 ( [13]). Пусть 0 < C = C∗ ∈ S∞, причем собственные значения оператора C имеют степенную асимптотику. Введем обо- значения: l(λ) := I + λ2C + G(λ), T (λ) := (I − λC1/2)−1G(λ)(I + λC1/2)−1. Пусть оператор-функция G(λ) аналитична в секторах Λ+ R,ε и Λ− R,ε, а оператор-функция T (λ) удовлетворяет следующему условию: T (λ) → 0 (λ → ∞, λ ∈ Λ± R,ε). Тогда λ (±i) k (l(λ)) = ±iλ 1/2 k (C−1)(1 + o(1)) (k → ∞). Для исследуемой задачи имеет место теорема. Теорема 2.4. Для любого как угодно малого ε > 0 и достаточно большого R = R(ε) задача (2.7) имеет две ветви {λ(±i) k } ∞ k=1 соб- ственных значений, расположенных в секторах Λ+ R,ε и Λ− R,ε, со сле- дующей асимптотикой: λ (±i) k (L(λ)) = ±iλ 1/2 k (A)(1 + o(1)) (k → ∞). Доказательство. Будем считать, что \|λ\| > 2ω0 и исключим ~v из за- дачи L(λ)ξ = 0, в результате получим задачу l(λ)ϕ = 0, где пучок l(λ) определен в (2.16). Из леммы 1.2 следует, что оператор A−1 > 0 имеет степенную асимптотику собственных значений. Для пучка l(λ) построим оператор-функцию T (λ) из леммы 2.4. При помощи оценок, аналогичных тем, что были проведены в (2.18), можно убедиться, что T (λ) → 0 (λ → ∞, λ ∈ Λ± R,ε). 278 Симметричная модель... 2.4. О двукратной полноте с дефектом части собственных и присоединенных элементов Поступим далее как в теореме 2.1 при выводе задачи (2.15) (или (2.16)). А именно, будем считать, что λ ∈ C\[−2ω0i, 2ω0i] и исключим ~v из задачи L(λ)ξ = 0. В результате получим задачу l(λ)ϕ = 0, ϕ ∈ ~G(Ω), l(λ) := IG + λ2A−1 − 2ω0iλŜ2,2 + G1(λ), G1(λ) := − m∑ l=1 (bl − λ)−1U∗MΠ(pl)U + 4ω2 0λŜ2,1S(λ)Ŝ1,2. (2.24) В задаче (2.24) осуществим замену λA−1/2ϕ = ϕ̂. Полученную систему запишем в векторно-матричной форме: M(λ)η = 0, где η := (ϕ; ϕ̂)t ∈ ~G(2) := ~G(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ), M(λ) := ( IG 0 0 IG ) + λ ( −2ω0iŜ2,2 A−1/2 −A−1/2 0 ) + ( G1(λ) 0 0 0 ) . Относительно пучков M(λ) и l(λ) имеет место лемма. Лемма 2.5. Набор элементов ηk := (ϕk; ϕ̂k) t (k = 0, n − 1) является цепочкой из собственного и присоединенных к нему элементов пучка M(λ), отвечающей собственному значению λ0 ∈ C\[−2ω0i, 2ω0i], тогда и только тогда, когда ϕk (k = 0, n − 1) — цепочка из собствен- ного и присоединенных к нему элементов пучка l(λ), отвечающая собственному значению λ0 и ϕ̂0 = λ0A −1/2ϕ0, ϕ̂k = λ0A −1/2ϕk + A−1/2ϕk−1, k = 1, . . . , n − 1. (2.25) Опираясь на лемму 2.5, докажем теорему о двукратной полноте с дефектом части системы собственных и присоединенных элементов операторного пучка l(λ). Теорема 2.5. Пусть ϕ (l) k (k = 0, k(λl)) — цепочка из собствен- ного и присоединенных к нему элементов пучка l(λ) из (2.24), отвечающая собственному значению λl. Тогда система элементов η (l) k := (ϕ (l) k ; ϕ̂ (l) k )t (k = 0, k(λl)), где l пробегает все индексы, отвеча- ющие собственным значениям λl пучка l(λ), лежащим вне круга радиуса R (R > max{2ω0, bm}), а ϕ (l) k и ϕ̂ (l) k связаны соотношения- ми (2.25) для каждого l, образует полную в ~G(2) систему с точно- стью до конечного дефекта. Д. А. Закора 279 Доказательство. В силу леммы 2.5 нужно доказать, что система собственных и присоединенных элементов пучка M(λ), отвечающая