Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи другого порядку, зображуванi рядами Фур’є з повiльно змiнними параметрами в деяких критичних випадках
Для квазiлiнiйної диференцiальної системи другого порядку, коефiцiєнти якої зображуванi у виглядi абсолютно та рiвномiрно збiжних рядiв Фур’є з повiльно змiнними коефiцiєнтами та частотою, отримано умови iснування часткового розв’язку аналогiчної структури у випадку, коли матриця лiнiйної частини си...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124395 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи другого порядку, зображуванi рядами Фур’є з повiльно змiнними параметрами в деяких критичних випадках / С.А. Щоголев // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 3. — С. 384-399. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124395 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243952017-09-25T03:02:47Z Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи другого порядку, зображуванi рядами Фур’є з повiльно змiнними параметрами в деяких критичних випадках Щоголев, С.А. Для квазiлiнiйної диференцiальної системи другого порядку, коефiцiєнти якої зображуванi у виглядi абсолютно та рiвномiрно збiжних рядiв Фур’є з повiльно змiнними коефiцiєнтами та частотою, отримано умови iснування часткового розв’язку аналогiчної структури у випадку, коли матриця лiнiйної частини системи має тотожно нульовi власнi значення 2010 Article Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи другого порядку, зображуванi рядами Фур’є з повiльно змiнними параметрами в деяких критичних випадках / С.А. Щоголев // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 3. — С. 384-399. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 34C10, 34C25. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124395 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Для квазiлiнiйної диференцiальної системи другого порядку, коефiцiєнти якої зображуванi у виглядi абсолютно та рiвномiрно збiжних рядiв Фур’є з повiльно змiнними коефiцiєнтами та частотою, отримано умови iснування часткового розв’язку аналогiчної структури у випадку, коли матриця лiнiйної частини системи має тотожно нульовi власнi значення |
| format |
Article |
| author |
Щоголев, С.А. |
| spellingShingle |
Щоголев, С.А. Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи другого порядку, зображуванi рядами Фур’є з повiльно змiнними параметрами в деяких критичних випадках Український математичний вісник |
| author_facet |
Щоголев, С.А. |
| author_sort |
Щоголев, С.А. |
| title |
Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи другого порядку, зображуванi рядами Фур’є з повiльно змiнними параметрами в деяких критичних випадках |
| title_short |
Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи другого порядку, зображуванi рядами Фур’є з повiльно змiнними параметрами в деяких критичних випадках |
| title_full |
Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи другого порядку, зображуванi рядами Фур’є з повiльно змiнними параметрами в деяких критичних випадках |
| title_fullStr |
Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи другого порядку, зображуванi рядами Фур’є з повiльно змiнними параметрами в деяких критичних випадках |
| title_full_unstemmed |
Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи другого порядку, зображуванi рядами Фур’є з повiльно змiнними параметрами в деяких критичних випадках |
| title_sort |
про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи другого порядку, зображуванi рядами фур’є з повiльно змiнними параметрами в деяких критичних випадках |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124395 |
| citation_txt |
Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи другого порядку, зображуванi рядами Фур’є з повiльно змiнними параметрами в деяких критичних випадках / С.А. Щоголев // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 3. — С. 384-399. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT ŝogolevsa prorozvâzkikvazilinijnoídiferencialʹnoísistemidrugogoporâdkuzobražuvanirâdamifurêzpovilʹnozminnimiparametramivdeâkihkritičnihvipadkah |
| first_indexed |
2025-07-09T01:22:18Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:22:18Z |
| _version_ |
1837130466232107008 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 7 (2010), № 3, 384 – 399
Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної
системи другого порядку, зображуванi рядами
Фур’є з повiльно змiнними параметрами в
деяких критичних випадках
С. А. Щоголев
(Представлена М. О. Перестюком)
Анотацiя. Для квазiлiнiйної диференцiальної системи другого по-
рядку, коефiцiєнти якої зображуванi у виглядi абсолютно та рiвно-
мiрно збiжних рядiв Фур’є з повiльно змiнними коефiцiєнтами та
частотою, отримано умови iснування часткового розв’язку аналогi-
чної структури у випадку, коли матриця лiнiйної частини системи
має тотожно нульовi власнi значення.
2010 MSC. 34C10, 34C25.
Ключовi слова та фрази. Квазiлiнiйнi системи, частковi розв’яз-
ки.
1. Вступ
Стаття присвячена квазiлiнiйним диференцiальним системам з
повiльно змiнними параметрами [1, 2] i продовжує дослiдження [3–5]
щодо iснування в таких систем часткових розв’язкiв, зображуваних
абсолютно та рiвномiрно збiжними рядами Фур’є з повiльно змiнними
коефiцiєнтами та частотами.
Введемо необхiднi означення. Нехай
G =
{
t, ε : t ∈ R, ε ∈ [0, ε0], ε0 ∈ R
+
}
.
