Фундаментальна матриця розв’язкiв задачi Кошi для одного класу параболiчних систем типу Шилова iз змiнними коефiцiєнтами
Побудовано фундаментальну матрицю розв’язкiв задачi Кошi та дослiджено ї ї основнi властивостi для нового класу лiнiйних параболiчних систем з гладкими обмеженими змiнними коефiцiєнтами, який охоплює клас параболiчних за Шиловим систем диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними з невiд’ємним ро...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124401 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Фундаментальна матриця розв’язкiв задачi Кошi для одного класу параболiчних систем типу Шилова iз змiнними коефiцiєнтами / В.А. Лiтовченко, I.М. Довжицька // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 4. — С. 516-552. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124401 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1244012017-09-25T03:03:12Z Фундаментальна матриця розв’язкiв задачi Кошi для одного класу параболiчних систем типу Шилова iз змiнними коефiцiєнтами Лiтовченко, В.А. Довжицька, I.М. Побудовано фундаментальну матрицю розв’язкiв задачi Кошi та дослiджено ї ї основнi властивостi для нового класу лiнiйних параболiчних систем з гладкими обмеженими змiнними коефiцiєнтами, який охоплює клас параболiчних за Шиловим систем диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними з невiд’ємним родом. 2010 Article Фундаментальна матриця розв’язкiв задачi Кошi для одного класу параболiчних систем типу Шилова iз змiнними коефiцiєнтами / В.А. Лiтовченко, I.М. Довжицька // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 4. — С. 516-552. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 35K41, 35A08. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124401 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Побудовано фундаментальну матрицю розв’язкiв задачi Кошi та дослiджено ї ї основнi властивостi для нового класу лiнiйних параболiчних систем з гладкими обмеженими змiнними коефiцiєнтами, який охоплює клас параболiчних за Шиловим систем диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними з невiд’ємним родом. |
| format |
Article |
| author |
Лiтовченко, В.А. Довжицька, I.М. |
| spellingShingle |
Лiтовченко, В.А. Довжицька, I.М. Фундаментальна матриця розв’язкiв задачi Кошi для одного класу параболiчних систем типу Шилова iз змiнними коефiцiєнтами Український математичний вісник |
| author_facet |
Лiтовченко, В.А. Довжицька, I.М. |
| author_sort |
Лiтовченко, В.А. |
| title |
Фундаментальна матриця розв’язкiв задачi Кошi для одного класу параболiчних систем типу Шилова iз змiнними коефiцiєнтами |
| title_short |
Фундаментальна матриця розв’язкiв задачi Кошi для одного класу параболiчних систем типу Шилова iз змiнними коефiцiєнтами |
| title_full |
Фундаментальна матриця розв’язкiв задачi Кошi для одного класу параболiчних систем типу Шилова iз змiнними коефiцiєнтами |
| title_fullStr |
Фундаментальна матриця розв’язкiв задачi Кошi для одного класу параболiчних систем типу Шилова iз змiнними коефiцiєнтами |
| title_full_unstemmed |
Фундаментальна матриця розв’язкiв задачi Кошi для одного класу параболiчних систем типу Шилова iз змiнними коефiцiєнтами |
| title_sort |
фундаментальна матриця розв’язкiв задачi кошi для одного класу параболiчних систем типу шилова iз змiнними коефiцiєнтами |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124401 |
| citation_txt |
Фундаментальна матриця розв’язкiв задачi Кошi для одного класу параболiчних систем типу Шилова iз змiнними коефiцiєнтами / В.А. Лiтовченко, I.М. Довжицька // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 4. — С. 516-552. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT litovčenkova fundamentalʹnamatricârozvâzkivzadačikošidlâodnogoklasuparaboličnihsistemtipušilovaizzminnimikoeficiêntami AT dovžicʹkaim fundamentalʹnamatricârozvâzkivzadačikošidlâodnogoklasuparaboličnihsistemtipušilovaizzminnimikoeficiêntami |
| first_indexed |
2025-07-09T01:22:59Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:22:59Z |
| _version_ |
1837130509606453248 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 7 (2010), № 4, 516 – 552
Фундаментальна матриця розв’язкiв
задачi Кошi для одного класу параболiчних
систем типу Шилова iз змiнними
коефiцiєнтами
Владислав А. Лiтовченко, Iрина М. Довжицька
(Представлена А. Є. Шишковим)
Анотацiя. Побудовано фундаментальну матрицю розв’язкiв задачi
Кошi та дослiджено її основнi властивостi для нового класу лiнiйних
параболiчних систем з гладкими обмеженими змiнними коефiцiєнта-
ми, який охоплює клас параболiчних за Шиловим систем диферен-
цiальних рiвнянь iз частинними похiдними з невiд’ємним родом.
2010 MSC. 35K41, 35A08.
Ключовi слова та фрази. Фундаментальна матриця розв’язкiв,
задача Кошi, параболiчнi системi типу Шилова.
Вступ
Теорiя параболiчних рiвнянь iз частинними похiдними бере свiй
початок фактично з класичного рiвняння теплопровiдностi, але най-
бiльш чiтких рис вона набула з виходом у 1938 р. фундаментальної
працi I. Г. Петровського [1], пов’язаної з описом та дослiдженням
досить широкого класу лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь iз
частинними похiдними з коефiцiєнтами, незалежними вiд просторо-
вої змiнної. У подальшому вивчення цього класу систем проходило
досить iнтенсивно; дослiдження I. Г. Петровського були продовженi
у вiдомих працях ряду авторiв, i поширенi на параболiчнi системи iз
змiнними коефiцiєнтами, залежними як вiд часу, так i вiд просторо-
вих змiнних (див., наприклад, у [2, 3]).
У 1955 р. Г. Є. Шилов дає нове означення параболiчної систе-
ми [4], яке узагальнює поняття параболiчностi за I. Г. Петровським i
Стаття надiйшла в редакцiю 22.06.2010
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 517
призводить до iстотного розширення класу Петровського систем пер-
шого порядку за часовою змiнною iз сталими коефiцiєнтами.
Дослiдження параболiчних за Г. Є. Шиловим систем проводилось
у багатьох працях, зокрема, в [5–7], при цьому основна увага придi-
лялась лише випадку сталих коефiцiєнтiв. Це, насамперед, пояснює-
ться тим, що параболiчнi системи Г. Є. Шилова, на вiдмiну вiд систем
I. Г. Петровського, взагалi кажучи, не є стiйкими в сенсi параболiчно-
стi до змiни коефiцiєнтiв, навiть тих, що знаходяться при нульовiй
похiднiй [8].
У [9] Я. I. Житомирський вдало використовуючи поняття голов-
ної частини системи, означує новий клас параболiчних систем типу
Шилова iз змiнними молодшими коефiцiєнтами (залежними лише вiд
просторових змiнних): головна частина кожної з таких систем є пара-
болiчним за Г. Є. Шиловим матричним диференцiальним виразом iз
сталими коефiцiєнтами. Зазначений клас не лише розширює клас па-
раболiчних за Г. Є. Шиловим систем, але й гармонiчно доповнює клас
Петровського систем iз змiнними коефiцiєнтами. Для таких систем
методом послiдовного наближення встановлено iснування розв’язку
задачi Кошi у випадку, коли початковi данi є гладкими обмежени-
ми функцiями, i, вiдтак доведено єдинiсть цього розв’язку в класi
обмежених функцiй. Подальше дослiдження задачi Кошi для систем
з цього класу потребує побудови фундаментальної матрицi розв’язкiв
задачi Кошi (ФМРЗК) та всебiчного її вивчення.
У данiй роботi, розвиваючи класичнi методи теорiї параболiчних
систем iз змiнними коефiцiєнтами, проведено повний аналiтичний
опис ФМРЗК для параболiчних систем типу Шилова iз невiд’ємним
родом та обмеженими гладкими змiнними молодшими коефiцiєнтами
(залежними вiд часу та просторових змiнних), а також дослiджено її
основнi властивостi.
1. Допомiжнi вiдомостi. Постановка задачi
Нехай T — фiксоване число з (0; +∞), N — множина всiх нату-
ральних чисел; Nm := {1; . . . ;m}; R
n i C
n — вiдповiдно дiйсний i
комплексний простори розмiрностi n ≥ 1; R := R
1, C := C
1; Z
n
+ —
множина всiх n-вимiрних мультиiндексiв, Z+ := Z
1
+; i — уявна оди-
ниця; (·, ·) — скалярний добуток у просторi R
n; ‖x‖ := (x, x)1/2 для
x ∈ R
n; |x+ iy| := (x2 + y2)1/2, якщо {x, y} ⊂ R; |z|∗ := |z1|+ · · ·+ |zn|,
zl := zl1
1 . . . z
ln
n , якщо z := (z1; . . . ; zn) ∈ C
n, l := (l1; . . . ; ln) ∈ Z
n
+;
ΠM := {(t;x)| t ∈ M,x ∈ R
n}, M ⊂ R, Π2
T := {(t, x; τ, ξ)| 0 ≤ τ < t ≤
T, {x, ξ} ⊂ R
n}; S — простiр Л. Шварца нескiнченно диференцiйов-
них швидкоспадних функцiй, визначених на R
n, a S′ — вiдповiдний
518 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
топологiчно спряжений з S простiр [10].
У просторi S визначенi неперервнi операцiї додавання, множення
та згортки
(ϕ ∗ ψ)(·) =
∫
Rn
ϕ(· − ξ)ψ(ξ)dξ, {ϕ,ψ} ⊂ S,
а також перетворення Фур’є F [10]. Вiдомо, що F [S] = S, де
F [X] := {ψ| ψ(·) =
∫
Rn
ϕ(x)ei(·,x)dx, ϕ ∈ X},
при цьому оператор F вiдображає простiр S у S взаємно однозначно
та неперервно.
Пряме й обернене перетворення Фур’є узагальненої функцiї f ∈ S′
означуються формулами
〈F [f ], F [ϕ]〉 := (2π)n〈f, ϕ〉, 〈F−1[f ], F−1[ϕ]〉 := (2π)−n〈f, ϕ〉, ϕ ∈ S
(тут дужками 〈 , 〉 позначено результат дiї функцiонала на основну
функцiю).
Нехай далi m — фiксований елемент множини N. Позначимо через
S, S
′ декартовi степенi з показником m просторiв S i S′ з покомпо-
нентною збiжнiстю вiдповiдно в S та S′; через P(S) — множину всiх
квадратних матриць порядку m, стовпцями яких є елементи S (та-
кож з поелементною збiжнiстю в просторi S). Згорткою матричних
елементiв ϕ = (ϕlj)
m,k
l,j=1 i ψ = (ψlj)
k,n
l,j=1, позначатимемо ϕ ∗ ψ, назве-
мо матричний елемент g = (glj)
m,n
l,j=1 такий, що glj :=
∑k
r=1 ϕlr ∗ ψrj .
Очевидно, що якщо ϕ ∈ S, {g, g0} ⊂ P(S), то g ∗ϕ ∈ S i g ∗ g0 ∈ P(S), a
F [g ∗ ϕ] = F [g]F [ϕ], F [g ∗ g0] = F [g]F [g0],
де F [(ψlj)
k,n
l,j=1] = (F [ψlj ])
k,n
l,j=1.
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь iз частинними по-
хiдними порядку p
∂tuj(t;x) =
m∑
l=1
∑
|k|∗≤p
alj
k (t;x)i|k|∗∂k
xul(t;x), j ∈ Nm, (t;x) ∈ Π(0;T ],
(1.1)
таку, що її права частина допускає зображення
m∑
l=1
∑
|k|∗≤p
alj
k (t;x)i|k|∗∂k
xul(t;x) =
m∑
l=1
{P lj
0 (i∂x) + P lj
1 (t, x; i∂x)}ul(t;x),
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 519
де
P lj
0 (i∂x) :=
∑
|k|∗≤p
alj
0,ki
|k|∗∂k
x , P lj
1 (t, x; i∂x) :=
∑
|k|∗≤p1
alj
1,k(t;x)i
|k|∗∂k
x ,
причому вiдповiдна система
∂tuj(t;x) =
m∑
l=1
P lj
0 (i∂x)ul(t;x), j ∈ Nm, (t;x) ∈ Π(0;T ], (1.2)
є параболiчною за Шиловим у шарi Π(0;T ] з показником параболiчно-
стi h, 0 < h ≤ p, та невiд’ємним родом µ [5].