собственным значениям, лежащим вне круга некоторого радиуса R, полна в ~G(2) с точностью до конечного дефекта. Осуществим в за- даче M(λ)η = 0 замену спектрального параметра: λ = −iµ−1, где µ — новый спектральный параметр. Умножив правую и левую части полученного выражения на −µ, придем к следующей спектральной задаче: −µM(−iµ−1)η = ( Â − µÎ − µĜ(µ) ) η = 0, (2.26) где Â := ( 2ω0Ŝ2,2 iA−1/2 −iA−1/2 0 ) , Ĝ(µ) := ( G1(−iµ−1) 0 0 0 ) , а Î — единичный оператор в ~G(2). Здесь Â = Â∗ ∈ Sp(~G(2)) (p > 3), KerÂ = {0}, а Ĝ(µ) — голоморфная в круге \|µ\| < R−1 оператор-функ- ция, принимающая значения из L(~G(2)). По теореме из [6, с. 78] по- лучаем, что система собственных и присоединенных элементов опе- ратор-функции −µM(−iµ−1), отвечающих собственным значениям из круга \|µ\| < R−1, имеет не более конечного дефекта в ~G(2). По- сле обратной замены спектрального параметра получим, что система собственных и присоединенных элементов оператор-функции M(λ), отвечающих собственным значениям, лежащим вне круга \|λ\| < R, имеет не более конечного дефекта в ~G(2) = ~G(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ). Из леммы 2.5 и теоремы 2.5 как следствие получаем следующее главное утверждение о двукратной полноте с дефектом для исходного операторного пучка L(λ). Теорема 2.6. Обозначим через PG ортопроектор пространства H на ~G(Ω, δ). Пусть ξ (l) k (k = 0, k(λl)) — цепочка из собственного и при- соединенных к нему элементов пучка L(λ), отвечающая собствен- ному значению λl. Тогда система элементов η (l) k := (PGξ (l) k ; ξ̂ (l) k )t (k = 0, k(λl)), где l пробегает все индексы, отвечающие собствен- ным значениям λl пучка L(λ), лежащим вне круга радиуса R (R > max{2ω0, bm}), а ξ (l) k и ξ̂ (l) k связаны соотношениями ξ̂0 = λ0A −1/2PGξ0, ξ̂k = λ0A −1/2PGξk + A−1/2PGξk−1, k = 1, . . . , k(λl), для каждого l, образует полную в ~G(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ) систему с то- чностью до конечного дефекта. 280 Симметричная модель... Отметим здесь, что если ω0 = 0, то, как будет показано далее, при некоторых условиях система элементов η (l) k (k = 0, k(λl)) из тео- ремы 2.6, где l пробегает все индексы, отвечающие собственным зна- чениям λl пучка L(λ), лежащим у мнимой оси, будет образовывать полную в ~G(2) = ~G(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ) систему. 2.5. Свойства спектральной задачи при ω0 = 0 Если ω0 = 0, то задача L(λ)ξ = 0 расщепляется на два независи- мых уравнения (первое уравнение тривиально: λ2~v = 0) и число λ = 0 формально является бесконечнократным собственным значением за- дачи, которому отвечают собственные элементы вида ξ = (~v; 0)t, где ~v ∈ ~J0(Ω, δ). В этом случае будем считать, что с изучаемой спектраль- ной задачей ассоциировано второе нетривиальное уравнение из систе- мы L(λ)ξ = 0, которое принимает вид l(λ)ϕ = 0, l(λ) := IG + λ2A−1 − m∑ l=1 (bl − λ)−1U∗MΠ(pl)U. (2.27) Рассуждая, как в теореме 2.3, можно показать, что спектр за- дачи (2.27) лежит в правой открытой полуплоскости симметрично относительно действительной оси. Далее будет показано, что спра- ведливо более сильное утверждение. В этом случае удается