Означення 1.1 ( [3]). Скажемо, що функцiя f(t, ε) належить до
класу Sm, m ∈ N ∪ {0}, якщо виконуються умови:
1) f : G ∈ C, де G = {t, ε : t ∈ R, ε ∈ [0, ε0], ε0 ∈ R
+},
2) f ∈ Cm(R) за t,
Стаття надiйшла в редакцiю 9.09.2009
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
С. А. Щоголев 385
3) dkf/dtk = εkf∗k (t, ε), supG |f∗k | < +∞ (0 ≤ k ≤ m).
Прикладами функцiй класу Sm можуть бути обмеженi разом зi
своїми похiдними до m-го порядку включно функцiї, якi залежать вiд
“повiльного часу” τ = εt: sin εt, arctg εt, εt
1+(εt)2
тощо. Також класу
Sm належатимуть функцiї вигляду εmf(t), де f(t) — обмежена разом
зi своїми похiдними до m-го порядку включно, наприклад εm sin t.
Сталi функцiї, очевидно, також є функцiї класу Sm.
Означення 1.2 ([3]). Домовимось писати, що функцiя f(t, ε, θ(t, ε))
належить до класу Bm, якщо
f(t, ε, θ(t, ε)) =
∞∑
n=−∞
fn(t, ε)exp(in θ(t, ε)),
де
1) fn ∈ Sm, d
kfn/dt
k = εkfnk(t, ε) (n ∈ Z, 0 ≤ k ≤ m),
2) ‖f‖Bm
def
=
m∑
k=0
∞∑
n=−∞
sup
G
|fnk| < +∞,
3) θ(t, ε) =
t∫
0
ϕ(τ, ε) dτ , ϕ : G→ R
+, inf
G
ϕ > 0, ϕ ∈ Sm.
Зокрема при ε = 0 : ϕ = const, θ = ϕt, fn = const, функцiї класу
Bm перетворюються на 2π/ϕ-перiодичнi функцiї змiнної t
f(t) =
∞∑
n=−∞
fne
inϕt,
такi, що
∞∑
n=−∞
|fn| < +∞.
Функцiї класу Sm, очевидно, також є частковим випадком фун-
кцiй класу Bm (fn ≡ 0 ∀n 6= 0).
Легко бачити, що множина функцiй класу Bm утворює лiнiйний
простiр, який перетворюється на повний нормований простiр введе-
нням норми ‖ · ‖Bm
. Нехай задано двi функцiї класу Bm:
u(t, ε, θ(t, ε)) =
∞∑
n=−∞
un(t, ε) exp(inθ(t, ε)),
386 Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи...
v(t, ε, θ(t, ε)) =
∞∑
n=−∞
vn(t, ε) exp(inθ(t, ε)).
Добуток цих функцiй визначимо формулою [6]
uv =
∞∑
n=−∞
( ∞∑
s=−∞
un−s(t, ε)vs(t, ε)
)
exp(inθ(t, ε)).
Очевидно, що цей добуток також належить класу Bm. Сформу-
люємо деякi властивостi норми ‖ · ‖Bm
. Нехай u, v ∈ Bm, k = const.
Тодi:
1) ‖ku‖Bm
= |k|‖u‖Bm
,
2) ‖u+ v‖Bm
≤ ‖u‖Bm
+ ‖v‖Bm
,
3) ‖u‖Bm
=
∑m
k=0
∥∥∥ 1
εk
∂ku
∂tk
∥∥∥
B0
.
4) ‖uv‖Bm
≤ 2m‖u‖Bm
· ‖v‖Bm
.
Остання властивiсть вимагає доведення. Дiйсно, для m = 0 справ-
джується
‖uv‖B0
≤ ‖u‖B0
· ‖v‖B0
.
Далi на пiдставi властивостi 3)
‖uv‖Bm
=
m∑
k=0
∥∥∥∥
1
εk
∂kuv
∂tk
∥∥∥∥
B0
≤
m∑
k=0
1
εk
k∑
j=0
Cj
k
∥∥∥∥
∂ju
∂tj
∥∥∥∥
B0
·
∥∥∥∥
∂k−jv
∂tk−j
∥∥∥∥
B0
≤ 2m
[ m∑
j=0
1
εj
∥∥∥∥
∂ju
∂tj
∥∥∥∥
B0
]
·
[ m∑
j=0
1
εj
∥∥∥∥
∂jv
∂tj
∥∥∥∥
B0
]
= 2m‖u‖Bm
· ‖v‖Bm
,
i властивiсть 4) доведено.
На пiдставi властивостi 4) можна стверджувати, що простiр Bm
утворює банахову алгебру [7].
Позначимо ∀ f ∈ Bm
Γn(f) =
1
2π
2π∫
0
f(t, ε, θ) exp(−inθ) dθ, n ∈ Z.