Крiм цього, вважатимемо, що для системи (1.1) виконуються ще
такi умови:
А) 0 ≤ p1 < h− n(1 − hµ/p0) − (m− 1)(p− h), 0 ≤ µ ≤ 1
(тут p0 — зведений порядок системи (1.2));
B) коефiцiєнти alj
1,k(t, x) є неперервними за змiнною t, нескiнченно
диференцiйовними за змiнною x i обмеженими разом iз своїми
похiдними комплекснозначними функцiями в шарi Π[0;T ].
Прикладом системи (1.1) при m = n = 1 є рiвняння
∂tu(t;x) =
(
a∂3
x + b∂2
x + c∂x +
sin(tx)
1 + x2
)
u(t;x), t ∈ (0;T ], x ∈ R,
(1.3)
де {a, c} ⊂ R, a 6= 0, b > 0. Вiдповiдним, параболiчним за Шиловим
рiвнянням, є
∂tu(t;x) =
(
a∂3
x + b∂2
x + c∂x
)
u(t;x), t ∈ (0;T ], x ∈ R,
для якого p = p0 = 3, h = 2, a µ ≥ 0.
Зазначимо, що рiвняння (1.3) не вiдноситься нi до класу рiвнянь,
параболiчних за Петровським (тому, що має непарний порядок), нi
до класу рiвнянь, параболiчних за Шиловим (оскiльки один iз його
коефiцiєнтiв є функцiєю, залежною вiд x).
Означення 1.1. ФМРЗК для системи (1.1) називається функцiо-
нальна матриця Z(t, x; τ, ξ) розмiрностi m ×m, визначена для всiх
(t;x) ∈ Π(τ ;T ] i залежна вiд параметричної точки (τ ; ξ) ∈ Π[0;T ) та-
ка, що:
1) Z як функцiя (t;x) задовольняє систему (1.1) в шарi Π(τ ;T ],
τ ∈ [0;T );
520 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
2) виконується граничне спiввiдношення
Z(t, x; τ, ·) −→
t→τ+0
δ(· − x)I
у розумiннi слабкої збiжностi в просторi S′ розподiлiв Швар-
ца (тут I — одинична матриця порядку m, a δ(·) — дельта-
функцiя Дiрака).
Позначимо ФМРЗК для системи (1.2) через G(t; ·), t ∈ (0;T ] .
Правильне таке твердження [9]:
∀T > 0 ∃ δ > 0 ∀ k ∈ Z
n
+ ∃ c > 0 ∀ t ∈ (0;T ] ∀x ∈ R
n :
|∂k
xG(t;x)| ≤ ct−
n+|k|∗+γ
h e−δ
(
‖x‖
tα
) 1
1−α
,
γ := (m− 1)(p− h), α := µ/p0.
(1.4)
2. Побудова та дослiдження властивостей ФМРЗК
Згiдно з методом Левi, шукатимемо ФМРЗК для системи (1.1) у
виглядi
Z(t, x; τ, ξ) = G(t− τ ;x− ξ) +
t∫
τ
dβ
∫
Rn
G(t− β;x− y)Φ(β, y; τ, ξ) dy
≡ G(t− τ ;x− ξ) +W (t, x; τ, ξ), (2.1)
де G — ФМРЗК для системи (1.2), а Φ — деяка функцiональна матри-
ця розмiрностi m×m. Виберемо Φ так, щоб матриця Z була розв’яз-
ком системи (1.1). Для цього, користуючись безпосередньо означе-
нням розв’язку диференцiальної системи, в результатi формальних
перетворень одержимо iнтегральне рiвняння
Φ(t, x; τ, ξ) = K(t, x; τ, ξ) +
t∫
τ
dβ
∫
Rn
K(t, x;β, y)Φ(β, y; τ, ξ) dy, (2.2)
в якому
K(t, x; τ, ξ) := P1(t, x; i∂x)G(t− τ ;x− ξ),
P1(t, x; i∂x) :=
(
P lj
1 (t, x; i∂x)
)m
l,j=1
.
Розв’язуючи зазначене рiвняння методом послiдовних наближень,
одержимо такий його формальний розв’язок:
Φ(t, x; τ, ξ) =
∞∑
l=1
Kl(t, x; τ, ξ), (2.3)
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 521
де K1 = K, а
Kl(t, x; τ, ξ) =
t∫
τ
dβ
∫
Rn
K1(t, x;β, y)Kl−1(β, y; τ, ξ) dy, l > 1.
Для встановлення збiжностi ряду (2.3) та обґрунтування коре-
ктностi здiйснених ранiше перетворень, дослiдимо спочатку власти-
востi повторних ядер Kl.
Згiдно з оцiнкою (1.4) та обмеженiстю коефiцiєнтiв alj
1,k на мно-
жинi Π(0;T ], маємо
|K1(t, x; τ, ξ)| ≤ c(t−τ)−
n+p1+γ
h e
−δ
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
, (t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T . (2.4)
Скориставшись оцiнкою (2.4) та нерiвнiстю
∫
Rn
(
(t− β)(β − τ)
)−nα
e
−δ
{(
‖x−y‖
(t−β)α
) 1
1−α
+
(
‖y−ξ‖
(β−τ)α
) 1
1−α
}
dy
≤
cε
(t− τ)nαe
δ(1−ε)
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
, δ > 0, (2.5)
яка виконується для всiх {x, ξ} ⊂ R
n, β ∈ (τ ; t), 0 ≤ τ < t ≤ T i
ε ∈ (0; 1), причому величина cε залежить лише вiд ε (див. твердження
леми 7 з [3, с. 312]), одержимо
|K2(t, x; τ, ξ)| ≤ mc2
t∫
τ
(
(t− β)(β − τ)
)−n+p1+γ
h
×
∫
Rn
e
−δ
{(
‖x−y‖
(t−β)α
) 1
1−α
+
(
‖y−ξ‖
(β−τ)α
) 1
1−α
}
dy dβ
≤ mc2cε
(
t− τ
)−αn
e
−δ(1−ε)
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
t∫
τ
(
(t− β)(β − τ)
)αn−
n+p1+γ
h dβ,
(t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T , ε ∈ (0; 1).
Зазначимо, що пiдiнтегральна функцiя в останньому iнтегралi має
особливiсть у кожнiй iз меж iнтегрування; однак, з огляду на умову
А), ця особливiсть є iнтегровною. Оскiльки
t∫
τ
(
(t−β)(β−τ)
)αn−
n+p1+γ
h dβ = (t−τ)1+2
(
αn−
n+p1+γ
h
)
B(α0, α0), (2.6)
522 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
де α0 := 1 + αn− n+p1+γ
h > 0, а B(·, ·) — бета-функцiя Ейлера, то
|K2(t, x; τ, ξ)| ≤ mc2cεB(α0, α0)(t− τ)α0−
n+p1+γ
h e
−δ(1−ε)
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
,
(t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T , ε ∈ (0; 1).
Продовжуючи аналогiчнi роздуми крок за кроком, для l ∈ Nm, 0 ≤
τ < t ≤ T , {x, ξ} ⊂ R
n i ε ∈ (0; 1) одержимо
|Kl(t, x; τ, ξ)| ≤ ml−1cl
( l−1∏
j=1
c(jε)B(α0, jα0)
)
× (t− τ)(l−1)α0−
n+p1+γ
h e
−δ(1−(l−1)ε)
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
. (2.7)
Звiдси, врахувавши рiвнiсть (l − 1)α0 − n+p1+γ
h = lα0 − (1 + αn) i
поклавши l∗ :=
[
1+αn
α0
]
+1 (тут [ · ] — цiла частина числа), та ε := 1
r∗l∗
,
δ∗ := δ(1 − 1
r∗
), r∗ > 2, приходимо до iснування сталої c∗, c∗ ≥ mc,
такої, що для всiх {x, ξ} ⊂ R
n, 0 ≤ τ < t ≤ T правильними є такi
оцiнки:
|Kl(t, x; τ, ξ)| ≤ c∗(t− τ)lα0−(1+αn)e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
, l ∈ Nl∗−1; (2.8)
|Kl∗(t, x; τ, ξ)| ≤ c∗e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
. (2.9)
Повторнi ядра Kl при l > l∗ оцiнюватимемо так:
|Kl∗+1(t, x; τ, ξ)| ≤ m
t∫
τ
dβ
∫
Rn
|K1(t, x;β, y)||Kl∗(β, y; τ, ξ)| dy
≤ mcc∗
t∫
τ
(t− β)−
n+p1+γ
h
∫
Rn
e
−δ
(
‖x−y‖
(t−β)α
) 1
1−α
−δ∗
(
‖y−ξ‖
(β−τ)α
) 1
1−α
dy dβ
≤ c2∗
t∫
τ
(t− β)α0−1
∫
Rn
e
−δ∗
{(
‖x−y‖
(t−β)α
) 1
1−α
+
(
‖y−ξ‖
(β−τ)α
) 1
1−α
}
× e
− δ
r∗
(
‖x−y‖
(t−β)α
) 1
1−α dy
(t− β)αn
dβ.
Вiдтак, скориставшись нерiвнiстю (див. [3, с. 312])
e
−δ∗
{(
‖x−y‖
(t−β)α
) 1
1−α
+
(
‖y−ξ‖
(β−τ)α
) 1
1−α
}
≤ e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
(2.10)
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 523
та зваживши на
∫
Rn
e
− δ
r∗
(
‖x−y‖
(t−β)α
) 1
1−α dy
(t− β)αn
=
∫
Rn
e−
δ
r∗
‖z‖
1
1−α
dz < +∞, (2.11)
а також на те, що
t∫
τ
(t− β)α0−1 dβ = (t− τ)α0B(α0, 1), (2.12)
одержуємо оцiнку
|Kl∗+1(t, x; τ, ξ)| ≤ c2∗EB(α0, 1)(t− τ)α0e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
,
E :=
∫
Rn
e−
δ
r∗
‖z‖
1
1−α
dz.
Нехай тепер
|Kl∗+l(t, x; τ, ξ)| ≤ c∗
(
c∗E(t−τ)α0
)l
e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
l−1∏
j=0
B(α0, 1+ jα0),
(t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T . (2.13)
Тодi для всiх {x, ξ} ⊂ R
n i 0 ≤ τ < t ≤ T
|Kl∗+l+1(t, x; τ, ξ)| ≤ m
t∫
τ
dβ
∫
Rn
|K1(t, x;β, y)||Kl∗+l(β, y; τ, ξ)| dy
≤ c2∗(c∗E)l
( l−1∏
j=0
B(α0, 1 + jα0)
) t∫
τ
(t− β)α0−1(β − τ)lα0
×
∫
Rn
e
−δ∗
{(
‖x−y‖
(t−β)α
) 1
1−α
+
(
‖y−ξ‖
(β−τ)α
) 1
1−α
}
e
− δ
r∗
(
‖x−y‖
(t−β)α
) 1
1−α dy
(t− β)αn
dβ
≤ c∗
(
c∗E(t− τ)α0
)l+1
e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
l∏
j=0
B(α0, 1 + jα0).
Звiдси, згiдно з методом математичної iндукцiї, приходимо до ви-
конання оцiнки (2.13) для всiх l ∈ N.
Одержанi оцiнки (2.8), (2.9), (2.13) дозволяють сформулювати та-
ке допомiжне твердження.