также доказать двукратную полноту без дефекта для некоторой системы, построенной по корневым элементам задачи. В задаче (2.27) осуществим замену λA−1/2ϕ = ϕ̂. Полученную систему запишем в векторно-матричной форме: M(λ)η = 0, где η := (ϕ; ϕ̂)t ∈ ~G(2), M(λ) := Î + λÂ + ∑m l=1(λ − bl) −1K̂l, Â := ( 0 A−1/2 −A−1/2 0 ) , K̂l := ( U∗MΠ(pl)U 0 0 0 ) . Относительно связи собственных и присоединенных элементов пу- чков M(λ) и l(λ) имеет место утверждение, аналогичное лемме 2.5 с ω0 = 0. А также справедлива следующая Теорема 2.7. Пусть существует r: bm < r < b1 + a−1(1 − 2 √ ab), где a := ‖A−1/2‖, b := mmaxl=1,m, x∈Ω pl(x), и ϕ (l) k (k = 0, k(λl)) — це- почка из собственного и присоединенных к нему элементов пучка l(λ) из (2.27), отвечающая собственному значению λl. Тогда систе- ма элементов η (l) k := (ϕ (l) k ; ϕ̂ (l) k )t (k = 0, k(λl)), где l пробегает все индексы, отвечающие собственным значениям λl пучка l(λ), лежа- щим вне круга \|λ − r\| ≤ r, а ϕ (l) k и ϕ̂ (l) k связаны соотношениями (2.25) для каждого l, образует полную в ~G(2) систему. Д. А. Закора 281 Доказательство. Как и в теореме 2.5, здесь нужно доказать, что си- стема собственных и присоединенных элементов пучка M(λ), отве- чающая собственным значениям, лежащим вне некоторого круга \|λ − r\| ≤ r, полна в ~G(2). Осуществим в задаче M(λ)η = 0 замену спе- ктрального параметра: λ = r2µ−1 + r, где r > bm пока произвольно, а µ — новый спектральный параметр. Умножив правую и левую ча- сти полученного выражения на µ, придем к следующей спектральной задаче: µM( r2 µ + r)η = [ µ(I + rÂ)+ r2Â+ m∑ l=1 µ2 r2 + µ(r − bl) K̂l ] η = 0. (2.28) Применив к правой и левой части (2.28) оператор (I + rÂ)−1 и проведя несложные преобразования, придем к спектральной задаче µ(I + rÂ)−1M( r2 µ + r)η = [ µI + r2(I + rÂ)−1Â + (I + rÂ)−1 µ2 r2 +∞∑ n=0 (−1)nµn ( m∑ l=1 (r − bl r2 )n K̂l )] η = 0 (2.29) в области \|µ\| < r2(r − b1) −1. Наша цель — установить, что пучок задачи (2.29) допускает фа- кторизацию. Используя оценку ‖(I + rÂ)−1‖ ≤ 1, запишем условие, достаточное для факторизации пучка задачи (2.29): ∃ t ∈ ( 0, r2 r − b1 ) : r2 t ‖Â‖ + +∞∑ n=0 tn+1 r2 ∥∥∥∥ m∑ l=1 (r − bl r2 )n K̂l ∥∥∥∥ < 1. (2.30) Учитывая, что ‖Â‖ ≤ a, ‖K̂l‖ = ‖K̂l‖ = maxx∈Ω pl(x) (l = 1, m), условие (2.30) будет выполнено, если ∃ t ∈ ( 0, r2 r − b1 ) : r2a t + b r2 +∞∑ n=0 tn+1 (r − b1 r2 )n < 1. (2.31) Просуммировав в (2.31) геометрическую прогрессию и проделав простые алгебраические преобразования, найдем, что условие (2.31) эквивалентно следующему: ∃ t ∈ ( 0, r2 r − b1 ) : t2(b+(r− b1))− tr2(1+a(r− b1))+ar4 < 0. (2.32) Дискриминант в квадратичном выражении из (2.32) будет по- ложительным, если (r − b1) /∈ [a−1(1 − 2 √ ab), a−1(1 + 2 √ ab)]. В этом 282 Симметричная модель... случае меньший корень квадратичного выражения будет меньше, чем r2(r − b1) −1, если a(r − b1) < 1. Отсюда получаем, вспомнив усло- вие r > bm, что r должно удовлетворять неравенствам bm < r < b1 +a−1(1−2 √ ab). В силу условий теоремы такое число r существует, а значит условие (2.30) выполнено. По теореме 23.4 из [16, с. 130], пучок задачи (2.29) допускает фак- торизацию в форме