Нехай задано вектор x(t, ε, θ) = colon(x1(t, ε, θ), . . . , xn(t, ε, θ)) i
матриця P (t, ε, θ) = (pjk(t, ε, θ))j,k=1,n, елементи яких належать кла-
су Bm. Пiд символом (P )jk будемо розумiти елемент pjk матрицi P .
С. А. Щоголев 387
Пiд векторною нормою ‖x‖∗Bm
i матричною нормою ‖P‖∗Bm
будемо
розумiти
‖x‖∗Bm
=
n∑
k=1
‖xk‖Bm
; ‖P‖∗Bm
= max
1≤j≤n
n∑
k=1
‖(P )jk‖Bm
.
2. Постановка задачi
Розглянемо наступну квазiлiнiйну систему диференцiальних рiв-
нянь:
dxj
dt
=
2∑
k=1
ajk(t, ε)xk + fj(t, ε, θ(t, ε)) + µXj(t, ε, θ(t, ε), x1, x2), j = 1, 2,
(2.1)
ajk ∈ Sm, fj ∈ Bm, (x1, x2) ∈ D, D — деяка замкнена обмежена
область, функцiї X1, X2 належать класу Bm вiдносно t, ε, θ i мають в
D неперервнi частиннi похiднi за x1, x2 до деякого порядку 2q+1 (q ≥
1) включно, причому, якщо x1, x2 ∈ Bm, то цi частиннi похiднi також
з класу Bm, µ ∈ ]0, 1[ .
Зауваження. Останньою умовою охоплюється досить широкий клас
нелiнiйностей, зокрема, що зустрiчаються у багатьох рiвняннях нелi-
нiйної механiки. Має мiсце, наприклад, наступне твердження.
Нехай u ∈ Bm, а функцiя f(t, ε, θ, u) належить Bm вiдносно t, ε, θ
i аналiтична по u при |u| < r, тобто
f(t, ε, θ, u) =
∞∑
k=0
fk(t, ε, θ)u
k,
де fk(t, ε, θ) ∈ Bm. Тодi якщо
2m · ‖u‖Bm
≤ r0 < r,
то f(t, ε, θ, u) ∈ Bm, причому
‖f(t, ε, θ, u)‖Bm
≤
∞∑
k=0
‖fk‖Bm
rk
0 .
Дiйсно, на пiдставi властивостi 4) маємо
‖f(t, ε, θ, u)‖Bm
=
∥∥∥∥
∞∑
k=0
fk(t, ε, θ)u
k
∥∥∥∥
Bm
388 Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи...
≤
∞∑
k=0
2m‖fk‖Bm
· ‖uk‖Bm
≤
∞∑
k=0
2m‖fk‖Bm
· 2m(k−1)‖u‖k
Bm
=
∞∑
k=0
‖fk‖Bm
[2m‖u‖Bm
]k ≤
∞∑
k=0
‖fk‖Bm
rk
0 .
Зокрема, всi полiноми вiд u з коефiцiєнтами з Bm, функцiї expu,
sinu, cosu належать Bm. Для функцiї expu маємо
‖ expu‖Bm
≤ 2−m exp (2m‖u‖Bm
) ,
зокрема,
‖ expu‖B0
≤ exp(‖u‖B0
).
Аналогiчно можна довести твердження.
Нехай функцiї u1, u2, . . . , un∈Bm, а функцiя f(t, ε, θ, u1, u2, . . . , un)
належить класу Bm вiдносно t, ε, θ i аналiтична вiдносно u1, u2, . . . ,
un при |uj | < r (j = 1, n), тобто
f(t, ε, θ, u1, u2, . . . , un) =
∞∑
k1,k2,...,kn=0
fk1k2···kn
(t, ε, θ)uk1
1 u
k2
2 · · ·ukn
n ,
де fk1k2···kn
(t, ε, θ) ∈ Bm.
Тодi, якщо 2m‖uj‖Bm
≤ r0 < r (j = 1, n), то функцiя f(t, ε, θ, u1,
u2, . . . , un) ∈ Bm, причому
‖f(t, ε, θ, u1, u2, . . . , un)‖Bm
≤
∞∑
k1,k2,...,kn=0
‖fk1k2···kn
‖Bm
rk1+k2+···+kn
0 .
Деякi iншi ознаки належностi функцiї f(t, ε, θ, u(t, ε, θ)) класу Bm
можна отримати певним звуженням класу функцiй, що дослiджую-
ться, i використанням вiдомих достатнiх умов абсолютної та рiвно-
мiрної збiжностi тригонометричних рядiв [6].