524 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
Лема 2.1. Для всiх {x, ξ} ⊂ R
n, t ∈ (τ ;T ] i τ ∈ [0;T ) матричний
функцiональний ряд (2.3) є абсолютно збiжним рядом, для суми яко-
го справджується нерiвнiсть
|Φ(t, x; τ, ξ)| ≤ c0(t− τ)α0−(1+αn)e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
(тут константа c0 > 0 залежить лише вiд T ).
Доведення. Згiдно з вiдомою рiвнiстю
B(a, b) =
Γ(a)Γ(b)
Γ(a+ b)
, a > 0, b > 0,
де Γ(·) — гама-функцiя Ейлера, одержуємо, що
l−1∏
j=0
B(α0, 1 + jα0) =
(
Γ(α0)
)l
Γ(1 + lα0)
. (2.14)
Звiдси, врахувавши оцiнки (2.8), (2.9), (2.13), маємо
|Φ(t, x; τ, ξ)| ≤ c∗
( l∗∑
l=1
(t− τ)lα0−(1+αn)
+
∞∑
l=1
(
c∗E(t− τ)α0
)l
l−1∏
j=0
B(α0, 1 + jα0)
)
e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
≤ c∗l∗(t− τ)α0−(1+αn)
(
1 +
∞∑
l=1
(
c∗ET
α0Γ(α0)
)l
Γ(1 + lα0)
)
e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
,
(t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T .
Вiдтак, зваживши на збiжнiсть додатного числового ряду∑∞
l=1
Al
Γ(1+lα0)
, A > 0, приходимо до твердження леми 2.1.
Лему доведено.
Наслiдок 2.1. Матрична функцiя Φ, яка визначається рiвнiстю
(2.3), є звичайним розв’язком iнтегрального рiвняння (2.2).
Твердження цього наслiдку стає очевидним виходячи iз структу-
ри рiвняння (2.2) та зображення (2.3) функцiї Φ, якщо врахувати
рiвнiсть
t∫
τ
dβ
∫
Rn
K(t, x;β, y)
( ∞∑
l=1
Kl(β, y; τ, ξ)
)
dy
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 525
=
∞∑
l=1
t∫
τ
dβ
∫
Rn
K1(t, x;β, y)Kl(β, y; τ, ξ) dy,
у правильностi якої легко переконуємось, зважаючи на одержанi оцiн-
ки повторних ядер, лему 2.1 та вiдповiдне твердження з [11, с. 697].
Зазначимо також, що твердження леми 2.1 разом iз оцiнкою (1.4)
забезпечують абсолютну збiжнiсть iнтеграла, яким визначається по-
тенцiал W з рiвностi (2.1), для всiх {x, ξ} ⊂ R
n i 0 ≤ τ < t ≤ T. Таким
чином, матрична функцiя Z(t, x; τ, ξ) коректно визначена формулою
(2.1) на всiй множинi Π2
T .
Перейдемо до дослiдження властивостей гладкостi функцiї Z.
Для цього, передусiм, оцiнимо похiднi вiд повторних ядер Kl.
Оскiльки
K1(t, x; τ, ξ) = P1(t, x; i∂(x−ξ))G(t− τ ;x− ξ),
то
|∂q
x∂
r
ξK1(t, x; τ, ξ)|
=
∣∣∣∣
∑
|k|∗≤p1
( ∑
|g|∗≤|q|∗
Cg
q
(
∂g
xA1,k(t;x)
)(
∂k+r+q−g
(x−ξ) G(t− τ ;x− ξ)
))∣∣∣∣,
{q, r} ∈ Z
n
+,
де A1,k(t;x) :=
(
alj
1,k(t;x)
)m
l,j=1
, a Cg
q :=
∏n
j=1C
gj
qj — бiномiальний кое-
фiцiєнт.
Звiдси, зваживши на умову В) та оцiнку (1.4), одержимо
|∂q
x∂
r
ξK1(t, x; τ, ξ)| ≤ cq,r(t− τ)−
n+p1+γ+|q+r|∗
h e
−δ
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
,
{q, r} ∈ Z
n
+, (t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T
(тут оцiночнi сталi не залежать вiд t, τ, x i ξ).
При l > 1 користуватимемося очевидним зображенням
Kl(t, x; τ, ξ) =
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
K1(t, x;β, η + ξ)Kl−1(β, η + ξ; τ, ξ) dη
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
K1(t, x;β, x− z)Kl−1(β, x− z; τ, ξ) dz, t1 := τ +
1
2
(t− τ),
526 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
згiдно з яким
∂q
x∂
r
ξKl(t, x; τ, ξ)
=
∑
|r1|∗≤|r|∗
(
Cr1
r
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
(
∂r1
ξ ∂
q
xK1(t, x;β, η + ξ)
)
×
(
∂r−r1
ξ Kl−1(β, η + ξ; τ, ξ)
)
dη
)
+
∑
|q1|∗≤|q|∗
(
Cq1
q
t∫
t1
dβ
∫
Rn
(
∂q1
x K1(t, x;β, x− z)
)
×
(
∂r
ξ∂
q−q1
x Kl−1(β, x− z; τ, ξ)
)
dz
)
. (2.15)
Таким чином, оцiнювання |∂q
x∂r
ξKl(t, x; τ, ξ)| зводиться до оцiню-
вання виразiв
|∂r
ξ∂
q
xK1(t, x; τ, η + ξ)|, |∂q
xK1(t, x; τ, x− z)|,
|∂r
ξ∂
q
xKl−1(t, x− z; τ, ξ)|, |∂r
ξKl−1(t, η + ξ; τ, ξ)|.
Урахувавши обмеженiсть похiдних вiд коефiцiєнтiв alj
k (t; ·) систе-
ми (1.1) та оцiнку (1.4), для всiх {q, r} ∈ Z
n
+, {x, η, ξ} ∈ R
n, t ∈ (τ ;T ]
i τ ∈ [0;T ) маємо:
∣∣∂r
ξ∂
q
xK1(t, x; τ, η + ξ)
∣∣
≤ m
∑
|k|∗≤p1
∑
|q1|∗≤|q|∗
Cq1
q
∣∣∂q1
x A1,k(t;x)
∣∣∣∣∂k+r+q−q1
(x−η−ξ) G(t− τ ;x− η − ξ)
∣∣
≤ cr,q(t− τ)−
n+p1+γ+|r+q|∗
h e
−δ
(
‖x−η−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
; (2.16)
∣∣∂q
xK1(t, x; τ, x− ξ)
∣∣ =
∣∣∣∣∂
q
x
( ∑
|k|∗≤p1
A1,k(t;x)∂
k
xG(t− τ ; ξ)
)∣∣∣∣
≤ m
∣∣∂q
xA1,0(t;x)
∣∣∣∣G(t− τ ; ξ)
∣∣ ≤ ĉq(t− τ)−
n+γ
h e
−δ
(
‖ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
≤ cq(t− τ)−
n+p1+γ
h e
−δ
(
‖ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
. (2.17)
Перейдемо до оцiнювання виразу
∣∣∂r
ξKl(t, η + ξ; τ, ξ)
∣∣. Зваживши
на рiвностi
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 527
∂k
η+ξG(t− τ ; η) = ∂k
yG(t− τ ; y − ξ)
∣∣∣
y=η+ξ
= ∂k
y−ξG(t− τ ; y − ξ)
∣∣∣
y=η+ξ
= ∂k
ηG(t− τ ; η),
при l = 1 одержуємо, що
∣∣∂r
ξK1(t, η + ξ; τ, ξ)
∣∣ ≤
∑
|k|∗≤p1
∣∣∂r
ξA1,k(t; η + ξ)∂k
ηG(t− τ ; η)
∣∣
≤ c1,r(t− τ)−
n+p1+γ
h e
−δ
(
‖η‖
(t−τ)α
) 1
1−α
. (2.18)
Далi, оскiльки
∂r
ξK2(t, η + ξ; τ, ξ) = ∂r
ξ
( t∫
τ
dβ
∫
Rn
K1(t, η + ξ;β, y)K1(β, y; τ, ξ) dy
)
,
то здiйснивши в останньому iнтегралi замiну змiнної iнтегрування за
формулою y = z+ ξ, вiдтак, урахувавши оцiнки (2.18), (2.5), рiвностi
(2.6) i
∂r
ξK1(t, η + ξ; τ, z + ξ) = ∂r
ζK1(t, (η − z) + ζ; τ, ζ)
∣∣∣
ζ=z+ξ
,
дiстанемо
∣∣∂r
ξK2(t, η + ξ; τ, ξ)
∣∣
≤
∑
|r1|∗≤|r|∗
Cr1
r
t∫
τ
dβ
∫
Rn
∣∣∂r1
ξ K1(t, η+ ξ;β, z+ ξ)∂r−r1
ξ K1(β, z+ ξ; τ, ξ)
∣∣ dz
≤ m
∑
|r1|∗≤|r|∗
Cr1
r c1,r1c1,(r−r1)
t∫
τ
(
(t− β)(β − τ)
)−n+p1+γ
h
×
∫
Rn
e
−δ
((
‖η−z‖
(t−β)α
) 1
1−α
+
(
‖z‖
(β−τ)α
) 1
1−α
)
dz dβ
≤ mcε(t− τ)−nαe
−δ(1−ε)
(
‖η‖
(t−τ)α
) 1
1−α
t∫
τ
(
(t− β)(β − τ)
)αn−
n+p1+γ
h dβ
×
( ∑
|r1|∗≤|r|∗
Cr1
r c1,r1c1,(r−r1)
)
= c2,r(ε)B(α0, α0)(t− τ)α0−
n+p1+γ
h
× e
−δ(1−ε)
(
‖η‖
(t−τ)α
) 1
1−α
, ε ∈ (0; 1).
528 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
Розмiрковуючи аналогiчно крок за кроком, прийдемо до нерiвно-
стi
∣∣∂r
ξKl(t, η + ξ; τ, ξ)
∣∣ ≤ cl,r(ε)
( l−1∏
j=1
B(α0, jα0)
)
× (t− τ)(l−1)α0−
n+p1+γ
h e
−δ(1−(l−1)ε)
(
‖η‖
(t−τ)α
) 1
1−α
, (2.19)
яка виконується для всiх {η, ξ} ⊂ R
n, r ∈ Z
n
+, t ∈ (τ ;T ], τ ∈ [0;T ),
ε ∈ (0; 1) i l ∈ N \ {1}, а, вiдтак i до iснування такого номера l∗, при
якому
∣∣∂r
ξKl∗(t, η + ξ; τ, ξ)
∣∣
≤ cl∗,r(ε)
( l∗−1∏
j=1
B(α0, jα0)
)
e
−δ(1−(l∗−1)ε)
(
‖η‖
(t−τ)α
) 1
1−α
(2.20)
(тут величини cl,r(ε) > 0 не залежать вiд змiнних t, τ, η i ξ, якi змi-
нюються вищезазначеним способом).