µ(I + rÂ)−1M(r2µ−1 + r) =: (I + rÂ)−1Mr(µ) = A+(µ)(µI − Z), где оператор-функция A+(µ) — голоморфна и го- ломорфно обратима при \|µ\| < t. При этом спектр оператора Z ле- жит в круге \|µ\| < t. В этой области задача для операторного пучка (I + rÂ)−1Mr(µ) сводится к задаче на собственные значения для опе- ратора Z. Из равенства µ(I+rÂ)−1M(r2µ−1 +r) = ( A+(0)+ A′ +(0)µ 1! + · · · ) · (µI−Z), (2.33) приравнивая коэффициенты при нулевой степени µ, получим, что r2(I + rÂ)−1Â = −A+(0)Z, откуда следует, что Z = −r2A−1 + (0)(I + rÂ)−1Â ∈ Sp(~G(2)) (p > 3). Приравнивая в (2.33) коэффициенты при первой степени µ, получим, что I = A+(0) − A′ +(0)Z, откуда следует, что A+(0) = I + A′ +(0)Z, A−1 + (0) = I + T1, T1 ∈ S∞(~G(2)). Из прове- денных рассуждений следует, что Z = (I + T2)Â, где T2 ∈ S∞(~G(2)). Таким образом, оператор Z есть слабое возмущение оператора Â. Учитывая, что Ker Â = {0} и Â — нормальный оператор со спе- ктром на двух лучах, по теореме 4.2 из [16, с. 20], получаем, что система корневых элементов оператора Z, а, следовательно, и пучка (I + rÂ)−1Mr(µ) в указанной области, полна в гильбертовом про- странстве ~G(2). Остается заметить, что собственные и присоединен- ные элементы пучков (I + rÂ)−1Mr(µ) и Mr(µ), отвечающие одному и тому же собственному значению, совпадают. Оказывается, что имеет место “раздельная” полнота с дефектом для ветвей спектра из Λ+ 0,ε и Λ− 0,ε (см. определение областей в (2.13)) по отдельности. Точнее, справедлива следующая Теорема 2.8. Система собственных и присоединенных элементов пучка l(λ) из (2.27), отвечающая собственным значениям из обла- сти Λ+ 0,ε (или Λ− 0,ε), образует полную в ~G(Ω, δ) систему с точностью до конечного дефекта. Доказательство. Заметим, что собственные и присоединенные эле- менты пучков l(λ) и l+(λ) := (IG − iλA−1/2)−1l(λ), отвечающие соб- ственным значениям из области Λ+ 0,ε, совпадают. Осуществим в зада- Д. А. Закора 283 че l+(λ)ϕ = 0 замену спектрального параметра λ = iµ. Тогда полу- чим, что задача l(λ)ϕ = 0 (λ ∈ Λ+ 0,ε) эквивалентна задаче l+(iµ)ϕ = 0 (µ ∈ −iΛ+ 0,ε). Можно проверить, что l+(iµ) = IG − µA−1/2 − S+(µ), где оператор-функция S+(µ) аналитична в −iΛ+ 0,ε и S+(µ) = O(\|µ\|−1) при µ → ∞ (µ ∈ −iΛ+ 0,ε). По теореме 2 из [17, с. 40] получаем, с учетом того, что оператор A−1/2 положителен и имеет степенную асимпто- тику собственных значений, что система собственных и присоединен- ных элементов пучка l+(iµ), отвечающая собственным значениям из области −iΛ+ 0,ε, полна в ~G(Ω, δ) с точностью до конечного дефекта. Отсюда, после обратной замены спектрального параметра, следует утверждение теоремы для области Λ+ 0,ε. Для области Λ− 0,ε рассуждения аналогичны. Докажем теперь утверждение о локализации спектра задачи в случае, когда ω0 = 0. Справедлива следующая Теорема 2.9. Пусть выполнено условие (b) (см. (2.10)), то- гда спектр задачи (2.27), лежащий в окрестности множества ∪m l=1(bl−1, bl), действительный, а две комплексно сопряженные ве- тви попадают в полосу {α1 ≤ Re λ ≤ α2}, где 0 < α1 < α2 < bm. Доказательство. Для пучка M(λ) (см. (2.8)), в силу леммы 2.2 и свойств функции pλ(x), справедливы свойства