Метою статтi буде встановлення ознак iснування в системи (3.7)
часткових розв’язкiв класiв Bk (0 ≤ k ≤ m). У роботi [3] дослiджу-
вався випадок, коли власнi значення матрицi A(t, ε) = (ajk(t, ε))j,k=1,2
мають вiдокремленi вiд нуля дiйснi частини. В роботах [4,5] встанов-
лено ознаки iснування розв’язкiв вказаного типу у випадку суто уяв-
них, але вiдокремлених вiд нуля власних значень матрицi A(t, ε) у не-
резонансному [4] та у резонансному [5] випадках. У данiй статтi при-
пускається наявнiсть тотожно нульових коренiв рiвняння det(A(t, ε)−
λE) = 0. Для скорочення викладення припустимо , що це рiвняння
має тотожно нульовий корiнь другої кратностi, якому вiдповiдає еле-
ментарний дiльник також другої кратностi.
С. А. Щоголев 389
У цьому випадку матриця A(t, ε) має вигляд:
A(t, ε) =
(
a(t, ε) a12(t, ε)
a21(t, ε) −a(t, ε)
)
,
причому a12(t, ε)a21(t, ε) = −a2(t, ε). Зокрема, a(t, ε), a12(t, ε) можуть
бути тотожними нулями. Якщо це не так, то припустимо, що
inf
G
|a(t, ε)| > 0, inf
G
|a12(t, ε)| > 0.
Побудуємо матрицю
L(t, ε) =
(
−a12(t, ε) −a(t, ε)a12(t, ε)
0 a2(t, ε)
)
(|detL(t, ε)| = |a2(t, ε)a12(t, ε)| > 0) i перетворенням
(
x1
x2
)
0 = L(t, ε)
(
y1
y2
)
приведемо систему (2.1) до вигляду
dy1
dt
= −da12/dt
a12
y1 + a12
d
dt
( a
a12
)
y2 + g1(t, ε, θ) + µY1(t, ε, θ, y1, y2),
dy2
dt
= y1 − 2
da/dt
a
y2 + g2(t, ε, θ) + µY2(t, ε, θ, y1, y2),
(2.2)
gj ∈ Bm (j = 1, 2). Далi перетворенням
y1 =
a12(0, ε)
a12(t, ε)
z1, y2 =
a2(0, ε)
a2(t, ε)
z2
зведемо систему (2.2) до вигляду
dz1
dt
= εα(t, ε)z2 + h1(t, ε, θ) + µZ1(t, ε, θ, z1, z2),
dz2
dt
= b(t, ε)z1 + h2(t, ε, θ) + µZ2(t, ε, θ, z1, z2),
(2.3)
α ∈ Sm−1, b ∈ Sm, h1, h2 ∈ Bm, infG |b| > 0.
Тому будемо вважати, що система (2.1) має вигляд (2.3).
390 Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи...
3. Деякi допомiжнi твердження
Лема 3.1. Нехай задано лiнiйну однорiдну систему 2-го порядку
dx
dt
=
(
Λ(t, ε) +
q∑
l=1
Pl(t, ε, θ)µ
l
)
x,
x = col(x1, x2), Λ(t, ε) =
(
0 0
b(t, ε) 0
)
, inf
G
|b(t, ε)| > 0,
(3.1)
елементи двовимiрних матриць Pl (l = 1, q) належать класу Bm.
Тодi для достатньо малих значень µ iснує невироджене перетво-
рення вигляду
x =
(
E +
q∑
l=1
Ψl(t, ε, θ)µ
l
)
y, (3.2)
y = col(y1, y2), де елементи двовимiрних матриць Ψl(t, ε, θ) (l = 1, q)
належать класу Bm, яке зводить систему (3.1) до вигляду
dy
dt
=
(
Λ(t, ε) +
q∑
l=1
Ul(t, ε)µ
l + ε
q∑
l=1
Vl(t, ε, θ)µ
l + µq+1W (t, ε, θ, µ)
)
y,
(3.3)
де Ul — матрицi з елементами класу Sm, Vl,W — матрицi з еле-
ментами класу Bm−1.