Оскiльки
∂r
ξ∂
q
xKl(t, x; τ, η + ξ) = ∂r
ζ∂
q
xKl(t, x; τ, ζ)
∣∣∣
ζ=η+ξ
,
∂r
ξ∂
q
xKl(t, x− z; τ, ξ) = ∂r
ξ∂
q
yKl(t, y; τ, ξ)
∣∣∣
y=x−z
,
то вирази ∂r
ξ∂
q
xKl(t, x; τ, η + ξ), ∂r
ξ∂
q
xKl(t, x − z; τ, ξ) i ∂r
ξ∂
q
xKl(t, x; τ, ξ)
є однотипними. Тому з огляду на зображення (2.15) та на одержанi
оцiнки (2.16), (2.17), (2.19) i (2.5), маємо
∣∣∂r
ξ∂
q
xK2(t, x; τ, ξ)
∣∣
≤ m2|r+q|∗
(
∑
|r1|∗≤|r|∗
cr1,qc1,(r−r1)
t1∫
τ
(t−β)−
n+p1+γ+|r1+q|∗
h (β− τ)−
n+p1+γ
h
×
∫
Rn
e
−δ
((
‖x−η−ξ‖
(t−β)α
) 1
1−α
+
(
‖η‖
(β−τ)α
) 1
1−α
)
dη dβ
+
∑
|q1|∗≤|q|∗
cq1cr,(q−q1)
t∫
t1
(β − τ)−
n+p1+γ+|r+q−q1|∗
h (t− β)−
n+p1+γ
h
×
∫
Rn
e
−δ
((
‖z‖
(t−β)α
) 1
1−α
+
(
‖x−z−ξ‖
(β−τ)α
) 1
1−α
)
dz dβ
)
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 529
≤ m2|r+q|∗cεe
−δ(1−ε)
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
(t− τ)−αn
×
(
∑
|r1|∗≤|r|∗
cr1,qc1,(r−r1)
t1∫
τ
(t− β)αn−
n+p1+γ+|r1+q|∗
h (β − τ)αn−
n+p1+γ
h dβ
+
∑
|q1|∗≤|q|∗
cq1cr,(q−q1)
t∫
t1
(t− β)αn−
n+p1+γ
h (β − τ)αn−
n+p1+γ+|r+q−q1|∗
h dβ
)
,
(t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T , {r, q} ⊂ Z
n
+, ε ∈ (0; 1).
Врахувавши тепер оцiнки
t1∫
τ
(t− β)αn−
n+p1+γ+|r1+q|∗
h (β − τ)αn−
n+p1+γ
h dβ
≤ (t− t1)
−
|r1+q|∗
h
t∫
τ
(
(t− β)(β − τ)
)α0−1
dβ
= 2
|r1+q|∗
h (t− τ)2α0−
(
1+
|r1+q|∗
h
) 1∫
0
(
χ(1 − χ)
)α0−1
dχ
= 2
|r1+q|∗
h (t− τ)2α0−
(
1+
|r1+q|∗
h
)
B(α0, α0)
i
t∫
t1
(t− β)αn−
n+p1+γ
h (β − τ)αn−
n+p1+γ+|r+q−q1|∗
h dβ
≤ (t1 − τ)−
|r+q−q1|∗
h
t∫
τ
(
(t− β)(β − τ)
)α0−1
dβ
= 2
|r+q−q1|∗
h (t− τ)2α0−
(
1+
|r+q−q1|∗
h
)
B(α0, α0),
приходимо до нерiвностi
∣∣∂r
ξ∂
q
xK2(t, x; τ, ξ)
∣∣
≤ cr,q2,ξ(t− τ)2α0−
(
1+αn+
|r+q|∗
h
)
B(α0, α0)e
−δ(1−ε)
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
.
Продовжуючи крок за кроком процес оцiнювання, одержимо
530 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
∣∣∂r
ξ∂
q
xKl(t, x; τ, ξ)
∣∣ ≤ cr,ql,ε (t− τ)lα0−
(
1+αn+
|r+q|∗
h
)
× e
−δ(1−(l−1)ε)
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
( l−1∏
j=1
B(α0, jα0)
)
, (2.21)
для всiх {r, q} ⊂ Z
n
+, {x, ξ} ⊂ R
n, 0 ≤ τ < t ≤ T, ε ∈ (0; 1) i l ∈ N\{1}.
Перейдемо тепер до знаходження оцiнок виразу
∣∣∂r
ξ∂
q
xKl(t, x; τ, ξ)
∣∣,
придатних для встановлення диференцiйовностi матричної функцiї
Φ за просторовими змiнними. Безпосередньо з (2.21) приходимо до
iснування такого номера l∗, при якому
∣∣∂r
ξ∂
q
xKl∗(t, x; τ, ξ)
∣∣ ≤ cr,ql∗,εe
−δ(1−(l∗−1)ε)
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
( l∗−1∏
j=1
B(α0, jα0)
)
,
{r, q} ⊂ Z
n
+, (t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T .
Поклавши тут l+ := max{l∗, l
∗}, l− := min{l∗, l
∗}, де l∗ — вiдповiдний
номер iз (2.20), ε := 1
r∗l+
, δ∗ := δ
(
1 − 1
r∗
)
, r∗ > 2, T0 := max{1, T}, а
також
c0∗ := max
l∈Nl+
\{1}
{
c1,r, cl,r(ε)
( l−1∏
j=1
B(α0, jα0)
)
,
cr,q, c
r,q
l,ε
( l−1∏
j=1
B(α0, jα0)
)}
,
c∗ := c0∗(T0)
l+−l− ,
iз (2.19) i (2.21) одержуємо, що для всiх {r, q} ⊂ Z
n
+, {x, ξ, η} ⊂ R
n i
0 ≤ τ < t ≤ T
∣∣∂r
ξ∂
q
xKl+(t, x; τ, ξ)
∣∣ ≤ c∗e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
,
∣∣∂r
ξKl+(t, η + ξ; τ, ξ)
∣∣ ≤ c∗e
−δ∗
(
‖η‖
(t−τ)α
) 1
1−α
.
Звiдси, зваживши на оцiнку (2.10) та рiвнiсть (2.11), а також ура-
хувавши зображення (2.15) та нерiвностi (2.16) i (2.17), одержуємо:
∣∣∂r
ξKl++1(t, η + ξ; τ, ξ)
∣∣
≤
∑
|r1|∗≤|r|∗
Cr1
r
t∫
τ
dβ
∫
Rn
∣∣∂r1
ξ K1(t, η+ξ;β, z+ξ)∂r−r1
ξ Kl+(β, z+ξ; τ, ξ)
∣∣ dz
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 531
≤ mc2∗
( ∑
|r1|∗≤|r|∗
Cr1
r
) t∫
τ
(t− β)α0−1
×
∫
Rn
e
−δ∗
((
‖η−z‖
(t−β)α
) 1
1−α
+
(
‖z‖
(β−τ)α
) 1
1−α
)
e
− δ
r∗
(
‖η−z‖
(t−β)α
) 1
1−α dz
(t− β)nα
dβ
≤ mc0rEc
2
∗B(α0, 1)(t− τ)α0e
−δ∗
(
‖η‖
(t−τ)α
) 1
1−α
, c0r :=
∑
|r1|∗≤|r|∗
Cr1
r ;
∣∣∂r
ξ∂
q
xKl++1(t, x; τ, ξ)
∣∣
≤
∑
|r1|∗≤|r|∗
Cr1
r
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∣∣∂r1
ξ ∂
q
xK1(t, x;β, η+ ξ)∂r−r1
ξ Kl+(β, η+ ξ; τ, ξ)
∣∣ dη
+
∑
|q1|∗≤|q|∗
Cq1
q
t∫
t1
dβ
∫
Rn
∣∣∂q1
x K1(t, x;β, x− z)∂r
ξ∂
q−q1
x Kl+(β, x− z; τ, ξ)
∣∣ dz
≤ mc2∗
(
∑
|r1|∗≤|r|∗
Cr1
r
t1∫
τ
(t− β)α0−
(
1+
|r1+q|∗
h
)
×
∫
Rn
e
−δ∗
((
‖x−η−ξ‖
(t−β)α
) 1
1−α
+
(
‖η‖
(β−τ)α
) 1
1−α
)
e
− δ
r∗
(
‖x−η−ξ‖
(t−β)α
) 1
1−α dη
(t− β)αn
dβ
+
∑
|q1|∗≤|q|∗
Cq1
q
t∫
t1
(
t− β
)α0−1
×
∫
Rn
e
−δ∗
((
‖z‖
(t−β)α
) 1
1−α
+
(
‖x−z−ξ‖
(β−τ)α
) 1
1−α
)
e
− δ
r∗
(
‖z‖
(t−β)α
) 1
1−α dz
(t− β)αn
dβ
)
≤ mc2∗Ee
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
t∫
τ
(t− β)α0−1dβ
×
(( ∑
|r1|∗≤|r|∗
Cr1
r (t− t1)
−
|r1+q|∗
h
)
+ cq
)
≤ mc2∗Ee
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
(t− τ)α0B(α0, 1)
×
((
2
|r+q|∗
h
∑
|r1|∗≤|r|∗
Cr1
r (t− τ)−
|r1+q|∗
h
)
+ cq
)
532 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
≤ mc0r,qc
2
∗E(2T0)
|r+q|∗
h B(α0, 1)(t− τ)α0−
|r+q|∗
h e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
,
c0r,q := cr + cq.
Застосовуючи далi метод математичної iндукцiї, переконуємося
спочатку у правильностi оцiнки
∣∣∂r
ξKl++l(t, η + ξ; τ, ξ)
∣∣
≤ c∗(mc
0
rc∗E(t− τ)α0)le
−δ∗
(
‖η‖
(t−τ)α
) 1
1−α
( l−1∏
j=1
B(α0, 1 + jα0)
)
, (2.22)
а, вiдтак i оцiнки
∣∣∂r
ξ∂
q
xKl++l(t, x; τ, ξ)
∣∣ ≤ c∗
(
mc0r,qc∗E(2T0)
|r+q|∗
h
)l
(t− τ)lα0−
|r+q|∗
h
× e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
( l−1∏
j=1
B(α0, 1 + jα0)
)
, (2.23)
при {r, q} ⊂ Z
n
+, (t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T i l ∈ N\{1}.
Правильне наступне твердження.
Лема 2.2. Матрична функцiя Φ(t, x; τ, ξ) на множинi Π2
T є нескiн-
ченно диференцiйовною функцiєю за кожною iз просторових змiнних
x i ξ, для похiдних якої виконуються такi оцiнки:
∣∣∂r
ξ∂
q
xΦ(t, x; τ, ξ)
∣∣ ≤ c1(t− τ)α0−(1+αn+
|r+q|∗
h
)e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
,
(t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T , (2.24)
∣∣∂r
ξΦ(t, η + ξ; τ, ξ)
∣∣ ≤ c2(t− τ)α0−(1+αn)e
−δ∗
(
‖η‖
(t−τ)α
) 1
1−α
,
0 ≤ τ < t ≤ T, {η, ξ} ⊂ R
n (2.25)
(тут {r, q} ⊂ Z
n
+, a оцiночнi сталi c1, c2 i δ∗ не залежать вiд t, τ, x, ξ
та η).
Доведення. Зафiксуємо довiльним способом точку (x0; ξ0) iз R
2n i роз-
глянемо у цьому просторi кулю K
δ
(x0;ξ0) з центром у точцi (x0; ξ0) та
радiусом δ > 0. Тодi, зваживши на структуру (2.3) функцiї Φ та на
нескiнченну диференцiйовнiсть повторних ядер Kl за просторовими
змiнними на R
2n, приходимо до висновку, що для нескiнченної дифе-
ренцiйовностi у точцi (x0; ξ0) матричної функцiї Φ необхiдно встано-
вити лише рiвномiрну збiжнiсть за змiнними x i ξ на множинi K
δ
(x0;ξ0),
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 533
δ > 0, формально продиференцiйованого ряду (2.3) (при кожних фi-
ксованих t i τ, 0 ≤ τ < t ≤ T ):
∞∑
l=1
∂r
ξ∂
q
xKl(t, x; τ, ξ) (∀ {r, q} ⊂ Z
n
+). (2.26)
Безпосередньо iз оцiнок (2.21) i (2.23) та рiвностi (2.14), для {r, q} ⊂
Z
n
+ i (t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T маємо
∣∣∣∣
∞∑
l=1
∂r
ξ∂
q
xKl(t, x; τ, ξ)
∣∣∣∣
≤
l+∑
l=1
∣∣∂r
ξ∂
q
xKl(t, x; τ, ξ)
∣∣+
∞∑
l=l++1
∣∣∂r
ξ∂
q
xKl(t, x; τ, ξ)
∣∣
≤ c∗
( l+∑
l=1
(t− τ)lα0−(1+αn+
|r+q|∗
h
)
+
∞∑
l=1
(
mc0r,qc∗E(2T0)
|r+q|∗
h
)l
(t− τ)lα0−
|r+q|∗
h
×
( l−1∏
j=1
B(α0, 1 + jα0)
))
e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
≤ c1(t− τ)α0−
(
1+αn+
|r+q|∗
h
)
e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
.