M(λ) ≫ 0 при λ ∈ (bl−1, inf ∆l) и M(λ) ≪ 0 при λ ∈ (sup ∆l, bl) (l = 1, m, b0 := 0). Рассмотрим уравнение pl(x) + λ2‖A−1‖ = 0. Если выполнено усло- вие (2.10), то при каждом фиксированном x ∈ Ω, как несложно про- верить, это уравнение имеет два комплексно сопряженных корня и ровно m действительных положительных корней, которые разделе- ны числами bl (l = 1, m). В силу непрерывности функции pλ(x) по пространственным переменным при изменении x ∈ Ω действитель- ные корни уравнения будут меняться непрерывно и в совокупно- сти образовывать ровно m отрезков ∆l,a ⊂ (bl−1, bl) (b0 := 0, l = 1, m). При этом inf ∆l ≤ inf ∆l,a, sup ∆l ≤ sup ∆l,a. Отсюда следует, что λ−2l(λ) ≫ 0 при λ ∈ (bl−1, inf ∆l) и λ−2l(λ) ≪ 0 при λ ∈ (sup ∆l,a, bl) (b0 := 0, l = 1, m). Докажем теперь, что [λ−2l(λ)]′ ≪ 0 при λ > 0, λ 6= bl (l = 1, m). Этот факт, вместе со сказанным выше, позволит применить утвер- ждение о факторизации к пучку −λ−2l(λ). В самом деле, выберем, согласно условию (b) (см. (2.10)), числа al (l = 1, m) и проведем вычи- сления: [λ−2l(λ)]′ = m∑ l=1 λ−3(bl − λ)−2 [ (2bl − 3λ)K̂l − 2(bl − λ)2alIG ] . 284 Симметричная модель... Если λ > 2bl/3, то [λ−2l(λ)]′ ≪ 0, очевидно. Если λ ∈ (0, 2bl/3], то до- статочным условием для того, чтобы [λ−2l(λ)]′ ≪ 0, как несложно установить, будет свойство K̂l − blalIG ≪ 0, которое справедливо в силу условия (b). Таким образом, согласно следствию 30.8 из [16, с. 179], для каждого l = 1, m рассматриваемый пучок допускает фак- торизацию −λ−2l(λ) = ll,+(λ)(λIG − Zl), где Zl ограничен и по- добен самосопряженному оператору, σ(Zl) ⊂ (inf ∆l − ε, sup∆l,a + ε) для любого 0 < ε < min {inf ∆l − bl−1, bl − sup ∆l,a}, а ll,+(λ) голо- морфна и голоморфно обратима в некоторой окрестности отрезка [bl−1 + ε, bl − ε]. Отсюда следует, что спектр задачи (2.27), лежащий в окрестности множества ∪m l=1(bl−1, bl) (b0 := 0) — действительный. Пусть теперь λ(±i) — пара комплексно сопряженных собственных значений пучка l(λ) и ϕ(±i) (‖ϕ(±i)‖ ~G(Ω,δ) = 1) — отвечающие им соб- ственные элементы. Тогда λ(+i) является корнем уравнения 1 + λ2(A−1ϕ(+i), ϕ(+i)) ~G(Ω,δ) − m∑ l=1 (K̂lϕ (+i), ϕ(+i)) ~G(Ω,δ) bl − λ = 0, (2.34) которое можно переписать в форме ( λ2 + (A−1ϕ(+i), ϕ(+i))−1 ~G(Ω,δ) ) m∏ l=1 (bl − λ) − (A−1ϕ(+i), ϕ(+i))−1 ~G(Ω,δ) × m∑ l=1 (K̂lϕ (+i), ϕ(+i)) ~G(Ω,δ) m∏ j=1, j 6=l (bj − λ) = 0. Раскроем здесь скобки и соберем слагаемые с λm+2 и λm+1, получим (−1)mλm+2 + (−1)m+1λm+1 m∑ l=1 bl + · · · = 0. (2.35) Из геометрических соображений ясно, что уравнение (2.34), кро- ме числа λ(+i), имеет также корни λ(−i) и λ(l) ∈ ∆l,A := ∆l ∪ ∆l,a (l = 1, m). Следовательно, оно может быть записано в форме: (−1)m ( λ − λ(+i) )( λ − λ(−i) ) m∏ l=1 ( λ − λ(l) ) = 0. Д. А. Закора 285 Собрав здесь слагаемые с λm+2 и λm+1, получим (−1)mλm+2 + (−1)m+1λm+1 ( 2 Re λ(±i) + m∑ l=1 λ(l) ) + · · · = 0. (2.36) Из (2.35) и (2.36) следует, что Re λ(±i) = 2−1 ∑m l=1(bl−λ(l)). Отсю- да, учитывая, что λ(l) ∈ ∆l,A := ∆l ∪ ∆l,a (l = 1, m), следуют оцен- ки 0 < α1 < Re λ(±i) < α2 < bm, где α1 := 2−1 ∑m l=1(bl − sup ∆l,a), α2 := 2−1 ∑m l=1(bl − inf ∆l) < bm. 2.6. Асимптотики всех ветвей собственных значений