Доведення. Пiдставимо вираз (3.2) до системи (3.1) i вимагатимемо,
щоб перетворена система мала вигляд (3.3). Тодi одержимо наступнi
матричнi рiвняння для визначення Ψ1, . . . ,Ψq:
dΨ1
dt
= Λ(t, ε)Ψ1 − Φ1Λ(t, ε) + P1(t, ε, θ) − U1(t, ε) − εV1(t, ε, θ),
dΨl
dt
= Λ(t, ε)Φl − ΦlΛ(t, ε)
+ Pl(t, ε, θ) +
l−1∑
ν=1
Pν(t, ε, θ)Ψl−ν −
l−1∑
ν=1
ΨνUl−ν(t, ε)
− ε
l−1∑
ν=1
ΨνVl−ν(t, ε, θ) − Ul(t, ε) − εVl(t, ε, θ), l = 2, q. (3.4)
При цьому матриця W визначиться з рiвняння:
С. А. Щоголев 391
(
E +
q∑
l=1
Ψlµ
l
)
W =
q−1∑
s=0
[ ∑
σ+δ=s+q+1
(PσΨδ − ΨσUδ)
]
µs
− ε
q−1∑
s=0
( ∑
σ+δ=s+q+1
ΨσVδ
)
µs. (3.5)
Виходячи з цих рiвнянь, покладемо
(Ψl)12 =
∞∑
n=−∞
(n6=0)
Γn((Tl)12)
inϕ
exp(inθ),
(Ψl)22 = −b
∞∑
n=−∞
(n6=0)
Γn((Tl)12)
n2ϕ2
exp(inθ) +
∞∑
n=−∞
(n6=0)
Γn((Tl)22)
inϕ
exp(inθ),
(Ψl)11 = b
∞∑
n=−∞
(n6=0)
Γn((Tl)12)
n2ϕ2
exp(inθ) +
∞∑
n=−∞
(n6=0)
Γn((Tl)11)
inϕ
exp(inθ),
(Ψl)21 = 2b2
∞∑
n=−∞
(n6=0)
Γn((Tl)12)
in3ϕ3
exp(inθ)
− b
∞∑
n=−∞
(n6=0)
Γn((Tl)11 − (Tl)22)
n2ϕ2
exp(inθ)
+
∞∑
n=−∞
(n6=0)
Γn((Tl)21)
inϕ
exp(inθ),
(Ul)jk = Γ0((Tl)jk),
(Vl)12 = −
( l−1∑
s=1
ΨsVl−s
)
12
− 1
ε
∞∑
n=−∞
(n6=0)
d
dt
(
Γn((Tl)12)
inϕ
)
exp(inθ),
(Vl)11 = −
( l−1∑
s=1
ΨsVl−s
)
11
− 1
ε
∞∑
n=−∞
(n6=0)
d
dt
(
bΓn((Tl)12)
n2ϕ2
)
exp(inθ)
− 1
ε
∞∑
n=−∞
(n6=0)
d
dt
(
Γn((Tl)11)
inϕ
)
exp(inθ),
392 Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи...
(Vl)22 = −
( l−1∑
s=1
ΨsVl−s
)
22
+
1
ε
∞∑
n=−∞
(n6=0)
d
dt
(
bΓn((Tl)12)
n2ϕ2
)
exp(inθ)
− 1
ε
∞∑
n=−∞
(n6=0)
d
dt
(
Γn((Tl)22)
inϕ
)
exp(inθ),
(Vl)21 = −
( l−1∑
s=1
ΨsVl−s
)
21
− 1
ε
∞∑
n=−∞
(n6=0)
d
dt
(
2b2Γn((Tl)12)
in3ϕ3
)
exp(inθ)
+
1
ε
∞∑
n=−∞
(n6=0)
d
dt
(
bΓn((Tl)11 − (Tl)22)
n2ϕ2
)
exp(inθ)
− 1
ε
∞∑
n=−∞
(n6=0)
d
dt
(
Γn((Tl)21)
inϕ
)
exp(inθ),
де
Tl = Pl +
l−1∑
s=1
(Pl−sΨs − ΨsUl−s), l = 1, q
(при l = 1 сума
∑l−1
s=1 вважається нулем).
Матриця W при достатньо малих значеннях µ визначатиметься з
рiвняння (3.5).
Лему 3.1 доведено.
Повернемось до системи (2.3). Введемо функцiї:
ξ10(t, ε, θ) =
∞∑
n=−∞
(n6=0)
Γn(h1(t, ε, θ))
inϕ
exp(inθ) − Γ0(h2(t, ε, θ))
b(t, ε)
, (3.6)
ξ20(t, ε, θ) = −b(t, ε)
∞∑
n=−∞
(n6=0)
Γn(h1(t, ε, θ))
n2ϕ2
exp(inθ)
+
∞∑
n=−∞
(n6=0)
Γn(h2(t, ε, θ))
inϕ
exp(inθ) +N0(t, ε), (3.7)
С. А. Щоголев 393
де функцiя N0(t, ε) визначається з рiвняння
Q(t, ε,N0) = 0, (3.8)
де
Q(t, ε,N0) = Γ0(Z1(t, ε, θ, z10, z20))
=
1
2π
2π∫
0
Z1(t, ε, θ, z10(t, ε, θ), z20(t, ε, θ)) dθ.
Лема 3.2. Нехай система (2.3) задовольняє наступнi умови:
1) Γ0(h1(t, ε, θ)) =
1
2π
2π∫
0
h1(t, ε, θ) dθ ≡ 0 ∀ t, ε ∈ G,
2) рiвняння (3.8) має корiнь N0(t, ε), який задовольняє умову
inf
G
∣∣∣∣
dQ(t, ε,N0)
dN0
∣∣∣∣ > 0, (3.9)
3) функцiї Z1, Z2 мають неперервнi частиннi похiднi за z1, z2 до
порядку 2q + 1 включно, i якщо z1, z2 ∈ Bm, то цi частиннi
похiднi також з класу Bm.