Звiдси вже дiстаємо рiвномiрну збiжнiсть стосовно x i ξ ряду
(2.26), а, вiдтак i виконання оцiнки (2.24).
Аналогiчним способом, завдяки вiдповiдним оцiнкам (2.19) i
(2.22), переконуємось у правильностi оцiнки (2.25).
Лему доведено.
Теорема 2.1. Матрична функцiя Z(t, x; τ, ξ) є нескiнченно диферен-
цiйовною функцiєю за кожною iз просторових змiнних x i ξ на мно-
жинi Π2
T , причому
∃ δ > 0 ∀ {r, q} ⊂ Z
n
+ ∃ c > 0 ∀ (t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T :
|∂r
ξ∂
q
xZ(t, x; τ, ξ)| ≤ c(t− τ)−
n+|r+q|∗+γ
h e
−δ
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
.
(2.27)
534 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
Доведення. Очевидно, що питання про диференцiйовнiсть матричної
функцiї Z за просторовими змiнними зводиться до питання про мо-
жливiсть диференцiювання за цими змiнними пiд знаком iнтеграла
в об’ємному потенцiалi W . Для забезпечення цiєї можливостi досить
установити рiвномiрну стосовно змiнних x i ξ, {x, ξ} ⊂ R
n, збiжнiсть
iнтеграла
I∗(t, x; τ, ξ) :=
t∫
τ
dβ
∫
Rn
∂r
ξ∂
q
x(G(t− β;x− y)Φ(β, y; τ, ξ)) dy,
0 ≤ τ < t ≤ T, {r, q} ⊂ Z
n
+.
Оскiльки
|I∗(t, x; τ, ξ)|
≤ m
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
|∂q
xG(t− β;x− η − ξ)||∂r
ξΦ(β, η + ξ; τ, ξ)| dη
+m
t∫
t1
dβ
∫
Rn
|G(t− β; η)||∂q
(x−η)∂
r
ξΦ(β, x− η; τ, ξ)| dη,
t1 := τ +
1
2
(t− τ),
то врахувавши оцiнки (1.4), (2.24) i (2.25), а також (2.5), одержимо,
що
|I∗(t, x; τ, ξ)| ≤ c3(t− τ)α0−
n+|r+q|∗+γ
h e
− δ
2
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
,
{r, q} ⊂ Z
n
+, (t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T , (2.28)
де c3 — додатна стала, незалежна вiд t, τ, x i ξ.
Звiдси дiстаємо рiвномiрну стосовно змiнних x i ξ збiжнiсть iнте-
грала I∗, а, вiдтак i нескiнченну диференцiйовнiсть за цими змiнними
матричної функцiї Z(t, x; τ, ξ) на множинi Π2
T .
Щодо твердження (2.27), то воно стає очевидним, якщо зважити
на оцiнки (1.4) i (2.28) та нерiвнiсть
|∂r
x∂
q
ξW (t, x; τ, ξ)| ≤ |I∗(t, x; τ, ξ)|, {r, q} ⊂ Z
n
+, (t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T .
Теорему доведено.
Аналiзуючи доведення теореми 2.1, переконуємось у правильностi
такого наслiдку.
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 535
Наслiдок 2.2. Для всiх t i τ, 0 ≤ τ < t ≤ T, а також {x, ξ} ⊂ R
n
виконується рiвнiсть
{P0(i∂x) + P1(t, x; i∂x)}W (t, x; τ, ξ)
=
t∫
τ
dβ
∫
Rn
(
{P0(i∂x) + P1(t, x; i∂x)}G(t− β;x− y)
)
Φ(β, y; τ, ξ) dy.
Наступнi допомiжнi твердження важливi при дослiдженнi власти-
востей функцiї Z(t, x; τ, ξ) стосовно змiнних t i τ .
Лема 2.3. Матрична функцiя Φ(β, x; τ, ξ) є неперервною функцi-
єю за змiнною β на промiжку (τ ;T ] при кожному фiксованому
τ ∈ [0;T ), x ∈ R
n i ξ ∈ R
n, причому
|Φ(β + ∆, x; τ, ξ) − Φ(β, x; τ, ξ)|
≤ max{|∆|, |∆|α0}c0(β − τ)α0−(1+αn+ p
h
)e
−δ0
(
‖x−ξ‖
(β−τ)α
) 1
1−α
, (2.29)
при 0 < |∆| < (β − τ), тут сталi c0 i δ0 не залежать вiд ∆, β, τ , x
i ξ.
Доведення. Скориставшись структурою (2.3) матричної функцiї Φ та
абсолютною збiжнiстю ряду
∑∞
l=1Kl(ρ, x; τ, ξ), ρ > τ , {x, ξ} ⊂ R
n,
одержимо
|Φ(β + ∆, x; τ, ξ) − Φ(β, x; τ, ξ)|
≤
∞∑
l=1
|Kl(β + ∆, x; τ, ξ) −Kl(β, x; τ, ξ)|. (2.30)
Оцiнимо загальний член ряду iз правої частини нерiвностi (2.30).
Урахувавши структуру повторних ядер Kl, при ∆ > 0 маємо
|Kl(β + ∆, x; τ, ξ) −Kl(β, x; τ, ξ)|
≤
∣∣∣∣∣
β∫
τ
dρ
∫
Rn
(K1(β + ∆, x; ρ, y) −K1(β, x; ρ, y))Kl−1(ρ, y; τ, ξ) dy
∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣
β+∆∫
β
dρ
∫
Rn
K1(β + ∆, x; ρ, y)Kl−1(ρ, y; τ, ξ) dy
∣∣∣∣∣
≡ J∆
1,l(β, x; τ, ξ) + J∆
2,l(β, x; τ, ξ), l > 1.
536 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
Зваживши тепер на диференцiйовнiсть за часовою змiнною фун-
даментального розв’язку G задачi Кошi для системи (1.2), одержимо
K1(β + ∆, x; ρ, y) −K1(β, x; ρ, y)
=
∑
|k|∗≤p1
i|k|∗{A1,k(β + ∆;x)∂k
x(G(β + ∆ − ρ;x− y)
−G(β − ρ;x− y)) + (A1,k(β + ∆;x) −A1,k(β;x))∂k
xG(β − ρ;x− y)}
=
∑
|k|∗≤p1
i|k|∗{∆A1,k(β + ∆;x)∂k
x∂ηG(η;x− y)
∣∣∣
η=β−ρ+θ∆
+ (A1,k(β + ∆;x) −A1,k(β;x))∂k
xG(β − ρ;x− y)}
=
∑
|k|∗≤p1
i|k|∗
{
∆A1,k(β+∆;x)
( ∑
|r|∗≤p
i|r|∗A0,r∂
k+r
x−yG(β−ρ+θ∆;x−y)
)
+ (A1,k(β + ∆;x) −A1,k(β;x))∂k
xG(β − ρ;x− y)
}
,
θ ∈ (0; 1), A0,r := (alj
0,r)
m
l,j=1,
а, вiдтак i таку оцiнку першого члена ряду з (2.30):
|K1(β + ∆, x; τ, ξ) −K1(β, x; τ, ξ)|
≤ ∆c1(β − τ)−
n+γ+p+p1
h e
−δ1
(
‖x−y‖
(β−τ)α
) 1
1−α
, 0 < ∆ < β − τ
(тут ураховано оцiнку (1.4), а також неперервнiсть за часовою змiн-
ною та обмеженiсть коефiцiєнтiв системи (1.1); при цьому додатнi
сталi c1 i δ1 не залежать вiд ∆).
Звiдси, взявши до уваги нерiвностi (1.4), (2.7), (2.21) та умову В),
прийдемо до таких оцiнок:
J∆
1,l(β, x; τ, ξ)
:=
∣∣∣∣∣
β∫
τ
dρ
∫
Rn
(K1(β + ∆, x; ρ, y) −K1(β, x; ρ, y))Kl−1(ρ, y; τ, ξ) dy
∣∣∣∣∣
≤ m3
∑
|k|∗≤p1
{
∆|A1,k(β + ∆;x)|
(
∑
|r|∗≤p
|A0,r|
×
( β1∫
τ
dρ
∫
Rn
|∂k+r
x−yG(β − ρ+ θ∆;x− y)||Kl−1(ρ, y; τ, ξ)| dy
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 537
+
β∫
β1
dρ
∫
Rn
|∂k
zG(β − ρ+ θ∆; z)| |∂r
zKl−1(ρ, x− z; τ, ξ)| dz
))
+ |A1,k(β + ∆;x) −A1,k(β;x)|
β∫
τ
dρ
×
∫
Rn
|∂k
xG(β − ρ;x− y)| |Kl−1(ρ, y; τ, ξ)| dy
}
≤ ∆ĉ(l, ε)
( l−2∏
j=1
B(α0, jα0)
){ β1∫
τ
(β − ρ+ θ∆)α0−(1+ p
h
)(ρ− τ)(l−1)α0−1
×
∫
Rn
e
−δ(1−(l−2)ε)
{(
‖x−y‖
(β−ρ+θ∆)α
) 1
1−α
+
(
‖y−ξ‖
(ρ−τ)α
) 1
1−α
}
×
dy
((β − ρ+ θ∆)(ρ− τ))αn
dρ
+
β∫
β1
(β − ρ+ θ∆)α0−1(ρ− τ)(l−1)α0−(1+ p
h
)
×
∫
Rn
e
−δ(1−(l−2)ε)
{(
‖z‖
(β−ρ+θ∆)α
) 1
1−α
+
(
‖x−z−ξ‖
(ρ−τ)α
) 1
1−α
}
×
dz
((β − ρ+ θ∆)(ρ− τ))αn
dρ
+
β∫
τ
(β−ρ)α0−1(ρ−τ)(l−1)α0−1
∫
Rn
e
−δ(1−(l−2)ε)
{(
‖x−y‖
(β−ρ)α
) 1
1−α
+
(
‖y−ξ‖
(ρ−τ)α
) 1
1−α
}
×
dy
((β − ρ)(ρ− τ))αn
dρ
}
≤ ∆c(ε)ĉ(l, ε)
( l−1∏
j=1
B(α0, jα0)
){
(β−τ+θ∆)lα0−(1+αn)
(
(β−β1+θ∆)−
p
h
+ (β1 − τ)−
p
h
)
e
−δ(1−(l−1)ε)
(
‖x−ξ‖
(β−τ+θ∆)α
) 1
1−α
+ (β − τ)lα0−(1+αn)e
−δ(1−(l−1)ε)
(
‖x−ξ‖
(β−τ)α
) 1
1−α }
, (2.31)
в яких β1 := τ + 1
2(β − τ), β > τ , {x, ξ} ⊂ R
n, ε ∈ (0; 1), θ ∈ (0; 1),
538 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
∆ > 0, l > 1, а вираз ĉ(l, ε) > 0 не залежить вiд ∆, β, τ , x i ξ.
Оскiльки
β − τ < β − τ + θ∆ < 2(β − τ), θ ∈ (0; 1), 0 < ∆ < β − τ,
а
(β − β1 + θ∆)−
p
h + (β1 − τ)−
p
h ≤ 2
p
h
+1(β − τ)−
p
h , θ > 0, ∆ > 0,
то з нерiвностей (2.31) одержуємо iснування додатних сталих c0 i δ0
таких, що для всiх l > 1, ε ∈ (0; 1), β ∈ (τ ;T ], τ ∈ [0;T ), ∆ ∈ (0;β− τ)
i {x, ξ} ⊂ R
n виконується оцiнка
J∆
1,l(β, x; τ, ξ)
≤ ∆cl0(β − τ)lα0−(1+αn+ p
h
)
( l−1∏
j=1
B(α0, jα0)
)
e
−δ0(1−(l−1)ε)
(
‖x−ξ‖
(β−τ)α
) 1
1−α
.