в случае, когда g = 0, ω0 = 0 и характеристики модели постоянны Рассмотрим случай, когда g = 0, ω0 = 0. В этом случае ста- ционарная плотность ρ0(z) постоянна. Будем считать далее, что kl(x) (l = 1, m) также постоянны. Тогда функции pl(x) постоянны и pl(x) ≡ pl, где pl > 0 — некоторые константы, удовлетворяющие условию (a) (см. (2.9)). В этом случае функция pλ (см. (2.8)) будет зависеть только от λ. Обозначим корни уравнения pλ = 0 через γl (l = 1, m), при этом γl ∈ (bl−1, bl) (l = 1, m). Из теоремы 2.9 следует, что в рассматриваемом случае спектр пучка l(λ) из (2.27) попадает в некоторую вертикальную полосу, ра- сположенную в правой полуплоскости, и является действительным в некоторой окрестности действительной положительной полуоси. Из теоремы 2.1 следует, что возможными предельными точками спе- ктральной задачи могут быть только бесконечно удаленная точка и точки γl (l = 1, m). Таким образом, спектр задачи (2.27) в рас- сматриваемом случае может состоять из (m + 2)-х ветвей изолиро- ванных конечнократных собственных значений с предельными то- чками в бесконечности и в точках γl (l = 1, m). В самом деле, пусть {λk(A −1)}∞k=1 — последовательность собственных значений операто- ра A−1, занумерованных по убыванию и с учетом их кратности, а {ϕk(A −1)}∞k=1 — последовательность соответствующих собственных элементов. Тогда все собственные значения пучка l(λ) из (2.27) могут быть найдены как корни последовательности скалярных уравнений pλ + λ2λk(A −1) = 0 (k ∈ N). Для исследования асимптотики корней этих уравнений определим функции fl(λ) := (λ − γl)p −1 λ (l = 1, m). Можно проверить, что функции fl(λ) голоморфны в некоторых окре- стностях точек γl, fl(γl) 6= 0, signfl(γl) = −1 (l = 1, m). 286 Симметричная модель... Имеет место следующая теорема. Теорема 2.10. Пусть pl(x) ≡ pl, где pl > 0 — некоторые констан- ты, удовлетворяющие условию (a) (см. (2.9)), а γl (l = 1, m) — корни уравнения pλ = 0 (при этом γl ∈ (bl−1, bl)). Тогда спектр пу- чка l(λ) из (2.27) состоит из (m + 2)-х серий изолированных соб- ственных значений; точнее — из двух комплексно сопряженных ве- твей {λ(±i) k (l)}∞k=1 и m действительных ветвей {λ(l) k (l)}∞k=1 ⊂ (γl, bl) (l = 1, m), для которых справедливы асимптотические формулы: λ (±i) k (l(λ)) = ±iλ −1/2 k (A−1) + 1 2 m∑ l=1 pl ∓ iλ 1/2 k (A−1) [ 1 4 ( m∑ l=1 pl )2 − 1 2 m∑ l=1 plbl ] + O(λk(A −1)) (k → ∞), λ (l) k (l(λ)) = γl − λk(A −1)γ2 l fl(γl) + 2λ2 k(A −1)γ3 l fl(γl) ( fl(γl) + γlf ′ l (γl) ) + O(λ3 k(A −1)) (k → ∞), где функции fl(λ) (l = 1, m) определены перед теоремой. Для двух ветвей {λ(±i) k (l)}∞k=1 при каждом фиксированном k ∈ N справедлива также следующая асимптотическая формула: λ (±i) k (l(λ)) = ±iλ −1/2 k (A−1) ( 1 − m∑ l=1 pl bl )1/2 + o ( 1 b1 ) (b1 → +∞). Доказательство. Доказательство формул в теореме сводится к применению асимптотических методов к скалярным уравнениям pλ + λ2λk(A −1) = 0 (k ∈ N). Здесь можно отметить, что из последней формулы в теореме сле- дует, что если наибольшее из времен релаксации b−1 1 стремится к ну- лю, то комплексно сопряженные ветви “садятся” в пределе на мнимую ось. Эта ситуация отвечает случаю