Тодi для достатньо малих значень µ iснує перетворення вигляду
zj = ξj(t, ε, θ, µ) +
2∑
k=1
ψjk(t, ε, θ, µ)z̃k, j = 1, 2, (3.10)
де ξj , ψjk ∈ Bm (j, k = 1, 2), яке систему (2.3) зводить до вигляду
dz̃j
dt
= (j − 1)b(t, ε)z̃j +
2∑
k=1
( q∑
l=1
ajkl(t, ε)µ
l
)
z̃k
+ εcj(t, ε, θ, µ) + µ2q(t, ε, θ, µ) + ε
2∑
k=1
rjk(t, ε, θ, µ)z̃k
+ µq+1
2∑
k=1
wjk(t, ε, θ, µ)z̃k + µZ̃j(t, ε, θ, z̃1, z̃2, µ), j = 1, 2, (3.11)
де ajkl ∈ Sm, cj, dj, rjk, wjk ∈ Bm−1, Z̃j мiстять доданки не нижче
2-го порядку вiдносно z̃1, z̃2.
394 Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи...
Доведення. Поряд з системою (2.3) розглянемо допомiжну систему
ϕ(t, ε)
dξ1
dθ
= h1(t, ε, θ) + µZ1(t, ε, θ, ξ1, ξ2),
ϕ(t, ε)
dξ2
dθ
= b(t, ε)ξ1 + h2(t, ε, θ) + µZ2(t, ε, θ, ξ1, ξ2),
(3.12)
у якiй t, ϕ розглядаються як сталi.
Побудуємо часткову суму розвинення в ряд за степенями µ 2π-
перiодичного розв’язку системи (3.12)
ξj(t, ε, θ, µ) =
2q−1∑
k=0
ξjk(t, ε, θ)µ
k, j = 1, 2. (3.13)
Коефiцiєнти ξjk визначатимуться з наступного ланцюжка лiнiй-
них систем:
ϕ(t, ε)
dξj0
dθ
= (j − 1)b(t, ε)ξ10 + hj(t, ε, θ)), j = 1, 2, (3.14)
ϕ(t, ε)
dξj1
dθ
= (j − 1)b(t, ε)ξ11 + Zj(t, ε, θ, ξ10, ξ20), j = 1, 2, (3.15)
ϕ(t, ε)
dξj2
dθ
= (j − 1)b(t, ε)ξ12 +
2∑
k=1
∂Zj(t, ε, θ, ξ10, ξ20)
∂ξk
ξk1, j = 1, 2,
(3.16)
ϕ(t, ε)
dξjs
dθ
= (j − 1)b(t, ε)ξ1s +
2∑
k=1
∂Zj(t, ε, θ, ξ10, ξ20)
∂ξk
ξk,s−1
+ Fjs(t, ε, θ, ξ10, ξ20, . . . , ξ1,s−2, ξ2,s−2),
j = 1, 2; s = 3, 2q − 1. (3.17)
Умова 1) леми забезпечує iснування 2π-перiодичного розв’язку
ξj0(t, ε, θ) (j = 1, 2) породжуючої системи (3.14), який визначається
формулами (3.6), (3.7). Умова 2) леми забезпечує iснування 2π-перiо-
дичного розв’язку кожної з систем (3.15)–(3.17). Всi цi розв’язки, оче-
видно, являються функцiями класу Bm.
У системi (2.3) здiйснимо пiдстановку
zj = ξj(t, ε, θ, µ) + ηj , j = 1, 2, (3.18)
де η1, η2 — новi невiдомi функцiї, вiдносно яких одержимо систему
С. А. Щоголев 395
dηj
dt
= (j − 1)b(t, ε)η1 + (2 − j)εα(t, ε)η2
+ εh̃j(t, ε, θ, µ) + µ2qkj(t, ε, θ, µ) +
2∑
k=1
( q∑
l=1
bjkl(t, ε, θ)µ
l
)
ηk
+ µq+1
2∑
k=1
qjk(t, ε, θ, µ)ηk + µHj(t, ε, θ, η1, η2, µ), j = 1, 2 (3.19)
На пiдставi леми 3.1 систему (3.19) зводимо тепер до вигляду
(3.11).
Лему 3.2 доведено.
4. Формулювання результатiв
Введемо матрицю
A∗(t, ε, µ) = J(t, ε) +
q∑
l=1
Al(t, ε)µ
l,
де
J(t, ε) =
(
0 0
b(t, ε) 0
)
, Al(t, ε) = (ajkl(t, ε))j,k=1,2
(ajkl визначенi в лемi 3.2).