Скориставшись ще раз оцiнками (2.4) i (2.7), одержимо
J∆
2,l(β, x; τ, ξ) ≤
β+∆∫
β
dρ
∫
Rn
|K1(β + ∆, x; ρ, y)Kl−1(ρ, y; τ, ξ)| dy
≤ ml−1cl
( l−2∏
j=1
c(jε)B(α0, jα0)
) β+∆∫
β
(β − ρ+ ∆)α0−1(ρ− τ)(l−1)α0−1
×
∫
Rn
e
−δ(1−(l−2)ε)
{(
‖x−y‖
(β−ρ+∆)α
) 1
1−α
+
(
‖y−ξ‖
(ρ−τ)α
) 1
1−α
}
dy
((β − ρ+ ∆)(ρ− τ))αn
dρ
≤ ml−1cl
( l−2∏
j=1
c(jε)B(α0, jα0)
)
c((l−1)ε)(β − τ + ∆)−αn
× e
−δ(1−(l−1)ε)
(
‖x−ξ‖
(β−τ+∆)α
) 1
1−α
∆α0
1∫
0
χα0−1(β − τ + ∆(1 − χ))(l−1)α0−1dχ
≤ ∆α0(2α0m)l−1cl
( l−2∏
j=1
c(jε)B(α0, jα0)
)
c((l−1)ε)
×B(1, α0)(β − τ)(l−1)α0−(1+αn)e
−δ0(1−(l−1)ε)
(
‖x−ξ‖
(β−τ)α
) 1
1−α
,
для ε ∈ (0; 1), l > 1, 0 ≤ τ < β ≤ T , ∆ ∈ (0;β − τ) i {x, ξ} ⊂ R
n.
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 539
Отже, iснують такi додатнi сталi c1 i δ0, що
|Kl(β + ∆, x; τ, ξ) −Kl(β, x; τ, ξ)|
≤ max{∆,∆α0}cl1(β − τ)lα0−(1+αn+ p
h
)e
−δ0(1−(l−1)ε)
(
‖x−ξ‖
(β−τ)α
) 1
1−α
,
l ∈ N, ε ∈ (0; 1), β ∈ (τ ;T ], τ ∈ [0;T ), ∆ ∈ (0;β − τ), {x, ξ} ⊂ R
n
(2.32)
(тут ураховано нерiвнiсть α0 ≤ p
h).
Звiдси переконуємося в iснуваннi такого номера l̂, при якому
|Kl̂(β + ∆, x; τ, ξ) −Kl̂(β, x; τ, ξ)|
≤ max{∆,∆α0}cl̂1e
−δ0(1−(l̂−1)ε)
(
‖x−ξ‖
(β−τ)α
) 1
1−α
. (2.33)
Далi, поклавши l+ := max{l+, l̂}, де l+ — вiдповiдний номер iз
(2.23), i вважаючи скрiзь ε = 1
r∗l+
, r∗ > 2, подiбним способом, ви-
користовуючи нерiвностi (1.4), (2.10), (2.13), (2.20), (2.23) i рiвнiсть
(2.11), одержуємо оцiнку приросту повторних ядер
|Kl++l(β + ∆, x; τ, ξ) −Kl++l(β, x; τ, ξ)|
≤ max{∆,∆α0}Al(β − τ)α0l− p
h (Γ((l − 1)α0))
−1e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(β−τ)α
) 1
1−α
,
l ∈ N, 0 ≤ τ < β ≤ T, ∆ ∈ (0;β − τ), {x, ξ} ⊂ R
n (2.34)
(тут додатнi сталi A i δ∗ не залежать вiд ∆, l, β, τ , x i ξ).
На завершення зазначимо, що одержанi оцiнки (2.32)–(2.34) при
додатному ∆ забезпечують виконання нерiвностi (2.29).
У випадку ∆ < 0 нерiвнiсть (2.29) встановлюється аналогiчним
способом.
Лему доведено.
Лема 2.4. Матрична функцiя
Ṽβ(t, x; τ, ξ) =
∫
Rn
G(t− β;x− y)Φ(β, y; τ, ξ) dy,
0 ≤ τ < β < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ R
n,
є неперервно диференцiйовною за змiнною t на промiжку (β;T ], β >
τ , i неперервною за змiнною β на iнтервалi (τ ; t), причому
lim
β→t−0
Ṽβ(t, x; τ, ξ) = Φ(t, x; τ, ξ), (t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T . (2.35)
540 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
Доведення. Безпосередньо з оцiнки
∫
Rn
|∂tG(t− β;x− y)Φ(β, y; τ, ξ)| dy
≤ c0(t− τ)−αn(t− β)αn−n+p+γ
h (β − τ)α0−1e
−δ0
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
,
0 ≤ δ < β < t ≤ T, {x, y} ⊂ R
n, (2.36)
яка легко одержується з огляду на нерiвнiсть (1.4) та твердження
леми 2.1, а також на те, що матрична функцiя G є розв’язком систе-
ми (1.2), приходимо до диференцiйовностi Ṽβ(t, x; τ, ξ) за змiнною t у
кожнiй точцi промiжку (β;T ], β > τ , та до виконання такої рiвностi:
∂tṼβ(t, x; τ, ξ) =
∫
Rn
(∂tG(t− β;x− y))Φ(β, y; τ, ξ) dy,
0 ≤ τ < β < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ R
n. (2.37)
Зваживши на рiвнiсть
∂tG(t; z) = P0(i∂z)G(t; z), (t; z) ∈ Π(0,T ], (2.38)
i скориставшись твердженням леми 2.2 та вiдомою теоремою Лагран-
жа про скiнченнi прирости, а також формулою iнтегрування части-
нами, одержимо, що
∣∣∣∣∣
∫
Rn
(∂(t+∆)G(t+ ∆ − β;x− y) − ∂tG(t− β;x− y))Φ(β, y; τ, ξ) dy
∣∣∣∣∣
= |∆|
∣∣∣∣∣
∑
|k|∗≤p
∑
|r|∗≤p
i|k+r|∗A0,kA0,r
×
∫
Rn
(∂r
(x−y)G(t+ θ∆ − β;x− y))(∂k
(x−y)Φ(β, y; τ, ξ)) dy
∣∣∣∣∣,
0 < |∆| << 1, θ ∈ (0; 1),
0 ≤ τ < β < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ R
n.
Звiдси, врахувавши нерiвностi (1.4) i (2.24), дiстанемо оцiнку
|∂(t+∆)Ṽβ(t+ ∆, x; τ, ξ) − ∂tṼβ(t, x; τ, ξ)|
≤ c1|∆|(t− β)−
n+p+γ
h (β − τ)α0−(1+ p
h
)e
−δ1
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
,
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 541
0 < |∆| <
1
2
(t− β), 0 ≤ τ < β < t ≤ T, {x, y} ⊂ R
n
(тут додатнi сталi c1 i δ1 не залежать вiд ∆, τ , β, t, x i ξ).
Таким чином, функцiя Ṽβ(t, x; τ, ξ) є неперервно диференцiйовною
за змiнною t на множинi (β;T ] при кожному фiксованому β ∈ (τ ;T ),
τ ∈ [0;T ), x i ξ з R
n.
Далi, оскiльки
Ṽ(β+∆)(t, x; τ, ξ) − Ṽβ(t, x; τ, ξ)
= ∆
∫
Rn
(P0(i∂(x−y))G(t− β + θ∆;x− y))Φ(β + ∆, y; τ, ξ) dy
+
∫
Rn
G(t− β;x− y)(Φ(β + ∆, y; τ, ξ) − Φ(β, y; τ, ξ)) dy, θ ∈ (0; 1),
то згiдно з твердженням леми 2.1 та оцiнками (1.4) i (2.29) маємо
|Ṽ(β+∆)(t, x; τ, ξ) − Ṽβ(t, x; τ, ξ)|
≤ max{|∆|, |∆|α}c̃0
{
(t− β + θ∆)αn−n+p+γ
h (β − τ + ∆)α0−1
+ (t− β)αn−n+γ
h (β − τ + ∆)α0+(1+ p
h
)
}
≤ max{|∆|, |∆|α0}c̃(t− β)αn−n+p+γ
h (β − τ)α0−(1+ p
h
),
θ ∈ (0; 1), 0 < |∆| <
1
2
min{(t− β), (β − τ)},
0 ≤ τ < β < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ R
n
(тут константа c̃ > 0 не залежить вiд ∆).
Одержанi оцiнки приросту функцiї Ṽβ стосовно змiнної β гаран-
тують неперервнiсть цiєї функцiї щодо β на iнтервалi (τ ; t).
Доведемо тепер виконання граничної рiвностi (2.35). Для цього
скористаємось належнiстю Ṽβ(t, ·; τ, ξ) до класу P(S), як згортки еле-
ментiв цього класу, бо {G(t− β; ·); Φ(β, ·; τ, ξ)} ⊂ P(S), а
∫
Rn
G(t− β; · − y)Φ(β, y; τ, ξ) dy = G(t− β; ·) ∗ Φ(β, ·; τ, ξ),
0 ≤ τ < β < t ≤ T, ξ ∈ R
n.
Урахувавши рiвнiсть [9]
G(t;x) = F−1[θt(ξ)](t;x), (t;x) ∈ Π(0;T ], (2.39)
542 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
де θt(·) := etP0(·), P0(·) := (P lj
0 (·))m
l,j=1, та властивостi перетворен-
ня Фур’є F (див. п. 1), приходимо до висновку, що для доведення
граничного спiввiдношення (2.35) досить установити виконання спiв-
вiдношення
θ(t−β)(·)F [Φ(β, x; τ, ξ)](β, ·; τ, ξ) −→
β→t−0
F [Φ(t, x; τ, ξ)](t, ·; τ, ξ),
0 ≤ τ < t ≤ T, ξ ∈ R
n,
у сенсi збiжностi в класi P(S), тобто переконатись у правильностi
таких тверджень [10]:
I) при кожному фiксованому τ ∈ [0;T ), t ∈ (τ ;T ] i ξ ∈ R
n
|∂k
η (θ(t−β)(η)Ψ(β, η; τ, ξ) − Ψ(t, η; τ, ξ))|
η∈K⊂R
n
⇉
β→t−0
0 (∀ k ∈ Z
n
+)
(2.40)
(тут йдеться про рiвномiрне прямування стосовно η на кожному
компактi K iз R
n), де
Ψ(β, ·; τ, ξ) := F [Φ(β, x; τ, ξ)](β, ·; τ, ξ);
II) ∀ τ ∈ [0;T ) ∀ t ∈ (τ ;T ] ∀ ξ ∈ R
n ∀ p ∈ Z+ ∃ cp > 0 ∀ q ∈ Z
n
+,
|q|∗ ≤ p, ∀β ∈ (τ ; t), 0 < (t− β) ≪ 1, ∀ η ∈ R
n :
|∂q
η(θ(t−β)(η)Ψ(β, η; τ, ξ))| ≤
cp
(1 + ‖η‖)p
.
Оскiльки
|∂k
η (θ(t−β)(η)Ψ(β, η; τ, ξ) − Ψ(t, η; τ, ξ))|
≤ |∂k
η ((θ(t−β)(η) − I)Ψ(β, η; τ, ξ))|
+ |∂k
η (Ψ(β, η; τ, ξ)) − Ψ(t, η; τ, ξ)|,
то взявши до уваги належнiсть Ψ(β, ·; τ, ξ) до класу P(S) при кожному
β ∈ (τ ; t), одержуємо, що (2.40) виконуватиметься, якщо виконувати-
муться такi спiввiдношення:
|∂r
η(θ(t−β)(η) − I)|
η∈K⊂R
n
⇉
β→t−0
0; |∂k
η (Ψ(β, η; τ, ξ) − Ψ(t, η; τ, ξ))|
η∈K⊂R
n
⇉
β→t−0
0.