баротропной жидкости. В рассма- триваемой же ситуации спектр задачи смещен с мнимой оси в пра- вую полуплоскость. Кроме того, в отличие от баротропной жидкости, здесь возникают ветви собственных значений с конечными предель- ными точками. Эти ветви и связаны с наличием памяти в системе. Д. А. Закора 287 Литература [1] N. D. Kopachevsky, S. G. Krein, Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 2: Nonself-adjoint Problems for Viscous Fluids, Basel– Boston–Berlin: Birkhäuser Verlag, 2003, 444 p. (Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 146). [2] L. D. Bolgova (Orlova), N. D. Kopachevsky, Boundary value problems on small oscillations of an ideal relaxing fluid and its generalizations // Спектральные и эволюционные задачи. Вып. 3: Тез. лекц. и докл. III Крымской осенней матем. школы-симпоз. Симферополь, (1994), 41–42. [3] Д. А. Закора, Задача о малых движениях идеальной релаксирующей жидко- сти // Динамические системы, (2006), вып. 20, 104–112. [4] Д. А. Закора, Задача о малых движениях вращающейся идеальной релакси- рующей жидкости // Динамические системы, (2009), вып. 26, 31–42. [5] А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря, Основы математической теории термовяз- ко-упругости, Наука, 1970, 280 с. [6] Н. Д. Копачевский, С. Г. Крейн, Нго Зуй Кан, Операторные методы в линей- ной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи, М.: Наука, 1989, 416 с. [7] J. V. Ralston, On stationary modes in inviscid rotating fluids // J. Math. Analysis and Appl., 44 (1973), 366–383. [8] Ю. М. Березанский, Разложение по собственным функциям самосопряжен- ных операторов, Киев: “Наукова думка”, 1965, 800 с. [9] М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, Асимптотика спектра дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники, математический анализ, 14 (1977), 5– 58. [10] С. Г. Крейн, Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространс- тве, Москва: Наука, 1967, 464 с. [11] Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, М.: Мир, 1972, 740 с. [12] Г. В. Радзиевский, Квадратичный пучок операторов, 1976 (Препринт). [13] М. Б. Оразов, Некоторые вопросы спектральной теории несамосопряжен- ных операторов и связанные с ними задачи из механики, Дис. д-ра. физ.-мат. наук: 01.01.02, Ашхабат, 1982. [14] И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряжен- ных операторов в гильбертовом пространстве, М.: Наука, 1965, 448 с. [15] В. А. Авакян, Асимптотическое распределение спектра линейного пучка, во- змущенного аналитической оператор-функцией // Функциональный анализ и его приложения, 12 (1978), N 2, 66–67. [16] А. С. Маркус, Введение в спектральную теорию полиномиальных оператор- ных пучков, Кишинев: Штиинца, 1986, 260 с. [17] Г. В. Радзиевский, О полноте производных цепочек // Математический сбор- ник, 100(142) (1976), N 1(5), 37–58. 288 Симметричная модель... Сведения об авторах Дмитрий Закора Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, пр. Вернадского 4, 95007, Симферополь, Крым, Украина E-Mail: dmitry_@crimea.edu

Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости

Репозитарії

Схожі ресурси