Теорема 4.1. Нехай система (3.11) задовольняє умови:
1) власнi значення λ∗j (j = 1, 2) матрицi A∗(t, ε, µ) такi, що
inf
G
|Reλ∗j (t, ε, µ)| ≥ γ0µ
q0 (γ0 > 0, 0 < q0 ≤ q),
2) для матрицi A∗(t, ε, µ) iснує матриця U(t, ε, µ) така, що
а) infG |detU(t, ε, µ)| > 0,
б) U−1A∗U = Λ(t, ε, µ) — дiагональна матриця.
Тодi для достатньо малих значень µ, ε/µ2q0−1 система (3.11)
має частковий розв’язок класу Bm−1.
Доведення. Здiйснимо в системi (3.11) пiдстановку
z̃j =
ε+ µ2q
µq0
ỹj , j = 1, 2, (4.1)
де ỹ1, ỹ2 — новi невiдомi функцiї. Одержимо
396 Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи...
dỹj
dt
= (j − 1)b(t, ε)ỹj +
εµq0
ε+ µ2q
cj(t, ε, θ, µ)
+
µ2q+q0
ε+ µ2q
dj(t, ε, θ, µ) +
2∑
k=1
( q∑
l=1
ajkl(t, ε)µ
l
)
ỹk
+ ε
2∑
k=1
rjk(t, ε, θ, µ)ỹk + µq+1
2∑
k=1
wjk(t, ε, θ, µ)ỹk
+
ε+ µ2q
µq0−1
Ỹj(t, ε, θ, ỹ1, ỹ2, µ), j = 1, 2 (4.2)
Розглянемо вiдповiдну лiнiйну неоднорiдну систему
dỹj0
dt
= (j − 1)b(t, ε)ỹj0 +
2∑
k=1
( q∑
l=1
ajkl(t, ε)µ
l
)
ỹk0
+
εµq0
ε+ µ2q
cj(t, ε, θ, µ) +
µ2q+q0
ε+ µ2q
dj(t, ε, θ, µ), j = 1, 2. (4.3)
На пiдставi результатiв роботи [3] i внаслiдок умов теореми може-
мо стверджувати, що система (4.3) має єдиний частковий розв’язок
ỹj0(t, ε, θ, µ) (j = 1, 2) класу Bm−1, причому ∃K ∈ ]0,+∞[ таке, що
2∑
k=1
‖ỹj0‖Bm−1
≤ K
γµq0
(
εµq0
ε+ µ2q
2∑
k=1
‖cj‖Bm−1
+
µ2q+q0
ε+ µ2q
2∑
k=1
‖dj‖Bm−1
)
<
K
γ
( 2∑
k=1
‖cj‖Bm−1
+
2∑
k=1
‖dj‖Bm−1
)
.
Розв’язок класу Bm−1 системи (4.2) шукатимемо методом послi-
довних наближень, обираючи в якостi початкового ỹj0 (j = 1, 2), а
подальшi — обираючи як розв’язки класу Bm−1 лiнiйних систем
dỹj,s+1
dt
= (j − 1)b(t, ε)ỹj,s+1 +
εµq0
ε+ µ2q
cj(t, ε, θ, µ)
+
µ2q+q0
ε+ µ2q
dj(t, ε, θ, µ) +
2∑
k=1
( q∑
l=1
ajkl(t, ε)µ
l
)
ỹk,s+1
+ ε
2∑
k=1
rjk(t, ε, θ, µ)ỹks + µq+1
2∑
k=1
wjk(t, ε, θ, µ)ỹks
+
ε+ µ2q
µq0−1
Ỹj(t, ε, θ, ỹ1s, ỹ2s, µ), j = 1, 2, s = 0, 1, . . . (4.4)
С. А. Щоголев 397
Визначимо область
Ω =
{
ỹ1, ỹ2 ∈ Bm−1 :
2∑
j=1
‖ỹj − ỹj0‖Bm−1
≤ d
}
.
Позначимо
R = max
j,k
‖rjk‖Bm−1
, W = max
j,k
‖wjk‖Bm−1
,
M(d) =
2∑
j=1
sup
y1,y2∈Ω
‖Ỹj(t, ε, θ, y1, y2, µ)‖Bm−1
.
Внаслiдок властивостей функцiй X1, X2 iснує L(d) ∈ ]0,+∞[ таке,
що ∀ (y1, y2), (z1, z2) ∈ Ω виконано
2∑
j=1
‖Ỹj(t, ε, θ, y1, y2, µ) − Ỹj(t, ε, θ, z1, z2, µ)‖Bm−1
≤ L(d)
2∑
j=1
‖yj − zj‖Bm−1
.