(2.41)
З рiвностi
(∂r
η(θ(t−β)(η) − I)) = (t− β)∂r
η(P0(η)θ(χ(t−β))(η)), χ ∈ (0; 1),
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 543
одержуємо також, що встановлення першого iз спiввiдношень (2.41)
зводиться до встановлення обмеженостi sup0≤t<1, η∈K |∂k
ηθt(η)|, |k|∗ ≤
|r|∗.
Згiдно iз твердженням вiдповiдної леми з [5, с. 78] та параболiчнi-
стю системи (1.2), маємо
|θt(η)| ≤ c0(1 + ‖η‖p)m−1e−δ0t‖η‖h
, η ∈ R
n, t ∈ [0;T ], (2.42)
де c0 i δ0 — додатнi сталi, не залежнi вiд t i η; крiм цього, для η ∈ C
n
|θt(η)| ≤ c1e
δ1‖η‖p0
, t ∈ [0;T ]
(тут c1 i δ1 — додатнi сталi, залежнi лише вiд T ).
Звiдси використовуючи означення роду µ системи (1.2), розмiрко-
вуючи при цьому так, як при доведеннi теорем 1–3 з [10, с. 252, 256,
259] у випадку додатного роду µ, а при µ = 0, застосовуючи вiдповiд-
нi теореми 1′, 4′ з [10, с. 256, 266], приходимо до iснування додатних
сталих c i B таких, що для всiх t ∈ [0;T ], η ∈ R
n i k ∈ Z
n
+ виконується
нерiвнiсть
|∂k
ηθt(η)| ≤ cB|k|∗ |k|
(1−α)|k|∗
∗ (1 + ‖η‖γ). (2.43)
Оцiнка (2.43) забезпечує вже обмеженiсть виразу
sup
0≤t<1,
η∈K
|∂r
ηθt(η)| (∀ r ∈ Z
n
+ ∀K ⊂ R
n),
а, вiдтак i виконання першого граничного спiввiдношення з (2.41).
Щодо другого спiввiдношення з (2.41), то згiдно з твердженням
леми 2.3 маємо
|∂k
η (Ψ(β, η; τ, ξ) − Ψ(t, η; τ, ξ))|
≤
∫
Rn
‖x‖|k|∗ |Φ(β, x; τ, ξ) − Φ(t, x; τ, ξ)| dx
≤ max{(t−β), (t−β)α0}c0(t−τ)
α0−(1+αn+ p
h
)
∫
Rn
‖x‖|k|∗e
−δ0
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
dx
≤ max{(t− β), (t− β)α0}2|k|∗c0
|k|∗∑
l=0
‖ξ‖|k|∗−l(t− τ)α0+αl−(1+ p
h
)
×
∫
Rn
‖y‖le−δ0‖y‖
1
1−α
dy,
0 ≤ τ < β < t ≤ T, (t− β) ≪ 1, {ξ, η} ⊂ R
n, k ∈ Z
n
+.
544 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
Таким чином, виконання твердження I) установлено.
Зазначимо, що
|∂k
ηΨ(t, η; τ, ξ)| ≤ ck,l
(1 + ‖ξ‖)|k|∗
(1 + ‖η‖)l
(t− τ)α0−(1+ l
h
),
(t, η; τ, ξ) ∈ Π2
T , k ∈ Z
n
+, l ∈ Z+, (2.44)
де додатна стала ck,l залежить лише вiд k i l. Дiйсно, з огляду на
нерiвнiсть (2.24), для всiх k ∈ Z
n
+, l ∈ Z+, τ ∈ [0;T ), t ∈ (τ ;T ] i
{η, ξ} ⊂ R
n маємо
|ηq∂k
ηΨ(t, η; τ, ξ)| ≤
∫
Rn
|∂q
x(xkΦ(t, x; τ, ξ))| dx
≤ ck,q
min{|q|∗,|k|∗}∑
|r|∗=0
∫
Rn
‖x‖|k−r|∗ |∂q−r
x Φ(t, x; τ, ξ)| dx
≤ c1ck,q
min{|q|∗,|k|∗}∑
|r|∗=0
(t− τ)α0−(1+αn+
|q−r|∗
h
)
×
∫
Rn
(‖x− ξ‖ + ‖ξ‖)|k−r|∗e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
dx
≤ ĉk,q(1 + ‖ξ‖)|k|∗(t− τ)α0−(1+
|q|∗
h
),
де стала ĉk,q не залежить вiд t, τ , ξ i η.
Використовуючи тепер оцiнки (2.43), (2.44) i видiляючи скрiзь за-
лежнiсть вiд t, β, τ , ξ i η, одержимо, що
|∂q
η(θ(t−β)(η)Ψ(β, η; τ, ξ))| ≤ c0
(1 + ‖ξ‖)|q|∗
(1 + ‖η‖)l
(t− τ)α0−(1+(l+γ)/h),
для всiх q ∈ Z
n
+, l ∈ Z+, {η, ξ} ⊂ R
n, 0 ≤ τ < t ≤ T i β > τ таких, що
0 < t − β < 1
2(t − τ), причому константа c0 > 0 не залежить вiд t, β,
τ i η.
Отже, твердження II) також виконується.
Лему доведено.
Лема 2.5. Об’ємний потенцiал W є диференцiйовною матричною
функцiєю за змiнною t на (τ ;T ] такою, що
∂tW (t, x; τ, ξ) = Φ(t, x; τ, ξ) +
t∫
τ
dβ
∫
Rn
∂tG(t− β;x− y)Φ(β, y; τ, ξ) dy,
(t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T .
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 545
Доведення. Оскiльки
∂tW (t, x; τ, ξ) = lim
∆→0
1
∆
{ t+∆∫
τ
Ṽβ(t+ ∆, x; τ, ξ) dβ −
t∫
τ
Ṽβ(t, x; τ, ξ) dβ
}
,
то для доведення диференцiйовностi W (t, x; τ, ξ) за змiнною t необ-
хiдно встановити iснування границi з правої частини цiєї рiвностi.
Проте зазначена границя iснуватиме, якщо iснуватимуть рiвнi мiж
собою вiдповiднi одностороннi границi I+ та I−:
I± := lim
∆→+0
1
±∆
{ t±∆∫
τ
Ṽβ(t± ∆, x; τ, ξ) dβ −
t∫
τ
Ṽβ(t, x; τ, ξ) dβ
}
.
Переконаємося спочатку в iснуваннi I+. Зазначимо, що
1
∆
{ t+∆∫
τ
Ṽβ(t+ ∆, x; τ, ξ) dβ −
t∫
τ
Ṽβ(t, x; τ, ξ)dβ
}
=
1
∆
{ t+∆∫
t
Ṽβ(t+ ∆, x; τ, ξ) dβ +
t∫
τ
(Ṽβ(t+ ∆, x; τ, ξ)
− Ṽβ(t, x; τ, ξ)) dβ
}
.
Звiдси, скориставшись твердженням леми 2.4 та властивiстю про се-
реднє значення iнтеграла, одержимо
1
∆
t+∆∫
t
Ṽβ(t+ ∆, x; τ, ξ) dβ = Ṽ(t+θ∆)(t+ ∆, x; τ, ξ) −→
∆→+0
Φ(t, x; τ, ξ),
1
∆
t∫
τ
(Ṽβ(t+ ∆, x; τ, ξ) − Ṽβ(t, x; τ, ξ)) dβ
=
t∫
τ
∂tṼβ(t+ θ∆, x; τ, ξ) dβ, θ ∈ (0; 1).
Таким чином, враховуючи неперервнiсть похiдної ∂tṼβ(t, x; τ, ξ) за
змiнною t (див. лему 2.4), а також рiвнiсть (2.37), для доведення гра-
ничного спiввiдношення
546 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
lim
∆→+0
1
∆
t∫
τ
(Ṽβ(t+ ∆, x; τ, ξ) − Ṽβ(t, x; τ, ξ)) dβ
=
t∫
τ
dβ
∫
Rn
∂tG(t− β;x− y)Φ(β, y; τ, ξ) dy,
досить обґрунтувати граничний перехiд у наступнiй рiвностi
lim
∆→+0
t∫
τ
∂tṼβ(t+∆, x; τ, ξ) dβ =
t∫
τ
( lim
∆→+0
∂tṼβ(t+∆, x; τ, ξ)) dβ. (2.45)
Для цього оцiнимо пiдiнтегральний вираз iз лiвої частини цiєї рiвно-
стi. Скориставшись ще раз рiвнiстю (2.37), а також (2.38) та оцiнками
(2.36), (1.4) i (2.24), видiляючи скрiзь залежнiсть вiд ∆, одержимо
∣∣∣∣∣
t∫
τ
∂tṼβ(t+ ∆, x; τ, ξ) dβ
∣∣∣∣∣
≤
∣∣∣∣∣
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∂(t+∆)G(t+ ∆ − β;x− y)Φ(β, y; τ, ξ) dy
∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣
t∫
t1
dβ
∫
Rn
∂(t+∆)G(t+ ∆ − β; z)Φ(β, x− z; τ, ξ) dz
∣∣∣∣∣
≤
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
|∂(t+∆)G(t+ ∆ − β;x− y)Φ(β, y; τ, ξ)| dy
+m
∑
|k|∗≤p
|A0,k|
t∫
t1
dβ
∫
Rn
|G(t+ ∆ − β; z)∂k
z Φ(β, x− z; τ, ξ)| dz
≤ c0(t− τ + ∆)−αn
( t1∫
τ
(β − τ)α0−1(t− β + ∆)αn−n+p+γ
h dβ
+
t∫
t1
(t− β + ∆)α0−1(β − τ)α0−(1+ p
h
) dβ
)
≤ c0(t−τ)
−αn
(
(t−t1+∆)
p1−p
h +(t1−τ)
− p
h
)
t+∆∫
τ
((t−β+∆)(β−τ))α0−1 dβ
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 547
≤ c0B(α0, α0)2
2(1−α0)T
p1
h
0 (t− τ)2α0−(1+αn+ p
h
),
0 ≤ τ < t ≤ T, 0 < ∆ <
1
2
(t− τ), {x, ξ} ⊂ R
n.
Одержана оцiнка характеризує рiвномiрну збiжнiсть iнтеграла з
лiвої частини рiвностi (2.45) та забезпечує виконання цiєї рiвностi.
Отже, правостороння границя I+ iснує, причому
I+ = Φ(t, x; τ, ξ) +
t∫
τ
dβ
∫
Rn
∂tG(t− β;x− y)Φ(β, y; τ, ξ) dy,
(t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T .
Аналогiчним способом, використовуючи зображення
1
−∆
{ t−∆∫
τ
Ṽβ(t− ∆, x; τ, ξ) dβ −
t∫
τ
Ṽβ(t, x; τ, ξ) dβ
}
=
1
∆
{ t∫
t−∆
Ṽβ(t, x; τ, ξ) dβ +
t−∆∫
τ
(Ṽβ(t, x; τ, ξ)
− Ṽβ(t− ∆, x; τ, ξ) dβ
}
,
переконуємося в iснуваннi лiвосторонньої границi I−, значення якої
збiгається iз I+.
Лему доведено.
Теорема 2.2. Для кожного елемента ϕ ∈ S виконується граничне
спiввiдношення
〈Z(t, x; τ, ·), ϕ(·)〉 −→
t→τ+0
ϕ(x), 0 ≤ τ < t ≤ T, x ∈ R,
де 〈(glj(·))
m
l,j=1, col(ϕ1(·); . . . ;ϕm(·))〉 := col
(∑m
j=1〈g1j(·), ϕj(·)〉; . . . ;∑m
j=1〈gmj(·), ϕj(·)〉
)
.
Доведення. Оскiльки G — ФМРЗК, то
〈G(t− τ ;x− ·), ϕ(·)〉 −→
t→τ+0
ϕ(x), 0 ≤ τ < t ≤ T, x ∈ R, ϕ ∈ S.
Тому для доведення теореми досить установити таке граничне спiв-
вiдношення:
〈W (t, x; τ, ·), ϕ(·)〉 −→
t→τ+0
0, 0 ≤ τ < t ≤ T, x ∈ R, ϕ ∈ S. (2.46)
548 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
Проте спiввiдношення (2.46) виконуватиметься, якщо iснуватиме
така додатна стала c0, що для всiх β ∈ [τ ; t], 0 ≤ τ < t ≤ T, i y ∈ R
n
∣∣∣∣∣
∫
Rn
Φ(β, y; τ, ξ)ϕ(ξ) dξ
∣∣∣∣∣ ≤ c0 (2.47)
(тут риска зверху означає комплексну спряженiсть).
Дiйсно, скориставшись оцiнками (1.4) i (2.47) та вiдповiдною тео-
ремою Фубiнi, одержимо
|〈W (t, x; τ, ·), ϕ(·)〉|
=
∣∣∣∣∣
∫
Rn
( t∫
τ
dβ
∫
Rn
G(t− β;x− y)Φ(β, y; τ, ξ) dy
)
ϕ(ξ) dξ
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣
t∫
τ
dβ
∫
Rn
G(t− β;x− y)
( ∫
Rn
Φ(β, y; τ, ξ)ϕ(ξ) dξ
)
dy
∣∣∣∣∣
≤ mc0
t∫
τ
dβ
∫
Rn
|G(t− β;x− y)| dy
≤ mcc0
t∫
τ
(t− β)−
n+γ
h
∫
Rn
e
−δ
(
‖x−y‖
(t−β)α
) 1
1−α
dy dβ
=
mcc0hE
p1 + hα0
(t− τ)α0+
p1
h , 0 ≤ τ < t ≤ T, x ∈ R.
Звiдси приходимо до виконання спiввiдношення (2.46).
Отже, доведення вихiдної теореми звелось до встановлення оцiнки
(2.47).
Переконаємося спочатку в iснуваннi для кожного l ∈ N додатної
сталої cl такої, що для всiх β ∈ [τ ; t], 0 ≤ τ < t ≤ T, i y ∈ R
n
виконується нерiвнiсть
∣∣Jl(β, τ, y)
∣∣ :=
∣∣∣∣∣
∫
Rn
Kl(β, y; τ, ξ)ϕ(ξ) dξ
∣∣∣∣∣ ≤ cl, ϕ ∈ S. (2.48)
Нехай l = 1, тодi
Jl(β, τ, y) =
∑
|k|∗≤p1
A1,k(β; y)i|k|∗
∫
Rn
(∂k
ζG(β − τ ; ζ))ϕ(y − ζ) dζ
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 549
=
∑
|k|∗≤p1
A1,k(β; y)i|k|∗
∫
Rn
G(β − τ ; ζ)(∂k
(y−ζ)ϕ(y − ζ)) dζ
=
∑
|k|∗≤p1
A1,k(β; y)i|k|∗〈G(β − τ ; ζ), ψk(y − ζ)〉, (2.49)
де ψk(·) := ∂kϕ(·) ∈ S, k ∈ Z
n
+.
Скориставшись рiвнiстю (2.39), оцiнкою (2.42), а також тим, що
F [S] = S, дiстанемо
|〈G(β − τ ; ζ), ψk(y − ζ)〉| = (2π)−n|〈e(β−τ)P0(ξ), F [ψk(y − ζ)]〉|
= (2π)−n
∣∣∣∣∣
∫
Rn
e(β−τ)P0(ξ)e−i(ξ,y)F [ψk](ξ)
∣∣∣∣∣
≤ (2π)−nmc0
∫
Rn
(
1 + ‖ξ‖p(m−1)
)
|F [ψk](ξ)| dξ = c̃k < +∞,
y ∈ R
n, k ∈ Z
n
+, β ∈ [τ ; t], 0 ≤ τ < t ≤ T.
Звiдси, врахувавши рiвнiсть (2.49) та умову В), приходимо до
оцiнки (2.48) при l = 1.
У випадку l = 2 маємо
J2(β, τ, y) =
∫
Rn
( β∫
τ
dβ1
∫
Rn
K1(β, y;β1, ζ)K1(β1, ζ; τ, ξ)dζ
)
ϕ(ξ) dξ.
Змiнивши згiдно з теоремою Фубiнi порядок iнтегрування стосов-
но просторових змiнних i скориставшись обмеженiстю J1 та оцiнкою
(2.4), одержимо
|J2(β, τ, y)| =
∣∣∣∣∣
β∫
τ
dβ1
∫
Rn
K1(β, y;β1, ζ)J1(β1, τ, ζ) dζ
∣∣∣∣∣ ≤
mcc1E
α0
(β−τ)α0 ,
для всiх β ∈ [τ ; t], 0 ≤ τ < t ≤ T, y ∈ R
n.
Таким чином, оцiнка (2.48) виконується i при l = 2.
Застосовуючи тепер метод математичної iндукцiї, використовую-
чи при цьому зображення
Jl(β, τ, y) =
β∫
τ
dβ1
∫
Rn
K1(β, y;β1, ζ)Jl−1(β1, τ, ζ) dζ, l > 2,
550 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
аналогiчним способом переконуємось у правильностi оцiнки (2.48)
для всiх натуральних l, бiльших за 2.
Зазначимо далi, що фактично при доведеннi леми 2.1 було вста-
новлено iснування такого номера l∗, що
∣∣∣∣
∞∑
l=l∗+1
Kl(t, x; τ, ξ)
∣∣∣∣ ≤ c∗e
−δ∗
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
, {x, ξ} ⊂ R
n, 0 ≤ τ < t ≤ T
(тут додатнi сталi c∗ i δ∗ не залежать вiд x, ξ, t i τ). Урахувавши цей
факт, а також структуру (2.3) матричної функцiї Φ та оцiнку (2.48),
знаходимо, що для всiх ϕ ∈ S
∣∣∣∣∣
∫
Rn
Φ(β, y; τ, ξ)ϕ(ξ) dξ
∣∣∣∣∣
≤
l∗∑
l=1
∣∣Jl(β, τ, y)
∣∣+m
∫
Rn
∣∣∣∣
∞∑
l=l∗+1
Kl(β, y; τ, ξ)
∣∣∣∣|ϕ(ξ)| dξ
≤
l∗∑
l=1
cl +mc∗
∫
Rn
|ϕ(ξ)| dξ ≡ c0 < +∞,
β ∈ [τ ; t], 0 ≤ τ < t ≤ T, y ∈ R
n,
де константа c0 не залежить вiд β, τ, t i y.
Отже, оцiнка (2.47) також виконується.
Теорему доведено.
Основний результат сформулюємо у виглядi наступного твердже-
ння.
Теорема 2.3. Нехай виконуються умови А) i В), тодi матрична
функцiя Z, яка визначається рiвнiстю (2.1), є ФМРЗК для системи
(1.1).
Доведення. Зваживши на рiвностi (2.2), (2.38), лему 2.5 i наслiдок 2.2,
для всiх (t;x) ∈ Π(τ ;0], τ ∈ [0;T ), i ξ ∈ R
n одержуємо
∂tZ(t, x; τ, ξ) = ∂tG(t− τ ;x− ξ) + ∂tW (t, x; τ, ξ)
= P0(i∂x)G(t− τ ;x− ξ) + Φ(t, x; τ, ξ)
+
t∫
τ
dβ
∫
Rn
(
∂tG(t− β;x− y)
)
Φ(β, y; τ, ξ) dy
В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька 551
= {P0(i∂x) + P1(t, x; i∂x)}G(t− τ ;x− ξ)
+
t∫
τ
dβ
∫
Rn
(
{P0(i∂x) + P1(t, x; i∂x)}G(t− β;x− y)Φ(β, y; τ, ξ) dy
)
= {P0(i∂x) + P1(t, x; i∂x)}G(t− τ ;x− ξ)
+ {P0(i∂x) + P1(t, x; i∂x)}W (t, x; τ, ξ)
= {P0(i∂x) + P1(t, x; i∂x)}Z(t, x; τ, ξ).
Таким чином, матрична функцiя Z(t, x; τ, ξ), як функцiя змiнних
(t;x), на Π(τ ;T ] є звичайним розв’язком системи (1.1) у кожнiй фiксо-
ванiй точцi (τ ; ξ) ∈ Π[0;T ).
Якщо врахувати тепер твердження теореми 2.2, то прийдемо до
висновку, що для зазначеної функцiї Z виконуються всi умови з озна-
чення ФМРЗК для системи (1.1).
Теорему доведено.
Зауваження 2.1. Вiдомо [5], що при p = h рiд µ системи (1.2) до-
рiвнює 1, а p0 = h = 2b, b ∈ N. Тодi
h− n(1 − hµ/p0) − (m− 1)(p− h) = 2b
i умова А) набуває вигляду 0 ≤ p1 < 2b. А це означає, що (1.1) є
параболiчною за I. Г. Петровським системою.
У цьому випадку одержанi тут результати про ФМРЗК для систе-
ми (1.1) залишаються правильними i при змiнних коефiцiєнтах вiдпо-
вiдної рiвномiрно параболiчної системи (1.2), за умови, що цi коефi-
цiєнти є рiвномiрно неперервними за t стосовно просторової змiнної,
для яких виконується умова В) (див., наприклад, [2, 3]).
Лiтература
[1] И. Г. Петровский, О проблеме Коши для систем уравнений с частными прои-
зводными в области неаналитических функций // Бюлл. МГУ. Математика
и механика, 1 (1938), N 7, 1–72.
[2] С. Д. Эйдельман, Параболические системы, М.: Наука, 1964, 443 с.
[3] А. Фридман, Уравнения с частными производными параболического типа,
М.: Мир, 1968, 427 с.
[4] Г. Е. Шилов, Об условиях корректности задачи Коши для систем диффе-
ренциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффици-
ентами // Успехи мат. наук, 10 (1955), N 4, 89–101.
[5] И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Некоторые вопросы теории дифференциальных
уравнений, М.: Физматгиз, 1958, 274 с.
552 Фундаментальна матриця розв’язкiв...
[6] С. Д. Эйдельман, С. Д. Ивасишен, Ф. О. Порпер, Теоремы Лиувилля для
параболических в смысле Шилова систем // Изв. вузов. Математика, (1961),
N 6, 169–179.
[7] В. В. Городецкий, Некоторые теоремы о стабилизации решений задачи Ко-
ши для параболических по Шилову систем в классах обобщенных функций //
Укр. мат. журн., 40 (1988), N 1, 43–48.
[8] У Хоу-синь, Об определении параболичности систем уравнений в частных
производных // Успехи мат. наук., 15 (1960), N 6, 157–161.
[9] Я. И. Житомирский, Задача Коши для некоторых типов параболических
по Г. Е. Шилову систем линейных уравнений в частных производных с не-
прерывными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. матем., 23 (1959),
925–932.
[10] И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Пространства основных и обобщенных функ-
ций, М.: Физматгиз, 1958, 307 с.
[11] Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Т. 2, М.: Наука, 1969, 800 с.
Вiдомостi про авторiв
Владислав
Антонович
Лiтовченко,
Iрина Михайлiвна
Довжицька
Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
вул. Коцюбинського 2,
58012, Чернiвцi
Україна
E-Mail: vladlit4@mail.ru,
ira nezvanova@mail.ru
|