Використовуючи звичайну методику принципу стискуючих вiд-
ображень [7], легко показати, що при умовi
K
γµq0
[
2m(Rε+Wµq+1)
(
d+
2∑
j=1
‖ỹj0‖Bm−1
)
+
ε+ µ2q
µq0−1
M(d)
]
≤ d0 < d
(4.5)
всi наближення ỹjs (j = 1, 2; s = 1, 2, . . .) залишаються всерединi
областi Ω. При виконаннi умови
K
γµq0
[
2m(Rε+Wµq+1) +
ε+ µ2q
µq0−1
L(d)
]
< 1 (4.6)
послiдовнiсть {ỹjs}s=0,1,2... (j = 1, 2) збiгається за нормою ‖ · ‖Bm−1
до
розв’язку класу Bm−1 системи (4.2). Нерiвностi (4.5) та (4.6) викону-
ються при достатньо малих µ, ε/µq0 , ε/µ2q0−1. Оскiльки 0 < µ < 1,
то ε/µq0 ≤ ε/µ2q0−1, отже достатньо вимагати малiсть µ i вiдношення
ε/µ2q0−1.
Враховуючи (4.1), отримуємо твердження теореми.
З леми 3.2 та теореми 4.1 випливає
Теорема 4.2. Нехай система (2.3) така, що
398 Про розв’язки квазiлiнiйної диференцiальної системи...
1) виконано умови леми 3.2,
2) система (3.11), яка отримується з системи (2.3) за допомогою
пiдстановки (3.10), задовольняє умови теореми 4.1.
Тодi для достатньо малих значень µ, ε/µ2q0−1 система (2.3) має
частковий розв’язок класу Bm−1.
Приклад. Розглянемо систему, яка вiдповiдає рiвнянню
d2x
dt2
= f(t, ε) sin θ(t, ε) + µx3. (4.7)
Система має вигляд:
dx1
dt
= f(t, ε) sin θ(t, ε) + µx3
2,
dx2
dt
= x1. (4.8)
Обчислення дають
Q(t, ε,N0) = N3
0 +
3f2(t, ε)
2ϕ4(t, ε)
N0.
Рiвняння Q(t, ε,N0)=0 має коренi: N01≡0, N02 =−N03 =−i
√
3
2
f(t,ε)
ϕ2(t,ε)
.
Маємо ∂Q
∂N0
= 3N2
0 + 3f2(t,ε)
2ϕ4(t,ε)
.
Обмежимось випадком q = 1. Тодi A∗(t, ε, µ) = J(t, ε) + µA1(t, ε),
де в даному випадку:
J =
(
0 0
1 0
)
, A1(t, ε) =
(
0 Γ0(3x
2
20)
0 0
)
.
x10 = − f(t,ε)
ϕ(t,ε) cos θ, x20(t, ε, θ) = − f(t,ε)
ϕ2(t,ε)
sin θ +N0.
Якщо обрати N0 = N01 = 0, то власнi значення матрицi A∗(t, ε, µ)
дорiвнюють
λ∗1,2(t, ε) = ±
√
3
2
f(t, ε)
ϕ2(t, ε)
√
µ,
i таким чином вони задовольняють умову 1) теореми 4.1 з показником
q0 = 1/2 (звернемо увагу на те, що в даному випадку цей показник
може бути дробовим).
Якщо обрати N0 = N02 = N03, то
λ1,2(t, ε) = ±i
√
3
f(t, ε)
ϕ2(t, ε)
√
µ,
i таким чином умова 1) теореми 4.1 не виконується.
С. А. Щоголев 399
Лiтература
[1] А. М. Самойленко, Р. I. Петришин, Математичнi аспекти теорiї нелiнiйних
коливань, К.: Наук. думка, 2004, 474 с.
[2] М. Р. Меркин, В. М. Фридман, Проекционный метод решения задачи о выну-
жденных колебаниях в нелинейных системах с медленно меняющимися ко-
эффициентами // Прикл. матем. и механ., 45 (1981), вып. 1, 71–76.
[3] А. В. Костин, С. А. Щёголев, Об устойчивости колебаний, представи-
мых рядами Фурье с медленно меняющимися параметрами // Дифференц.
уравн., 44 (2008), N 1, 45–51.
[4] А. В. Костин, С. А. Щёголев, О решениях квазилинейной дифференциаль-
ной системы второго порядка, представимых рядами Фурье, содержащими
медленно меняющиеся параметры // Укр. матем. журн., 50 (1998), N 5, 654–
664.
[5] С. А. Щёголев, Резонансный случай существования решений квазилинейной
дифференциальной системы второго порядка, представимых рядами Фурье,
содержащими медленно меняющиеся параметры // Укр. матем. журн., 51
(1999), N 2, 285–288.
[6] Н. К. Бари, Тригонометрические ряды, М.: Физматгиз, 1961, 935 с.
[7] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функциональ-
ного анализа, М.: Наука, 1972, 496 с.
Вiдомостi про авторiв
Сергiй Авенiрович
Щоголев
Одеський нацiональний унiверситет
iм. I. I. Мечникова
вул. Дворянська, 2,
Одеса, 65082
Україна
E-Mail: shchogolevs@rambler.ru
|